3 dan turli darajada. Kuchlar va ildizlarning formulalari. Arifmetik progressiyaning xossalari

7-11-SINFLAR UCHUN ALGEBRA FANIDAN MA'LUMOT MA'LUMOT.

Hurmatli ota-onalar! Farzandingiz uchun matematika o'qituvchisi qidirayotgan bo'lsangiz, bu e'lon siz uchun. Men Skype repetitorligini taklif qilaman: OGE, Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik, bilimlardagi kamchiliklarni bartaraf etish. Sizning afzalliklaringiz aniq:

1) Farzandingiz uyda va siz unga xotirjam bo'lishingiz mumkin;

2) Mashg'ulotlar bola uchun qulay vaqtda o'tkaziladi va siz hatto ushbu darslarga qatnashishingiz mumkin. Men oddiy maktab doskasida oddiy va aniq tushuntiraman.

3) Skype darslarining boshqa muhim afzalliklari haqida o'zingiz o'ylab ko'rishingiz mumkin!

  • Ish n omillar, ularning har biri teng A chaqirdi n-sonning darajasi A va belgilandi An.
  • Bir nechta teng omillarning ko'paytmasini topish operatsiyasi darajaga ko'tarish deyiladi. Bir kuchga ko'tarilgan raqam kuchning asosi deb ataladi. Baza qanday quvvatga ko'tarilganligini ko'rsatadigan raqam ko'rsatkich deyiladi. Shunday qilib, An- daraja, A- daraja bazasi n- ko'rsatkich.
  • va 0 =1
  • a 1 = a
  • a m∙ a n= a m + n
  • a m: a n= a m — n
  • (a m) n= amn
  • (a ∙ b) n =a n ∙ b n
  • (a/ b) n= a n/ b n Kasrni darajaga ko'tarishda kasrning soni ham, maxraji ham shu darajaga ko'tariladi.
  • (- n) -chi darajali (n - natural) sonlar A, nolga teng emas, son ning o'zaro nisbati hisoblanadi n-sonning darajasi A, ya'ni. . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
  • (a/ b) — n=(b/ a) n
  • Tabiiy darajali darajaning xossalari har qanday darajali darajalar uchun ham amal qiladi.

Juda katta va juda kichik raqamlar odatda standart shaklda yoziladi: a∙10 n, Qayerda 1≤a<10 Va n(tabiiy yoki butun) - standart shaklda yozilgan sonning tartibi.

  • Ko‘paytirish yordamida sonlar, o‘zgaruvchilar va ularning darajalaridan tuzilgan iboralar monomiylar deyiladi.
  • Raqamli koeffitsient (koeffitsient) birinchi o'rinda, keyin o'z kuchlari bilan o'zgaruvchilar qo'yilganda, monomialning bunday turi standart turdagi monomial deb ataladi. Monomialni tashkil etuvchi barcha o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari yig'indisi monomial darajasi deb ataladi.
  • Harf qismi bir xil bo'lgan monomlar o'xshash monomlar deyiladi.
  • Monomiylar yig'indisi ko'phad deyiladi. Ko'phadni tashkil etuvchi monomlar ko'phadning a'zolari deyiladi.
  • Ikki a'zodan (monomiallardan) tashkil topgan ko'phadga binom deyiladi.
  • Uch a'zo - bu uchta haddan (monomiallardan) iborat ko'phad.
  • Ko'phadning darajasi uning monomlarining darajalari ichida eng kattasidir.
  • Standart shaklli ko'phad bunday atamalarni o'z ichiga olmaydi va uning hadlari vakolatlarining kamayish tartibida yoziladi.
  • Monomiyni ko'phadga ko'paytirish uchun ko'phadning har bir hadini shu monomga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni qo'shish kerak.
  • Ko'phadni ikki yoki undan ortiq ko'phadning ko'paytmasi sifatida ko'rsatish ko'phadni faktoring deb ataladi.
  • Qavslar ichidan umumiy ko‘paytuvchini olish ko‘phadni faktorlarga ajratishning eng oddiy usuli hisoblanadi.
  • Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini boshqa ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish va hosil bo'lgan ko'paytmalarni monomlar yig'indisi sifatida yozish kerak. Agar kerak bo'lsa, o'xshash shartlarni qo'shing.
  • (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Ikki ifoda yig'indisining kvadrati birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko‘paytmasiga va ikkinchisi plyus ikkinchi ifodaning kvadratiga teng.
  • (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Ikki ifoda ayirmasining kvadrati birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki baravar ko‘paytmasi va ikkinchisi plyus ikkinchi ifodaning kvadratiga teng.
  • a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Ikki ifoda kvadratlarining farqi ifodalarning o‘zi va yig‘indisi o‘rtasidagi farqning ko‘paytmasiga teng.
  • (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Ikki ifoda yig'indisining kubi birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifodaning uch karra kvadratiga ikkinchi va birinchi ifodaning uch karra ko‘paytmasi ikkinchi ifodaning kvadratiga va ikkinchi ifoda kubiga teng.
  • (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Ikki ifodaning farq kubi birinchi ifodaning kubini minus birinchi ifoda kvadratining ko‘paytmasining uch marta va ikkinchi plyus birinchi ifodaning ko‘paytmasining uch karrasini va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchi ifodaning kubining ko‘paytmasiga teng.
  • a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Ikki ifodaning kublari yig'indisi ifodalarning o‘zlari yig‘indisi va ularning ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratining ko‘paytmasiga teng.
  • a 3 -b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2) Ikki ifodali kublarning farqi ifodalarning o‘zlari va yig‘indisining to‘liqsiz kvadrati ayirmasining ko‘paytmasiga teng.
  • (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Uchta ifoda yig‘indisining kvadrati bu iboralarning kvadratlari yig'indisiga va iboralarning barcha mumkin bo'lgan ikkilangan juft ko'paytmalariga teng.
  • Malumot. Ikki ifoda yig'indisining to'liq kvadrati: a 2 + 2ab + b 2

