Buni eslab qolish juda oson.

Xo'sh, biz uzoqqa bormaymiz, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqamiz. Ko'rsatkichli funktsiyaning teskarisi nima? Logarifm:

Bizning holatlarimizda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Ko'rsatkich va natural logarifm hosila jihatidan juda oddiy bo'lgan funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Qanday qoidalar? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Faqat va hamma narsa. Bu jarayon uchun boshqa so'z nima? Proizvodnovanie emas... Matematikaning differensialligi funksiyaning o'ta o'sishi deb ataladi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Qo'ying yoki osonroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. nuqtada;
2. nuqtada;
3. nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki u chiziqli funktsiya, esingizdami?);

Mahsulot hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: biz yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. Funksiyalarning hosilalarini toping va;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (u nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, raqam qayerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga keltirishga harakat qilaylik:

Buning uchun biz oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu faqat kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni oddiyroq shaklda yozib bo'lmaydi. Shuning uchun javobda bu shaklda qoldiriladi.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz tegishli farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Mana shunga o'xshash: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, logarifmadan boshqa asosga ega bo'lgan ixtiyoriyni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga keltirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir o'rniga biz yozamiz:

Maxraj faqat doimiy bo'lib chiqdi (o'zgarmas son, o'zgaruvchisiz). Tsikl juda oddiy:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari imtihonda deyarli topilmaydi, lekin ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, yoy tangensi ham emas. Bu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz uchun logarifm qiyin bo'lib tuyulsa ham, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va hamma narsa amalga oshadi), lekin matematika nuqtai nazaridan "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichik konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Bunday kompozitsion ob'ekt chiqadi: o'ralgan va lenta bilan bog'langan shokolad bar. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari amallarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda sonning kosinusini topamiz, so'ngra hosil bo'lgan sonni kvadratga olamiz. Shunday qilib, ular bizga raqam (shokolad) berishadi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni bevosita o'zgaruvchi bilan, so'ngra birinchi amal natijasida sodir bo'lgan boshqa ikkinchi amalni bajarganimizda.

Boshqa so'z bilan, Argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funktsiya murakkab funktsiyadir: .

Bizning misolimiz uchun, .

Biz xuddi shu harakatlarni teskari tartibda bajarishimiz mumkin: avval siz kvadratga o'tasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman:. Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Biz qiladigan oxirgi harakat chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini o'zingiz aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchan o'zgaruvchilarga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday chora ko'ramiz? Avval sinusni hisoblaymiz va shundan keyingina uni kubga ko'taramiz. Demak, bu tashqi emas, balki ichki funksiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokoladimizni chiqaramiz - hosilani qidiring. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misol uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, keling, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozirgacha kamaytirishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqarilmaydi, esingizdami?)

3) ichki: ;

Tashqi: ;

Bu erda uch darajali murakkab funktsiya mavjudligi darhol aniq bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiya va biz hali ham undan ildizni chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'ramga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: baribir, biz bu funktsiyani odatdagidek bir xil tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi - avvalgidek:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Funktsiya hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz o'sishi bilan argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

summaning hosilasi:

Hosil mahsulot:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Sizningcha, imtihonga hali ko'p vaqt bormi? Bir oymi? Ikki? Yil? Amaliyot shuni ko'rsatadiki, agar talaba imtihonga oldindan tayyorgarlik ko'rishni boshlagan bo'lsa, uni eng yaxshi bajara oladi. Yagona davlat imtihonida talaba va bo'lajak abituriyentning eng yuqori ball olishiga to'sqinlik qiladigan juda ko'p qiyin vazifalar mavjud. Bu to'siqlarni engib o'tishni o'rganish kerak, bundan tashqari, buni qilish qiyin emas. Chiptalardan turli xil vazifalar bilan ishlash tamoyilini tushunishingiz kerak. Keyin yangilari bilan hech qanday muammo bo'lmaydi.

Bir qarashda logarifmlar nihoyatda murakkab ko'rinadi, ammo yaqinroq tahlil qilinganda vaziyat ancha soddalashadi. Agar siz eng yuqori ball bilan imtihondan o'tmoqchi bo'lsangiz, biz ushbu maqolada qilishni taklif qiladigan kontseptsiyani tushunishingiz kerak.

Birinchidan, bu ta'riflarni ajratamiz. Logarifm (log) nima? Bu ko'rsatilgan raqamni olish uchun bazani ko'tarish kerak bo'lgan quvvatning ko'rsatkichidir. Agar aniq bo'lmasa, biz elementar misolni tahlil qilamiz.

Bunday holda, 4 raqamini olish uchun quyidagi tayanch ikkinchi darajaga ko'tarilishi kerak.

Endi ikkinchi kontseptsiya bilan shug'ullanamiz. Funksiyaning har qanday shakldagi hosilasi funksiyaning qisqartirilgan nuqtadagi o‘zgarishini tavsiflovchi tushuncha deyiladi. Biroq, bu maktab o'quv dasturi va agar siz ushbu tushunchalar bilan alohida muammolarga duch kelsangiz, mavzuni takrorlashga arziydi.

