átirat

1 AZ OROSZORSZÁG OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA Szövetségi Állami Költségvetési Felsőoktatási Intézmény "Togliatti Állami Egyetem" Matematikai, Fizikai és Információtechnológiai Intézet "Algebra és Geometria" Tanszék L A V R S K A Y A B O T A Oktatási irány: Pedagógiai szakképzés előkészítési iránya: ): Matematika és számítástechnika hallgató V.V. Nazarov Tudományos témavezető: Ph.D., prof. R.A. Uteeva Védőfelvétel Tanszékvezető: a pedagógiai tudományok doktora, prof. R.A. Uteeva 016 Togliatti - 016

2 TARTALOM BEVEZETÉS... I. FEJEZET A „NÉGYGYÖKEK” TÉMA TANÍTÁSÁNAK MÓDSZERTANI RENDSZERE AZ ALGEBRA TANFOLYAMATBAN A „Négyzetgyökök” témakör oktatásának főbb céljai és célkitűzései a főiskolai algebra tanfolyamon iskolák A "Négyzetgyökök" téma oktatásának formái, módszerei és eszközei az alapiskolai algebra során ... 5 Következtetés az I. fejezethez ... II. FEJEZET. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK AZ ALGEBRA TANFOLYAM "NÉGYGYÖKÖK" TÉMA SZERVEZÉSÉHEZ Feladatok a "Négygyökök" témakörben, az alapismeretek és készségek alapszintjére fókuszálva a főiskolai algebra során Feladatok a "négyzetgyökök" témában, melynek középpontjában a végső minősítésre való felkészülés és az OGE átadása matematikából Konklúzió a II. fejezethez A HASZNÁLT IRODALOM KÖVETKEZTETÉSI LISTÁJA ...

3 BEVEZETÉS A tanulmány relevanciája. A „Négygyökök” témakör az alapiskola iskolai algebra tantárgyának egyik hagyományos témája. A ben szerzett számok tanulmányozása a tanulók 6. osztályos matematika racionális tantárgyi ismereteire és készségeire épül. A racionális számokkal végzett műveletek készségeinek fejlesztése a 7. osztályos algebra tanfolyamon történik. A "Négyzetgyökök" témakör tanulmányozásának jelentősége és helye a 8. osztályos algebratanfolyamon a racionális számok halmazának további bővítésének és az irracionális számok bevezetésének szükségességéhez kapcsolódik. Motivációul szolgálhat a téma tanulmányozására az a jól ismert gyakorlati probléma, hogy egy négyzet adott területe szerinti oldalát (oldalhosszát) keressük, amelynek megoldására a korábban ismert számok nem elegendőek. Emellett számos geometriai feladat, fizika, kémia és biológia probléma megoldása során szükségessé válik a négyzetgyököt tartalmazó egyenletek megoldása. Ezért fontos ismerni a négyzetgyökkel végzett műveletek szabályait, és megtanulni az ezeket tartalmazó kifejezések átalakítását. Térjünk át a négyzetgyök fogalmának és jelölésének történetére, amelyet az alábbi források alapján állítottunk össze. n Az x és x négyzetgyökjelének modern formája nem jelent meg azonnal. A gyökjel evolúciója közel öt évszázadig tartott, a 13. századtól kezdve, amikor az olasz és néhány európai matematikus először nevezte a négyzetgyököt latin Radix (gyök) szónak vagy rövidítve R. A 15. században. N. Schücke 1 helyett R 1-et írt. A modern gyökjel a 15-16. századi német matematikusok elnevezéséből származik, akik az algebrát a "Koss" tudományának, a matematikus-algebraisták pedig "kossist"-nak nevezték. (A 12-15. századi matematikusok minden művüket kizárólag latinul írták. Az ismeretlent res-nek (dolog) nevezték el.

4 olasz matematikus a res szót cosa-nak fordította. Az utolsó kifejezést a németek kölcsönözték, akiktől megjelentek a kosszisok és a kossz.) A XV. néhány német cossist egy pontot használt egy kifejezés vagy szám előtt a négyzetgyök jelzésére. A kurzív írásban ezeket a pontokat kötőjelek helyettesítették, majd később szimbólummá alakultak. Az egyik ilyen jel a szokásos négyzetgyököt jelentette. Ha meg kellett jelölni a negyedik fok gyökerét, akkor kettős jelet használtak. Csak kitalálni kell, hogyan jelölték meg pontosan a nyolcadik fok gyökerét. Ha a negyedik fokkal vesszük az analógiát, akkor ennek a jelnek a négyzetgyök háromszoros kivonását kellett volna azonosítania, vagyis ehhez három négyzetet kellett beállítani. Ezt a jelölést azonban a kockagyök veszi fel. Valószínűleg később az ilyen megjelölésekből alakult ki az V jel, amely írásban közel áll az iskolások számára ismerős modern jelhez, de a felső vonal nélkül. Ezt a jelet először a német algebrában látták "Gyönyörű és gyors számolás ügyes algebrai szabályok segítségével." Ennek a munkának a szerzője egy bécsi matematikatanár volt, aki Csehországból származott, Krishtof Rudolf. A könyv nagy sikert aratott, és a 16. század során folyamatosan újranyomták. és utána egészen 1615-ig. A Krishtof által javasolt gyökjelet A. Girard, S. Stevin használta (a gyökkitevőt a kör jelétől jobbra írta: V () vagy V (). 166-ban A. Girard holland matematikus módosította a Rudolf gyökér jelét, és bevezette a mai elnevezéshez nagyon közel állót, ez az írásforma kezdte felváltani a korábbi R jelet, de egy ideig a gyökjelet a felső vonal megszakításával írták, nevezetesen: a + b. És csak 167-ben Rene Descartes egy pipával kötötte össze a vízszintes vonalat, új elnevezést használva a „Geometria” című könyvében. De még itt sem volt pontos másolata a modern formának. Descartes feljegyzése némileg különbözött a miénktől szokott, egy részletben. Neki 4 van

5-öt írták: C + 1 q qq p, ahol a közvetlenül a gyök után elhelyezett C betű a kockagyök jelölését jelezte. Modern formájában ez a kifejezés így nézne ki: C + 1 q q p. A radikális modern írásmódjához legközelebb állót Newton használta "Universal Aithmetic" (1685) című művében. Csak valamivel a megírása után a bolygó matematikusai végre elfogadták a négyzetgyök egyetlen és végleges rögzítési formáját. Kutatási probléma: milyen módszertani sajátosságai vannak a „Négygyökerek” téma iskolai oktatásának? 5 a 8. évfolyam algebra tantárgya során a fő A kutatás tárgya az alapiskola tanulóinak algebra tanításának folyamata. A kutatás tárgya a „Négygyökerek” témakör oktatásának módszertani rendszere. Az alapképzés célja a „Négygyökerek” témakör oktatásának módszertani rendszerének feltárása. Kutatási célok: 1. A főiskola algebra (a módszertani rendszer célkomponense) során a "Négygyökök" téma tanításának fő céljainak és célkitűzéseinek meghatározása. A téma oktatásának különböző formái, módszerei és eszközei " Négyzetgyökök" a főiskola algebrai kurzusában (szervezeti

a módszertani rendszer 6 összetevője). 4. Módszertani ajánlások megfogalmazása a „Négygyökök” témakör oktatásához. Kutatási módszerek: tudományos és módszertani irodalom elemzése, matematikai programok, algebrai iskolai tankönyvek kutatási témájában, az anyag elemzése, rendszerezése és általánosítása. A munka gyakorlati jelentősége abban rejlik, hogy módszertani rendszert mutat be a „Négygyökök” témakör oktatásához a főiskola algebrai kurzusában, és olyan módszertani ajánlásokat fogalmaz meg, amelyeket a matematikatanárok, valamint a főiskolai hallgatók is használhatnak. tanítási gyakorlat időszaka az iskolában. A főiskolai munka bemutatott eredményei és következtetései alapul szolgálhatnak a „négyzetgyökerek” témakör hallgatóinak oktatásának módszertanának továbbfejlesztéséhez. Védésre bocsátják: a „Négygyökök” témakör oktatásának módszertani rendszere a főiskolai algebra során. Munka szerkezete. A főiskolai munka bevezetőből, két fejezetből, következtetésből, irodalomjegyzékből áll. 6

7 I. FEJEZET A "NÉGYGYÖKÖK" TÉMA TANÍTÁSÁNAK MÓDSZERTANI RENDSZERE AZ ALGEBRÁK ALATT AZ ALGEBRA TANFOLYAMATBAN 1. A "Négyzetgyökök" témakör oktatásának fő céljai és célkitűzései a főiskolai tantárgyi algebra során " A matematikának" biztosítania kell a következőket: 1) a matematikáról, mint a valóság megismerésének módszeréről alkotott elképzelések kialakítása, amely lehetővé teszi a valós folyamatok és jelenségek leírását és tanulmányozását;) az oktatási matematikai szöveggel való munkavégzés képességeinek fejlesztését (elemzése, kinyerése). szükséges információkat), pontosan és hozzáértően fejezze ki gondolatait matematikai terminológiával és szimbolikával, végezzen osztályozást, racionalizálást, matematikai állítások bizonyítását;) számokkal és számrendszerekkel kapcsolatos elképzelések kialakítása a természetes számoktól a valós számokig; a szóbeli, írásbeli, műszeres számítások készségeinek elsajátítása; 4) az algebra szimbolikus nyelvének elsajátítása, a kifejezések azonos transzformációinak végrehajtására szolgáló módszerek, egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségrendszerek megoldása; az algebra nyelvén való valós helyzetek modellezésének, a megszerkesztett modellek feltárásának az algebra apparátusával, az eredmény értelmezésének képessége; A matematika programban a szerző a következő célokat és célkitűzéseket határozza meg a "Négyzetgyökök" téma tanulmányozásához: A racionális számok halmazának bővítése, az irracionális és valós számok fogalmának bevezetése, a négyzetgyökök és a velük végzett műveletek tanulmányozása. 7

8 A téma tanulmányozása eredményeként a tanulóknak ismerniük kell: 1. Periodikus és nem periodikus végtelen tizedes törtek meghatározása.. Az y \u003d x függvény, tulajdonságai és grafikonja. számtani négyzetgyökök. 5. Valós, racionális és irracionális számok halmaza. A téma tanulmányozása eredményeként a tanulók legyenek képesek: 1. A közönséges törtek tizedesjegyekké alakítására és fordítva.. Valós, racionális és irracionális számok összehasonlítására.. Legyenek képesek az y=x függvény grafikonjaira. 4. Hozza be és vegye ki a faktort a gyökér jele alól. 5. Végezzen műveleteket négyzetgyökökkel. A matematika programban a szerző a következő célokat és célkitűzéseket határozza meg a "Négyzetgyökök" téma tanulmányozásához (Makarichev tankönyvéhez): Rendszerezze a racionális számokkal kapcsolatos információkat, és képet ad az irracionális számokról, ezáltal bővítve a szám fogalmát; fejlessze a négyzetgyököt tartalmazó kifejezések egyszerű transzformációjának képességét. A téma tanulmányozása eredményeként a tanulóknak ismerniük kell: 1. Természetes, egész, racionális, irracionális és valós számokat Egy szám modulusa a.. A aritmetikai négyzetgyök és tulajdonságai. 4. Az y= x függvény, tulajdonságai és grafikonja. A téma tanulmányozása eredményeként a tanulók legyenek képesek: 1. Megoldani a legegyszerűbb másodfokú egyenleteket. 8

9. Hozza be és vegye ki a faktort a gyök jele alól. Keresse meg a négyzetgyök közelítő értékeit. 4. Vonjuk ki egy szám hatványának négyzetgyökét! 5. Irracionális kifejezések átalakítása. A matematika programban a szerző a következő célokat és célkitűzéseket határozza meg Alimov tankönyvében a "Négyzetgyökök" téma tanulmányozásához: Rendszerezze a racionális számokkal kapcsolatos információkat, és képet ad az irracionális számokról, ezáltal bővítve a szám fogalmát; fejlessze a négyzetgyököt tartalmazó kifejezések egyszerű transzformációjának képességét. A téma tanulmányozása eredményeként a tanulóknak ismerniük kell: 1. Az aritmetikai négyzetgyök fogalmát .. Valós számok A téma tanulmányozása eredményeként a hallgató képes legyen megtalálni a fok, a szorzat és a tört négyzetgyökét. S. Minaeva cikkében [, 4-7. o.] megjegyzik, hogy a "Négyzetgyökök" szakasz tanulmányozásának célja a következő: megtanítani, hogyan kell végrehajtani a négyzetgyököt tartalmazó kifejezések transzformációját; négyzet- és kockagyök példáján alkossa meg a kezdeti elképzeléseket az n-edik fok gyökéről! Az alapfokú általános műveltség 015. április 8-án kelt példaértékű alapképzési programja kimondja, hogy a végzősnek a 8. évfolyamon kell tanulnia (a mindennapi életben való felhasználásra, más tantárgyak tanulása során, az alapfokú sikeres továbbtanulás lehetőségének biztosítására): 1 Alapszintű fogalmak kezelése: természetes szám, egész szám, közönséges tört, tizedes tört, vegyes tört, racionális szám, aritmetikai négyzetgyök Becsülje meg a pozitív egész szám négyzetgyökének értékét. 9

10 . A racionális és irracionális számok felismerése. 4. Hasonlítsa össze a számokat. 5. Értse a szám szabványos formában történő írásának jelentését! 6. Oldjon meg másodfokú egyenleteket a másodfokú egyenlet gyökeinek képletével! 7. Ábrázolja az egyenlőtlenségek megoldásait és rendszereiket a valós egyenesen! A végzősnek lehetősége lesz a 8. évfolyamon tanulni az alap- és emelt szintű sikeres továbbtanulás lehetőségének biztosítása érdekében: 1. Működjön fogalmakkal: természetes számok halmaza, egész számok halmaza, racionális számok halmaza, az irracionális szám, a négyzetgyök, a valós számok halmaza, a természetes számok geometriai értelmezése, egész, racionális, valós számok. Számítások elvégzése, beleértve a racionális számítási módszereket is. Racionális és irracionális számok összehasonlítása. 4. Egy racionális számot ábrázoljon tizedes törtként! 5. Hajtsa végre a négyzetgyököt tartalmazó kifejezések transzformációit. 6. Jelölje ki a négyzetgyököt tartalmazó kifejezésekben a binomiális összegének vagy különbségének négyzetét A „Négyzetgyök” témakör tanításának módszertani elemzése az alapiskolai algebra tanfolyamon Alapfokú (a matematika 5 iskolai tantárgyból ismert) -6 algebra 7 osztály) ismeretek: a racionális szám fogalma; a racionális számok halmazának fogalma és jelölése; 10 és természetesen

11 alapművelet (művelet) racionális számokkal; függvény y = x. Új (bevezetett) tudás: egy szám négyzetgyökének fogalma; a számtani négyzetgyök fogalma; a számtani négyzetgyök tulajdonságai; faktor behelyezése és eltávolítása a gyökér jele alól; négyzetgyökös műveletek. A „Négyzetgyökök” témakör tartalmi elemzését a különböző 8. osztályos algebrai tankönyvekben az 1-4. táblázat mutatja be. A tankönyvben Yu.N. Makarycheva több órát szán a „Négyzetgyökerek” szakasz tanulmányozására, mint más órákban, a teljes rész 4 bekezdésre oszlik. A négyzetgyök közelítő megállapításának tanulmányozásának témáját érinti, de a periodikus tizedes törtek témakörét kihagyjuk. A tankönyvben G.K. Muravina és O.V. Muravina valamivel kevesebb, mint 18 órát szánt a „négyzetgyökök” rovatra, a rész bekezdésekből áll, a periodikus tizedes törtek témakörét érinti, de közelítő négyzetgyök-lehetőség nincs. Nikolsky tankönyvében a „Négyzetgyökerek” rész csak egy bekezdésből és 5 pontból áll, sok téma és fogalom nincs bemutatva. A tankönyvben G.V. Dorofejev a Pitagorasz-tételnek szentelt egy témát, amely a fentiekből hiányzik. A kockagyökér tanulmányozását is érintjük itt. A rész tanulmányozása minden tankönyvben valós és irracionális számokkal kezdődik, de minden szerzőnek megvan a maga megközelítése. Ezután következik magának a négyzetgyöknek és az aritmetikai négyzetgyöknek, a tulajdonságoknak és a rájuk vonatkozó műveleteknek a tanulmányozása. tizenegy

12 A tankönyv szerzői Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov Fejezetek és bekezdések címei 4. Valós számok 9. Racionális számok 10. Irracionális számok 5. Aritmetikai négyzetgyök 11. Négyzetgyök. Aritmetikai négyzetgyök. 1. Egyenlet x = a. 1. A négyzetgyök közelítő értékeinek meghatározása. 14. y= x függvény és grafikonja. 6. A számtani négyzetgyök tulajdonságai. 15. A szorzat és a tört négyzetgyöke. 16. Hatvány négyzetgyöke. 7. A számtani négyzetgyök tulajdonságainak alkalmazása 17. A faktor eltávolítása a gyök jele alól. Szorzó beírása a gyökér jele alá. 18. Négyzetgyököt tartalmazó kifejezések transzformációja. 1. táblázat Óraszám Összesen táblázat A tankönyv szerzői G.K. Muravin, K.S. Muravin, O.V. Muravina Fejezetek és bekezdések címei 5. Valós számok 14. Racionális és irracionális számok. 15. Periodikus és nem periodikus végtelen tizedes törtek. 6. Négyzetgyökerek. 16. y=x függvény és grafikonja. 17. A négyzetgyök fogalma. 18. A számtani négyzetgyök tulajdonságai. 19. Tényező beillesztése és eltávolítása a gyökér jele alól. 0. Műveletek négyzetgyökkel. Óraszám Összesen 18 Táblázat Tankönyvszerzők S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin Fejezetek és bekezdések címe. Négyzetgyökök.1 A négyzetgyök fogalma.. Számtani négyzetgyök.. A természetes szám négyzetgyöke..4 ​​A négyzetgyök közelítő számítása..5 A számtani négyzetgyök tulajdonságai. 1

13 4. táblázat A tankönyv szerzői Fejezetek és bekezdések címe Óraszám G.V. Dorofejev .1 A négyzet oldalának megtalálásának problémája. Irracionális számok. Pitagorasz-tétel.4 Négyzetgyök (algebrai megközelítés).5 Négyzetgyök tulajdonságai.6 Négyzetgyököt tartalmazó kifejezések átalakítása.7 Kockagyök Összesen 18 A „Négyzetgyök” témakör tanulmányozása a szerzők 8. évfolyamának algebrai tankönyve alapján Muravins. Az elején megadjuk a racionális számok halmazának kiterjesztését, bemutatjuk az irracionális és a valós szám fogalmát, megvizsgáljuk a közönséges törtről a tizedesre és fordítva. A racionális és irracionális számok számára órákat kell lefoglalni A 14. „Racionális és irracionális számok” bekezdésben ismertetjük előfordulásuk történetét és a téma tanulmányozásának célját. A definíciókat példák, a szakaszok hosszának arányai alapján adjuk meg. 1. definíció: ha két szegmensnek van olyan közös mértéke, amely az egyik szegmensbe m-szer, a másikba n-szer illeszkedik, akkor m, n arányuk racionális szám. Az irracionális szám definícióját az 1. példa tartalmazza: 1. példa: d = (m n) =. Ezért (m n) =. Az egyenlőség bal oldalán lévő tört nevezője eltér egytől, ezért ahhoz, hogy a tört egész számmal egyenlő legyen, n-gyel kell csökkenteni. De az m és az n természetes számoknak nincs közös osztójuk, így a négyzetüknek sincs közös osztója. Ennélfogva az m = egyenlőség hamis, azaz. a d szám nem tört. n 1

14 A példa bebizonyította, hogy a d szám nem racionális szám, ami azt jelenti, hogy egy négyzet átlójának nincs közös mértéke az oldalával, a d szám irracionális szám. A következő bekezdés a periodikus és nem periodikus törtekkel foglalkozik, bemutatjuk a periódus fogalmát, és alátámasztjuk a korszak fordításban való megjelenésének elkerülhetetlenségét. Ennek a pontnak az 1. részét szenteljük, A 15. bekezdésben a periodikus és nem periodikus tizedes törteket tanulmányozzuk, és a racionális és irracionális számok közelítő gyökének megtalálását tárgyaljuk. Ezután a vizsgált példák segítségével megadjuk a véges és végtelen tizedes törtek definícióit. Példa: Fordítsuk le az 1-et tizedes törtté, kiderül: 0, A rekordban végtelenül ismétlődő számot pontnak nevezzük, magát a törtet pedig periodikusnak. 1. tulajdonság: bármely racionális szám ábrázolható végtelen decimális periodikus törtként (a fordítottja is igaz). Definíció: Bármely irracionális szám végtelen, nem periodikus tizedes törtként van felírva, és minden végtelen nem periodikus tizedes tört irracionális szám. Definíció: A végtelen periodikus tizedes racionális szám, a végtelen nem periodikus tizedes pedig irracionális szám. Ezt követően közvetlenül a „négyzetgyökerek” téma tanulmányozására kell áttérni. A tanulmány az „Y=x függvény és grafikonja” bekezdéssel kezdődik. A függvényekkel és grafikonokkal kapcsolatos anyagok ismétlődnek. Az óra hozzárendelése Először az y=x függvény grafikonját a derékszögű koordinátarendszerben pontok szerint ábrázoljuk, megvizsgáljuk, és megadjuk a gráf nevét: 4. definíció: az y=x függvény grafikonja parabolának hívják. 14

15 A négyzetgyök fogalmára való áttérés az x \u003d a másodfokú egyenlet megoldásán keresztül történik, azt állítja, hogy ez a módszer lehetővé teszi a kifejezés természetének magyarázatát. A következő 17 bekezdésben a négyzetgyök fogalmát vezetjük be. 5. definíció: Az x = a egyenlet gyökeit a négyzetgyökeinek nevezzük. 6. definíció: Egy nem negatív számot, amelynek négyzete a, a számtani négyzetgyökének nevezzük, és a-val jelöljük. . Bemutatjuk a radikális jelét, és megadjuk keletkezésének történetét. Ezután a szerzők továbblépnek az aritmetikai négyzetgyök tulajdonságainak tanulmányozására, ezen a ponton kezdődik a kifejezések négyzetgyökkel történő átalakításának képessége. A 18. bekezdésben a számtani négyzetgyök tulajdonságai vannak megadva: Tulajdonság: Bármely számra a a \u003d a. Tulajdonság: Bármilyen nem negatív a és b szám esetén: ab= a b . Ezt követően tanulmányozzák és dolgozzák ki a szorzó bevezetésének és a gyökérjel alóli eltávolításának témáját. A munka négyzetgyökökkel folytatódik. Amint azt a szerzők megjegyzik, a tanulók nehézségekbe ütközhetnek a szó szerinti kifejezések konvertálása során, mert ebben a helyzetben a modulusjel elengedhetetlen, amikor a faktort kivesszük a gyökjel alól. A h hozzá van rendelve A 19. bekezdésben a faktor bevezetését és eltávolítását tanulmányozzuk a gyök jelének módozataiból, megadjuk a tulajdonságot: 4. tulajdonság: Nem negatív értékek esetén b a b= a * b= a * b . Ezután a szerzők áttérnek a négyzetgyökkel végzett műveletekre, ezen a ponton, főleg a numerikus kifejezések transzformációjában gyakorolva, 15

16 tanuló mélyíti el tudását ebben a témában. A tanulmány két részre osztható: 1. Számok négyzetgyökeivel való munka .. Szó szerinti kifejezések konvertálása. Egy ilyen vizsgálati modell nem határozza meg a tanulmányozás sorrendjét, elmondhatjuk, hogy a második rész, bár ebben a szakaszban hasznos, mégis a 9. osztályos anyag propedeutikáját végzi, ahol speciálisan a szó szerinti kifejezések gyökökkel való transzformációját vizsgálják. Kijelölt 4 óra. A 0-ban és az utolsó részben négyzetgyökös cselekvéseket tanulmányozunk. A korábban vizsgált tulajdonságokat felidézzük és felhasználjuk a numerikus kifejezések transzformációjában. Az ilyen cselekvések a következők: felszabadulás a nevező irracionalitásától, faktorizálás, a kifejezés egyszerűsítése. Összességében 19 órát szánnak a szerzők a rész tanulmányozására, minden szakasz után ellenőrző vagy önálló munka, a fejezet végén egy teszt következik. A "Négyzetgyökök" téma tanulmányozása az algebra tankönyve alapján a 8. osztályos szerző Yu.N. Makarycsev. A "Négyzetgyökök" fejezet tanulmányozása a valós számok ismétlésével kezdődik. Először is emlékeztetni kell a természetes számok halmazával, a természetes számok oszthatóságával kapcsolatos alapvető tudnivalókat és a témával kapcsolatos tipikus problémákat. Egy óra áll rendelkezésre, majd egy leckét tartunk az egész számokkal kapcsolatos alapvető információk megismétlésére és a tipikus problémák átgondolására, majd egy leckét a racionális számok halmazáról. Ezt követi egy lecke, amelyben az irracionális számok fogalma és a valós számok halmaza szerepel. A fent említett leckék elvégzése után 16

A négyzetgyök közvetlen tanulmányozása során egy leckét szentelünk a négyzetgyök és a számtani négyzetgyök fogalmának. Ezután a leckéket a legegyszerűbb másodfokú egyenletek x \u003d a megoldására fordítják, majd 1 leckét, amely a négyzetgyök közelítő értékeinek megtalálását vizsgálja. A következő leckék az y=x függvény, tulajdonságainak és grafikonjának figyelembevételével foglalkoznak. Az alábbiakban a számtani négyzetgyök tulajdonságainak tulajdonítható tanulságokat mutatjuk be. Az 1. leckében a szorzat és a tört négyzetgyökének tulajdonságait vizsgáljuk, a következő lecke a négyzetgyök kivonása egy szám hatványából. Ebben a szakaszban a szerző azt javasolja, hogy szenteljünk több leckét az ellenőrzési munkának és annak ellenőrzésének, majd térjünk át azokra a leckékre, amelyek az aritmetikai négyzetgyök tulajdonságainak alkalmazására vonatkoznak. 1 lecke a gyökérjel alóli szorzó hozzáadásának és eltávolításának készségeinek áttekintésére és gyakorlására. Ezután egy lecke, amely az irracionális kifejezések átalakításának alapvető technikáit tárgyalja. Összefoglalva, a szerző azt javasolja, hogy végezzenek egy végső tesztet a "négyzetgyökerek" témában. Összesen egy óra áll rendelkezésre ennek a résznek a tanulmányozására. És most nézzük meg S. Minaeva ajánlásait a négyzetgyök fogalmának bevezetéséről az algebrai órákban G.V. tankönyve szerint. Dorofejev a 8. osztályban: 1. A négyzet oldalának megtalálásának problémája (lecke) A négyzetgyök fogalmának bevezetéséhez a tárgyra jellemző értelmes megközelítést alkalmazzuk, kiemelve a motivációs és szemantikai szempontokat. Az anyagot a következőképpen mutatjuk be: a tanulók ismerik az S = a képletet, melynek segítségével a négyzet oldala mentén a, S területe kiszámítható; de a matematikában van egy képlet az a négyzet oldalának inverz problémájának megoldására a 17 szerint.

egy adott S terület 18-a, amely a következőképpen van felírva: a \u003d S. Az S szimbólum a négyzet oldalát jelöli, amelynek területe egyenlő S-vel. Ha például S \u003d 100, majd a \u003d 100. Mivel 100 \u003d 10, majd a \u003d 100 \u003d 10. Annak érdekében, hogy a tanulók megtanuljanak egy új szimbólumot, több ilyen típusú kérdést is fel lehet ajánlani: hagyja, hogy a \u200b terület a négyzet 81 m2 legyen: a szimbólum segítségével írja le a négyzet oldalának kifejezését; mekkora a négyzet oldala? A geometriai nyelvről az algebraira áttérve az S szimbólum jelentése a következőképpen írható le: S egy nemnegatív szám, melynek négyzete egyenlő S-vel. (A hosszt végül is nem lehet negatív számmal kifejezni! ) Így elérkeztünk egy „működő” megfogalmazáshoz, amelyet a négyzetgyök keresésekor fogunk használni. Felhívjuk a tanár figyelmét az S szimbólum olvasási módjára: az S négyzetgyökére. Az „aritmetika” jelző itt felesleges, mivel a téma ezen a pontján csak pozitív gyökekkel dolgozunk. A kifejezést azonban később használjuk.. Irracionális számok (lecke) Ebben a bekezdésben két szempont különböztethető meg: ideológiai és gyakorlati. Ideológiai rejlik az irracionális számok első megismerésében; praktikus - a "nem kivonható" gyökerek értékelésének képességének kialakításában, közelítő értékük megtalálásához becslés és számológép segítségével. A tanulók az irracionális számok bevezetésének szükségességéhez jutnak annak eredményeként, hogy megvizsgálják azt a már ismert problémát, hogy a négyzet oldalát a területe alapján találják meg. A tankönyvben a 10. ábrán két négyzet látható. Az egyik egyágyas, területe 1 nm. egységek A második négyzet oldalátlója az elsőnek, és a területe kétszer akkora. (Valóban, a kis négyzet két egyenlő háromszögből áll, a nagy pedig négy ilyen 18

19 háromszög.) Tehát a nagy négyzet területe négyzet. egységek Mekkora ennek a négyzetnek az oldala? Jelöljük a-val. A négyzetgyökjel segítségével felírhatjuk, hogy a=. Eddig a diákok csak a "kitermelhető" gyökerekkel foglalkoztak. Adnunk kell nekik pár percet, hogy ebben az esetben is megpróbálják kinyerni a gyökért, hogy megbizonyosodjanak arról, hogy az a \u003d 1 érték nem elég, és ha vesz egy \u003d, akkor ez már túl sok. ; megpróbálna felvenni egy tizedes törtet, és látni fogja, hogy az 1.4<, а 1,5 >. Ezután egy meglehetősen egyszerű bizonyítást adunk, hogy nincs sem egész, sem törtszám, amelynek négyzete egyenlő (a tankönyv 7. oldala). Így nincs olyan racionális szám, amely pontosan kifejezné a négyzetünk oldalának hosszát. Szeretném, ha a diákok felismernék azt a csodálatos felfedezést, amelyre az ókor matematikusai jutottak (van egy szegmens, de nincs hossza!), És azt is, hogy ez a tény lendületet adott a matematika fejlődésének (új számok bevezetésére volt szükség) !). A tanulóknak azt mondják, hogy a szám, amely egy négyzet oldalának hosszát fejezi ki, amelynek területe négyzet. egység, az úgynevezett irracionális számok osztályába tartozik: - ez egy pozitív irracionális szám, amelynek négyzete egyenlő, vagyis az egyenlőség () \u003d igaz. Képesnek kell lenniük más a alakú irracionális számok megnevezésére, és olyan transzformációk végrehajtására, mint (a) = a az a meghatározott pozitív értékeire, és mindkét irányban. Tehát az irracionális számokkal való első megismerkedés egy meglehetősen szűk célhoz tartozik: a négyzetgyökök tanulmányozásával kapcsolatban történik, és mindenekelőtt ennek a témának a szükségleteit biztosítja. A fent leírt információkon kívül (nevezetesen: a racionális számok között nincs olyan szám, amely egyenlő területű négyzet oldalának hosszát fejezné ki; a racionális számok mellett vannak ún. irracionális számok 19

20.; minden a alakú szám irracionális, ha a nem egy egész vagy tört szám négyzete), a tanulók megtanulják, hogy végtelenül sok eltérő természetű irracionális szám létezik (példa erre a z szám), hogy az irracionális számok negatívak legyenek, és a gyakorlatban (körülbelül) tizedes törtekkel helyettesítették őket. Az irracionális és valós számokról a 9. osztályos kurzus „második menetében” kapnak szilárdabb információkat a diákok. Az a alakú irracionális szám decimális közelítésének alapvető lehetőségének bemutatására a tankönyv egy értékelési módszert használ: közelítő értékeket találunk hiányos és többletekkel, egymást követő egész számokban kifejezve (vagyis pontossággal). 1), egymást követő tizedes törtek egy tizedesjegyig (azaz legfeljebb 0,1) stb. Ennek a módszernek az alapja a következő állítás: ha a és b pozitív számok, és a

21 A Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapcsolatban, amely a derékszögű háromszög befogójának hosszát annak lábai alapján számítja ki (1. példa a 84. oldalon), a tankönyv „Pitagorasz-hármasokat” említ. Vegyük észre, hogy bár végtelenül sok van belőlük, csak egy hármas van, amely egymást követő természetes számokból áll. Kívánatos, hogy az irracionális hosszúságú szakaszok (illetve egy koordinátaegyenes pontok irracionális abszcisszákkal) iránytűvel és vonalzóval történő felépítését ne csak a tankönyv szövege szerint elemezze (85. o.), hanem ténylegesen befejezze minden diák a füzetébe. Az ilyen munkát fel lehet ajánlani például házi feladatként. Figyelmeztetni kell a tanulókat, hogy a rajz legyen ügyes, elég nagy és könnyen „olvasható”. Elemezzük a tankönyvekben található problémaanyagot, és kiemeljük a „Négygyökerek” témakörben használt főbb problématípusokat. A cikk kiemeli a „négyzetgyökerek” témájú gyakorlatokat G.V. tankönyvéből. Dorofejev, amely a téma e bevezető részletének minden lényeges aspektusát lefedi. A gyakorlatok fő célja egy új fogalom elsajátítása, a gyökjel használatának képességének fejlesztése. Felhívják a figyelmet a feladatokra, és 7. Nagyon gyakran van szükség arra, hogy az a = b formájú egyenlőségről a b = a egyenlőségre és fordítva eljussunk. 8. gyakorlat - a négyzetgyököt tartalmazó numerikus és alfabetikus kifejezések értékének kiszámítása. A tanulóknak meg kell tanulniuk, hogy a gyökérjel a zárójelekhez hasonlóan csoportosító szimbólum. A 4-7. gyakorlatban a korábban megkezdett (és az alkalmazások szempontjából rendkívül fontos) képletekkel végzett munka továbbfejlesztésre kerül. Most ezek olyan képletek, amelyek gyököket tartalmaznak, vagy gyökök használatát igénylik, amikor egyes változókat másokkal fejezünk ki. Az ilyen feladatok gyakran okoznak nehézséget a tanulóknak, így az alábbi pontok tanulmányozásával részben teljesíthetők. Kivéve 1

22 sőt hasznos visszatérni hozzájuk. A B csoport 8. és 9. feladata ebben a szakaszban a nehéz feladatok közé tartozik; Természetesen nem minden diáknak valók. Alacsony felkészültségű órákon elvégezheti az A csoportos feladatokat, valamint lehetőség szerint a 41-et és a 44-et. Vegyünk egy példát egy tankönyvből: Keressünk egy közelítő értéket 60-hoz. Megoldás: A szám négyzete két "pontos" négyzet közé zárva - a 49-es és a 64-es számok: 49<(60), то есть 7 <(60) <8. Значит как 7 <(60), то 7< 60; так как (60) <8, то 60<8. Значит 7< 60<8. Очевидно, что 60 ближе к 8, чем к 7, то есть Рассмотренный способ нахождения приближенного значения корня, в силу своей громоздкости, имеет, в основном, теоретическое значение; учащимся достаточно лишь уметь указывать два целых числа, между которыми заключено значение данного корня. А при решении задач предполагается широкое использование калькулятора. Упражнения к пункту предназначены, прежде всего, для осознанного восприятия этого сложного для учащихся материала (46-51). Кроме того, использование калькулятора позволяет, с помощью наблюдений, прийти к некоторым теоретическим обобщениям, например к выводу о возрастании значения корня с увеличением подкоренного выражения (5-54). В образце к упражнению 6 показаны приемы сравнения, которыми должны овладеть учащиеся. Упражнения 65 и 66 направлены на формирование умения выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни, с использованием равенства (a) =а, где a 0. В классах с невысоким уровнем подготовки достаточно упражнений группы А. Вообще, в этом блоке дана представительная группа заданий,

23 ami meglehetősen korlátozott lehet. 57. gyakorlat. I. módszer. Számológép segítségével megkeressük a gyökök közelítő értékeit: 5,4; 6,45; 7.65. Ez azt jelenti, hogy ezek a számok mindegyike egy olyan szakaszhoz tartozik, amelynek vége pontokban és, és ezen a szegmensen a következő sorrendben helyezkednek el: 5, 6, 7. Továbbá: az 5-ös szám egy pontban végződő szakaszhoz tartozik, és ,; a 6-os szám egy olyan szakaszhoz tartozik, amelynek vége a 4. és 5. pontban van; a 7-es szám a 6-os és 7-es pontokban végződő szakaszhoz tartozik. Módszer II. Ugyanerre az eredményre jutunk becslés segítségével. Például 5-re van:<(5) <, то есть < 5<;, <(5) <, то есть,< 5<,. Упражнение 59. Очевидно, что точке К соответствует число 0,4, так как 0< 0,4< 1. Точно так же легко понять, что число лишнее, так как на отрезке с концами х=1 и х точка не отмечена. Сложнее с точкой L: ведь каждое из оставшихся чисел 5 и 7 располагается на отрезке с концами и. Но точка L расположена в левой половине отрезка, значит число, которое ей соответствует, должно быть меньше,5. Ответ почти очевиден: это 5. Но все же какое-то объяснение необходимо. Можно обратиться к калькулятору, а можно рассуждать так:,5 = 6,5; так как (5) <,5, то 5 <,5. Упражнение 70. а) Сначала находим, что 8< 7,5 < 9, а затем сравниваем числа 8,5 и 7,5. Так как 8,5 = 7,5<7,5, то 8,5< 7,5,

24, ami azt jelenti, hogy a 7,5-ös szám közelebb áll a 9-hez. Feladatok megoldásánál természetesen számítógép használata várható. Az alacsony felkészültségű osztályokban az A csoporttól a feladatokra korlátozódhat (megfelelnek a kötelező követelményeknek), illetve kutatási feladatot is figyelembe vehetnek 91. 86. feladat A feladat megoldása a tankönyv 7. ábra alapján történik. . Vizuális megfontolások alapján egyértelmű, hogy a legnagyobb hosszúságú szakasz a paralelepipedon átlója. Hasonlítsa össze az átló hosszát a nád hosszával. Először keresse meg az l alapátló hosszát: l= a + b = = 700 (cm). Most keressük meg a d paralelepipedon átlójának hosszát: d= (700) + 50 = 9800 (cm). 9800 óta< 10000=100, то трость данных размеров поместить в коробку нельзя. Упражнение 90. Геометрически выражение a + b + c можно истолковать как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого a, b и с. В самом деле, из прямоугольного треугольника LMN имеем, что LM= a + b. А из прямоугольного треугольника KLN получим, что NM= c + (a + b) = a + b + c По неравенству треугольника a + b + c

25 10= + 1; 1= + ; 17= De van egy másik út is. Tehát egy 10 hosszúságú szegmenst a következő algoritmus szerint kaphatunk: 10 = (5) + (5). Az algebra 8. osztályos tankönyvében a Muravina szerzői azt javasolják, hogy a szakasz tanulmányozását a következő gyakorlatokkal kezdjük: 15. gyakorlat. Átmegy-e az y \u003d x függvény grafikonja a ponton: A (-; 4) B (-, 5; 1) C (; 59) D (-6,5; 4,5). Válasz: A-igen, B-nem C-igen D-igen. A 17. bekezdés gyakorlatokat ad a négyzetgyök kiszámításához Példa. Kiszámítás A megoldás az 1105 szám prímtényezőkre való felbontásával történik. 1105= *5 * = 5 7 = (5 7) =*5*7=105 Válasz: 105. A 18. tétel bemutatja az aritmetikai négyzetgyökök tulajdonságait és az alkalmazási feladatokat, a gyökkifejezések egyszerűsítését és számítását. 4. példa (100. o.) Egyszerűsítés (5). (5) = - 5 = 5-. Válasz: 5-. 5. példa Számítsd ki 0, = 0, =0,8*4*5=80. Válasz 80. Példa 6. Számítás = =4 7. Válasz: 4 7. A 19. bekezdésben a gyökérjel alatti faktor hozzáadásának és eltávolításának gyakorlatait, valamint a kifejezések értékeinek összehasonlításának problémáit tárgyaljuk. 5

26 7. példa: Vegye ki a faktort a gyökjel alól a kifejezésben. Bontsuk fel a 10-es és 90-es számokat prímtényezőkre: 10= **5, 90=* *5. Ezért 10*90= 4 * * = 4 5 = **5* =60. Válasz: =,5 .. Válasz:,5. 8. példa (105. o.) Egyszerűsítse a kifejezést = 5 = 5 = 9. példa. (105. o.) Írja be a gyökjel alá a tényezőt: 5 0.4. 5 0,4 \u003d 5 0,4 \u003d 5 0,4 \u003d 10. Válasz: 10. 10. példa (106. o.) Hasonlítsa össze a és a kifejezések értékeit. = 9 = 18 és = 4 = 1. >. Válasz: >. 0 pontot kapnak a négyzetgyökös műveletek, a törtek négyzetgyökös konvertálása, a kifejezések egyszerűsítése, az irracionalitástól való megszabadulás. 11. példa (108. o.) Alakítsa át az 54-es törtet úgy, hogy nevezője ne tartalmazzon gyököt. Válasz: = 54 = 1 7 = 1 = 4 = =. 9 1. példa (109. o.) Kifejezés egyszerűsítése =5 6 96=4 6 = = = =() 6=1 6 Válasz:

27 1. példa (109. o.) Szabadítsuk meg a törtet az irracionalitástól a nevezőben. =(). Válasz: (). 6 = 6(1+10)110(110)(1+10) =6(1+10) = 6(1+10) =. A "Négygyökök" témakör oktatásának formái, módszerei és eszközei az alapiskola algebra során Ebben a részben megjelent cikkek és taneszközök alapján elemezzük a téma tanulmányozásának gyakorlati tapasztalatait. S. Minaeva cikkében megjegyzik, hogy a négyzetgyök fogalma „megjelenik” a vizsgált kurzusban, amikor két probléma – a geometriai (a négyzet oldalának hosszának meghatározása a terület alapján) és az algebrai ( egy x = a alakú egyenlet gyökeinek számáról, ahol a tetszőleges szám ). Az első feladat megfontolása során a tanulók kezdeti ötleteket kapnak az irracionális számokról. A fejezet tartalmában a szerző egy nem hagyományos algebrai kérdést - a Pitagorasz-tételt - foglalta magában. Ennek célja a négyzetgyökök természetes használatának bemutatása a szakaszok hosszának meghatározásában, irracionális hosszúságú szegmensek és irracionális koordinátákkal rendelkező pontok megalkotásában. Ugyanakkor nem mindegy, hogy a hallgatók hol hallanak először a Pitagorasz-tételről - a geometria vagy az algebra során. A szerző azt is állítja, hogy a tanulás legfontosabb eredménye az ideológiai szempontok mellett a négyzetgyököt (elsősorban numerikus) kifejezések egyes transzformációinak elvégzésének képessége. A hallgatók megismerkednek a kockagyök fogalmával is; ugyanakkor kezdeti elképzeléseket alkotnak a gyökérről 7

28. fok. Végül egy gyakorlatrendszeren keresztül a tanulók képet kapnak az y = x és y = x függőségi gráfokról. A szerző a témában végig feltételezi a számológép aktív használatát, nemcsak a gyökerek kinyerésének eszközeként, hanem néhány elméleti gondolat illusztrálására is. Mivel a kockagyökök kivonásához számológépet kell használni, egy másik jelölést vezetünk be egy pozitív n szám gyökére: a = a 1 n. V. Olkhov cikke felhívja a figyelmet arra, hogy a "négyzetgyökerek" szakasz tanulmányozása során különös figyelmet kell fordítani egy összetett radikális átalakulására. A szerző a következő módszertant javasolja, példát adva egy diák egyéni munkaformájára egy téma tanulmányozása során: Egy matematika osztály tanulóját a Vieta-tétel segítségével megkértük, hogy szelekcióval keresse meg az x - 7x egyenletben szereplő gyököket. + 10 = 0, amit különösebb nehézség nélkül megcsinált: X 1 = 5, X = (még egy kicsit sértődött is a kérdés egyszerűsége miatt). Ezután javasolták a 7 ± 10 kifejezés egyszerűsítését. Itt egy teljes négyzetet kell látni a gyök alatt. Miután korábban felírta a nehézkes A ± B= A A B ± A A B képletet, (1) meghatározott számértékeket helyettesített bele, és ± = 5 ±-t kapott. De van egy közvetlen analógia az előző példával 7=5 +, 10=5*, azaz 7 ± 10= 5 + ± 5 = (5 ±) = 5 ± Ezt követően a tanuló önállóan megoldott több példát: 8

29 6 ± 4 = 6 ± 8 = 4 + ± 4 = ±, 1 ± 48 = 1 ± 1 = ± 1 1 = 1 ± 1, 18 ± 18 = 18 ± = 16 + ± 16 = 4±, 7 ± 4 = 7 ± 1 = 4 + ± 4 =± és azt mondta, hogy most már érti, hogyan keletkezett az (1) képlet, bár nem szükséges külön megjegyezni. A ± B= A ± B 4. Írja fel az egyenletet: X AX + B = 0, 4 X 1 = A+ A B, X = A A B ; A ± B \u003d A ± B 4 \u003d X 1 + X ± X 1 X \u003d X 1 ± X \u003d A + A B ± A A B, ahol A> 0, B> 0, A -B> 0, és a képlet egyszerűsödik, ha A - Egy pontos négyzetben. 1. gyakorlat Mutassuk meg, hogy = ; = 1 + A cikk szerzője, V.I. A Sedakova egyszerű módszereket kínál, amelyek lehetővé teszik, hogy gyorsan hajtson végre olyan műveleteket, mint például a négyzetgyökök kinyerése az elmében. Ezek a módszerek növelhetik az osztálytermi produktivitást, mivel a szóbeli és félig szóbeli gyakorlatok lehetőséget adnak nagy mennyiségű anyag tanulmányozására az órán, lehetővé teszik a tanár számára, hogy megítélje az osztály felkészültségét 9

30 új anyagok elsajátítására. Ez az anyag hasznos a leendő matematikatanárok számára. A matematika tantárgy iskolai oktatásának egyik fő feladata a tudatos és erős számítási készségek kialakítása a tanulókban. A számítási készségek a matematikai készségek fontos részét képezik. A szóbeli számolás témája különösen aktuális az állami érettségi (OGE) és az egységes államvizsga (USE) idején, ahol számítástechnikai eszközök használata nem megengedett. Más munkaformákkal kombinálva a szóbeli gyakorlatok lehetővé teszik olyan feltételek megteremtését, amelyek mellett a tanulók különféle tevékenységei aktiválódnak: gondolkodás, beszéd, motoros készségek. Ezért minden matematika órában legfeljebb 10 percet kell szánni a mentális számításokkal végzett gyakorlatokra. A számítási készségek kialakítása összetett és szisztematikus folyamat. A következő szakaszokból áll: A készségképzés első szakasza a készség elsajátítása. A második szakasz a készségek automatizálásának szakasza. A készség automatizálása abban áll, hogy a gyakorlatok szóbeli végrehajtása során, gyakorlatilag jegyzetelés, jegyzetelés stb. Képzelje el a szóbeli számolás fogadtatását a "Négyzetgyökerek" témakörben a diákok számára. Többértékű természetes szám négyzetgyökének kinyerése. Először megírjuk a négyzetgyök kinyerésének algoritmusát általános formában, amelyet természetes számokkal való munka során használhatunk. 1. Osszuk a számot csoportokra (jobbról balra, az utolsó számjegytől kezdve), minden csoportban két szomszédos számjegyet tartalmazva. Ebben az esetben egy számjegy jelenhet meg az utolsó csoportban (ha a számjegyek száma páratlan), és két számjegy, ha a számjegyek száma páros. Az ilyen számban lévő csoportok száma az eredmény számjegyeinek számát mutatja.