Ikki ifoda yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati: a 2 + ab + b 2

Ko'rish funktsiyasi y=x2 kvadrat funksiya deyiladi. Kvadrat funksiyaning grafigi boshida tepasi bo'lgan paraboladir. Parabola shoxlari y=x² yuqoriga yo'naltirilgan.

Ko'rish funktsiyasi y=x 3 kub funksiyasi deyiladi. Kub funktsiyaning grafigi koordinata boshidan o'tuvchi kubik paraboladir. Kub parabolaning shoxlari y=x³ I va III choraklarda joylashgan.

Hatto funktsiya.

Funktsiya f o'zgaruvchining har bir qiymati bilan birga bo'lsa ham deyiladi X -X f(- x)= f(x). Juft funksiya grafigi y o'qiga nisbatan simmetrikdir. y=x 2 funksiyasi juft.

g'alati funktsiya.

Funktsiya f o'zgaruvchining har bir qiymati bilan birga agar toq deyiladi X funktsiya qiymati doirasidan ( -X) ham ushbu funktsiya doirasiga kiradi va quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi: f(- x)=- f(x) . Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir. y=x 3 funksiya toq.

Kvadrat tenglama.

Ta'rif. Tenglama turi ax2+bx+c=0, Qayerda a, b Va c har qanday haqiqiy sonlar va a≠0, x o'zgaruvchiga kvadrat tenglama deyiladi.

a- birinchi koeffitsient; b ikkinchi koeffitsient, c- bepul a'zo.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish.

  • ax2=0 – to'liqsiz kvadrat tenglama (b=0, c=0 ). Yechish: x=0. Javob: 0.
  • ax2+bx=0 –to'liqsiz kvadrat tenglama (s=0 ). Yechish: x (ax+b)=0 → x 1 =0 yoki ax+b=0 → x 2 =-b/a. Javob: 0; -b/a.
  • ax2+c=0 –to'liqsiz kvadrat tenglama (b=0 ); Yechim: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Agar (-c/a)<0 , keyin haqiqiy ildizlar yo'q. Agar (-s/a)>0

  • ax2+bx+c=0- kvadrat tenglama umumiy ko'rinish

Diskriminant D \u003d b 2 - 4ac.

Agar D>0, keyin bizda ikkita haqiqiy ildiz bor:

Agar D=0, keyin bizda bitta ildiz (yoki ikkita teng ildiz) bor x=-b/(2a).

Agar D<0, то действительных корней нет.

  • ax2+bx+c=0 – kvadrat tenglama bir soniya davomida maxsus shaklda

Koeffitsient b


  • ax2+bx+c=0 – kvadrat tenglama xususiy turdagi, taqdim etiladi : a-b+c=0.

Birinchi ildiz har doim minus bitta, ikkinchi ildiz esa minus Bilan tomonidan bo'linadi A:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

  • ax2+bx+c=0 – kvadrat tenglama xususiy turdagi, taqdim etiladi: a+b+c=0 .

Birinchi ildiz har doim birga, ikkinchi ildiz esa teng Bilan tomonidan bo'linadi A:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Berilgan kvadrat tenglamalarni yechish.

  • x 2 +px+q=0 – qisqartirilgan kvadrat tenglama (birinchi koeffitsient birga teng).

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 +px+q=0 qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng va ildizlarning mahsuloti bo'sh muddatga teng:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Qayerda x 1, x 2- kvadrat tenglamaning ildizlari ax2+bx+c=0.

Natural argumentning funksiyasi sonli ketma-ketlik, ketma-ketlikni tashkil etuvchi sonlar esa ketma-ketlik a'zolari deb ataladi.

Raqamli ketma-ketlikni quyidagi usullar bilan ko'rsatish mumkin: og'zaki, analitik, takroriy, grafik.

Har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik ushbu ketma-ketlik uchun bir xil raqam bilan qo'shiladi. d arifmetik progressiya deyiladi. Raqam d arifmetik progressiyaning ayirmasi deyiladi. Arifmetik progressiyada (a n), ya'ni a'zolar bilan arifmetik progressiyada: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , … taʼrifi boʻyicha: a 2 = a 1 + d; a 3 = a 2 + d; a 4 = a 3 + d; a 5 = a 4 + d; …; a n \u003d a n-1 + d; …

Arifmetik progressiyaning n-azosining formulasi.

a n \u003d a 1 + (n-1) d.

Arifmetik progressiyaning xossalari.

  • Ikkinchidan boshlab arifmetik progressiyaning har bir a'zosi unga qo'shni a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng:

a n =(a n-1 +a n+1):2;

  • Ikkinchidan boshlab arifmetik progressiyaning har bir a'zosi undan teng masofada joylashgan a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng:

a n \u003d (a n-k + a n + k): 2.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta a'zosi yig'indisining formulalari.