Logarifmning hosilasi

Ushbu mavzu bo'yicha USE topshiriqlarida bir nechta topshiriqlarni misol qilib keltirish mumkin. Eng oddiy logarifmik hosiladan boshlaylik. Quyidagi funksiyaning hosilasini topishimiz kerak.

Biz keyingi hosilani topishimiz kerak

Maxsus formula mavjud.

Bu holda x=u, log3x=v. Funktsiyamizdagi qiymatlarni formulaga almashtiring.

X ning hosilasi birga teng bo'ladi. Logarifm biroz qiyinroq. Ammo qadriyatlarni almashtirsangiz, printsipni tushunasiz. Eslatib o'tamiz, lg x ning hosilasi o'nlik logarifmning hosilasi, ln x ning hosilasi esa natural logarifmning hosilasidir (e asosida).

Endi olingan qiymatlarni formulaga almashtiring. O'zingiz sinab ko'ring, keyin javobni tekshiring.

Ba'zilar uchun bu erda qanday muammo bo'lishi mumkin? Biz natural logarifm tushunchasini kiritdik. Keling, bu haqda gaplashaylik va shu bilan birga u bilan muammolarni qanday hal qilishni aniqlaymiz. Ayniqsa, uning ishlash tamoyilini tushunganingizda, siz hech qanday murakkab narsani ko'rmaysiz. Siz ko'nikishingiz kerak, chunki u ko'pincha matematikada (ayniqsa, oliy o'quv yurtlarida) qo'llaniladi.

Natural logarifmning hosilasi

Asosiysi, bu e asosiga logarifmning hosilasidir (bu irratsional son bo'lib, taxminan 2,7 ga teng). Darhaqiqat, ln juda oddiy, shuning uchun u odatda matematikada tez-tez ishlatiladi. Aslida, u bilan muammoni hal qilish ham muammo bo'lmaydi. Shuni esda tutish kerakki, tabiiy logarifmning e asosiga hosilasi x ga bo'lingan birga teng bo'ladi. Quyidagi misolning yechimi eng indikativ bo'ladi.

Buni ikkita oddiy funktsiyadan iborat murakkab funktsiya sifatida tasavvur qiling.

aylantirish uchun etarli

Biz u ning x ga nisbatan hosilasini qidiramiz

Ikkinchisini davom ettiramiz

Murakkab funktsiyaning hosilasini u=nx o'rniga qo'yish orqali yechish usulidan foydalanamiz.

Oxiri nima bo'ldi?

Keling, ushbu misolda n nimani anglatishini eslaylik? Bu natural logarifmda x dan oldin paydo bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday raqam. Javob bunga bog'liq emasligini tushunishingiz kerak. Har qanday narsani almashtiring, javob hali ham 1/x bo'ladi.

Ko'rib turganingizdek, bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, ushbu mavzu bo'yicha muammolarni tez va samarali hal qilish uchun printsipni tushunish kifoya. Endi siz nazariyani bilasiz, amalda mustahkamlash qoladi. Muammolarni hal qilish tamoyilini uzoq vaqt davomida eslab qolish uchun ularni hal qilishni mashq qiling. O'qishni tugatgandan so'ng sizga bu bilim kerak bo'lmasligi mumkin, ammo imtihonda u har qachongidan ham dolzarb bo'ladi. Omad sizga!

Natural logarifm va a asosdagi logarifm hosilasi formulalarini isbotlash va hosil qilish. ln 2x, ln 3x va ln nx hosilalarini hisoblash misollari. n-tartibli logarifm hosilasi formulasini matematik induksiya usulida isbotlash.

Tarkib

Shuningdek qarang: Logarifm - xossalar, formulalar, grafik
Natural logarifm - xossalar, formulalar, grafik

Natural logarifm va a asosda logarifm hosilalarining formulalarini chiqarish

X ning natural logarifmining hosilasi x ga bo'lingan birga teng:
(1) (lnx)' =.

Logarifmning a asosiga hosilasi x o‘zgaruvchiga bo‘linib a ning natural logarifmiga ko‘paytmasiga teng:
(2) (log x)' =.

Isbot

Birga teng bo'lmagan ijobiy son bo'lsin. Asosiy logarifm bo'lgan x o'zgaruvchisiga bog'liq funktsiyani ko'rib chiqing:
.
Bu funksiya bilan aniqlanadi. Uning x ga nisbatan hosilasi topilsin. Ta'rifga ko'ra, lotin quyidagi chegara hisoblanadi:
(3) .

Keling, ushbu ifodani ma'lum matematik xususiyatlar va qoidalarga qisqartirish uchun aylantiramiz. Buning uchun biz quyidagi faktlarni bilishimiz kerak:
A) Logarifmning xossalari. Bizga quyidagi formulalar kerak:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Logarifmning uzluksizligi va uzluksiz funksiya uchun limitlar xossasi:
(7) .
Mana, chegarasi bor va bu chegara ijobiy bo'lgan ba'zi funksiyalar.
IN) Ikkinchi ajoyib chegaraning ma'nosi:
(8) .

Biz bu faktlarni o'z chegaramizgacha qo'llaymiz. Avval algebraik ifodani o'zgartiramiz
.
Buning uchun (4) va (5) xossalarni qo'llaymiz.

.

