A másodfokú egyenlet megoldásának egyik módja a használata VIET képletek, amely FRANCOIS VIETTE nevéhez fűződik.

Híres ügyvéd volt, aki a 16. században a francia királyt szolgálta. Szabadidejében csillagászatot és matematikát tanult. Összefüggést teremtett egy másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között.

A képlet előnyei:

1 . A képlet alkalmazásával gyorsan megoldást találhat. Mert nem kell beírni a második együtthatót a négyzetbe, majd kivonni belőle 4ac-et, megkeresni a diszkriminánst, és behelyettesíteni az értékét a képletbe, hogy megtaláljuk a gyököket.

2 . Megoldás nélkül meghatározhatja a gyökerek jeleit és kiválaszthatja a gyökerek értékeit.

3 . A két rekordból álló rendszer megoldása után nem nehéz megtalálni magukat a gyökereket. A fenti másodfokú egyenletben a gyökök összege egyenlő a második mínusz előjelű együttható értékével. A gyökök szorzata a fenti másodfokú egyenletben egyenlő a harmadik együttható értékével.

4 . E gyökök felhasználásával írjunk fel egy másodfokú egyenletet, azaz oldjuk meg az inverz feladatot. Például ezt a módszert az elméleti mechanika problémák megoldására használják.

5 . Kényelmes a képlet használata, ha a vezető együttható eggyel egyenlő.

Hibák:

1 . A képlet nem univerzális.

Vieta tétele 8. osztály

Képlet
Ha x 1 és x 2 az x 2 + px + q = 0 redukált másodfokú egyenlet gyöke, akkor:

Példák
x 1 = -1; x 2 = 3 - az x 2 - 2x - 3 = 0 egyenlet gyökei.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Fordított tétel

Képlet
Ha az x 1, x 2, p, q számok összefüggenek a feltételekkel:

Ekkor x 1 és x 2 az x 2 + px + q = 0 egyenlet gyöke.

Példa
Hozzunk létre egy másodfokú egyenletet a gyökeivel:

X 1 = 2 - ? 3 és x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 ) (2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

A szükséges egyenlet a következő: x 2 - 4x + 1 = 0.

Vieta tételét gyakran használják a már megtalált gyökerek ellenőrzésére. Ha megtalálta a gyökereket, a \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(esetek)\) képletekkel számíthatja ki a \(p) értékét \) és \(q\ ). És ha kiderül, hogy megegyeznek az eredeti egyenletben, akkor a gyökerek helyesen találhatók.

Például a segítségével oldjuk meg a \(x^2+x-56=0\) egyenletet, és kapjuk meg a gyököket: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Ellenőrizzük, nem hibáztunk-e a megoldási folyamat során. Esetünkben \(p=1\), és \(q=-56\). Vieta tétele alapján a következőt kapjuk:

\(\begin(esetek)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(esetek)\) \(\bal jobbra nyíl\) \(\begin(esetek)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(esetek)\) \(\Bal jobbra nyíl\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(esetek)\ )

Mindkét állítás konvergált, ami azt jelenti, hogy helyesen oldottuk meg az egyenletet.

Ez az ellenőrzés szóban is elvégezhető. 5 másodpercig tart, és megóvja Önt a hülye hibáktól.

Vieta fordított tétele

Ha \(\begin(esetek)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(esetek)\), akkor \(x_1\) és \(x_2\) a másodfokú egyenlet \ (x^ 2+px+q=0\).

Vagy egyszerűen: ha van egy \(x^2+px+q=0\\ alakú egyenlete), akkor a rendszer megoldása \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) megtalálja a gyökereit.

Ennek a tételnek köszönhetően gyorsan megtalálhatja a másodfokú egyenlet gyökereit, különösen, ha ezek a gyökök . Ez a készség azért fontos, mert sok időt takarít meg.

Példa . Oldja meg a \(x^2-5x+6=0\) egyenletet.

