Szinusz 2 a számkörön. Az egyenlet sin x = a. Arra oktatunk, hogy a szinusz és a koszinusz értékeit körben megtaláljuk

Gyakorlat.
Keresse meg x értékét itt.

Megoldás.
Annak a függvényargumentumnak az értékének megtalálása, amelynél ez bármely értékkel egyenlő, azt jelenti, hogy meghatározzuk, mely argumentumoknál lesz a szinusz értéke pontosan a feltételben jelzettnek megfelelő.
Ebben az esetben meg kell találnunk, hogy a szinuszérték milyen értékeken lesz egyenlő 1/2-vel. Ezt többféleképpen is meg lehet tenni.
Például használja a , amellyel meghatározhatja, hogy x mely értékeinél lesz a szinuszfüggvény egyenlő 1/2-vel.
Egy másik módszer a használata. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a szinuszok értékei az Oy tengelyen vannak.
A legelterjedtebb módja a használata, különösen, ha olyan értékekkel foglalkozik, amelyek szabványos ehhez a funkcióhoz, például 1/2.
Minden esetben nem szabad megfeledkezni a szinusz egyik legfontosabb tulajdonságáról - a periódusáról.
Keressük meg a táblázatban a szinusz 1/2 értékét, és nézzük meg, milyen argumentumok felelnek meg neki. A minket érdeklő érvek a Pi / 6 és az 5Pi / 6.
Írjuk fel az összes gyöket, amely kielégíti az adott egyenletet. Ehhez felírjuk a minket érdeklő ismeretlen x argumentumot és a táblázatból kapott argumentum egyik értékét, azaz a Pi / 6-ot. Leírjuk hozzá, figyelembe véve a szinusz periódusát. , az argumentum összes értéke:

Vegyük a második értéket, és kövessük ugyanazokat a lépéseket, mint az előző esetben:

Az eredeti egyenlet teljes megoldása a következő lesz:
És
q bármely egész szám értékét felveheti.

A trigonometrikus körön a fokos szögek mellett megfigyeljük a .

További információ a radiánokról:

A radián egy olyan ív szögértéke, amelynek hossza megegyezik a sugarával. Ennek megfelelően, mivel a kerület egyenlő , akkor nyilvánvaló, hogy a radiánok beleférnek a körbe, azaz

1 rad ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Mindenki tudja, hogy a radián az

Így például , és . Így vagyunk mi megtanulta a radiánokat szögekké alakítani.

Most fordítva van váltsuk át a fokokat radiánra.

Tegyük fel, hogy át kell váltanunk radiánra. Ez segíteni fog nekünk. A következőképpen járunk el:

Mivel radiánok, töltsük ki a táblázatot:

Arra oktatunk, hogy a szinusz és a koszinusz értékeit körben megtaláljuk

Tisztázzuk a következőket.

Nos, oké, ha megkérnek minket, hogy számoljunk, mondjuk - itt általában nincs zűrzavar - mindenki először a kört kezdi nézni.

És ha megkérik, hogy számolja ki például... Sokan hirtelen kezdik nem érteni, hol keressenek ezt a nullát... Gyakran az origónál keresik. Miért?

1) Egyezzünk meg egyszer és mindenkorra! Ami ezután következik, vagy az érv = szög, és sarkaink találhatók a körön, ne a tengelyeken keresd őket!(Csak az egyes pontok a körre és a tengelyre is esnek...) És a tengelyeken keressük maguknak a szinuszoknak és koszinuszoknak az értékeit!

2) És még valami! Ha eltérünk a „kiindulóponttól”. óramutató járásával ellentétes irányban(a trigonometrikus kör bejárásának fő iránya), akkor elhalasztjuk a szögek pozitív értékeit, a szögértékek nőnek, ha ebbe az irányba haladunk.

Ha eltérünk a „kiindulóponttól”. az óramutató járásával megegyező irányba, akkor negatív szögértékeket ábrázolunk.

1. példa

Keresse meg az értéket.

Megoldás:

Egy körön találjuk. A pontot a szinusztengelyre vetítjük (azaz a pontból merőlegest húzunk a szinusztengelyre (oy)).

0-ra érkezünk. Szóval, .

2. példa

Keresse meg az értéket.

Megoldás:

Megtaláljuk a körön (megyünk az óramutató járásával ellentétes irányba és újra). A pontot a szinusztengelyre vetítjük (és ez már a szinuszok tengelyén fekszik).