Biz xususiyat (7) va ikkinchi ajoyib chegaradan (8) foydalanamiz:
.

Va nihoyat, mulkni qo'llang (6):
.
asosiy logarifm e chaqirdi tabiiy logarifm. Bu shunday belgilanadi:
.
Keyin;
.

Shunday qilib, logarifm hosilasi uchun formula (2) ni oldik.

Natural logarifmning hosilasi

Yana bir bor, biz a asosidagi logarifm hosilasi formulasini yozamiz:
.
Bu formula natural logarifm uchun eng oddiy shaklga ega, buning uchun , . Keyin
(1) .

Ushbu soddaligi tufayli tabiiy logarifm hisobda va matematikaning differentsial hisob bilan bog'liq boshqa sohalarida juda keng qo'llaniladi. Boshqa asoslar bilan logarifmik funksiyalar (6) xossasi yordamida natural logarifm bilan ifodalanishi mumkin:
.

Logarifmning asosiy hosilasini (1) formuladan topish mumkin, agar doimiy differensiatsiya belgisidan chiqarilsa:
.

Logarifm hosilasini isbotlashning boshqa usullari

Bu erda biz ko'rsatkichning hosilasi formulasini bilamiz deb taxmin qilamiz:
(9) .
Keyin natural logarifmning hosilasi formulasini chiqarishimiz mumkin, chunki logarifm ko‘rsatkichga teskari hisoblanadi.

Natural logarifm hosilasi formulasini isbotlaylik, teskari funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llash:
.
Bizning holatimizda. Natural logarifmning teskari ko'rsatkichi:
.
Uning hosilasi (9) formula bilan aniqlanadi. O'zgaruvchilar har qanday harf bilan belgilanishi mumkin. (9) formulada x o'zgaruvchisini y bilan almashtiramiz:
.
Chunki, keyin
.
Keyin
.
Formula isbotlangan.

Endi biz natural logarifm hosilasi formulasini foydalanib isbotlaymiz murakkab funksiyani farqlash qoidalari. va funktsiyalari bir-biriga teskari bo'lgani uchun
.
Bu tenglamani x o‘zgaruvchisiga nisbatan differensiallang:
(10) .
X ning hosilasi birga teng:
.
Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz:
.
Bu yerga . (10) ga almashtiring:
.
Bu yerdan
.

Misol

ning hosilalarini toping ln 2x, ln 3x Va ln nx.

Asl funktsiyalar shunga o'xshash shaklga ega. Shuning uchun biz funktsiyaning hosilasini topamiz y = log nx. Keyin n = 2 va n = 3 ni almashtiramiz. Shunday qilib, hosilalarning formulalarini olamiz ln 2x Va ln 3x .

Shunday qilib, biz funktsiyaning hosilasini qidiramiz
y = log nx .
Ushbu funktsiyani ikkita funktsiyadan iborat murakkab funktsiya sifatida ko'rsatamiz:
1) O'zgaruvchiga bog'liq funksiyalar: ;
2) O'zgaruvchiga bog'liq funksiyalar:.
Keyin asl funktsiya quyidagi funktsiyalardan iborat bo'ladi:
.

Funktsiyaning x o'zgaruvchiga nisbatan hosilasi topilsin:
.
Funktsiyaning o'zgaruvchiga nisbatan hosilasi topilsin:
.
Kompleks funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.
.
Bu erda biz almashtirdik.

Shunday qilib, biz topdik:
(11) .
Biz hosila n ga bog'liq emasligini ko'ramiz. Agar mahsulotning logarifmi formulasidan foydalanib, asl funktsiyani o'zgartirsak, bu natija tabiiydir:
.
- doimiy hisoblanadi. Uning hosilasi nolga teng. Keyin, yig'indini farqlash qoidasiga ko'ra, bizda:
.

; ; .

Logarifm modulining hosilasi x

Yana bir muhim funktsiyaning hosilasi - x modulining natural logarifmini topamiz:
(12) .

Keling, ishni ko'rib chiqaylik. Keyin funktsiya quyidagicha ko'rinadi:
.
Uning hosilasi (1) formula bilan aniqlanadi:
.

Endi ishni ko'rib chiqing. Keyin funktsiya quyidagicha ko'rinadi:
,
Qayerda.
Lekin biz yuqoridagi misolda bu funksiyaning hosilasini ham topdik. U n ga bog'liq emas va ga teng
.
Keyin
.

Biz ushbu ikki holatni bitta formulaga birlashtiramiz:
.

Shunga ko'ra, a asosining logarifmi uchun bizda:
.

Natural logarifmning yuqori tartibli hosilalari

Funktsiyani ko'rib chiqing
.
Biz uning birinchi tartibli hosilasini topdik:
(13) .

Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:
.
Uchinchi tartibli hosilani topamiz:
.
To‘rtinchi tartibli hosilani topamiz:
.

Ko'rinib turibdiki, n-tartibli hosila quyidagi ko'rinishga ega:
(14) .
Keling, buni matematik induksiya bilan isbotlaylik.

Isbot

n = 1 qiymatini (14) formulaga almashtiramiz:
.
dan beri, keyin n = uchun 1 , formula (14) amal qiladi.