Megoldás : Vieta inverz tételével azt találjuk, hogy a gyökök teljesítik a feltételeket: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(esetek)\).
Tekintse meg a \(x_1 \cdot x_2=6\) rendszer második egyenletét. Milyen kettőre bontható fel a \(6\) szám? A \(2\) és \(3\), \(6\) és \(1\) vagy \(-2\) és \(-3\), valamint \(-6\) és \(- 1\). A rendszer első egyenlete megmondja, hogy melyik párt válassza: \(x_1+x_2=5\). \(2\) és \(3\) hasonlóak, mivel \(2+3=5\).
Válasz : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Példák . A Vieta-tétel megfordításával keresse meg a másodfokú egyenlet gyökereit:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Megoldás :
a) \(x^2-15x+14=0\) – milyen tényezőkre bomlik a \(14\)? \(2\) és \(7\), \(-2\) és \(-7\), \(-1\) és \(-14\), \(1\) és \(14\) ). Milyen számpárokból adódik \(15\)? Válasz: \(1\) és \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – milyen tényezőkre bomlik a \(-4\)? \(-2\) és \(2\), \(4\) és \(-1\), \(1\) és \(-4\). Milyen számpárokból adódik \(-3\)? Válasz: \(1\) és \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – milyen tényezőkre bomlik a \(20\)? \(4\) és \(5\), \(-4\) és \(-5\), \(2\) és \(10\), \(-2\) és \(-10\) ), \(-20\) és \(-1\), \(20\) és \(1\). Milyen számpárok adják össze a \(-9\)-t? Válasz: \(-4\) és \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – milyen tényezőkre bomlik a \(780\)? \(390\) és \(2\). Összeadva \(88\) lesz? Nem. Milyen egyéb szorzói vannak a \(780\)-nak? \(78\) és \(10\). Összeadva \(88\) lesz? Igen. Válasz: \(78\) és \(10\).

Nem szükséges az utolsó kifejezést az összes lehetséges tényezőre kiterjeszteni (mint az utolsó példában). Azonnal ellenőrizheti, hogy az összegük megadja-e a \(-p\) értéket.

Fontos! Vieta tétele és a fordított tétele csak -vel működik, azaz olyannal, amelyre \(x^2\) együtthatója eggyel egyenlő. Ha kezdetben kaptunk egy nem redukált egyenletet, akkor azt csökkenthetjük úgy, hogy egyszerűen elosztjuk az \(x^2\) előtti együtthatóval.

Például, legyen adott a \(2x^2-4x-6=0\) egyenlet és egy Vieta-tételt szeretnénk használni. De nem tehetjük meg, mivel \(x^2\) együtthatója egyenlő \(2\). Megszabadulunk tőle úgy, hogy a teljes egyenletet elosztjuk \(2\-el).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Kész. Most mindkét tételt használhatja.

Válaszok a gyakran ismételt kérdésekre

Kérdés: Vieta tételét használva bármelyik ?
Válasz: Sajnos nincs. Ha az egyenlet nem tartalmaz egész számokat, vagy az egyenletnek egyáltalán nincs gyöke, akkor Vieta tétele nem segít. Ebben az esetben használnia kell diszkriminatív . Szerencsére az iskolai matematikában az egyenletek 80%-ának van egész megoldása.

Ebben az előadásban egy másodfokú egyenlet gyökerei és együtthatói közötti különös összefüggésekkel ismerkedünk meg. Ezeket az összefüggéseket először Francois Viet (1540-1603) francia matematikus fedezte fel.

Például a Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 egyenletre anélkül, hogy megtalálná a gyökereit, a Vieta-tétellel azonnal azt mondhatjuk, hogy a gyökök összege , és a gyökök szorzata
azaz - 2. Az x 2 - 6x + 8 = 0 egyenletre pedig azt a következtetést vonjuk le, hogy a gyökök összege 6, a gyökök szorzata 8; mellesleg nem nehéz kitalálni, hogy a gyökök mit jelentenek: 4 és 2.
Vieta tételének bizonyítása. Az ax 2 + bx + c \u003d 0 másodfokú egyenlet x 1 és x 2 gyökét a képletekkel találjuk meg

Ahol D \u003d b 2 - 4ac az egyenlet diszkriminánsa. E gyökerek lerakása
kapunk

Most kiszámoljuk az x 1 és x 2 gyökök szorzatát

A második összefüggés bizonyított:
Megjegyzés. Vieta tétele abban az esetben is érvényes, ha a másodfokú egyenletnek egy gyöke van (vagyis amikor D \u003d 0), csak ebben az esetben úgy tekintjük, hogy az egyenletnek két azonos gyöke van, amelyekre a fenti összefüggések vonatkoznak. .
Az x 2 + px + q \u003d 0 redukált másodfokú egyenlet bizonyított összefüggései különösen egyszerű formát öltenek. Ebben az esetben a következőket kapjuk:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
azok. az adott másodfokú egyenlet gyökeinek összege egyenlő az ellenkező előjellel vett második együtthatóval, a gyökök szorzata pedig egyenlő a szabad taggal.
A Vieta-tétel segítségével más összefüggéseket is kaphatunk a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. Legyen például x 1 és x 2 az x 2 + px + q = 0 redukált másodfokú egyenlet gyöke.

Vieta tételének azonban nem az a fő célja, hogy kifejezzen bizonyos összefüggéseket egy másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. Sokkal fontosabb az a tény, hogy Vieta tétele segítségével levezetik a négyzetes trinomiális faktorálási képletét, amely nélkül a jövőben nem megyünk.

Bizonyíték. Nekünk van

1. példa. Tényezőzzük a négyzetháromtagot 3x 2 - 10x + 3 értékkel.
Megoldás. A Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 egyenlet megoldása után megtaláljuk a Zx 2 - 10x + 3 négyzetháromság gyökét: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
A 2. Tétel segítségével azt kapjuk

Ehelyett érdemes Zx - 1-et írni. Ekkor végül azt kapjuk, hogy Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Megjegyzendő, hogy az adott négyzetháromtagot a 2. Tétel nélkül is faktorálhatjuk, a csoportosítási módszerrel:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

De mint látható, ennél a módszernél a siker azon múlik, hogy sikerül-e sikeres csoportosítást találni vagy sem, míg az első módszerrel a siker garantált.
1. példa. Csökkentse a frakciót

Megoldás. A 2x 2 + 5x + 2 = 0 egyenletből azt kapjuk, hogy x 1 = - 2,

Az x2 - 4x - 12 = 0 egyenletből azt találjuk, hogy x 1 = 6, x 2 = -2. Ezért
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Most csökkentsük a megadott törtet:

3. példa. Kifejezések faktorizálása:
a) x4 + 5x2 +6; b) 2x+-3
Megoldás. a) Bevezetünk egy új y = x 2 változót. Ez lehetővé teszi, hogy az adott kifejezést négyzetes trinomiális alakban írjuk át az y változóhoz képest, mégpedig y 2 + bу + 6 alakban.
Az y 2 + bу + 6 \u003d 0 egyenlet megoldása után megtaláljuk az y 2 + 5y + 6 négyzetháromság gyökét: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Most a 2. tételt használjuk; kapunk

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Ne feledje, hogy y \u003d x 2, azaz visszatér az adott kifejezéshez. Így,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Vezessünk be egy új y = változót. Ez lehetővé teszi, hogy az adott kifejezést négyzetes trinomiális alakban írjuk át az y változóhoz képest, mégpedig 2y 2 + y - 3 alakban. Az egyenlet megoldása után
2y 2 + y - 3 = 0, keresse meg a 2y 2 + y - 3 négyzetháromtag gyökereit:
y 1 = 1, y 2 = . Továbbá a 2. Tétel felhasználásával kapjuk:

Ne feledje, hogy y \u003d, azaz visszatér az adott kifejezéshez. Így,

A szakaszt néhány megfontolás zárja, amelyek ismét a Vieta-tételhez kapcsolódnak, vagy inkább fordítva:
ha az x 1, x 2 számok olyanok, hogy x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, akkor ezek a számok az egyenlet gyökei
Ezzel az állítással sok másodfokú egyenletet meg tud oldani szóban, nehézkes gyökképletek használata nélkül, és másodfokú egyenleteket is összeállíthat adott gyökökkel. Mondjunk példákat.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Itt x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Könnyen kitalálható, hogy x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Itt x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Könnyen kitalálható, hogy x 1 = -5, x 2 = -6.
Figyelem: ha az egyenlet szabad tagja pozitív szám, akkor mindkét gyöke pozitív vagy negatív; ezt fontos figyelembe venni a gyökerek kiválasztásakor.

3) x 2 + x - 12 = 0. Itt x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Könnyű kitalálni, hogy x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Figyelem: ha az egyenlet szabad tagja negatív szám, akkor a gyökök előjelben eltérőek; ezt fontos figyelembe venni a gyökerek kiválasztásakor.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Könnyen belátható, hogy x = 1 kielégíti az egyenletet, azaz. x 1 = 1 az egyenlet gyöke. Mivel x 1 x 2 \u003d - és x 1 \u003d 1, azt kapjuk, hogy x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Itt x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ha odafigyelsz arra, hogy 2830 = 283. 10 és 293 \u003d 283 + 10, akkor világossá válik, hogy x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (most képzelje el, milyen számításokat kell végrehajtani ennek a másodfokú egyenletnek a szabványos képletekkel történő megoldásához).

6) Állítsunk fel egy másodfokú egyenletet úgy, hogy az x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 számok szolgáljanak gyökeként. Általában ilyen esetekben ezek alkotják az x 2 + px + q \u003d 0 redukált másodfokú egyenletet.
Van x 1 + x 2 \u003d -p, tehát 8 - 4 \u003d -p, azaz p \u003d -4. Ezután x 1 x 2 = q, azaz. 8"(-4) = q, innen kapjuk, hogy q = -32. Tehát p \u003d -4, q \u003d -32, ami azt jelenti, hogy a kívánt másodfokú egyenlet alakja x 2 -4x-32 \u003d 0.

A nyolcadik osztályban a tanulók megismerkednek a másodfokú egyenletekkel és azok megoldásával. Ugyanakkor, amint a tapasztalat azt mutatja, a legtöbb diák csak egy módszert használ teljes másodfokú egyenletek megoldásához - a másodfokú egyenlet gyökereinek képletét. A jó szóbeli számolási képességekkel rendelkező tanulók számára ez a módszer egyértelműen irracionális. A diákoknak gyakran másodfokú egyenleteket kell megoldaniuk a középiskolában, és ott egyszerűen kár időt tölteni a diszkrimináns kiszámításával. Véleményem szerint a másodfokú egyenletek tanulmányozása során több időt és figyelmet kell fordítani a Vieta-tétel alkalmazására (A.G. Mordkovich Algebra-8 programja szerint mindössze két órát terveznek a „Vieta-tétel. egy négyzetes trinomit lineáris tényezőkké”).

A legtöbb algebrai tankönyvben ez a tétel redukált másodfokú egyenletre van megfogalmazva, és azt mondja, hogy ha az egyenletnek és gyöke van, akkor ezek kielégítik a , egyenlőségeket. Ezután egy Vieta-tétellel ellentétes állítást fogalmaznak meg, és számos példát kínálnak a témához.

Vegyünk konkrét példákat, és kövessük rajtuk a megoldás logikáját Vieta tételével.

Példa 1. Oldja meg az egyenletet!