A szinusz tengelye mentén -1-hez jutunk.

Vegyük észre, hogy a pont mögött „rejtett” pontok találhatók, mint például (mehetünk a jelzésű ponthoz, az óramutató járásával megegyező irányba, ami azt jelenti, hogy mínuszjel jelenik meg), és végtelenül sok más.

A következő analógiát adhatjuk:

Képzeljünk el egy trigonometrikus kört stadion futópályaként.

Előfordulhat, hogy a rajttól az óramutató járásával ellentétes irányba indulva, mondjuk 300 m-t futva, vagy mondjuk 100 m-t az óramutató járásával megegyezően futva (a pálya hosszát 400 m-re tesszük).

A Flag ponthoz (a rajt után) is eljuthatsz, ha futsz mondjuk 700m, 1100m, 1500m stb. az óramutató járásával ellentétes irányba. A zászló ponthoz érhet úgy, hogy az óramutató járásával megegyező irányban fut 500 vagy 900 métert stb.

Mentálisan alakítsa át a stadion futópadját számegyenlévé. Képzelje el, hogy ezen a sorban hol lesznek például a 300, 700, 1100, 1500 stb. értékek. A számegyenesen olyan pontokat fogunk látni, amelyek egymástól egyenlő távolságra vannak. Forduljunk vissza egy körbe. A pontok „egymásra tapadnak”.

Így van ez a trigonometrikus körrel is. Minden pont mögött végtelenül sok más rejtőzik.

Mondjuk szögek , , , stb. egy ponttal jelölik. És a szinusz és a koszinusz értékei természetesen egybeesnek. (Észrevette, hogy összeadtuk/kivontuk vagy ? Ez a szinusz és koszinusz függvény periódusa.)

3. példa

Keresse meg az értéket.

Megoldás:

Váltsunk át fokokra az egyszerűség kedvéért.

(később, ha megszokja a trigonometrikus kört, nem kell a radiánokat fokokká konvertálni):

Az óramutató járásával megegyező irányba haladunk attól a ponttól kezdve, hogy megyünk egy fél kört () és még egyet

Megértjük, hogy a szinusz értéke egybeesik a szinusz értékével, és egyenlő vele

Vegye figyelembe, hogy ha például vagy stb.-t vennénk, akkor ugyanazt a szinuszértéket kapnánk.

4. példa

Keresse meg az értéket.

Megoldás:

A radiánokat azonban nem konvertáljuk fokokká, mint az előző példában.

Azaz az óramutató járásával ellentétes irányban egy fél kört és egy másik negyed fél kört kell mennünk, és a kapott pontot a koszinusz tengelyre (vízszintes tengelyre) kell vetítenünk.

5. példa.

Keresse meg az értéket.

Megoldás:

Hogyan rajzoljunk egy trigonometrikus kört?

Ha átmegyünk, vagy legalábbis akkor is azon a ponton találjuk magunkat, amelyet „rajtnak” jelöltünk. Ezért azonnal mehet a kör egy pontjára

6. példa.

Keresse meg az értéket.

Megoldás:

A pontnál fogunk végezni (még mindig a nulla pontig visz el minket). A kör pontját a koszinusz tengelyre vetítjük (lásd trigonometrikus kör), benne találjuk magunkat. Azaz .

A trigonometrikus kör a kezedben van

Már megérti, hogy a legfontosabb dolog az, hogy emlékezzen az első negyedév trigonometrikus függvényeinek értékeire. A többi negyedben minden hasonló, csak követni kell a jelzéseket. És remélem, nem felejti el a trigonometrikus függvények értékeinek „létraláncát”.

Hogyan lehet megtalálni érintő és kotangens értékek fő szögek.

Ezt követően, megismerve az érintő és a kotangens alapértékeit, passzolhatsz

Egy üres kör sablonon. Vonat!

A szinuszértékek a [-1; 1], azaz -1 ≤ sin α ≤ 1. Ezért ha |a| > 1, akkor a sin x = a egyenletnek nincs gyöke. Például a sin x = 2 egyenletnek nincs gyöke.

Nézzünk néhány problémát.

Oldja meg a sin x = 1/2 egyenletet.

Megoldás.