1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n \u003d (2a 1 + (n-1) d) ∙ n / 2

Geometrik progressiya.

Geometrik progressiyaning ta’rifi.

Raqamli ketma-ketlik, uning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, ushbu ketma-ketlik uchun bir xil songa ko'paytiriladi. q, geometrik progressiya deyiladi. Raqam q geometrik progressiyaning maxraji deb ataladi. Eksponensial progressiyada (b n), ya'ni ko'rsatkich bo'yicha b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , … , b n , … ta'rifi bo'yicha: b 2 =b 1 ∙q; b 3 \u003d b 2 ∙q; b 4 \u003d b 3 ∙q; … ; b n \u003d b n -1 ∙q.

Geometrik progressiyaning n-azosining formulasi.

b n \u003d b 1 ∙ q n -1.

Geometrik progressiyaning xossalari.

Birinchisining yig'indisi formulasiGeometrik progressiyaning n ta sharti.

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi.

Cheksiz davriy kasr oddiy kasrga teng, uning numeratorida kasr davrigacha bo'lgan kasrdan keyingi butun son bilan kasrdan keyingi son o'rtasidagi farq bo'lib, maxraj "to'qqiz" va "nol" dan iborat bo'lib, bundan tashqari, shuncha "to'qqizlik" mavjud. ” davrdagi raqamlar qancha bo‘lsa va kasr davrigacha o‘nli kasrdan keyin shuncha raqam bo‘lsa, shuncha “nol”. Misol:

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi sinus, kosinus, tangens va kotangens.

(a+b=90°)

Bizda: sinb=cosa; cosb=sina; tgb=ctga; ctgb=tga. b=90°-a bo'lgani uchun

sin(90°-a)=cosa; cos(90°-a)=sina;

tg(90°-a)=ctga; ctg(90°-a)=tga.

90° gacha bir-birini to'ldiruvchi burchaklarning kofunktsiyalari bir-biriga teng.

Qo'shish formulalari.

9) sin(a+b)=sina∙cosb+cosa∙sinb;

10) sin(a-b)=sina∙cosb-cosa∙sinb;

11) cos(a+b)=cosa∙cosb-sina∙sinb;

12) cos(a-b)=cosa∙cosb+sina∙sinb;

Ikki va uch argument formulalari.

17) sin2a=2sinakosa; 18) cos2a=cos 2 a-sin 2 a;

19) 1+cos2a=2cos2a; 20) 1-cos2a=2sin 2a

21) sin3a=3sina-4sin 3a; 22) cos3a=4cos 3 a-3cosa;

Yig'indini (farqni) mahsulotga aylantirish formulalari.

Mahsulotni yig'indiga aylantirish formulalari (farq).

Yarim argument formulalari.

Har qanday burchakning sinusi va kosinusu.

Juft (toq) trigonometrik funksiyalar.

Trigonometrik funksiyalardan faqat bittasi juft: y=cosx, qolgan uchtasi toq, ya’ni cos (-a)=cosa;

sin(-a)=-sina; tg(-a)=-tga; ctg(-a)=-ctga.

Koordinata choraklaridagi trigonometrik funksiyalarning belgilari.

Ayrim burchaklarning trigonometrik funksiyalarining qiymatlari.

Radianlar.

1) 1 radian - uzunligi berilgan doira radiusiga teng bo'lgan yoyga asoslangan markaziy burchakning qiymati. 1 rad.≈57°.

2) Burchakning daraja o'lchovini radianga aylantirish.

3) Burchakning radian o'lchovini gradusga aylantirish.

Quyma formulalari.

Mnemonik qoida:

1. Kichraytiruvchi funksiyadan oldin kamaytiruvchining belgisini qo'ying.

2. Agar p/2 (90°) argumentining yozuvida toq marta olinsa, u holda funksiya kofunktsiyaga o'zgaradi.

Teskari trigonometrik funksiyalar.

a sonining yoyi (arksin a) [-p/2 oraliqdan burchak; p / 2], sinusi a ga teng.

ark gunoh(- a)=- ark gunoha.

a sonining arkkosinasi (arccos a) oraliqdan burchak bo'lib, uning kosinusu a ga teng.

arccos(-a)=π - arkkosa.

a sonining yoy tangensi (arctg a) oraliqdan burchak (-p / 2; p / 2), tangensi a ga teng.

arctg(- a)=- arctga.

a sonining yoy tangensi (arcctg a) kotangensi a ga teng bo'lgan (0; p) oraliqdan burchakdir.

arcctg(-a)=π – arcctg a.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

Umumiy formulalar.

1) sin t=a, 0

2) sin t = - a, 0

3) cos t=a, 0

4) cos t =-a, 0

5) tg t =a, a>0, keyin t=arctg a + pn, nsZ;

6) tg t \u003d -a, a> 0, keyin t \u003d - arctg a + pn, nsZ;

7) ctg t=a, a>0, keyin t=arcctg a + pn, nsZ;

8) ctg t= -a, a>0, keyin t=p – arcctg a + pn, nsZ.

Maxsus formulalar.

1) sin t =0, keyin t=pn, nsZ;

2) sin t=1, keyin t= p/2 +2pn, nsZ;

3) sin t= -1, keyin t= - p/2 +2pn, nsZ;

4) cos t=0, keyin t= p/2+ pn, nsZ;

5) cos t=1, keyin t=2pn, nsZ;

6) cos t=1, keyin t=p +2pn, nsZ;

7) tg t =0, keyin t = pn, nsZ;

8) ctg t=0, keyin t = p/2+pn, nsZ.

Eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish.

1) sint

2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn

3) xarajat

4) xarajat>a (|a|<1), -arccosa+2πn

5) tgt

6) tgt>a, arctga+pn

7) ctgt

8) ctgt>a, pn

Samolyotda to'g'ri chiziq.

  • To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi: Ax+By+C=0.
  • Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi: y=kx+b (k - qiyalik).
  • Y \u003d k 1 x + b 1 va y \u003d k 2 x + b 2 chiziqlari orasidagi o'tkir burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

  • k 1 \u003d k 2 - y \u003d k 1 x + b 1 va y \u003d k 2 x + b 2 parallel chiziqlar uchun shart.
  • Xuddi shu chiziqlarning perpendikulyarlik sharti:
  • Nishab k bo'lgan va u orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

M nuqtasi orqali (x 1; y 1), quyidagi shaklga ega: y-y 1 \u003d k (x-x 1).

  • Berilgan ikkita (x 1; y 1) va (x 2; y 2) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi quyidagi koʻrinishga ega:

  • M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalarda uchlari bilan M 1 M 2 segmentining uzunligi:
  • M nuqtaning koordinatalari (x o; y o) - M 1 M 2 segmentining o'rtasi

  • M 1 M 2 segmentini berilgan l nisbatda M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalari orasiga bo‘luvchi C (x; y) nuqtaning koordinatalari:

  • M(x o; y o) nuqtadan ax+by+c=0 to’g’ri chiziqgacha bo’lgan masofa:

Doira tenglamasi.

  • Koordinata boshida joylashgan doira: x 2 +y 2 =r 2, r - aylananing radiusi.
  • Markazi (a; b) nuqtada va radiusi r bo‘lgan aylana: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .

Cheklovlar.

Funksiyalar grafiklarini o'zgartirish (konstruktsiya qilish).

  • Funktsiya grafigi y=- f(x) y=f (x) funksiyaning grafigidan x o‘qidan ko‘zguda aks etish orqali olinadi.
  • Funktsiya grafigi y=| f(x)| y \u003d f (x) funksiya grafigining abscissa ostida joylashgan qismining abssissasidan ko'zguda aks etish yo'li bilan olinadi.
  • Funktsiya grafigi y= f(| x|) y=f (x) funksiya grafigidan quyidagicha olinadi: grafikning bir qismini y o‘qining o‘ng tomonida qoldirib, xuddi shu qismni y o‘qiga nisbatan o‘ziga simmetrik tarzda aks ettiring.
  • Funktsiya grafigi y= A∙ f(x) y=f (x) funksiya grafigidan y o‘qi bo‘ylab A marta cho‘zilgan holda olinadi. (y \u003d f (x) funktsiyasi grafigining har bir nuqtasining ordinatasi A soniga ko'paytiriladi).
  • Funktsiya grafigi y= f(k∙ x) y=f (x) funksiyaning grafigidan k>1 da k marta qisqarish yoki 0 da k marta cho‘zish orqali olingan.
  • Funktsiya grafigi y= f(x-m) y=f (x) funksiya grafigidan x o‘qi bo‘ylab m birlik segmentlarga parallel o‘tkazish yo‘li bilan olinadi.
  • Funktsiya grafigi y= f(x)+ n y=f (x) funksiya grafigidan y o‘qi bo‘ylab n ta birlik segmentga parallel o‘tkazish yo‘li bilan olinadi.

Davriy funktsiya.

  • Funktsiya f davriy funksiya deb ataladi T≠0, nuqtalarda bu funksiya qiymatini aniqlash sohasidan istalgan x uchun agar x, T-xVaT+ x teng, ya'ni tenglik : f(x)= f(T-x)= f(T+ x)
  • Agar funktsiya f davriy va davri bor T, keyin funksiya y= Af(k∙ x+ b), Qayerda A, k Va b doimiy, va k≠0 , ham davriydir va uning davri ga teng T/| k|.

Funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi, agar ikkinchisi nolga moyil bo'lsa, berilgan nuqtada funktsiyaning hosilasi deyiladi:

  • y=a x ko'rinishdagi funksiya, bu yerda a>0, a≠1, x har qanday son deyiladi eksponensial funktsiya.
  • Domen ko'rsatkichli funktsiya: D (y) = R - barcha haqiqiy sonlar to'plami.
  • Qiymatlar diapazoni eksponensial funksiya: E (y)= R+-barcha ijobiy raqamlar to'plami.
  • Eksponensial funktsiya y=a x a>1 uchun ortadi.
  • Eksponensial funktsiya y=a x 0 da kamayadi .

Quvvat funksiyasining barcha xossalari amal qiladi :

  • va 0 =1 Nolga teng bo'lgan har qanday raqam (noldan tashqari) birga teng.
  • a 1 = a Birinchi darajali har qanday raqam o'ziga teng.
  • a x∙ay=ax + y Bir xil asosga ega darajalarni ko'paytirishda asos bir xil bo'lib qoladi va ko'rsatkichlar qo'shiladi.
  • a x:ay=ax-y Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni bo'lishda asos bir xil bo'lib qoladi va bo'linuvchining ko'rsatkichi dividend darajasidan ayiriladi.
  • (ax) y=axy Quvvatni bir darajaga ko'tarishda asos bir xil bo'lib qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi
  • (a∙b)x=ax∙by Mahsulotni kuchga ko'tarishda omillarning har biri shu kuchga ko'tariladi.
  • (a/b)x=ax/by Kasrni darajaga ko'tarishda kasrning soni ham, maxraji ham shu darajaga ko'tariladi.
  • a -x \u003d 1 / ax
  • (a/b)-x=(b/a)x.

Raqamning logarifmi b sabab bilan A (log a b) son ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir. A raqamni olish uchun b.

log a b= n, Agar a n= b. Misollar: 1) log 2 8= 3 , chunki 2 3 =8;

2) log 5 (1/25)= -2 , chunki 5 -2 \u003d 1/5 2 \u003d 1/25; 3) log 7 1= 0 , chunki 7 0 =1.

Logarifm belgisi ostida faqat bo'lishi mumkin ijobiy raqamlar, bundan tashqari, logarifmning asosi sondir a≠1. Logarifmning qiymati har qanday raqam bo'lishi mumkin.

Bu o'ziga xoslik logarifmning ta'rifidan kelib chiqadi: chunki logarifm ko'rsatkich ( n), keyin raqamni oshirish orqali A, biz raqamni olamiz b.

asosiy logarifm 10 o'nlik logarifm deyiladi va yozishda "log" so'zining imlosida 10 ta asos va "o" harfi tushiriladi.

lg7 = log 10 7, lg7 7 sonining o'nlik logarifmi.

asosiy logarifm e(Napier soni e≈2.7) natural logarifm deyiladi.

ln7 = log e 7, ln7 7 sonining natural logarifmi.

Logarifmlarning xossalari har qanday bazaga logarifmlar uchun amal qiladi.

log a1=0 Birlikning logarifmi nolga teng (a>0, a≠1).

log a a=1 Raqamning logarifmi A sabab bilan A birga teng (a>0, a≠1).

log a (x∙y)=log a x+log a y

Mahsulotning logarifmi omillarning logarifmlari yig'indisiga teng.

log a(x/ y)= log x— log a y

Bo'limning logarifmi dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng.

log a b=log c b/log c a

Raqamning logarifmi b sabab bilan A sonning logarifmiga teng b yangi asosda Bilan eski asosning logarifmiga bo'linadi A yangi asosda Bilan.

log a b k= k∙ log a b Darajali logarifm ( b k) ko'rsatkich () ko'paytmasiga teng. k) asosning logarifmiga ( b) bu darajadagi.

log a n b=(1/ n)∙ log a b Raqamning logarifmi b sabab bilan a n kasrning mahsulotiga teng 1/ n sonning logarifmiga b sabab bilan a.

log a n b k=(k/ n)∙ log a b Formula oldingi ikkita formulaning birikmasidir.

log a r b r = log a b yoki log a b= log a r b r

Logarifmning asosi va uning belgisi ostidagi son bir xil darajaga ko'tarilsa, logarifmning qiymati o'zgarmaydi.

  • F (x) funktsiyasi ma'lum oraliqdagi f (x) funktsiyasi uchun antiderivativ deb ataladi, agar bu oraliqdagi barcha x uchun F "(x) \u003d f (x).
  • Berilgan oraliqdagi f (x) funksiya uchun har qanday antihosil F (x) + C shaklida yozilishi mumkin, bu erda F (x) f (x) funksiyaning antiderivativlaridan biri, S esa ixtiyoriy doimiydir.
  • Ko'rib chiqilayotgan intervaldagi f (x) funksiyaning barcha anti hosilalari F (x) + C to'plami noaniq integral deb ataladi va ∫f (x) dx bilan belgilanadi, bu erda f (x) integratsiya, f ( x) dx - integrand, x - o'zgaruvchan integrasiya.

1) (∫f(x)dx)"=f(x); 2) d∫f (x) dx=f (x) dx; 3) ∫kf (x) dx=k ∫f (x) dx;

4) ∫dF (x) dx=F (x)+C yoki ∫F"(x) dx=F (x)+C;

5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;

6) ∫f (kx+b) dx=(1/k) F (kx+b)+C.

Integrallar jadvali.

Inqilob tanasining hajmi.

Hurmatli saytimga tashrif buyuruvchilar, barcha matematikaning asosiy formulalari 7-11 havolani bosish orqali (to'liq bepul) olishingiz mumkin.

Hammasi algebra va geometriyada 431 ta formula mavjud. Olingan pdf faylni buklet shaklida chop etishingizni maslahat beraman. Buni qanday qilish kerak - Muvaffaqiyatli o'qishlar, do'stlar!

Quvvat formulalari murakkab ifodalarni qisqartirish va soddalashtirish jarayonida, tenglama va tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.

Raqam c hisoblanadi n-sonning darajasi a Qachon:

Darajalar bilan operatsiyalar.

1. Darajalar bir xil asosga ko'paytirilsa, ularning ko'rsatkichlari yig'iladi:

a ma n = a m + n.

2. Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi:

3. 2 yoki undan ortiq omillarning ko'paytmasi darajasi ushbu omillarning darajalari ko'paytmasiga teng:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Kasrning darajasi dividend va bo'luvchi darajalarining nisbatiga teng:

(a/b) n = a n/b n.

5. Kuchni bir darajaga ko'tarib, ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

(am) n = a m n.

Yuqoridagi har bir formula chapdan o'ngga va aksincha yo'nalishda to'g'ri.

Masalan. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Ildizlar bilan operatsiyalar.

1. Bir necha omillar hosilasining ildizi ushbu omillarning ildizlari mahsulotiga teng:

2. Nisbatning ildizi dividend va ildizlarning bo‘luvchi nisbatiga teng:

3. Ildizni bir darajaga ko'tarishda ildiz raqamini shu darajaga ko'tarish kifoya:

4. In ildizining darajasini oshirsak n bir marta va bir vaqtning o'zida ko'taring n th quvvat ildiz raqami bo'lsa, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:

5. In ildizining darajasini kamaytirsak n bir vaqtning o'zida ildiz n radikal sondan th daraja, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi:

Salbiy ko'rsatkichli daraja. Ijobiy bo'lmagan (butun) ko'rsatkichli sonning darajasi musbat bo'lmagan ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng ko'rsatkichga ega bo'lgan bir xil sonning darajasiga bo'lingan daraja sifatida aniqlanadi:

Formula a m:a n = a m - n uchungina emas, balki foydalanish mumkin m> n, lekin ayni paytda m< n.

Masalan. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formulaga a m:a n = a m - n da adolatli bo'ldi m=n, sizga nol daraja mavjudligi kerak.

Nol ko'rsatkichli daraja. Nol ko'rsatkichli har qanday nolga teng bo'lmagan sonning kuchi birga teng.

Masalan. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy raqamni oshirish uchun A darajaga qadar m/n, siz ildizni chiqarib olishingiz kerak n ning darajasi m bu raqamning kuchi A.

Barcha yangi video darslardan xabardor bo'lish uchun saytimizning youtube kanaliga.

Birinchidan, darajalarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.

Raqamning mahsuloti a o'z-o'zidan n marta sodir bo'lsa, bu ifodani a … a=a n shaklida yozishimiz mumkin

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Quvvat yoki eksponensial tenglamalar- bu o'zgaruvchilar darajalarda (yoki ko'rsatkichlarda) bo'lgan tenglamalar va asosi sondir.

Eksponensial tenglamalarga misollar:

Ushbu misolda 6 raqami asos bo'lib, u har doim pastda va o'zgaruvchidir x daraja yoki o'lchov.

Keling, ko'rsatkichli tenglamalarga ko'proq misollar keltiraylik.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Endi ko'rsatkichli tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz?

Oddiy tenglamani olaylik:

2 x = 2 3

Bunday misolni hatto aql bilan hal qilish mumkin. Ko'rinib turibdiki, x = 3. Axir, chap va o'ng tomonlar teng bo'lishi uchun x o'rniga 3 raqamini qo'yish kerak.
Keling, ushbu qaror qanday qabul qilinishi kerakligini ko'rib chiqaylik:

2 x = 2 3
x = 3

Ushbu tenglamani yechish uchun biz olib tashladik bir xil asoslar(ya'ni, deuces) va qolganini yozdi, bu darajalar. Biz izlagan javobni oldik.

Endi yechimimizni umumlashtiramiz.

Eksponensial tenglamani yechish algoritmi:
1. Tekshirish kerak xuddi shu tenglamaning asoslari o'ngda va chapda. Agar asoslar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.
2. Asoslar bir xil bo'lgandan keyin, tenglashtirmoq daraja va hosil bo'lgan yangi tenglamani yeching.

Endi ba'zi misollarni hal qilaylik:

Oddiydan boshlaylik.

Chap va o'ng tomonlardagi asoslar 2 raqamiga teng, ya'ni biz bazani tashlab, ularning darajalarini tenglashtirishimiz mumkin.

x+2=4 Eng oddiy tenglama chiqdi.
x=4 - 2
x=2
Javob: x=2

Quyidagi misolda siz asoslar boshqacha ekanligini ko'rishingiz mumkin, bular 3 va 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Boshlash uchun biz to'qqiztasini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Endi siz bir xil asoslarni qilishingiz kerak. Biz 9=3 2 ekanligini bilamiz. (a n) m = a nm quvvat formulasidan foydalanamiz.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Biz 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 ni olamiz

3 3x \u003d 3 2x + 16 endi chap va o'ng tomonlardagi asoslar bir xil va uchtaga teng ekanligi aniq, ya'ni biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtirishimiz mumkin.

3x=2x+16 eng oddiy tenglamani oldi
3x-2x=16
x=16
Javob: x=16.

Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Avvalo, biz bazalarni ko'rib chiqamiz, bazalar ikki va to'rtta farq qiladi. Va biz bir xil bo'lishimiz kerak. Biz to'rtburchakni (a n) m = a nm formulasiga muvofiq aylantiramiz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Shuningdek, biz a n a m = a n + m formulasidan foydalanamiz:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tenglamaga qo'shing:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Ammo boshqa 10 va 24 raqamlari bizga xalaqit beradi.Ular bilan nima qilish kerak? Agar siz diqqat bilan qarasangiz, chap tomonda biz 2 2x takrorlanganimizni ko'rishingiz mumkin, mana javob - biz qavs ichidan 2 2x qo'yishimiz mumkin:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Biz butun tenglamani 6 ga bo'lamiz:

4=2 2 ni tasavvur qiling:

2 2x \u003d 2 2 tayanch bir xil, ularni tashlang va darajalarni tenglashtiring.
2x \u003d 2 eng oddiy tenglama bo'lib chiqdi. Biz uni 2 ga bo'lamiz, olamiz
x = 1
Javob: x = 1.

