Készítette: Morenshildt I.K. csoport 1.45.36 Frunzensky kerületi Iskola No. 314 Tanár Koroleva O.P. Szentpétervár 2006 * St. Petersburg INFORMÁCIÓS TECHNOLÓGIAI ÉS TÁVKÖZLÉSI KÖZPONT KÖLCSÖNÖS INVERZ FUNKCIÓK

Exponenciális és logaritmikus függvény Trigonometrikus függvények

Alapvető definíciók Példaegyenletek Inverz függvények grafikonjai Exponenciális és logaritmikus függvények Szinusz- és arcsinuszfüggvények Koszinusz- és arkkoszinuszfüggvények Érintő- és arctangensfüggvények Kotangens- és arckotangensfüggvények Vizsgaforrások Tartalom Befejezés

Reverzibilis függvény Ha az y=f (x) függvény minden értékét csak egy x értékre veszi fel, akkor ezt a függvényt reverzibilisnek nevezzük. Egy ilyen függvény esetében lehetséges az argumentum értékei és a függvény értékei közötti fordított kapcsolat kifejezése.

Példa egy adott függvény inverz felépítésére Különleges eset Adott egy függvény y=3x+5 x egyenlete x helyére x y-re Az (1) és (2) függvények kölcsönösen inverzek. Általános eset y=f (x) inverzibilis függvény Definiált függvény x= g (y ) Cserélje x helyett y y= g(x) Az y=f(x) és y=g(x) függvények kölcsönösen inverzek

Inverz függvények grafikonjai

Exponenciális és logaritmikus függvények y=log a x y=a x y=x a>1

A sin x és arcsin x függvények Tekintsük az y=sin x függvényt a szakaszon A függvény monoton növekvő. FZF [-1;1]. Az y= arcsin x függvény az y=sinx függvény inverze. [ -  ;  ] 2 2

A cos x és arccos x függvények Tekintsük az y=co s x függvényt a szakaszon A függvény monoton csökkenő. FZF [-1;1]. Az y=arccos x függvény az y=co sx függvény inverze.

tg x és arctg x függvények Tekintsük az y= tg x függvényt az intervallumon A függvény monoton növekszik. Az ORF az R halmaz. Az y= arctg x függvény az y= tg x függvény inverze. (-  ; ) 2 2

A ctg x és arcctg x függvények Tekintsük az y= ctg x függvényt a (0; ) intervallumon. A függvény monoton csökkenő. GFZ készlet R . Az inverz az y \u003d arcctg x függvény.

Teszt a "Kölcsönösen inverz függvények" témában 1. kérdés 2. kérdés 3. kérdés 4. kérdés 4. kérdés 5. kérdés Befejezés Befejezés

1. kérdés A kölcsönösen inverz függvények grafikonjai szimmetrikusan helyezkednek el a koordinátarendszerben a következőkhöz képest: A koordináták origója Közvetlen y \u003d x Tengelyek OY Tengelyek OX

2. kérdés Hogyan függ össze az eredeti definíciós tartománya és az inverz függvény tartománya? Match Independent

3. kérdés Mi a logaritmikus függvény inverze? Teljesítmény Lineáris Quadratic Exponenciális

4. kérdés Az y=arcctg x függvény az y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x függvény inverze

5. kérdés A „Kölcsönös függvények” téma: Elemi Kedvencem Könnyen érthető

Hurrá! Hurrá! Hurrá! Ügyes tudós!

Rossz válasz Ismételd az elejétől!

Rossz! Felháborít a válaszod!

Az algebra forrásai és az elemzés kezdetei: Proc. 10-11 sejtre. Általános oktatás intézmények / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov és mások – 12. kiadás. - M.: Felvilágosodás, 2004. - 384 p. Az algebra tanulmányozása és az elemzés kezdete 10-11. osztályban: Könyv. a tanár számára / N.E. Fedorova, M.V. Tkachev. - 2. kiadás - M .: Oktatás, 2004. - 205 p. Didaktikai anyagok az algebráról és az elemzés kezdeteiről 10. évfolyamhoz: Útmutató a tanárnak / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. - 2. kiadás, átdolgozva. - M.: Felvilágosodás, 1998. -143 p. Inverz trigonometrikus függvények grafikonjai http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Téma: "Kölcsönösen inverz függvények".