Figyeljük meg, hogy a sin x az egységkör egy pontjának ordinátája, amelyet a P (1; 0) pont origó körüli x szöggel történő elforgatásával kapunk.

Az M 1 és M 2 kör két pontjában ½ ordináta található.

Mivel 1/2 = sin π/6, így az M 1 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 1 = π/6 szöggel való elforgatással, valamint az x = π/6 + 2πk szögekkel, ahol k = +/-1, +/-2, …

Az M 2 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 2 = 5π/6 szöggel, valamint az x = 5π/6 + 2πk szögekkel, ahol k = +/-1, + /-2, ... , azaz x = π – π/6 + 2πk szögeknél, ahol k = +/-1, +/-2, ….

Tehát a sin x = 1/2 egyenlet minden gyöke megtalálható az x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk képletekkel, ahol k € Z.

Ezeket a képleteket egyesíthetjük: x = (-1) n π/6 + πn, ahol n € Z (1).

Valóban, ha n páros szám, azaz. n = 2k, akkor az (1) képletből x = π/6 + 2πk kapjuk, és ha n páratlan szám, azaz. n = 2k + 1, akkor az (1) képletből x = π – π/6 + 2πk kapjuk.

Válasz. x = (-1) n π/6 + πn, ahol n € Z.

Oldja meg a sin x = -1/2 egyenletet.

Megoldás.

A -1/2 ordinátán az M 1 és M 2 egységkör két pontja van, ahol x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Következésképpen a sin x = -1/2 egyenlet minden gyöke megtalálható az x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z képletekkel.

Ezeket a képleteket egyesíthetjük egybe: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).

Valóban, ha n = 2k, akkor a (2) képlet segítségével x = -π/6 + 2πk, ha pedig n = 2k – 1, akkor a (2) képlet segítségével x = -5π/6 + 2πk.

Válasz. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.

Így a sin x = 1/2 és sin x = -1/2 egyenletek mindegyikének végtelen számú gyöke van.

A -π/2 ≤ x ≤ π/2 szakaszon ezen egyenleteknek csak egy gyöke van:
x 1 = π/6 a sin x = 1/2 egyenlet gyöke, x 1 = -π/6 pedig a sin x = -1/2 egyenlet gyöke.

A π/6 számot az 1/2 szám arcszinuszának nevezzük, és felírjuk: arcsin 1/2 = π/6; a -π/6 számot a -1/2 szám arcszinuszának nevezzük, és felírjuk: arcsin (-1/2) = -π/6.

Általában a sin x = a egyenletnek, ahol -1 ≤ a ≤ 1, csak egy gyöke van a -π/2 ≤ x ≤ π/2 szakaszon. Ha a ≥ 0, akkor a gyökér benne van az intervallumban; Ha egy< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Így az a szám arcszinusza € [–1; 1] egy ilyen számot € [–π/2; π/2], melynek szinusza egyenlő a-val.

аrcsin а = α, ha sin α = а és -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).

Például аrcsin √2/2 = π/4, mivel sin π/4 = √2/2 és – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, mivel sin (-π/3) = -√3/2 és – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

Ugyanúgy, mint az 1. és 2. feladat megoldásánál, kimutatható, hogy a sin x = a egyenlet gyökei, ahol |a| ≤ 1, a képlettel kifejezve

x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).

Azt is bebizonyíthatjuk, hogy bármely € [-1; 1] az аrcsin (-а) = -аrcsin а képlet érvényes.

A (4) képletből az következik, hogy az egyenlet gyökei
sin x = a ha a = 0, a = 1, a = -1 egyszerűbb képletekkel kereshető:

sin x = 0 x = πn, n € Z (5)

sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)

sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.

Bármilyen bonyolultságú trigonometrikus egyenlet megoldása végső soron a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldásához vezet. És ebben a trigonometrikus kör ismét a legjobb asszisztensnek bizonyul.

Emlékezzünk vissza a koszinusz és a szinusz definíciójára.

A szög koszinusza az egységkör egy pontjának abszcisszája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely egy adott szögön át történő elforgatásnak felel meg.

A szög szinusza az egységkör azon pontjának ordinátája (vagyis a tengely menti koordinátája), amely egy adott szögön keresztüli elforgatásnak felel meg.

A trigonometrikus kör pozitív mozgási iránya az óramutató járásával ellentétes. A 0 fokos (vagy 0 radiános) elforgatás egy (1;0) koordinátájú pontnak felel meg.