Faraz qilaylik (14) formula n = k uchun qanoatlansin. Bundan kelib chiqadiki, formula n = k uchun o'rinli ekanligini isbotlaylik + 1 .

Darhaqiqat, n = k uchun bizda:
.
x ga nisbatan farqlang:

.
Shunday qilib, biz oldik:
.
Bu formula n = k + uchun formula (14) bilan mos keladi 1 . Shunday qilib, (14) formula n = k uchun o'rinli degan farazdan (14) formula n = k + uchun o'rinli degan xulosaga keladi. 1 .

Demak, n-tartibli hosila uchun (14) formula har qanday n uchun amal qiladi.

Logarifmning yuqori tartibli hosilalari a asosi

a asosiy logarifmning n-chi hosilasini topish uchun uni natural logarifm bilan ifodalash kerak:
.
(14) formuladan foydalanib, n-chi hosilani topamiz:
.

Shuningdek qarang:

murakkab hosilalar. Logarifmik hosila.
Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz farqlash texnikamizni yaxshilashda davom etamiz. Ushbu darsda biz o'tilgan materialni birlashtiramiz, yanada murakkab hosilalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, hosila topishning yangi fokuslari va fokuslari bilan, xususan, logarifmik hosila bilan tanishamiz.

Tayyorgarlik darajasi past bo'lgan o'quvchilar maqolaga murojaat qilishlari kerak hosilani qanday topish mumkin? Yechim misollari bu sizning mahoratingizni deyarli noldan oshirishga imkon beradi. Keyinchalik, sahifani diqqat bilan o'rganishingiz kerak Murakkab funktsiyaning hosilasi, tushunish va hal qilish Hammasi men keltirgan misollar. Ushbu dars mantiqan uchinchisi bo'lib, uni o'zlashtirganingizdan so'ng, siz juda murakkab funktsiyalarni ishonchli tarzda ajratasiz. “Yana qayerda? Ha, va bu etarli! ” Chunki barcha misollar va echimlar haqiqiy sinovlardan olingan va ko'pincha amalda topiladi.

Keling, takrorlashdan boshlaylik. Darsda Murakkab funktsiyaning hosilasi batafsil sharhlar bilan bir qator misollarni ko'rib chiqdik. Differensial hisoblash va matematik tahlilning boshqa bo'limlarini o'rganish jarayonida siz juda tez-tez farqlashingiz kerak bo'ladi va misollarni batafsil bo'yash har doim ham qulay emas (va har doim ham kerak emas). Shuning uchun biz hosilalarni og'zaki topishda mashq qilamiz. Buning uchun eng mos "nomzodlar" eng oddiy murakkab funktsiyalarning hosilalaridir, masalan:

Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra :

Kelajakda boshqa matan mavzularini o'rganayotganda, bunday batafsil yozuv ko'pincha talab qilinmaydi, talaba avtopilotda shunga o'xshash hosilalarni topishi mumkin deb taxmin qilinadi. Tasavvur qilaylik, ertalab soat 3 da telefon jiringladi va yoqimli ovoz so'radi: "Ikki x tangensining hosilasi nima?". Buning ortidan deyarli bir zumda va muloyim javob bo'lishi kerak: .

Birinchi misol darhol mustaqil yechim uchun mo'ljallangan bo'ladi.

1-misol

Quyidagi hosilalarni og‘zaki, bir qadamda toping, masalan: . Vazifani bajarish uchun siz faqat foydalanishingiz kerak elementar funksiyalarning hosilalari jadvali(agar u allaqachon eslamagan bo'lsa). Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, darsni qayta o'qishni maslahat beraman Murakkab funktsiyaning hosilasi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dars oxirida javoblar

Murakkab hosilalar

Dastlabki artilleriya tayyorgarligidan so'ng, 3-4-5 funktsiyalari biriktirilgan misollar kamroq qo'rqinchli bo'ladi. Ehtimol, quyidagi ikkita misol ba'zilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin, ammo agar ular tushunilsa (kimdir azob cheksa), differensial hisoblashda qolgan deyarli hamma narsa bolalarning haziliga o'xshaydi.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yuqorida aytib o'tilganidek, murakkab funktsiyaning hosilasini topishda, birinchi navbatda, kerak To'g'ri INVESTITSIYALARNI TUSHUNING. Shubhalar mavjud bo'lgan hollarda, men sizga foydali hiylani eslataman: biz, masalan, "x" eksperimental qiymatini olamiz va bu qiymatni "dahshatli ifoda" ga almashtirishga harakat qilamiz (aqliy yoki qoralama).

1) Avval biz ifodani hisoblashimiz kerak, shuning uchun yig'indisi eng chuqur joylashuvdir.

2) Keyin logarifmni hisoblashingiz kerak:

4) Keyin kosinusni kubga aylantiring:

5) Beshinchi bosqichda farq:

6) Va nihoyat, eng tashqi funktsiya kvadrat ildizdir:

Murakkab funktsiyani differentsiallash formulasi teskari tartibda, eng tashqi funktsiyadan eng ichkigacha qo'llaniladi. Biz qaror qilamiz:

Hech qanday xato bo'lmaganga o'xshaydi ...

(1) Kvadrat ildizning hosilasini olamiz.

(2) Biz qoida yordamida farqning hosilasini olamiz

(3) Uchlikning hosilasi nolga teng. Ikkinchi muddatda biz daraja (kub) hosilasini olamiz.

(4) Biz kosinusning hosilasini olamiz.

(5) Logarifmning hosilasini olamiz.

(6) Nihoyat, biz eng chuqur uyaning hosilasini olamiz.

Bu juda qiyin tuyulishi mumkin, ammo bu eng shafqatsiz misol emas. Misol uchun, Kuznetsovning to'plamini oling va tahlil qilingan lotinning barcha jozibasi va soddaligini qadrlaysiz. Men shuni payqadimki, ular imtihonda talaba murakkab funktsiyaning hosilasini qanday topishni tushunadimi yoki tushunmaydimi yoki yo'qligini tekshirish uchun shunga o'xshash narsani berishni yaxshi ko'radilar.

Quyidagi misol mustaqil yechim uchun.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Maslahat: Avval biz chiziqlilik qoidalarini va mahsulotning differentsiatsiyasi qoidasini qo'llaymiz

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Yana ixcham va chiroyliroq narsaga o'tish vaqti keldi.
Ikki emas, balki uchta funktsiyaning ko'paytmasi misolda berilgan vaziyat uchun odatiy hol emas. Uch omil mahsulotining hosilasi qanday topiladi?

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Birinchidan, biz qaraymiz, lekin uchta funktsiya mahsulotini ikkita funktsiya mahsulotiga aylantirish mumkinmi? Misol uchun, agar mahsulotda ikkita polinom bo'lsa, biz qavslarni ochishimiz mumkin. Ammo bu misolda barcha funktsiyalar boshqacha: daraja, ko'rsatkich va logarifm.

Bunday hollarda, bu zarur ketma-ket mahsulotni farqlash qoidasini qo'llang ikki marta

Gap shundaki, "y" uchun biz ikkita funktsiyaning mahsulotini belgilaymiz: , va "ve" uchun - logarifm:. Nima uchun buni qilish mumkin? Bu - bu ikki omilning mahsuli emas va qoida ishlamaydi?! Hech qanday murakkab narsa yo'q:

Endi qoidani ikkinchi marta qo'llash qoladi qavsga:

Siz hali ham buzg'unchilik qilishingiz va qavslardan biror narsa olishingiz mumkin, ammo bu holda javobni ushbu shaklda qoldirish yaxshiroqdir - tekshirish osonroq bo'ladi.

Yuqoridagi misolni ikkinchi usulda hal qilish mumkin:

Ikkala yechim ham mutlaqo ekvivalentdir.

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu mustaqil yechim uchun misol bo'lib, namunada u birinchi usulda echiladi.

Kasrlar bilan o'xshash misollarni ko'rib chiqing.

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz bir necha usul bilan borishingiz mumkin:

Yoki shunday:

Ammo yechimni ixchamroq yozish mumkin, agar biz birinchi navbatda qismni differentsiallash qoidasidan foydalansak. , butun hisoblagich uchun:

Asos sifatida, misol hal qilinadi va agar u bu shaklda qolsa, xato bo'lmaydi. Ammo vaqtingiz bo'lsa, har doim qoralamani tekshirish tavsiya etiladi, ammo javobni soddalashtirish mumkinmi? Numeratorning ifodasini umumiy maxrajga keltiramiz va uch qavatli fraktsiyadan xalos bo'ling:

Qo'shimcha soddalashtirishlarning kamchiliklari shundaki, lotinni topishda emas, balki maktab o'zgarishlarida xato qilish xavfi mavjud. Boshqa tomondan, o'qituvchilar ko'pincha topshiriqni rad etadilar va lotinni "yodiga keltirishni" so'rashadi.

O'z-o'zidan hal qilish uchun oddiyroq misol:

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz hosilani topish usullarini o'zlashtirishni davom ettirmoqdamiz va endi farqlash uchun "dahshatli" logarifm taklif qilingan odatiy holatni ko'rib chiqamiz.

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanib, uzoq yo'lni bosib o'tishingiz mumkin:

Ammo birinchi qadam sizni darhol tushkunlikka soladi - siz kasr darajasining yoqimsiz hosilasini, keyin esa kasrdan olishingiz kerak.

Shunung uchun oldin"Xo'sh" logarifmning hosilasini qanday olish kerak, u ilgari taniqli maktab xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtirilgan:

! Agar qo'lingizda mashq daftaringiz bo'lsa, ushbu formulalarni o'sha yerdan nusxa ko'chiring. Agar sizda daftar bo'lmasa, ularni qog'ozga chizing, chunki qolgan dars misollari ushbu formulalar atrofida aylanadi.

Yechimning o'zi quyidagicha shakllantirilishi mumkin:

Funktsiyani o'zgartiramiz:

Biz hosilani topamiz:

Funktsiyaning dastlabki o'zgarishi yechimni sezilarli darajada soddalashtirdi. Shunday qilib, farqlash uchun shunga o'xshash logarifm taklif qilinganda, uni har doim "buzish" tavsiya etiladi.

Va endi mustaqil yechim uchun bir nechta oddiy misollar:

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Barcha o'zgarishlar va javoblar dars oxirida.

logarifmik hosila

Agar logarifmlarning hosilasi shunday shirin musiqa bo'lsa, unda savol tug'iladi, ba'zi hollarda logarifmni sun'iy tartibga solish mumkinmi? Mumkin! Va hatto zarur.

11-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Shunga o'xshash misollarni biz yaqinda ko'rib chiqdik. Nima qilish kerak? Ketma-ket ko'rsatkichni farqlash qoidasini, keyin esa mahsulotning differentsiallash qoidasini qo'llash mumkin. Ushbu usulning nochorligi shundaki, siz uch qavatli ulkan fraktsiyani olasiz, bu bilan siz umuman shug'ullanishni xohlamaysiz.

Ammo nazariya va amaliyotda logarifmik hosila kabi ajoyib narsa bor. Logarifmlarni sun'iy ravishda ularni har ikki tomonga "osib" tashkil qilish mumkin:

Eslatma : chunki funktsiya salbiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin, keyin, odatda, modullardan foydalanishingiz kerak: , farqlash natijasida yo'qoladi. Biroq, joriy dizayn ham qabul qilinadi, bu erda sukut bo'yicha murakkab qiymatlar. Ammo agar qat'iylik bilan bo'lsa, unda ikkala holatda ham buni bron qilish kerak.

Endi siz o'ng tomonning logarifmini iloji boricha "buzishingiz" kerak (ko'z oldingizda formulalar?). Men bu jarayonni batafsil tasvirlab beraman:

Keling, farqlashdan boshlaylik.
Ikkala qismni ham zarba bilan yakunlaymiz:

O'ng tomonning hosilasi juda oddiy, men bunga izoh bermayman, chunki agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, uni ishonch bilan boshqarishingiz kerak.

Chap tomon haqida nima deyish mumkin?

Chap tomonda biz bor murakkab funktsiya. Men savolni oldindan ko'raman: "Nega, logarifm ostida bitta "y" harfi bormi?".

Gap shundaki, bu "bir harf y" - O'ZIDA FUNKSIYA(agar u juda aniq bo'lmasa, bevosita ko'rsatilgan funktsiyaning hosilasi maqolasiga qarang). Demak, logarifm tashqi funksiya, “y” esa ichki funksiyadir. Va biz birikma funksiyani farqlash qoidasidan foydalanamiz :

Chap tomonda, go'yo sehr bilan, bizda lotin bor. Bundan tashqari, mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz "y" ni chap tomonning maxrajidan o'ng tomonning tepasiga tashlaymiz:

Va endi biz farqlashda qanday "o'yin" - funksiya haqida gapirganimizni eslaymiz? Keling, shartni ko'rib chiqaylik:

Yakuniy javob:

12-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Dars oxirida ushbu turdagi namunaning namunaviy dizayni.

Logarifmik hosila yordamida 4-7-sonli misollarning har qandayini hal qilish mumkin edi, boshqa narsa shundaki, u erda funktsiyalar oddiyroq va, ehtimol, logarifmik hosiladan foydalanish unchalik oqlanmagan.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz bu funktsiyani hali ko'rib chiqmadik. Eksponensial funktsiya - bu ega bo'lgan funktsiya va daraja va asos "x" ga bog'liq. Har qanday darslikda yoki har qanday ma'ruzada sizga beriladigan klassik misol:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi qanday topiladi?

Hozirgina ko'rib chiqilgan texnikadan foydalanish kerak - logarifmik lotin. Biz logarifmlarni ikkala tomonga osib qo'yamiz:

Qoida tariqasida, daraja logarifm ostidan o'ng tomonda chiqariladi:

Natijada, o'ng tomonda biz standart formula bo'yicha farqlanadigan ikkita funktsiya mahsulotiga egamiz. .

Biz hosilani topamiz, buning uchun ikkala qismni ham chiziqlar ostiga qo'yamiz:

Keyingi qadamlar oson:

Nihoyat:

Agar ba'zi o'zgarishlar to'liq aniq bo'lmasa, iltimos, 11-misoldagi tushuntirishlarni diqqat bilan qayta o'qing.

Amaliy topshiriqlarda ko'rsatkichli funktsiya har doim ko'rib chiqilgan ma'ruza misolidan ko'ra murakkabroq bo'ladi.

13-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz logarifmik hosiladan foydalanamiz.

O'ng tomonda bizda doimiy va ikkita omil ko'paytmasi bor - "x" va "x logarifmining logarifmi" (boshqa logarifm logarifm ostida joylashgan). Konstantani farqlashda, biz eslaganimizdek, uni hosila belgisidan darhol olib qo'yish yaxshidir, shunda u to'sqinlik qilmaydi; va, albatta, tanish qoidani qo'llang :

Hosila topish operatsiyasi differensiallash deyiladi.

Hosilani argumentning o'sishning o'sishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlash orqali eng oddiy (va unchalik ham oddiy bo'lmagan) funktsiyalarning hosilalarini topish masalalarini hal qilish natijasida hosilalar jadvali va aniq belgilangan differentsiallash qoidalari paydo bo'ldi. . Isaak Nyuton (1643-1727) va Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716) hosilalarni topish sohasida birinchi bo'lib ishlaganlar.

Shuning uchun bizning zamonamizda har qanday funktsiyaning hosilasini topish uchun funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbatining yuqorida ko'rsatilgan chegarasini hisoblash shart emas, faqat jadvaldan foydalanish kerak. hosilalari va farqlash qoidalari. Hosilni topish uchun quyidagi algoritm mos keladi.

Hosilini topish uchun, sizga zarba belgisi ostida ifoda kerak oddiy funktsiyalarni ajrating va qanday harakatlarni aniqlang (mahsulot, summa, qism) bu funktsiyalar o'zaro bog'liq. Keyinchalik elementar funksiyalarning hosilalarini hosilalar jadvalidan, hosila, yig‘indi va qism hosilalari formulalarini esa differentsiallash qoidalaridan topamiz. Birinchi ikkita misoldan keyin hosilalar jadvali va differentsiallash qoidalari berilgan.

1-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Differentsiallash qoidalaridan biz aniqlaymizki, funktsiyalar yig'indisining hosilasi funktsiyalarning hosilalari yig'indisi, ya'ni.

Hosilalar jadvalidan “X” ning hosilasi bir ga teng, sinusning hosilasi esa kosinus ekanligini aniqlaymiz. Biz ushbu qiymatlarni hosilalar yig'indisiga almashtiramiz va masalaning sharti uchun zarur bo'lgan hosilani topamiz:

2-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Yig'indining hosilasi sifatida ajrating, unda ikkinchi had doimiy koeffitsientga ega bo'lsa, uni hosilaning belgisidan chiqarish mumkin:

Agar biror narsa qaerdan kelganligi haqida hali ham savollar mavjud bo'lsa, ular, qoida tariqasida, hosilalar jadvalini va farqlashning eng oddiy qoidalarini o'qib chiqqandan so'ng aniq bo'ladi. Biz hozir ularning oldiga boramiz.

Oddiy funksiyalarning hosilalari jadvali

1. Doimiy (son)ning hosilasi. Funktsiya ifodasida joylashgan har qanday raqam (1, 2, 5, 200...). Har doim nol. Buni eslash juda muhim, chunki bu juda tez-tez talab qilinadi
2. Mustaqil o‘zgaruvchining hosilasi. Ko'pincha "x". Har doim bittaga teng. Buni eslash ham muhimdir
3. Darajaning hosilasi. Muammolarni hal qilishda siz kvadrat bo'lmagan ildizlarni kuchga aylantirishingiz kerak.
4. O‘zgaruvchining -1 darajasidagi hosilasi
5. Kvadrat ildizning hosilasi
6. Sinus hosilasi
7. Kosinus hosilasi
8. Tangens hosilasi
9. Kotangentning hosilasi
10. Arksinusning hosilasi
11. Yoy kosinusining hosilasi
12. Yoy tangensining hosilasi
13. Teskari tangensning hosilasi
14. Natural logarifmning hosilasi
15. Logarifmik funksiyaning hosilasi
16. Ko‘rsatkichning hosilasi
17. Ko‘rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Farqlash qoidalari

1. Yig‘indi yoki farqning hosilasi
2. Mahsulotning hosilasi
2a. Ifodaning hosilasi doimiy omilga ko'paytiriladi
3. Bo‘lakning hosilasi
4. Kompleks funktsiyaning hosilasi

1-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada differensial bo'ladi, keyin bir xil nuqtada funktsiyalar

va

bular. funksiyalarning algebraik yig‘indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalarining algebraik yig‘indisiga teng.

Natija. Agar ikkita differentsiallanuvchi funktsiya doimiy qiymat bilan farq qilsa, ularning hosilalari, ya'ni.

2-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada differensiallanadi , keyin ularning mahsuloti ham xuddi shu nuqtada farqlanadi

va

bular. ikki funksiya hosilasining hosilasi bu funksiyalarning har birining hosilasi va ikkinchisining hosilasi yig‘indisiga teng.

Natija 1. Doimiy koeffitsient hosila belgisidan chiqarilishi mumkin:

Natija 2. Bir nechta differensiallanuvchi funksiyalar hosilasining hosilasi omillarning har birining hosilasi va boshqalarning hosilasi yig‘indisiga teng.

Masalan, uchta ko'paytiruvchi uchun:

3-qoidaFunktsiyalar bo'lsa

bir nuqtada farqlanadi Va , u holda bu nuqtada ularning koeffitsienti ham differentsial bo'ladi.u/v , va

bular. ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasi maxrajning hosilasi bilan ayiruvchining hosilasi va ayiruvchining hosilasi va maxraji oldingi sonning kvadrati bo'lgan kasrga teng. .

Boshqa sahifalarda qayerga qarash kerak

Haqiqiy masalalarda mahsulotning hosilasi va qismni topishda har doim bir vaqtning o'zida bir nechta farqlash qoidalarini qo'llash kerak, shuning uchun bu hosilalarga ko'proq misollar maqolada keltirilgan."Mahsulot va qismning hosilasi".

Izoh. Siz doimiyni (ya'ni sonni) yig'indidagi atama va doimiy omil sifatida aralashtirmasligingiz kerak! Atamada uning hosilasi nolga teng, doimiy koeffitsientda esa hosilalarning belgisidan olinadi. Bu hosilalarni o'rganishning boshlang'ich bosqichida sodir bo'ladigan odatiy xatodir, lekin o'rtacha talaba bir-ikki komponentli bir nechta misollarni yechiganligi sababli, o'rtacha talaba endi bu xatoga yo'l qo'ymaydi.

Va agar mahsulot yoki qismni farqlashda sizda atama mavjud bo'lsa u"v, unda u- raqam, masalan, 2 yoki 5, ya'ni doimiy, keyin bu raqamning hosilasi nolga teng bo'ladi va shuning uchun butun atama nolga teng bo'ladi (bunday holat 10-misolda tahlil qilinadi) .

Yana bir keng tarqalgan xato - bu murakkab funktsiyaning hosilasini oddiy funktsiyaning hosilasi sifatida mexanik hal qilish. Shunung uchun murakkab funksiyaning hosilasi alohida maqolaga bag'ishlangan. Lekin birinchi navbatda oddiy funksiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz.

Yo'l davomida siz iboralarni o'zgartirmasdan qilolmaysiz. Buni amalga oshirish uchun siz yangi Windows qo'llanmalarida ochishingiz kerak bo'lishi mumkin Quvvat va ildizlarga ega harakatlar Va Kasrlar bilan amallar .

Agar siz kuchlar va ildizlar bilan hosilalarga yechim izlayotgan bo'lsangiz, ya'ni funksiya qachon ko'rinadi , keyin darsni bajaring " Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi".

Agar sizda kabi vazifa bo'lsa , keyin siz "Oddiy trigonometrik funktsiyalarning hosilalari" darsidasiz.

Bosqichma-bosqich misollar - lotinni qanday topish mumkin

3-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Funktsiya ifodasining qismlarini aniqlaymiz: butun ifoda mahsulotni ifodalaydi va uning omillari yig'indi, ikkinchisida atamalardan birida doimiy omil mavjud. Mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz: ikkita funktsiya mahsulotining hosilasi ushbu funktsiyalarning har birining hosilasi va boshqasining hosilasi yig'indisiga teng:

Keyinchalik, yig'indini differentsiallash qoidasini qo'llaymiz: funktsiyalarning algebraik yig'indisining hosilasi bu funktsiyalarning hosilalarining algebraik yig'indisiga teng. Bizning holatda, har bir summada, minus belgisi bilan ikkinchi muddat. Har bir yig‘indida hosilasi birga teng bo‘lgan mustaqil o‘zgaruvchini ham, hosilasi nolga teng bo‘lgan doimiy (son)ni ham ko‘ramiz. Shunday qilib, "x" bittaga, minus 5 esa nolga aylanadi. Ikkinchi ifodada "x" 2 ga ko'paytiriladi, shuning uchun biz ikkitani "x" ning hosilasi bilan bir xil birlikka ko'paytiramiz. Biz lotinlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Topilgan hosilalarni mahsulotlar yig‘indisiga almashtiramiz va masala sharti uchun zarur bo‘lgan butun funksiyaning hosilasini olamiz:

Va masalaning yechimini lotin bo'yicha tekshirishingiz mumkin.

4-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Bizdan qismning hosilasini topish talab qilinadi. Biz qismni farqlash uchun formulani qo'llaymiz: ikki funktsiya bo'limining hosilasi maxrajning hosilasi va ayiruvchining hosilasi va ayiruvchining hosilasi va maxrajning hosilasi o'rtasidagi ayirma bo'lgan kasrga tengdir va maxraj oldingi sonning kvadratidir. Biz olamiz:

Biz 2-misolda ko‘paytirgichdagi ko‘paytmalarning hosilasini topdik.Shuningdek, joriy misoldagi payning ikkinchi ko‘paytmasi bo‘lgan ko‘paytma minus belgisi bilan olinganligini ham unutmaylik:

Agar siz uzluksiz ildizlar va darajalar to'plami mavjud bo'lgan funktsiyaning hosilasini topishingiz kerak bo'lgan muammolarning echimini izlayotgan bo'lsangiz, masalan, keyin sinfga xush kelibsiz "Kasrlar yig'indisining darajalari va ildizlari bilan hosilasi" .

Agar siz sinuslar, kosinuslar, tangenslar va boshqa trigonometrik funktsiyalarning hosilalari haqida ko'proq ma'lumot olishingiz kerak bo'lsa, ya'ni funksiya qachon ko'rinadi , keyin sizda dars bor "Oddiy trigonometrik funksiyalarning hosilalari" .

5-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Ushbu funktsiyada biz ko'paytmani ko'ramiz, uning omillaridan biri mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lib, hosilasi bilan biz hosilalar jadvalida tanishdik. Mahsulotni farqlash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Siz lotin masalasining yechimini tekshirishingiz mumkin lotin kalkulyatori onlayn .

6-misol Funktsiyaning hosilasini toping

Yechim. Ushbu funktsiyada biz dividend mustaqil o'zgaruvchining kvadrat ildizi bo'lgan qismni ko'ramiz. Biz 4-misolda takrorlagan va qo'llagan qismni differentsiallash qoidasiga va kvadrat ildiz hosilasining jadval qiymatiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

Numeratordagi kasrdan qutulish uchun son va maxrajni ga ko'paytiring.