Длина волны определяется соотношением де бройля. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Электромагнитное поле в плазме

Длина волны квантовой частицы обратно пропорциональна ее импульсу.

Один из фактов субатомного мира заключается в том, что его объекты — такие как электроны или фотоны — совсем не похожи на привычные объекты макромира. Они ведут себя и не как частицы, и не как волны, а как совершенно особые образования, проявляющие и волновые, и корпускулярные свойства в зависимости от обстоятельств (см. Принцип дополнительности). Одно дело — это заявить, и совсем другое — связать воедино волновые и корпускулярные аспекты поведения квантовых частиц, описав их точным уравнением. Именно это и было сделано в соотношении де Бройля.

Луи де Бройль опубликовал выведенное им соотношение в качестве составной части своей докторской диссертации в 1924 году. Казавшееся сначала сумасшедшей идей, соотношение де Бройля в корне перевернуло представления физиков-теоретиков о микромире и сыграло важнейшую роль в становлении квантовой механики. В дальнейшем карьера де Бройля сложилась весьма прозаично: до выхода на пенсию он работал профессором физики в Париже и никогда более не поднимался до головокружительных высот революционных прозрений.

Теперь кратко опишем физический смысл соотношения де Бройля: одна из физических характеристик любой частицы — ее скорость. При этом физики по ряду теоретических и практических соображений предпочитают говорить не о скорости частицы как таковой, а о ее импульсе (или количестве движения ), который равен произведению скорости частицы на ее массу. Волна описывается совсем другими фундаментальными характеристиками — длиной (расстоянием между двумя соседними пиками амплитуды одного знака) или частотой (величина, обратно пропорциональная длине волны, то есть число пиков, проходящих через фиксированную точку за единицу времени). Де Бройлю же удалось сформулировать соотношение, связывающее импульс квантовой частицы р с длиной волны λ, которая ее описывает:

p = h /λ или λ = h /p

Это соотношение гласит буквально следующее: при желании можно рассматривать квантовый объект как частицу, обладающую количеством движения р ; с другой стороны, ее можно рассматривать и как волну, длина которой равна λ и определяется предложенным уравнением. Иными словами, волновые и корпускулярные свойства квантовой частицы фундаментальным образом взаимосвязаны.

Соотношение де Бройля позволило объяснить одну из величайших загадок зарождающейся квантовой механики. Когда Нильс Бор предложил свою модель атома (см. Атом Бора), она включала концепцию разрешенных орбит электронов вокруг ядра, по которым они могли сколь угодно долго вращаться без потери энергии. С помощью соотношения де Бройля мы можем проиллюстрировать это понятие. Если считать электрон частицей, то, чтобы электрон оставался на своей орбите, у него должна быть одна и та же скорость (или, вернее, импульс) на любом расстоянии от ядра.

Если же считать электрон волной, то, чтобы он вписался в орбиту заданного радиуса, надо, чтобы длина окружности этой орбиты была равна целому числу длины его волны. Иными словами, окружность орбиты электрона может равняться только одной, двум, трем (и так далее) длинам его волн. В случае нецелого числа длин волны электрон просто не попадет на нужную орбиту.

Главный же физический смысл соотношения де Бройля в том, что мы всегда можем определить разрешенные импульсы (в корпускулярном представлении) или длины волн (в волновом представлении) электронов на орбитах. Для большинства орбит, однако, соотношение де Бройля показывает, что электрон (рассматриваемый как частица) с конкретным импульсом не может иметь соответствующую длину волны (в волновом представлении) такую, что он впишется в эту орбиту. И наоборот, электрон, рассматриваемый как волна определенной длины, далеко не всегда будет иметь соответствующий импульс, который позволит электрону оставаться на орбите (в корпускулярном представлении). Иными словами, для большинства орбит с конкретным радиусом либо волновое, либо корпускулярное описание покажет, что электрон не может находиться на этом расстоянии от ядра.

Однако существует небольшое количество орбит, на которых волновое и корпускулярное представление об электроне совпадают. Для этих орбит импульс, необходимый для того, чтобы электрон продолжал движение по орбите (корпускулярное описание), в точности соответствует длине волны, необходимой, чтобы электрон вписался в окружность (волновое описание). Именно эти орбиты и оказываются разрешенными в модели атома Бора, поскольку только на них корпускулярные и волновые свойства электронов не вступают в противоречие.

Мне нравится еще одна интерпретация этого принципа — философская: модель атома Бора допускает только такие состояния и орбиты электронов, при которых не важно, какую из двух ментальных категорий человек применяет для их описания. То есть, иными словами, реальный микромир устроен так, что ему нет дела до того, в каких категориях мы пытаемся его осмыслить!

См. также:

1926

В 1924г. Луи де Бройль (французский физик) пришел к выводу, что двойственность света должна быть распространена и на частицы вещества - электроны. Гипотеза де Бройля заключалась в том, что электрон, корпускулярные свойства которого (заряд, масса) изучаются давно, имеет еще и волновые свойства, т.е. при определенных условиях ведет себя как волна.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов.

Идея де Бройля состояла в том, что это соотношение имеет универсальный характер, справедливый для любых волновых процессов. Любой частице, обладающей импульсом р, соответствует волна, длина которой вычисляется по формуле де Бройля.

- волна де Бройля

p =mv - импульс частицы, h - постоянная Планка.

Волны де Бройля , которые иногда называют электронными волнами, не являются электромагнитными.

В 1927 году Дэвиссон и Джермер (амер. физик) подтвердили гипотезу де Бройля обнаружив дифракцию электронов на кристалле никеля. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа - Брэггов 2dsin n , а брэгговская длина волны оказалась в точности равной .

Дальнейшее подтверждение гипотезы де Бройля в опытах Л.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (Е  50 кэВ) через фольгу из различных металлов. Затем была обнаружена дифракция нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. Появились новые методы исследования вещества - нейтронография и электронография и возникла электронная оптика.

Макротела также должны обладать всеми свойствами (m = 1кг, следовательно,   ·  м - невозможно обнаружить современными методами - поэтому макротела рассматриваются только как корпускулы).

§2 Свойства волн де Бройля

    Пусть частица массы m движется со скоростью v . Тогда фазовая скорость волн де Бройля

Т.к. c > v, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (v ф может быть больше и может быть менше с, в отличие от групповой).

Групповая скорость

    следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

Для фотона

т.е. групповая скорость равная скорости света.

§3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Микрочастицы в одних случаях проявляют себя как волны, в других как корпускулы. К ним не применимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р . Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит к тому, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью.

Далее, нельзя говорить о длине волны в данной точке пространства и отсюда следует, что если мы точно задаем координату Х, то мы ничего не сможем сказать о импульсе частицы, т.к. . Только рассматривая протяженный участок мы сможем определить импульс частицы. Чем больше , тем точнее р и наоборот, чем меньше , тем больше неопределенность в нахождении р .

Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс, энергия и время.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга: произведение неопределенностей значений двух сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h

(иногда записывают )

Таким образом. для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.

Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

следовательно, чем больше m, тем меньше неопределенности в определении координаты и скорости. При m = 10 -12 кг, ? = 10 -6 и Δx = 1% ?, Δv = 6,62·10 -14 м/с, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинки могут двигаться, т.е. для макротел их волновые свойства не играют никакой роли.

Пусть электрон движется в атоме водорода. Допустим Δx  -10 м (порядка размеров атома, т.е. электрон принадлежит данному атому). Тогда

Δv = 7,27·  м/с. По классической механике при движении по радиусу r  ,·  м v = 2,3·10 -6 м/с. Т.е. неопределенность скорости на порядок больше величины скорости, следовательно, нельзя применять законы классической механики к микромиру.

Из соотношения следует, что система имеющая время жизниt , не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Следовательно, частота излученного фотона также должна иметь неопределенность = h , т.е. спектральные линии будут иметь некоторую ширину h , будут размыты. Измерив ширину спектральной линии можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

Элементы квантовой механики

Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества.

§1 Волны де Бройля

В 1924г. Луи де Бройль (французский физик) пришел к выводу, что двойственность света должна быть распространена и на частицы вещества - электроны. Гипотеза де Бройля заключалась в том, что электрон, корпускулярные свойства которого (заряд, масса) изучаются давно, имеет еще и волновые свойства, т.е. при определенных условиях ведет себя как волна.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов.