Az óra céljai:

Nevelési:

Ismételje meg és foglalja össze a tanulók tudását a „Funkció” témában, amelyet a 9. osztályban tanultak. Kölcsönösen inverz függvények megismerése, inverz függvény létezésének feltételei és tulajdonságai tanulmányozása, inverz függvények grafikonjainak felépítésének elsajátítása.

Fejlesztés:

Fejleszteni a tanulók kreatív és szellemi tevékenységét, intellektuális tulajdonságaikat: a probléma „látásának” képességét.

Képessé tenni gondolataikat világosan és világosan kifejezni, feltárni, elemezni, összehasonlítani, következtetéseket levonni.

A tanulók érdeklődésének fejlesztése az önálló kreativitás iránt.

Fejleszti a tanulók térbeli képzeletét.

Nevelési:

A rendelkezésre álló információkkal való munka képességének fejlesztése szokatlan helyzetben.

Nevelje a pontosságot és a lelkiismeretességet.

Esztétikai nevelést végezni.

Az óra típusa: kombinált.

Felszerelés:

• multimédiás projektor;

  jelentkezés a tanórára: (Prezentáció.) - elektronikus médián;

Az oktatás eszközei: számítógépek, szoftverekexcel, médiaprojektor, diabemutató.

Demók: egy koordináta-rendszerben felépített függvénygrafikonok.

Az oktatási tevékenység szervezési formái: egyéni, párbeszéd, munka a dia szövegével, kutatómunka jegyzetfüzetben.

Mód: vizuális, verbális grafika, kutatás.

Az órák alatt.

1. A tanár bevezető beszéde. Telepítési beszélgetés. A tanulók pszichológiai hangulata.

A leckében meg kell ismételnünk és össze kell foglalnunk a 9. osztályban tanult "Függvény" témával kapcsolatos ismereteket, meg kell ismerkednünk a kölcsönösen inverz függvényekkel, tanulmányoznunk kell az inverz függvény létezésének feltételeit és tulajdonságait, meg kell tanulnunk az inverz grafikonjainak elkészítését. funkciókat. Sok sikert és eredményes munkát kívánunk egymásnak.

2. A "Függvények és grafikonjaik" témakörben tárgyalt anyag ismétlése. Bemutatás.

Dia 2-10. Frontális munka az osztállyal.

3. Új anyag elsajátítása. Oktatási beszélgetés kutatási és demonstrációs elemekkel (11-24. dia)

Példa a függőségre. Minden függvényérték egy argumentumértéknek felel meg.

Az ilyen függvényeknél lehetőség van az argumentum értékei és a függvény értékei közötti fordított kapcsolat kifejezésére.

Gyakorlat.

Keresse meg a kölcsönösen inverz függvények tartományát és tartományát.

4. Az ismeretek megszilárdítása.

Órajegyzetek az "Inverz függvények" témában

1. lecke "Fordított funkció"

Cél: Alakítson elméleti apparátust a témában. Belép

Az invertálható függvény fogalma;

Az inverz függvény fogalma;

Fogalmazzon meg és bizonyítson elégséges feltételt a visszafordíthatósághoz

funkciók;

Kölcsönösen inverz függvények alapvető tulajdonságai.

Előadás óraterv

Idő szervezése.

A tanulók tudásának aktualizálása, egy új téma érzékeléséhez szükséges.

Új anyag bemutatása.

Összegezve a tanulságot.

Az óra-előadás menete

1. Idő szervezése.

2. Tudásfrissítés. ( Frontális felmérés az előző óra témájában.)

A tanulók számára a függvény grafikonja látható az interaktív táblán (1. ábra). A tanár megfogalmazza a feladatot - vegye figyelembe a függvény grafikonját, és sorolja fel a függvény vizsgált tulajdonságait. A hallgatók felsorolják egy függvény tulajdonságait a kutatási terv szerint. A tanár a függvény grafikonjától jobbra felírja a megnevezett tulajdonságokat egy markerrel az interaktív táblára.

Rizs. 1

Funkció tulajdonságai:

3. Célkitűzés diákok számára.

A tanulmány végén a tanár beszámol arról, hogy ma az órán megismerkednek a funkció egy további tulajdonságával - a visszafordíthatósággal. Az új anyagok értelmes tanulmányozása érdekében a tanár felkéri a gyerekeket, hogy ismerkedjenek meg azokkal a fő kérdésekkel, amelyekre a tanulóknak az óra végén meg kell válaszolniuk. Minden tanulónak vannak kérdései szóróanyag formájában (az óra előtt szétosztva).

Kérdések:

1. Milyen függvényt nevezünk reverzibilisnek?

2. Milyen függvényt nevezünk inverznek?

3. Hogyan kapcsolódnak egymáshoz a definíciós tartományok és a direkt és inverz függvények értékkészletei?

4. Fogalmazzon meg elegendő feltételt a függvény invertálhatóságához!

5. Egy növekvő függvény inverze csökken vagy nő?

6. Az inverz páratlan függvény páros vagy páratlan?

7. Hogyan vannak elrendezve a kölcsönösen inverz függvények grafikonjai?

4. Új anyag bemutatása.

1) Az invertálható függvény fogalma. A visszafordíthatóság elégséges feltétele.

Az interaktív táblán a tanár összehasonlítja két olyan függvény grafikonját, amelyek definíciós tartománya és értékkészlete megegyezik, de az egyik függvény monoton, a másik nem (2. ábra). Így egy függvénynek van olyan tulajdonsága, amely nem jellemző egy függvényre: mindegy, hogy a függvényértékek halmazából milyen számf ( x ) vedd fel, ez csak egy ponton a függvény értéke, így a tanár elvezeti a tanulókat az invertálható függvény fogalmához.

Rizs. 2

A tanár ezután megfogalmazza az invertálható függvény definícióját, és az interaktív táblán lévő monoton függvénygráf segítségével bizonyítja az invertálható függvénytételt.

1. definíció. A függvényt hívjákmegfordítható , ha valamelyik értékét csak a halmaz egy pontján veszi felx .

Tétel. Ha a funkció monoton a készülékenx , akkor visszafordítható.

Bizonyíték:

Hagyja a függvényt y=f(x) növekszik a készletenx hadd menjen x 1 ≠x 2 - a halmaz két pontjax .

A határozottság kedvéért hagyjukx 1 < x 2 . Akkor mibőlx 1 < x 2 a függvény növekedésével az következik, hogyf(x 1 ) < f(x 2 ) .

Így az argumentum különböző értékei a függvény különböző értékeinek felelnek meg, pl. a funkció reverzibilis.

Csökkenő függvény esetén is hasonlóképpen bizonyítjuk a tételt.

(A tétel bizonyítása során a tanár minden szükséges magyarázatot a rajzon markerrel elkészít)

Az inverz függvény definíciójának megfogalmazása előtt a tanár megkéri a tanulókat, hogy határozzák meg, melyik javasolt függvény reverzibilis? Az interaktív tábla függvénygrafikonokat jelenít meg (3., 4. ábra), és számos analitikusan meghatározott függvényt rögzít:

a ) b )

Rizs. 3 ábra. négy

ban ben ) y=2x+5; G ) y = - + 7.

Megjegyzés. Egy függvény monotonitása azelegendő inverz függvény létezésének feltétele. Denem szükséges feltétel.

A tanár példákat hoz különböző helyzetekre, amikor a funkció nem monoton, hanem reverzibilis, amikor a funkció nem monoton és nem reverzibilis, amikor monoton és visszafordítható.

2) Az inverz függvény fogalma. Inverz függvény összeállításának algoritmusa.

2. definíció. Legyen a reverzibilis funkciójay=f(x) a készleten meghatározottx és a hatótávolságaE(f)=Y . Párosítsuk mindegyikety tól től Y akkor az egyetlen értelmex, ahol f(x)=y. Ekkor kapunk egy függvényt, amelyen van definiálvaY, a x – a függvényértékek tartománya. Ezt a funkciót jelöljükx=f -1 (y),és hívja fordított funkció tekintetébeny=f(x), .

Ezután a tanár bevezeti a tanulókat az analitikusan adott inverz függvény megtalálásának módszerébe.

Egy függvény inverz függvényének összeállítására szolgáló algoritmus y = f ( x ), .

Győződjön meg a funkcióróly=f(x) intervallumon megfordíthatóx .

Expressz változóx keresztül nál nél az egyenletből y=f(x), ezt figyelembe véve.

A kapott egyenlőségben cserexés nál nél. Ahelyett x=f -1 (y)ír y=f -1 (x).

A tanár konkrét példákkal mutatja be, hogyan kell használni ezt az algoritmust.

1. példa Mutassa meg, mi a funkciójay=2x-5

Döntés . Lineáris függvényy=2x-5 határozta meg R, vel nő R a hatótávolsága pedig azR. Tehát az inverz függvény létezikR . Az analitikus kifejezésének megtalálásához megoldjuk az egyenletety=2x-5 viszonylag x ; kap. Nevezze át a változókat, megkapjuk a kívánt inverz függvényt. R határozza meg és növeli.

2. példa Mutassa meg, mi a funkciójay=x 2 , x ≤ 0 létezik egy inverz függvény, és keresse meg annak analitikus kifejezését.

Döntés . A függvény folytonos, definíciós tartományában monoton, ezért invertálható. A definíciós tartományok és a függvény értékkészletének elemzése után a megfelelő következtetést vonjuk le az inverz függvény analitikai kifejezéséről, amelynek alakja van.

3) Kölcsönösen inverz függvények tulajdonságai.

1. tulajdonság. Ha g a függvény fordítottja f , majd és f a függvény fordítottja g (a függvények kölcsönösen inverzek), mígD ( g )= E ( f ), E ( g )= D ( f ) .

2. tulajdonság. Ha egy függvény növekszik (csökken) az X halmazon, és Y a függvény tartománya, akkor az inverz függvény növekszik (csökken) az Y-n.

3. tulajdonság. Ahhoz, hogy egy függvény grafikonját egy függvényre inverz módon kapjuk meg, a függvény grafikonját az egyeneshez képest szimmetrikusan kell transzformálniy=x .

4. tulajdonság. Ha egy páratlan függvény invertálható, akkor az inverze is páratlan.

5. ingatlan. Ha funkciókat f ( x ) és kölcsönösen inverz, akkor bármelyikre igaz, és bármelyikre igaz.

3. példa Lehetőség szerint ábrázolja az inverz függvényt.

Döntés. Ennek a függvénynek nincs inverze a teljes definíciós tartományában, mivel nem monoton. Ezért vegyük figyelembe azt az intervallumot, amelyen a függvény monoton: , tehát van egy inverz. Találjuk kineki . Ehhez kifejezzükx keresztüly : . Átnevezés - inverz függvény. Készítsünk függvénygráfokat (5. ábra), és ügyeljünk arra, hogy szimmetrikusak legyenek egy egyenesrey = x .

Rizs. öt

4. példa Keresse meg az egyes kölcsönösen inverz függvények értékkészletét, ha ezt tudja.

Döntés. A kölcsönösen inverz függvények 1. tulajdonsága szerint van.

5 . Összegzés

Diagnosztikai munkák elvégzése. A munka célja az előadásban tárgyalt oktatási anyag asszimilációs szintjének meghatározása. A hallgatókat az előadás elején megfogalmazott kérdések megválaszolására várjuk.

6 . Házi feladat beállítása.

1. Az előadás anyagának megértése, a tételek alapvető definícióinak és megfogalmazásának megismerése.

2. Bizonyítsa be a kölcsönösen inverz függvények tulajdonságait!

2. lecke Elégséges feltétele egy függvény invertálhatóságának"

Cél: Képessé tenni a témával kapcsolatos elméleti ismeretek alkalmazására a feladatok megoldása során, figyelembe venni a főbb problématípusokat egy függvény reverzibilitási vizsgálatához, inverz függvény felépítéséhez.

Workshop óraterv:

1. Szervezeti mozzanat.

2. Az ismeretek aktualizálása (a tanulók frontális munkája).

3. A tanult anyag konszolidálása (problémamegoldás).

4. A lecke összegzése.

5. Nyilatkozat a házi feladatról.

Az órák alatt.

1. Idő szervezése.

A tanár köszöntése, a tanulók órára való felkészültségének ellenőrzése.

2. Tudásfrissítés. ( hallgatók frontmunkája).

A tanulókat az alábbi feladatok szóban való teljesítésére kérjük:

1. Fogalmazzon meg elegendő feltételt a függvény invertálhatóságához!

2. Azon függvények között, amelyek grafikonjai az ábrán láthatók, jelölje meg azokat, amelyek reverzibilisek.

3. Fogalmazzon meg egy algoritmust egy adott függvény inverzének fordítására!

4. Vannak-e az adatokkal fordított függvények? Ha igen, keresse meg őket:

a) ; b ) ; c ) .

5. Inverzek-e egymással azok a függvények, amelyek grafikonjai az ábrán láthatók (6. ábra)? Indokolja a választ.

Rizs. 6

3. A tanult anyag konszolidálása (problémamegoldás).

A vizsgált anyag konszolidálása két szakaszból áll:

A tanulók egyéni önálló munkája;

Egyéni munka eredményeinek összegzése.

Az első szakaszban a tanulók kártyákat kapnak olyan feladatokkal, amelyeket önállóan hajtanak végre.

1. Feladat.

A függvény megfordítható a teljes definíciós tartományban? Ha igen, akkor keresse meg a fordítottját.

a) ; b) ; c).

2. feladat.

A függvények fordítottak-e egymással:

a) ;

b ) .

3. feladat.

Tekintsük a függvényt a megadott intervallumok mindegyikén, ha a függvény ezen az intervallumon invertálható, akkor állítsa be analitikusan az inverzét, jelezze a definíciós tartományt és az értéktartományt:

a ) R ; b ) ; d ) [-2;0].

4. feladat.

Bizonyítsuk be, hogy a függvény irreverzibilis. Keresse meg a vele fordított függvényt az intervallumon, és ábrázolja a grafikonját.

5. feladat.

Ábrázolja a függvényt, és határozza meg, hogy van-e inverz függvénye. Ha igen, akkor ábrázolja az inverz függvényt ugyanazon a rajzon, és állítsa be analitikusan:

a ) ; b ) .

A tanulók egyéni munkájának eredményeinek összegzésének szakaszában a feladatokat csak a köztes eredmények rögzítésével ellenőrzik. A legtöbb nehézséget okozó problémákat vagy a megoldáskeresés feltárásával, vagy a teljes megoldás feljegyzésével veszik figyelembe a táblán.

4. A lecke összegzése (reflexió).

A diákoknak egy mini kérdőívet kínálnak:

Mi tetszett az órán?______________________________

Mi nem tetszett a leckében? ___________________________________

_________________________________________________________________

Válassza ki az Ön számára legmegfelelőbb állítást:

1) Önállóan meg tudom vizsgálni a függvényt a reverzibilitás szempontjából, meg tudom építeni az inverzt, és biztos vagyok benne, hogy az eredmény helyes.

2) Meg tudom vizsgálni a függvényt megfordíthatóságra, felépíteni az inverzetet, de nem mindig vagyok biztos az eredmény helyességében, szükségem van a társaim segítségére.

3) Gyakorlatilag nem tudom a reverzibilitás függvényét vizsgálni, az inverzt megépíteni, további tanácsra lenne szükségem a tanártól.

Hol tudom alkalmazni a megszerzett tudást?____________________ ______________________________________________________________________

5. Házi feladat beállítása.

№ 10,3, 10,6 (c, d), 10,7 (c, d), 10,9 (c, d), 10,13 (c, d), 10,18.Mordkovich, A.G. Algebra és a matematikai elemzés kezdete 10. évfolyam. 14 órakor 2. rész. Feladatfüzet oktatási intézmények tanulói számára (profilszint) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2014. - 384 p.)

Kölcsönösen inverz függvények és grafikonjaik

(a lefedett anyag általános ismétlése)

A grafikonok közül melyik felel meg a függvény grafikonjának y=x 3 van ennek hátoldala?

A grafikonok közül melyik felel meg a függvény grafikonjának, van-e inverze?

A grafikonok közül melyik felel meg a grafikonnak

Van ennek fordított funkciója?

Melyik gráf felel meg a függvénynek?

1. csoport: válasz a) indokolja meg, miért!

Milyen függvénynek felel meg a grafikon? 1 . y \u003d x 3 2. 3. y \u003d x 4 4. y \u003d x -2 5. 6. y = x -1

a függvény grafikonján

D(y)=(-:0) U(0;+)

Határozza meg ennek hatókörét

a függvény grafikonján

Adja meg az adott tartományát a függvény grafikonján

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Keress egy függvényt, amely inverz egy adott függvényhez nál nél = g ( x )

Ha a (2) függvény inverze az (1) függvényhez, akkor az ilyen függvényeket kölcsönösen inverzeknek nevezzük.

Keresse meg ezeknek a függvényeknek a definíciós tartományát és értékkészletét.

• D (y) \u003d (- ∞ ;2) ∪ (2; + ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (y) \u003d (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Az inverz függvény tartománya g(x) egybeesik az eredeti értékkészletével funkciókat f ( x ), és az inverz függvény értékkészlete g(x) egybeesik az eredeti függvény tartományával f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

• A monoton függvény visszafordítható:

• ha funkció f (x) növekszik, akkor az inverz függvénye g (x) szintén növekszik;
• Ha a funkció f (x) csökken, akkor az inverz függvénye g (x) is csökken.

Adott: y = x 3

Szerkesszük meg ennek a függvénynek a grafikonját, fejezzük ki egy adott függvény inverz függvényének képletét és ábrázoljuk a grafikonját.

3. Ha a függvénynek van inverze, akkor az inverz függvény grafikonja szimmetrikus a függvény grafikonjával az y \u003d x egyeneshez képest.

Készítsen egy függvény grafikonját egy adott függvényhez képest.

Önálló munka tanítása

II lehetőség

I lehetőség

• Keresse meg az adott függvény inverzét:

2. Keresse meg a definíciós tartományt és a függvény értékkészletét, amely inverz az adott értékkel:

3. Szerkessze meg a függvény grafikonját az adott függvényre fordítottan:

II lehetőség

I lehetőség

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

Házi feladat:

megoldani No. 579, No. 576 (c, d

tetszés szerint 581. sz. (1,2)

• A lecke során megtanultam………………………….
• Az órán érdekelt………………………
• Bonyolult volt ………………………………………….
• Az órán megszerzett tudást hasznosítani tudom ……………………………………………

Ref e x i s :

Az óra céljai:

Nevelési:

• a programanyagnak megfelelően új témában ismereteket formálni;
• egy függvény invertibilitási tulajdonságának tanulmányozása és egy adott függvény inverzének megtanítása;

Fejlesztés:

• fejleszteni az önkontroll készségeket, a tárgyi beszédet;
• elsajátítani az inverz függvény fogalmát és megtanulni az inverz függvény megtalálásának módszereit;

Nevelés: kommunikációs kompetencia kialakítása.

Felszerelés: számítógép, projektor, vetítővászon, SMART Board interaktív tábla, szóróanyag (önálló munka) csoportos munkához.

Az órák alatt.

1. Szervezeti mozzanat.

Cél – a tanulók felkészítése az osztálytermi munkára:

A hiányzó definíciója,

A tanulók munkához való hozzáállása, figyelemszervezése;

Üzenet az óra témájával és céljával kapcsolatban.

2. A tanulók alapismereteinek felfrissítése. első szavazás.

Cél - a tanult elméleti anyag helyességének, tudatosságának megállapítására, a lefedett anyag ismétlődésére.<Приложение 1 >

A függvény grafikonja az interaktív táblán látható a tanulók számára. A tanár megfogalmazza a feladatot - vegye figyelembe a függvény grafikonját, és sorolja fel a függvény vizsgált tulajdonságait. A hallgatók felsorolják egy függvény tulajdonságait a kutatási terv szerint. A tanár a függvény grafikonjától jobbra felírja a megnevezett tulajdonságokat egy markerrel az interaktív táblára.

Funkció tulajdonságai:

A tanulmány végén a tanár beszámol arról, hogy ma az órán megismerkednek a funkció egy további tulajdonságával - a visszafordíthatósággal. Az új anyagok értelmes tanulmányozása érdekében a tanár felkéri a gyerekeket, hogy ismerkedjenek meg azokkal a fő kérdésekkel, amelyekre a tanulóknak az óra végén meg kell válaszolniuk. A kérdéseket egy közönséges táblára írják, és minden tanulónak van egy szóróanyaga (az óra előtt szétosztva)

1. Mi az a reverzibilis függvény?
2. Minden funkció visszafordítható?
3. Mi az inverz adott függvény?
4. Hogyan függ össze egy függvény definíciós tartománya, értékkészlete és inverz függvénye?
5. Ha a függvényt analitikusan adjuk meg, hogyan definiáljuk az inverz függvényt egy képlettel?
6. Ha egy függvényt grafikusan adunk meg, hogyan ábrázoljuk az inverz függvényét?

3. Új anyag magyarázata.

Cél - a programanyagnak megfelelően új témában ismereteket formálni; egy függvény invertibilitási tulajdonságának tanulmányozása és egy adott függvény inverzének megtanítása; témát dolgozzon ki.

A tanár az anyag bemutatását a bekezdés anyagának megfelelően vezeti. Az interaktív táblán a tanár összehasonlítja két olyan függvény grafikonját, amelyek definíciós tartománya és értékkészlete megegyezik, de az egyik függvény monoton, a másik nem, így a tanulók az invertálható függvény fogalma alá kerülnek. .

A tanár ezután megfogalmazza az invertálható függvény definícióját, és az interaktív táblán lévő monoton függvénygráf segítségével bizonyítja az invertálható függvénytételt.

1. definíció: Az y=f(x), x X függvényt meghívjuk megfordítható, ha valamelyik értékét az X halmaznak csak egy pontjában veszi fel.

Tétel: Ha az y=f(x) függvény monoton az X halmazon, akkor invertálható.

Bizonyíték:

1. Hagyja a függvényt y=f(x)-vel nő x hadd menjen x 1 ≠ x 2- a halmaz két pontja x.
2. A határozottság kedvéért hagyjuk x 1< x 2.
   Akkor miből x 1< x 2 ezt követi f(x 1) < f(x 2).
3. Így az argumentum különböző értékei a függvény különböző értékeinek felelnek meg, pl. a funkció reverzibilis.

(A tétel bizonyítása során a tanár minden szükséges magyarázatot a rajzon markerrel elkészít)

Az inverz függvény definíciójának megfogalmazása előtt a tanár megkéri a tanulókat, hogy határozzák meg, melyik javasolt függvény reverzibilis? Az interaktív tábla függvénygrafikonokat jelenít meg, és számos analitikusan definiált függvényt írunk:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

A tanár bemutatja az inverz függvény definícióját.

2. definíció: Legyen egy invertálható függvény y=f(x) a készleten meghatározott xés E(f)=Y. Párosítsuk mindegyiket y tól től Y akkor az egyetlen értelme x, ahol f(x)=y. Ekkor kapunk egy függvényt, amelyen van definiálva Y, a x a függvény tartománya

Ezt a funkciót jelöljük x=f -1 (y)és a függvény inverzének nevezzük y=f(x).

A hallgatókat arra kérik, hogy vonjanak le következtetést a definíciós tartomány és az inverz függvények értékkészlete közötti kapcsolatról.

Annak a kérdésnek a mérlegeléséhez, hogy hogyan találjuk meg egy adott inverz függvényét, a tanár két diákot vont be. Előző nap a gyerekek azt a feladatot kapták a tanártól, hogy önállóan elemezzék az inverz adott függvény megtalálásának analitikai és grafikus módszereit. A tanár tanácsadóként működött közre a tanulók leckére való felkészítésében.

Üzenet az első diáktól.

Megjegyzés: egy függvény monotonitása az elegendő inverz függvény létezésének feltétele. De nem szükséges feltétel.

A hallgató példákat hozott különböző helyzetekre, amikor a funkció nem monoton, hanem reverzibilis, amikor a funkció nem monoton és nem reverzibilis, amikor monoton és reverzibilis.

Ezután a hallgató megismerteti a hallgatókkal az analitikusan megadott inverz függvény megtalálásának módszerét.

Algoritmus keresése

1. Ügyeljen arra, hogy a funkció monoton legyen.
2. Fejezd ki x-et y-val.
3. Változók átnevezése. Az x \u003d f -1 (y) helyett y \u003d f -1 (x)

Majd megold két példát, hogy megtalálja az adott inverzének függvényét.

1. példa: Mutassuk meg, hogy van inverz függvény az y=5x-3 függvényre, és keressük meg annak analitikai kifejezését.

Döntés. Az y=5x-3 lineáris függvény R-en van definiálva, R-n növekszik, és tartománya R-en van. Így az inverz függvény létezik R-en. Az analitikus kifejezésének megtalálásához az y=5x-3 egyenletet oldjuk meg x; kapunk Ez a kívánt inverz függvény. R határozza meg és növeli.

2. példa: Mutassuk meg, hogy van inverz függvény az y=x 2 , x≤0 függvényre, és keressük meg annak analitikai kifejezését.

A függvény folytonos, definíciós tartományában monoton, ezért invertálható. A definíciós tartományok és a függvény értékkészletének elemzése után megfelelő következtetést vonunk le az inverz függvény analitikai kifejezéséről.

A második tanuló prezentációt tart kb grafikus hogyan találjuk meg az inverz függvényt. Magyarázata során a tanuló az interaktív tábla lehetőségeit használja.

Ahhoz, hogy az y=f -1 (x) függvény grafikonját az y=f(x) függvényre fordítottan megkapjuk, az y=f(x) függvény grafikonját az egyeneshez képest szimmetrikusan kell átalakítani. y=x.

Az interaktív táblán történő magyarázat során a következő feladatot hajtjuk végre:

Szerkesszük meg egy függvény gráfját és inverz függvényének grafikonját ugyanabban a koordinátarendszerben. Írjon fel egy analitikus kifejezést az inverz függvényre.

4. Az új anyag elsődleges rögzítése.

Cél - a tanult anyag megértésének helyességének, tudatosságának megállapítása, az anyag elsődleges megértésében a hiányosságok azonosítása, javítása.

A tanulókat párokra osztják. Lapokat kapnak feladatokkal, amelyekben párban dolgoznak. A munka elvégzésének ideje korlátozott (5-7 perc). Egy tanulópár dolgozik a számítógépen, a projektor erre az időre ki van kapcsolva, a többi gyerek pedig nem látja, hogyan dolgoznak a számítógépen.

Az idő végén (feltételezzük, hogy a tanulók többsége elvégezte a munkát) az interaktív tábla (a projektor újra bekapcsol) mutatja a tanulók munkáját, ahol a teszt során tisztázódik, hogy a feladatot párok. Szükség esetén a tanár javító, magyarázó munkát végez.

Önálló munka párban<2. melléklet >

5. Az óra eredménye. Az előadás előtt feltett kérdésekről. Az óra érdemjegyeinek kihirdetése.

Házi feladat 10. §. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Az algebra és az elemzés kezdetei. 10. évfolyam 2 részben oktatási intézmények számára (profilszint) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova és mások; szerk. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007