Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тольяттинский государственный университет» институт математики, физики и информационных технологий кафедра «Алгебра и геометрия» МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ПО ТЕМЕ «КВАДРАТНЫЕ КОРНИ» В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ Б А К А Л А В Р С К А Я Р А Б О Т А Направление подготовки бакалавра: Педагогическое образование Направленность (профиль): Математика и информатика Студент В.В. Назаров Научный Руководитель: д.п.н., проф. Р.А. Утеева Допустить к защите Заведующий кафедрой: д.п.н., проф. Р.А. Утеева 016 г. Тольятти - 016

2 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ... ГЛАВА I. МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ «КВАДРАТНЫЕ КОРНИ» В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ Основные цели и задачи обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы Методический анализ содержания обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы Формы, методы и средства обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы... 5 Вывод по I главе... ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ «КВАДРАТНЫЕ КОРНИ» В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ Задачи по теме «Квадратные корни», ориентированные на базовый уровень знаний и умений в курсе алгебры основной школы Задачи по теме «Квадратные корни», ориентированные на подготовку к итоговой аттестации и сдаче ОГЭ по математике Вывод по II главе ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ... 58

3 ВВЕДЕНИЕ Актуальность исследования. Тема «Квадратные корни» является одной из традиционных тем школьного курса алгебры основной школы. Ее изучение числах, полученных в базируется на знаниях и умениях учащихся о рациональных курсе математики 6 класса. Совершенствование навыков выполнения операций над рациональными числами происходит в курсе алгебры 7 класса. Значимость и место изучения темы «Квадратные корни» в курсе алгебры 8 класса связана с необходимостью дальнейшего расширения множества рациональных чисел и введения иррациональных чисел. Мотивацией изучения темы может служить известная практическая задача о нахождении стороны (длины стороны) квадрата по его заданной площади, для решения которой известных ранее чисел недостаточно. Кроме того, при решении многих геометрических задач, задач по физике, химии и биологии возникает необходимость решения уравнений, содержащих квадратные корни. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Обратимся к истории возникновения понятия квадратного корня и его обозначения, составленную на основе следующих источников . n Современная форма знака квадратного корня x и x появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R. В XV в. Н.Шюке писал R 1 вместо 1. Современный знак корня произошел от обозначения, приминаемого немецкими математиками XV-XVI вв., называвшие алгебру наукой «Косс», а математиков -алгебраистов «коссистами». (Математики XII-XV вв. писали все свои труды исключительно на латинском языке. Они называли неизвестное res (вещь).

4 Итальянские математики перевели слово res как cosa. Последний термин заимствовали немцы, от которых и появилось коссисты и косс.) В XV в. некоторые немецкие коссисты для обозначения квадратного корня пользовались точкой перед выражением или числом. В скорописи эти точки заменялись черточками, а позже они перешли в символ Один такой знак означал обычный квадратный корень. Если нужно было обозначить корень четвертой степени, то применялся сдвоенный знак знак. Остается только гадать, как именно обозначался корень восьмой степени. Если брать аналогию с четвертой степенью, то этот знак должен был отождествлять трехкратное извлечение квадратного корня, то есть для этого нужно было поставить три квадратика. Однако, это обозначение занято кубическим корнем. Скорее всего, впоследствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты. Впервые этот знак был замечен в немецкой алгебре «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры». Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Книга пользовалась большим успехом и постоянно переиздавалась на протяжении всего XVI в. и после аж до 1615г. Знаком корня, предложенного Криштофом пользовались А.Жирар, С.Стевин (он писал показатель корня справа от знака радикалда в кружке: V () или V (). В 166 г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение. Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R. Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: a + b. И только в 167 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге «Геометрия». Но и здесь не было точной копии современной формы. Запись Декарта несколько отличалась от той, к которой мы с вами привыкли, одной деталью. У него 4

5 было записано: C + 1 q qq p, где буква С, поставленная сразу после радикала, указывала на запись кубического корня. В современном виде это выражение выглядело бы так: C + 1 q q p. Самое близкое к современному написанию радикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685г.) Впервые запись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книге французского математика Ролля «Руководство алгебры», вышедшей в 1690г. Только через некоторое время после ее написания, математики планеты приняли, наконец, единую и окончательную форму записи квадратного корня . Проблема исследования: каковы методические особенности обучения теме «Квадратные корни» школы? 5 в курсе алгебры 8 класса основной Объектом исследования является процесс обучения алгебре учащихся основной школы. Предмет исследования методическая система обучения теме «Квадратные корни». Цель бакалаврской работы раскрыть методическую систему обучения теме «Квадратные корни». Задачи исследования: 1. Выделить основные цели и задачи обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы (целевой компонент методической системы).. Проанализировать содержание темы «Квадратные корни» в учебниках алгебры основной школы (содержательный компонент методической системы).. Изучить различные формы, методы и средства обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы (организационный

6 компонент методической системы). 4. Сформулировать методические рекомендации по обучению теме «Квадратные корни». Методы исследования: анализ научно-методической литературы, программ по математике, школьных учебников алгебры по теме исследования, анализ, систематизация и обобщение материала. Практическая значимость данной работы заключается в том, что в ней представлена методическая система обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы и сформулированы методические рекомендации, которые могут быть использованы учителями математики, а также бакалаврами в период педагогической практики в школе. Представленные результаты и выводы бакалаврской работы могут быть положены в основу дальнейшей разработки методики обучения учащихся теме «Квадратные корни». На защиту выносится: методическая система обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы. Структура работы. Бакалаврская работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. 6

7 ГЛАВА I. МЕТОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ «КВАДРАТНЫЕ КОРНИ» В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 1. Основные цели и задачи обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы В федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования (ФГОС ООО) отмечено, что изучение предметной области «Математика» должно обеспечить: 1) формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;) развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;) развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений; 4) овладение символьным языком алгебры, приёмами выполнения тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат; В программе по математике автор выделяет следующие цели и задачи изучения темы «Квадратные корни»: Расширение множества рациональных чисел, введение понятия иррационального и действительного числа, изучение квадратных корней и действий с ними. 7

8 В результате изучения темы учащиеся должны знать: 1. Определение периодических и непериодических бесконечных десятичных дробей.. Функцию y=x, ее свойства и график.. Понятие квадратного корня 4. Свойства арифметических квадратных корней. 5. Множество действительных, рациональных и иррациональных чисел. В результате изучения темы учащиеся должны уметь: 1. Обращать обыкновенную дробь в десятичную и обратно.. Сравнивать действительные, рациональные и иррациональные числа.. Уметь строить график функции y=x. 4. Вносить и выносить множитель из-под знака корня. 5. Выполнять действия с квадратными корнями. В программе по математике автор выделяет следующие цели и задачи изучения темы «Квадратные корни» (к учебнику Макарычева): Систематизировать сведения о рациональных числах и дать представление об иррациональных числах, расширив тем самым понятие числа; выработать умение выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В результате изучения темы учащиеся должны знать: 1. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные числа.. Модуль числа a.. Арифметический квадратный корень и его свойства. 4. Функцию y= x, ее свойства и график. В результате изучения темы учащиеся должны уметь: 1. Решать простейшие квадратные уравнения. 8

9 . Вносить и выносить множитель из-под знака корня.. Находить приближенные значения квадратных корней. 4. Извлекать квадратный корень из степени числа. 5. Преобразовывать иррациональные выражения. В программе по математике автор выделяет следующие цели и задачи изучения темы «Квадратные корни» в учебнике Алимова: Систематизировать сведения о рациональных числах и дать представление об иррациональных числах, расширив тем самым понятие числа; выработать умение выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В результате изучения темы учащиеся должны знать: 1. Понятие арифметического квадратного корня.. Действительные числа В результате изучения темы учащиеся должны уметь находить квадратный корень из степени, произведения и дроби. В статье С. Минаевой [, С. 4-7] отмечается, что изучение раздела «Квадратные корни» имеет следующие цели: научить выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни; на примере квадратного и кубического корня сформировать начальные представления о корне n-й степени. В примерной основной образовательной программе основного общего образования от 8 апреля 015 г. сказано, что выпускник должен научиться в 8 классе (для использования в повседневной жизни, при изучении других предметов и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне): 1. Оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, арифметический квадратный корень.. Оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа. 9

10 . Распознавать рациональные и иррациональные числа. 4. Сравнивать числа. 5. Понимать смысл записи числа в стандартном виде. 6. Решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения. 7. Изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой. Выпускник получит возможность научиться в 8 классе для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углубленном уровнях: 1. Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел.. Выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений.. Сравнивать рациональные и иррациональные числа. 4. Представлять рациональное число в виде десятичной дроби. 5. Выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни. 6. Выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные корни.. Методический анализ содержания обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы Базовые (известные из школьного курса математики 5-6 алгебры 7 классов) знания: понятие рационального числа; понятие множества рациональных чисел и его обозначения; 10 и курса

11 основные действия (операции) с рациональными числами; функция у = х. Новые (вводимые) знания: понятие квадратного корня из числа; понятие арифметического квадратного корня; свойства арифметических квадратных корней; внесение и вынесение множителя из под знака корня; действия с квадратными корнями. Анализ содержания темы «Квадратные корни» в различных учебниках алгебры 8 класса представлен в Таблицах 1-4. В учебнике Ю.Н. Макарычева выделяется больше чем в других часов на изучение раздела «Квадратные корни», весь раздел разделен на 4 параграфа. Затронута тема изучения приближенного нахождения квадратных корней, но пропущена тема периодических десятичных дробей. В учебнике Г.К. Муравина и О.В. Муравиной на раздел «Квадратные корни» выделено чуть меньше 18 часов, раздел состоит из параграфов, затронута тема периодических десятичных дробей, но нет приближенного нахождения квадратных корней. В учебнике Никольского раздел «Квадратные корни» состоит всего из одного параграфа и 5 пунктов, многие темы и понятие не представлены. В учебнике Г.В. Дорофеева включена тема посвященная теореме Пифагора, отсутствующая во всех вышеуказанных. Здесь также затронуто изучение кубического корня. Во всех учебниках изучение раздела начинается с действительных и иррациональных чисел, но у каждого автора свой подход. Потом идет изучение непосредственно квадратного корня и арифметического квадратного корня, свойств и действий над ними. 11

12 Авторы учебника Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова Название глав и параграфов 4. Действительные числа 9. Рациональные числа 10. Иррациональные числа 5. Арифметический квадратный корень 11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. 1. Уравнение x =a. 1. Нахождение приближенных значений квадратного корня. 14. Функция y= x и ее график. 6. Свойства арифметического квадратного корня. 15. Квадратный корень из произведения и дроби. 16. Квадратный корень из степени. 7. Применение свойств арифметического квадратного корня 17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня. 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Таблица 1 Кол-во часов Всего Таблица Авторы учебника Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина Название глав и параграфов 5. Действительные числа 14. Рациональные и иррациональные числа. 15. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. 6. Квадратные корни. 16. Функция y=x и ее график. 17. Понятие квадратного корня. 18. Свойства арифметических квадратных корней. 19. Внесение и вынесение множителя из-под знака корня. 0. Действия с квадратными корнями. Кол-во часов Всего 18 Таблица Авторы учебника С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин Название глав и параграфов. Квадратные корни.1 Понятие квадратного корня.. Арифметический квадратный корень.. Квадратный корень из натурального числа..4 Приближенное вычисление квадратных корней..5 Свойства арифметических квадратных корней. 1

13 Таблица 4 Авторы учебника Название глав и параграфов Кол-во часов Г.В. Дорофеев .1 Задача о нахождении стороны квадрата. Иррациональные числа. Теорема Пифагора.4 Квадратный корень (алгебраический подход).5 Свойства квадратных корней.6 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.7 Кубический корень Всего 18 Изучение темы «Квадратные корни» на базе учебника алгебры за 8 класс авторов Муравиных . В начале дается расширение множества рациональных чисел, вводятся понятия иррационального и действительного числа, рассматривается переход от обыкновенной дроби к десятичным и обратно. На рациональные и иррациональные числа отводится ч. В пункте 14. «Рациональные и иррациональные числа» рассказана история их возникновения и цель изучения темы. Определения даны на основании примеров, отношений длин отрезков. Определение 1: если два отрезка имеют общую меру, которая в m раз укладывается в одном отрезке и n раз в другом, то их отношение m, n является рациональным числом . Определение иррационального числа дано на примере 1: Пример 1: d = (m n) =. Отсюда (m n) =. Знаменатель дроби, стоящей в левой части равенства, отличен от единицы, поэтому, что бы дробь оказалась равной целому числу, она должна сокращаться на n. Но натуральные числа m и n не имеют общих делителей, поэтому нет общих делителей и у их квадратов. Значит, равенство m = неверно, т.е. число d дробным не является . n 1

14 Пример доказал, что число d не является рациональным числом, это означает, что диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной, число d является иррациональным числом. Следующий пункт посвящен периодическим и непериодическим дробям, вводится понятие периода и обосновывается неизбежность появления периода при переводе. На этот пункт отводится ч. В параграфе 15, идет изучение периодических и непериодических десятичных дробей, рассматривается тема приближенного нахождения корня к рациональным и иррациональным числам. Затем на рассмотренных примерах даны определения конечной и бесконечной десятичной дроби. Пример: Переведем 1 в десятичную дробь, получается: 0, Цифру, которая бесконечно повторяется в записи называют периодом, а саму дробь называют периодической. Свойство 1: любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби (верно и обратное утверждение). Определение: Любое иррациональное число записывается бесконечной непериодической десятичной дробью, а любая бесконечная непериодическая десятичная дробь является иррациональным числом . Определение: Бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным, а бесконечная непериодическая десятичная дробь иррациональным числом. После идет переход непосредственно к изучению темы «Квадратные корни». Изучение начинается с параграфа «Функция y=x и ее график». Идет повторение материала о функциях и графиках. Отводится ч. Сперва строится график функции y=x по точкам в декартовой системе координат, проводится ее исследование и дается название графика: Определение 4: график функции y=x называют параболой . 14

15 Переход к понятию квадратного корня происходит через решение квадратного уравнения x =a, аргументирует это тем, что такой метод позволяет объяснить природу термина. Отводится ч. В следующем 17 пункте вводится понятие квадратного корня. Определение 5: Корни уравнения x =a называют квадратными корнями из числа а. Определение 6: Неотрицательное число, квадрат которого равен а, называют арифметическим квадратным корнем из а и обозначают а. . Вводится знак радикала и дается история его возникновения. Затем авторы переходят к изучению свойств арифметических квадратных корней, в этом пункте начинается отработка умений преобразовывать выражения с квадратными корнями. Отводится ч. В 18 параграфе даны свойства арифметических квадратных корней: Свойство: Для любого числа а а =а . Свойство: Для любых неотрицательных чисел a и b: ab= a b . После изучается и отрабатывается тема внесения и вынесения множителя из-под знака корня. Продолжается работа с квадратными корнями. Как отмечают авторы, у учеников могут возникнуть трудности в преобразовании буквенных выражений, потому что, именно в этой ситуации существенен знак модуля при вынесении множителя из-под знака корня. Отводится ч. В 19 параграфе изучается внесение и вынесение множителя из мод знака корня, дано свойство: Свойство 4: При неотрицательных значениях b a b= a * b= a * b . Далее авторы переходят к действиям с квадратными корнями, в этом пункте, практикуясь в основном в преобразовании числовых выражений, 15

16 школьники углубляют знания по данной теме. Изучение можно разбить на две части: 1. Работа с квадратными корнями из чисел.. Преобразование буквенных выражений. Такая модель изучения не задает последовательность изучения, можно сказать, что вторая часть хоть и полезна на данном этапе, но все же осуществляет пропедевтику материала 9 класса, где будет специально изучаться преобразование буквенных выражений с радикалами. Отводится 4ч. В 0 и заключительном параграфе изучаются действия с квадратными корнями. Вспоминаются изученные ранее свойства и используют их в преобразовании числовых выражений. Рассмотрены такие действия, как: освобождение от иррациональности в знаменателе, разложение на множители, упрощение выражения. Всего на изучение раздела авторы отводят 19 часов, после каждого раздела происходит проверочная или самостоятельная работа, в конце главы контрольная работа. Изучение темы «Квадратные корни» на базе учебника алгебры за 8 класс автора Ю.Н. Макарычева . Изучение главы «Квадратные корни» начинается с повторения действительных чисел. Сначала идет напоминание основных сведений о множестве натуральных чисел, делимости натуральных чисел и рассмотрение типичных задач по теме. Отводится ч. Затем отводится один урок на повторение основных сведений о целых числах и рассмотрение типичных задач, а после урок, посвященный множеству рациональных чисел. Дальше следует урок, на котором дается понятие об иррациональных числах и множестве действительных чисел. После проведения упомянутых выше уроков, начинается 16

17 непосредственное изучение квадратных корней, отводится урока, на которых рассматриваются понятия квадратного корня и арифметического квадратного корня. Затем урока посвящены решению простейших квадратных уравнений x =a и далее 1 урок, на котором изучается нахождение приближенных значений квадратных корней. Следующие урока отводятся на рассмотрение функции y= x, её свойств и графика. Далее следуют уроки, которые можно отнести к свойствам арифметического квадратного корня. На 1 уроке рассматриваются свойства квадратного корня из произведения и дроби, следующий урок - извлечение квадратного корня из степени числа. На этом этапе автор предлагает отвести несколько уроков на контрольную работу и ее проверку, а потом перейти к урокам, которые относятся к применению свойств арифметического квадратного корня. 1 урок на рассмотрение и отработку навыков внесения и вынесения множителя из-под знака корня. Затем урок, на котором рассматриваются основные приемы преобразования иррациональных выражений. В заключении автор предлагает провести итоговую контрольную работу по теме «Квадратные корни». Всего на изучение данного раздела отводится часа. А теперь рассмотрим рекомендации С. Минаевой по введению понятия квадратного корня на уроках алгебры по учебнику Г.В. Дорофеева в 8 классе: 1. Задача о нахождении стороны квадрата (урока) Для введения понятия квадратного корня используется характерный для данного курса содержательный подход, выдвигающий на первый план мотивационный и смысловой аспекты. Материал излагается следующим образом: учащимся известна формула S=а, с помощью которой по стороне квадрата а можно вычислить его площадь S; но в математике есть формула и для решения обратной задачи нахождения стороны квадрата а по 17

18 заданной площади S, которая записывается так: а= S. Символом S обозначена сторона квадрата, площадь которого равна S. Если, например, S = 100, то а = 100. Так как 100 = 10, то а = 100 = 10. Чтобы учащиеся усвоили новый символ, можно предложить несколько вопросов типа: пусть площадь квадрата равна 81 м: запишите, используя символ, выражение для стороны этого квадрата; чему равна длина стороны квадрата? Переходя с геометрического языка на алгебраический, значение символа S можно описать так: S это неотрицательное число, квадрат которого равен S. (Ведь длина отрицательным числом выражаться не может!) Таким образом, мы приходим к «рабочей» формулировке, которой и будем пользоваться при нахождении значений квадратных корней. Обращаем внимание учителя на то, как читается символ S: квадратный корень из S. Прилагательное «арифметический» здесь является лишним, так как в этом месте темы мы работаем только с положительными корнями. Однако позже термин использоваться будет.. Иррациональные числа (урока) В этом пункте можно выделить два аспекта: идейный и практический. Идейный заключается в первом знакомстве с иррациональными числами; практический - в формировании умения оценивать «неизвлекающиеся» корни, находить их приближенные значения как с помощью оценки, так и с помощью калькулятора. К необходимости введения иррациональных чисел учащиеся приходят в результате рассмотрения уже знакомой задачи о нахождении стороны квадрата по его площади. В учебнике на рисунке.10 изображены два квадрата. Один из них единичный, его площадь равна 1 кв. ед. У второго квадрата стороной служит диагональ первого, и его площадь вдвое больше. (В самом деле, маленький квадрат состоит из двух равных треугольников, а большой - из четырех таких 18

19 же треугольников.) Значит, площадь большого квадрата равна кв. ед. А какова длина стороны этого квадрата? Обозначим ее через a. Используя знак квадратного корня, можно записать, что a=. Учащиеся до сих пор имели дело только с «извлекающимися» корнями. Нужно дать им пару минут на то, чтобы они и в данном случае попытались извлечь корень, чтобы убедиться, что значение а = 1 - недостаточно, а если взять а =, то это уже слишком много; попытались бы подобрать десятичную дробь и увидели, что 1,4 <, а 1,5 >. Далее проводится достаточно несложное доказательство того, что нет ни целого, ни дробного числа, квадрат которого равен (с. 7 учебника). Таким образом, нет рационального числа, точно выражающего длину стороны нашего квадрата. Хотелось бы, чтобы учащиеся осознали поразительность открытия, к которому пришли математики древности (отрезок есть, а длины у него нет!), а также то, что этот факт дал толчок развитию математики (потребовалось ввести в употребление новые числа!). Учащимся сообщается, что число, выражающее длину стороны квадрата, площадь которого равна кв. ед., относится к классу так называемых иррациональных чисел: - это положительное иррациональное число, квадрат которого равен, то есть верно равенство () =. Они должны уметь называть и другие иррациональные числа вида a и выполнять преобразования типа (a) =a для конкретных положительных значений а, причем в обе стороны. Итак, первое знакомство с иррациональными числами подчинено достаточно узкой цели: оно происходит в связи с изучением квадратных корней и обеспечивает, прежде всего, потребности этой темы. Кроме информации, описанной выше (а именно: среди рациональных чисел нет числа, выражающего длину стороны квадрата, площадь которого равна; помимо рациональных чисел есть еще и так называемые иррациональные 19

20 числа; к иррациональным относятся все числа вида a, если a не является квадратом целого или дробного числа), учащиеся узнают, что существует бесконечно много иррациональных чисел другой природы (пример - число z), что иррациональные числа могут быть и отрицательными, и что на практике их заменяют (приближенно) десятичными дробями. Более основательные сведения об иррациональных и действительных числах учащиеся получают во «втором проходе» в курсе 9-го класса. Для демонстрации принципиальной возможности нахождения десятичного приближения иррационального числа вида a в учебнике используется метод оценки: находятся приближенные значения с недостатком и избытком, выраженные последовательными целыми числами (то есть с точностью до 1), последовательными десятичными дробями с одним знаком после запятой (то есть с точностью до 0,1) и т. д. Основу этого метода составляет утверждение: если a и b положительные числа и а

21 В связи с применением теоремы Пифагора для вычисления длины гипотенузы прямоугольного треугольника по его катетам (пример 1 на с. 84) в учебнике упоминаются «пифагоровы тройки». Заметим, что хотя их бесконечно много, тройка, составленная из последовательных натуральных чисел, только одна. Желательно, чтобы построение с помощью циркуля и линейки отрезков с иррациональными длинами (или точек на координатной прямой с иррациональными абсциссами) было не просто разобрано по тексту учебника (с. 85), но и реально выполнено каждым учеником у себя в тетради. Такую работу можно предложить, например, в качестве домашнего задания. Учеников надо предупредить, что чертеж должен быть аккуратным, достаточно крупным и легко «читаемым». Проведем анализ задачного материала в учебниках и выделим основные типы задач используемых в теме «Квадратные корни». В статье выделены упражнения по теме «Квадратные корни» из учебника Г.В. Дорофеева, охватывающие все существенные аспекты этого вводного фрагмента темы. Основное назначение упражнений это овладение новым понятием, выработка умения использовать знак радикала. Обращается внимание на задания, и 7. Умение перейти от равенства вида a=b к равенству b = а и наоборот требуется очень часто. Упражнения 8- - на вычисление значений числовых и буквенных выражений, содержащих квадратные корни. Учащиеся должны усвоить, что знак корня, как и скобки, является группирующим символом. В упражнениях 4-7 и дальнейшее развитие получает начатая ранее (и чрезвычайно важная с точки зрения приложений) работа с формулами. Теперь это формулы, содержащие радикалы или требующие использования радикалов при выражении какой-либо переменной через другие. Такие задания часто вызывают у учащихся затруднения, поэтому частично их можно выполнить при изучении следующих пунктов. Кроме 1

22 того, к ним полезно возвращаться. Задания 8 и 9 из группы Б на этом этапе относятся к числу сложных; они, безусловно, не для всех школьников. В классах с невысоким уровнем подготовки можно выполнить задания группы А, а также, при возможности, 41 и 44. Рассмотрим пример из учебника: Найти приближенное значение 60. Решение: Квадрат числа заключен между двумя «точными» квадратами - числами 49 и 64: 49<(60), то есть 7 <(60) <8. Значит как 7 <(60), то 7< 60; так как (60) <8, то 60<8. Значит 7< 60<8. Очевидно, что 60 ближе к 8, чем к 7, то есть Рассмотренный способ нахождения приближенного значения корня, в силу своей громоздкости, имеет, в основном, теоретическое значение; учащимся достаточно лишь уметь указывать два целых числа, между которыми заключено значение данного корня. А при решении задач предполагается широкое использование калькулятора. Упражнения к пункту предназначены, прежде всего, для осознанного восприятия этого сложного для учащихся материала (46-51). Кроме того, использование калькулятора позволяет, с помощью наблюдений, прийти к некоторым теоретическим обобщениям, например к выводу о возрастании значения корня с увеличением подкоренного выражения (5-54). В образце к упражнению 6 показаны приемы сравнения, которыми должны овладеть учащиеся. Упражнения 65 и 66 направлены на формирование умения выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни, с использованием равенства (a) =а, где a 0. В классах с невысоким уровнем подготовки достаточно упражнений группы А. Вообще, в этом блоке дана представительная группа заданий,

23 которой вполне можно ограничиться. Упражнение 57. Способ I. С помощью калькулятора находим приближенные значения корней: 5,4; 6,45; 7,65. Значит, каждое из данных чисел принадлежит отрезку с концами в точках и, и располагаются они на этом отрезке в таком порядке: 5, 6, 7. Далее: число 5 принадлежит отрезку с концами в точках, и,; число 6 принадлежит отрезку с концами в точках,4 и,5; число 7 принадлежит отрезку с концами в точках,6 и,7. Способ II. К тому же результату приходим с помощью оценки. Например, для 5 имеем: <(5) <, то есть < 5<;, <(5) <, то есть,< 5<,. Упражнение 59. Очевидно, что точке К соответствует число 0,4, так как 0< 0,4< 1. Точно так же легко понять, что число лишнее, так как на отрезке с концами х=1 и х точка не отмечена. Сложнее с точкой L: ведь каждое из оставшихся чисел 5 и 7 располагается на отрезке с концами и. Но точка L расположена в левой половине отрезка, значит число, которое ей соответствует, должно быть меньше,5. Ответ почти очевиден: это 5. Но все же какое-то объяснение необходимо. Можно обратиться к калькулятору, а можно рассуждать так:,5 = 6,5; так как (5) <,5, то 5 <,5. Упражнение 70. а) Сначала находим, что 8< 7,5 < 9, а затем сравниваем числа 8,5 и 7,5. Так как 8,5 = 7,5<7,5, то 8,5< 7,5,

24 и значит, число 7,5 ближе к 9. При решении задач, естественно, предполагается использование калькулятора. В классах с невысоким уровнем подготовки из группы А можно ограничиться заданиями (они отвечают уровню обязательных требований), а также рассмотреть задачу-исследование 91. Упражнение 86. Задача решается с опорой на рисунок.7 учебника. Из наглядных соображений ясно, что отрезок наибольшей длины это диагональ параллелепипеда. Сравним длину диагонали с длиной трости. Сначала найдем длину диагонали основания l: l= a + b = = 700 (см). Теперь найдем длину диагонали параллелепипеда d: d= (700) + 50 = 9800 (см). Так как 9800< 10000=100, то трость данных размеров поместить в коробку нельзя. Упражнение 90. Геометрически выражение a + b + c можно истолковать как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого a, b и с. В самом деле, из прямоугольного треугольника LMN имеем, что LM= a + b. А из прямоугольного треугольника KLN получим, что NM= c + (a + b) = a + b + c По неравенству треугольника a + b + c

25 10= + 1 ; 1= + ; 17= Но можно и иначе. Так, отрезок длиной 10 получить по следующему алгоритму: 10 = (5) + (5). В учебнике по алгебре за 8 класс авторы Муравины предлагают изучение раздела начинать со следующих упражнений: Упражнение 15. Проходит ли график функции y=x через точку: А(-;4) В(-,5;1) С(;59) D(-6,5;4,5). Ответ: A-да, B-нет C-да D-да. В пункте 17 приведены упражнения на вычисление квадратного корня Пример. Вычислить Решение происходит через разложение числа 1105 на простые множители. 1105= *5 * = 5 7 = (5 7) =*5*7=105 Ответ: 105. В пункте 18 вводятся свойства арифметических квадратных корней и задачи на их применение, упрощение подкоренных выражений и их вычисление. Пример 4. (стр.100) Упростить (5). (5) = - 5 = 5-. Ответ: 5-. Пример 5. Вычислить 0, = 0, =0,8*4*5=80. Ответ 80. Пример 6. Вычислить = =4 7. Ответ: 4 7. В 19 пункте рассмотрены упражнения на внесение и вынесение множителя из-под знака корня, так же затронуты задачи на сравнение значений выражений. 5

26 Пример 7. Вынести множитель из-под знака корня в выражении Разложим числа 10 и 90 на простые множители: 10= **5, 90=* *5. Отсюда 10*90= 4 * * = 4 5 = **5* =60. Ответ: =,5.. Ответ:,5. Пример 8. (стр. 105) Упростить выражение = 5 = 5 = Пример 9. (стр. 105) Внести множитель под знак корня: 5 0,4. 5 0,4 = 5 0,4 = 5 0,4 = 10. Ответ: 10. Пример 10. (стр. 106) Сравнить значения выражений и. = 9 = 18 и = 4 = 1. >. Ответ: >. 0 пункт посвящен действиям с квадратными корнями, преобразованию дробей с квадратными корнями, упрощению выражений, освобождению от иррациональности. Пример 11. (стр. 108) Преобразовать дробь 54 так, чтобы ее знаменатель не содержал радикала. Ответ: = 54 = 1 7 = 1 = 4= =. 9 Пример 1. (стр. 109) Упростить выражение =5 6 96=4 6 = = = =() 6=1 6 Ответ:

27 Пример 1. (стр. 109) Освободить дробь от иррациональности в знаменателе. =(). Ответ: (). 6 = 6(1+ 10) 1 10 (1 10)(1+ 10) =6(1+ 10) = 6(1+ 10) =. Формы, методы и средства обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы В данном параграфе проведем анализ практического опыта изучения темы на основе опубликованных статей и учебно-методических пособий. В статье С. Минаевой отмечается, что понятие квадратного корня «возникает» в изучаемом курсе при обсуждении двух задач - геометрической (о нахождении длины стороны квадрата по его площади) и алгебраической (о количестве корней уравнения вида х = а, где а - произвольное число). В связи с рассмотрением первой задачи учащиеся получают начальные представления об иррациональных числах. В содержание главы автор включил нетрадиционный для алгебры вопрос - теорему Пифагора. Это сделано с целью демонстрации естественного применения квадратных корней для отыскания длин отрезков, построения отрезков с иррациональными длинами и точек с иррациональными координатами. При этом не имеет принципиального значения, где учащиеся впервые услышат о теореме Пифагора - в курсе геометрии или в курсе алгебры. Так же автор утверждает, что важнейшим результатом обучения, помимо идейных аспектов, является умение выполнять некоторые преобразования выражений, содержащих квадратные корни (прежде всего числовых). Учащиеся знакомятся также с понятием кубического корня; одновременно с этим у них формируются начальные представления о корне 7

28 n-й степени. Наконец, через систему упражнений учащиеся получают представление о графиках зависимостей y = x и y = x. На протяжении всей темы автор предполагает активное использование калькулятора, причем не только в качестве инструмента для извлечения корней, но и как средство, позволяющее проиллюстрировать некоторые теоретические идеи. В связи с необходимостью применения калькулятора для извлечения кубических корней вводится другое обозначение корня из n положительного числа: a = a 1 n. В статье В. Ольхова обращается внимание на то, что при изучении раздела «Квадратные корни» нужно особое внимание уделить преобразованию сложного радикала. Автор предлагает следующую методику, приведя пример индивидуальной формы работы с учеником при изучении темы: Ученику математического класса было предложено по теореме Виета найти подбором корни в уравнении х - 7х + 10 = 0, что он сделал без особого труда: X 1 = 5, X = (даже немного обиделся простоте вопроса). Потом было предложено упростить выражение 7 ± 10. Здесь следует усмотреть под радикалом полный квадрат. Предварительно записав громоздкую формулу A ± B= A A B ± A A B, (1) он подставил в нее конкретные числовые значения и получил ± = 5 ±. А ведь существует прямая аналогия с предыдущим примером 7=5 +, 10=5*, т. е. 7 ± 10= 5 + ± 5 = (5 ±) = 5 ± После этого ученик уже самостоятельно решил несколько примеров: 8

29 6 ± 4 = 6 ± 8 = 4 + ± 4 =±, 1 ± 48= 1 ± 1 = ± 1 1= 1 ± 1, 18 ± 18= 18 ± = 16 + ± 16 =4±, 7 ± 4 = 7 ± 1 = 4 + ± 4 =± и сказал, что теперь ему понятно, как возникла формула (1), хотя специально ее запоминать необязательно. A ± B= A ± B 4. Составим уравнение: X AX + B = 0, 4 X 1 = A+ A B, X = A A B ; A ± B= A ± B 4 = X 1 + X ± X 1 X = X 1 ± X = A+ A B ± A A B, где A>0, В>0, А -В>0, причем формула упрощение, когда А -В точный квадрат. Упражнение 1. Показать, что = ; = 1 + Автор статьи , В.И. Седакова предлагает простые методы, позволяющие быстро в уме выполнять такие действия, как извлечение квадратных корней. Эти методы могут повысить продуктивность на уроках, ведь устные и полу устные упражнения дают возможность изучить на уроке большой по объему материал, позволят учителю судить о готовности класса 9

30 к изучению нового материала. Этот материал полезен будущим учителямматематикам. Одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков. Вычислительные навыки важная составляющая математических навыков. Особенно тема устного счета актуальна при проведении государственной итоговой аттестации (ОГЭ) и единого государственного экзамена (ЕГЭ), где использование вычислительных приборов не допускается. В сочетании с другими формами работы устные упражнения позволяют создать условия, при которых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь, моторика. Вот почему необходимо на каждом уроке математики отводить до 10 минут для упражнений с устными вычислениями. Формирование вычислительных навыков сложный и систематический процесс. Он состоит из следующих этапов: Первый этап формирования навыка овладение умением. Второй этап этап автоматизации умения. Автоматизация умения заключается в том, чтобы получать результаты при выполнении упражнений устно, практически не производя записей, пометок и т.д. Представим прием устного счета в теме «Квадратные корни» для учащихся. Извлечение квадратного корня из многозначного натурального числа. Вначале запишем алгоритм извлечения квадратного корня в общем виде, который можно использовать при работе с натуральными числами. 1. Разобьем число на группы (справа налево, начиная с последней цифры), включая в каждую группу по две рядом стоящие цифры. При этом может оказаться в последней группе одна цифра (если в числе нечетное количество цифр) и две цифры если число цифр четное. Количество групп в таком числе показывает количество цифр результата. 0

31 . Подбираем наибольшую цифру, такую, чтобы ее квадрат не превосходил числа, находящегося в последней группе (считая справа налево); это цифра первая цифра результата.. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из последней группы, припишем к найденной разности справа предпоследнюю группу. Получится некоторое число А. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число а. Теперь подберем такую цифру х, чтобы произведение числа a на х не превосходило числа А. Цифра х вторая цифра результата. 4. Произведение числа a на х вычтем из числа А, припишем к найденной разности справа третью группу, получится некоторое число В. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число b. Теперь подберем такую наибольшую цифру у, чтобы произведение числа by на у не превосходило числа В. Цифра у третья цифра результата. 5. Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется самая первая группа числа. Пример 14. Продемонстрируем данный алгоритм на более простом примере, результат которого очевиден. Вычислим 144. Из таблицы квадратов натуральных чисел в пределах двух десятков известно, что 144 = 1. В числе 144 справа налево отделяем две цифры, 1/44. Получили две группы цифр, поэтому в результате получится двузначное число. Подбираем число, квадрат которого не превышает числа, стоящего во второй группе (считаем справа налево), это число 1. В нашем случае таким числом будет число 1, т.к. его квадрат равен единице. Значит, в ответе в разряде десятков будет число 1. Из числа 144 вычтем полученное число десятков, в остатке получим число 44. Определим цифру единиц в ответе. Для этого слева умножим полученную цифру десятков на, получим. Подберем такое 1

32 число, при умножении которого самого на себя и на полученное число получится 44. Таким числом является, следовательно, при извлечении квадратного корня из 144 получим число 1. Подбираем цифры ответа 1_. Ответ: 144=1. Пример 15. Рассмотрим процесс извлечения квадратных корней из пятизначного числа Подбираем цифры ответа 4 Ответ: 54756=4. Выводы по первой главе В 1 главе были рассмотрены основные цели и задачи обучения теме «Квадратные корни» в курсе алгебры основной школы на основе ФГОС ООО и программ по математике. Анализ теоретического и задачного материала в учебниках алгебры за 8 класс по теме показал, что авторы учебников используют разные подходы к введению как самого понятия квадратного корня, так и к системе упражнений, ориентированных на формирование умений вычислять квадратные корни и упрощать числовые выражения. Анализ практического опыта изучения темы «Квадратные корни» на основе статей и учебно-методических пособий позволяет сделать вывод о том, что тема достаточно трудная для учащихся. Однако с помощью соответствующих упражнений и специальной методики можно добиться прочного усвоения понятия квадратного корня и его основных свойств.

33 ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ «КВАДРАТНЫЕ КОРНИ» В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 4. Задачи по теме «Квадратные корни», ориентированные на базовый уровень знаний и умений в курсе алгебры основной школы Все задачи по теме «Квадратные корни», представленные в учебниках алгебры 8 класса можно условно объединить в 4 группы: Группа 1. Задачи на нахождение значения выражений, содержащих квадратные корни. Группа. Задачи на решение квадратных уравнений с использованием арифметического квадратного корня. Группа. Задачи на упрощение и сравнение выражений, содержащих квадратные корни. Группа 4. Задачи на извлечение квадратного корня. Рассмотрим примеры задач: Группа 1. Задачи на нахождение значения выражений, содержащих квадратные корни. Пример 1. Найдите значение выражения: а) 1,5 0,1 0,5 б) 9 в) 16,. Решение: а) Из определения арифметического корня следует, что 1,5=,5, т.к.,5 > 0 и,5 = 1,5; 0,5= 0,5, т.к. 0,5 > 0 и 0,5 = 0,5.,5 0,1 0,5 = 7 0,05= 6,95 б) 9 = 9, т.к. 9 = 9 = 9

34 в) Данное выражение не имеет смысла, т. к. квадрат любого числа является неотрицательным числом. Ответ: а) 6,95; б) 9; в) выражение не имеет смысла Пример. Исключить иррациональность из знаменателя: 1 а) 4 б) 7 в) Решение: 1 а) (1())() 4 1 б) 7 4 (7 4(7)() 7) 4(7 7) 4(7 4) 7 в) ((5 5 7)(7)(5 5 7) 7) (5 5 7) (5 6) 5 6 (Используется новый способ избавления от иррациональности в знаменателе дроби - умножение на сопряженное). Ответ: а) + б) 7 + в) 5 6 Группа. Решение квадратных уравнений с использованием арифметического квадратного корня Пример. Найдите значение x в выражении 10x 14 = 11. 4

35 10x 15 x 1,5 Решение: 10x x 14 x 15:10 10x x Проверка: , Ответ: х = 1,5. 4 x x Пример 4. Найдите значение x в выражении 4 x = 1. Решение: x 1 Проверка: Ответ: x Группа. В данной группе объединим задачи на упрощение выражений. Пример 5. Упростите выражение: 5

36 6 Решение: Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно числитель и знаменатель этой дроби умножить на сумму, если в знаменателе стоит разность или числитель и знаменатель этой дроби умножить на разность, если в знаменателе стоит сумма) () ())(())(() ())(())(())(())((Ответ: 4 6 Пример 6. Упростите выражение: 8 4 Решение: Ответ: 6 Пример 7. Упростить выражение: ,5 8 Решение: ,5 8 (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения). Ответ: 5

37 Группа 4. квадратного корня. В данной группе предложим задачи на извлечение Пример 8. Извлеките корень из выражения Решение: 5a 6 49 Воспользуемся теоремой об извлечении арифметического квадратного корня из дроби. 5a a a a a 7 6 Воспользуемся теоремой об извлечении арифметического квадратного корня из произведения. 5a a a a 6 Далее используем следующую теорему: для любого числа а справедливо равенство a a a 5a 5a 5 a 5 (a) 5 a 5 a Ответ: Если а 0, то Если а < 0, то 5 a 7 5 a a 5 7 a Пример 9. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) a a 1) x x 5 7

38 1) a Решение: a a a a a a (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения в обратную сторону).) x x x x x x x x (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения в обратную сторону). Ответ: 1) a) x 11x 4 1) 64 Пример 10. Извлечь корень: x) 400 a, где а < 0 Решение: 1) 11x x x 4 11 (x 8) 11 x 8 11x 8 1 x 8) 400 a a a a 0 a (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения и теорема: a a). Ответ: 1) 1 x 8 0 a 8

39 В статье предложены многовариантные дидактические материалы (Задания в карточках), нацеленные на упрощение числовых выражений с корнями. Они несомненно окажут помощь учителю математики при организации самостоятельной или проверочной работы. Приведем задания вариантов. Вариант 1 1. Упростите: Упростите: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: Упростите выражение Вычислите: 7 * Упростите выражение 6+4 4, Найдите значение выражения 8. Вычислите: * Найдите значение выражения 10. Упростите выражение ()(75 7) и докажите, что полученное число является корнем уравнения x 0 = 0. Вариант 1. Упростите:

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 8 КЛАССОВ (общеобразовательный уровень) Составители: Тихонов В.А., учитель математики; Срок реализации программы: 1 год Рабочая программа составлена на основе федерального

МАТЕМАТИКА ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Данная рабочая программа разработана на основе Федерального компонента Государственного образовательного стандарта основного общего образования и Программы основного общего

Рабочая программа основного общего образования по математике в МБОУ СОШ 30 г. Пензы (5 класс) Пояснительная записка Статус документа Рабочая программа основного общего образования по математике для 5 класса

Аннотация к рабочей программе по математике в 5 классе. Пояснительная записка Рабочая программа по математике на 2016-2017 учебный год в 5 классе составлена основе: 1. Федерального закона 273 ФЗ 29.12.2012

Пояснительная записка Рабочая программа по математике составлена на основе следующих нормативных документов и методических рекомендаций: 1.Федеральнфй государственный образовательный стандарт основного

Пояснительная записка. Данная рабочая программа ориентирована на учащихся 8 класса и реализуется на основе следующих документов:. Государственный стандарт начального общего, основного общего и среднего

Рабочая учебная программа МАТЕМАТИКА 5-6 классы 2017-2018 учебный год АННОТАЦИЯ Настоящая рабочая программа разработана в соответствии с основными положениями Федерального государственного образовательного

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 17» г. Белгорода «Согласовано» Руководитель ШМО Н.А.Ильминская Протокол от 20 г. «Согласовано» Заместитель директора

Рабочая программа по математике для 5 класса ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по математике для учащихся 5 класса разработана на основе Программы МО РФ 2007 года, утвержденной МО РФ и авторской

Рассмотрено на Утверждаю заседании МО директор учителей культурно- МКОУ ЛСОШ 1 технологической деятельности М.М.Костина и СПЛ службы Приказ 109 Протокол 01 от«01»сентября 2017г. от «01» сентября 2017г.

Приложение к основной образовательной программе основного общего образования приказ 488ос от 30.08.208г. Тюменская область Ханты-Мансийский автономный округ Югра Нижневартовский район Муниципальное бюджетное

1. Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 9 класса составлена на основании нормативных документов и информационно-методических материалов: 1. Об образовании в Российской Федерации: Федеральный

Календарно-тематическое планирование учебного материала по алгебре для 8 класса. Пояснительная записка Календарно-тематическое планирование по алгебре для 8 класса составлена на основе примерной программы

Требования к уровню подготовки учащихся основного общего образования: Учащиеся должны знать/понимать: - значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Класс (уровень), на котором 8 изучается учебный курс Предметная область Математика и информатика Учебный предмет Математика (алгебра) Учебный год 2017-2018 Количество часов в год 102

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Гимназия 4 г. Химки УТВЕРЖДАЮ: Директор МБОУ Гимназия 4 /Н.Н. Козельская / Приказ от 2015 г. Рабочая программа по алгебре (базовый уровень) 8 класс

Рассмотрено на заседании педагогического совета школы 2009 г. «Согласовано» Заместитель директора школы по УР МБОШИ «КШИ» Миннеханова Г.Р. 2009 г. «Утверждено» Директор МБОШИ «КШИ» Таипова А.Р. 2009 г.

РАССМОТРЕНО: на заседании МО /ЗЮМуртазаева Пр от СОГЛАСОВАНО: замдиректора по УВР / ЭКХайретдинова УТВЕРЖДАЮ: Директор школы /ЛМАметова Пр от РАБОЧАЯ ПРОГРАММА По алгебре в 8 А МБОУ «Старокрымская ОШ»

Содержание. Пояснительная записка 3 стр. описание места учебного предмета в учебном плане учебно-методический комплект планируемые результаты освоения предмета формы контроля 2. Содержание тем учебного

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА 40 г. ЛИПЕЦКА РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ для учащихся с ограниченными возможностями здоровья по слуху 8 класс

Пояснительная записка Данная рабочая программа учебного предмета «Алгебра» для обучающихся 8 класса общеобразовательного учреждения разработана на основе авторской программы основного общего образования

Пояснительная записка Настоящая программа по алгебре для основной общеобразовательной школы 8 класса составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования

1.Планируемые результаты освоения учебного предмета Предметными результатами изучения предмета «Математика» в 6 классе является сформированность следующих умений: Предметная область «Арифметика»: выполнять

Приложение к рабочей программе по математике Мурманская область, Кольский район, с. Минькино Государственное областное бюджетное общеобразовательное учреждение «Минькинская коррекционная школа-интернат»

Рабочая программа по математике 6 класс. 1. Календарно-тематический план урока Учебные разделы и темы Дата проведе ния Кол-во часов I четверть (42 урока) 1. Делимость чисел (20 уроков) 1.09-28.09 1-3 Делители

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Личностные Метапредметные Предметные первоначальные представления об идеях и о методах математики как универсальном языке науки и техники, средстве моделирования явлений и процессов;

1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по предмету «Алгебра» в 9 классе составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования. Данная рабочая программа

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре 8 класса соответствует Федеральному компоненту государственного образовательного стандарта начального общего, основного общего и среднего (полного) общего

Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: - Федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике - Примерные программы по математике.

Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Пояснительная записка. Данная рабочая программа по предмету «Математика» для обучающихся 6 класса общеобразовательного учреждения разработана на основе авторской программы С.М. Никольского, М.К.Потапова,

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. (Математика 5 класс) Данная рабочая программа составлена в соответствии с Государственной программой по математике для общеобразовательных учреждений Министерства образования Российской

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре разработана на основании следующих нормативных правовых документов: Федеральный закон от 29.12.2012 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации»; Приказ

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса составлена в соответствии с положениями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования второго поколения,

Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

Рассмотрено Принято Утверждаю На МО учителей математики на заседании Директор МОУ СОШ Протокол 1 от 26.08. 2014. педагогического с. Поима Руководитель МО Праслова О.М. совета Родионова О.И. Протокол 1

Частное общеобразовательное учреждение Лицей 1 «Спутник» РАССМОТРЕНО На заседании методического Совета Лицея 1 «Спутник» Протокол от От 2017г. Председатель методического Совета Лицея 1 «Спутник» Урсул

Аннотация к рабочей программе 8 класс, алгебра ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по алгебре для основной общеобразовательной школы 8 класса составлена на основе: Федерального компонента государственного

1.Пояснительная записка. Рабочая программа по алгебре составлена на основе авторской программы «Алгебра 8кл.» авт. Макарычев и др. в соответствии с содержанием наполнения учебных предметов компонента государственного

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 7 «А» КЛАССА НА 2018 2019 УЧЕБНЫЙ ГОД Разработчик программы учитель Паленный Виктор Александрович 2018 год Отличительные особенности рабочей программы: В адаптированной

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа 4 Рассмотрено на педагогическом совете Протокол 1 от 31.08. 2017 г. Приказ 162 от 31.08.2017 УТВЕРЖДАЮ: Директор

Контрольно измерительные материалы для проведения промежуточной аттестации по математике в 2018 году 7 класс Пояснительная записка Содержание работы построено в соответствии: с Федеральным Законом Российской

Пояснительная записка Нормативные документы Рабочая программа составлена на основе: федерального закона Российской Федерации от 9..0 года 73- ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» федерального компонента

Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: Приказа Министерства Образования РФ от 05.03.2004г 1089 «Об утверждении Федерального компонента государственных образовательных стандартов

1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА Изучение математики в основной школе дает возможность обучающимся достичь следующих результатов: В направлении личностного развития: - умение ясно,

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по алгебре для 8 класса составлена в соответствии с положениями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования второго поколения,

ПРИЛОЖЕНИЕ к образовательной программе КАЛЕНДАРНО ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по алгебре в 8 классе Учебник «АЛГЕБРА 8», автор Ю. Н. Макарычев и другие, под редакцией С. А. Теляковского Учитель: Дудникова

Пояснительная записка Программа по алгебре для основной школы составлена в соответствии с требованиями: - федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования

Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленное изучение) составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного образовательного стандарта, программой по алгебре

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Рабочая программа составлена в соответствии с нормативными документами:. Федеральным законом от 29.2.202 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации», требованиями Федерального государственного образовательного

Пояснительная записка Настоящая рабочая программа «Алгебра» разработана на основе: - Федерального закона от 29.12.2012 273-ФЗ (ред. От 13.07.2015) «Об образовании в Российской Федерации»; - на основе авторской

Рабочая программа составлена в соответствии с нормативными документами:.федеральный закон от 29.2.202 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации». 2. Приказ Министерства образования и науки Российской

Министерство общего и профессионального образования РО

государственное бюджетное образовательное учреждение

начального профессионального образования Ростовской области

профессиональное училище № 5

Практическая работа

по дисциплине ОДП. 01. "Математика: алгебра и начала

математического анализа; геометрия"

по теме : «Преобразования выражений, содержащих корни, степени и логарифмы ».

для обучающихся I курса

г. Ростов-на-Дону

2017 г.

Раздел № 1. Алгебра.

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы.

Практическое занятие № 1.

Тема: «Преобразования выражений, содержащих корни, степени и логарифмы».

Цель: знать свойства радикалов, степеней и логарифмов; уметь их применять при выполнении преобразований выражений, содержащих корни, степени и логарифмы.

Количество часов : 1 час.

Теоретический материал.

Корни.

Действие, посредством которого отыскивается корень n -ой степени, называется извлечением корня n -ой степени.

Определение. Арифметическим корнем натуральной степени n ≥ 2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n -ая степень которого равна а.

Арифметический корень второй степени называется также квадратным корнем, а корень третьей степени - кубическим корнем.

Например.

Вычислить:

Арифметический корень n -ой степени обладает следующими свойствами:

если а ≥ 0, в > 0 и n , m - натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то

1. 3.

2. 4.

Примеры применения свойств арифметического корня.

Свойства степени с рациональным показателем.

Для любых рациональных чисел р и к и любых а > 0 и в > 0 верны равенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. .

Примеры применения свойств степени:

1). 7*

4). .

Логарифм числа

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию а, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить b .

a = b - основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов

Пусть a > 0, a ≠ 1, b >0, с >0, к – любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

1 . log ( bc ) = logb + logc , 4. logb = ,

2. log = logb - log c, 5. log а = 1 ,

3. log b = к * logb , 6. log 0 = 1 .

Примеры применения формул:

log2 + log 18 = log( 2 * 18 ) = log 36 = 2;

log 48 - log 4 = log = log 12 = 1;

log 9 = * log 9 = .

Решить самостоятельно .

Задания.

1 вариант

1. Вычислите:

1) ; 4) log ;

2) ; 5) 0,5;

3) ; 6) 3 log 2 - log 64.

2, если х = 7.

3. Сравните числа: log 11 и log 19.

4. Упростите: 1) ; 2) .

5. Вычислите: log log log 3.

_________________________________________________________________

2 вариант

1. Вычислите:

1) ; 4) log 64;

2) ; 5) ;

3) ; 6) 2 log 3 - log 81.

2. Найдите значение выражения: 3, если у = 2.

3. Сравните числа: log и log .

4. Упростите: 1) ; 2) .

5. Вычислите: log log log 2.

__________________________________________________________________

Критерии оценки:

11 правильных заданий - «5»;

9 - 10 правильных заданий - «4»;

7 - 8 правильных заданий - «3».

Башмаков. М. И. Математика: учебник для НПО и СПО. - М. :

Издательский центр «Академия», 2013.

Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: 2012.

Алгебра. 9 кл.: Учебник, задачник для общеобразоват. учреждений/

А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, 2009.

Алгебра. 8 кл.: Учебник, задачник для общеобразоват. учреждений/

А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, 2008.

Алгебра. 7 кл.: Учебник, задачник для общеобразоват. учреждений/

А.Г. Мордкович и др. – М.: Мнемозина, 2007.

Форма отчетности: проверка выполнения заданий преподавателем

Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции.
Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Теорема 1. Корень n-й степени (n=2, 3, 4,...) из произведения двух неотрицательных чипсел равен произведению корней n-й степени из этих чисел:

Замечание:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.

Теорема 2. Если , и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.

Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени , т.е. только корни с одинаковым показателем.

Теорема 3.Если , k - натуральное число и n - натуральное число, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это - следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3 получаем: Точно так же можно рассуждать в случае любого другого натурального значения показателя к.

Теорема 4.Если , k, n - натуральные числа, большее 1, то справедливо равенство

Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней.
Например,

Будьте внимательны! Мы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из корня). А как же обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Например, вместо нельзя написать В самом деле, Но ведь очевидно, что

Теорема 5.Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится, т.е.

Примеры решения заданий

Пример 1. Вычислить

Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:

Пример 2. Вычислить
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2 ), получим:

Пример 3. Вычислить:

Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что можно представить в виде и, наоборот, можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления.

Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)

Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)

Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.

Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:

Корни бывают чётной степени (наш любимый $\sqrt{a}$, а также всякие $\sqrt{a}$ и даже $\sqrt{a}$) и нечётной степени (всякие $\sqrt{a}$, $\sqrt{a}$ и т.д.). И определение корня нечётной степени несколько отличается от чётной.

Вот в этом грёбаном «несколько отличается» скрыто, наверное, 95% всех ошибок и недопонимания, связанного с корнями. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией:

Определение. Корень чётной степени n из числа $a$ — это любое неотрицательное число $b$ такое, что ${{b}^{n}}=a$. А корень нечётной степени из того же числа $a$ — это вообще любое число $b$, для которого выполняется всё то же равенство: ${{b}^{n}}=a$.

В любом случае корень обозначается вот так:

\{a}\]

Число $n$ в такой записи называется показателем корня, а число $a$ — подкоренным выражением. В частности, при $n=2$ получим наш «любимый» квадратный корень (кстати, это корень чётной степени), а при $n=3$ — кубический (степень нечётная), который тоже часто встречается в задачах и уравнениях.

Примеры. Классические примеры квадратных корней:

\[\begin{align} & \sqrt{4}=2; \\ & \sqrt{81}=9; \\ & \sqrt{256}=16. \\ \end{align}\]

Кстати, $\sqrt{0}=0$, а $\sqrt{1}=1$. Это вполне логично, поскольку ${{0}^{2}}=0$ и ${{1}^{2}}=1$.

Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:

\[\begin{align} & \sqrt{27}=3; \\ & \sqrt{-64}=-4; \\ & \sqrt{343}=7. \\ \end{align}\]

Ну, и парочка «экзотических примеров»:

\[\begin{align} & \sqrt{81}=3; \\ & \sqrt{-32}=-2. \\ \end{align}\]

Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!

А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.

Зачем вообще нужны корни?

Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:

\[\begin{align} & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end{align}\]

Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:

Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:

Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.

После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?

Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд. Потому что выяснилось, что для большинства «готовых» степеней таких «исходных» чисел нет. Судите сами:

\[\begin{align} & {{b}^{3}}=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & {{b}^{3}}=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end{align}\]

А, что если ${{b}^{3}}=50$? Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам 50. Но что это за число? Оно явно больше 3, поскольку 3 3 = 27 < 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 > 50. Т.е. это число лежит где-то между тройкой и четвёркой, но чему оно равно — фиг поймёшь.

Именно для этого математики и придумали корни $n$-й степени. Именно для этого ввели значок радикала $\sqrt{*}$. Чтобы обозначить то самое число $b$, которое в указанной степени даст нам заранее известную величину

\[\sqrt[n]{a}=b\Rightarrow {{b}^{n}}=a\]

Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt{2}$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:

\[\sqrt{2}=1,414213562...\]

Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:

\[\sqrt{2}=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Или вот ещё пример:

\[\sqrt{3}=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).

Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.

Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac{p}{q}$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.

Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

\[\begin{align} & \sqrt{2+\sqrt{27}}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}\approx 2,236... \\ & \sqrt{\sqrt{-32}}=\sqrt{-2}\approx -1,2599... \\ \end{align}\]

Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой. Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Поэтому гораздо правильнее записать ответы в виде $\sqrt{5}$ и $\sqrt{-2}$.

Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы.

Почему нужны два определения?

Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного.

Почему так происходит? Взгляните на график функции $y={{x}^{2}}$:

График квадратичной функции даёт два корня: положительный и отрицательный

Попробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt{4}$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=-2$. Это вполне логично, поскольку

С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:

Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt{4}=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)

В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y , т.е. не принимает отрицательных значений.

Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем:

1. Строго говоря, корней с чётным показателем $n$ у каждого положительного числа будет сразу две штуки;
2. Из отрицательных чисел корень с чётным $n$ вообще не извлекается.

Именно поэтому в определении корня чётной степени $n$ специально оговаривается, что ответ должен быть неотрицательным числом. Так мы избавляемся от неоднозначности.

Зато для нечётных $n$ такой проблемы нет. Чтобы убедиться в этом, давайте взглянем на график функции $y={{x}^{3}}$:

Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа

Из этого графика можно сделать два вывода:

1. Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
2. Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).

Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:

1. Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
2. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.

Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:

\[\sqrt{{{x}^{2n}}}=\left| x \right|\]

Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль . Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:

\[\sqrt{{{3}^{4}}}=?\quad \sqrt{{{\left(-3 \right)}^{4}}}=?\]

Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:

1. Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
2. И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.

Раберёмся с первым выражением: $\sqrt{{{3}^{4}}}$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:

\[{{3}^{4}}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:

Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:

\[{{\left(-3 \right)}^{4}}=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)=81\]

Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:

В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:

\[\begin{align} & \sqrt{{{3}^{4}}}=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt{{{\left(-3 \right)}^{4}}}=\left| -3 \right|=3. \\ \end{align}\]

Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.

Замечание по поводу порядка действий

1. Запись $\sqrt{{{a}^{2}}}$ означает, что мы сначала возводим число $a$ в квадрат, а затем извлекаем из полученного значения квадратный корень. Следовательно, мы можем быть уверены, что под знаком корня всегда сидит неотрицательное число, поскольку ${{a}^{2}}\ge 0$ в любом случае;
2. А вот запись ${{\left(\sqrt{a} \right)}^{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

\[\sqrt{-a}=-\sqrt{a}\]

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

\[\begin{align} & \sqrt{-8}=-\sqrt{8}=-2; \\ & \sqrt{-27}\cdot \sqrt{-32}=-\sqrt{27}\cdot \left(-\sqrt{32} \right)= \\ & =\sqrt{27}\cdot \sqrt{32}= \\ & =3\cdot 2=6. \end{align}\]

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Арифметический корень

Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?

А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.

Определение. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что ${{b}^{n}}=a$.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.

Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:

Область поиска арифметического корня — неотрицательные числа

Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»

Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным. Например, правило возведения в степень:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]

Обратите внимание: мы можем возвести подкоренное выражение в любую степень и одновременно умножить на эту же степень показатель корня — и в результате получится то же самое число! Вот примеры:

\[\begin{align} & \sqrt{5}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{25} \\ & \sqrt{2}=\sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt{16} \\ \end{align}\]

Ну и что в этом такого? Почему мы не могли сделать это раньше? А вот почему. Рассмотрим простое выражение: $\sqrt{-2}$ — это число вполне нормальное в нашем классическом понимании, но абсолютно недопустимо с точки зрения арифметического корня. Попробуем преобразовать его:

$\begin{align} & \sqrt{-2}=-\sqrt{2}=-\sqrt{{{2}^{2}}}=-\sqrt{4} \lt 0; \\ & \sqrt{-2}=\sqrt{{{\left(-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4} \gt 0. \\ \end{align}$

Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.

WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.

Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.

Определение. Алгебраический корень $n$-й степени из числа любого $a$ — это множество всех чисел $b$ таких, что ${{b}^{n}}=a$. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху:

\[\overline{\sqrt[n]{a}}=\left\{ b\left| b\in \mathbb{R};{{b}^{n}}=a \right. \right\}\]

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

1. Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
2. Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
3. Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Пример. Вычислите выражения:

\[\overline{\sqrt{4}};\quad \overline{\sqrt{-27}};\quad \overline{\sqrt{-16}}.\]

Решение. С первым выражением всё просто:

\[\overline{\sqrt{4}}=\left\{ 2;-2 \right\}\]

Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.

\[\overline{\sqrt{-27}}=\left\{ -3 \right\}\]

Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.

Наконец, последнее выражение:

\[\overline{\sqrt{-16}}=\varnothing \]

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt{-16}$, и многие другие странные вещи.

Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».

На этом всё. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.:)