Идея де Бройля состояла в том, что это соотношение имеет универсальный характер, справедливый для любых волновых процессов. Любой частице, обладающей импульсом р, соответствует волна, длина которой вычисляется по формуле де Бройля.

- волна де Бройля

p = mv - импульс частицы, h - постоянная Планка.

Волны де Бройля , которые иногда называют электронными волнами, не являются электромагнитными.

В 1927 году Дэвиссон и Джермер (амер. физик) подтвердили гипотезу де Бройля обнаружив дифракцию электронов на кристалле никеля. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа - Брэггов 2 dsin j = n l , а брэгговская длина волны оказалась в точности равной .

Дальнейшее подтверждение гипотезы де Бройля в опытах Л.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (Е » 50 кэВ) через фольгу из различных металлов. Затем была обнаружена дифракция нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. Появились новые методы исследования вещества - нейтронография и электронография и возникла электронная оптика.

Макротела также должны обладать всеми свойствами (m = 1кг, следовательно, l = 6 . 6 2 · 1 0 - 3 1 м - невозможно обнаружить современными методами - поэтому макротела рассматриваются только как корпускулы).

§2 Свойства волн де Бройля

  • Пусть частица массы m движется со скоростью v . Тогда фазовая скорость волн де Бройля

Т.к. c > v , то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (v ф может быть больше и может быть менше с, в отличие от групповой).

Групповая скорость

  • следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

Для фотона

т.е. групповая скорость равная скорости света.

§3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Микрочастицы в одних случаях проявляют себя как волны, в других как корпускулы. К ним не применимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р . Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит к тому, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью.

Далее, нельзя говорить о длине волны в данной точке пространства и отсюда следует, что если мы точно задаем координату Х, то мы ничего не сможем сказать о импульсе частицы, т.к. . Только рассматривая протяженный участок D C мы сможем определить импульс частицы. Чем больше D C , тем точнее D р и наоборот, чем меньше D C , тем больше неопределенность в нахождении D р .

Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс, энергия и время.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга: произведение неопределенностей значений двух сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h

(иногда записывают )

Таким образом. для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.

Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

следовательно, чем больше m , тем меньше неопределенности в определении координаты и скорости. При m = 10 -12 кг , ? = 10 -6 и Δ x = 1% ?, Δv = 6,62·10 -14 м/с, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинки могут двигаться, т.е. для макротел их волновые свойства не играют никакой роли.

Пусть электрон движется в атоме водорода. Допустим Δ x » 1 0 -10 м (порядка размеров атома, т.е. электрон принадлежит данному атому). Тогда

Δv = 7,27· 1 0 6 м/с. По классической механике при движении по радиусу r » 0 , 5 · 1 0 - 1 0 м v = 2,3·10 -6 м/с. Т.е. неопределенность скорости на порядок больше величины скорости, следовательно, нельзя применять законы классической механики к микромиру.

Из соотношения следует, что система имеющая время жизни D t , не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Следовательно, частота излученного фотона также должна иметь неопределенность D n = D E / h , т.е. спектральные линии будут иметь некоторую ширину n ± D E / h , будут размыты. Измерив ширину спектральной линии можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

§4 Волновая функция и ее физический смысл

Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях - имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.

Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волны вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону (т.е. ~ е - iωt ). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн (немецкий физик) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или y -функцией (пси - функцией).

Волновая функция - функция координат и времени.

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV - физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.

Ψ * - функция комплексно сопряженная с Ψ

(z = a + ib , z * = a - ib , z * - комплексно сопряженное)

Если частица находится в конечном объеме V , то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)

Р = 1 Þ

В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const , описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,

Условие нормировки

интеграл по , означает, что он вычисляется по безграничному объему (пронстранству).

y - функция должна быть

1) конечной (так как Р не может быть больше1),

2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).

  • непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),
  • Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции : если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями y 1 , y 2 ... y n , то она может находится в состоянии y , описываемой линейной комбинаций этих функций:

С n (n =1,2...) - любые числа.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы

§5 Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как и другие основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла), не выводится, а постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными.

(1)

Временное уравнение Шредингера.

Набла - оператор Лапласа

Потенциальная функция частицы в силовом поле,

Ψ(y , z , t ) - искомая функция

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. не изменяется с течением времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера (т.е. Ψ - функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей - один зависит только от координат, другой - только от времени:

(2)

Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.

Подставив (2) ® (1):

(3)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Имеется бесконечно много решений. Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Граничные условия:

Волновые функции должны быть регулярными , т.е.

1)конечными;

2) однозначными;

3) непрерывными.

Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а соответствующие им значения энергии - собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если Е n принимает дискретные значения, то спектр - дискретный , если непрерывные - сплошной или непрерывный .

§6 Движение свободной частицы

Частица называется свободной, если на нее не действуют силовые поля, т.е. U = 0.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае:

Его решение: Ψ(x )=А е ikx , где А = const , k = const

И собственные значения энергии:

Т.к. k может принимать любые значения, то, следовательно, и Е принимает любые значения, т.е. энергетический спектр будет сплошным.

Временная волновая функция

(- уравнение волны)

т.е. представляет плоскую монохромную волну де Бройля.

§7 Частица в “потенциальной яме” прямоугольной формы.

Квантование энергии.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим что, частица может двигаться только вдоль оси x . Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками x = 0, и x = ?. Потенциальная энергия U имеет вид:

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для одномерной задачи

За пределы потенциальной ямы частица попасть не сможет, поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна 0.Следовательно, и Ψ за пределами ямы равна 0 .Из условий непрерывности следует, что Ψ = 0 и на границах ямы т.е.

Ψ(0) = Ψ(?) = 0

В пределах ямы (0 £ x £ l ) U = 0 и уравнение Шредингера.

введя получим

Общее решение

из граничных условий следует

y (0) = 0,

Таким образом

В = 0

Следовательно,

Из граничного условия

Следует

Þ

Тогда

Энергия Е n частицы в "потенциальной яме" с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения , т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е n называются уровнями энергии , а число n , определяющее энергические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Т.е. частицы в "потенциальной яме" могут находиться только на определенном энергетическом уровне Е n (или находятся в квантовом состоянии n )

Собственные функции:

А найдем из усилия нормировки



Плотность вероятности. Из рис. видно, что плотность вероятности меняется в зависимости от n : при n = 1 частица, скорее всего, будет посередине ямы, но не на краях, при n = 2 - будет или в левой или в правой половине, но не посередине ямы и не на краях, и т.д. Т.е нельзя говорить о траектории движения частицы.

Энергетический интервал между соседними уровнями энергии:

При n = 1 имеет наименьшую энергию отличную от нуля

Наличие минимума энергии следует из соотношения неопределенностей, т.к.,

C ростом n расстояние между уровнями уменьшается и при n ® ¥ Е n практически непрерывны, т.е. дискретность сглаживается, т.е. выполняется принцип соответствия Бора: при больших значениях квантовых чисел законы квантовой механики переходят в законы классической физики.

Французский ученый Луи де Бройль, осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма . Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия Е и импульс р , а с другой – волновые характеристики – частота n и длина волны l . Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

Смелость гипотезы де Бройля заключалась именно в том, что соотношение (1) постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля :

Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р .

Определим некоторые основные свойства волн де Бройля. Рассмотрим свободно движущуюся со скоростью v частицу массой m . Вычислим для нее фазовую и групповую скорости волн де Бройля. Итак, фазовая скорость:

, (3)

где и , – волновое число. Так как c>v , то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме.

Групповая скорость: .

Для свободной частицы, согласно теории относительности Эйнштейна, справедливо , тогда

.

Следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Значит, необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга , микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (x, y, z ), и определенную соответствующую проекцию импульса (p x , p y , p z ), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям

т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h .

Из соотношения неопределенностей (4) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (Dx =0), то в этом состоянии (Dp x ®¥), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является , таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам .

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t , т.е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

Подчеркнем, что – неопределенность энергии некоторого состояния системы, Dt – промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Dt , не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность , т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной . Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

2. Волновая функция и ее свойства

Итак, квантовая механика описывает законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Однако при этом отмечается, что волны де Бройля (микрочастицы) не обладают всеми свойствами электромагнитных волн. Например, электромагнитные волны представляют собой распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве какого-либо электромагнитного поля. Экспериментально доказано, что равномерно и прямолинейно движущиеся заряженные частицы не излучают электромагнитных волн.

Из опытов по дифракции электронов следует, что в этих экспериментах обнаруживается неодинаковое распределение пучков электронов, отраженных или рассеянных по различным направлениям: в некоторых направлениях наблюдается большее число электронов, чем во всех других. С волновой точки зрения наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Другими словами, интенсивность волн в данной точке пространства определяет плотность вероятности попадания электронов в эту точку. Это послужило основанием для своеобразного статистического, вероятностного истолкования волн де Бройля.

Единственное правильное толкование волн материи, позволяющее согласовать между собой описанные факты, это статистическое толкование : интенсивность волны пропорциональна вероятности обнаружить частицу в данном месте. Для того, чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, вводят функцию , называемую волновой функцией (или псифункцией). Определяли ее так, чтобы вероятность dW того, что частица находится в элементе объема dV , равнялась произведению и элемента объема dV :

Физический смысл имеет не сама функция Y, а квадрат ее модуля: , где Y * – функция, комплексно сопряженная с Y. Величина имеет смысл плотности вероятности : , т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами x, y, z . Так как пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице, то это значит, что волновая функция удовлетворяет условию нормировки вероятностей :

Итак, в квантовой механике состояние микрочастиц описывается принципиально по новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Это налагает на волновую функцию ряд ограничительных условий. Функция Y, характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема, должна быть:

1. конечной (вероятность не может быть больше единицы);

2. однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);

3. непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции : если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , то она также может находиться в состоянии Y, описываемом линейной комбинацией этих функций:

где С n (n =1, 2, …) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей .

Волновая функция, являясь основной характеристикой состояния микрообъектов, позволяет в квантовой механике вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект:

.

где интегрирование ведется по всему бесконечному пространству, как и в случае (7).

3. Уравнение Шредингера.

Статистическое истолкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающем движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции , так как именно она, или, точнее, величина , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV , т.е. в области с координатами x и x +dx , y и y +dy , z и z +dz . Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется . Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид:

, (8)

где , m – масса частицы, D – оператор Лапласа , i – мнимая единица, – функция потенциальной энергии частицы в силовом поле, в котором она движется, – искомая волновая функция частицы.

Уравнение (8) справедливо для любой частицы, движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т.е. v<. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1) функция Y должна быть конечной , непрерывной и однозначной ;

2) производные должны быть непрерывны ;

3) функция должна быть интегрируема , т.е. интеграл должен быть конечным .

Уравнение (8) является общим уравнением Шредингера. Его также называют временным уравнением Шредингера , так как оно содержит производную от функции Y по времени. Однако для большинства физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (8) можно упростить, исключив зависимость Y от времени, иными словами найти уравнение Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии . Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция явно не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

где Е – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это в (8), получим

откуда придем к уравнению, определяющему функцию y :

. (9)

Уравнение (9) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний . В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются упомянутые выше условия регулярности волновых функций. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями y . Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е , а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными . Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями . Собственные значения Е могут образовать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном , или сплошном , спектре, во втором – о дискретном спектре .

4. Ядерная модель атома.

Общепринятую сегодня ядерную (планетарную) модель атома предложил Э. Резерфорд. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева, е – элементарный заряд), размер 10 -15 -10 -14 м и массу, практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10 -10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т.е. вокруг ядра вращается Z электронов.

Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху. Преодоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой – квантовой – теории атома. Первая попытка построения такой теории была предпринята Нильсом Бором. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) : в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состоянием атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющее условию

где m e – масса электрона, v – его скорость по n -ой орбите радиуса r n .

Второй постулат Бора (правило частот) : при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (E n и E m – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)). При E n <E m происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т.е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при E n >E m – его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т.е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот квантовых переходов определяет линейчатый спектр атома.

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем – систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы He + , Li 2+). Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в такой системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение , предложенное Резерфордом, и уравнение (10), получим выражение для радиуса n -й стационарной орбиты:

.

Откуда следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел. Для атома водорода (Z =1) радиус первой орбиты электрона при n =1, называемый первым боровским радиусом (а ), равен

,

что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов.

Кроме этого, учитывая квантованные для радиуса n -й стационарной орбиты значения, можно показать, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:

,

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.

5. Атом водорода в квантовой механике.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия He + , двукратно ионизированного лития Li ++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z =1),

,

где r – расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (9), учитывающему предыдущее значение потенциальной энергии:

, (12)

где m – масса электрона, Е – полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (12) обычно используют сферическую систему координат: r , q , j . Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют.

1. Энергия . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (27) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции y , только при собственных значениях энергии

, (13)

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии. Самый нижний уровень Е 1 , отвечающий минимальной возможной энергии, - основной , все остальные (E n >E 1 , n =1, 2, 3, …) – возбужденные . При E <0 движение электрона является связанным , а при E >0 – свободным ; область непрерывного спектра Е >0 соответствует ионизированному атому . Выражение (13) совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

2. Квантовые числа . В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (12) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным n , орбитальным l и магнитным m l .

Главное квантовое число n , согласно (13), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n =1, 2, 3, …

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется , т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l орбитальное квантовое число , которое при заданном n принимает значения l =0, 1, …, (n -1), т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор L l момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L lz на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные:

Рис. 1

где m l магнитное квантовое число , которое при заданном l может принимать значения m l =0, ±1, ±2, …, ±l , т.е. всего 2l +1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число m l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление , причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l +1 ориентаций.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве .

3. Спектр . Светящиеся газы дают линейчатые спектры испускания. В соответствии с законом Кирхгофа спектры поглощения газов также имеют линейчатую структуру. Все сериальные формулы спектра водорода могут быть выражены единой формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера :

, (16)

где R =3,293×10 15 с -1 – постоянная Ридберга , m и n – целые числа, причем для данной серии n =m +1, m +2, m +3 и т.д. Всего различают шесть серий спектральных линий: серия Лаймана (m =1), серия Бальмера (m =2), серия Пашена (m =3), серия Брэкета (m =4), серия Пфунда (m =5), серия Хэмфри (m =6) (рис. 1).

6. Спин электрона. Принцип Паули. Принцип неразличимости

тождественных частиц.

В 1922 г. было обнаружено, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю (14). Магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением электрона, пропорционален механическому моменту, поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, т.е. расщепления быть не должно.

Для объяснения этого явления, а также ряда других трудностей в атомной физике было предложено, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса , не связанным с движением электрона в пространстве, – спином . Спин электрона (и всех других частиц) – квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) L s , то ему соответствует собственный магнитный момент. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

,

где s спиновое квантовое число .

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция L sz спина квантуется так, что вектор L s может принимать 2s +1 ориентаций. Так как в опытах наблюдались только две ориентации, то 2s +1=2, откуда s =1/2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, аналогичным (15):

где m s магнитное спиновое квантовое число ; оно может иметь только два значения: .

Распределение электронов в атоме подчиняется квантово-механическому закону, называемому принципом Паули или принципом исключения . В своей простейшей формулировке он гласит: «В любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного n , орбитального l , магнитного m l и спинового m s », т.е. Z(n, l, m l , m s) =0 или 1, где Z(n, l, m l , m s) – число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: n, l, m l , m s . Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n , называют электронной оболочкой . В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам , соответствующим данному l . Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n -1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l +1).

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлементным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например, электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики. Такие частицы называются тождественными .

Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики – принципе неразличимости тождественных частиц , согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы. В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам, т.е. классические частицы обладают индивидуальностью.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность () нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

7. Квантовые статистики. Вырожденный газ.

Основная задача статистической физики в квантовых статистиках состоит в нахождении функции распределения частиц системы по тем или другим параметрам – координатам, импульсам, энергиям и т.п., а также в отыскании средних значений этих параметров, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц. Для систем фермионов и бозонов эти задачи решаются единообразно, но несколько различно в связи с тем, что бозоны не подчиняются принципу Паули. В соответствии с этим различаются две квантовые статистики: Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, в рамках которых определен вид функции распределения частиц системы по энергиям.

Напомним, что функция распределения по энергиям представляет собой долю от общего числа частиц, которые имеют энергию в интервале значений от W до W+dW :

,

где N – общее число частиц, f(W) – функция распределения по энергиям.

Для системы из n невзаимодействующих фермионов с энергией W (идеальный Ферми-газ) или системы из n невзаимодействующих бозонов с энергией W (идеальный Бозе-газ) были определены похожие функции распределения:

, (17)

где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, m - химический потенциал, представляющий собой изменение энергии системы при изменении на единицу числа частиц системы при изохорном или изоэнтропийном процессе. В рамках статистики Ферми-Дирака в (32) берут знак «+», т.е. в этом случае . Соответственно для Бозе-газа – знак «-» и .

Газ называется вырожденным , если его свойства отличаются от свойств классического идеального газа. В вырожденном газе происходит взаимное квантово-механическое влияние частиц газа, обусловленное неразличимостью тождественных частиц. Поведение фермионов и бозонов различно при вырождении.

Для характеристики степени вырождения газа вводится параметр вырождения А :

Функция распределения с помощью параметра вырождения для обеих квантовых статистик запишется в виде:

.

Если параметр вырождения мал A<<1, то и функция распределения превращается в функцию распределения Максвелла-Больцмана , лежащую в основе классической статистики невырожденного газа:

Температурой вырождения называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц. Сравнительно легко можно грубо оценить температурный критерий вырождения газа. Вырождение обычных газов сказывается при низких температурах. Для фотонного и электронного газа в металлах это не справедливо. Электронный газ в металлах практически всегда вырожден. Только при температурах выше нескольких десятков тысяч градусов электроны металла подчинялись бы классической статистике Максвелла-Больцмана. Но существование металлов в конденсированном состоянии при таких температурах невозможно. Поэтому классическое описание поведения электронов в металлах приводит в электродинамике в ряде случаев к законам, резко противоречащих опыту. В полупроводниках концентрация электронного газа много меньше, чем в металлах. В этих условиях температура вырождения составляет порядка 10 -4 К и электронный газ в полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике. Примером вырожденного газа служит фотонный газ. Так как масса фотона равна нулю, то температура вырождения стремится к бесконечности. Фотонный газ при любой температуре является вырожденным. Атомные и молекулярные газы имеют весьма малые температуры вырождения. Например, для водорода при нормальных условиях температура вырождения составляет около 1 К. Для остальных газов, более тяжелых, чем водород, она еще меньше. Газы при нормальных условиях не бывают вырождены. Вырождение, связанное с квантовыми свойствами газов, проявляется значительно меньше, чем отклонение газов от идеальности, вызванное межмолекулярными взаимодействиями.

Максимальная энергия, которую могут иметь электроны проводимости в кристалле при 0 К называется энергией Ферми и обозначается E F . Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми . Уровню Ферми соответствует энергия Ферми, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

8. Понятие о зонной теории твердых тел.

Используя уравнение Шредингера, в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения такой задачи для случая многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела .

Рис. 2

Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней. При образовании кристаллической решетки, т.е. при сближении атомов до межатомных расстояний решетки, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуя зонный энергетический спектр . На рис. 2 показано расщепление энергетических уровней в зависимости от расстояния между атомами. Видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» – принадлежат всему твердому телу.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 2 областей, называемых разрешенными энергетическими уровнями . Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее расположены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями столь ничтожно (порядка 10 -22 эВ), что зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям. Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергий, называемыми запрещенными энергетическими зонами . В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с атомами.

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон. Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. В общем случае можно говорить о валентной зоне , которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электронов свободных атомов, и о зоне проводимости (свободной зоне) , которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов. В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая (рис. 3).

На рис. 3, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т.е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны,

© 2024. iro-to.ru. Умники и умницы - Образовательный портал.