Keling, tenglamani yechamiz:

9 x - 12*3 x +27= 0

Keling, aylantiramiz:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bizning asoslarimiz bir xil, uchga teng.Bu misolda birinchi uchlik ikkinchisiga (faqat x) nisbatan ikki marta (2x) darajaga ega ekanligi aniq. Bunday holda siz qaror qabul qilishingiz mumkin almashtirish usuli. Eng kichik darajali raqam quyidagi bilan almashtiriladi:

Keyin 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

t bilan tenglamada barcha darajalarni x bilan almashtiramiz:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Biz kvadrat tenglamani olamiz. Diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Oʻzgaruvchi sahifasiga qaytish x.

Biz t 1 ni olamiz:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Anavi,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Javob: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Saytda siz o'zingizni qiziqtirgan savollarni berish uchun QAROR BERISHGA YORDAM BERISH bo'limida mumkin, biz sizga albatta javob beramiz.

Guruhga qo'shiling

Daraja

Raqam c (\displaystyle c) chaqirdi n-sonning darajasi a (\displaystyle a), Agar

c = a ⋅ a ⋅. . . ⋅ a ⏟ n (\displaystyle c=\pastki chiziq (a\cdot a\cdot ...\cdot a) _(n)).

Xususiyatlari:

  1. (a b) n = a n b n (\displaystyle \left(ab\o'ng)^(n)=a^(n)b^(n))
  2. (a b) n = a n b n (\displaystyle \left((a \ust b)\o'ng)^(n)=((a^(n)) \ustida (b^(n))))
  3. a n a m = a n + m (\displaystyle a^(n)a^(m)=a^(n+m))
  4. a n a m = a n − m (\displaystyle \chap.(a^(n) \ustdan (a^(m)))\o‘ngda.=a^(n-m))
  5. (a n) m = a n m (\displaystyle \chap(a^(n)\o‘ng)^(m)=a^(nm))
  6. yozuv assotsiativlik (moslik) xususiyatiga ega emas, ya'ni umumiy holatda chap assotsiativlik o'ng assotsiativlikka teng emas. (a n) m ≠ a (n m) (\displaystyle (a^(n))^(m)\neq a^(\left((n^(m))\o‘ng))), natija harakatlar ketma-ketligiga bog'liq bo'ladi, masalan, (2 2) 3 = 4 3 = 64 (\displaystyle (2^(2))^(3)=4^(3)=64), A 2 (2 3) = 2 8 = 256 (\displaystyle 2^(\chap((2^(3))\o'ng))=2^(8)=256). Yozuvni hisobga olish odatiy holdir a n m (\displaystyle a^(n^(m))) ekvivalent a (n m) (\displaystyle a^(\chap((n^(m))\o‘ng)), lekin o'rniga (a n) m (\displaystyle (a^(n))^(m)) shunchaki yozishingiz mumkin a n m (\displaystyle a^(nm)) oldingi xususiyatdan foydalanish. Biroq, ba'zi dasturlash tillari ushbu konventsiyaga amal qilmaydi (qarang);
  7. eksponentsiya kommutativlik xususiyatiga ega emas  (siljish): umuman olganda, a b ≠ b a (\displaystyle a^(b)\neq b^(a)), Masalan, 2 5 = 32 (\displaystyle 2^(5)=32), Lekin 5 2 = 25 (\displaystyle 5^(2)=25).

haqiqiy daraja

Mayli a ≥ 0 , r (\displaystyle a\geqslant 0,r) haqiqiy sonlar va r (\displaystyle r) irratsional sondir. Qiymatni quyidagicha aniqlaymiz.

Ma'lumki, har qanday haqiqiy sonni yuqoridan va pastdan ikkita ratsional songa yaqinlashtirish mumkin, ya'ni siz uchun tanlashingiz mumkin. r (\displaystyle r) ratsional interval [ p , q ] (\displaystyle) har qanday darajadagi aniqlik bilan. Keyin barcha mos keladigan intervallarning umumiy qismi [ a p , a q ] (\displaystyle) sifatida qabul qilingan bir nuqtadan iborat a r (\displaystyle a^(r)).

Yana bir yondashuv qatorlar va logarifmlar nazariyasiga asoslanadi (qarang).

Potentsiyalash

Murakkab daraja

Birinchidan, ko'rsatkich qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz e z (\displaystyle e^(z)), Qayerda e- Eyler raqami, z- ixtiyoriy kompleks-raqam, z = x + y i (\displaystyle z=x+yi).

e z = e x e y i = e x (cos ⁡ y + i sin ⁡ y) = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y . (\displaystyle e^(z)=e^(x)e^(yi)=e^(x)(\cos y+i\sin y)=e^(x)\cos y+ie^(x) \sin y.)

Endi umumiy holatni ko'rib chiqing a , b (\displaystyle a,b) ikkalasi ham murakkab sonlardir. Buning eng oson yo'li - tasavvur qilishdir a (\displaystyle a) eksponensial shaklda va identifikatsiyadan foydalanish a b = e b Ln ⁡ (a) (\displaystyle a^(b)=e^(b\ \operator nomi (Ln) (a))), Qayerda Ln (\displaystyle \operator nomi (Ln))- kompleks-logarifm:

a b = (r e th i) b = (e Ln ⁡ (r) + th i) b = e (Ln ⁡ (r) + th i) b. (\ displaystyle a^(b)=(re^((\theta)i))^(b)=(e^(\operatorname (Ln) (r)+(\theta )i))^(b)= e^((\operator nomi (Ln) (r)+(\teta )i)b).)

Shuni esda tutish kerakki, murakkab logarifm ko'p qiymatli funktsiyadir, shuning uchun umuman olganda, kompleks quvvat yagona aniqlanmagan.

Funktsiya sifatida daraja

Chunki ifoda ikkita belgidan foydalanadi ( x (\displaystyle x) Va y (\displaystyle y)), keyin uni uchta funktsiyadan biri sifatida ko'rib chiqish mumkin:

Foydali formulalar

X y = a y log a ⁡ x (\displaystyle x^(y)=a^(y\log _(a)x)) x y = e y ln ⁡ x (\displaystyle x^(y)=e^(y\ln x)) x y = 10 y lg ⁡ x (\displaystyle x^(y)=10^(y\lg x))

Oxirgi ikkita formulalar o'rnatilgan funksiyaga ega bo'lmagan elektron kalkulyatorlarda (shu jumladan kompyuter dasturlarida) ijobiy raqamlarni o'zboshimchalik darajasiga ko'tarish uchun ishlatiladi. x y (\displaystyle x^(y)).

Og'zaki nutqda foydalaning

Yozib olish a n (\displaystyle a^(n)) odatda " deb o'qiladi a V n (\displaystyle n) th daraja" yoki " a darajada n". Masalan, 10 4 (\displaystyle 10^(4))"o'ndan to'rtinchi darajagacha" kabi o'qiladi 10 3/2 (\displaystyle 10^(3/2))"uch soniya kuchiga o'n (yoki: bir yarim)" deb o'qing.

Ikkinchi va uchinchi darajalar uchun maxsus nomlar mavjud: mos ravishda kvadrat va kub. Masalan, 10 2 (\displaystyle 10^(2))"o'n kvadrat" kabi o'qiladi 10 3 (\displaystyle 10^(3))"o'n kub" kabi o'qiladi. Bu atama qadimgi yunon matematikasidan kelib chiqqan. Qadimgi yunonlar algebraik tuzilmalarni geometrik algebra tilida tuzganlar (inglizcha) rus. Xususan, "ko'paytirish" so'zini ishlatish o'rniga ular a 3 (\displaystyle a^(3)) maydoni haqida gapirishdi - bu " a o'ziga ko'paytiriladi uch marta", uchta omilni hisobga olgan holda a (\displaystyle a). Bu mutlaqo to'g'ri emas va noaniqlikka olib kelishi mumkin, chunki ko'payish soni bitta kam bo'ladi: a 3 = a ⋅ a ⋅ a (\displaystyle a^(3)=a\cdot a\cdot a)(uch omil, lekin ikkita ko'paytirish). Ko'pincha ular "sifatida tasvirlangan x I V (\displaystyle x^(IV)) mos ravishda. Dekartdan boshlab, daraja shaklning "ikki qavatli" yozuvi bilan belgilandi. a b (\displaystyle a^(b)).

Kompyuterlar va kompyuter dasturlari paydo bo'lishi bilan kompyuter dasturlari matnida darajani "ikki qavatli" shaklda yozish mumkin emasligi muammosi paydo bo'ldi. Shu munosabat bilan eksponentsiya operatsiyasini ko'rsatadigan maxsus piktogrammalar ixtiro qilingan. Birinchi bunday belgi ikkita yulduzcha edi.

Dasturlash tillari va kompyuter tizimlarida eksponentatsiyaning ba'zi belgilari.

Quvvat funksiyasi y=x n ko‘rinishdagi funktsiyadir (y ni n ning kuchiga teng x teng deb o‘qiladi), bu erda n qandaydir berilgan sondir. Kuchli funksiyalarning alohida holatlari y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x va boshqa koʻplab funksiyalardir. Keling, ularning har biri haqida ko'proq gaplashaylik.

Chiziqli funksiya y=x 1 (y=x)

Grafik (0; 0) nuqtadan Ox o'qining musbat yo'nalishiga 45 gradus burchak ostida o'tadigan to'g'ri chiziqdir.

Diagramma quyida ko'rsatilgan.

Chiziqli funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

  • Funktsiya ortib bormoqda va butun sonlar o'qida aniqlanadi.
  • Uning maksimal va minimal qiymatlari yo'q.

Kvadrat funksiya y=x 2

Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir.

Kvadrat funksiyaning asosiy xossalari:

  • 1. x=0 uchun, y=0, va x0 uchun y>0
  • 2. Kvadrat funksiya o‘zining eng kichik qiymatiga cho‘qqi nuqtasida erishadi. Ymin x=0 da; Shuni ham ta'kidlash kerakki, funktsiyaning maksimal qiymati mavjud emas.
  • 3. Funksiya (-∞; 0] oraliqda kamayadi va oraliqda ortadi)

Shuningdek o'qing

© 2023. iro-to.ru. Aqlli va zukko qizlar - Ta'lim portali.