Ezeket a definíciókat egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldására használjuk.

1. Oldja meg az egyenletet!

Ezt az egyenletet kielégíti a forgásszög minden olyan értéke, amely megfelel a kör azon pontjainak, amelyek ordinátája egyenlő .

Jelöljünk egy pontot ordinátával az ordinátatengelyen:

Rajzoljon egy vízszintes vonalat párhuzamosan az x tengellyel, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk, amelyek a körön fekszenek, és van egy ordináta. Ezek a pontok az elforgatási szögeknek és radiánoknak felelnek meg:

Ha a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő pontot elhagyva egy teljes kört megkerülünk, akkor a radiánonkénti forgásszögnek megfelelő és azonos ordinátájú ponthoz jutunk. Vagyis ez az elforgatási szög is kielégíti az egyenletünket. Annyi „üres” fordulatot tehetünk, amennyit csak akarunk, visszatérve ugyanabba a pontba, és ezek a szögértékek kielégítik az egyenletünket. Az „üresjárati” fordulatok számát a (vagy) betű jelöli. Mivel ezeket a fordulatokat pozitív és negatív irányba is megtehetjük, (vagy) bármilyen egész értéket felvehetünk.

Vagyis az eredeti egyenlet megoldásainak első sorozatának alakja:

, , - egész számok halmaza (1)

Hasonlóképpen, a megoldások második sorozatának formája a következő:

, Ahol , . (2)

Amint azt sejteni lehetett, ez a megoldássorozat a kör azon pontján alapul, amely megfelel az elforgatási szögnek.

Ez a két megoldássorozat egy bejegyzésben kombinálható:

Ha ebben a bejegyzésben veszünk (vagyis párost), akkor megkapjuk az első megoldássorozatot.

Ha ebben a bejegyzésben veszünk (vagyis páratlant), akkor a második megoldássort kapjuk.

2. Most oldjuk meg az egyenletet

Mivel ez az egységkör egy pontjának abszcissza, amelyet egy szögben elforgatva kapunk, a pontot az abszcisszával jelöljük a tengelyen:

Rajzolj egy függőleges egyenest a tengellyel párhuzamosan, amíg az nem metszi a kört. Két pontot kapunk a körön fekve és egy abszcisszával. Ezek a pontok az in és radián elforgatási szögeknek felelnek meg. Emlékezzünk vissza, hogy az óramutató járásával megegyező irányba mozgatva negatív elforgatási szöget kapunk:

Írjunk fel két megoldássorozatot:

(A fő teljes körből indulva jutunk el a kívánt ponthoz, azaz.

Foglaljuk össze ezt a két sorozatot egy bejegyzésben:

3. Oldja meg az egyenletet!

Az érintő egyenes átmegy az egységkör OY tengellyel párhuzamos koordinátáinak (1,0) pontján

Jelöljünk rajta egy pontot 1-gyel egyenlő ordinátával (azt keressük, amelyik szögeinek az érintője egyenlő 1-gyel):

Kössük össze ezt a pontot a koordináták origójával egy egyenessel, és jelöljük meg az egyenes metszéspontjait az egységkörrel. Az egyenes és a kör metszéspontjai megfelelnek a és a forgásszögeknek:

Mivel az egyenletünket kielégítő elforgatási szögeknek megfelelő pontok radiánnyi távolságra helyezkednek el egymástól, a megoldást így írhatjuk fel:

4. Oldja meg az egyenletet!

A kotangensek vonala átmegy azon a ponton, ahol az egységkör koordinátái a tengellyel párhuzamosak.

Jelöljünk egy pontot -1 abszcisszával a kotangensek vonalán:

Kapcsoljuk össze ezt a pontot az egyenes origójával, és folytassuk addig, amíg nem metszi a kört. Ez az egyenes metszi a kört azokban a pontokban, amelyek megfelelnek az in és radián elfordulási szögeinek:

Mivel ezeket a pontokat egymástól egyenlő távolság választja el, ezért az egyenlet általános megoldását a következőképpen írhatjuk fel:

A megadott példákban a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldását szemléltetve a trigonometrikus függvények táblázatos értékeit használtuk.

Ha azonban az egyenlet jobb oldala nem táblázatos értéket tartalmaz, akkor az értéket behelyettesítjük az egyenlet általános megoldásába: