Настоящая статья содержит систематическое изложение методов решения логарифмических уравнений с одной переменной. Это поможет учителю, прежде всего в дидактическом смысле: подбор упражнений позволяет составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей. Данные упражнения могут быть использованы для урока обобщения и для подготовки к ЕГЭ.
Краткие теоретические сведения и решения задач позволяют учащимся самостоятельно развивать умения и навыки решения логарифмических уравнений.

Решение логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:

Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.
Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.

1. Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если ) .

2. Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

3. Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

1. сделать замену переменной;
2. решить полученное уравнение;
3. сделать обратную замену;
4. решить полученное уравнение;
5. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

4. Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

1. прологарифмировать уравнение;
2. решить полученное уравнение;
3. сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
   корни (решения).

5. Уравнения, которые не имеют решения.

1. Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.
2. Проанализировать левую и правую часть уравнения.
3. Сделать соответствующие выводы.

Исходное уравнение равносильно системе:

Доказать, что уравнение не имеет решения.

ОДЗ уравнения определяется неравенством х ≥ 0. На ОДЗ имеем

Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю, поэтому исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

В ОДЗ попадает только один корень х = 0. Ответ: 0.

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

ОДЗ уравнения – множество всех положительных чисел.

Поскольку

Аналогично решаются данные уравнения:

Задачи для самостоятельного решения:

Используемая литература.

1. Бесчетнов В.М. Математика. Москва Демиург 1994
2. Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции. (задачи и упражнения). Москва «Просвещение» 1984
3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва «Наука» 1987
4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва «Илекса»2007
5. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В.. Задачи по алгебре и началам анализа. Москва «Просвещение» 2003

На данном уроке мы повторим основные теоретические факты о логарифмах и рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.

Напомним центральное определение - определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Данное уравнение имеет единственный корень, его называют логарифмом b по основанию а:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество .

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Итак мы видим, что каждому значению ставится в соответствие значение . Обозначим b за х (), с за у, и таким образом получаем логарифмическую функцию:

Например:

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Еще раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение, как основание логарифма.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

График функции при изображен черным цветом. Рис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.

График функции при изображен красным цветом. Рис. 1.

Свойства данной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.

Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:

Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.

Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:

Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.

Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:

Уравнять основания логарифмов;

Приравнять подлогарифмические функции;

Выполнить проверку.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1 - решить уравнение:

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:

Пример 2 - решить уравнение:

Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение:

Найдем корень и подставим его в неравенство:

Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.

Пример 3 - решить уравнение:

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:

Найдем корень и подставим его в неравенство:

Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.

1. Решение стандартно - воспользуемся правилом умножения на 1 :

Теперь удаляем логарифмы:

Перемножим крест-накрест:

Проверка

Подходит!

Проверка

И здесь подходит! Может, я ошибся, и корни вообще всегда подходят? Давай посмотрим на следующий пример!

Пример № 2

Тройку нашим любимым методом представим в виде

Слева и справа воспользуемся формулой для суммы логарифмов.

Пример №3

Решение аналогично уже рассмотренному ранее примеру: Единицу справа давай превратим в (я напомню, что - десятичный логарифм, или логарифм по основанию), и произведем действия между логарифмами слева и справа:

теперь уберем логарифмы слева и справа:

\left({x} -2 \right)\left({x} -3 \right)=2

Проверка:

Опять оба логарифма слева не определены, так как они берутся от отрицательных чисел. Тогда не является корнем.

так как, то

Ответ:

Я надеюсь, что только что приведенные примеры навсегда отучат тебя пропускать проверку при решении логарифмических уравнений. Она необходима!

Логарифмическое уравнение с переменным основанием

Теперь я бы хотел рассмотреть с тобой еще один (чуть более сложный) вид логарифмических уравнений. Это будут уравнения с переменным основанием.

До этого же мы рассматривали только случаи, когда основания были постоянными: и т. д. Но ничто не мешает им быть некоторыми функциями от, например и т. д.

Но не стоит пугаться! Если при решении логарифмических неравенств переменное основание доставляет довольно много неудобств, то на сложности решения уравнения это практически никак не сказывается! Суди сам:

Пример №1

Действуем как и раньше: применяем метод «умножь на единицу» к числу:

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Применю формулу разности квадратов:

Проверка:

Какой делаем вывод? Неверно! Число не является корнем уравнения, поскольку основание логарифма не может быть отрицательным числом или равняться единице!

Ответ: .