31 . Kiválasztjuk a legnagyobb számot úgy, hogy a négyzete ne haladja meg az utolsó csoport számát (jobbról balra számolva); ez az eredmény első számjegye. Valamilyen A számot kapunk, az eredmény elérhető részét megduplázva az a számot kapjuk. Most válasszunk egy x számjegyet úgy, hogy az a és x szám szorzata ne haladja meg az A számot. Az x számjegy az eredmény második számjegye. 4. Az A számból kivonjuk az a szám szorzatát x-szel, a jobb oldalon talált különbséghez hozzáadjuk a harmadik csoportot, kapunk valamilyen B számot. Az eredmény elérhető részét megduplázva a b számot kapjuk. Most a legnagyobb y számjegyet választjuk úgy, hogy a szám és y szorzata ne haladja meg a B számot. Az y számjegy az eredmény harmadik számjegye. 5. A szabály következő lépése megismétli a 4. lépést. Ez addig folytatódik, amíg a legelső számcsoportot fel nem használjuk. 14. példa. Mutassa be ezt az algoritmust egy egyszerűbb példán keresztül, melynek eredménye nyilvánvaló. Kiszámoljuk a 144-et. A természetes számok négyzeteinek táblázatából két tízen belül tudjuk, hogy 144 = 1. A 144-es számban jobbról balra két számjegyet választunk el, 1/44-et. Két számcsoportot kaptunk, így az eredmény egy kétjegyű szám. Olyan számot választunk ki, amelynek négyzete nem haladja meg a második csoportban szereplő számot (jobbról balra számolunk), ez az 1. Esetünkben ez a szám lesz az 1, mert négyzete egyenlő eggyel. Ez azt jelenti, hogy a válaszban a tízes kategóriában ott lesz az 1. A 144-es számból kivonjuk a kapott tízeseket, a maradékból a 44-et kapjuk. Határozzuk meg a válaszban szereplő egyesek számát. Ehhez a bal oldalon a kapott tízes számot szorozzuk meg, kapjuk. Válasszuk ezt az 1

A 32 egy szám, amelyet önmagával és a kapott számmal megszorozva 44-et kapunk, ezért a 144 négyzetgyökének kivonásakor 1-et kapunk. Az 1_ válasz számait választjuk ki. Válasz: 144=1. 15. Példa Tekintsük egy ötjegyű számból négyzetgyökök kinyerésének folyamatát A válasz számait jelöljük ki 4 Válasz: 54756=4. Következtetések az első fejezethez Az 1. fejezetben a "Négyzetgyökök" téma oktatásának fő céljait és célkitűzéseit vettük figyelembe az általános iskolai algebra kurzusban a Federal State Educational Standards LLC és a matematikai programok alapján. A témával foglalkozó 8. osztályos algebratankönyvekben található elméleti és feladatanyag elemzése azt mutatta, hogy a tankönyvek szerzői különböző megközelítéseket alkalmaznak mind a négyzetgyök fogalmának, mind a négyzetszámítási képességek fejlesztésére összpontosító gyakorlatrendszer bevezetésében. gyököket és egyszerűsíteni a numerikus kifejezéseket. A "Négygyökerek" téma tanulmányozásának gyakorlati tapasztalatainak elemzése cikkek és oktatási segédanyagok alapján arra enged következtetni, hogy a téma meglehetősen nehéz a hallgatók számára. Megfelelő gyakorlatok és speciális technika segítségével azonban a négyzetgyök fogalmának és alapvető tulajdonságainak szilárd asszimilációja érhető el.

33 II. FEJEZET. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK AZ ALGEBRA TANFOLYAM "NÉGYGYÖKÖK" TÉMA SZERVEZÉSÉHEZ 4. Feladatok a "Négyzetgyökök" témakörben, az alapismeretek és készségek alapszintjére fókuszálva az alapiskolai algebra során. iskola Az algebrai tankönyvekben bemutatott „Négyzetgyök” témában szereplő összes feladat 8 osztály feltételesen összevonható 4 csoportba: 1. csoport. Feladatok négyzetgyököt tartalmazó kifejezések értékének megtalálására. Csoport. Feladatok másodfokú egyenletek megoldásához a számtani négyzetgyök segítségével. Csoport. Feladatok négyzetgyököt tartalmazó kifejezések egyszerűsítésére és összehasonlítására. 4. csoport. A négyzetgyök kinyerésének feladatai. Tekintsünk példákat a feladatokra: 1. csoport. Feladatok négyzetgyököt tartalmazó kifejezések értékének megkeresésére. Példa 1. Keresse meg a kifejezés értékét: a) 1,5 0,1 0,5 b) 9 c) 16,. Megoldás: a) A számtani gyök definíciójából következik, hogy 1,5=,5, mert,5 > 0 és,5 = 1,5; 0,5= 0,5, mert 0,5 > 0 és 0,5 = 0,5..5 0,1 0,5 = 7 0,05 = 6,95 b) 9 = 9, mert 9=9=9

34 c) Ennek a kifejezésnek nincs értelme, mert bármely szám négyzete nemnegatív szám. Válasz: a) 6,95; b) 9; c) a kifejezésnek nincs értelme Példa. Az irracionalitás kiküszöbölése a nevezőből: 1 a) 4 b) 7 c) Megoldás: 1 a) (1())() 4 1 b) 7 4 (7 4(7)() 7) 4(7 7) 4( 7 4) 7 c) ((5 5 7) (7) (5 5 7) 7) (5 5 7) (5 6) 5 6 Válasz: a) + b) 7 + c) 5 6 Csoport. Másodfokú egyenletek megoldása a számtani négyzetgyök segítségével Példa. Keresse meg x értékét a 10x 14 = 11 kifejezésben. 4

35 10x 15 x 1,5 Megoldás: 10x x 14 x 15:10 10x x Ellenőrzés: , Válasz: x = 1,5. 4 x x Példa 4. Keresse meg x értékét a 4 x = 1 kifejezésben. Megoldás: x 1 Ellenőrzés: Válasz: x Csoport. Ebben a csoportban a kifejezések egyszerűsítésével kapcsolatos feladatokat kombináljuk. 5. példa Egyszerűsítse a kifejezést: 5

36 6 Megoldás: A tört nevezőjének irracionalitásától való megszabaduláshoz meg kell szorozni ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét az összeggel, ha a nevező tartalmazza a különbséget, vagy ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét a különbséggel, ha a tört nevező tartalmazza az összeget) () ())(( ))(() ())(())(())(())((Válasz: 4 6 Példa 6. Egyszerűsítse a kifejezést: 8 4 Megoldás: Válasz : 6 Példa 7. Egyszerűsítse a kifejezést: ,5 8 Megoldás: ,5 8 (a négyzetgyök tétel segítségével) Válasz: 5

37 4. csoport négyzetgyök. Ebben a csoportban kinyerési feladatokat fogunk felkínálni. 8. példa. A kifejezés gyökének kinyerése Megoldás: 5a 6 49 Használjuk a tételt a tört számtani négyzetgyökének kinyerésére. 5a a a a a 7 6 Használjuk a tételt az aritmetikai négyzetgyök szorzatból való kiemelésére. 5a a a a 6 Ezután a következő tételt használjuk: tetszőleges a számra igaz az a a a 5a 5a 5 a 5 (a) 5 a 5 a egyenlőség. Válasz: Ha a 0, akkor ha a< 0, то 5 a 7 5 a a 5 7 a Пример 9. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) a a 1) x x 5 7

38 1) a Megoldás: a a a a a a (A reciprok négyzetgyök tételt használjuk.) x x x x x x x x (A reciprok négyzetgyök tételt használjuk). Válasz: 1) a) x 11x 4 1) 64 10. példa: Vonja ki a gyökér: x) 400 a, ahol a< 0 Решение: 1) 11x x x 4 11 (x 8) 11 x 8 11x 8 1 x 8) 400 a a a a 0 a (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения и теорема: a a). Ответ: 1) 1 x 8 0 a 8

39 A cikk többváltozós didaktikai anyagokat (Tasks in Cards) kínál, amelyek célja a numerikus kifejezések gyökökkel történő egyszerűsítése. Kétségtelenül segítséget nyújtanak a matematikatanárnak az önálló vagy tesztmunka megszervezésében. Adjunk lehetőségeket. 1. lehetőség 1. Egyszerűsítés: Egyszerűsítés: Megszabadul a nevező irracionalitásától: Egyszerűsítse a kifejezést Számítás: 7 * Egyszerűsítse a 6+4 kifejezést 4, Keresse meg a 8 kifejezés értékét. Számítsa ki: * Keresse meg a 10 kifejezés értékét Egyszerűsítse a ()(75 7) kifejezést, és bizonyítsa be, hogy a kapott szám az x 0 = 0 egyenlet gyöke. 1. lehetőség. Egyszerűsítés:

ALGEBRA MUNKAPROGRAM 8 OSZTÁLYNAK (általános műveltségi szint) Összeállította: Tyihonov VA, matematikatanár; A program végrehajtási ideje: 1 év A munkaprogram a szövetségi

MATEMATIKA MAGYARÁZÓ MEGJEGYZÉS Ez a munkaprogram az általános alapoktatás állami oktatási standardjának szövetségi komponense és az általános alapoktatási program alapján készült.

Munkaprogram az általános matematikai alapoktatáshoz az MBOU középiskolában 30 Penza (5. évfolyam) Magyarázó megjegyzés A dokumentum állapota Munkaprogram az általános matematikai oktatáshoz az 5. évfolyamon

Jegyzet a matematika munkaprogramhoz 5. osztályban. Magyarázó megjegyzés Az 5. évfolyam 2016–2017-es tanévre szóló matematikai munkaprogramja a következőkön alapul: 1. 273 FZ 2012.12.29.

Magyarázó megjegyzés A matematikai munkaprogramot a következő szabályozó dokumentumok és iránymutatások alapján állították össze: 1. Szövetségi államoktatási alapszabvány

Magyarázó jegyzet. Ez a munkaprogram a 8. évfolyamos tanulókat célozza meg, és a következő dokumentumok alapján valósul meg:. Állami szabvány elemi általános, alapvető általános és másodlagos

Munkaterv MATEMATIKA 5-6. évfolyam 2017-2018 tanév ÖSSZEFOGLALÁS Ez a munkaprogram a Szövetségi Állami Oktatási Szabályzat főbb rendelkezéseivel összhangban került kidolgozásra.

A belgorodi „17-es középiskola” önkormányzati költségvetési oktatási intézmény „Megegyezve” Az ShMO vezetője N.A. Ilminskaya 20. „Egyeztetett” helyettes igazgató

Matematika munkaprogram 5. évfolyamnak

Megfontolás tárgyát képezte a Honvédelmi Minisztérium jóváhagyó ülésén, M. M. Kostin kulturális és MKOU LSOSH 1 technológiai tevékenységek tanári igazgatója és az SPL szolgáltatás 109. számú 2017. szeptember 01-i jegyzőkönyve. 2017. szeptember 01-i keltezésű

208.08.30-i keltezésű 488os köznevelési rendű alapfokú nevelési program melléklete. Tyumen régió Hanti-Manszi Autonóm Okrug Jugra Nyizsnyevartovszkij körzet

1. Magyarázó megjegyzés A 9. osztály algebrai munkaprogramját a szabályozási dokumentumok, valamint az információs és módszertani anyagok alapján állították össze: 1. Az oktatásról az Orosz Föderációban: Szövetségi

Oktatási anyag naptári-tematikus tervezése algebrában 8. évfolyamra. Magyarázat A naptári tematikus tervezés az algebrában a 8. osztályban egy példaprogramon alapul

Az általános iskolai alapfokú tanulók felkészültségi szintjére vonatkozó követelmények: A tanulóknak ismerniük/érteniük kell: - a matematika jelentőségét az elméletben és a gyakorlatban felmerülő problémák megoldásában; szélesség és ugyanakkor

MUNKAPROGRAM Osztály (szint), amelyen a képzést tanulják 8 Tantárgy terület Matematika és számítástechnika tantárgy Matematika (algebra) 2017-2018-as tanév Évi óraszám 102

Önkormányzati költségvetési oktatási intézmény Gymnasium 4, Khimki ELFOGADVA: Az MBOU Gymnasium 4 igazgatója / N.N. Kozelskaya / Order of 2015 Algebra munkaprogram (alapszint) 8. évfolyam

Az iskola pedagógiai tanácsának 2009. évi ülésén mérlegelve. 2009 "Jóváhagyott" igazgatója MBOSHI "KSHI" Taipova A.R. 2009

FELÜLVIZSGÁLT: a MO / ZYMurtazaeva Pr ülésén MEGÁLLAPODTAK: Vízgazdálkodási igazgatóhelyettes / EKKhairetdinova JÓVÁHAGYVA: Iskolaigazgató / LMAmetova Pr a MUNKAPROGRAM Algebra 8 A MBOU "Starokrymskaya OSH"-tól

Tartalom. Magyarázó megjegyzés 3 p.

ÖNKORMÁNYZATI KÖLTSÉGVETÉS ÁLTALÁNOS OKTATÁSI INTÉZMÉNY KÖZÉPKOKTATÁSI ISKOLA 40 LIPETSK ALGEBRA MUNKAPROGRAM hallássérült tanulóknak 8. évfolyam

Magyarázó megjegyzés Az "Algebra" tantárgy jelen munkaprogramja az általános oktatási intézmény 8. osztályos tanulói számára a szerzői alapfokú általános nevelési program alapján készült.

Magyarázó megjegyzés Ez az algebrai program a 8. osztályos általános oktatási főiskola számára az általános alapoktatás állami szabványának szövetségi összetevője alapján készült.

