Darsning maqsadi. Bir noma’lumli tenglamani yechish malakasini shakllantirish, ekvivalentlik xossalaridan foydalanib chiziqli tenglamaga keltirish.

Dars turi: birlashtirilgan.

Dars maqsadlari:

1) tarbiyaviy:

o‘quvchilarni chiziqli tenglamaning turi va uni yechish usuli bilan tanishtirish, chiziqli tenglamalarni yechish qoidasini puxta o‘zlashtirishga erishish, uni tushunish va yechishda undan foydalana olish;

2) ishlab chiqish:

aqliy faoliyatning matematik bilimlari va usullarini shakllantirishni davom ettirish (vaziyatni tahlil qilish va harakatlarni boshqarish qobiliyati, yangi harakatni bajarishni o'rganish, uni avtomatlashtirishga olib kelish). Matematik mantiqning shakl elementlari.

3) tarbiyaviy:

o'qituvchi rahbarligida bosqichma-bosqich ishlash ko'nikmalarini shakllantirish (yangi materialni tushuntirish, dastlabki mustahkamlash), quloq (kartalar) orqali ma'lumotni idrok etish, o'z-o'zini hurmat qilishni shakllantirish (reflektsiya).

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

7B sinfda algebra fanidan dars rejasi.

Bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglama.

(04.10.2012)

Darsning maqsadi . Bir noma’lumli tenglamani yechish malakasini shakllantirish, ekvivalentlik xossalaridan foydalanib chiziqli tenglamaga keltirish.

Dars turi : birlashtirilgan.

Dars maqsadlari:

1) tarbiyaviy:

Talabalarni chiziqli tenglamaning turi va uni yechish usuli bilan tanishtirish, chiziqli tenglamalarni yechish qoidasini puxta egallashga erishish, uni tushunish va yechishda undan foydalana olish;

2) ishlab chiqish:

Matematik bilimlarni va aqliy faoliyat texnikasini shakllantirishni davom ettiring (vaziyatni tahlil qilish va harakatlarni boshqarish qobiliyati, yangi harakatni bajarishni o'rganish, uni avtomatlashtirishga olib kelish). Matematik mantiqning shakl elementlari.

3) tarbiyaviy:

O'qituvchi rahbarligida bosqichma-bosqich ishlash ko'nikmalarini shakllantirish (yangi materialni tushuntirish, dastlabki mustahkamlash), quloq orqali ma'lumotni idrok etish (kartalar), o'z-o'zini hurmat qilishni shakllantirish (reflektsiya).

Darslar davomida

I. Uy vazifasini old tomondan tekshirish.

II. Og'zaki ish (kartalarda)

Og'zaki ishning maqsadi: bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglamalarni yechish ko'nikmalarini rivojlantirish diagnostikasi.

1. (*) oʻrniga “+” yoki “-” belgisini, nuqta oʻrniga esa raqamlarni qoʻying:

a) (*5)+(*7)=2;

b) (*8)-(*8)=(*4)-12;

c) (*9)+(*4)=-5;

d) (-15)-(*…)=0;

e) (*8)+(*…)=-12;

e (*10)-(*…)=12.

2. Tenglamaga ekvivalent tenglamalar tuzing:

a) x-7=5;

b) 2x-4=0;

c) x-11=x-7;

d) 2(x-12)=2x-24.

III. Tenglamalarni chiziqli tenglamaga keltirish orqali yechish qobiliyatini umumlashtirish.

Sinf bilan guruhda ishlash.

Kollektiv ish shakli: frontal

Keling, tenglamani yechamiz

12 - (4x-18)=(36+5x)+(28 – 6x). (1)

Buning uchun biz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

1. Qavslarni ochamiz. Qavslar oldiga ortiqcha belgisi qo'yilgan bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini saqlab qolgan holda, qavslar qoldirilishi mumkin. Qavslar oldidan minus belgisi bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini o'zgartirish orqali qavslarni olib tashlash mumkin:

12 - 4x+18=36+5x+28 – 6x. (2)

(2) va (1) tenglamalar ekvivalentdir.

2. Belgilari qarama-qarshi bo'lgan noma'lum atamalarni tenglamaning faqat bir tomonida (chapda yoki o'ngda) bo'lishi uchun harakatlantiramiz. Shu bilan birga, biz qarama-qarshi belgilar bilan ma'lum bo'lgan atamalarni tenglamaning faqat boshqa qismida bo'lishi uchun harakatlantiramiz.

Masalan, qarama-qarshi belgili noma'lum atamalarni tenglamaning chap tomoniga, ma'lumlarini esa o'ng tomoniga o'tkazamiz, keyin tenglamani olamiz.

4x-5x+6x=36+28-18, (3)

(2) tenglamaga, shuning uchun (1) tenglamaga ekvivalent.

3. Shu kabi atamalarni keltiramiz:

3x=46. (4)

(4) tenglama (3) tenglamaga, shuning uchun (1) tenglamaga teng.

4. (4) tenglamaning ikkala tomonini noma’lum koeffitsientiga ajrating. Olingan tenglama x=46/-3 yoki -15 1/3 tenglama (4) va shuning uchun (3), (2), (1) tenglamalarga ekvivalent bo'ladi.

Shuning uchun (1) tenglamaning ildizi -15 1/3 soni bo'ladi.

Ushbu sxema (algoritm) yordamida biz bugungi darsda tenglamalarni yechamiz:

1. Qavslarni oching.

2. Tenglamaning bir qismida noma’lumlar, ikkinchi qismida qolgan hadlarni to‘plang.

3. O‘xshash atamalarni keltiring.

4. Tenglamaning ikkala tomonini noma’lum koeffitsientiga bo‘ling.

Eslatma: shuni ta'kidlash kerakki, yuqoridagi diagramma majburiy emas, chunki ko'pincha ko'rsatilgan qadamlarning ba'zilari echish uchun keraksiz bo'lgan tenglamalar mavjud. Boshqa tenglamalarni echishda, masalan, tenglamada bo'lgani kabi, ushbu sxemadan chetga chiqish osonroq bo'lishi mumkin:

7(x-2)=42.

IV. Trening mashqlari.

No 132 (a, d), 133 (a, d), 136 (c), 138 (d) - doskada yozuv bilan.

№ 132. Tenglamaning ildizini toping:

a) (13x-15)-(9+6x)=-3x

Qavslarni kengaytiramiz:

13x-15-9-6x=-3x.

Qarama-qarshi belgilarga ega noma'lum atamalarni tenglamaning chap tomoniga, ma'lumlarini esa o'ng tomoniga o'tkazamiz, keyin tenglamani olamiz:

13x-6x+3x=15+9.

Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik.

10x=24.

Tenglamaning ikkala tomonini noma'lum koeffitsientiga bo'laylik.

x=2,4

Javob: 2.4

d) (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6);

0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6;

0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6;

5,2x=7,8;

x=-1,5

Javob: -1,5

No 133 Tenglamaning ildizini toping:

a) 5(3x+1,2) + x = 6,8,

15x + 6 + x = 6.8,

15x + x = 6,8 – 6,

16x = 0,8,

X = 0,8: 16,

X = 0,05,

Javob: 0,05

d) 5,6 - 7y = - 4(2y – 0,9) + 2,4,

5,6 – 7y = - 8y + 3,6 + 2,4,

8y – 7y = 3,6 + 2,4 – 5,6,

Y = 0,4,

Javob: 0,4

№ 136. Tenglamani yeching:

c) 0,8x – (0,7x + 0,36) = 7,1,

0,8x – 0,7x – 0,36 = 7,1,

0,1x = 0,36 + 7,1,

0,1x = 7,46,

X = 7,46: 0,1,

X = 74,6

Javob: 74.6.

No 138. Tenglamaning ildizini toping:

d) -3(y + 2,5) = 6,9 – 4,2y,

3y – 7,5 = 6,9 – 4,2y,

4,2y - 3y = 6,9 + 7,5,

1,2u = 14,4,

Y = 14,4: 1,2,

Y = 12,

Javob: 12

V. Talabalarning individual imkoniyatlarini hisobga olgan holda mustaqil ish.

I. Variant.

1. 5x = -40 tenglamani yechish uchun -40 ni 5 ga bo'lish kerak. Bu tenglamaning ildizi nima?