Как видишь, в случае уравнений нет никакой принципиальной разницы, переменные у нас основания или нет. В этом плане можно сказать, что решить логарифмическое уравнение как правило намного проще, чем решить логарифмическое неравенство!

Давай теперь попробуем решить еще один «странный» пример.

Пример №2

Будем действовать как всегда - превратим правую часть в логарифм, вот такой хитрый:

Тогда исходное логарифмическое уравнение будет равносильно вот такому уравнению (правда снова логарифмическому)

Данное уравнение я буду решать снова по разности квадратов:

Давай решим вначале первое, второе будет решаться примерно так же:

Снова воспользуюсь «умножением на 1» :

Аналогично для второго уравнения:

Теперь самое интересное: проверка. Начнем с первого корня

Основание «большого» логарифма равно

Поэтому не является корнем.

Проверим второе число:

то число является корнем исходного уравнения.

Ответ:

Я намеренно привел достаточно сложный пример, чтобы показать тебе, что не стоит пугаться больших и страшных логарифмов.

Достаточно знать несколько формул (которые я уже привел тебе выше) и из любой (практически) ситуации можно найти выход!

Ну вот, я привел тебе основные методы решения логарифмических уравнений (методы «без изысков»), которые позволят тебе справиться с большинством примеров (в первую очередь на ЕГЭ).

Теперь пришло твое время показать, чему ты научился. Попробуй самостоятельно решить следующие логарифмические уравнения , а затем мы с тобой сверим результат.

Семь примеров для самостоятельной работы

Рассмотренные в этой работы приемы, конечно, не исчерпывают всевозможные способы решения логарифмических уравнений.

В некоторых случаях нам нужно очень «извернуться», чтобы придумать способ найти корни у каверзного уравнения.

Однако, каким бы сложным не было начальное уравнение, в результате оно сведется к уравнению того вида, которые мы с тобой только что научились решать!

Ответы на примеры для самостоятельную работу

1. Достаточно простая задачка: воспользуемся свойством:

в вычитаемом:

Тогда мы получим:

Делаем проверку:

(этот переход я уже объяснял тебе выше)

Ответ: 9

2. Тоже ничего сверхъестественного: неохота мне делить, поэтому я перенесу слагаемое с «минусом» вправо: теперь слева и справа у меня стоят десятичные логарифмы, и я от них избавляюсь:

Делаю проверку:

выражение под знаком логарифма не может быть отрицательным, поэтому число не является корнем уравнения.

Проверка

Ответ:

Здесь нужно немного поработать: ясно, что, снова воспользуюсь (не правда ли очень полезной?) формулой:

Что мне нужно сделать, прежде чем применить формулу сложения логарифмов? Да, мне нужно избавиться от множителя. Есть два пути: первый - в лоб занести его в логарифм по формуле:

В принципе, этот метод имеет право на существование, но что в нем плохо? Плохо иметь дело с выражением вида (всегда неприятна «нецелая степень». Так что можно сделать еще? Как можно избавиться от такой «нецелости»? Давай домножим на наше уравнение:

Ну вот, а теперь давай занесем оба множителя в логарифмы:

тогда я заменю ноль на

И окончательно получу:

Помнишь, как называется эта «нелюбимая» школьная формула? Это разность кубов! Может, так более понятно?

Напомню тебе, что разность кубов вот так раскладывается на множители:

и вот еще на всякий случай:

Применительно к нашей ситуации это даст:

Первое уравнение имеет корень, а второе корней не имеет (убедись сам!).

Предоставляю тебе самостоятельно сделать проверку и убедиться, что число на самом деле является корнем нашего уравнения.

Как и в предыдущем примере перепишем

Я опять не хочу никаких вычитаний (и последующих делений) и поэтому перенесу полученное выражение вправо:

Теперь убираю логарифмы слева и справа:

Мы получили иррациональное уравнение, которое, как я надеюсь, ты уже умеешь решать. Я лишь напомню, что мы возводим обе стороны в квадрат:

Твоя задача теперь - убедиться, что не является корнем, а - является.

Ответ:

Все прозрачно: применяем формулу суммы логарифмов слева:

тогда убираем логарифмы с двух сторон:

Проверка:

Ответ: ;

Все проще некуда: уравнение уже приведено к простейшему виду. Нам осталось только приравнять

Делаем проверку:

А вот при основание у логарифмов равно:

И не является корнем.

Ответ:

Этот пример я оставил нам на десерт. Хотя в нем тоже нет ничего очень уж сложного.

