Parametr yordamida tengsizliklarni yechish.

ax > b, ax ko`rinishiga ega bo`lgan tengsizliklar< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются chiziqli tengsizliklar.

Parametrli chiziqli tengsizliklarni yechish tamoyillari parametrli chiziqli tenglamalarni yechish tamoyillariga juda o'xshash.

1-misol

5x - a > ax + 3 tengsizlikni yeching.

Qaror.

Birinchidan, asl tengsizlikni o'zgartiramiz:

5x - ax > a + 3, tengsizlikning chap tomonidagi qavslardan x ni chiqaramiz:

(5 - a) x > a + 3. Endi a parametri uchun mumkin bo'lgan holatlarni ko'rib chiqing:

Agar a > 5 bo'lsa, x< (а + 3) / (5 – а).

Agar a = 5 bo'lsa, u holda echimlar yo'q.

Agar a< 5, то x >(a + 3) / (5 - a).

Bu yechim tengsizlikka javob bo'ladi.

2-misol

a ≠ 1 uchun x(a - 2) / (a ​​- 1) - 2a / 3 ≤ 2x - a tengsizlikni yeching.

Qaror.

Keling, asl tengsizlikni o'zgartiramiz:

x(a - 2) / (a ​​- 1) - 2x ≤ 2a/3 - a;

Ah/(a – 1) ≤ -a/3. Tengsizlikning ikkala qismini (-1) ga ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

ax/(a – 1) ≥ a/3. a parametri uchun mumkin bo'lgan holatlarni ko'rib chiqamiz:

1 ta holat. a/(a – 1) > 0 yoki € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞) boʻlsin. Keyin x ≥ (a – 1)/3.

2-chi holat. a/(a – 1) = 0 bo‘lsin, ya’ni. a = 0. U holda x har qanday haqiqiy sondir.

3-chi holat. a/(a – 1) bo‘lsin< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Javob: x € [(a - 1) / 3; +∞) € uchun (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] € (0; 1);
a = 0 uchun x € R.

3-misol

|1 + x| tengsizlikni yeching ≤ x ga nisbatan ax.

Qaror.

Bu shartdan kelib chiqadiki, tengsizlik boltasining o'ng tomoni manfiy bo'lmasligi kerak, ya'ni. ax ≥ 0. Modulni tengsizlikdan kengaytirish qoidasi bilan |1 + x| ≤ ax bizda qo'sh tengsizlik bor

Ax ≤ 1 + x ≤ bolta. Natijani tizim shaklida qayta yozamiz:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Keling, shaklga o'tamiz:

((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

Olingan tizimni intervallar va nuqtalarda tekshiramiz (1-rasm):

≤ -1 x € (-∞; 1/(a - 1)] uchun.

-1 da< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

Qachon \u003d 0 x \u003d -1.

0 da< а ≤ 1 решений нет.

Tengsizliklarni echishning grafik usuli

Grafik tuzish parametrni o'z ichiga olgan tenglamalar yechimini sezilarli darajada osonlashtiradi. Parametrli tengsizliklarni yechishda grafik usuldan foydalanish yanada aniqroq va maqsadga muvofiqdir.

f(x) ≥ g(x) ko’rinishdagi tengsizliklarning grafik yechimi f(x) funksiya grafigi g(x) funksiya grafigidan yuqorida joylashgan x o’zgaruvchining qiymatlarini topishni bildiradi. Buning uchun har doim grafiklarning kesishish nuqtalarini topish kerak (agar ular mavjud bo'lsa).

1-misol

|x + 5| tengsizlikni yeching< bx.

Qaror.

y = |x + 5| funksiyalarning grafiklarini tuzamiz va y = bx (2-rasm). Tengsizlikning yechimi y = |x + 5| funksiya grafigi bo'lgan x o'zgaruvchisining qiymatlari bo'ladi. y = bx funksiya grafigidan pastda bo'ladi.

Rasmda ko'rsatilgan:

1) b > 1 uchun chiziqlar kesishadi. Bu funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasining abssissasi x + 5 = bx tenglamaning yechimidir, bu erdan x = 5/(b - 1). y \u003d bx grafigi x uchun (5 / (b - 1); +∞) oraliqdan yuqoriroq, ya'ni bu to'plam tengsizlikning yechimi hisoblanadi.

2) Xuddi shunday, biz -1 da topamiz< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b - 1)) uchun.

4) 0 ≤ b ≤ 1 uchun grafiklar kesishmaydi, ya’ni tengsizlikning yechimlari yo‘q.

Javob: b ≤ -1 uchun x € (-∞; 5/(b - 1));
x € (-5/(b + 1); 5/(b - 1)) -1 da< b < 0;
0 ≤ b ≤ 1 uchun yechimlar mavjud emas; b > 1 uchun x € (5/(b – 1); +∞).

2-misol

a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4) tengsizlikni yeching.

Qaror.

1) a parametri uchun "nazorat" qiymatlarini topamiz: a 1 = 0, a 2 = -1.

2) Bu tengsizlikni haqiqiy sonlarning har bir kichik to‘plamida yechamiz: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a \u003d -1, keyin bu tengsizlik 0 x > 0 ko'rinishini oladi - echimlar yo'q;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, u holda bu tengsizlik 0 x > 4 ko'rinishga ega - yechimlar yo'q;

e) a > 0, bu tengsizlik x > (a + 4)/a ekanligini bildiradi.

3-misol

|2 – |x|| tengsizlikni yeching< a – x.

Qaror.

y = |2 – |x|| funksiyasini chizamiz (3-rasm) va y \u003d -x + a liniyasining joylashishining barcha mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqing.

Javob: ≤ -2 uchun tengsizlikning yechimlari yo'q;
x € (-∞; (a - 2)/2) € (-2; 2] bilan;
a > 2 uchun x € (-∞; (a + 2)/2).

Parametrli turli xil muammolarni, tenglamalarni va tengsizliklarni echishda ko'plab evristik usullar ochiladi, ular keyinchalik matematikaning boshqa har qanday sohalarida muvaffaqiyatli qo'llanilishi mumkin.

Parametrli masalalar mantiqiy fikrlash va matematik madaniyatni shakllantirishda muhim rol o'ynaydi. Shuning uchun parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilish usullarini o'zlashtirib, siz boshqa muammolarni muvaffaqiyatli hal qilasiz.

Savollaringiz bormi? Tengsizliklarni qanday hal qilishni bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Kurs ishi

Rassom: Bugrov S.K.

Ko'pgina fizik jarayonlar va geometrik naqshlarni o'rganish ko'pincha parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilishga olib keladi. Ba'zi Universitetlar imtihon chiptalariga tenglamalar, tengsizliklar va ularning tizimlarini ham o'z ichiga oladi, ular ko'pincha juda murakkab va echishda nostandart yondashuvni talab qiladi. Maktabda matematika kursining eng qiyin bo'limlaridan biri faqat bir nechta ixtiyoriy sinflarda ko'rib chiqiladi.

Ushbu ishni tayyorlashda men ushbu mavzuni chuqurroq o'rganishni, tezda javobga olib keladigan eng oqilona echimni aniqlashni maqsad qilib qo'ydim. Menimcha, grafik usul tenglama va tengsizliklarni parametrli yechishning qulay va tezkor usuli hisoblanadi.

Mening inshomda tez-tez uchrab turadigan tenglamalar, tengsizliklar va ularning tizimlari ko'rib chiqiladi va ish jarayonida olgan bilimlarim maktab imtihonlarini topshirishda va universitetga kirishda yordam beradi deb umid qilaman.

§ 1. Asosiy ta’riflar

Tenglamani ko'rib chiqing

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

bu yerda a, b, c, …, k, x o‘zgaruvchilar.

Har qanday o'zgaruvchan qiymatlar tizimi

a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

Ushbu tenglamaning chap va o'ng qismlari haqiqiy qiymatlarni qabul qiladigan a, b, c, ..., k, x o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari tizimi deyiladi. A ning barcha ruxsat etilgan qiymatlari to'plami bo'lsin, B barcha ruxsat etilgan qiymatlar to'plami b va boshqalar, X - x ning barcha ruxsat etilgan qiymatlari to'plami bo'lsin, ya'ni. aOA, bOB, …, xOX. Agar A, B, C, …, K to‘plamlarning har biri mos ravishda bitta a, b, c, …, k qiymatni tanlab, tuzatsa va ularni (1) tenglamaga almashtirsa, u holda biz x uchun tenglamani olamiz, ya’ni. bitta noma'lum tenglama.

Tenglama yechishda doimiy hisoblanuvchi a, b, c, ..., k o‘zgaruvchilar parametrlar, tenglamaning o‘zi esa parametrlarni o‘z ichiga olgan tenglama deyiladi.

Parametrlar lotin alifbosining birinchi harflari bilan belgilanadi: a, b, c, d, …, k, l, m, n, nomaʼlumlari esa x, y, z harflari bilan belgilanadi.

Parametrli tenglamani yechish, parametrlarning qaysi qiymatlarida echimlar mavjudligini va ular nima ekanligini ko'rsatishni anglatadi.

Bir xil parametrlarni o'z ichiga olgan ikkita tenglama ekvivalent deyiladi, agar:

a) parametrlarning bir xil qiymatlari uchun ular mantiqiy;

b) birinchi tenglamaning har bir yechimi ikkinchisining yechimi va aksincha.

§ 2. Yechim algoritmi.

Tenglamaning sohasini toping.

a ni x ning funksiyasi sifatida ifodalaymiz.

XOa koordinata tizimida biz ushbu tenglamani aniqlash sohasiga kiritilgan x qiymatlari uchun a=¦(x) funksiya grafigini quramiz.

a=c to‘g‘rining kesishish nuqtalarini topamiz, bunda cÎ(-¥;+¥) funksiya grafigi a=¦(x) Agar a=c chiziq a=¦(x) grafigini kesib o’tsa. , keyin kesishish nuqtalarining abstsissalarini aniqlaymiz. Buning uchun a=¦(x) tenglamani x ga nisbatan yechish kifoya.

Javobni yozamiz.

I. Tenglamani yeching

(1)

x \u003d 0 tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun, biz a uchun tenglamani yechishimiz mumkin:

yoki

Funktsiya grafigi ikkita "yopishgan" giperboladir. Dastlabki tenglamaning yechimlari soni tuzilgan chiziq va y=a to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari soni bilan aniqlanadi.

Agar a O (-¥;-1]I(1;+¥)I

, u holda y=a to'g'ri chiziq (1) tenglama grafigini bir nuqtada kesib o'tadi. Bu nuqtaning abssissasini x uchun tenglamani yechishda topamiz.

Shunday qilib, bu oraliqda (1) tenglama yechimga ega

. , u holda y=a to'g'ri chiziq (1) tenglama grafigini ikki nuqtada kesib o'tadi. Bu nuqtalarning abstsissalarini va tenglamalaridan topish mumkin, biz va ni olamiz. , u holda y=a to'g'ri chiziq (1) tenglamaning grafigini kesib o'tmaydi, shuning uchun echimlar yo'q.

Agar a O (-¥;-1]I(1;+¥)I

, keyin; , keyin , ; , keyin hech qanday yechim yo'q.

II. Tenglama tuzilgan a parametrining barcha qiymatlarini toping

uch xil ildizga ega.

Tenglamani quyidagicha qayta yozish

va bir juft funksiyani ko'rib chiqib, siz a parametrining kerakli qiymatlari funksiya grafigi bilan aniq uchta kesishgan nuqtaga ega bo'lgan funksiya grafigining pozitsiyalariga mos kelishini ko'rishingiz mumkin. .

xOy koordinatalar tizimida biz funktsiyani chizamiz

). Buning uchun biz uni shaklda ifodalashimiz mumkin va yuzaga keladigan to'rtta holatni ko'rib chiqib, biz ushbu funktsiyani shaklda yozamiz.

Funktsiya grafigidan beri

- bu Ox o'qiga moyillik burchagi ga teng bo'lgan va Oy o'qini koordinatalari (0, a) bo'lgan nuqtada kesib o'tadigan to'g'ri chiziq bo'lib, biz uchta ko'rsatilgan kesishish nuqtasini faqat shu chiziq bo'lganda olish mumkin degan xulosaga kelamiz. funksiya grafigiga tegadi. Shunday qilib, biz hosilani topamiz.

III. a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tenglamalar tizimi

yechimlari bor.

Tizimning birinchi tenglamasidan biz olamiz

at Shuning uchun bu tenglama "yarim parabolalar" oilasini belgilaydi - parabolaning o'ng shoxlari abtsissa o'qi bo'ylab cho'qqilari bilan "siljiydi".

Ikkinchi tenglamaning chap tomonidagi to'liq kvadratlarni tanlang va uni faktorlarga ajrating

Samolyot nuqtalari to'plami

ikkinchi tenglamani qanoatlantiruvchi ikkita to'g'ri chiziq va

Keling, "yarim parabolalar" oilasidagi egri chiziq parametrining qaysi qiymatlari uchun olingan to'g'ri chiziqlardan biri bilan kamida bitta umumiy nuqtaga ega ekanligini bilib olaylik.

Davlat byudjeti ta'lim muassasasi

Samara viloyati o'rta umumiy ta'lim

2-sonli maktab im. V. Maskina temir yo'li Art. Klyavlino

Klyavlinskiy shahar okrugi

Samara viloyati

«Tenglamalar

va

tengsizliklar

parametrlari bilan"

Qo'llanma

Klyavlino

Qo'llanma

"Parametrli tenglamalar va tengsizliklar" 10-11-sinf o'quvchilari uchun

ushbu qo'llanma tashqi imtihondan o'tgan "Parametrli tenglamalar va tengsizliklar" tanlov kursi dasturiga ilovadir (Samara viloyati Ta'lim va fan vazirligining 2008 yil 19 dekabrdagi ilmiy-uslubiy ekspert kengashi tavsiya etilgan). Samara viloyati ta'lim muassasalarida foydalanish uchun)

Mualliflar

Romadanova Irina Vladimirovna

Klyavlinskaya o'rta umumiy ta'lim matematika o'qituvchisi

2-sonli maktab. V. Maskina, Klyavlinskiy tumani, Samara viloyati

Serbaeva Irina Alekseevna

Kirish……………………………………………………………3-4

Parametrli chiziqli tenglamalar va tengsizliklar……………..4-7

Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar……………7-9

Parametrli kasr ratsional tenglamalar……………..10-11

Irratsional tenglamalar va parametrli tengsizliklar……11-13

Trigonometrik tenglamalar va parametrli tengsizliklar.14-15

Parametrli ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar………16-17

Logarifmik tenglamalar va parametrli tengsizliklar ...... 16-18

Yagona davlat imtihonining vazifalari…………………………………………………………18-20

Mustaqil ish uchun topshiriqlar…………………………21-28

Kirish.

Parametrli tenglamalar va tengsizliklar.

Agar tenglama yoki tengsizlikda ba'zi koeffitsientlar aniq raqamli qiymatlar bilan berilmasa, lekin harflar bilan ko'rsatilgan bo'lsa, ular deyiladi. parametrlar, va tenglama yoki tengsizlikning o'zi parametrik.

Parametrli tenglama yoki tengsizlikni yechish uchun quyidagilar zarur:

Ajratish alohida ma'no- bu tenglama yoki tengsizlikning yechimi o'zgargan yoki o'tganda parametrning qiymati.

Aniqlash ruxsat etilgan qiymatlar tenglama yoki tengsizlik mantiqiy bo'lgan parametr qiymatlari.

Parametrli tenglama yoki tengsizlikni yechish quyidagilarni anglatadi:

1) parametrlarning qanday qiymatlarida echimlar mavjudligini aniqlash;

2) parametr qiymatlarining har bir ruxsat etilgan tizimi uchun tegishli echimlar to'plamini toping.

Parametrli tenglamani quyidagi usullar bilan yechish mumkin: analitik yoki grafik.

Analitik usul bir nechta holatlarni ko'rib chiqish orqali tenglamani tekshirish vazifasini o'z zimmasiga oladi, ularning hech birini o'tkazib yuborish mumkin emas.

Har bir turdagi parametrlar bilan tenglama va tengsizlikni analitik usul bilan hal qilish vaziyatni batafsil tahlil qilish va izchil o'rganishni o'z ichiga oladi, bunda zarurat tug'iladi. "yumshoq muomala" parametr bilan.

Grafik usul tenglama grafigini qurishni o'z ichiga oladi, bu orqali mos ravishda parametrning o'zgarishi tenglama yechimiga qanday ta'sir qilishini aniqlash mumkin. Grafik ba'zan qo'yilgan vazifalarni hal qilish uchun zarur va etarli shartlarni analitik shakllantirishga imkon beradi. Grafik yechim usuli, ayniqsa, parametrga qarab tenglama qancha ildizga ega ekanligini aniqlash zarur bo'lganda samarali bo'ladi va buni vizual ko'rishning shubhasiz afzalligi bor.

§ 1. Chiziqli tenglamalar va tengsizliklar.

Chiziqli tenglama a x = b , umumiy shaklda yozilgan, parametrli tenglama sifatida qaralishi mumkin, bu erda x - noma'lum , a , b - variantlar. Ushbu tenglama uchun parametrning maxsus yoki nazorat qiymati koeffitsientning noma'lumda yo'qolishi hisoblanadi.

Parametrli chiziqli tenglamani yechishda parametr uning maxsus qiymatiga teng va undan farq qiladigan holatlar ko'rib chiqiladi.

Maxsus parametr qiymati a qiymat hisoblanadi a = 0.

b = 0 maxsus parametr qiymati hisoblanadi b .

Da b ¹ 0 tenglamaning yechimlari yo'q.

Da b = 0 tenglama quyidagi shaklni oladi: 0x = 0. Bu tenglamaning yechimi har qanday haqiqiy sondir.

Shaklning tengsizliklari ah > b va bolta < b (a ≠ 0) chiziqli tengsizliklar deyiladi. Tengsizlikning yechimlari to'plami ah >b- interval

(; +), agar a > 0 , va (-;) , agar a< 0 . Xuddi shunday tengsizlik uchun

Oh< b yechimlar to'plami - interval(-;), agar a > 0, va (; +), agar a< 0.

1-misol tenglamani yeching bolta = 5

Qaror: Bu chiziqli tenglama.

Agar a = 0, keyin tenglama 0 × x = 5 yechimi yo‘q.

Agar a¹ 0, x =- tenglamaning yechimi.

Javob: da a¹ 0, x=

a = 0 uchun hech qanday yechim yo'q.

2-misol tenglamani yeching bolta - 6 \u003d 2a - 3x.

Qaror: Bu chiziqli tenglama bolta - 6 \u003d 2a - 3x (1)

ax + 3x = 2a +6

Tenglamani quyidagicha qayta yozish (a+3)x = 2(a+3) Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik:

a= -3 va a¹ -3.

Agar a= -3, keyin istalgan haqiqiy son X(1) tenglamaning ildizidir. Agar a¹ -3 , (1) tenglama bitta ildizga ega x = 2.

Javob: Da a = -3, x R ; da a ¹ -3, x = 2.

3-misol Parametrning qaysi qiymatlarida a tenglamaning ildizlari orasida

2x - 4x - a 2 + 4a – 4 = 0 ko'proq ildizlar mavjud 1 ?

Qaror: Tenglamani yeching 2x - 4x - a 2 + 4a – 4 = 0- chiziqli tenglama

2 (a - 2) x \u003d a 2 - 4a +4

2(a - 2) x \u003d (a - 2) 2

Da a = 2 tenglamaning yechimi 0x = 0 har qanday raqam, hatto 1 dan katta bo'lsin.