2. X koeffitsientining tagini chizing va tenglamalarni yeching:

A) 7x = 49;

6) - Zx = 111;

c) 12x = 1.

3. 12x = -744 tenglamani yechish, Kolya topildi, Nima x = -62. X o‘rniga 62 ni qo‘yib, tenglamaning ildizi to‘g‘ri topilganligini tekshiring.

4. Tenglamalarni yeching.

a) 6x = 24;

b) 13x = -39;

c) 8x = 4;

d) 6x = 7,5; e)7x = 63;

e) - 4x = 12;

g) 9x = - 3;

h) 9x = 0,36.

5. X ning qaysi qiymatida:

a) 8x ifodaning qiymati -64;

b) 7x ifodaning qiymati 1 ga teng;

v) -x ifodaning qiymati 11 ga teng?

6. Tarkibida x bo‘lgan atamalarni chapga siljiting Qism tenglamalar, qolganlari esa o'ngga, o'zgaruvchan ularning belgilari aksincha:

a) 2x - 3 = 5x + 8; c) -2x - 5 = 6x - 8;

b) 4x - 12 = -3x + 3; d) -4x - 2 = - 13x + 21.

7. Tenglamaning yechimini to‘ldiring:

a) 2x - 4 = -8x + 12; b) 3x - 2 = 7x - 14;

c) 2x + 8x = 12 + 4 d) 3x - 7x = -14 + 2

8. Tenglamani yeching:

a) 3x + 8 = x - 12;

b) x + 4 = 3 - 2x;

c) 5y = 2y + 16;

d) -2x + 9 - 8= x - 1.

9. Tenglamani yeching:

a) 1,2x = -4,8; d) Zx - 4 = 11; g) 2x - 1 = 3x + 6;

b) -6x = 7,2; e) 5 - 2x = 0; h) x - 8 = 4x - 9;

IN )-X = -0,6; e)-12 - x = 3; i) 5 - 6x = 0,3 - 5x.

10. a ning qaysi qiymatida

a) 3 + 2a ifodaning qiymati 43 ga teng,

b) 12 - a ifodaning qiymati 100 ga teng;

c) 13a + 17 va 5a + 9 ifodalarining qiymatlari teng;

d) 5a + 14 va 2a + 7 ifodalarining qiymatlari qarshi ijobiy raqamlar?

II. Variant

1. ax = b ko'rinishdagi har bir tenglama uchun a nimaga va b nimaga teng ekanligini yozing:

a) 2,3x = 6,9;

b) –x = -1;

c) - x = 6;

d) 1,2x = 0.

2. a) Yozuvni to‘ldiring: ax = b tenglamani yechish uchun, bunda a= 0, kerak ...

b) 12x = -60 tenglamani yeching va tekshiring.

3. Tenglamani yeching:

1) a) 2x = 12; b) -5x = 15; c) - x = 32; d) -11x = 0;

2) a) 3x = 5; b) - 6x = -15; c) 29x = - 27; d) 16x = - 1;

3) a) 5x = 1/3|; b)4x = - 2/7; c) 1/3x = 6; d) -2/7x = 14.

4) a) 0,01x = 6,5; b) - 1,4x = 0,42; c) 0,3x = 10; d) -0,6x = - 0,5.

4. X ning qaysi qiymatida:

a) 5x ifodaning qiymati - 1 ga teng;

b) -0,1x ifodaning qiymati 0,5 ga teng;

v) 16x ifodaning qiymati 0 ga teng?

5. Doskaga ax = b ko'rinishdagi tenglamaning yechimi yozilgan, lekin tenglamaning o'ng tomoni o'chirilgan. Uni qayta tiklang:

a) 5x = ... b) 3x = ... c) 4x = ...

x = -12; x=1/6; x = 0,8.

6. ax = 114 tenglamaning ildizi 6 bo'lgan a ning qiymatini toping.

7. Tenglamani yeching:

A) Zx-4 = 20

B) 54 - 5x ~ -6;

c) 1,2 - 0,Zx = 0;

d)16-7x = 0;

e) 5/6 = 1/6

8. Tenglamani yeching:

a) 5x-11 = 2x+8; d) 0,8x-4 = 0,5-7;

b) 6-7x = 11-6x; e) 2,6x+8 = 2;

c) 3 - x = x+13; f) 12 + 1/3x = 15 - 1/6x

9. a ning qaysi qiymatida:

a) 5-Za ifodaning qiymati 17 ga teng;

b) 3-2a va 5a+10 ifodalarning ma'nosi teng;

v) 5 - 9a ifodaning qiymati a+1 ifoda qiymatidan 4 ga katta;

d) 7+8a ifodaning qiymati 2a+1 ifoda qiymatidan 5 ga kichik?

10. Tenglamani yeching:

a) 15(x+2) = 40; c) 5(2x+1) = 3(2x);

b) - 2(1-x) = x; d) -6(2-x)-5(1+x).

11. Tenglamani yeching:

a) 43+4x+(11-5x) = 7; d) 6(x+11)-7x = 73+x;

b) 12-4x – (2+x) = 5x; e) 8(3x)- 12+6x = 25x;

c) 5x+12-3(x+16) = - 20; e) 6x-3(2-5x) - 12+8x.

O'z-o'zini nazorat qilish uchun: qavslarni ochgandan so'ng, quyidagi tenglama olinadi:

a) 43+4x+11-5x = 7; d) 6x+66-7x = 73+x;

b) 12-4x-2x = 5x; e) 24-8x-12+6x - 25x;

c) 5x+12-3x-48 = -20; e) 6x-6+15x = 12+8x.

III. Variant

1. Tenglamani yeching:

a) 6x = 36; c) -x = 18; e) 49x = 0; g) 21x = - 3;

b) 5x=5/7; d)11x = -1/3; c) 1/3x = 0; e) -3/7x = - 1;

2. Tenglamani yeching va tekshiring:

a) 0,08x - 1; c) – 0,1x = 1; e) 0,6x = - 5; g) – 0,3x = - 1,1;

b) 0,Zx = 1/3; d) – 1/7x = 0; f) 0,2x = 1/7 h) - 3,6x - - 6.

3. ax = b ko'rinishdagi qandaydir tenglama tuzing, qaysi

a) ildizi 3 raqamiga ega;

b) uning ildizi sifatida 0 raqamiga ega;

c) ildizlari yo'q;

d) cheksiz ko'p ildizlarga ega.

4. X ning qaysi qiymatlarida

A) 1/3x ifodaning qiymati 3 ga teng;

b) ifodaning qiymati - 0,8x 0 ga teng;

v) 0,01x ifodaning qiymati 30 ga teng;

d) -15x ifodaning qiymati – 0,1 ga teng.

5. Ax = b ko`rinishdagi tenglamani yech, talaba a koeffitsientini o`chirib tashladi. Iloji bo'lsa, uni qayta tiklang:

a) …x = 1/8 b) …x = -4 c) …x = 0

X=4 x= - 1 x = 0

6 . a ning qaysi butun qiymatlari uchun ax = 8 tenglamaning ildizi butun son hisoblanadi?

8. For+2 va a-5 ifodalari berilgan. a ning qaysi qiymatlarida

a) bu iboralarning ma’nolari teng;

b) birinchi ifodaning qiymati ikkinchisining qiymatidan 12 ga katta;

v) birinchi ifodaning qiymati ikkinchisining qiymatidan 7 ga kam;

d) birinchi ifodaning qiymati ikkinchisining qiymatidan 5 marta katta

rogo?

9. Tenglamani yeching:

a) - (2x+1) = 41; d) 5(x-1) - 3(2x+2) = - 1;

b) 5(12) = 27; e) 12(1-x) - 4 = 2(4x+6);

c) 1,2(2x-1) = 3,6; e) 0,5(2x-1) - x = 6,5.

10. ax-11 = 3x+1 tenglama uchun toping

a) ushbu tenglamaning ildizi 6 raqami bo'lgan a ning qiymatlari;

b) bu ​​tenglamaning ildizi bo'lmagan a ning qiymatlari;

c) tenglamaning ildizi natural son bo'lgan a ning tabiiy qiymatlari.

11. Tenglamani yeching:

a) 5(x - 18) - 7x = 21+x; d) 6(x - 1)+12(3 - 2x) = 45 - 17x;

b) 3x+6(1 - x) = - 2(2+x); e) 15(3 - x) - 5(x+11) = 1 - 19x;

c) 1,7 - 8(x - 1) = 3,7+2x; e) - (5 - x) - 8(6+x) = 11,8+x.

VI. Dars xulosasi. Tenglamani chiziqli tenglamaga keltirish algoritmi.

VII. Uy vazifasi: 3-band, 128, 129, 131-moddalar.

Tekshirish shuni ko'rsatdiki, talabalar ushbu topshiriqlarni bajarganlar, ya'ni ular ushbu mavzuni o'zlashtirganlar.

Darsni o'z-o'zini tahlil qilish

1. Bir sinfda 25 nafar o‘quvchi bor.4-5 kishiga besh kishi, to‘rt kishiga 8 kishi o‘qiy oladi, qolganlari yo‘l-yo‘riqsiz o‘qiy olmaydi. Darsni rejalashtirishda bu hisobga olindi va yangi materialni taqdim etish usullari va usullarini va olingan bilimlarni mustahkamlash usullarini tanlashni belgilab oldi.

2. Bu “Bir o‘zgaruvchidagi tenglamalar” mavzusidagi ikkinchi dars.Bu o'quv yilida ushbu material o'rganildi, dars boshida bilimlar o'qituvchi tomonidan kerakli ma'lumotlarni eslatish shaklida yangilandi. Ushbu dars algebra kursidagi “Chiziqli funktsiya” mavzusini keyingi o'rganish uchun muhimdir. Xususiyatlar - ko'plab tushunchalar, modellar, bilimlar yaxshiroq tizimlashtirilgan va xulosa shaklida taqdim etiladi. Dars turi - qo'shma dars.

3. Dars davomida quyidagi vazifalar hal qilindi:

1. Darsning didaktik maqsadi:Bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglamaning geometrik va analitik modellari haqida yangi o'quv ma'lumotlarini tushunish va tushunishni rivojlantirish.
2. Ta'lim maqsadi:Chiziqli tenglama tushunchasini va uni yechish usullarini shakllantiring va uning nomi, yozuvi va algebraik belgilarining mohiyatini tushunishga erishing.
3. Rivojlanish maqsadi: Vaziyatni modellashtirish va bilimlarni jadval shaklida tizimlashtirish qobiliyatini rivojlantirishga yordam berish.
4. Ta'lim maqsadi:O'z-o'zini hurmat qilish va intellektual mehnatga hurmatni shakllantirish.

Ularni hal qilishning murakkabligi o'ylab topilgan. Ularning asosiylari tarbiyaviy vazifalar bo'lib, ularni hal qilishda rivojlanish va tarbiyaviy vazifalar ham hal qilindi. Rivojlanish vazifasi materialni qulay o'rganish usullari orqali hal qilindi va o'quv vazifasi ochiq dars uchun sinf tanlash bosqichida hal qilindi.

4. Darsning bunday tuzilishi o'quvchilarning monoton taqdim etilgan materialni uzoq vaqt va diqqatni jamlagan holda o'zlashtira olmasliklari bilan bog'liq.Shuning uchun birinchi yarmida dars yanada zich va dinamik. So'rov mavjud bilimlarni yangilash va yangilarini mustahkamlash uchun o'tkazildi. Bosqichlar orasidagi aloqalar mantiqiydir. Uy vazifasi uchta raqamdan iborat bo'lib, talabalar xohlagancha bajarishlari mumkin: 3 uchun - bitta raqam, 4 uchun - ikkita, 5 uchun - uchta.

5. Asosiy urg'u tushunchalarga qaratildi:chiziqli tenglama, tenglamaning ildizi. Mavzu bo‘yicha asosiy tushunchalar tanlanadi, sonlar oralig‘ining algebraik modelini belgilash, nomlash, yozish malakalari shakllantiriladi.

6. Ta'lim usullari tanlanganqisman qidiruv, vizual, faoliyatga asoslangan.

7. Differentsial o`qitish usullarini qo`llash zarurati yo`q edi.Shaxsiy yordam ko'rsatish kifoya.

8. Bilimlarni egallashni nazorat qilishyangi material o‘rganilganligi sababli o‘quvchilarning mustaqilligi va faolligini nazorat qilish yo‘li bilan amalga oshirildi.

9. Amaldagi o‘quv qurollari:Yu.N.Makarychev va boshqalarning darsligi - 2009 yil, og'zaki va individual ish uchun kartalar, doska faol ishlatilgan.

10. Vazifalar to‘liq bajarildi.

Tenglama bir yoki bir nechta o'zgaruvchilar mavjud bo'lgan tenglikdir.
Tenglama bitta o'zgaruvchiga, ya'ni bitta noma'lum songa ega bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz. Aslini olganda, tenglama matematik modelning bir turidir. Shuning uchun, birinchi navbatda, muammolarni yechish uchun tenglamalar kerak.

Keling, masalani hal qilish uchun matematik model qanday tuzilganligini eslaylik.
Masalan, yangi o‘quv yilida 5-maktabda o‘quvchilar soni ikki baravar ko‘paydi. 20 nafar o‘quvchi boshqa maktabga ko‘chib o‘tganidan so‘ng, 5-maktabda jami 720 nafar o‘quvchi tahsil ola boshladi. O'tgan yili nechta talaba bor edi?

Shartda aytilgan gaplarni matematik tilda ifodalashimiz kerak. O'tgan yilgi o'quvchilar soni X bo'lsin. U holda masala shartlariga ko'ra,
2X – 20 = 720. Bizda ifodalovchi matematik model mavjud bitta o'zgaruvchili tenglama. Aniqroq aytganda, bu bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan birinchi darajali tenglama. Faqat uning ildizini topish qoladi.

Tenglamaning ildizi nima?

Tenglamamiz haqiqiy tenglikka aylanadigan o'zgaruvchining qiymati tenglamaning ildizi deyiladi. Ko'p ildizlarga ega bo'lgan tenglamalar mavjud. Masalan, 2*X = (5-3)*X tenglamada X ning istalgan qiymati ildiz hisoblanadi. X = X +5 tenglamasi esa umuman ildizga ega emas, chunki X ni qanday qiymatga almashtirsak ham, biz to'g'ri tenglikni olmaymiz. Tenglamani yechish deganda uning barcha ildizlarini topish yoki uning ildizi yo‘qligini aniqlash tushuniladi. Demak, savolimizga javob berish uchun 2X – 20 = 720 tenglamasini yechishimiz kerak.

Bitta o‘zgaruvchili tenglamalarni qanday yechish mumkin?

Birinchidan, ba'zi asosiy ta'riflarni yozamiz. Har bir tenglamaning o'ng va chap tomonlari bor. Bizning holatda (2X - 20) tenglamaning chap tomoni (tenglik belgisining chap tomonida) va 720 - tenglamaning o'ng tomoni. Tenglamaning o'ng va chap tomonidagi hadlar tenglamaning hadlari deyiladi. Bizning tenglama shartlarimiz 2X, -20 va 720.

Keling, darhol tenglamalarning ikkita xususiyati haqida gapiraylik:

1. Tenglamaning istalgan hadi tenglamaning o'ng tomonidan chapga va aksincha o'tkazilishi mumkin. Bunday holda, tenglamaning ushbu hadining belgisini teskarisiga o'zgartirish kerak. Ya'ni, 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X shaklidagi yozuvlar ekvivalentdir.
2. Tenglamaning ikkala tomonini bir xil raqamga ko'paytirish yoki bo'lish mumkin. Bu raqam nolga teng bo'lmasligi kerak. Ya'ni, 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 shaklidagi yozuvlar ham ekvivalentdir.

Keling, tenglamamizni yechish uchun ushbu xususiyatlardan foydalanamiz.

Qarama-qarshi belgi bilan -20 ni o'ng tomonga o'tkazamiz. Biz olamiz:

2X = 720 + 20. Keling, o'ng tomonda nima borligini qo'shamiz. Biz 2X = 740 ni olamiz.

Endi tenglamaning chap va o'ng tomonlarini 2 ga bo'ling.

2X:2 = 740:2 yoki X = 370. Biz tenglamamizning ildizini topdik va ayni paytda muammomizning savoliga javob topdik. O‘tgan yili 5-maktabda 370 nafar o‘quvchi ta’lim oldi.

Keling, bizning ildizimiz haqiqatan ham tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradimi yoki yo'qligini tekshiramiz. 2X – 20 = 720 tenglamaga X o‘rniga 370 raqamini qo‘yaylik.

2*370-20 = 720.

Hammasi to'g'ri.

Demak, bitta o'zgaruvchili tenglamani yechish uchun uni ax = b ko'rinishdagi chiziqli tenglamaga keltirish kerak, bu erda a va b ba'zi sonlardir. Keyin chap va o'ng tomonlarni a soniga bo'ling. Buni olamiz x = b: a.

Tenglamani chiziqli tenglamaga keltirish nimani anglatadi?

Ushbu tenglamani ko'rib chiqing:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.

Bu ham bitta noma'lum o'zgaruvchi X bo'lgan tenglamadir. Bizning vazifamiz bu tenglamani ax = b ko'rinishga keltirishdir.

Buning uchun birinchi navbatda tenglamaning chap tomonida X koeffitsienti bo'lgan barcha atamalarni, o'ng tomonida qolgan hadlarni yig'amiz. Faktor bilan bir xil harfga ega bo'lgan atamalar o'xshash atamalar deb ataladi.

5X - 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

Ko'paytirishning distributiv xususiyatiga ko'ra, biz qavs ichidan bir xil koeffitsientni olib, koeffitsientlarni qo'shishimiz mumkin (x o'zgaruvchisi uchun ko'paytirgichlar). Bu jarayon o'xshash atamalarni qisqartirish deb ham ataladi.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Tenglamani ax = b ko'rinishga keltirdik, bu erda a = 7, b = 49.

Va yuqorida yozganimizdek, ax = b ko'rinishdagi tenglamaning ildizi x = b:a dir.

Ya'ni, X = 49:7 = 7.

Bitta o‘zgaruvchili tenglamaning ildizlarini topish algoritmi.

1. Tenglamaning chap tomonida o'xshash atamalarni, tenglamaning o'ng tomonida qolgan shartlarni to'plang.
2. Shunga o'xshash shartlarni keltiring.
3. Tenglamani ax = b ko'rinishga keltiring.
4. X = b:a formulasidan foydalanib ildizlarni toping.

Eslatma. Ushbu maqolada biz o'zgaruvchi biron bir kuchga ko'tarilgan holatlarni ko'rib chiqmadik. Boshqacha qilib aytganda, biz bir o'zgaruvchili birinchi darajali tenglamalarni ko'rib chiqdik.

Xartsizsk 25-sonli o'rta maktab "Intellekt"

alohida fanlarni chuqur o'rganish bilan

7-sinfda algebra fanidan kirish darsi

Chiziqli tenglama

bitta o'zgaruvchi bilan

Matematika o'qituvchisi

Nakonechnaya L.P.

Xartsizsk, 2017 yil

Dars mavzusi. Bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglama

Dars turi: birlashtirilgan.

Dars o'qitish usuli: modulli texnologiyadan foydalanish.

Darsning maqsadi. Ilgari olingan bilimlarni chuqurlashtirish, kengaytirish va umumlashtirish

tenglama.

Dars maqsadlari

Tarbiyaviy:

Talabalarning tenglamalarni yechish haqidagi bilimlarini chuqurlashtirish va mustahkamlash;

Noma’lum tenglamani ekvivalentlik xossalaridan foydalanib chiziqli tenglamaga keltirish yo‘li bilan yechish malakasini shakllantirish;

Modul yordamida tenglamalarni yechish qobiliyatini rivojlantirish;

Talabalarni parametrli tenglamalarni yechish bilan tanishtirish;

Tenglamalar mavzusi bo'yicha atamalar lug'atini tuzing.

Tarbiyaviy:

Mustaqillik va tahlil qilish, taqqoslash va umumlashtirish qobiliyatini rivojlantirish;

Ijodiy fikrlashni rivojlantirish;

Bilimlarni hayotiy vaziyatlarda qo'llash qobiliyatini rivojlantirish.

Matematik nutqni rivojlantirish;

Tarbiyaviy:

Mavzuga ongli va manfaatdor munosabatni rivojlantirishga hissa qo'shish;

Tadqiqot faoliyatiga qiziqish uyg'otish;

O'rtoqlarga mehribon munosabatni, o'z yordamini taklif qilish qobiliyatini rivojlantiring.

Darslar davomida

1. Tashkiliy bosqich

Talabalarda maktab anjomlari borligini tekshiring.

Tabiatni issiqlikdan ajratib bo'lmaydi -

Xuddi shunday, qo'yib yuboring va uxlang ...

Sentyabr har doim, yildan-yilga keladi

Avgustga o'xshaydi

Va o'rmonning yashilligi hali so'nmagan,

Va yozgi mo'ynali kiyimlarda hayvonlar bor,

Va yoz quyoshi osmonda porlaydi,

Issiqligingizni yo'qotish.

Issiq, do'stona muhitda biz ALGEBRA olamiga sayohatimizni boshlaymiz

2. O‘qituvchining kirish so‘zi

Ushbu issiq sentyabr kuni biz siz uchun yangi fan - algebrani o'rganishni boshlaymiz, siz maktabni tugatguningizcha u bilan do'st bo'lasiz.

Algebra - qadimgi fan. Qadimgi bobilliklar va misrliklar bundan 4000 yil muqaddam ba'zi algebraik tushunchalar va umumiy masalalar yechish usullarini bilishgan. Ammo taniqli qadimgi yunon matematigi Diofant (3-asr) haqli ravishda "algebraning otasi" deb ataladi. O'sha uzoq vaqtlarda u noma'lum raqamlar uchun harf belgilaridan foydalangan holda juda murakkab tenglamalarni hal qila oldi.

825-yilda arab olimi Muhammad al-Xorazmiy “Qayta tiklash va qarama-qarshilik kitobi” degan ma’noni anglatuvchi “Kitob al Jabr val-Mukabala” kitobini yozdi, unda algebra matematikaning mustaqil tarmog‘i sifatida qaraladi. Bu dunyodagi birinchi algebra darsligi edi. "Algebra" so'zining o'zi "al-jabr" so'zidan kelib chiqqan bo'lib, "tenglamaning bir qismidan boshqasiga manfiy atamalarni belgisi o'zgarishi bilan o'tkazish" degan ma'noni anglatadi.

"Zamonaviy algebraning otasi" frantsuz matematigi Fransua Vieta hisoblanadi, u 1540 yilda Frantsiyaning kichik Fontenay shahrida tug'ilgan. U kasbi bo'yicha huquqshunos edi, lekin uning haqiqiy kasbi matematika edi. U qandaydir matematik masalaga qiziqib qolganida, u ba'zan ovqatsiz yoki uxlamasdan uch kun ketma-ket ishlay olardi.

Atoqli frantsuz matematigi va faylasufi Rene Dekart (1596 - 1650) algebraik simvolizmning keyingi rivojlanishiga katta hissa qo'shdi, u kiritgan belgi hozirgi kungacha saqlanib qoldi.

Algebra bilan hamkorlik maktabda tugamaydi. Matematiklarni tayyorlaydigan maxsus o'quv yurtlari mavjud, ular uchun bu fan kasbga aylanadi.

Algebrani bilish kundalik hayotda zarur. Bu texnologiya va ishlab chiqarish ehtiyojlari bilan bog'liq bo'lgan murakkab muammolarni hal qilish imkonini beradi.

Algebrani o'rganishning keyingi bosqichiga o'tish uchun men sizga "Pentagon" ni taxmin qilishni taklif qilaman.

1. U ko'pchilikni o'rgatadi, garchi u doimo jim bo'lsa ham.

2. Ba'zilar uni o'rgatmoqchi bo'lishadi, lekin hamma ham bunga erisha olmaydi.

3. U sizni xursand qilishi, jahlini chiqarishi, sayohatga jo‘natishi va hatto bir necha kunga xonaga qamab qo‘yishi mumkin.

4. U sizga biror narsa haqida aytib berishi, nimadir maslahat berishi, topshiriq berishi mumkin, lekin har qanday holatda ham sizni o‘ylantiradi.

5. Siz uni o'zingiz bilan olib ketishingiz mumkin, hatto portfelingizga yoki shkafga qo'yishingiz mumkin.

To'g'ri, bolalar, bu kitob. Endi esa bizni algebraning maftunkor olamiga olib boradigan darslik bilan tanishamiz.

("Algebra" darsligiga kirish. 7-sinf: umumiy ta'lim tashkilotlari uchun darslik / Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova; tahririyati S.A.Telyakovskiy. - 6 nashr - M.: Ta'lim, 2016.)

3. Asosiy bilimlarni yangilash.

Frontal so'rov

Tenglama nima deb ataladi?

(Tenglama - bu qiymati topilishi kerak bo'lgan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglik)

Tenglamaning ildizi nima?

(Tenglamaning ildizi o'zgaruvchining qiymati bo'lib, tenglamaga almashtirilganda to'g'ri tenglik olinadi)

Tenglamani yechish nimani anglatadi?

(Tenglamani yechish deganda uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yo‘qligini ko‘rsatish tushuniladi);

Oldindan "+" belgisi qo'yilgan qavslarni qanday ochish kerak.

(Biz qavs ichidagi belgilarni o'zgarishsiz qoldiramiz)

Oldindan "-" belgisi qo'yilgan qavslarni qanday ochish kerak.

(Biz qavs ichidagi belgilarni teskarisiga o'zgartiramiz)

Qanday atamalar o'xshash deb ataladi?

(Harf qismi bir xil bo'lgan atamalar o'xshash deb ataladi)

Shunga o'xshash shartlarni qanday olib kelish mumkin?

(biz harakatlarni koeffitsientlar bilan bajaramiz va natijaga harf qismini tayinlaymiz)

Raqamning moduli nima?

(Raqamning moduli - bu koordinatasi berilgan nuqtadan boshlang'ich nuqtagacha bo'lgan masofa)

4. Darsning maqsadi va vazifalarini shakllantirish

5-6-sinflarda asosan sonli ifodalar bilan ishladik. Algebrada amallar birinchi navbatda aniq raqamlar bilan emas, balki harflar bilan belgilangan raqamlar bilan o‘rganiladi va bugungi darsimizning mavzusi “Bir o‘zgaruvchili chiziqli tenglama” (Bugungi darsning maqsadini talabalar bilan birgalikda aniqlang.) Bugungi darsimizda. darsda biz sizning tenglama haqidagi bilimlaringizni chuqurlashtiramiz va modulli tenglamalar va parametrli tenglamalar bilan tanishishni davom ettiramiz.

Kutilayotgan natijalar:

Bilish: “Tenglama”, “tenglama ildizi”, “chiziqli tenglama”, “ekvivalent tenglama” tushunchalarining ta’riflari, chiziqli tenglamani yechish algoritmi.

Ko‘nikmalarga ega bo‘lish: Chiziqli tenglamalarni yechish, chiziqli tenglamaning ildizlari sonini aniqlash, modul belgisi bo‘lgan oddiy tenglamalarni yechish, parametrli oddiy tenglamalar yechimini o‘rganish.

5. O'quv va kognitiv faoliyat uchun motivatsiya

Diofant haqida juda kam narsa ma'lum, hatto uning hayot yillarini aniq aniqlash mumkin emas. Ammo u shunday mashhur matematik ediki, afsonaga ko'ra, hatto qabr toshidagi epitafiya ham masala shaklida yozilgan. Unda: “Sayohatchi! Bu tosh ostida juda keksalikda vafot etgan Diofantning kuli yotadi. U uzoq umrining oltinchi qismini bolalikda, o‘n ikkinchisini yigitlikda, yettinchi qismini esa turmush qurmagan holda o‘tkazdi. Turmush qurganidan besh yil o'tgach, uning o'g'li bor edi, u otasining yarmiga teng edi. O'g'lining o'limidan to'rt yil o'tgach, Diofantning o'zi yaqinlari tomonidan motam tutib, abadiy uyquda uxlab qoldi. Ayting-chi, agar hisoblay olsangiz, Diofant necha yil yashagan?

Ushbu muammoni hal qilishning eng keng tarqalgan usuli - tenglama yozish. Va men darsimizdan keyin uni uyda tuzib, hal qilishni taklif qilaman.

(Yechimi. Diofantning yoshi deb x ni olaylik, keyin tenglamani tuzamiz:

6. Bilimlarni chuqurlashtirish va tizimlashtirish(O'quvchilarning darslik bilan ishlashi)

Ta'rif. ax = b ko'rinishdagi tenglama, bu erda x o'zgaruvchi, a va b ba'zi sonlar deyiladi. bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglama

Ta'rif Tenglamalar deyiladi ekvivalent, agar ular bir xil ildizlarga ega bo'lsa. Yechimlari bo'lmagan tenglamalar ham ekvivalent hisoblanadi.

Tenglamalarning xossalari

1. Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, berilgan tenglamaga ekvivalentni olamiz;

2. Agar tenglamadagi hadni belgisini o‘zgartirib, bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalent hosil bo‘ladi.

Bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. Qavslarni oching.

2.Tenglamaning bir qismida nomaʼlumlar, ikkinchi qismida qolgan hadlarni toʻplang.

3.O‘xshash atamalarni keltiring

tenglamaning ikkala tomonida.

4.Tenglamaning ikkala tomonini noma’lum koeffitsientiga bo‘ling

ah = in

Agar a ≠ 0 bo'lsa, tenglama yagona yechimga ega;

Agar a = 0 va b = 0 bo'lsa, tenglama ko'p ildizlarga ega;

Agar a = 0 va b ≠ 0 bo'lsa, tenglamaning yechimlari yo'q

|x| = a

Agar a = 0 bo'lsa, x = 0 bo'ladi

Agar a ˂ 0 bo'lsa, hech qanday yechim yo'q

Agar a ˃ 0 bo'lsa, x = a yoki x = -a

Bizning katta uylarimiz bor (qo'llar yuqoriga ko'tarilgan)
Ko'p kichikroq uylar bor (qo'llar biroz pastga tushirilgan)
Atrofda yorqin yashil (qo'llaringizni yon tomonlarga yoying)
U shamolda chayqaladi (qo'llar o'ngga, keyin chapga siljiydi)
Siz, do'stim va men sizning do'stingizman (o'ng qo'l oldinga, keyin chap qo'l oldinga)
Do'stlik hech qachon tugamasin (qarsak chaling)

7. Bilim va malakalarni mustahkamlash.

(Jamoa ishlash va juftlikda ishlash. Har bir blokda a, b) va v) topshiriqlarini mustaqil hal qilamiz, keyin o‘zaro tekshirish)

1. X ning qaysi qiymatida:

a) 11x ifodaning qiymati -1 ga teng;

b) ifodaning qiymati - 0,1x 0,7 ga teng;

v) 19x ifodaning qiymati 0 ga teng?

2. y ning qaysi qiymatida:

a) 7 - 4y ifodaning qiymati 19 ga teng;

b) 3 - 2y va 5y + 10 ifodalarining ma'nosi teng;

v) 5 - 9y ifodaning qiymati y + 1 ifoda qiymatidan 4 ga katta;

2. Doskaga ax = b ko'rinishdagi tenglamaning yechimi yozildi, lekin tenglamaning o'ng tomoni o'chirildi. Tenglamaning o'ng tomonini tiklang

a) 19x = ... b) 6x = ... c) 7x = ...

x = - 4; x =; x = 2.6.

3.Tenglamalarni yechish

a) 7,2(x + 5) = 36 + 7,2x; b) 12x - (3x +4) = 17 + 9x; c) 1,3x + 9 = 0,7x + 27;

7,2x + 36 = 36 + 7,2x; 12x - 3x - 4 = 17 + 9x; 1,3x - 0,7x = 27 - 9;

0x = 0. 12x - 3x - 9x = 17 +4; 0,6x = 18;

0x = 21. x = 18: 0,6;

- (D tenglamani yechish) doskada izoh berish)

d) (2 - x)(x - 7) = 0;

Ikki omilning mahsuloti nolga teng, agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa.

2 - x = 0 yoki x - 7 = 0

a) yechim istalgan son.

b) yechimlar yo'q;

c) bitta yechim x = 30.

d) ikkita yechim x = 2, x = 7.

“Aqliy hujum” (Muammoli savolni bayon qilish)

Tenglama har doim ildizga egami? Bitta ildiz bormi?

Tenglama uchta, to‘rtta, beshta ildizga ega bo‘lishi mumkinmi? Bunday tenglamaga misol keltiring.

Bu tenglama chiziqlimi?

Bunday tenglamalarni yechish ko‘paytirishning qaysi xossasiga asoslanadi?

(4, 5, 6, 7-topshiriqlar jamoaviy ish)

4. Tenglamalarni yeching

a) |x| = 4,5; b) |x| = - 17; c) |3x + 2| = 8;

x = 4,5; echimlar yo'q; 3x + 2 = 8; yoki 3x + 2 = - 8;

3x = 6; 3x = -10;

x = 2. x = - 3.

5. ax = 156 tenglamaning ildizi 6 bo'lgan a ning qiymatini toping.

Yechim. Tenglamaning ildizi 6 bo'lganligi sababli, tenglamaga almashtirilganda biz to'g'ri tenglikni olamiz a · 6 = 156

6. (a - 2) x = 4 tenglamani yeching;

Yechim. a = 2, (a - 2) = 0 bilan biz hech qanday ildizga ega bo'lmagan 0 x = 4 tenglamani olamiz. Agar a - 2 ≠ 0, a ≠ 2 bo'lsa, x = bo'ladi.

7. Ax = 8 tenglama ildizi butun son bo'lgan a ning barcha butun qiymatlarini toping.

Yechim. a ≠ 0, x = uchun x ning qiymati topilsin. Tenglamaning ildizi butun son bo'lishi uchun a soni 8 sonining bo'luvchisi bo'lishi kerak. Demak, a = ( -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8)

8. Darsning xulosasi

Qaysi tenglama chiziqli deb ataladi?

Chiziqli tenglamaning nechta ildizi bor?

Tenglamalarni yechishning qanday xossalarini bilasiz?

9. Reflektsiya.

Masal: Bir donishmand yurib ketayotgan edi, uni qurilish uchun tosh ko‘tarib uch kishi uchratib qoldi. Donishmand to‘xtab, ularning har biriga savol berdi. Birinchisi so'radi: "Kun bo'yi nima qilding?" Va u javob berdi: "Men la'natlangan toshlarni ko'tardim". Ikkinchisi: "Va men o'z ishimni vijdonan qildim." Uchinchisi tabassum qildi va javob berdi: "Va men ma'badning qurilishida ishtirok etdim."

Bolalar, bugun kim vijdonan ishladi? "Ma'bad qurilishida" kim ishtirok etgan?

9. Uyga vazifa

Tenglamalarning ta'riflari va xossalarini bilib oling

No 131 (a, b), No 134 (a), No 135 (a, b, c), Diofantning yoshi masalasini hal qiling.

Adabiyot.

1. Algebra. 7-sinf: umumiy ta’lim uchun darslik. tashkilotlar /Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; tomonidan tahrirlangan S.A. Telyakovskiy. - 6-nashr. - M.: Ta'lim, 2016 yil.

2. Kostrykina N.P. 7-9-sinflar uchun algebra kursida qiyinchilikni oshirish masalalari. - M.: Ta'lim, 1991 yil.

3.Bartenev F.A. Algebra fanidan nostandart masalalar. - M.: Ta'lim, 1976 yil.

4. Chervatyuk O.G., Shimanskaya G.D. Matematika darslarida qiziqarli matematika elementlari. - K.: "Radyansk maktabi", 1968 yil.

5. Perelman Ya.I. Jonli matematika. - M.: "Fan", 1978 yil.

6. Shunda N.M. 6 - 8 sinflar uchun algebra masalalari to'plami. - K.: "Radenskiy maktabi", 1987 yil.

Ushbu maqolada chiziqli tenglamalar kabi tenglamalarni yechish tamoyilini ko'rib chiqamiz. Keling, ushbu tenglamalarning ta'rifini yozamiz va umumiy shaklni o'rnatamiz. Biz chiziqli tenglamalar yechimini topish uchun barcha shart-sharoitlarni tahlil qilamiz, boshqa narsalar qatorida amaliy misollardan foydalanamiz.

E'tibor bering, quyidagi materialda bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar haqida ma'lumot mavjud. Ikki o'zgaruvchidagi chiziqli tenglamalar alohida maqolada muhokama qilinadi.

Chiziqli tenglama nima

Ta'rif 1

Chiziqli tenglama quyidagicha yozilgan tenglamadir:
a x = b, Qayerda x- o'zgaruvchan, a Va b- ba'zi raqamlar.

Bu formuladan Yu.N.Makarychevning algebra darsligida (7-sinf) foydalanilgan.

1-misol

Chiziqli tenglamalarga misollar:

3 x = 11(bir o'zgaruvchili tenglama x da a = 5 Va b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( o'zgaruvchili chiziqli tenglama y, Qayerda a = - 3, 1 Va b = 0);

x = − 4 Va − x = 5,37(chiziqli tenglamalar, bu erda raqam a aniq yozilgan va mos ravishda 1 va - 1 ga teng. Birinchi tenglama uchun b = - 4; ikkinchisi uchun - b = 5,37) va h.k.

Turli o'quv materiallari turli xil ta'riflarga ega bo'lishi mumkin. Masalan, Vilenkin N.Ya. Chiziqli tenglamalar shaklga aylantirilishi mumkin bo'lgan tenglamalarni ham o'z ichiga oladi a x = b atamalarni bir qismdan ikkinchi qismga belgini oʻzgartirish bilan oʻtkazish va oʻxshash shartlarni olib kelish orqali. Agar bu talqinga amal qilsak, tenglama 5 x = 2 x + 6 - ham chiziqli.

Ammo algebra darsligi (7-sinf) Mordkovich A.G. quyidagi tavsifni beradi:

Ta'rif 2

Bitta x o'zgaruvchidagi chiziqli tenglama shakldagi tenglamadir a x + b = 0, Qayerda a Va b- chiziqli tenglamaning koeffitsientlari deb ataladigan ba'zi raqamlar.

2-misol

Ushbu turdagi chiziqli tenglamalarga misol bo'lishi mumkin:

3 x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Ammo yuqorida biz ishlatgan chiziqli tenglamalarga misollar ham mavjud: shakl a x = b, Masalan, 6 x = 35.

Biz darhol rozi bo'lamiz, bu maqolada bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama orqali biz yozilgan tenglamani tushunamiz. a x + b = 0, Qayerda x- o'zgaruvchan; a, b - koeffitsientlar. Biz chiziqli tenglamaning bu shaklini eng asosli deb bilamiz, chunki chiziqli tenglamalar birinchi darajali algebraik tenglamalardir. Va yuqorida ko'rsatilgan boshqa tenglamalar va shakldagi ekvivalent o'zgarishlar bilan berilgan tenglamalar a x + b = 0, chiziqli tenglamalarga keltiruvchi tenglamalar sifatida belgilaymiz.

Ushbu yondashuv bilan 5 x + 8 = 0 tenglama chiziqli va 5 x = − 8- chiziqli tenglamaga keltiruvchi tenglama.

Chiziqli tenglamalarni yechish printsipi

Keling, berilgan chiziqli tenglamaning ildizlari bo'ladimi yoki yo'qligini qanday aniqlash mumkin, agar bo'lsa, qancha va qanday aniqlash mumkinligini ko'rib chiqamiz.

Ta'rif 3

Chiziqli tenglamaning ildizlari mavjudligi fakti koeffitsientlar qiymatlari bilan aniqlanadi a Va b. Keling, ushbu shartlarni yozamiz:

• da a ≠ 0 chiziqli tenglama bitta ildizga ega x = - b a ;
• da a = 0 Va b ≠ 0 chiziqli tenglamaning ildizlari yo'q;
• da a = 0 Va b = 0 chiziqli tenglama cheksiz ko'p ildizlarga ega. Asosan, bu holda har qanday raqam chiziqli tenglamaning ildiziga aylanishi mumkin.

Keling, tushuntirish beraylik. Bizga ma'lumki, tenglamani yechish jarayonida berilgan tenglamani ekvivalentga aylantirish mumkin, ya'ni u dastlabki tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki ildizlari ham yo'q. Biz quyidagi ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshirishimiz mumkin:

• atamani bir qismdan ikkinchisiga o'tkazish, belgini teskarisiga o'zgartirish;
• tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan bir xil songa ko'paytirish yoki bo'lish.

Shunday qilib, chiziqli tenglamani o'zgartiramiz a x + b = 0, atamani ko'chirish b belgisi o'zgarishi bilan chap tomondan o'ng tomonga. Biz olamiz: a · x = - b.

Shunday qilib, biz tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan songa ajratamiz A, natijada x = - b a ko'rinishdagi tenglikka erishiladi. Ya'ni qachon a ≠ 0, original tenglama a x + b = 0 x = - b a tengligiga ekvivalent bo'lib, unda - b a ildizi aniq.

Qarama-qarshilik bilan topilgan ildiz yagona ekanligini ko'rsatish mumkin. Topilgan ildizni - b a deb belgilaymiz x 1. Belgilangan chiziqli tenglamaning yana bir ildizi bor deb faraz qilaylik x 2. Va, albatta: x 2 ≠ x 1, va bu, o'z navbatida, farq orqali teng sonlarni aniqlashga asoslangan holda, shartga tengdir x 1 - x 2 ≠ 0 . Yuqoridagilarni hisobga olib, biz ildizlarni almashtirib, quyidagi tenglikni hosil qilishimiz mumkin:
a x 1 + b = 0 va a x 2 + b = 0.
Raqamli tengliklarning xossasi tenglik qismlarini muddat bo'yicha ayirishni amalga oshirishga imkon beradi:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, bu yerdan: a · (x 1 - x 2) + (b - b) = 0 va undan keyin a · (x 1 - x 2) = 0 . Tenglik a · (x 1 - x 2) = 0 noto'g'ri, chunki bu avvalroq ko'rsatilgan a ≠ 0 Va x 1 - x 2 ≠ 0 . Natijada paydo bo'lgan qarama-qarshilik qachon ekanligiga dalil bo'lib xizmat qiladi a ≠ 0 chiziqli tenglama a x + b = 0 faqat bitta ildizga ega.

O'z ichiga olgan shartlarning yana ikkita bandini asoslaylik a = 0.

Qachon a = 0 chiziqli tenglama a x + b = 0 sifatida yoziladi 0 x + b = 0. Raqamni nolga ko'paytirish xususiyati bizga qaysi raqam qabul qilinishidan qat'i nazar, tasdiqlash huquqini beradi x, uni tenglikka almashtirish 0 x + b = 0, biz b = 0 ni olamiz. Tenglik b = 0 uchun amal qiladi; boshqa hollarda, qachon b ≠ 0, tenglik yolg'onga aylanadi.

Xo'sh, qachon a = 0 va b = 0 , har qanday son chiziqli tenglamaning ildiziga aylanishi mumkin a x + b = 0, bu shartlar bajarilgandan beri, o'rniga o'zgartirish x har qanday raqam, biz to'g'ri raqamli tenglikni olamiz 0 = 0 . Qachon a = 0 Va b ≠ 0 chiziqli tenglama a x + b = 0 hech qanday ildizga ega bo'lmaydi, chunki belgilangan shartlar bajarilganda, uning o'rniga almashtiriladi x har qanday raqam, biz noto'g'ri raqamli tenglikni olamiz b = 0.

Yuqoridagi barcha mulohazalar bizga har qanday chiziqli tenglamaning yechimini topish imkonini beruvchi algoritmni yozish imkoniyatini beradi:

• yozuv turi bo'yicha biz koeffitsientlarning qiymatlarini aniqlaymiz a Va b va ularni tahlil qilish;
• da a = 0 Va b = 0 tenglama cheksiz ko'p ildizlarga ega bo'ladi, ya'ni. istalgan son berilgan tenglamaning ildiziga aylanadi;
• da a = 0 Va b ≠ 0
• da a, noldan farq qilib, biz asl chiziqli tenglamaning yagona ildizini qidirishni boshlaymiz:

1. koeffitsientini harakatlantiramiz b chiziqli tenglamani ko'rinishga olib keladigan ishorani qarama-qarshi tomonga o'zgartirish bilan o'ng tomonga a · x = - b ;
2. hosil bo'lgan tenglikning ikkala tomonini songa bo'ling a, bu bizga berilgan tenglamaning kerakli ildizini beradi: x = - b a.

Aslida, tasvirlangan harakatlar ketma-ketligi chiziqli tenglamaning echimini qanday topish kerakligi haqidagi savolga javobdir.

Nihoyat, shaklning tenglamalarini aniqlaylik a x = b Raqamdagi yagona farq bilan shunga o'xshash algoritm yordamida hal qilinadi b bunday yozuvda allaqachon tenglamaning kerakli qismiga o'tkazilgan va bilan a ≠ 0 tenglama qismlarini darhol raqamga bo'lishingiz mumkin a.

Shunday qilib, tenglamaning yechimini topish a x = b, biz quyidagi algoritmdan foydalanamiz:

• da a = 0 Va b = 0 tenglama cheksiz ko'p ildizlarga ega bo'ladi, ya'ni. har qanday raqam uning ildiziga aylanishi mumkin;
• da a = 0 Va b ≠ 0 berilgan tenglamaning ildizlari bo'lmaydi;
• da a, nolga teng emas, tenglamaning ikkala tomoni ham songa bo'linadi a ga teng bo'lgan yagona ildizni topish imkonini beradi b a.

Chiziqli tenglamalarni yechishga misollar

3-misol

Chiziqli tenglamani yechish kerak 0 x − 0 = 0.

Yechim

Berilgan tenglamani yozish orqali biz buni ko'ramiz a = 0 Va b = - 0(yoki b = 0, qaysi bir xil). Shunday qilib, berilgan tenglama cheksiz ko'p ildiz yoki istalgan raqamga ega bo'lishi mumkin.

Javob: x- har qanday raqam.

4-misol

Tenglamaning ildizlari borligini aniqlash kerak 0 x + 2, 7 = 0.

Yechim

Yozuvdan a = 0, b = 2, 7 ekanligini aniqlaymiz. Shunday qilib, berilgan tenglamaning ildizlari bo'lmaydi.

Javob: asl chiziqli tenglamaning ildizlari yo'q.

5-misol

Chiziqli tenglama berilgan 0,3 x - 0,027 = 0. Buni hal qilish kerak.

Yechim

Tenglamani yozish orqali a = 0, 3 ekanligini aniqlaymiz; b = - 0,027, bu esa berilgan tenglamaning bitta ildizga ega ekanligini tasdiqlash imkonini beradi.

Algoritmga amal qilib, biz b ni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, ishorani o'zgartiramiz, biz olamiz: 0,3 x = 0,027. Keyinchalik, hosil bo'lgan tenglikning ikkala tomonini a = 0, 3 ga bo'lamiz, keyin: x = 0, 027 0, 3.

O'nli kasrlarni ajratamiz:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Olingan natija berilgan tenglamaning ildizidir.

Keling, yechimni quyidagicha qisqacha yozamiz:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

Javob: x = 0,09.

Aniqlik uchun biz yozma tenglamaning yechimini taqdim etamiz a x = b.

Misol N

Berilgan tenglamalar: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = - 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Ularni hal qilish kerak.

Yechim

Berilgan barcha tenglamalar yozuvga mos keladi a x = b. Keling, ularni birma-bir ko'rib chiqaylik.

0 x = 0 tenglamasida a = 0 va b = 0, bu degani: har qanday raqam bu tenglamaning ildizi bo'lishi mumkin.

Ikkinchi tenglamada 0 x = - 9: a = 0 va b = - 9, shuning uchun bu tenglamaning ildizlari bo'lmaydi.

Oxirgi tenglama - 3 8 · x = - 3 3 4 shakliga asoslanib, koeffitsientlarni yozamiz: a = - 3 8, b = - 3 3 4, ya'ni. tenglama bitta ildizga ega. Keling, uni topamiz. Tenglamaning har ikki tomonini a ga bo'laylik, natijada: x = - 3 3 4 - 3 8. Keling, manfiy sonlarni bo'lish qoidasini qo'llash, keyin aralash sonni oddiy kasrga aylantirish va oddiy kasrlarni bo'lish orqali kasrni soddalashtiramiz:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Keling, yechimni quyidagicha qisqacha yozamiz:

3 8 · x = - 3 3 4, x = - 3 3 4 - 3 8, x = 10.

Javob: 1) x– istalgan son, 2) tenglamaning ildizlari yo‘q, 3) x = 10.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Oldingi darslarda biz iboralar bilan tanishdik, shuningdek, ularni qanday soddalashtirish va hisoblashni o'rgandik. Endi biz yanada murakkab va qiziqarli narsaga, ya'ni tenglamalarga o'tamiz.

Tenglama va uning ildizlari

O'zgaruvchi(lar)ni o'z ichiga olgan tenglamalar deyiladi tenglamalar. Tenglamani yeching , tenglik rost bo'ladigan o'zgaruvchining qiymatini topishni bildiradi. O'zgaruvchining qiymati deyiladi tenglamaning ildizi .

Tenglamalar bitta, bir nechta yoki umuman bo'lmasligi mumkin.

Tenglamalarni yechishda quyidagi xossalardan foydalaniladi:

• Agar tenglamadagi atamani tenglamaning bir qismidan ikkinchisiga o‘tkazsangiz, belgisini qarama-qarshi tomonga o‘zgartirsangiz, berilganiga teng tenglamani olasiz.
• Agar tenglamaning ikkala tomoni bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, siz berilgan tenglamaga ekvivalentga ega bo'lasiz.

Misol № 1-2, -1, 0, 2, 3 raqamlaridan qaysi biri tenglamaning ildizi hisoblanadi:

Ushbu vazifani hal qilish uchun siz x o'zgaruvchisi uchun har bir raqamni birma-bir almashtirishingiz va tenglik to'g'ri deb hisoblangan raqamlarni tanlashingiz kerak.

“x= -2” da:

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4\) - tenglik to'g'ri, ya'ni (-2) tenglamamizning ildizi

"x= -1" da

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7\) - tenglik noto'g'ri, shuning uchun (-1) tenglamaning ildizi emas.

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10\) - tenglik noto'g'ri, shuning uchun 0 tenglamaning ildizi emas

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\(4=4\) - tenglik to'g'ri, ya'ni 2 tenglamamizning ildizi

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1\) - tenglik noto'g'ri, shuning uchun 3 tenglamaning ildizi emas.

Javob: berilgan raqamlardan \(x^2=10-3x\) tenglamaning ildizlari -2 va 2 raqamlaridir.

Bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglama ax = b ko'rinishdagi tenglamalar, bu erda x - o'zgaruvchi, a va b - ba'zi sonlar.

Tenglamalarning ko'p turlari mavjud, ammo ularning ko'pchiligini echish chiziqli tenglamalarni echish bilan bog'liq, shuning uchun ushbu mavzuni bilish keyingi o'qitish uchun majburiydir!

Misol № 2 Tenglamani yeching: 4(x+7) = 3-x

Bu tenglamani yechish uchun, avvalo, qavsdan qutulish kerak va buning uchun qavs ichidagi atamalarning har birini 4 ga ko‘paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

4x + 28 = 3 - x

Endi biz barcha qiymatlarni "x" dan bir tomonga, qolganlarini esa boshqa tomonga o'tkazishimiz kerak (belgini qarama-qarshi tomonga o'zgartirishni unutmang), biz quyidagilarni olamiz:

4x + x = 3 - 28

Endi qiymatni chap va o'ngdan ayiring:

Noma'lum omilni (x) topish uchun mahsulot (25) ni ma'lum koeffitsientga (5) bo'lish kerak:

Javob x = -5

Agar siz javobga shubha qilsangiz, natijada olingan qiymatni tenglamamizga x o'rniga almashtirish orqali tekshirishingiz mumkin:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - tenglama to'g'ri echildi!

Endi murakkabroq narsani hal qilaylik:

Misol № 3 Tenglamaning ildizlarini toping: \((y+4)-(y-4)=6y\)

Avvalo, qavslarni ham olib tashlaylik:

Biz darhol chap tomonda y va -y ni ko'ramiz, ya'ni siz ularni shunchaki kesib tashlashingiz va natijada olingan raqamlarni qo'shishingiz va ifodani yozishingiz mumkin:

Endi siz "y" bilan qiymatlarni chapga, raqamlar bilan qiymatlarni o'ngga ko'chirishingiz mumkin. Ammo bu shart emas, chunki o'zgaruvchilar qaysi tomonda ekanligi muhim emas, asosiysi ular raqamlarsiz, ya'ni biz hech narsani o'tkazmaymiz. Ammo tushunmaydiganlar uchun biz qoida aytganidek qilamiz va mulkda aytilganidek, ikkala qismni (-1) ga ajratamiz:

Noma'lum omilni topish uchun mahsulotni ma'lum omilga bo'lish kerak:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Javob: y = \(1\frac(1)(3)\)

Siz ham javobni tekshirishingiz mumkin, lekin buni o'zingiz qiling.

Misol № 4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Endi men buni tushuntirishsiz hal qilaman va siz yechimning borishiga va tenglamalarni echish uchun to'g'ri belgiga qaraysiz:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6\)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6\)

\(x=\frac(7.8)(-5.2)=\frac(3)(-2) =-1.5\)

Javob: x = -1,5

Agar yechim davomida biror narsa aniq bo'lmasa, izohlarda yozing.

Tenglamalar yordamida masalalar yechish

Tenglamalar nima ekanligini bilish va ularni hisoblashni o'rganish, siz o'zingizga tenglamalar yechim uchun ishlatiladigan ko'plab muammolarni hal qilish imkoniyatini ham berasiz.

Men nazariyaga kirmayman, hamma narsani birdaniga misollar bilan ko'rsatgan ma'qul

Misol № 5 Savatdagi olma qutidagidan 2 barobar kam edi. 10 ta olma savatdan qutiga o'tkazilgandan so'ng, qutidagi olma savatdagidan 5 barobar ko'p edi. Savatda nechta olma va qutida nechta olma bor edi?

Avvalo, biz "x" sifatida nimani qabul qilishimizni aniqlashimiz kerak, bu masalada biz qutilarni ham, savatlarni ham qabul qilishimiz mumkin, lekin men savatdagi olma olaman.

Shunday qilib, savatda x olma bo'lsin, chunki qutida ikki barobar ko'p olma bor edi, keling, buni 2x deb olaylik. Olmalar savatdan qutiga o'tkazilgandan so'ng, savatdagi olmalar soni quyidagicha bo'ldi: x - 10, ya'ni qutida - (2x + 10) olma bor edi.

Endi biz tenglamani yaratishimiz mumkin:

5(x-10) - qutidagi olma savatdagidan 5 barobar ko'p.

Birinchi va ikkinchi qiymatni tenglashtiramiz:

2x+10 = 5(x-10) va yeching:

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x = -60/-3 = 20 (olma) - savatda

Endi savatda nechta olma borligini bilib, qutida nechta olma borligini bilib olaylik - chunki ular ikki barobar ko'p edi, natijani shunchaki 2 ga ko'paytiramiz:

2 * 20 = 40 (olma) - qutida

Javob: Bir qutida 40 ta olma, savatda 20 ta olma bor.

Tushundimki, ko'pchiligingiz muammolarni qanday hal qilishni to'liq tushunmagan bo'lishingiz mumkin, lekin sizni ishontirib aytamanki, biz darslarimizda bu mavzuga bir necha marta qaytamiz, ammo shu bilan birga, agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, ularni sharhlarda so'rang. .

Va nihoyat, tenglamalarni echish bo'yicha yana bir nechta misol

Misol № 6\(2x - 0,7x = 0\)

Misol № 7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Misol № 8\(6y-(y-1) = 4+5y\)

\(6y-y+1=4+5y\)

\(6y-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - ildizlar yo'q, chunki Siz nolga bo'la olmaysiz!

E'tiboringiz uchun barchangizga rahmat. Agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda so'rang.

Brauzeringizda Javascript o‘chirib qo‘yilgan.
Hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ActiveX boshqaruvlarini yoqishingiz kerak!