Ноль представим как

Тогда мы с тобой получим вот такое логарифмическое уравнение :

И мы снимаем первую «шкурку» - внешние логарифмы.

Единицу представим как

Тогда наше уравнение примет вид:

Теперь мы снимаем «вторую шкурку» и добираемся до сердцевины:

Делаем проверку:

Ответ: .

3 МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Теперь, после ознакомления с первой статьей по логарифмическим уравнениям, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я могу перейти к разбору еще трех методов решения логарифмических уравнений:

• метод введения новой переменной (или замены)
• метод логарифмирования
• метод перехода к новому основанию.

Первый метод - один из наиболее часто употребляемых на практике. Им решается большинство «трудных» задач, связанных с решением логарифмических (и не только) уравнений.

Второй метод служит для решения смешанных показательно-логарифмических уравнений, в конечном счете сводя задачу к выбору хорошей замены переменной (то есть к первому методу).

Третий метод пригоден для решения некоторых уравнений, в которых встречаются логарифмы с разными основаниями.

Я начну с рассмотрения первого метода.

Метод введения новой переменной (4 примера)

Как ты уже понял из названия, суть этого метода - ввести такую замену переменной, что твое логарифмическое уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену» : то есть вернуться от замененного к заменяемому.

Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

В этом примере замена прямо напрашивается сама собой! Ведь ясно, что если мы заменим на, то наше логарифмическое уравнение превратится в рациональное:

Его ты без проблем решишь, сведя к квадратному:

(дабы знаменатель не обнулился ненароком!)

Упрощая полученное выражение, мы окончательно получим:

Теперь делаем обратную замену: , тогда из следует, что, а из получим

Теперь, как и раньше, пришла очередь проверки:

Пусть вначале, так как, то, верно!

Теперь, тогда, все верно!

Таким образом, числа и являются корнями нашего исходного уравнения.

Ответ: .

Вот еще один пример с очевидной заменой:

В самом деле, сразу же давай заменим

тогда наше исходное логарифмическое уравнение превратится в квадратное:

Обратная замена:

Проверку проведи самостоятельно, убедись, что в данном случае оба найденных нами числа являются корнями.

Мне кажется, что основную идею ты уловил. Она не нова и распространяется не только на логарифмические уравнения.

Другое дело, что иногда довольно сложно сразу «увидеть» замену. Здесь требуется некоторый опыт, который придет к тебе после некоторых усилий с твоей стороны.

А пока что потренируйся в решении следующих примеров:

Готов? Давай проверим, что у тебя получилось:

Вначале решим второй пример.

Он как раз демонстрирует тебе, что не всегда замену удается сделать, что говорится, «в лоб».

Прежде нам нужно немного преобразовать наше уравнение: применить формулу разности логарифмов в числителе первой дроби, и вынести степень в числителе второй.

Сделав это, ты получишь:

Теперь замена стала очевидной, не так ли? Давай сделаем ее: .

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и упростим.

Тогда мы получим:

Решив последнее уравнение, ты найдешь его корни: откуда.

Самостоятельно сделай проверку и удостоверься в том, что и в самом деле являются корнями нашего первоначального уравнения.

Теперь давай попробуем решить третье уравнение.

Ну, во-первых, ясно, что нам не повредит домножить обе части уравнения на. Вреда никакого, а польза - очевидна.

Теперь сделаем замену. Ты ведь догадался о том, что мы будем заменять? Верно, положим, . Тогда наше уравнение примет вот такой вид:

(оба корня нам подходят!)

Теперь обратная замена: , откуда, откуда. Наше исходное уравнение имеет сразу аж четыре корня! Убедись в этом, подставим полученные значения в уравнение. Записываем ответ:

Ответ: .

Я так думаю, что теперь идея замены переменной тебе полностью ясна? Хорошо, тогда не будем останавливаться на достигнутом и перейдем к еще одному методу решения логарифмических уравнений: методу перехода к новому основанию.

Метод перехода к новому основанию

Давай рассмотрим следующее уравнение:

Что мы видим? Два логарифма будто бы «противоположны» друг другу. Что нужно делать? Все легко: нам достаточно прибегнуть к одной из двух формул:

В принципе, мне ничего не мешает воспользоваться любой из этих двух формул, но из-за структуры уравнения, мне удобнее будет применить первую: я избавлюсь от переменного основания логарифма во втором слагаемом, заменив его на. Теперь легко заметить, что задача свелась к предыдущей: к выбору замены. Заменив, я получу следующее уравнение:

Отсюда. Тебе осталось подставить найденные числа в исходное уравнение и убедиться, что они в самом деле являются корнями.

Вот еще один пример, в котором разумно будет перейти к новому основанию:

Однако, как ты можешь легко проверить, если мы с тобой перейдем к новому основанию сразу, это не даст должного эффекта. Что нам нужно сделать в этом случае? А давай все упростим донельзя, а дальше будь что будет.
Вот, что я хочу сделать: представить, как, как, вынести эти степени перед логарифмами, а также вынести квадрат у икса в первом логарифме. Дальше уже посмотрим.

Запомни, с основанием бывает намного сложнее подружиться, чем с выражением, стоящим под знаком логарифма!

Следуя этому правилу, я заменю на и на. Тогда я получу:

Ну а дальнейшие шаги тебе уже знакомы. Заменяй и ищи корни!

В результате ты отыщешь два корня исходного уравнения:

Пришла пора тебе показать, чему ты научился!

Постарайся вначале самостоятельно решить следующие (не самые легкие) примеры:

1. Здесь все достаточно стандартно: я буду стараться свести мое исходное уравнение к такому, чтобы была удобна замена. Что мне для этого потребуется? Во-первых, преобразовать первое выражение слева (вынести четвертую степень двойки перед логарифмом) и вынести степень двойки из основания второго логарифма. Тогда я получу:

Осталось всего ничего: «перевернуть» первый логарифм!

\frac{12}{\log_{2}{x}}=3{{\log }_{2}}x

(для удобства я перенес второй логарифм слева в правую часть уравнения)

Задача почти решена: можно сделать замену. После приведения к общему знаменателю я получу следующее уравнение:

Сделав обратную замену, тебе не составит труда сосчитать, что:

Убедись, что полученные значения являются корнями нашего уравнения.

2. Здесь я тоже буду стараться «подогнать» мое уравнение под приемлемую замену. Какую же? Пожалуй, мне подойдет.

Так давай не будем терять времени и приступим к преобразованиям!

{{\log }_{x}}5{{x}^{2}}\cdot \log \frac{2}{5}x=1

Ну вот, теперь можно смело заменять! Тогда, уже относительно новой переменной, мы получим следующее уравнение:

Откуда. Опять-таки, удостовериться, что оба эти числа являются в самом деле корнями, предоставляется тебе в качестве упражнения.

3. Здесь сразу даже не совсем очевидно, что мы будем заменять. Есть одно золотое правило - не знаешь, что делать - делай то, что можно! Вот им я и воспользуюсь!

Теперь я «переверну» все логарифмы и применю к первому - формулу логарифма разности, а к двум последним - логарифм суммы:

Здесь я также пользовался тем, что (при) и свойством вынесения степени из логарифма. Ну вот, теперь нам можно применить подходящую замену: . Я уверен, что ты уже умеешь решать рациональные уравнения, даже вот такого монструозного типа. Поэтому я позволю себе сразу записать результат:

Осталось решить два уравнения: . С методами решения таких «почти простейших» уравнений, ты уже ознакомился в предыдущем разделе. Таким образом, я сразу запишу окончательные решения:

Убедись, что только два из этих чисел - корни моего уравнения! А именно - это и, в то время как корнем не является!

Этот примерчик позаковырестее, однако, я постараюсь решить его вообще не прибегая к замене переменной! Давай опять, будем делать, что можно: а можно для начала разложить логарифм слева по формуле для логарифма отношения, а также вынести двойку вперед у логарифма в скобках. В итоге у меня получится:

Ну а теперь та самая формула, которую мы уже применяли! Так как, то сократим правую часть! Теперь там вообще просто стоит двойка! Перенесем к ней слева единицу, окончательно получим:

Как решать такие уравнения, ты уже знаешь. Корень находится без труда, и он равен. Напоминаю тебе о проверке!

Ну вот, теперь ты, как я надеюсь, научился решать достаточно сложные задачи, которые « в лоб» не одолеешь! Но логарифмические уравнения бывают еще более коварными! Вот например такие:

Здесь уже, увы, предыдущий способ решения не даст ощутимых результатов. Как ты думаешь, почему? Да, никакой «обратности» логарифмов здесь уже не наблюдается. Этот наиболее общий случай, конечно, тоже поддается решению, но мы уже применяем вот такую формулу:

Уж этой формуле все равно, имеется у вас «противоположность» или нет. Ты можешь спросить, а чему выбирать основание? Мой ответ - это не имеет никакого значения. Ответ в итоге не будет зависеть от этого. Традиционно используют либо натуральный, либо десятичный логарифм. Хотя это и не принципиально. Я, например, буду применять десятичный:

Отставлять ответ в таком виде - форменное безобразие! Давайте я вначале запишу по определению, что

Теперь пришло время воспользоваться: внутри скобок - основным логарифмическим тождеством, а снаружи (в степени) - превратить отношение в один логарифм: , тогда окончательно получим вот такой «странный» ответ: .