Da a¹ 2 x =
. Shart bo'yicha x > 1, ya'ni
>1, a > 4.

Javob: Da a (2) U(4;∞).

4-misol . Har bir parametr qiymati uchun a tenglamaning ildizlari sonini toping ax=8.

Qaror. bolta = 8 chiziqli tenglamadir.

y = a– gorizontal chiziqlar oilasi;

y = - grafik giperboladir. Biz bu funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

Javob: Agar a = 0, u holda tenglamaning yechimlari yo'q. Agar a ≠ 0, u holda tenglama bitta yechimga ega.

5-misol . Grafiklardan foydalanib, tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlang:

|x| = bolta - 1.

y=| x | ,

y = bolta - 1- grafik nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir (0;-1).

Biz bu funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

Javob: Qachon |a|>1- bitta ildiz

da | a|≤1 Tenglamaning ildizlari yo'q.

Misol 6 . Tengsizlikni yeching ax + 4 > 2x + a 2

Qaror : ax + 4 > 2x + a 2
(a – 2) x >a 2 – 4. Uchta holatni ko‘rib chiqing.

Javob. x > a + 2 da a > 2; X<а + 2, da a< 2; da a=2 yechimlar yo'q.

2-§. Kvadrat tenglamalar va tengsizliklar

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir Oh ² + b x + c = 0 , qayerda a≠ 0,

a, b , Bilan - variantlar.

Parametrli kvadrat tenglamalarni yechish uchun siz quyidagi formulalar yordamida standart yechish usullaridan foydalanishingiz mumkin:

1 ) kvadrat tenglamaning diskriminanti: D = b ² - 4 ac , (
²- ac)

2) kvadrat tenglamaning ildizlari formulalari:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Kvadrat tengsizliklar shakldagi tengsizliklar deyiladi

a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)

a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)

Tengsizlikning yechimlar to‘plami (3) tengsizlikning yechimlar to‘plamini (1) va tenglamani birlashtirish orqali olinadi. , a X 2 + b x + c=0.(4) tengsizlikning yechimlar to'plami ham xuddi shunday topiladi.

Kvadrat trinomialning diskriminanti bo'lsa a X 2 + b x + c noldan kichik bo'lsa, a > 0 uchun trinomial barcha x uchun ijobiy bo'ladi R.

Agar kvadrat trinomning ildizlari bo'lsa (x 1 < х 2 ), u holda a > 0 uchun to'plamda ijobiy bo'ladi(-; x 2 )
(X 2; +) va intervalda salbiy

(x 1; x 2 ). Agar a< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; x 2 ) va barcha x uchun manfiy (-; x 1 )
(X 2; +).

1-misol tenglamani yeching ax² - 2 (a - 1) x - 4 \u003d 0.

Bu kvadrat tenglama

Qaror: Maxsus ma'no a = 0.

Da a = 0 chiziqli tenglamani olamiz 2x - 4 = 0. Uning bitta ildizi bor x = 2.

Da a ≠ 0. Keling, diskriminantni topamiz.

D \u003d (a-1)² + 4a \u003d (a + 1)²

Agar a = -1, keyin D = 0 - bitta ildiz.

O'rniga qo'yish orqali ildizni toping a = -1.

-x² + 4x - 4 \u003d 0, ya'ni x² -4x + 4 = 0, buni topamiz x=2.

Agar a ≠ - 1, keyin D >0 . Ildiz formulasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

Javob: Da a=0 va a=-1 tenglama bitta ildizga ega x = 2; da a ≠ 0 va

a ≠ - 1 tenglama ikkita ildizga egaX 1 =2, x 2 =-.

2-misol Berilgan tenglamaning ildizlari sonini toping x²-2x-8-a=0 parametr qiymatlariga bog'liq a.

Qaror. Keling, ushbu tenglamani shaklda qayta yozamiz x²-2x-8=a

y \u003d x²-2x-8- grafik parabola;

y =a- gorizontal chiziqlar oilasi.

Funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

Javob: Qachon a<-9 , tenglamaning yechimlari yo'q; a=-9 bo‘lsa, tenglama bitta yechimga ega bo‘ladi; da a>-9, tenglama ikkita yechimga ega.

3-misol Nimada a tengsizlik (a - 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 x ning barcha qiymatlari uchun amal qiladimi?

Qaror. Kvadrat trinomial x ning barcha qiymatlari uchun ijobiydir

a-3 > 0 va D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, bundan kelib chiqadia > 6 .

Javob.a > 6

§ 3. Parametrli kasr-ratsional tenglamalar,

chiziqligacha qisqartirildi

Kasrli tenglamalarni yechish jarayoni odatiy sxema bo'yicha amalga oshiriladi: kasr tenglamaning ikkala qismini uning chap va o'ng qismlarining umumiy maxrajiga ko'paytirish orqali butun son bilan almashtiriladi. Shundan so'ng, begona ildizlar, ya'ni maxrajni nolga aylantiruvchi raqamlar bundan mustasno, butun tenglama yechiladi.

Parametrli tenglamalar bo'lsa, bu muammo yanada murakkabroq. Bu erda begona ildizlarni "yo'q qilish" uchun umumiy maxrajni nolga aylantiruvchi parametr qiymatini topish, ya'ni parametr uchun mos keladigan tenglamalarni echish talab qilinadi.

1-misol tenglamani yeching
= 0

Qaror: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x - a \u003d 0, x \u003d a.

Javob: Da a ≠ - 2, x=a

Da a = -2 ildizlari yo'q.

2-misol . tenglamani yeching
-
=
(1)

Bu kasrli ratsional tenglama

Qaror: Ma'nosi a = 0 maxsus hisoblanadi. Da a = 0 tenglama o'z ma'nosini yo'qotadi va shuning uchun hech qanday ildizga ega emas. Agar a ≠ 0, transformatsiyalardan so'ng tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a - 3 = 0 (2)- kvadrat tenglama.

Keling, diskriminantni topamiz \u003d (1 - a)² - (a² - 2a - 3) \u003d 4, tenglamaning ildizlarini topingX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

(1) tenglamadan (2) tenglamaga o'tishda (1) tenglamani aniqlash sohasi kengaydi, bu esa begona ildizlarning paydo bo'lishiga olib kelishi mumkin. Shuning uchun tekshirish zarur.

Imtihon. Topilgan qiymatlardan chiqarib tashlang X bo'lganlar

x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.

Agar X 1 +1=0, ya'ni (a+1) + 1= 0, keyin a = -2. Shunday qilib,

da a= -2 , X 1 -

Agar X 1 +2=0, ya'ni (a+1)+2=0, keyin a = - 3. Shunday qilib, da a \u003d - 3, x 1 - tenglamaning tashqi ildizi. (1).

Agar X 2 +1=0, ya'ni (a - 3) + 1= 0, keyin a = 2. Shunday qilib, da a = 2 x 2 - (1) tenglamaning tashqi ildizi.

Agar X 2 +2=0, ya'ni ( a – 3) + 2 = 0, keyin a=1. Shunday qilib, da a = 1,

X 2 - tenglamaning begona ildizi (1).

Shunga muvofiq, at a = - 3 olamiz x \u003d - 3 - 3 \u003d -6;

da a \u003d - 2 x \u003d -2 – 3= - 5;

da a \u003d 1 x \u003d 1 + 1 \u003d 2;

da a \u003d 2 x \u003d 2 + 1 \u003d 3.

Javobni yozishingiz mumkin.

Javob: 1) agar a= -3, keyin x= -6; 2) agar a= -2, keyin x= -5; 3) agar a=0, keyin ildizlar yo'q; 4) agar a=1, keyin x=2; 5) agar a=2, keyin x=3; 6) agar a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 2, keyin x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§ to'rt. Irratsional tenglamalar va tengsizliklar

O'zgaruvchi ildiz belgisi ostida joylashgan tenglamalar va tengsizliklar deyiladi mantiqsiz.

Irratsional tenglamalar yechimi tenglamaning ikkala tomonini bir darajaga ko'tarish yoki o'zgaruvchini o'zgartirish orqali irratsional tenglamadan ratsional tenglamaga o'tishga keltiriladi. Tenglamaning ikkala tomoni teng kuchga ko'tarilganda, begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Shuning uchun, ushbu usuldan foydalanganda, barcha topilgan ildizlarni parametr qiymatlaridagi o'zgarishlarni hisobga olgan holda dastlabki tenglamaga almashtirish orqali tekshirish kerak.

Tenglama turi
=g (x ) sistemaga ekvivalentdir

f (x) ≥ 0 tengsizlik f (x) = g 2 (x) tenglamasidan kelib chiqadi.

Irratsional tengsizliklarni yechishda quyidagi ekvivalent o'zgarishlardan foydalanamiz:

≤ g(x)


≥g(x)

1-misol Tenglamani yeching
= x + 1 (3)

Bu irratsional tenglama

Qaror: Arifmetik ildizning ta'rifi bo'yicha (3) tenglama tizimga ekvivalentdir
.

Da a = 2 sistemaning birinchi tenglamasi shaklga ega 0 x = 5, ya'ni uning yechimlari yo'q.

Da a≠ 2 x=
. Keling, qanday qadriyatlarni bilib olaylika topilgan qiymatX tengsizlikni qanoatlantiradix ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

qayerda a ≤ yoki a > 2.

Javob: Da a≤, a > 2 x=
, da < а ≤ 2 tenglamaning yechimlari yo'q.

2-misol tenglamani yeching
= a (4-ilova)

Qaror. y =

y = a gorizontal chiziqlar turkumidir.

Funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

Javob: da a<0 - hech qanday yechim yo'q

da a≥ 0 - bitta yechim.

3-misol . Keling, tengsizlikni hal qilaylik(a+1)
<1.

Qaror. O.D.Z. x ≤ 2. Agar a+1 ≤0, keyin tengsizlik barcha ruxsat etilgan qiymatlar uchun amal qiladi X. Agar a+1>0, keyin

(a+1)
<1.

<

qayerda X (2-
2

Javob. X (- ;2da a (-;-1, X (2-
2

da a (-1;+).

§ 5. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish uchun formulalar:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+pn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ± arccos a + 2 pn, n Z, ≤1. (2)

Agar >1, u holda (1) va (2) tenglamalar yechimga ega emas.

tan x = a
x= arctg a + pn, n Z, a R

ctg x = a
x = arcctg a + pn, n Z, a R

Har bir standart tengsizlik uchun biz yechimlar to'plamini ko'rsatamiz:

1. sin x > a
arcsin a + 2 n Z,

da a <-1, x R ; da a ≥ 1, yechimlar yo'q.

2. gunoh x< a
p - arcsin a + 2 pnZ,

a≤-1 uchun yechimlar mavjud emas; a>1 bo'lganda,x R

3. cos x > a
- arccos a + 2 pn < x < arccos a + 2 pn , n Z ,

da a<-1, x R ; da a ≥ 1 , hech qanday yechim yo'q.

4. chunki x arccos a+ 2 nZ,

da a≤-1 , hech qanday yechim yo'q; daa > 1, x R

5. tg x > a, arctg a + pnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

Misol 1. Toping a, bu tenglamaning yechimi bor:

Cos 2 x + 2(a-2) cosx + a 2 - 4a - 5 \u003d 0.

Qaror. Tenglamani shaklda yozamiz

Bilanos 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(a+1) =0, uni kvadrat shaklida yechib, olamiz cosx = 5-a va cosx = -a-1.

Tenglama cosx = 5- a taqdim etilgan echimlarga ega -1≤ 5-a ≤1
4≤ a≤ 6 va tenglama cosx = - a-1 berilgan -1≤ -1-a ≤ 1
-2 ≤ a ≤0.

Javob. a -2; 0
4; 6

2-misol Nimada bshunday tengsizlik mavjud
+ b> 0 barcha x ≠ uchun qanoatlantiriladipn , n Z .

Qaror. Keling, qo'ying a= 0. Tengsizlik b >0 uchun bajariladi. Keling, hech qanday b ≤0 masala shartlarini qanoatlantirmasligini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, x = qo'yish kifoya π /2, agar a <0, и х = - π /2 da a ≥0.

Javob.b > 0

§ 6. Ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar

1. Tenglama h(x) f ( x ) = h(x) g ( x) da h(x) > 0 ikki tizimning birikmasiga teng
va

2. Muayyan holatda (h (x)= a ) tenglama a f(x) = a g(x) da a> 0, ikki tizimning kombinatsiyasiga teng

va

3. Tenglama a f(x) = b , qayerda a > 0, a ≠1, b>0, tenglamaga ekvivalent

f(x)= log a b . Bo‘lyapti a=1 alohida ko'rib chiqiladi.

Eng oddiy ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish daraja xossasiga asoslanadi. Shaklning tengsizligif(a x o'zgaruvchini o'zgartirish orqali ) > 0t= a x tengsizliklar tizimini yechishgacha kamaytiradi
keyin esa mos keladigan eng oddiy ko‘rsatkichli tengsizliklar yechimiga.

Qat'iy bo'lmagan tengsizlikni yechishda qat'iy tengsizlikning yechimlari to'plamiga mos tenglamaning ildizlarini qo'shish kerak. Ifodani o'z ichiga olgan barcha misollarda tenglamalarni echishda bo'lgani kabi a f (x ) deb faraz qilamiz a> 0. Koson a= 1 alohida ko'rib chiqiladi.

1-misol . Nimada a tenglama 8 x =
faqat ijobiy ildizlar bormi?

Qaror. Bazasi birdan katta bo'lgan ko'rsatkichli funktsiyaning xossasi bo'yicha biz x>0 ga ega bo'lamiz
8 X >1

>1

>0, qaerdana (1,5;4).

Javob. a (1,5;4).

2-misol Tengsizlikni yeching a 2 ∙2 x > a

Qaror. Uchta holatni ko'rib chiqing:

1. a< 0 . Tengsizlikning chap tomoni musbat va o'ng tomoni manfiy bo'lgani uchun tengsizlik istalgan x uchun o'rinli bo'ladi R.

2. a=0. Hech qanday yechim yo'q.

3. a > 0 . a 2 ∙2 x > a
2 x >
x > - jurnal 2 a

Javob. X R da a > 0; uchun yechimlar yo'q a =0; X (- jurnal 2 a; +) daa > 0 .

§ 7. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar

Keling, echishda ishlatiladigan ba'zi ekvivalentlarni keltiraylik logarifmik tenglamalar va tengsizliklar.

1. log f (x) g (x) \u003d log f (x) h (x) tenglama tizimga ekvivalentdir.

Xususan, agar a >0, a≠1, keyin

jurnal a g(x)= log a h(x)

2. Tenglama jurnal a g(x)=b
g(x)=a b ( a >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Tengsizlik jurnal f ( x ) g (x) ≤ jurnal f ( x ) h(x) ikkita tizimning kombinatsiyasiga teng:
va

Agar a, b - sonlar, a >0, a ≠1, keyin

jurnal a f(x) ≤ b

jurnal a f(x) > b

1-misol Tenglamani yeching

Qaror. ODZ ni topamiz: x > 0, x ≠ a 4 , a > 0, a≠ 1. Tenglamani o'zgartiring

jurnal x - 2 = 4 - jurnal a x
jurnal x + jurnal a x– 6 = 0, qaerdan jurnal a x = - 3

x = a-3 va jurnal a x = 2
x = a 2. Shart x = a 4
a – 3 = a 4 yoki a 2 = a 4 ODZda bajarilmaydi.

Javob: x = a-3, x = a 2 da a (0; 1)
(1; ).

2-misol . Eng yuqori qiymatni toping a, buning uchun tenglama

2 jurnal -
+ a = 0 yechimlari bor.

Qaror. Keling, almashtiramiz
= tva 2-kvadrat tenglamani olingt 2 – t + a = 0. Yechish, topamizD = 1-8 a . O'ylab ko'ring D≥0, 1-8 a ≥0
a ≤.

Da a = kvadrat tenglamaning ildizi bort= >0.

Javob. a =

3-misol . Tengsizlikni yechingjurnal(x 2 – 2 x + a ) > - 3

Qaror. Tengsizliklar sistemasini yechaylik

Kvadrat trinomlarning ildizlari x 1,2 = 1 ±
ular 3,4 = 1 ±
.

Kritik parametr qiymatlari: a= 1 va a= 9.

U holda X 1 va X 2 birinchi va ikkinchi tengsizliklarning yechim to‘plamlari bo‘lsin

X 1
X 2 = X - asl tengsizlikning yechimi.

0 da< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), daa> 1 x 1 = (-;+).

0 da< a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), daa≥9 X 2 - yechim yo'q.

Uchta holatni ko'rib chiqing:

1. 0< a ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a≥ 9 X - yechim yo'q.

Vazifalardan foydalanish

Yuqori darajali C1, C2

1-misol Barcha qiymatlarni toping R, buning uchun tenglama

R ∙ ctg 2x+2sinx+ p= 3 kamida bitta ildizga ega.

Qaror. Keling, tenglamani aylantiramiz

R ∙ (
-1)+2sinx+ p\u003d 3, sinx \u003d t, t
, t 0.

- p+ 2t + p = 3, + 2t = 3, 3 -2t = , 3t2 – 2t3 = p .

Mayli f(y) = 3 t 2 – 2 t 3 . Funktsiya qiymatlari to'plamini topamizf(x) yoqilgan


. da / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

Da t
, E(f) =
,

Da t
, E(f) =
, ya'ni qachon t


, E(f) =
.

3-tenglamagat 2 – 2 t 3 = p (shuning uchun berilgan) kamida bitta zarur va etarli ildizga ega edip E(f), ya'ni p
.

Javob.
.

2-misol

Parametrning qaysi qiymatlaridaa tenglama jurnal
(4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 ning aynan bitta ildizi bormi?

Qaror. Keling, tenglamani ekvivalentga aylantiramiz:

4x 2 - 4 a + a 2 +7 \u003d (x 2 + 2) 2.

E'tibor bering, agar ma'lum bir son x natijaviy tenglamaning ildizi bo'lsa, u holda - x soni ham ushbu tenglamaning ildizidir. Shartga ko'ra, buni amalga oshirish mumkin emas, shuning uchun yagona ildiz 0 raqamidir.

Keling, topamiz a.

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Imtihon.

1) a 1 = 1. U holda tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:jurnal
(4 x 2 +4) =2. Biz uni hal qilamiz

4x 2 + 4 \u003d (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 \u003d x 4 + 4x 2 + 4, x 4 \u003d 0, x \u003d 0 - yagona ildiz.

2) a 2 = 3. Tenglama quyidagicha ko'rinadi:jurnal
(4 x 2 +4) =2
x = 0 yagona ildizdir.

Javob. 1; 3

Yuqori darajali C4, C5

3-misol Barcha qiymatlarni toping R, qaysi tenglama ostida

x 2 - ( R+ 3)x + 1= 0 butun sonli ildizlarga ega va bu ildizlar tengsizlikning yechimlari: x 3 - 7 R x 2 + 2x 2 - 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.

Qaror. X bo'lsin 1, X 2 x tenglamaning butun ildizlari 2 – (R + 3)x + 1= 0. U holda, Vyeta formulasi bo'yicha, x 1 + x 2 = R + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Ikki butun x sonning ko'paytmasi 1 , X 2 faqat ikkita holatda bittaga teng bo'lishi mumkin: x 1 = x 2 = 1 yoki x 1 = x 2 = - 1. Agar x bo'lsa 1 = x 2 = 1, keyinR + 3 = 1+1 = 2
R = - 1; agar x 1 = x 2 = - 1, keyinR + 3 = - 1 – 1 = - 2
R = - 5. X tenglamaning ildizlari borligini tekshiring 2 – (R Bu tengsizlikning yechimlari bilan tasvirlangan hollarda + 3)x + 1= 0. Ish uchunR = - 1, x 1 = x 2 = 1 bizda

1 3 - 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2 ∙ 1 2 - 14 ∙ (- 1) ∙ 1 - 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 - rost; ish uchun R\u003d - 5, x 1 \u003d x 2 \u003d - 1 bizda (- 1) 3 - 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 - 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 to'g'ri. Shunday qilib, muammoning sharti faqat qondiriladi R= - 1 va R = - 5.

Javob.R 1 = - 1 va R 2 = - 5.

4-misol Barcha ijobiy parametr qiymatlarini toping a, buning uchun 1 raqami funksiya sohasiga tegishli

da = (a
- a
).

Ish turi: 18

Vaziyat

a parametrining qaysi qiymatlari uchun tengsizlik yuzaga keladi

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 x ning barcha qiymatlari uchun amal qiladimi?

Yechimni ko'rsatish

Qaror

Bu tengsizlik ikki karra tengsizlikka teng 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

\sin x=t bo'lsin, u holda tengsizlikni olamiz:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , bu -1 \leq t \leq 1 ning barcha qiymatlari uchun amal qilishi kerak. Agar a=0 bo'lsa, [-1;1] dagi har qanday t\ uchun tengsizlik (*) bajariladi.

a \neq 0 bo'lsin. f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t funksiyasi [-1;1] oraliqda ortadi, chunki f"(t)=3t^(2)+ hosilasi 4at +5a^(2) > 0 barcha t \in \mathbb(R) va a \neq 0 (diskriminant D) uchun< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Tengsizlik (*) shartlar ostida t \in [-1;1] uchun amal qiladi

\begin(holatlar) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(holatlar)\:\chap o'ng o'q \begin(holatlar) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(holatlar)\:\chap o'ng o'q \begin(holatlar) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5) \leq a< 0 .

Demak, -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 bo'lganda shart bajariladi.

Javob

\left [-\frac(2)(5); 0\o'ng]

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2016. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 18
Mavzu: Parametrli tengsizliklar

Vaziyat

a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tengsizlik

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

o‘ziga xos yechimga ega.

Yechimni ko'rsatish

Qaror

Tengsizlik tengsizliklar sistemasi majmuiga ekvivalentdir

\left[\!\!\begin(massiv)(l) \begin(holatlar) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(holatlar) \\ \begin(holatlar)x \left[\!\!\begin(massiv)(l) \begin(holatlar) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(holatlar) \\ \begin(holatlar)x \left[\!\!\begin(massiv)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(holatlar) \\ \begin(holatlar)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(holatlar)\end(massiv)\o'ng.

Oxa koordinatalar tizimida biz funksiyalar grafiklarini tuzamiz a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Olingan to‘plam funksiya grafiklari orasiga qo‘yilgan nuqtalar bilan qanoatlantiriladi a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x x\in da (soyali maydon).

Grafikga ko'ra, biz aniqlaymiz: asl tengsizlik a=-4 va a=5 uchun yagona yechimga ega, chunki soyali sohada ordinatasi -4 ga va 5 ga teng bo'lgan yagona nuqta bo'ladi.

Ushbu darsda biz parametrlar bilan tengsizliklarni yechish algoritmini o'rganamiz va ushbu turdagi vazifalarni hal qilishda uni qanday qo'llashni o'rganamiz.

Ta'rif bir.

Parametrli tengsizlikni yechish deganda parametrning har bir qiymati uchun bu tengsizlikning barcha yechimlari to‘plamini topish yoki yechimlar yo‘qligini isbotlash tushuniladi.

Chiziqli tengsizliklarni ko'rib chiqing.

Ikki ta'rif.

a x plyus ko’rinishdagi tengsizliklar noldan katta, noldan katta yoki teng, noldan kichik, noldan kichik yoki teng, bunda a va b haqiqiy sonlar, X— oʻzgaruvchiga birinchi darajali tengsizliklar (chiziqli tengsizliklar) deyiladi.

Parametrli chiziqli tengsizlikni yechish algoritmi, masalan, x plyus b tengsizlik noldan katta, bu erda a va b haqiqiy sonlar, X- o'zgaruvchan. Quyidagi holatlarni ko'rib chiqing:

Birinchi holat:a noldan katta bo'lsa, x minus ba dan katta bo'lib, a ga bo'linadi.

Binobarin, tengsizlik yechimlari to'plami ochiq sonli nur bo'lib minusdan plyus cheksizga bo'linadi.

Ikkinchi holat:a noldan kichik bo'lsa, x minus ba dan kichik bo'lib, a ga bo'linadi

va shuning uchun tengsizlikning yechimlari to'plami minus cheksizlikdan minusgacha bo'lgan ochiq sonli nur bo'lib, a ga bo'linadi.

Uchinchi holat: a nolga teng bo'lsa, u holda tengsizlik quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: nolni x ga ko'paytiruvchi plyus be noldan katta va uchun bae noldan katta bo'lsa, har qanday haqiqiy son tengsizlikning yechimidir va qachon bae noldan kichik yoki teng bo'lsa, tengsizlikning yechimlari yo'q.

Qolgan tengsizliklar xuddi shunday yechiladi.

Misollarni ko'rib chiqing.

1-mashq

Tengsizlikni yeching va x birdan kichik yoki teng.

Qaror

Belgiga qarab a uchta holatni ko'rib chiqing.

Birinchi holat: agar a noldan katta, u holda x a ga bo'lingan birdan kichik yoki teng;

Ikkinchi holat: agar a noldan kichik, u holda x a ga bo'lingan birdan katta yoki teng;

Uchinchi holat: agar a nolga teng bo'lsa, u holda tengsizlik quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x ga ko'paytirilgan nol birdan kichik yoki teng va shuning uchun har qanday haqiqiy son asl tengsizlikning yechimidir.

Shunday qilib, agar a noldan katta bo'lsa, x minus cheksizlikdan a ga bo'lingan birlikka qadar nurga tegishli.

Agar a a nolga teng,

keyin x

Javob: agar a noldan katta, u holda x minus cheksizlikdan a ga bo'lingan birlikka nurga tegishli;

agar a noldan kichik bo'lsa, x birlikdan a ga ortiqcha cheksizlikka bo'lingan nurga tegishli bo'ladi va agar a nolga teng,

keyin x x haqiqiy sonlar to'plamiga tegishli.

Vazifa 2

Mod x minus ikki tengsizlikni yeching, a va bir o'rtasidagi farqning minus kvadratidan katta.

Qaror

E'tibor bering, modul x minus ikki har qanday real uchun noldan katta yoki tengdir X va minus a va birlik o'rtasidagi farqning kvadrati parametrning istalgan qiymati uchun noldan kichik yoki teng. a. Shuning uchun, agar a birga teng, keyin har qanday X— ikkitadan boshqa haqiqiy son tengsizlikning yechimidir va agar a birga teng bo'lmasa, har qanday haqiqiy son tengsizlikning yechimi bo'ladi.

Javob: agar a bir ga teng, u holda x minus cheksizlikdan ikkitagacha va ikkitadan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan ikkita ochiq sonli nurlarning birlashuviga tegishlidir,

Agar a minus cheksizlikdan birgacha va birdan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan ikkita ochiq sonli nurlarning birlashuviga tegishli bo'lsa, u holda X haqiqiy sonlar to‘plamiga tegishlidir.

Vazifa 3

Ikki a x p p 3 dan kam bo'lgan to'rt a va x ayirmasining uchta ko'paytmasi tengsizlikni yeching.

Qaror

Ushbu tengsizlikning elementar o'zgarishlaridan so'ng, biz tengsizlikni olamiz: x ikki a va uchta yig'indisi to'rt a va birning ayirmasidan uch marta katta.

Birinchi holat: agar ikkita a plyus uch noldan katta bo'lsa, ya'ni a minus uch soniyadan ko'p bo'lsa, x kasrdan katta bo'ladi, uning payi to'rt a va bir ning uch barobar farqi va maxraj ikki a plyus uch.

Ikkinchi holat: agar ikkita a plyus uch noldan kichik bo'lsa, ya'ni a minus uch soniyadan kam bo'lsa, u holda x kasrdan kichik bo'lib, uning soni to'rt a va bir ning uch baravar farqi va maxraj ikki a plyus uch.

Uchinchi holat: agar ikkita a plyus uchta nolga teng bo'lsa, ya'ni a minus uch soniyaga teng,

har qanday haqiqiy son asl tengsizlikning yechimidir.

Shuning uchun, agar a minus uch soniyadan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan ochiq sonli nurga tegishli bo'lsa, u holda x

kasrdan olingan ochiq sonli nurga tegishli bo'lib, uning ayirmasi to'rt a va bir ning uch baravar farqi, maxraji esa ikki a plyus uch, ortiqcha cheksizgacha.

Agar a minus cheksizlikdan minus uch sekundgacha bo'lgan ochiq sonli nurga tegishli bo'lsa, u holda x minus cheksizlikdan to kasrgacha bo'lgan ochiq sonli nurga tegishli bo'lib, uning soni to'rt a va bir ning ayirmasidan uch marta, maxraji esa ikkita a plyus bo'ladi. uchta;

agar a u holda minus uch soniyaga teng X haqiqiy sonlar to‘plamiga tegishlidir.

Javob: agar a minus uch soniyadan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan ochiq sonli nurga tegishli bo'lsa, u holda x

kasrdan olingan ochiq sonli nurga tegishli bo'lib, uning ayirmasi to'rt a va bir ning uch baravar farqiga, maxraji esa ikki a plyus uchga ortiqcha cheksizdir;

agar a minus cheksizlikdan minus uch soniyagacha bo'lgan ochiq sonli nurga tegishli bo'lsa, u holda x minus cheksizlikdan kasrgacha bo'lgan ochiq raqamli nurga tegishli bo'lib, uning soni to'rt a va bir ning ayirmasidan uch marta, maxraji esa ikkita a plyus bo'ladi. uchta;

agar a u holda minus uch soniyaga teng X haqiqiy sonlar to‘plamiga tegishlidir.

Vazifa 4

Barcha joriy parametr qiymatlari uchun a x minus a plyus kvadrat ildiz ikki a minus x ortiqcha kvadrat ildiz minus bir ortiqcha kvadrat ildiz uch minus noldan katta tengsizlik kvadrat ildizini yeching.

Qaror

Parametrning domenini toping a. U tengsizliklar tizimi bilan aniqlanadi, uni yechishda a ning birdan uchgacha bo'lgan segmentga tegishli ekanligini topamiz.

Bu tengsizlik tengsizliklar sistemasiga ekvivalent bo‘lib, uni yechishda x ning a dan ikki a gacha bo‘lgan segmentga tegishli ekanligini topamiz.

Agar a birdan uchgacha bo'lgan segmentga tegishli bo'lsa, u holda asl tengsizlikning yechimi a dan ikki agacha bo'lgan segmentdir.

Javob: agar a birdan uchgacha bo'lgan segmentga tegishli bo'lsa, u holda x a dan ikkita agacha bo'lgan segmentga tegishli.

Vazifa 5

Hammasini toping a, buning uchun tengsizlik

x ning kvadrat ildizi kvadrat minus x minus ikki va ayiruvchisi ikki minus x bo'lgan kasrning kvadrat ildizi va maxraji x plyus to'rtdan katta yoki teng bo'lgan x plyus ikki minus kvadrat ildizi x plyus bir bo'lgan kasrning kvadrat ildizi a maxraj besh minus x yechimi yo'q.

Qaror

Birinchidan. Keling, ushbu tengsizlikni aniqlash sohasini hisoblaylik. U tengsizliklar sistemasi bilan aniqlanadi, uning yechimi ikkita son: x minus birga, x esa ikkitaga teng.

Ikkinchi. Keling, bu tengsizlikning yechimlari bo'lgan a ning barcha qiymatlarini topaylik. Buning uchun biz hamma narsani topamiz a, buning uchun x minus birga teng va x ikkiga teng - bu tengsizlikning echimi. Ikki tizim to'plamini ko'rib chiqing va hal qiling. Yechim ikki raqamli nurni minus cheksizlikdan minus bir soniyagacha va birdan ortiqcha cheksizgacha birlashtirishdir.

Demak, agar a minusdan ikkita sonli nurlar birligiga tegishli bo'lsa, bu tengsizlik yechimga ega bo'ladi.

cheksizlikdan minus bir soniyagacha va birdan ortiqcha cheksizlikgacha.

Uchinchi. Shuning uchun, agar a minus bir soniyadan bir sekundgacha bo'lgan intervalga tegishli bo'lsa, bu tengsizlikning yechimi yo'q.

Javob: agar a minus bir soniyadan bir sekundgacha bo'lgan oraliqga tegishli bo'lsa, tengsizlikning yechimi yo'q.