Tegyük fel, hogy ennek az egyenletnek gyökerei vannak, nevezetesen és . Ezután Vieta tétele szerint az egyenlőségek

Vegye figyelembe, hogy a gyökök szorzata pozitív szám. Tehát az egyenlet gyökeinek ugyanaz az előjele. És mivel a gyökök összege is pozitív szám, arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenlet mindkét gyöke pozitív. Térjünk vissza a gyökerek szorzatához. Tegyük fel, hogy az egyenlet gyökei pozitív egész számok. Ekkor a helyes első egyenlőséget csak kétféleképpen kaphatjuk meg (a tényezők sorrendjéig): vagy . Ellenőrizzük a javasolt számpárokra a Vieta-tétel második állításának megvalósíthatóságát: . Így a 2 és 3 számok mindkét egyenlőséget kielégítik, és így az adott egyenlet gyökerei.

Válasz: 2; 3.

Az adott másodfokú egyenletnek a Vieta-tétel segítségével történő megoldása során az érvelés főbb szakaszait emeljük ki:

írd le Vieta tételének állítását

(*)

• határozzuk meg az egyenlet gyökeinek előjeleit (Ha a szorzat és a gyökök összege pozitív, akkor mindkét gyök pozitív szám. Ha a gyökök szorzata pozitív szám, és a gyökök összege negatív, akkor mindkét gyök negatív szám.Ha a gyökök szorzata negatív szám, akkor a gyökök különböző előjelűek.Sőt, ha a gyökök összege pozitív, akkor a nagyobb modulusú gyök pozitív szám, és ha a gyökök összege kisebb, mint nulla, akkor a nagyobb modulusú gyök negatív szám);
• válasszunk ki olyan egész számpárokat, amelyek szorzata adja a helyes első egyenlőséget a jelölésben (*);
• a talált számpárok közül válassza ki azt a párt, amelyet a (*) jelölésben a második egyenlőségbe behelyettesítve a helyes egyenlőséget adja;
• a válaszban jelölje meg az egyenlet talált gyökereit!

Mondjunk még néhány példát.

2. példa: Oldja meg az egyenletet .

Megoldás.

Legyen és az adott egyenlet gyöke. Majd Vieta tétele alapján jegyezzük meg, hogy a szorzat pozitív és az összeg negatív. Tehát mindkét gyök negatív szám. Olyan faktorpárokat választunk ki, amelyek 10 szorzatát adják (-1 és -10; -2 és -5). A második számpár összege -7. Tehát a -2 és -5 számok ennek az egyenletnek a gyökerei.

Válasz: -2; -5.

3. példa Oldja meg az egyenletet! .

Megoldás.

Legyen és az adott egyenlet gyöke. Majd Vieta tétele alapján jegyezzük meg, hogy a szorzat negatív. Tehát a gyökerek különböző előjelűek. A gyökök összege is negatív szám. Ezért a legnagyobb modulusú gyök negatív. Olyan faktorpárokat választunk ki, amelyek a szorzatot -10 (1 és -10; 2 és -5) adják. A második számpár összege -3. Ez azt jelenti, hogy a 2 és -5 számok ennek az egyenletnek a gyökerei.

Válasz: 2; -5.

Vegyük észre, hogy a Vieta-tétel elvileg megfogalmazható a teljes másodfokú egyenletre: ha a másodfokú egyenlet gyökerei vannak, és akkor a , , egyenlőségek teljesülnek számukra. Ennek a tételnek az alkalmazása azonban meglehetősen problematikus, mivel a teljes másodfokú egyenletben legalább az egyik gyök (természetesen ha van) törtszám. A törtek kiválasztásával való munka hosszú és nehéz. De még mindig van kiút.

Tekintsük a teljes másodfokú egyenletet . Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát az első együtthatóval Aés írd be az egyenletet a formába . Bevezetünk egy új változót, és egy redukált másodfokú egyenletet kapunk, amelynek gyökerei és (ha vannak) a Vieta-tétel segítségével megtalálhatók. Ekkor az eredeti egyenlet gyökerei a következők lesznek. Megjegyzendő, hogy nagyon könnyű felírni a redukált segédegyenletet: a második együttható megmarad, a harmadik együttható pedig egyenlő a szorzattal. ász. A tanulók bizonyos készséggel azonnal összeállítanak egy segédegyenletet, a Vieta-tétel segítségével megkeresik annak gyökereit, és jelzik az adott teljes egyenlet gyökereit. Mondjunk példákat.

4. példa Oldja meg az egyenletet! .

Hozzunk létre egy segédegyenletet és Vieta tételét felhasználva meg fogjuk találni a gyökereit. Ez azt jelenti, hogy az eredeti egyenlet gyökerei .

Válasz: .

5. példa Oldja meg az egyenletet! .

A segédegyenlet alakja . Vieta tétele szerint a gyökerei . Megtaláljuk az eredeti egyenlet gyökereit .

Válasz: .

És még egy eset, amikor Vieta tételének alkalmazása lehetővé teszi, hogy szóban megkeressük egy teljes másodfokú egyenlet gyökereit. Ezt könnyű bizonyítani az 1-es szám az egyenlet gyöke , ha, és csak akkor ha. Az egyenlet második gyökét a Vieta-tétel találja meg, és egyenlő . Még egy nyilatkozat: hogy a -1 szám legyen az egyenlet gyöke szükséges és elegendő ahhoz. Ekkor az egyenlet második gyöke Vieta tétele szerint egyenlő . Hasonló állítások fogalmazhatók meg a redukált másodfokú egyenletre.

6. példa Oldja meg az egyenletet!

Figyeljük meg, hogy az egyenlet együtthatóinak összege nulla. Tehát az egyenlet gyökerei .

Válasz: .

7. példa Oldja meg az egyenletet!

Ennek az egyenletnek az együtthatói kielégítik a tulajdonságot (valóban 1-(-999)+(-1000)=0). Tehát az egyenlet gyökerei .

Válasz: ..

Példák Vieta tételének alkalmazására

1. feladat Oldja meg a megadott másodfokú egyenletet Vieta tételével!

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

2. feladat Oldja meg a teljes másodfokú egyenletet a segédredukált másodfokú egyenletre való átmenet segítségével!

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3. feladat Oldjon meg egy másodfokú egyenletet a tulajdonság segítségével!

Amikor másodrendű egyenletek megoldási módszereit tanulmányozzuk egy iskolai algebratanfolyamon, figyelembe veszik a kapott gyökök tulajdonságait. Ezeket ma Vieta tételeinek nevezik. Használatára példákat adunk ebben a cikkben.

Másodfokú egyenlet

A másodrendű egyenlet az alábbi képen látható egyenlőség.

Itt az a, b, c szimbólumok néhány szám, amelyeket a vizsgált egyenlet együtthatóinak neveznek. Egy egyenlőség megoldásához meg kell találnia x értékeit, amelyek igazzá teszik.

Vegyük észre, hogy mivel az x maximális teljesítménye kettő, ezért a gyökök száma általános esetben is kettő.

Az ilyen típusú egyenlőség megoldásának többféle módja van. Ebben a cikkben ezek egyikét fogjuk megvizsgálni, amely az úgynevezett Vieta-tételt foglalja magában.

Vieta tételének állítása

A 16. század végén a híres matematikus, Francois Viète (francia) a különböző másodfokú egyenletek gyökereinek tulajdonságait elemezve észrevette, hogy ezek egyes kombinációi specifikus összefüggéseket elégítenek ki. Különösen ezek a kombinációk a szorzatuk és az összegük.

Vieta tétele a következőket állapítja meg: a másodfokú egyenlet gyökei összegezve adják meg az ellenkező előjellel vett lineáris és másodfokú együtthatók arányát, és ezeket szorozva a szabad tag és a másodfokú együttható arányához vezetnek. .

Ha az egyenlet általános formája a cikk előző részében lévő képen látható módon van felírva, akkor matematikailag ez a tétel két egyenlőség formájában írható fel:

• r2+r1=-b/a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Ahol r 1 , r 2 a vizsgált egyenlet gyökeinek értéke.

A fenti két egyenlőség számos különböző matematikai feladat megoldására használható. Vieta tételének megoldási példákban való felhasználását a cikk következő részei ismertetik.