Дальнейшие упрощения, увы, нам уже недоступны.

Давай сделаем проверку вместе:

Верно! Кстати, еще раз вспомни, из чего следует предпоследнее равенство в цепочке!

В принципе, решение этого примера тоже можно свести к переходу к логарифму по новому основанию, только тебя должно уже пугать то, что получится в итоге. Давай попробуем поступить разумнее: как можно лучше преобразуем левую часть.

Кстати, а как по-твоему я получил последнее разложение? Верно, я применил теорему о разложении квадратного трехчлена на множители, а именно:

Если, - корни уравнения, то:

Ну вот, теперь я перепишу мое исходное уравнение вот в таком виде:

А вот решить такую задачу нам уже вполне по силам!

Так как, то введем замену.

Тогда мое исходное уравнение примет вот такой простой вид:

Его корни равны: , тогда

Откуда - данное уравнение корней не имеет.

Тебе осталось сделать проверку!

Следующее уравнение попробуй решить самостоятельно. Не торопись и будь внимателен, тогда удача будет на твоей стороне!

Готов? Давай посмотрим, что у нас получилось.

На самом деле, пример решается в два действия:

1. Преобразуем

2. теперь справа у меня стоит выражение, которое равно

Таким образом, исходное уравнение свелось к простейшему:

Проверка говорит о том, что данное число в самом деле является корнем уравнения.

Метод логарифмирования

Ну и напоследок я очень кратко остановлюсь на методах решения некоторых смешанных уравнений. Само собой, я не берусь охватить все смешанные уравнения, а покажу приемы решения самых простых.

Например,

Такое уравнение может быть решено методом логарифмирования. Все, что тебе нужно сделать, это взять логарифм от обеих частей.

Ясно, что поскольку у нас уже есть логарифм по основанию, то логарифмировать я буду по тому же основанию:

Теперь я вынесу степень из выражения слева:

и разложу выражение на множители по формуле разности квадратов:

Проверка как всегда на твоей совести.

Последний пример данной статьи попробуй решить самостоятельно!

Проверяем: берем логарифм по основанию от обеих частей уравнения:

Выношу степень слева и раскалываю по формуле суммы справа:

Угадываем один из корней: является корнем.

В статье, посвященной решению показательных уравнений, я рассказывал о том, как делить один многочлен «уголком» на другой.

Здесь нам понадобится поделить на.

В итоге мы получим:

Проверку проведи, по-возможности, сам (хотя в данном случае, особенно с последними двумя корнями, она будет непростой).

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. СУПЕР УРОВЕНЬ

В дополнение к уже изложенному материалу, я предлагаю нам с тобой рассмотреть еще один способ решения смешанных уравнений, содержащих логарифмы, однако здесь я буду рассматривать такие уравнения, которые не могут быть решены рассмотренным ранее методом логарифмирования обеих частей . Данный способ имеет название мини-максного.

Мини-максный метод

Данный метод применим не только при решении смешанных уравнений, но также оказывается полезным при решении некоторых неравенств.

Итак, вначале введем следующие основные определения, которые необходимы для применения мини-максного метода.

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

Функция на рисунке слева - монотонно возрастающая, а справа - монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции, известно, что выполняется следующая:

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции.

Опишем непосредственно сам мини-максный метод . Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название?

Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

Наша самая главная цель - это найти вот эту самую константу, чтобы далее свести уравнение к двум более простым.

Для этого могут быть полезны свойства монотонности логарифмической функции, сформулированные выше.

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

1. Вначале рассмотрим левую часть.

Там стоит логарифм с основанием меньше. По теореме, сформулированной выше, какой оказывается функция? Она убывает. При этом, а значит, . С другой стороны, по определению корня: . Таким образом, константа найдена и равна. Тогда исходное уравнение равносильно системе:

Первое уравнение имеет корни, а второе: . Таким образом, общий корень равен, и данный корень будет корнем исходного уравнения. На всякий случай сделай проверку, чтобы убедиться в этом.