1. A tantárgy elsajátításának tervezett eredményei A 6. évfolyamon a „Matematika” tantárgy tanulásának tantárgyi eredményei az alábbi készségek kialakítása:

Függelék a matematikai munkaprogramhoz Murmanszki régió, Kolai járás, p. Minkino Állami Regionális Költségvetési Oktatási Intézmény "Minkino Javítóintézet"

Matematika munkaprogram 6. évfolyam. 1. Az óra naptári-tematikus terve Oktatási szakaszok és témák Dátum Óraszám I. negyedév (42 óra) 1. Számok oszthatósága (20 óra) 1.09-28.09 1-3 Osztók

TERVEZETT EREDMÉNYEK Személyes Metasubject Tantárgy kezdeti elképzelései a matematikáról, mint a tudomány és a technológia egyetemes nyelvéről, a jelenségek és folyamatok modellezésének eszközéről;

1 MAGYARÁZÓ MEGJEGYZÉS Az „Algebra” tantárgy munkaprogramja a 9. évfolyamon az általános alapoktatás állami szabványának szövetségi komponensén alapul. Ez a munkaprogram

Magyarázó megjegyzés Az algebra 8. osztályának munkaprogramja megfelel az általános általános, az alapszintű általános és a középfokú (teljes) általános állami oktatási standard szövetségi összetevőjének.

Magyarázó megjegyzés A munkaprogram a következőkön alapul: - A matematika általános oktatására vonatkozó állami oktatási szabvány szövetségi összetevője - A matematikai példaprogramok.

Fejezet BEVEZETÉS AZ ALGEBRÁHOZ .. HÁROM TAGOS TERÜLET ... Két szám megtalálásának babilóniai problémája az összegük és a szorzatuk alapján. Az algebra egyik legrégebbi problémáját Babilonban javasolták, ahol

Magyarázó jegyzet. Ezt a „matematika” tárgyú munkaprogramot egy általános oktatási intézmény 6. osztályos tanulói számára a szerzői program alapján dolgozta ki S.M. Nikolszkij, M. K. Potapov,

MAGYARÁZÓ JEGYZET. (Matematika 5. osztály) Ezt a munkaprogramot az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma általános oktatási intézményeinek matematikai programjával összhangban állították össze.

Magyarázó megjegyzés Az algebrai munkaprogramot a következő szabályozó jogi dokumentumok alapján dolgozták ki: 2012. december 29-i 273-FZ szövetségi törvény „Az Orosz Föderáció oktatásáról”; Rendelés

Magyarázó megjegyzés A 8. évfolyam algebrai munkaprogramját a második generációs általános általános oktatás szövetségi állami oktatási szabványának rendelkezéseivel összhangban állították össze,

A dokumentum állapota Magyarázó megjegyzés

Elfogadva Elfogadva Jóváhagyva A matematikatanárok EM-én az Egyezmény igazgatója SOSH 1. jegyzőkönyv 08.26. 2014. pedagógiai p. Poima A MO Praslova O.M. vezetője. Tanács Rodionova O.I. 1. jegyzőkönyv

Líceum 1 "Sputnik" magánoktatási intézmény ELFOGADTA A Líceum 1 "Sputnik" Módszertani Tanácsának ülésén 2017. évi jegyzőkönyv A Líceum Módszertani Tanácsának elnöke 1 "Sputnik" Ursul

Jegyzet a munkaprogramhoz 8. évfolyam, algebra

1. Magyarázó megjegyzés. Az algebrai munkaprogramot a szerző "Algebra 8kl" programja alapján állítják össze. szerk. Makarychev és mások az állam komponensének oktatási tárgyainak tartalmával összhangban

ALGEBRA ÉS GEOMETRIA MUNKAPROGRAM 7 "A" OSZTÁLYRA 2018 2019 TANÉVRE

Önkormányzati költségvetési nevelési-oktatási intézmény Középiskola 4 Pedagógiai Tanácson elbírálva 08.31.1. 2017. évi 162. számú végzés, 2017. 08. 31. JÓVÁHAGYVA: Igazgató

Ellenőrző és mérőanyagok a matematika középfokú bizonyítványához 2018-ban 7. évfolyam Magyarázó megjegyzés A munka tartalma az alábbiak szerint épül fel: az orosz szövetségi törvény szerint

Magyarázó megjegyzés Szabályozási dokumentumok A munkaprogram a következőkön alapul: az Orosz Föderáció 9..0. évi 73-FZ „Az oktatásról az Orosz Föderációban” szövetségi törvénye, a szövetségi komponens

Magyarázó megjegyzés A munkaprogram a következőkön alapul: Az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériumának 2004. március 5-i 1089. számú rendelete „Az állami oktatási szabványok szövetségi összetevőjének jóváhagyásáról

1. A TANTÁRGY VALÓSÍTÁSÁNAK TERVEZETT EREDMÉNYEI A matematika alapiskolai tanulása az alábbi eredmények elérését teszi lehetővé: A személyiségfejlődés irányában: - az egyértelmű,

MAGYARÁZÓ MEGJEGYZÉS A 8. osztály algebrai munkaprogramját a második generációs általános általános oktatás szövetségi államoktatási szabványának rendelkezéseivel összhangban állították össze,

FÜGGELÉK az oktatási programhoz NAPTÁRI TEMATIKUS TERVEZÉS az algebrában 8. osztályban "ALGEBRA 8" tankönyv, szerző: Yu. N. Makarychev és mások, szerkesztette: S. A. Telyakovsky Tanár: Dudnikova

Magyarázat Az alapiskola algebrai programját az alábbiak követelményeinek megfelelően állítják össze: - az általános alapoktatás állami oktatási szabványának szövetségi összetevője.

Magyarázó megjegyzés A 8. osztály algebrai munkaprogramját (mélyreható tanulmányozás) az állami oktatási szabvány szövetségi komponensével, az algebra programjával összhangban állították össze.

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA NOVOSIBIRSK ÁLLAMI EGYETEM SPECIALIZÁLT OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS KÖZPONT Matematika 8. évfolyam Polinomok Novoszibirszki polinomok Racionális

A munkaprogramot a következő szabályozó dokumentumokkal összhangban állítják össze: Az Orosz Föderáció oktatásáról szóló, 202. február 29-i 273-FZ szövetségi törvény, a Szövetségi Állami Oktatási Törvény követelményei

Magyarázó megjegyzés Ezt az „Algebra” munkaprogramot a következők alapján dolgozták ki: - 2012. december 29-i 273-FZ szövetségi törvény (a 2015. július 13-án módosított) „Az oktatásról az Orosz Föderációban”; - szerzői jogon alapul

A munkaprogramot a szabályozó dokumentumokkal összhangban állították össze: 202. február 29-i 273-FZ szövetségi törvény „Az Orosz Föderáció oktatásáról”. 2. Az Orosz Oktatási és Tudományos Minisztérium végzése

Általános és Szakoktatási Minisztérium RO

állami költségvetési oktatási intézmény

alapfokú szakképzés a rosztovi régióban

5. számú szakiskola

Praktikus munka

az ODP tudományágban. 01."Matematika: algebra és kezdetek

matematikai elemzés; geometria"

ebben a témában: Gyököket, hatványokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések konvertálása».

Mert hallgatók én tanfolyam

G. Rostov-on-Don

2017

1. szakasz. Algebra.

Téma 1.2. Gyökök, hatványok és logaritmusok.

1. számú gyakorlati óra.

Tantárgy: "Gyökéreket, hatványokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések átalakítása".

Cél: tud gyökök, hatványok és logaritmusok tulajdonságai; tudja alkalmazni őket gyököket, fokokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések transzformációinak végrehajtása.

Órák száma : 1 óra.

elméleti anyag.

Gyökerek.

Az a művelet, amellyel a gyökér találhatón-edik fokú, az úgynevezett gyökérkivonásn-edik fokozat.

Meghatározás. A természetes fok számtani gyöken≥ 2-t egy nem negatív számból a nem negatív számnak nevezzük,namelynek th hatványa a.

A másodfokú számtani gyökeret négyzetgyöknek is nevezik, a harmadfokú gyökerét pedig kockagyöknek is nevezik.

Például.

Kiszámítja:

számtani gyöknfokozat a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

ha a ≥ 0, b > 0 és n, mtermészetes számok, ésn ≥ 2, m≥ 2, akkor

1. 3.

2. 4.

Példák a számtani gyök tulajdonságainak alkalmazására.

Egy fok tulajdonságai racionális kitevővel.

Bármely p és k racionális számra, valamint bármely a > 0 és b > 0 esetén az egyenlőségek igazak:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. .

Példák a diplomatulajdonságok alkalmazására:

1). 7*

4). .

Egy szám logaritmusa

Meghatározás. Pozitív szám logaritmusaba bázisban, ahola > 0, a≠ 1, az a kitevő, amelyre a számot emelni kella, Megszerezni b.

a = b az alapvető logaritmikus azonosság.

A logaritmusok tulajdonságai

Hadd a > 0, a ≠ 1, b>0, c >0, k bármely valós szám. Ekkor a képletek érvényesek:

1 . log ( időszámításunk előtt ) = logb + logc , 4. logb = ,

2. log = log - log c, 5.log a = 1 ,

3. log b = a * logb , 6. log 0 = 1 .

Példák a képletek alkalmazására:

log2 + log 18 =log( 2 * 18 ) = log 36 = 2;

log 48 -napló 4 = log= log 12 = 1;

log 9 = * log 9 = .

Döntse el egyedül .

Feladatok.

1 lehetőség

1. Számolja ki:

1) ; 4) log ;

2) ; 5) 0,5;

3) ; 6) 3 log 2 - log 64.

2, ha x = 7.

3. Hasonlítsa össze a számokat:log 11 és log 19.

4. Egyszerűsítés: 1) ; 2).

5. Számolja ki: logloglog 3.

_________________________________________________________________

2. lehetőség

1. Számolja ki:

1) ; 4) log 64;

2) ; 5) ;

3) ; 6) 2 log 3 - log 81.

2. Keresse meg a kifejezés értékét: 3, ha y = 2.

3. Hasonlítsa össze a számokat:logÉs log.

4. Egyszerűsítés: 1) ; 2).

5. Számolja ki: logloglog 2.

__________________________________________________________________

Az értékelés kritériumai:

11 helyes feladat - "5";

9 - 10 helyes feladat - "4";

7 - 8 helyes feladat - "3".

Basmakov. M. I. Matematika: tankönyv civil szervezetek és SPO számára. -M.:

"Akadémia" Kiadói Központ, 2013.

Alimov Sh.A. et al., Algebra and the Beginnings of Analysis. 10 (11) osztály. – M.: 2012.

Algebra. 9. évfolyam: Tankönyv, feladatfüzet az általános műveltséghez. intézmények/

A.G. Mordkovich és mások - M .: Mnemozina, 2009.

Algebra. 8. évfolyam: Tankönyv, feladatfüzet az általános műveltséghez. intézmények/

A.G. Mordkovich és mások - M .: Mnemozina, 2008.

Algebra. 7. évfolyam: Tankönyv, feladatfüzet az általános műveltséghez. intézmények/

A.G. Mordkovich és mások - M .: Mnemozina, 2007.

Bejelentési űrlap: a feladatok tanár általi ellenőrzése

A gyökér kitermelésének gyakorlati sikeres használatához meg kell ismerkednie ennek a műveletnek a tulajdonságaival.
Minden tulajdonság csak a gyökérjelek alatt lévő változók nem negatív értékére van megfogalmazva és bizonyított.

1. tétel. Két nem negatív lapkakészlet szorzatának n-edik gyöke (n=2, 3, 4,...) egyenlő ezen számok n-edik gyökének szorzatával:

Megjegyzés:

1. Az 1. Tétel érvényben marad arra az esetre, ha a gyökkifejezés kettőnél több nemnegatív szám szorzata.

2. tétel.Ha, és n 1-nél nagyobb természetes szám, akkor az egyenlőség

Rövid(bár pontatlan) a gyakorlatban kényelmesebben használható megfogalmazás: a tört gyöke megegyezik a gyökerek töredékével.

Az 1. tétel lehetővé teszi m szorzását csak azonos fokú gyökerek , azaz csak azonos kitevőjű gyökök.

Tétel 3. Ha ,k természetes szám, n pedig 1-nél nagyobb természetes szám, akkor az egyenlőség

Más szóval, ahhoz, hogy egy gyökeret természetes erővé emeljünk, elegendő a gyökérkifejezést erre az erőre emelni.
Ez az 1. Tétel következménye. Valóban, például k = 3 esetén azt kapjuk

Tétel 4. Ha ,k, n 1-nél nagyobb természetes számok, akkor az egyenlőség

Más szóval, ahhoz, hogy egy gyökérből kinyerjünk egy gyökeret, elég megszorozni a gyökök kitevőit.
Például,

Légy óvatos! Megtudtuk, hogy a gyökökön négy művelet hajtható végre: szorzás, osztás, hatványozás és a gyökér (a gyökérből) kivonása. De mi a helyzet a gyökök összeadásával és kivonásával? Semmiképpen.
Például az Indeed helyett nem lehet írni, de ez nyilvánvaló

Tétel 5. Ha a gyök és a gyökkifejezés mutatóit ugyanazzal a természetes számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor a gyök értéke nem fog változni, i.e.

Példák problémamegoldásra

1. példa Kiszámítja

Megoldás. A gyökök első tulajdonságát felhasználva (1. tétel) a következőket kapjuk:

2. példa Kiszámítja
Megoldás. A vegyes számot alakítsa át nem megfelelő törtté.
A gyökök második tulajdonságának használata ( 2. tétel ), kapunk:

3. példa Kiszámítja:

Megoldás. Az algebra bármely képletét, amint azt jól tudod, nemcsak "balról jobbra", hanem "jobbról balra" is használják. Tehát a gyökök első tulajdonsága azt jelenti, hogy ábrázolható, és fordítva, helyettesíthető kifejezéssel. Ugyanez vonatkozik a gyökök második tulajdonságára is. Ezt szem előtt tartva végezzük el a számításokat.

Gratulálunk: ma a gyökereket elemezzük - a 8. osztály egyik legelgondolkodtatóbb témáját. :)

Sokan nem azért keverednek össze a gyökérrel kapcsolatban, mert bonyolultak (ami bonyolult - egy-két definíció és még néhány tulajdonság), hanem azért, mert a legtöbb iskolai tankönyvben a gyökerek olyan vadon keresztül vannak meghatározva, hogy csak maguk a tankönyvek szerzői tudják értsd meg ezt a firkálást. És akkor is csak egy üveg jó whiskyvel. :)

Ezért most megadom a gyökér leghelyesebb és legkompetensebb meghatározását - az egyetlent, amelyet valóban emlékeznie kell. És csak ezután fogom elmagyarázni: miért van szükség erre, és hogyan kell alkalmazni a gyakorlatban.

De először emlékezzen egy fontos pontra, amelyről valamilyen oknál fogva sok tankönyv-összeállító „feledkezik”:

A gyökök lehetnek páros fokozatúak (kedvenc $\sqrt(a)$, valamint bármilyen $\sqrt(a)$ és páros $\sqrt(a)$) és páratlan fokos (bármely $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ stb.). A páratlan fok gyökének meghatározása pedig némileg eltér a párostól.

Valószínűleg itt van elrejtve a „kicsit más” a gyökerekkel kapcsolatos hibák és félreértések 95%-a. Tehát egyszer s mindenkorra tisztázzuk a terminológiát:

Meghatározás. Még root n a $a$ számból bármely nem negatív olyan $b$ szám, hogy $((b)^(n))=a$. És ugyanabból az $a$ számból származó páratlan fok gyöke általában bármely $b$ szám, amelyre ugyanaz az egyenlőség érvényes: $((b)^(n))=a$.

Mindenesetre a gyökér jelölése a következő:

\(a)\]

Az ilyen jelölésben szereplő $n$ számot gyökérkitevőnek, az $a$ számot pedig gyökkifejezésnek nevezzük. Konkrétan $n=2$ esetén megkapjuk a „kedvenc” négyzetgyökünket (ez egyébként páros fok gyöke), $n=3$ esetén pedig köbgyököt (páratlan fok), ami a problémákban és egyenletekben is gyakran megtalálható.

Példák. Klasszikus példák a négyzetgyökökre:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(igazítás)\]

Egyébként $\sqrt(0)=0$ és $\sqrt(1)=1$. Ez teljesen logikus, mivel $((0)^(2))=0$ és $((1)^(2))=1$.

A köbös gyökerek is gyakoriak - ne félj tőlük:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(igazítás)\]

Nos, néhány "egzotikus példa":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(igazítás)\]

Ha nem érti, mi a különbség a páros és a páratlan fok között, olvassa el újra a definíciót. Ez nagyon fontos!

Addig is megvizsgáljuk a gyökök egy kellemetlen tulajdonságát, ami miatt külön definíciót kellett bevezetnünk a páros és a páratlan kitevőkre.

Miért van szükségünk egyáltalán gyökerekre?

A definíció elolvasása után sok diák megkérdezi: „Mit szívtak a matematikusok, amikor ezt kitalálták?” És tényleg: miért van szükségünk ezekre a gyökerekre?

A kérdés megválaszolásához térjünk vissza egy pillanatra az általános iskolához. Ne feledjük: azokban a távoli időkben, amikor zöldebbek voltak a fák és finomabbak a gombócok, a fő gondunk az volt, hogy helyesen szorozzuk be a számokat. Nos, valami az "öt az öt - huszonöt" szellemében, ennyi. De végül is a számokat nem párban, hanem hármasban, négyesben és általában egész halmazban szorozhatja:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Azonban nem ez a lényeg. A trükk más: a matematikusok lusta emberek, így tíz ötös szorzását így kellett leírniuk:

Így jöttek a diplomák. Miért nem írja fel a faktorok számát felső indexként a hosszú karakterlánc helyett? Mint ez:

Nagyon kényelmes! Minden számítás többszörösére csökken, és nem költhet egy csomó pergamen füzetet arra, hogy leírjon néhány 5 183 . Az ilyen bejegyzést egy szám fokának nevezték, egy csomó tulajdonságot találtak benne, de a boldogság rövid életűnek bizonyult.

Egy grandiózus pia után, amelyet éppen a fokozatok „felfedezése” kapcsán szerveztek, néhány különösen megkövült matematikus hirtelen megkérdezte: „Mi van akkor, ha ismerjük egy szám fokszámát, de magát a számot nem?” Valóban, ha tudjuk, hogy például egy bizonyos $b$ szám 243-at ad az 5. hatványnak, akkor hogyan lehet kitalálni, hogy maga a $b$ mekkora számmal egyenlő?

Ez a probléma sokkal globálisabbnak bizonyult, mint amilyennek első pillantásra tűnhet. Mert kiderült, hogy a „kész” diplomák többségénél nincsenek ilyen „kezdeti” számok. Ítéld meg magad:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Jobbra b=4\cdot 4\cdot 4\Jobbra b=4. \\ \end(igazítás)\]

Mi van, ha $((b)^(3))=50 $? Kiderült, hogy meg kell találni egy bizonyos számot, amelyet háromszor megszorozva 50-et kapunk. De mi ez a szám? Egyértelműen nagyobb, mint 3, mert 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. I.e. ez a szám valahol három és négy között van, de mi egyenlő - ÁBRA, azt meg fogja érteni.

Pontosan ez az oka annak, hogy a matematikusok $n$-edik gyököket találtak ki. Ezért vezették be a radikális $\sqrt(*)$ ikont. Ugyanazon szám jelölésére $b$, amely a megadott hatványon egy korábban ismert értéket ad

\[\sqrt[n](a)=b\Jobbra ((b)^(n))=a\]

Nem vitatom: ezeket a gyökereket gyakran könnyen megfontolják – több ilyen példát láttunk fent. De ennek ellenére a legtöbb esetben, ha egy tetszőleges számra gondolsz, majd megpróbálod kiszedni belőle egy tetszőleges fokozat gyökét, akkor kegyetlen balhé lesz.

Mi van ott! Még a legegyszerűbb és legismertebb $\sqrt(2)$ sem ábrázolható a megszokott formában - egész számként vagy törtként. És ha ezt a számot beüti egy számológépbe, ezt fogja látni:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Mint látható, a tizedesvessző után végtelen számsor következik, amely nem engedelmeskedik semmilyen logikának. Természetesen ezt a számot kerekítheti, hogy gyorsan összehasonlíthassa más számokkal. Például:

\[\sqrt(2)=1,4142...\kb. 1,4 \lt 1,5\]

Vagy itt van egy másik példa:

\[\sqrt(3)=1,73205...\kb. 1,7 \gt 1,5\]

De mindezek a kerekítések először is meglehetősen durvaak; másodszor pedig hozzávetőleges értékekkel is tudni kell dolgozni, különben egy rakás nem nyilvánvaló hibát elkaphat (egyébként a profilvizsgán feltétlenül ellenőrzik az összehasonlítás és a kerekítés készségét).

Ezért a komoly matematikában nem nélkülözhetjük a gyököket - ezek ugyanazok a valós számok $\mathbb(R)$ halmazának egyenlő képviselői, mint a törtek és egészek, amelyeket régóta ismerünk.

A gyökér $\frac(p)(q)$ törtrészeként való ábrázolásának lehetetlensége azt jelenti, hogy ez a gyök nem racionális szám. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük, és nem lehet pontosan ábrázolni, csak egy gyök, vagy más, kifejezetten erre a célra kialakított konstrukció (logaritmus, fok, határérték stb.) segítségével. De erről majd máskor.

Vegyünk néhány példát, ahol az összes számítás után az irracionális számok továbbra is megmaradnak a válaszban.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\kb. 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Természetesen a gyök megjelenése alapján szinte lehetetlen kitalálni, hogy mely számok jönnek a tizedesvessző után. Számológéppel azonban lehet számolni, de a legfejlettebb dátumkalkulátor is csak az irracionális szám első néhány számjegyét adja meg. Ezért sokkal helyesebb a válaszokat $\sqrt(5)$ és $\sqrt(-2)$ formában írni.

Erre találták ki. Hogy könnyebb legyen leírni a válaszokat.

Miért van szükség két definícióra?

A figyelmes olvasó valószínűleg már észrevette, hogy a példákban szereplő összes négyzetgyök pozitív számokból származik. Nos, legalábbis a nulláról. De a kockagyökereket nyugodtan kivonják abszolút bármilyen számból - még pozitívakból is, még negatívakból is.

Miért történik ez? Vessen egy pillantást a $y=((x)^(2))$ függvény grafikonjára:

A másodfokú függvény grafikonja két gyöket ad: pozitív és negatív

Próbáljuk meg kiszámítani a $\sqrt(4)$ értékét ezzel a grafikonnal. Ehhez a grafikonon egy $y=4$ vízszintes vonalat húzunk (pirossal jelölve), amely két pontban metszi a parabolát: $((x)_(1))=2$ és $((x) _(2)) =-2$. Ez teljesen logikus, hiszen

Minden világos az első számmal - ez pozitív, ezért ez a gyökér:

De akkor mi a teendő a második ponttal? A 4-nek két gyökere van egyszerre? Hiszen ha a −2 számot négyzetre emeljük, akkor 4-et is kapunk. Miért nem írunk akkor $\sqrt(4)=-2$? És miért néznek a tanárok az ilyen lemezeket úgy, mintha meg akarnának enni? :)

Az a baj, hogy ha nem szabnak további feltételeket, akkor a négynek két négyzetgyöke lesz - pozitív és negatív. És bármely pozitív számnak kettő is lesz belőle. De a negatív számoknak egyáltalán nem lesz gyökere - ez ugyanabból a grafikonból látható, mivel a parabola soha nem esik a tengely alá y, azaz nem vesz fel negatív értékeket.

Hasonló probléma jelentkezik minden páros kitevővel rendelkező gyökérnél:

1. Szigorúan véve minden pozitív számnak két gyöke lesz páros kitevővel $n$;
2. Negatív számokból a páros $n$ gyökér egyáltalán nem kerül kivonásra.

Éppen ezért a páros gyök $n$ definíciója kifejezetten előírja, hogy a válasznak egy nem negatív számnak kell lennie. Így megszabadulunk a kétértelműségtől.

De páratlan $n$ esetén nincs ilyen probléma. Ennek megtekintéséhez nézzük meg a $y=((x)^(3))$ függvény grafikonját:

A köbös parabola tetszőleges értéket vesz fel, így a kockagyök tetszőleges számból vehető

Ebből a grafikonból két következtetés vonható le:

1. A köbös parabola ágai a szokásostól eltérően mindkét irányban a végtelenbe mennek - felfelé és lefelé egyaránt. Ezért bármilyen magasságban húzunk egy vízszintes vonalat, ez a vonal mindenképpen metszi a grafikonunkat. Ezért a kockagyök mindig vehető, abszolút bármilyen számból;
2. Ráadásul egy ilyen kereszteződés mindig egyedi lesz, így nem kell azon gondolkodnia, hogy melyik számot tekintse „helyes” gyökérnek, és melyiket pontozza. Éppen ezért a gyökök meghatározása a páratlan fokra egyszerűbb, mint a párosra (nincs nem negativitás követelménye).

Kár, hogy ezeket az egyszerű dolgokat a legtöbb tankönyv nem magyarázza el. Ehelyett az agyunk szárnyalni kezd mindenféle számtani gyökérrel és azok tulajdonságaival.

Igen, nem vitatom: mi az aritmetikai gyök - azt is tudni kell. És erről részletesen egy külön leckében fogok beszélni. Ma erről is lesz szó, mert enélkül a $n$-edik multiplicitás gyökereire vonatkozó minden reflexió hiányos lenne.

De először világosan meg kell értened a fentebb megadott definíciót. Ellenkező esetben a kifejezések bősége miatt olyan zűrzavar kezdődik a fejedben, hogy a végén már egyáltalán nem értesz semmit.

És csak annyit kell értened, hogy mi a különbség a páros és a páratlan számok között. Ezért ismét összegyűjtünk mindent, amit valóban tudnia kell a gyökerekről:

1. Páros gyök csak nemnegatív számból létezik, és maga is mindig nemnegatív szám. Negatív számok esetén az ilyen gyök definiálatlan.
2. De a páratlan fok gyöke bármely számból létezik, és maga is tetszőleges szám lehet: pozitív számok esetén pozitív, negatív számok esetén pedig, ahogy a sapka utal, negatív.

Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Ez egyértelmű? Igen, ez nyilvánvaló! Ezért most egy kicsit gyakoroljuk a számításokat.

Alapvető tulajdonságok és korlátozások

A gyökereknek sok furcsa tulajdonsága és korlátozása van - ez külön lecke lesz. Ezért most csak a legfontosabb "chipet" fogjuk figyelembe venni, amely csak az egyenletes kitevővel rendelkező gyökerekre vonatkozik. Ezt a tulajdonságot egy képlet formájában írjuk le:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\jobbra|\]

Vagyis ha egy számot páros hatványra emelünk, majd ebből kivonjuk az azonos fokú gyökét, akkor nem az eredeti számot, hanem annak modulusát kapjuk. Ez egy egyszerű tétel, amelyet könnyű bizonyítani (elegendő külön figyelembe venni a nem negatív $x$-okat, majd külön figyelembe venni a negatívakat). A tanárok folyamatosan beszélnek róla, minden iskolai tankönyvben szerepel. De amint az irracionális egyenletek (vagyis a gyökjelet tartalmazó egyenletek) megoldására kerül sor, a tanulók együtt elfelejtik ezt a képletet.

A probléma részletes megértéséhez felejtsük el az összes képletet egy percre, és próbáljunk meg két számot előre számolni:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Ezek nagyon egyszerű példák. Az első példát a legtöbb ember meg fogja oldani, de a másodiknál ​​sokan ragaszkodnak. Minden ilyen szar problémamentes megoldásához mindig vegye figyelembe az eljárást:

1. Először a számot a negyedik hatványra emeljük. Nos, ez valahogy könnyű. Új számot kapunk, amely még a szorzótáblában is megtalálható;
2. És most ebből az új számból ki kell vonni a negyedik fokozat gyökerét. Azok. nincs gyökerek és fokozatok „redukciója” – ezek egymás után következő műveletek.

Foglalkozzunk az első kifejezéssel: $\sqrt(((3)^(4)))$. Nyilvánvalóan először ki kell számítania a gyökér alatti kifejezést:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Ezután kivonjuk a 81-es szám negyedik gyökerét:

Most tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Először a −3 számot a negyedik hatványra emeljük, amelyhez meg kell szoroznunk önmagával 4-szer:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ bal (-3 \jobb)=81\]

Pozitív számot kaptunk, mivel a termékben összesen 4 db mínusz van, és ezek mind kioltják egymást (elvégre a mínusz a mínuszhoz pluszt ad). Ezután ismét bontsa ki a gyökeret:

Ezt a sort elvileg nem lehetne megírni, mert nem hinném, hogy ugyanaz lesz a válasz. Azok. ugyanazon páros teljesítmény páros gyöke "égeti" a mínuszokat, és ebben az értelemben az eredmény megkülönböztethetetlen a szokásos modultól:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\jobbra|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]

Ezek a számítások jól illeszkednek a páros fok gyökének meghatározásához: az eredmény mindig nem negatív, és a gyökjel is mindig nem negatív szám. Ellenkező esetben a gyökér nincs meghatározva.

Megjegyzés a műveletek sorrendjéhez

1. A $\sqrt(((a)^(2)))$ jelölés azt jelenti, hogy először négyzetre tesszük az $a$ számot, majd vesszük a kapott érték négyzetgyökét. Ezért biztosak lehetünk abban, hogy a gyökérjel alatt mindig egy nem negatív szám ül, hiszen $((a)^(2))\ge 0$ amúgy is;
2. De a $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ jelölés éppen ellenkezőleg azt jelenti, hogy egy bizonyos $a$ számból először kivonjuk a gyökért, és csak azután négyzetesre vesszük az eredményt. Ezért az $a$ szám semmi esetre sem lehet negatív – ez a definícióba ágyazott kötelező követelmény.

Így semmi esetre sem szabad meggondolatlanul redukálni a gyökereket és a fokozatokat, ezzel állítólag "leegyszerűsítve" az eredeti kifejezést. Mert ha a gyök alatt negatív szám van, és a kitevője páros, akkor sok problémát kapunk.

Mindezek a problémák azonban csak a páros mutatók esetében relevánsak.

Mínusz jel eltávolítása a gyökérjel alól

Természetesen a páratlan kitevővel rendelkező gyököknek is megvan a saját jellemzőjük, ami elvileg nem létezik a párosoknál. Ugyanis:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Röviden: a páratlan fok gyökereinek jele alól kivehetsz egy mínuszt. Ez egy nagyon hasznos tulajdonság, amely lehetővé teszi az összes mínusz "kidobását":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(igazítás)\]

Ez az egyszerű tulajdonság nagyban leegyszerűsíti számos számítást. Most már nem kell aggódnia: mi van, ha egy negatív kifejezés a gyökér alá kerül, és a gyökér foka párosnak bizonyul? Elég "kidobni" az összes mínuszt a gyökereken kívül, ami után egymás szaporodhatnak, feloszthatók és általában sok gyanús dolgot csinálhatnak, ami a "klasszikus" gyökerek esetében garantáltan hibához vezet. .

És itt egy másik meghatározás lép színre – az, amellyel a legtöbb iskola elkezdi az irracionális kifejezések tanulmányozását. És ami nélkül érvelésünk hiányos lenne. Találkozik!

számtani gyök

Tegyük fel egy pillanatra, hogy a gyökjel alatt csak pozitív számok, vagy szélsőséges esetben nulla lehet. Pontozzuk a páros / páratlan mutatókat, pontozzuk az összes fent megadott definíciót - csak nem negatív számokkal dolgozunk. Akkor mit?

És akkor megkapjuk az aritmetikai gyökeret - részben metszi a "szabványos" definícióinkat, de mégis eltér tőlük.

Meghatározás. Egy nemnegatív $a$ szám $n$-edik fokának számtani gyöke egy $b$ nemnegatív szám, így $((b)^(n))=a$.

Mint látható, minket már nem érdekel a paritás. Ehelyett egy új megszorítás jelent meg: a radikális kifejezés mostantól mindig nem negatív, és maga a gyök is nem negatív.

Hogy jobban megértsük, miben tér el az aritmetikai gyök a megszokottól, vessünk egy pillantást a számunkra már ismert négyzet- és köbparabola grafikonokra:

Gyökér keresési terület - nem negatív számok

Mint látható, ezentúl csak azok a grafikonok érdekelnek, amelyek az első koordinátanegyedben találhatók - ahol a $x$ és $y$ koordináták pozitívak (vagy legalább nullák). Többé nem kell a mutatót nézni, hogy megértsük, jogunk van-e negatív szám gyökerezésére vagy sem. Mert a negatív számokat elvileg már nem veszik figyelembe.

Felteheti a kérdést: „Nos, miért van szükségünk ilyen kasztrált meghatározásra?” Vagy: "Miért nem boldogulunk a fent megadott standard definícióval?"

Nos, csak egy tulajdonságot adok meg, ami miatt az új meghatározás megfelelővé válik. Például a hatványozási szabály:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Figyelem: a gyökkifejezést tetszőleges hatványra emelhetjük, ugyanakkor a gyökkitevőt megszorozhatjuk ugyanennyi hatványral – és az eredmény ugyanannyi lesz! Íme néhány példa:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Nos, mi a baj ezzel? Miért nem tudtuk megtenni korábban? Íme, miért. Tekintsünk egy egyszerű kifejezést: a $\sqrt(-2)$ egy olyan szám, amely a mi klasszikus értelemben teljesen normális, de az aritmetikai gyök szempontjából abszolút elfogadhatatlan. Próbáljuk meg konvertálni:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Mint látható, az első esetben a mínuszt vettük ki a gyök alól (minden jogunk van, mert a mutató páratlan), a második esetben a fenti képletet használtuk. Azok. a matematika szempontjából minden a szabályok szerint történik.

WTF?! Hogyan lehet ugyanaz a szám pozitív és negatív is? Semmiképpen. Csak hát a pozitív számokra és nullára remekül működő hatványozási képlet negatív számok esetén teljes eretnekséget kezd adni.

Itt, hogy megszabaduljanak az ilyen kétértelműségtől, számtani gyököket találtak ki. Külön nagy leckét szentelnek nekik, ahol részletesen megvizsgáljuk minden tulajdonságukat. Tehát most nem foglalkozunk velük – a lecke amúgy is túl hosszúnak bizonyult.

Algebrai gyök: azoknak, akik többet szeretnének tudni

Sokáig gondolkodtam: külön bekezdésbe tenni ezt a témát vagy sem. Végül úgy döntöttem, elmegyek innen. Ez az anyag azoknak szól, akik még jobban szeretnék megérteni a gyökereket - már nem az átlagos „iskolai”, hanem az olimpiához közeli szinten.

Tehát: a számból származó $n$-edik fok gyökének "klasszikus" definíciója és a páros és páratlan mutatókra való felosztása mellett létezik egy "felnőttebb" definíció is, amely nem függ a paritástól, ill. egyáltalán egyéb finomságok. Ezt algebrai gyökérnek nevezzük.

Meghatározás. Bármely $a$ algebrai $n$-edik gyöke a $b$ összes szám halmaza úgy, hogy $((b)^(n))=a$. Az ilyen gyökerekre nincs jól bevált jelölés, ezért csak tegyünk egy kötőjelet a tetejére:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \jobbra. \jobbra\) \]

Az alapvető különbség a lecke elején adott standard definícióhoz képest, hogy az algebrai gyök nem egy konkrét szám, hanem egy halmaz. És mivel valós számokkal dolgozunk, ez a halmaz csak háromféle:

1. Üres készlet. Akkor fordul elő, ha meg kell találni egy páros fokú algebrai gyökét egy negatív számból;
2. Egyetlen elemből álló készlet. A páratlan hatványok minden gyökere, valamint a nullától származó páros hatványok gyökere ebbe a kategóriába tartozik;
3. Végül a halmaz két számot tartalmazhat – ugyanazt a $((x)_(1))$ és $((x)_(2))=-((x)_(1))$, amelyet a diagram másodfokú függvény. Ennek megfelelően egy ilyen igazítás csak akkor lehetséges, ha egy pozitív számból egy páros fok gyökét vonjuk ki.

Az utolsó eset részletesebb vizsgálatot érdemel. Nézzünk meg néhány példát, hogy megértsük a különbséget.

Példa. Kifejezések kiszámítása:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Megoldás. Az első kifejezés egyszerű:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Ez két szám, amely a halmaz részét képezi. Mert mindegyik négyzetes négyzetet ad.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Itt csak egy számból álló halmazt látunk. Ez teljesen logikus, mivel a gyökér kitevője páratlan.

Végül az utolsó kifejezés:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Van egy üres készletünk. Mert nincs egyetlen valós szám sem, amelyet a negyedik (vagyis páros!) Hatványra emelve negatív számot kapunk −16.

Végső megjegyzés. Figyelem: nem véletlenül jegyeztem meg mindenhol, hogy valós számokkal dolgozunk. Mert vannak komplex számok is - ott teljesen ki lehet számítani $\sqrt(-16)$ és sok más furcsa dolgot.

A matematika modern iskolai tantervében azonban szinte soha nem találhatók meg komplex számok. A legtöbb tankönyvből kimaradtak, mert tisztviselőink szerint a téma "túl nehezen érthető".

Ez minden. A következő leckében megvizsgáljuk a gyökök összes kulcsfontosságú tulajdonságát, és végül megtanuljuk, hogyan kell egyszerűsíteni az irracionális kifejezéseket. :)