Asosiy tushunchalar
Keling, ta'riflardan boshlaylik juft, toq va davriy funksiyalar.
Ta'rif 2
Juft funksiya - mustaqil o'zgaruvchining belgisi o'zgarganda o'z qiymatini o'zgartirmaydigan funksiya:
Ta'rif 3
Muayyan vaqt oralig'ida o'z qiymatlarini takrorlaydigan funksiya:
T - funksiyaning davri.
Juft va toq trigonometrik funksiyalar
Quyidagi rasmni ko'rib chiqing (1-rasm):
1-rasm.
Bu erda $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ va $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ $Ox$ o'qiga nisbatan simmetrik uzunlik birligiga ega vektorlardir.
Shubhasiz, ushbu vektorlarning koordinatalari quyidagi munosabatlar bilan bog'liq:
Sinus va kosinusning trigonometrik funktsiyalarini birlik trigonometrik doira yordamida aniqlash mumkin bo'lganligi sababli, sinus funktsiyasi toq, kosinus funksiyasi esa juft funktsiya bo'ladi, ya'ni:
Trigonometrik funksiyalarning davriyligi
Quyidagi rasmni ko'rib chiqing (2-rasm).
2-rasm.
Bu yerda $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ - birlik uzunlikdagi vektor.
$\overrightarrow(OA)$ vektori bo'yicha to'liq burilish qilaylik. Ya'ni, berilgan vektorni $2\pi $ radianga aylantiramiz. Shundan so'ng vektor to'liq asl holatiga qaytadi.
Sinus va kosinusning trigonometrik funktsiyalari birlik trigonometrik doira yordamida aniqlanishi mumkinligi sababli, biz buni olamiz.
Ya'ni, sinus va kosinus funktsiyalari davriy funksiyalar eng kichik davri $T=2\pi $.
Endi tangens va kotangensning funktsiyalarini ko'rib chiqing. $tgx=\frac(sinx)(cosx)$ ekan, keyin
$ctgx=\frac(cosx)(sinx)$ ekan, keyin
Trigonometrik funksiyalarning juft, toq va davriyligidan foydalanishga oid masalalarga misollar
1-misol
Quyidagi dalillarni isbotlang:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Tangens minimal davri $(360)^0$ bo'lgan davriy funksiya bo'lgani uchun biz olamiz
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Kosinus teng va davriy funktsiya bo'lib, minimal davri $2\pi $ bo'lganligi sababli, biz olamiz
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Sinus toq va davriy funktsiya bo'lib, minimal davri $(360)^0$ bo'lganligi sababli, biz olamiz
Agar biz koordinata boshiga markazlashtirilgan birlik doirasini qursak va argumentning ixtiyoriy qiymatini o'rnatsak x0 va o'qdan hisoblash ho'kiz burchak x 0, u holda birlik doiradagi bu burchak qaysidir nuqtaga to'g'ri keladi A(1-rasm) va uning o'qga proyeksiyasi Oh nuqta bo'ladi M. Kesilgan uzunlik OM nuqta abtsissasining mutlaq qiymatiga teng A. berilgan argument qiymati x0 xaritalangan funktsiya qiymati y= cos x 0 nuqtaning abssissasi sifatida A. Shunga ko'ra, nuqta IN(x 0 ;da 0) funksiya grafigiga tegishli da= cos X(2-rasm). Agar nuqta A o'qning o'ng tomonida joylashgan OU, tokosin ijobiy bo'ladi, agar chapga salbiy bo'lsa. Lekin har qanday holatda ham, nuqta A doirani tark eta olmaydi. Shunday qilib, kosinus -1 dan 1 gacha:
-1 = cos x = 1.
Har qanday burchakka qo'shimcha aylanish, 2 ga ko'p p, nuqtani qaytaradi A xuddi shu joyga. Shuning uchun, funktsiya y= cos xp:
chunki ( x+ 2p) = cos x.
Agar argumentning mutlaq qiymati bo'yicha teng, lekin belgisiga qarama-qarshi bo'lgan ikkita qiymatini olsak, x Va - x, aylananing mos nuqtalarini toping A x Va A-x. Shaklda ko'rsatilganidek. 3 ularning o'qga proyeksiyasi Oh bir xil nuqtadir M. Shunung uchun
chunki (- x) = cos ( x),
bular. kosinus juft funktsiya, f(–x) = f(x).
Shunday qilib, biz funktsiyaning xususiyatlarini o'rganishimiz mumkin y= cos X segmentida , keyin esa uning pariteti va davriyligini hisobga oladi.
Da X= 0 ball A eksa ustida yotadi Oh, uning abscissasi 1 ga teng, shuning uchun cos 0 = 1. O'sish bilan X nuqta A aylana bo'ylab yuqoriga va chapga harakat qiladi, uning proyeksiyasi, albatta, faqat chapga va x = uchun p/2 kosinus 0 ga aylanadi. Nuqta A bu vaqtda u maksimal balandlikka ko'tariladi va keyin chapga o'tishda davom etadi, lekin allaqachon pastga tushadi. Uning abtsissasi -1 ga teng eng kichik qiymatga yetguncha kamayib boraveradi X= p. Shunday qilib, segmentda funktsiya da= cos X monoton ravishda 1 dan –1 gacha kamayadi (4, 5-rasm).
Kosinusning paritetidan kelib chiqadiki, [-] oralig'ida p, 0] boʻlsa, funktsiya monoton ravishda –1 dan 1 gacha ortadi va shu nuqtada nol qiymatini oladi. x =–p/2. Agar siz bir nechta davrlarni olsangiz, siz to'lqinli egri olasiz (6-rasm).
Shunday qilib, funktsiya y= cos x nuqtalarda nol qiymatlarni oladi X= p/2 + kp, Qayerda k- har qanday butun son. Nuqtalarda 1 ga teng maksimallarga erishiladi X= 2kp, ya'ni. 2-bosqich bilan p, va nuqtalarda minimal -1 ga teng X= p + 2kp.
y \u003d sin x funktsiyasi.
Birlik aylanasida x 0 nuqtaga mos keladi A(7-rasm), va uning o'qga proyeksiyasi OU nuqta bo'ladi N.V funktsiya qiymati y 0 = gunoh x0 nuqtaning ordinatasi sifatida aniqlanadi A. Nuqta IN(burchak x 0 ,da 0) funksiya grafigiga tegishli y= gunoh x(8-rasm). Funktsiya ekanligi aniq y= gunoh x davriy, uning davri 2 p:
gunoh( x+ 2p) = gunoh ( x).
Ikki argument qiymati uchun, X Va -, ularning tegishli nuqtalarining proyeksiyalari A x Va A-x aks boshiga OU nuqtaga nisbatan simmetrik joylashgan HAQIDA. Shunung uchun
gunoh (- x) = -sin ( x),
bular. sinus toq funksiya, f(– x) = –f( x) (9-rasm).
Agar nuqta A nuqta atrofida aylantiring HAQIDA burchakda p/2 soat sohasi farqli o'laroq (boshqacha aytganda, agar burchak X ga oshirish p/2), keyin uning yangi pozitsiyadagi ordinatasi eskisidagi abscissaga teng bo'ladi. Bu degani
gunoh( x+ p/2) = cos x.
Aks holda, sinus kosinus bo'lib, "kechiktirilgan" p/2, chunki argument ga ortganda har qanday kosinus qiymati sinusda "takrorlanadi" p/2. Sinus grafigini qurish uchun esa kosinus grafigini siljitish kifoya p/2 o'ngga (10-rasm). Sinusning o'ta muhim xususiyati tenglik bilan ifodalanadi
Tenglikning geometrik ma'nosini rasmda ko'rish mumkin. 11. Mana X - bu kamonning yarmi AB, va gunoh X - mos keladigan akkordning yarmi. Shubhasiz, nuqtalar yaqinlashganda A Va IN akkord uzunligi yoy uzunligiga tobora yaqinlashmoqda. Xuddi shu raqamdan tengsizlikni chiqarish oson
|gunoh x| x|, har qanday uchun amal qiladi X.
Formula (*) matematiklar tomonidan ajoyib chegara deb ataladi. Undan, xususan, o'sha gunoh kelib chiqadi X» X kichikda X.
Funksiyalar da=tg x, y=ctg X. Yana ikkita trigonometrik funktsiyani - tangens va kotangentni sinus va kosinus nisbati sifatida aniqlash oson:
Sinus va kosinus kabi, tangens va kotangens davriy funktsiyalardir, lekin ularning davrlari tengdir p, ya'ni. ular sinus va kosinusning yarmiga teng. Buning sababi aniq: agar sinus va kosinus ikkalasi ham belgilarni o'zgartirsa, ularning nisbati o'zgarmaydi.
Tangensning maxrajida kosinus mavjud bo'lganligi sababli, kosinus 0 bo'lgan nuqtalarda tangens aniqlanmaydi. X= p/2 +kp. Boshqa barcha nuqtalarda u monoton ravishda oshadi. To'g'ridan-to'g'ri X= p/2 + kp tangens uchun vertikal asimptotlar. Nuqtalarda kp tangens va qiyalik mos ravishda 0 va 1 ga teng (12-rasm).
Kotangent sinus 0 bo'lgan joyda aniqlanmagan (qachon x = kp). Boshqa nuqtalarda u monoton ravishda kamayadi va chiziqlar x = kp – uning vertikal asimptotalari. Nuqtalarda x = p/2 +kp kotangens 0 ga aylanadi va bu nuqtalarda qiyalik -1 ga teng (13-rasm).
Paritet va davriylik.
Agar funktsiya chaqiriladi f(–x) = f(x). Kosinus va sekant funksiyalar juft, sinus, tangens, kotangent va kosekant funksiyalari toq:
| sin(-a) = -sina | tg (–a) = –tg a |
| cos(-a) = cosa | ctg(-a) = -ctga |
| sek(-a) = seka | kosek (–a) = – kosek a |
Paritet xossalari nuqtalarning simmetriyasidan kelib chiqadi P a va R-a (14-rasm) eksa haqida X. Bunday simmetriya bilan nuqta ordinatasi belgini o'zgartiradi (( X;da) boradi ( X; -y)). Barcha funktsiyalar - davriy, sinus, kosinus, sekant va kosekantning davri 2 ga teng p, va tangens va kotangens - p:
| gunoh (a + 2 kp) = sina | cos (a + 2 kp) = kosa |
| sarg'ish (a + kp) = tga | ctg(a + kp) = ctga |
| sek (a + 2 kp) = sek | kosek (a + 2 kp) = koseka |
Sinus va kosinusning davriyligi barcha nuqtalardan kelib chiqadi P a + 2 kp, Qayerda k= 0, ±1, ±2,…, mos keladi va tangens va kotangensning davriyligi nuqtalar bilan bog'liq. P a + kp navbatma-navbat aylananing diametrli qarama-qarshi ikkita nuqtasiga tushib, tangenslar o'qida bir xil nuqtani beradi.
Trigonometrik funktsiyalarning asosiy xususiyatlarini jadvalda umumlashtirish mumkin:
| Funktsiya | Domen | Ko'p qadriyatlar | Paritet | Monotonlik sohalari ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| gunoh x | –H x Ґ | [–1, +1] | g'alati | bilan ortadi x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), kabi kamayadi x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2) |
| cos x | –H x Ґ | [–1, +1] | hatto | Bilan ortadi x O((2 k – 1) p, 2kp), da kamayadi x Oh (2 kp, (2k + 1) p) |
| tg x | x № p/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | g'alati | bilan ortadi x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | g'alati | da kamayadi x HAQIDA ( kp, (k + 1) p) |
| sek x | x № p/2 + p k | (–H , –1] VA [+1, +H ) | hatto | Bilan ortadi x Oh (2 kp, (2k + 1) p), da kamayadi x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| sabab x | x № p k | (–H , –1] VA [+1, +H ) | g'alati | bilan ortadi x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), kabi kamayadi x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Quyma formulalari.
Ushbu formulalarga ko'ra, a argumentining trigonometrik funktsiyasining qiymati, bu erda p/2 a p , a argumenti funksiyasining qiymatiga qisqartirilishi mumkin, bu erda 0 a p /2, ham bir xil, ham unga qo'shimcha.
| Argument b |  – a |
+a | p– a | p+a | +a | +a | 2p– a |
| sinb | chunki a | chunki a | gunoh a | - gunoh a | -cos a | -cos a | - gunoh a |
| cosb | gunoh a | - gunoh a | -cos a | -cos a | - gunoh a | gunoh a | chunki a |
Shuning uchun trigonometrik funktsiyalar jadvallarida qiymatlar faqat o'tkir burchaklar uchun berilgan va o'zimizni, masalan, sinus va tangens bilan cheklash kifoya. Jadvalda faqat sinus va kosinus uchun eng ko'p ishlatiladigan formulalar mavjud. Ulardan tangens va kotangens formulalarini olish oson. Formaning argumentidan funktsiyani translyatsiya qilishda kp/2 ± a , bu erda k a argumentidan funktsiyaga butun sondir:
1) agar funksiya nomi saqlanadi k juft va agar "to'ldiruvchi" ga o'zgaradi k g'alati;
2) o'ng tomondagi ishora nuqtadagi kamaytiruvchi funksiya belgisi bilan mos keladi kp/2 ± a burchak a o'tkir bo'lsa.
Masalan, ctg ni quyishda (a - p/2) ishonch hosil qiling a - p/2 da 0 a p /2 to'rtinchi kvadrantda yotadi, bu erda kotangent manfiy bo'ladi va 1-qoidaga ko'ra biz funktsiya nomini o'zgartiramiz: ctg (a - p/2) = –tg a .
Qo'shish formulalari.
Ko'p burchakli formulalar.
Ushbu formulalar to'g'ridan-to'g'ri qo'shimcha formulalardan olingan:
sin 2a \u003d 2 sin a cos a;
cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;
gunoh 3a \u003d 3 gunoh a - 4 gunoh 3 a;
cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;
Cos 3a formulasidan Fransua Vyet kubik tenglamani yechishda foydalangan. U birinchi bo'lib cos iboralarini topdi n a va gunoh n a , ular keyinchalik De Moivr formulasidan oddiyroq usulda olingan.
Ikki argumentli formulalarda a ni /2 bilan almashtirsangiz, ular yarim burchakli formulalarga aylantirilishi mumkin:
Universal almashtirish formulalari.
Ushbu formulalardan foydalanib, bir xil argumentdan turli trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ifoda bitta funktsiyadan ratsional ifoda sifatida qayta yozilishi mumkin tg (a / 2), bu ba'zi tenglamalarni echishda foydalidir:
 |
|
 |
 |
Yig‘indini mahsulotga, mahsulotlarni esa summaga aylantirish formulalari.
Kompyuterlar paydo bo'lishidan oldin bu formulalar hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ishlatilgan. Hisob-kitoblar logarifmik jadvallar yordamida amalga oshirildi va keyinchalik - slayd qoidasi, chunki. logarifmlar raqamlarni ko'paytirish uchun eng mos keladi, shuning uchun barcha asl iboralar logarifmlar uchun qulay shaklga qisqartirildi, ya'ni. kabi ishlar uchun:
2 gunoh a sin b = cos ( a-b) - chunki ( a+b);
2 cos a cos b= chunki ( a-b) + cos( a+b);
2 gunoh a cos b= gunoh ( a-b) + gunoh ( a+b).
Tangens va kotangens funksiyalar formulalarini yuqoridagilardan olish mumkin.
Darajani pasaytirish formulalari.
Bir nechta argument formulalaridan formulalar olinadi:
| gunoh 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| gunoh 3 a \u003d (3 sin a - gunoh 3a) / 4; | cos 3 a = (3 cos a + cos3 a)/4. |
Bu formulalar yordamida trigonometrik tenglamalarni past darajali tenglamalarga keltirish mumkin. Xuddi shu tarzda, sinus va kosinusning yuqori kuchlari uchun kamaytirish formulalari olinishi mumkin.
| Trigonometrik funksiyalarning hosilalari va integrallari | |
| (gunoh x)` = cos x; | (chunki x)` = -sin x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t gunoh x dx= -cos x + C; | t cos x dx= gunoh x + C; |
| t tg x dx= –ln |cos x| + C; | t ctg x dx = ln|sin x| + C; |
Har bir trigonometrik funktsiya o'z ta'rif sohasining har bir nuqtasida uzluksiz va cheksiz differensiallanadi. Bundan tashqari, trigonometrik funktsiyalarning hosilalari trigonometrik funktsiyalar bo'lib, integrallashganda trigonometrik funktsiyalar yoki ularning logarifmlari ham olinadi. Trigonometrik funksiyalarning ratsional birikmalarining integrallari har doim elementar funksiyalardir.
Trigonometrik funktsiyalarni darajalar qatori va cheksiz hosilalar ko'rinishida ko'rsatish.
Barcha trigonometrik funktsiyalar kuch qatorlariga kengaytirilishi mumkin. Bunday holda, funktsiyalar sinadi x b cos x qatorlarda paydo bo'ladi. barcha qiymatlar uchun konvergent x:
Bu qatorlar gunohning taxminiy ifodalarini olish uchun ishlatilishi mumkin x va cos x kichik qiymatlar uchun x:
da | x| p/2;
0x | da p
(B n - Bernulli raqamlari).
gunoh funktsiyalari x va cos x cheksiz mahsulot sifatida ifodalanishi mumkin:
Trigonometrik tizim 1, cos x, gunoh x, chunki 2 x, gunoh 2 x, ¼, cos nx, gunoh nx, ¼, [– oraliqda shakllanadi p, p] funksiyalarning ortogonal tizimi, bu funksiyalarni trigonometrik qatorlar shaklida ifodalash imkonini beradi.
haqiqiy argumentning tegishli trigonometrik funksiyalarining murakkab tekislikka analitik davomi sifatida aniqlanadi. Ha, gunoh z va cos z gunoh uchun qatorlar yordamida aniqlanishi mumkin x va cos x, agar o'rniga x qo'yish z:
Bu ketma-ketlik butun tekislikda birlashadi, shuning uchun gunoh z va cos z butun funksiyalardir.
Tangens va kotangens quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
tg funktsiyalari z va ctg z meromorf funksiyalardir. Polyaklar tg z va sek z oddiy (1-tartib) va nuqtalarda joylashgan z=p/2 + pn, ctg ustunlari z va kosek z ham oddiy va nuqtalarda joylashgan z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Haqiqiy argumentning trigonometrik funktsiyalari uchun amal qiladigan barcha formulalar murakkab uchun ham amal qiladi. Ayniqsa,
gunoh (- z) = -sin z,
chunki (- z) = cos z,
tg(- z) = –tg z,
ctg (- z) = -ctg z,
bular. juft va toq paritet saqlanib qoladi. Formulalar ham saqlanadi
gunoh( z + 2p) = gunoh z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,
bular. davriylik ham saqlanib qoladi va davrlar haqiqiy argumentning funktsiyalari bilan bir xil.
Trigonometrik funktsiyalarni sof xayoliy argumentning eksponensial funktsiyasi bilan ifodalash mumkin:
Orqaga, e iz cos bilan ifodalanadi z va gunoh z formula bo'yicha:
e iz= cos z + i gunoh z
Bu formulalar Eyler formulalari deb ataladi. Leonhard Eyler ularni 1743 yilda tanishtirdi.
Trigonometrik funksiyalarni giperbolik funksiyalar bilan ham ifodalash mumkin:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
Bu yerda sh, ch va th giperbolik sinus, kosinus va tangens.
Murakkab argumentning trigonometrik funktsiyalari z = x + iy, Qayerda x Va y- haqiqiy sonlar, haqiqiy argumentlarning trigonometrik va giperbolik funktsiyalari bilan ifodalanishi mumkin, masalan:
gunoh( x+iy) = gunoh x ch y + i cos x sh y;
chunki ( x+iy) = cos x ch y + i gunoh x sh y.
Murakkab argumentning sinusi va kosinusu mutlaq qiymatda 1 dan katta haqiqiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan:
Agar noma’lum burchak tenglamaga trigonometrik funksiyalarning argumenti sifatida kirsa, u holda tenglama trigonometrik deyiladi. Bunday tenglamalar shunchalik keng tarqalganki, ularning usullari echimlar juda batafsil va ehtiyotkorlik bilan ishlab chiqilgan. BILAN turli usullar va formulalar yordamida trigonometrik tenglamalar shakldagi tenglamalarga keltiriladi f(x)= a, Qayerda f- eng oddiy trigonometrik funktsiyalardan har qanday: sinus, kosinus, tangens yoki kotangens. Keyin argumentni bildiring x bu funktsiya ma'lum qiymati orqali A.
Trigonometrik funktsiyalar davriy bo'lgani uchun bir xil A qiymatlar oralig'idan argumentning cheksiz ko'p qiymatlari mavjud va tenglamaning yechimini bitta funktsiya sifatida yozib bo'lmaydi. A. Shuning uchun, asosiy trigonometrik funksiyalarning har birining ta'rif sohasi bo'limida uning barcha qiymatlarini, har biri faqat bir marta oladigan bo'lim tanlanadi va bu bo'limda unga teskari funktsiya topiladi. Bunday funktsiyalar asl funktsiya nomiga arc (yoy) prefiksini qo'yish orqali belgilanadi va teskari trigonometrik deyiladi. funktsiyalari yoki shunchaki yoy funksiyalari.
Teskari trigonometrik funksiyalar.
Gunoh uchun X, cos X, tg X va ctg X teskari funksiyalarni aniqlash mumkin. Ular mos ravishda arcsin bilan belgilanadi X("arksin" o'qing x"), arkos x, arctg x va arcctg x. Ta'rifga ko'ra, arcsin X shunday raqam bor y, Nima
gunoh da = X.
Xuddi shu narsa boshqa teskari trigonometrik funktsiyalar uchun ham amal qiladi. Ammo bu ta'rif ba'zi noaniqliklardan aziyat chekmoqda.
Agar biz gunohni aks ettirsak X, cos X, tg X va ctg X koordinata tekisligining birinchi va uchinchi kvadrantlarining bissektrisasiga nisbatan, keyin funksiyalar davriyligi tufayli noaniq bo'ladi: bir xil sinus (kosinus, tangens, kotangens) cheksiz sonli burchakka mos keladi.
Noaniqlikdan xalos bo'lish uchun kengligi bo'lgan egri chiziqning bir qismi p, holbuki, argument va funktsiya qiymati o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik kuzatilishi kerak. Kelib chiqishi yaqinidagi joylar tanlangan. Sinus uchun segment "bir-bir interval" sifatida [- p/2, p/2], bunda sinus monoton ravishda –1 dan 1 gacha ortadi, kosinus uchun - segment , tangens va kotangens uchun mos ravishda intervallar (– p/2, p/2) va (0, p). Intervaldagi har bir egri chiziq bissektrisa haqida aks ettiriladi va endi siz teskari trigonometrik funktsiyalarni belgilashingiz mumkin. Masalan, argument qiymati berilsin x 0, shunday qilib, 0 J x 0 Ј 1. Keyin funksiyaning qiymati y 0 = arksin x 0 yagona qiymat bo'ladi da 0 , shu kabi - p/2 J da 0 Ј p/2 va x 0 = gunoh y 0 .
Shunday qilib, arksinus arksin funktsiyasidir A, [–1, 1] oraliqda aniqlangan va har biri uchun teng A bunday qiymat a, - p/2 a p /2 bu gunoh a = A. Uni birlik doirasi yordamida tasvirlash juda qulay (15-rasm). Qachon | a| 1 aylanada ordinatali ikkita nuqta bor a, o'qga nisbatan simmetrik y. Ulardan biri burchakdir a= arksin A, ikkinchisi esa burchakdir p - a. BILAN sinusning davriyligini hisobga olish, sin tenglamani yechish x= A quyidagicha yoziladi:
x =(–1)n ark gunoh a + 2p n,
Qayerda n= 0, ±1, ±2,...
Boshqa oddiy trigonometrik tenglamalar ham yechilgan:
cos x = a, –1 =a= 1;
x=±arcos a + 2p n,
Qayerda P= 0, ±1, ±2,... (16-rasm);
tg X = a;
x= arctg a + p n,
Qayerda n = 0, ±1, ±2,... (17-rasm);
ctg X= A;
X= arcctg a + p n,
Qayerda n = 0, ±1, ±2,... (18-rasm).
Teskari trigonometrik funktsiyalarning asosiy xususiyatlari:
ark gunoh X(19-rasm): ta'rif sohasi segment [–1, 1]; diapazon - [- p/2, p/2], monoton ortib borayotgan funksiya;
arccos X(20-rasm): ta'rif sohasi segment [–1, 1]; qiymatlar diapazoni - ; monoton kamayuvchi funktsiya;
arctg X(21-rasm): ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar; qiymatlar oralig'i - interval (- p/2, p/2); monoton ravishda ortib borayotgan funktsiya; Streyt da= –p/2 va y \u003d p / 2 - gorizontal asimptotlar;
arcctg X(22-rasm): ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar; qiymatlar oralig'i - interval (0, p); monoton kamayuvchi funktsiya; Streyt y= 0 va y = p gorizontal asimptotlardir.
Chunki murakkab argument sin trigonometrik funktsiyalari z va cos z(haqiqiy argumentning funktsiyalaridan farqli o'laroq) barcha murakkab qiymatlarni oladi, keyin tenglamalar sin z = a va cos z = a har qanday kompleks uchun echimlarga ega a x Va y haqiqiy sonlar, tengsizliklar mavjud
½| e\ey–e-y| ≤|gunoh z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
shundan y® Ґ asimptotik formulalar (ga nisbatan bir xil). x)
|gunoh z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Trigonometrik funktsiyalar birinchi marta astronomiya va geometriyadagi tadqiqotlar bilan bog'liq holda paydo bo'ldi. Trigonometrik funktsiyalar bo'lgan uchburchak va aylana segmentlarining nisbati 3-asrda allaqachon topilgan. Miloddan avvalgi e. Qadimgi Yunoniston matematiklarining asarlarida – Evklid, Arximed, Pergalik Apolloniy va boshqalar, ammo bu nisbatlar mustaqil tadqiqot ob'ekti bo'lmagan, shuning uchun ular trigonometrik funktsiyalarni o'rganmaganlar. Ular dastlab segmentlar deb hisoblangan va bu shaklda Aristarx (miloddan avvalgi 4-asr oxiri - 3-asrning 2-yarmi), Gipparx (miloddan avvalgi 2-asr), Menelaus (milodiy 1-asr) va Ptolemey (milodiy 2-asr) tomonidan ishlatilgan. sferik uchburchaklarni yechish. Ptolemey 10 -6 aniqlik bilan 30 orqali o'tkir burchaklar uchun akkordlarning birinchi jadvalini tuzdi. Bu sinuslarning birinchi jadvali edi. O'zaro nisbat sifatida sin a funktsiyasi allaqachon Ariabxatada (5-asr oxiri) topilgan. tg a va ctg a funksiyalari al- Battani (IX asrning 2-yarmi — 10-asr boshlari) va Abul-Vefada (10-asr) uchraydi, u ham sek a va cosec a dan foydalanadi... Aryabxata formulani allaqachon bilar edi ( sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1, shuningdek, yarim burchakli sin va cos formulalari, ular yordamida u 3 ° 45 "gacha bo'lgan burchaklar uchun sinuslar jadvallarini tuzdi; eng oddiy argumentlar uchun trigonometrik funktsiyalarning ma'lum qiymatlariga asoslanadi. Bxaskara (12-asr) qoʻshish formulalari yordamida 1-sonli jadvallar tuzish usulini bergan. Turli argumentlarning trigonometrik funksiyalarining yigʻindisi va ayirmasini koʻpaytmaga aylantirish formulalari Regiomontanus (15-asr) va J.Napier tomonidan logarifmlar ixtirosi (1614) munosabati bilan olingan. Regiomontanus 1 "orqali sinus qiymatlari jadvalini berdi. Trigonometrik funktsiyalarning darajali qatorlarga kengayishi I. Nyuton (1669) tomonidan olingan. L. Eyler (18-asr) trigonometrik funktsiyalar nazariyasini zamonaviy shaklga olib keldi. U sinuslar va kosinalar tizimining eksponentsial funktsiyasi va ortogonalligi bilan bog'liqlikni o'rnatadigan, hozirda qabul qilingan simvolizmning haqiqiy va murakkab dalillarga ta'rifiga ega.
|BD| - markazi A nuqtada joylashgan aylana yoyi uzunligi.
a - radianlarda ifodalangan burchak.
tangent ( tga) trigonometrik funksiya boʻlib, gipotenuza va toʻgʻri burchakli uchburchakning oyogʻi orasidagi a burchakka bogʻliq boʻlib, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| qo'shni oyoqning uzunligiga |AB| .
kotangent ( ctga) gipotenuza va to‘g‘ri burchakli uchburchakning oyog‘i orasidagi a burchakka bog‘liq bo‘lgan trigonometrik funksiya bo‘lib, qo‘shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| qarama-qarshi oyoq uzunligiga |BC| .
Tangent
Qayerda n- butun.
G'arb adabiyotida tangens quyidagicha belgilanadi:
.
;
;
.
Tangens funksiyaning grafigi, y = tg x
Kotangent
Qayerda n- butun.
G'arb adabiyotida kotangens quyidagicha belgilanadi:
.
Quyidagi belgi ham qabul qilindi:
;
;
.
Kotangens funksiyaning grafigi, y = ctg x
Tangens va kotangensning xossalari
Davriylik
Funktsiyalar y= tg x va y= ctg x p davri bilan davriydir.
Paritet
Tangens va kotangens funksiyalari toq.
Ta'rif va qiymat sohalari, o'sish, pasayish
Tangens va kotangens funksiyalar aniqlanish sohasi bo'yicha uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Tangens va kotangensning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan ( n- butun).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Qamrov va davomiylik | ||
| Qiymatlar diapazoni | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Ko'tarilish | - | |
| Pastga | - | |
| Ekstremal | - | - |
| Nollar, y= 0 | ||
| Y o'qi bilan kesishish nuqtalari, x = 0 | y= 0 | - |
Formulalar
Sinus va kosinus bilan ifodalangan ifodalar
;
;
;
;
;
Yig'indi va ayirmaning tangensi va kotangensi uchun formulalar
Masalan, qolgan formulalarni olish oson
Tangenslar mahsuloti
Tangenslar yig‘indisi va ayirmasi formulasi
Ushbu jadval argumentning ba'zi qiymatlari uchun tangens va kotangentlarning qiymatlarini ko'rsatadi. 
Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar
Giperbolik funktsiyalar nuqtai nazaridan ifodalar
;
;
Hosilalar
; .
.
Funktsiyaning x o'zgaruvchisiga nisbatan n-darajali hosila:
.
Tangens uchun formulalarni chiqarish > > > ; kotangent uchun > > >
Integrallar
Seriyalarga kengaytmalar
X kuchida tangensning kengayishini olish uchun siz funktsiyalar uchun darajalar qatoridagi kengayishning bir necha shartlarini olishingiz kerak. gunoh x Va chunki x va bu ko'phadlarni bir-biriga bo'ling, . Buning natijasida quyidagi formulalar olinadi.
Da .
da .
Qayerda B n- Bernoulli raqamlari. Ular yoki takrorlanish munosabatidan aniqlanadi:
;
;
Qayerda.
Yoki Laplas formulasiga ko'ra: 
Teskari funksiyalar
Tangens va kotangensga teskari funksiyalar mos ravishda arktangens va arkkotangensdir.
Arktangens, arctg
, Qayerda n- butun.
Yoy tangensi, arkktg
, Qayerda n- butun.
Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.
G. Korn, Tadqiqotchilar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma, 2012 yil.
Asosiy tushunchalar
Keling, ta'riflardan boshlaylik juft, toq va davriy funksiyalar.
Ta'rif 2
Juft funksiya - mustaqil o'zgaruvchining belgisi o'zgarganda o'z qiymatini o'zgartirmaydigan funksiya:
Ta'rif 3
Muayyan vaqt oralig'ida o'z qiymatlarini takrorlaydigan funksiya:
T - funksiyaning davri.
Juft va toq trigonometrik funksiyalar
Quyidagi rasmni ko'rib chiqing (1-rasm):
1-rasm.
Bu yerda $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ va $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ $Ox$ oʻqiga nisbatan simmetrikdir. vektorlar yagona uzunligi.
Shubhasiz, ushbu vektorlarning koordinatalari quyidagi munosabatlar bilan bog'liq:
Sinus va kosinusning trigonometrik funktsiyalarini birlik trigonometrik doira yordamida aniqlash mumkin bo'lganligi sababli, sinus funktsiyasi toq, kosinus funksiyasi esa juft funktsiya bo'ladi, ya'ni:
Trigonometrik funksiyalarning davriyligi
Quyidagi rasmni ko'rib chiqing (2-rasm).
2-rasm.
Bu yerda $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ - birlik uzunlikdagi vektor.
$\overrightarrow(OA)$ vektori bo'yicha to'liq burilish qilaylik. Ya'ni, berilgan vektorni $2\pi $ radianga aylantiramiz. Shundan so'ng vektor to'liq asl holatiga qaytadi.
Sinus va kosinusning trigonometrik funktsiyalari birlik trigonometrik doira yordamida aniqlanishi mumkinligi sababli, biz buni olamiz.
Ya'ni, sinus va kosinus funktsiyalari davriy funksiyalar eng kichik davri $T=2\pi $.
Endi tangens va kotangensning funktsiyalarini ko'rib chiqing. $tgx=\frac(sinx)(cosx)$ ekan, keyin
$ctgx=\frac(cosx)(sinx)$ ekan, keyin
Trigonometrik funksiyalarning juft, toq va davriyligidan foydalanishga oid masalalarga misollar
1-misol
Quyidagi dalillarni isbotlang:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Tangens minimal davri $(360)^0$ bo'lgan davriy funksiya bo'lgani uchun biz olamiz
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Kosinus teng va davriy funktsiya bo'lib, minimal davri $2\pi $ bo'lganligi sababli, biz olamiz
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Sinus toq va davriy funktsiya bo'lib, minimal davri $(360)^0$ bo'lganligi sababli, biz olamiz