Ответ:

Давай сразу задумаемся, что здесь написано?

Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю.

Когда это возможно?

Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

Общих корней у первого и второго уравнений нет, тогда и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет решений.

Давай вначале рассмотрим правую часть - она попроще. По определению синуса:

Откуда, и тогда Поэтому

Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма:

Попытка найти корни у уравнения не приведет к положительному результату. Но тем не менее, мне надо как-то это выражение оценить. Ты, конечно, знаешь такой метод, как выделение полного квадрата . Его я здесь и применю.

Так как - функция возрастающая, то из cледует, что. Таким образом,

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

Я не знаю, знаком ты или нет с решением тригонометрических уравнений, поэтому я сделаю так: решу первое уравнение (оно имеет максимум два корня), а потом результат подставлю во второе:

(можешь сделать проверку и убедиться, что это число является корнем первого уравнения системы)

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

Ответ:

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

Готов? Давай проверим:

Левая часть - сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

В то же время правая часть - это модуль (значит, больше нуля) произведения двух косинусов (значит не более единицы), тогда:

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

Я опять предлагаю решить первое уравнение и результат подставить во второе:

Данное уравнение корней не имеет.

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ. 6 МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Логарифмическое уравнение - уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида.

Процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к приведению логарифмического уравнения к виду , и переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них: .

ОДЗ для логарифмического уравнения:

Основные методы решения логарифмических уравнений:

1 метод. Использование определения логарифма:

2 метод. Использование свойств логарифма:

3 метод. Введение новой переменной (замена):

• замена позволяетсвести логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому уравнению относительно t.

4 метод. Переход к новому основанию:

5 метод. Логарифмирование:

• берется логарифм от правой и левой частей уравнения.

6 метод. Мини-максный:

Теперь мы хотим услышать тебя...

Мы постарались написать максимально просто и подробно о логарифмических уравнениях.

Теперь твой ход!

Напиши, как ты оцениваешь нашу статью? Понравилась ли она тебе?

Может быть ты уже умеешь решать логарифмические уравнения?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши об этом в комментариях.

И удачи на экзаменах!

Подготовка к итоговому тестированию по математике включает в себя важный раздел - «Логарифмы». Задания из этой темы обязательно содержатся в ЕГЭ. Опыт прошлых лет показывает, что логарифмические уравнения вызвали затруднения у многих школьников. Поэтому понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки.

Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью образовательного портала «Школково»!

При подготовке к единому государственному экзамену выпускникам старших классов требуется достоверный источник, предоставляющий максимально полную и точную информацию для успешного решения тестовых задач. Однако учебник не всегда оказывается под рукой, а поиск необходимых правил и формул в Интернете зачастую требует времени.

Образовательный портал «Школково» позволяет заниматься подготовкой к ЕГЭ в любом месте в любое время. На нашем сайте предлагается наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации по логарифмам, а также по с одним и несколькими неизвестными. Начните с легких уравнений. Если вы справились с ними без труда, переходите к более сложным. Если у вас возникли проблемы с решением определенного неравенства, вы можете добавить его в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже.

Найти необходимые формулы для выполнения задачи, повторить частные случаи и способы вычисления корня стандартного логарифмического уравнения вы можете, заглянув в раздел «Теоретическая справка». Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме.

Чтобы без затруднений справляться с заданиями любой сложности, на нашем портале вы можете ознакомиться с решением некоторых типовых логарифмических уравнений. Для этого перейдите в раздел «Каталоги». У нас представлено большое количество примеров, в том числе с уравнениями профильного уровня ЕГЭ по математике.

Воспользоваться нашим порталом могут учащиеся из школ по всей России. Для начала занятий просто зарегистрируйтесь в системе и приступайте к решению уравнений. Для закрепления результатов советуем возвращаться на сайт «Школково» ежедневно.

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств , которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

Функцию вида

0,\, a\ne 1 \]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">

называют логарифмической функцией .

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = log a x :

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая :

Свойства логарифмов

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Если a и b a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство :

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Равенство log a t = log a s , где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

Если a , b , c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма ):

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Теорема 1. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то логарифмическое уравнение log a f (x ) = log a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x , при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

С учетом того, что

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

ql-right-eqno">

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

Уравнение принимает вид:

Обратная подстановка:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

ql-right-eqno">

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x ≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам . Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f (x ) > 0 и g (x ) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x );
при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству.