Monotonik funktsiya bir xil yo'nalishda o'zgaruvchan funksiyadir.

Funktsiya ortadi agar argumentning katta qiymati funksiyaning katta qiymatiga mos kelsa. Boshqacha qilib aytganda, agar qiymat oshgani sayin x ma'nosi y ham ortadi, keyin u ortib borayotgan funktsiyadir.

Funktsiya kamaymoqda agar argumentning katta qiymati funksiyaning kichik qiymatiga mos kelsa. Boshqacha qilib aytganda, agar qiymat oshgani sayin x ma'nosi y kamayadi, keyin u kamayuvchi funktsiyadir.

Agar funktsiya qaysidir oraliqda ortib yoki kamayib borayotgan bo'lsa, bu oraliqda u monotonik deyiladi.

Funktsiya doimiy (monotonik bo'lmagan) , agar u kamaymasa va ko'paymasa.

Teorema(monotonlikning zaruriy mezoni):

1. Agar f(x) differensiallanuvchi funksiya qaysidir oraliqda ortib ketsa, uning bu oraliqdagi hosilasi manfiy emas, ya’ni.

2. Agar f(x) differensiallanuvchi funksiya qaysidir oraliqda kamaysa, uning bu oraliqdagi hosilasi musbat emas, .

3. Agar funktsiya o'zgarmasa, unda uning hosilasi nolga teng, ya'ni. .

Teorema(monotonlikning etarli belgisi):

f(x) (a;b) oraliqda uzluksiz va barcha nuqtalarda hosila bo‘lsin, u holda:

1. Agar ichida (a;b) musbat bo'lsa, f(x) ortadi.

2. Agar ichki (a;b) manfiy bo'lsa, f(x) kamayib bormoqda.

3. Agar , u holda f(x) doimiydir.

Ekstrema uchun funktsiyani tekshirish.

Ekstremum- berilgan to‘plamdagi funksiyaning maksimal yoki minimal qiymati. Ekstremumga erishilgan nuqta ekstremum nuqtasi deb ataladi. Shunga ko'ra, agar minimal darajaga erishilsa, ekstremum nuqta minimal nuqta deb ataladi va maksimalga erishilsa, maksimal nuqta deb ataladi.

1. Funksiyaning aniqlanish sohasini va funksiya uzluksiz bo‘lgan intervallarni toping.

2. Hosilni toping.

3. Kritik nuqtalarni toping, ya'ni. funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar.

4. Aniqlanish sohasi kritik nuqtalar bilan bo'linadigan intervallarning har birida hosila belgisini va funktsiyaning o'zgarishi xarakterini aniqlang.

5. Har bir kritik nuqta uchun aniq maksimal, minimal yoki ekstremum nuqta emasligini aniqlang.

Monotonlik va ekstremum funksiya intervallarini o'rganish natijasini yozib oling.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymati.

Segmentda uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish sxemasi.

1. Hosilni toping.

2. Berilgan segmentdagi kritik nuqtalarni toping.

3. Kritik nuqtalarda va segmentning uchlarida funksiya qiymatini hisoblang.

4. Hisoblangan qiymatlardan eng kichikini va eng kattasini tanlang.

Funksiyaning qavariqligi va botiqligi.

Agar yoy o'zining har qanday sekantini ikki nuqtadan ko'p bo'lmagan holda kesib o'tsa, qavariq deyiladi.

Qavariqdan yuqoriga qarab hosil bo'lgan chiziqlar qavariq, pastga qarab hosil bo'lgan chiziqlar esa botiq deyiladi.

Qavariq yoy uning har qanday tangenslari ostida, botiq yoy esa teginish ustida joylashganligi geometrik jihatdan aniq.

Funktsiyaning burilish nuqtalari.

Qavariq yoyni botiq yoydan ajratib turuvchi chiziqdagi nuqta burilish nuqtasidir.

Burilish nuqtasida tangens chiziqni kesib o'tadi, bu nuqtaga yaqin joyda chiziq tangensning ikkala tomonida yotadi.

Birinchi hosilaning kamayish oralig'i funksiya grafigining qavariq kesimiga, ortish oralig'i esa botiqlik kesimiga to'g'ri keladi.

Teorema(burilish nuqtalari haqida):

Agar ikkinchi hosila oraliqning hamma joyida manfiy bo'lsa, u holda bu oraliqga mos keladigan y = f(x) chiziqning yoyi qavariq bo'ladi. Agar ikkinchi hosila oraliqning hamma joyida musbat bo‘lsa, u holda bu oraliqga mos keladigan y = f(x) chiziq yoyi botiq bo‘ladi.

Burilish nuqtasining zarur belgisi:

Agar burilish nuqtasining abssissasi bo'lsa, u holda , yoki mavjud emas.

Burilish nuqtasining etarli belgisi:

Nuqta y = f(x) chiziqning burilish nuqtasi, agar , a ;

Qachon uning chap tomonida qavariq kesimi, o'ng tomonida bo'g'im qismi, chap tomonida bo'g'im qismi, o'ng tomonida qavariq bo'limi yotadi.

Asimptotalar.

Ta'rif.

Funksiya grafigining asimptoti deb funksiya grafigining nuqtasidan shu chiziqgacha boʻlgan masofa grafik nuqtasining bosh nuqtasidan cheksiz masofada nolga intiluvchi xossaga ega boʻlgan toʻgʻri chiziqdir.

Asimptotlarning turlari:

1. To'g'ridan-to'g'ri qiymatlardan kamida bittasi bo'lsa, chiziq y=f(x) funksiya grafigining vertikal asimptotu deyiladi. yoki teng yoki .

Raqamli to'plam X hisobga oladi simmetrik nolga nisbatan, agar mavjud bo'lsa xЄ X ma'nosi - X to‘plamga ham tegishli X.

Funktsiya y = f(XX, hisoblaydi hatto X xЄ X, f(X) = f(-X).

Juft funksiya uchun grafik y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Funktsiya y = f(X), to'plamda berilgan X, hisoblaydi g'alati, agar quyidagi shartlar bajarilsa: a) to'plam X nolga yaqin simmetrik; b) har qanday uchun xЄ X, f(X) = -f(-X).

G'alati funktsiya uchun grafik boshiga nisbatan simmetrikdir.

Funktsiya da = f(x), xЄ X, deyiladi davriy nashr yoqilgan X agar raqam bo'lsa T (T ≠ 0) (davr funktsiyalari) quyidagi shartlar bajariladi:

• X - T Va X + T ko'pchilikdan X har kim uchun XЄ X;
• har kim uchun XЄ X, f(X + T) = f(X - T) = f(X).

Qachon bo'lsa T- funksiyaning davri, keyin shaklning istalgan soni mT, Qayerda mЄ Z, m≠ 0, bu ham ushbu funktsiyaning davri. Berilgan funksiyaning musbat davrlarining eng kichigi (agar u mavjud bo‘lsa) uning asosiy davri deyiladi.

Qachon bo'lsa T- funktsiyaning asosiy davri, so'ngra uning grafigini qurish uchun siz uzunlik aniqlash maydonining istalgan oraliqlarida grafikning bir qismini qurishingiz mumkin. T, va keyin O o'qi bo'ylab grafikning ushbu qismini parallel tarjima qiling X± ga T, ±2 T, ....

Funktsiya y = f(X), pastdan chegaralangan to'plamda X A, qaysi biri uchun XЄ X, A ≤ f(X). To‘plamda pastdan chegaralangan funksiya grafigi X, chiziqdan butunlay yuqorida yotadi da = A(bu gorizontal chiziq).

Funktsiya da = f(x), yuqoridan cheklangan to'plamda X(shu bilan birga, bu to'plamda aniqlanishi kerak), agar raqam mavjud bo'lsa IN, qaysi biri uchun XЄ X, f(X) ≤ IN. X to‘plamda yuqoridan chegaralangan funksiya grafigi chiziqdan butunlay pastda joylashgan da = IN(bu gorizontal chiziq).

Funktsiya hisobga olinadi cheklangan to'plamda X(shu bilan birga, bu to'plamda aniqlanishi kerak) agar u yuqoridan va pastdan ushbu to'plamda chegaralangan bo'lsa, ya'ni bunday raqamlar mavjud. A Va IN, qaysi biri uchun XЄ X tengsizliklar A ≤ f(x) ≤ B. To‘plam bilan chegaralangan funksiya grafigi X, butunlay to'g'ri chiziqlar orasida joylashgan da = A Va da = IN(bular gorizontal chiziqlar).

Funktsiya da = f (X) to‘plamda chegaralangan deb hisoblanadi X(shu bilan birga, bu to'plamda aniqlanishi kerak), agar raqam mavjud bo'lsa BILAN> 0, bu har qanday uchun xЄ X, │f(X)│≤ BILAN.

Funktsiya da = f(X), XЄ X, deyiladi ortib borayotgan (kamayadigan) kichik to'plamda M BILAN X har biri uchun qachon X 1 va X 2 dan M shu kabi X 1 < X 2, adolatli f(X 1) < f(X 2) (f(X 1) ≤ f(X 2)). Yoki y funksiya chaqiriladi ortib boradi to'plamda TO, agar ushbu to'plamdagi argumentning katta qiymati funktsiyaning katta qiymatiga mos kelsa.

Funktsiya da = f(X), XÊX deyiladi kamayuvchi (o'smaydigan) kichik to'plamda M BILAN X har biri uchun qachon X 1 va X 2 dan M shu kabi X 1 < X 2, adolatli f(X 1) > f(X 2) (f(X 1) ≥ f(X 2)). yoki funktsiya da to'plamda kamayish deyiladi TO, agar bu to'plamdagi argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichik qiymatiga to'g'ri kelsa.

Funktsiya da = f(x), XЄ X, deyiladi monoton kichik to'plamda M BILAN X, agar u kamayayotgan (o'smagan) yoki ortib borayotgan (kamayayotgan) bo'lsa M.

Agar funktsiya da = f(X), XЄ X, kichik to'plamda kamaymoqda yoki ortib bormoqda M BILAN X, keyin bunday funktsiya chaqiriladi qat'iy monoton to'plamda M.

Raqam M chaqirdi funktsiyaning eng katta qiymati to'plamda TO, agar bu raqam funktsiyaning x ning ma'lum qiymatidagi qiymati bo'lsa 0 argumentlar to'plamiTO, va K to'plamidagi argumentning boshqa qiymatlari uchun y funktsiyasining qiymatlari raqamdan katta emasM.

Raqam m chaqirdi eng kichik qiymat to'plamdagi y funktsiyalari TO agar bu raqam funktsiyaning ma'lum bir qiymatdagi qiymati bo'lsa X To'plamdan 0 ta argument TO, va to'plamdagi x argumentining boshqa qiymatlari uchun TO y funksiyaning qiymati sondan kam emas m.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari , uni o'rganishni boshlash yaxshiroq va tadqiqot uning ta'rifi va ahamiyati sohasidir. Elementar funktsiyalarning grafiklari qanday tasvirlanganligini esga olish kerak. Shundan keyingina murakkabroq grafiklarni qurishga o'tishingiz mumkin. "Funktsiyalar" mavzusi iqtisodiyot va boshqa bilim sohalarida keng qo'llaniladi. Funktsiyalar matematika kursi davomida o'rganiladi va o'rganish davom etmoqda oliy ta'lim muassasalari . U erda funktsiyalar birinchi va ikkinchi hosilalar yordamida o'rganiladi.

Bu belgini o'zgartirmaydi, ya'ni har doim salbiy yoki har doim ijobiy emas. Agar qo'shimcha ravishda o'sish nolga teng bo'lmasa, u holda funktsiya chaqiriladi qat'iy monoton. Monotonik funktsiya bir xil yo'nalishda o'zgaruvchan funktsiyadir.

Argumentning kattaroq qiymati funksiyaning katta qiymatiga mos kelsa, funktsiya ortadi. Agar argumentning katta qiymati funksiyaning kichik qiymatiga mos kelsa, funktsiya kamayadi.

Ta'riflar

Unda funksiya berilsin

. . . .

(qat'iy) ortib boruvchi yoki kamayuvchi funksiya (qat'iy) monotonik deyiladi.

Boshqa terminologiya

Ba'zan ortib borayotgan funktsiyalar chaqiriladi kamaymaydigan, va kamaytiruvchi funktsiyalar oshmaydigan. Keyinchalik qat'iy ortib boruvchi funktsiyalar oddiygina ko'payish deb ataladi va qat'iy kamayuvchi funktsiyalar shunchaki kamayadi.

Monoton funksiyalarning xossalari

Funktsiyaning monotonlik shartlari

Qarama-qarshilik odatda to'g'ri emas. Qattiq monoton funktsiyaning hosilasi yo'qolishi mumkin. Biroq, hosilasi nolga teng bo'lmagan nuqtalar to'plami intervalda zich bo'lishi kerak.Aniqrog'i, bizda

Xuddi shunday, faqat quyidagi ikkita shart bajarilsa, intervalda qat'iy kamayadi:

Misollar

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Monoton funktsiyasi" nima ekanligini ko'ring:

Monotonik funktsiya- - f (x) funktsiyasi, u ma'lum bir oraliqda ortib borishi mumkin (ya'ni, bu oraliqdagi argumentning har qanday qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiya qiymati shunchalik katta bo'ladi) yoki kamayishi (teskari holatda) ... ... ...

Argument ko'payganda, har doim ortib boruvchi (yoki hech bo'lmaganda kamaymaydigan) yoki har doim kamayadigan (ko'paymaydigan) funktsiya ... Katta ensiklopedik lug'at

- (monotoniy funktsiya) Argument qiymati o'sishi bilan funktsiyaning qiymati har doim bir xil yo'nalishda o'zgarib turadigan funktsiya. Demak, agar y=f(x) bo'lsa, x ning barcha qiymatlari uchun dy/dx 0 bo'ladi, bu holda y ortib bormoqda... ... Iqtisodiy lug'at

- (yunoncha monótonos monofonik) Df(x) = f(x') f(x) o'sishlari Dx = x' x > 0 uchun belgisini o'zgartirmaydigan, ya'ni har doim manfiy bo'lmagan yoki har doim ijobiy bo'lmagan funksiya. . To'g'ri gapirmasa, M. f. bu funksiyalar ...... da o'zgaradi. Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Argument ko'tarilganda, har doim ortib boruvchi (yoki hech bo'lmaganda kamaymaydigan) yoki har doim kamayadigan (ko'paymaydigan) funktsiya. * * * MONOTON FUNKSIYASI MONOTON FUNKSIYA, argument ortganda, har doim ham ortadi (yoki ... ...) ensiklopedik lug'at

Haqiqiy sonlarning ma'lum bir to'plamida aniqlangan bitta o'zgaruvchining funktsiyasi, n ga o'sish at belgisini o'zgartirmaydi, ya'ni u har doim manfiy emas yoki har doim ijobiy bo'lmaydi. Agar noldan qat'iy katta (kamroq) bo'lsa, u holda M. f. chaqirdi…… Matematik entsiklopediya

Argument ko'payganda, har doim ortib boruvchi (yoki hech bo'lmaganda kamaymaydigan) yoki har doim kamayadigan (ko'paymaydigan) funktsiya ... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

Bu elementlar soni ortib borishi bilan kamaymaydigan yoki aksincha ko'paymaydigan ketma-ketlikdir. Bunday ketma-ketliklar ko'pincha tadqiqotlarda uchraydi va bir qator o'ziga xos xususiyatlar va qo'shimcha xususiyatlarga ega. ... ... Vikipediya

funktsiyasi- jamoa yoki odamlar guruhi va ular bir yoki bir nechta jarayon yoki faoliyatni amalga oshirish uchun foydalanadigan vositalar yoki boshqa resurslar. Masalan, mijozlarni qo'llab-quvvatlash. Bu atama boshqa ma'noga ham ega: ... ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Funktsiya- 1. Bog‘liq o‘zgaruvchi; 2. O'zgaruvchilar o'rtasidagi y \u003d f (x) muvofiqligi, buning natijasida ma'lum miqdordagi x (argument yoki mustaqil o'zgaruvchi) ning har bir ko'rib chiqilgan qiymati ma'lum bir qiymatga mos keladi ... ... Iqtisodiy va matematik lug'at

Def.: Agar bu oraliqda argumentning har bir kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga to'g'ri kelsa, funktsiya ma'lum oraliqda ortish deyiladi.

Def.: Agar bu oraliqda argumentning har bir katta qiymati funktsiyaning kichikroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya ma'lum bir oraliqda kamayuvchi deb ataladi.

O'sib borayotgandek . Xuddi shunday, kamayuvchi funktsiyalar monotonik deb ataladi.

Agar funktsiya monotonik bo'lmasa, uning ta'rif sohasini funktsiyaning doimiylik intervallari bilan almashinishi mumkin bo'lgan cheklangan miqdordagi monotonlik oraliqlariga bo'lish mumkin.

y = f(x) funktsiyaning monotonligi uning birinchi hosilasi f ¤ (x) belgisi bilan tavsiflanadi, ya'ni, agar biron bir intervalda f ¤ (x) > 0 bo'lsa, u holda funktsiya bu oraliqda ortadi, agar ba'zilarida. interval f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

y = f(x) funksiyaning monotonlik oraliqlarini topish uning birinchi hosilasi f ¤ (x) doimiy ishorali intervallarni topishga keltiriladi.

Bu yerdan y = f(x) funksiyaning monotonlik intervallarini topish qoidasini olamiz.

1. Nollar va uzilish nuqtalarini toping f ¤ (x).

2. Sinov usulida f ¤ (x) ning 1-bandda olingan nuqtalar f(x) funksiyani aniqlash sohasini ajratadigan oraliqlardagi ishorasini aniqlang.

Misol:

y \u003d - x 2 + 10x + 7 funktsiyasining monotonlik oraliqlarini toping

f ¤ (x) ni topamiz. y¢ = -2x +10

y¢ = 0 bo'lgan nuqta bitta bo'lib, u funksiya sohasini quyidagi oraliqlarga ajratadi: (– ∞,5) VA (5 ,+ ∞), ularning har birida y¢ doimiy ishorani saqlaydi. Keling, ushbu intervallarga funktsiyaning o'ziga xos qiymatlarini almashtiramiz va ko'rsatilgan oraliqlardagi y¢ belgisini aniqlaymiz, keyin:

oraliqda (–∞.5] y¢ > 0,

funktsiya intervalda va AND (3 ,+ ∞) oralig'ida ortadi, ularning har birida y¢ doimiy ishorani saqlaydi. Ushbu intervallarda funktsiyaning o'ziga xos qiymatlarini almashtiring va ko'rsatilgan intervallarda y¢ belgisini aniqlang.

Monotonik funktsiya funksiya hisoblanadi oshirish bu belgini o'zgartirmaydi, ya'ni har doim salbiy yoki har doim ijobiy emas. Agar qo'shimcha ravishda o'sish nolga teng bo'lmasa, u holda funktsiya chaqiriladi qat'iy monoton. Monotonik funktsiya bir xil yo'nalishda o'zgaruvchan funktsiyadir.

Argumentning kattaroq qiymati funksiyaning katta qiymatiga mos kelsa, funktsiya ortadi. Agar argumentning katta qiymati funksiyaning kichik qiymatiga mos kelsa, funktsiya kamayadi.

Unda funksiya berilsin

(qat'iy) ortib boruvchi yoki kamayuvchi funksiya (qat'iy) monotonik deyiladi.

Ekstremumning ta'rifi

y = f(x) funktsiya x1 uchun ba'zi bir intervalda ortib boruvchi (kamayuvchi) deyiladi< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Agar segmentdagi y = f(x) differensiallanuvchi funksiya ortib (kamaysa), uning ushbu segmentdagi hosilasi f "(x) > 0 bo'ladi.

(f "(x)< 0).

Xo nuqta f(x) funksiyaning mahalliy maksimal (minimal) nuqtasi deyiladi, agar xo nuqtaning qo'shnisi mavjud bo'lsa, uning barcha nuqtalari uchun f(x) ≤ f(xo) (f(x) tengsizligi mavjud bo'lsa. ) ≥ f(xo)) to‘g‘ri.

Maksimal va minimal nuqtalar ekstremal nuqtalar deb ataladi va bu nuqtalardagi funktsiya qiymatlari uning ekstremal nuqtalari deb ataladi.

ekstremal nuqtalar

Ekstremum uchun zarur shart-sharoitlar. Agar xo nuqta f (x) funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa, u holda f "(xo) \u003d 0 yoki f (xo) mavjud emas. Bunday nuqtalar kritik deyiladi va funktsiyaning o'zi nuqtada aniqlanadi. kritik nuqta Funksiyaning ekstremalini uning kritik nuqtalari orasidan izlash kerak.

Birinchi etarli shart. Xo tanqidiy nuqta bo'lsin. Agar f "(x) xo nuqtadan o'tganda ishorani plyusdan minusga o'zgartirsa, u holda funksiya xo nuqtada maksimalga, aks holda minimalga ega bo'ladi. Agar hosila kritik nuqtadan o'tganda ishorani o'zgartirmasa. u holda xo nuqtada ekstremum yo'q.

Ikkinchi etarli shart. f (x) funksiya xo nuqtaga yaqin joyda f "(x) hosilasi va xo nuqtaning o'zida ikkinchi hosilasi bo'lsin. Agar f" (xo) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Segmentda y = f(x) funksiyasi kritik nuqtalarda ham, segmentning uchlarida ham minimal yoki maksimal qiymatga erishishi mumkin.

7. Funksiyaning qavariqlik, botiqlik intervallari .Burilish nuqtalari.

Funktsiya grafigi y=f(x) chaqirdi qavariq intervalda (a;b), agar u bu oraliqda o'zining tangenslaridan pastda joylashgan bo'lsa. Funktsiya grafigi y=f(x) chaqirdi botiq intervalda (a;b), agar u bu oraliqda uning tangenslaridan yuqorisida joylashgan bo'lsa. Rasmda egri konveks ko'rsatilgan (a;b) va botiq uchun (b;c). Misollar. Berilgan oraliqdagi funktsiya grafigi qavariq yoki botiq bo'lishini aniqlashga imkon beruvchi etarli belgini ko'rib chiqing. Teorema. Mayli y=f(x) bilan farqlanadi (a;b). Agar intervalning barcha nuqtalarida bo'lsa (a;b) funksiyaning ikkinchi hosilasi y = f(x) salbiy, ya'ni. f""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 konkavdir. Isbot. Aniqlik uchun shunday deb taxmin qiling f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Funktsiya grafigini oling y = f(x) ixtiyoriy nuqta M 0 abscissa bilan x 0  (a; b) va nuqta orqali chizamiz M 0 tangens. Uning tenglamasi. Funktsiya grafigi yoqilganligini ko'rsatishimiz kerak (a;b) bu tangens ostida yotadi, ya'ni. bir xil qiymat bilan x egri ordinatasi y = f(x) tangensning ordinatasidan kichik bo'ladi.

Funktsiyaning burilish nuqtasi

Bu atama boshqa maʼnolarga ham ega. burilish nuqtasi.

Funktsiyaning burilish nuqtasi ichki nuqtasi domenlar, shundayki, u nuqtada uzluksiz bo'lsa, u nuqtada chekli yoki aniq belgili cheksiz hosila mavjud va u ham qat'iy qavariq yuqoriga oraliqning oxiri, ham qat'iy pastga qaragan qavariq intervalning boshlanishi yoki aksincha.

Norasmiy

Bu holda, nuqta burilish nuqtasi funktsiya grafigi, ya'ni "egilish" nuqtasidagi funktsiya grafigi tangens unga bu nuqtada: uchun, tangens grafik ostida yotadi va grafik ustida biriktiriladi (yoki aksincha)

Mavjudlik shartlari

Burilish nuqtasi mavjudligining zaruriy sharti: agar nuqtaning qaysidir qo'shnisida ikki marta differentsiallanadigan f(x) funksiya burilish nuqtasiga ega bo'lsa, u holda.

Burilish nuqtasining mavjudligi uchun etarli shart: agar funktsiya nuqta vaqtlarining ba'zi qo'shnilarida toq va, u va a bo'lsa, u holda funktsiya burilish nuqtasiga ega bo'ladi.