Az „Y = sin x, y = cos x függvények periodicitása” című videólecke feltárja a függvény periodicitásának fogalmát, olyan problémák megoldási példáinak leírását veszi figyelembe, amelyekben a függvény periodicitásának fogalmát használják. Ez a videóóra vizuális segédlet a téma elmagyarázásához a tanulóknak. Ezenkívül ez a kézikönyv az óra önálló részévé válhat, felszabadítva a tanárt a tanulókkal való egyéni munka elvégzésére.
A téma bemutatása során nagyon fontos a láthatóság. Egy függvény viselkedésének ábrázolásához, ábrázolásához azt vizualizálni kell. Nem mindig lehet táblával és krétával olyan konstrukciókat készíteni, hogy azok minden tanuló számára érthetőek legyenek. Az oktatóvideóban lehetőség van a rajz egyes részeit színnel kiemelni építéskor, illetve animáció segítségével átalakításokat végezni. Így a legtöbb diák számára érthetőbbé válnak a konstrukciók. Ezenkívül a videoleckék funkciói hozzájárulnak az anyag jobb memorizálásához.
A bemutató az óra témájának bemutatásával kezdődik, valamint emlékezteti a tanulókat az előző órákon tanult anyagokra. Különösen az y = sin x, valamint az y = cos x függvényekben azonosított tulajdonságok listája kerül összefoglalásra. A vizsgált függvények tulajdonságai között megemlítjük a definíciós tartományt, az értéktartományt, a paritást (páratlanságot), egyéb jellemzőket - korlátoltságot, monotonitást, folytonosságot, a legkisebb (legnagyobb) értékű pontokat. Tájékoztatjuk a tanulókat, hogy ebben a leckében egy függvény másik tulajdonságát – a periodicitást – tanulmányozzuk.
Egy y=f(x) periodikus függvény definíciója, ahol xϵX, amelyben az f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) feltétel valamilyen Т≠0 esetén megjelenik. Egyébként a T számot a függvény periódusának nevezzük.
A vizsgált szinusz- és koszinuszfüggvényeknél redukciós képletekkel ellenőrzik a feltétel teljesülését. Nyilvánvaló, hogy a sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) azonosság alakja megfelel a függvény periodicitási feltételét meghatározó kifejezés alakjának. Ugyanez az egyenlőség a cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π) koszinuszra is. Ez azt jelenti, hogy ezek a trigonometrikus függvények periodikusak.
Megjegyezzük továbbá, hogy a periodicitás tulajdonsága hogyan segít periodikus függvények grafikonjainak felépítésében. Az y = sin x függvényt tekintjük. A képernyőn egy koordinátasíkot szerkesztünk, amelyen a -6π és 8π közötti abszcisszákat π lépéssel jelöljük. A szinuszgráf egy része a síkon van ábrázolva, amelyet egy hullám ábrázol a szakaszon. Az ábra szemlélteti, hogyan alakul ki egy függvény gráfja a teljes definíciós tartományon a konstruált töredék eltolásával, ami egy hosszú szinuszot eredményez.
Az y = cos x függvény grafikonját a periodicitás tulajdonságának felhasználásával készítjük el. Ehhez az ábrán egy koordinátasíkot szerkesztünk, amelyen a gráf egy töredéke látható. Meg kell jegyezni, hogy egy ilyen fragmentum általában a [-π/2;3π/2] szegmensre épül fel. A szinuszfüggvény gráfjához hasonlóan a koszinusz gráf felépítése a töredék eltolásával történik. A felépítés eredményeként egy hosszú szinusz képződik.
A periodikus függvények grafikonjainak grafikonjai használhatók. Ezért ezeket általánosított formában adjuk meg. Megjegyzendő, hogy egy ilyen függvény gráfjának elkészítéséhez először a gráf egy ágát kell megszerkeszteni egy bizonyos T hosszúságú intervallumon. Ezután el kell tolni a megszerkesztett ágat jobbra és balra T, 2T, 3T, stb. Ugyanakkor kiemeljük a periódus egy másik jellemzőjét - bármely k≠0 egész szám esetén a kT szám egyben a függvény periódusa is. T-t azonban főperiódusnak nevezzük, mivel ez a legkisebb az összes közül. A szinusz és koszinusz trigonometrikus függvényeknél az alapperiódus 2π. A periódusok azonban 4π, 6π stb.
Ezután javasoljuk az y = cos 5x függvény főperiódusának megtalálását. A megoldás azzal a feltételezéssel kezdődik, hogy T a függvény periódusa. Ez azt jelenti, hogy az f(x-T)= f(x)= f(x+T) feltételnek teljesülnie kell. Ebben az azonosságban f(x)= cos 5x, és f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T). Ebben az esetben cos (5x+5T)= cos 5x, tehát 5T=2πn. Most megtalálja a T=2π/5. A probléma megoldódott.
A második feladatban meg kell találni az y=sin(2x/7) függvény fő periódusát. Feltételezzük, hogy a T függvény fő periódusa egy adott függvényre f(x)= sin(2x/7), egy periódus után pedig f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = sin(2x/7 +(2/7)T). redukció után kapjuk (2/7)Т=2πn. Meg kell azonban találnunk a főperiódusot, ezért vesszük a legkisebb értéket (2/7)T=2π, amelyből a T=7π értéket kapjuk. A probléma megoldódott.
A demonstráció végén a példák eredményeit összegezzük, hogy egy szabályt alkossunk a függvény alapperiódusának meghatározásához. Megjegyezzük, hogy az y=sinkx és y=coskx függvények fő periódusai 2π/k.
Az „Y = sin x, y = cos x függvények periodicitása” videólecke hagyományos matematika órán használható az óra hatékonyságának növelésére. Azt is javasoljuk, hogy ezt az anyagot egy távoktatást végző tanár használja a magyarázat egyértelműségének növelése érdekében. A videót egy küszködő tanulónak ajánlhatjuk, hogy elmélyítse a téma megértését.
SZÖVEGDEKÓDOLÁS:
„Az y = cos x, y = sin x függvények periodikussága.”
Az y = sin x és y = cos x függvények gráfjainak elkészítéséhez a függvények tulajdonságait használtuk:
1 meghatározási terület,
2 értékterület,
3 páros vagy páratlan,
4 monotónia,
5 korlátozás,
6 folytonosság,
7 legmagasabb és legalacsonyabb érték.
Ma egy másik tulajdonságot vizsgálunk: egy függvény periodicitását.
MEGHATÁROZÁS. Az y = f (x) függvényt, ahol x ϵ X (a görög egyenlő az x ef-jével, ahol x az x halmazhoz tartozik), periodikusnak nevezzük, ha van olyan T szám, amely nem nulla, így bármely x-re az X halmaz a kettős egyenlőség érvényesül: f (x - T)= f (x) = f (x + T) (eff x-ből mínusz te egyenlő ef-vel x-ből és ef-vel x plusz te-ből). Azt a T számot, amely kielégíti ezt a kettős egyenlőséget, a függvény periódusának nevezzük
És mivel a szinusz és a koszinusz a teljes számegyenesen definiálva van, és bármely x esetén teljesülnek a sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) egyenlőségek (x szinusza mínusz két pi egyenlő x szinuszával és egyenlő x plusz két pi szinuszához ) És
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (x koszinusza mínusz két pi egyenlő x koszinuszával és egyenlő x plusz két pi koszinuszával), akkor a szinusz és a koszinusz periodikus függvények 2π periódus.
A periodicitás lehetővé teszi egy függvény grafikonjának gyors felépítését. Valóban, az y = sin x függvény grafikonjának elkészítéséhez elegendő egy hullámot ábrázolni (leggyakrabban egy szegmensen (nulláról két pi-re), majd a grafikon megszerkesztett részét az x mentén eltolni. -tengelyt jobbra és balra 2π-vel, majd 4π-vel és így tovább, hogy szinuszhullámot kapjunk.
(jobbra és balra eltolás 2π, 4π)
Hasonlóképpen a függvény grafikonjára is
y = cos x, de egy hullámot leggyakrabban a [ szegmensre építünk; ] (mínusz pi kettő felett három pi kettő felett).
Foglaljuk össze a fentieket, és vonjuk le a következtetést: egy T periódusú periodikus függvény grafikonjának elkészítéséhez először meg kell alkotni a gráf ágát (vagy hullámát, vagy részét) bármely T hosszúságú intervallumon (leggyakrabban ez egy intervallum, amelynek vége 0 és T vagy - és (mínusz te kettővel és te kettővel), majd mozgasd ezt az ágat az x(x) tengely mentén jobbra és balra T, 2T, 3T stb.
Nyilvánvaló, hogy ha egy függvény periodikus T periódussal, akkor bármely k0 egész számra (ka nem egyenlő nullával) egy kT (ka te) alakú szám is ennek a függvénynek a periódusa. Általában megpróbálják elkülöníteni a legkisebb pozitív időszakot, amelyet fő periódusnak neveznek.
Az y = cos x, y = sin x függvények periódusaként - 4π, 4π, - 6π, 6π stb. vehetnénk fel (mínusz négy pi, négy pi, mínusz hat pi, hat pi, és így tovább) . De a 2π szám mindkét függvény fő periódusa.
Nézzünk példákat.
PÉLDA 1. Határozzuk meg az y = cos5x függvény főperiódusát (az y egyenlő öt x koszinuszával).
Megoldás. Legyen T az y = cos5x függvény főperiódusa. Tegyük fel
f (x) = cos5x, akkor f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (x eff plusz te egyenlő az öt koszinuszával megszorozva x és te összegével egyenlő öt x és öt te összegének koszinuszával).
cos (5x + 5T) = cos5x. Ezért 5T = 2πn (öt te egyenlő két pi en), de a feltételnek megfelelően meg kell találni a főperiódusot, ami azt jelenti, hogy 5T = 2π. T=-t kapunk
(ennek a függvénynek a periódusa két pi osztva öttel).
Válasz: T=.
2. PÉLDA Határozzuk meg az y = sin függvény főperiódusát (az y egyenlő a kettő x hét hányadosának szinuszával).
Megoldás. Legyen T az y = sin függvény főperiódusa. Tegyük fel
f (x) = sin, akkor f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (x ef plus te egyenlő két hetedik és x összege szorzatának szinuszával és te egyenlő két hetedik x és két hetedik te összegének szinuszával).
Ahhoz, hogy a T szám a függvény periódusa legyen, az azonosságnak teljesülnie kell
sin (x + T) = bűn. Ezért T= 2πn (két heted te egyenlő két pi en-nel), de a feltételnek megfelelően meg kell találni a főperiódust, ami azt jelenti, hogy T= 2π. T=7-et kapunk
(ennek a függvénynek a periódusa hét pi).
Válasz: T=7.
A példákban kapott eredményeket összegezve megállapíthatjuk: az y = sin kx vagy y = cos kx függvények főperiódusa (y egyenlő kax-szel vagy y koszinusz ka x-szel) egyenlő (két pi osztva ka-val).
>> Függvények periodikussága y = sin x, y = cos x
11. § Függvények periodikussága y = sin x, y = cos x
Az előző bekezdésekben a függvények hét tulajdonságát használtuk: definíciós tartomány, páros vagy páratlan, monotonitás, korlátosság, legnagyobb és legkisebb értékek, folytonosság, a függvény értéktartománya. Ezeket a tulajdonságokat vagy egy függvény gráfjának megszerkesztésére használtuk (ez történt például a 9. §-ban), vagy a megszerkesztett gráf olvasásához (ez történt például a 10. §-ban). Most elérkezett a megfelelő pillanat a függvények egy másik (nyolcadik) tulajdonságának bevezetésére, ami jól látható a fent megszerkesztett y = sin x (lásd 37. ábra), y = cos x (lásd 41. ábra) függvények grafikonjain.
Meghatározás. Egy függvényt periodikusnak nevezünk, ha van egy nullától eltérő T szám, és a halmazok bármely x-ére érvényes a kettős egyenlőség:
A megadott feltételt kielégítő T számot az y = f(x) függvény periódusának nevezzük.
Ebből következik, hogy mivel bármely x-re érvényesek az egyenlőségek:
akkor az y = sin x, y = cos x függvények periodikusak és a szám 2 P mindkét funkció időszakaként szolgál.
Egy függvény periodicitása a függvények ígért nyolcadik tulajdonsága.
Most nézzük meg az y = sin x függvény grafikonját (37. ábra). Egy szinuszos hullám felépítéséhez elegendő az egyik hullámot ábrázolni (egy szegmensen, majd ezt a hullámot az x tengely mentén eltolni -val. Ennek eredményeként egy hullám felhasználásával a teljes gráfot megszerkesztjük.
Ugyanebből a szemszögből nézzük az y = cos x függvény grafikonját (41. ábra). Látjuk, hogy itt egy grafikon ábrázolásához elegendő először egy hullámot ábrázolni (például a szegmensen
Ezután mozgassa el az x tengely mentén
Összefoglalva a következő következtetést vonjuk le.
Ha az y = f(x) függvénynek T periódusa van, akkor a függvény grafikonjának felépítéséhez először fel kell építeni a gráf ágát (hullámát, részét) bármely T hosszúságú intervallumon (leggyakrabban végekkel rendelkező intervallumot veszünk pontokban, majd tolja el ezt az ágat az x tengely mentén jobbra és balra T, 2T, ZT stb.
Egy periodikus függvénynek végtelen sok periódusa van: ha T egy periódus, akkor 2T egy periódus, és ZT egy periódus, és -T egy periódus; Általában egy periódus tetszőleges KT alakú szám, ahol k = ±1, ±2, ± 3... Általában megpróbálják, ha lehetséges, elkülöníteni a legkisebb pozitív periódust, ezt főperiódusnak nevezik.
Tehát tetszőleges 2pk alakú szám, ahol k = ±1, ± 2, ± 3, az y = sinn x, y = cos x függvények periódusa; 2n mindkét függvény fő periódusa.
Példa. Keresse meg a függvény fő periódusát:
a) Legyen T az y = sin x függvény főperiódusa. Tegyük fel
Ahhoz, hogy a T szám egy függvény periódusa legyen, az azonosság De mivel a főperiódus megtalálásáról beszélünk, kapjuk
b) Legyen T az y = cos 0,5x függvény főperiódusa. Tegyük fel az f(x)=cos 0,5x-et. Ekkor f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).
Ahhoz, hogy a T szám a függvény periódusa legyen, a cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x azonosságnak teljesülnie kell.
Ez 0,5t = 2pp jelent. De mivel a főperiódus megtalálásáról beszélünk, 0,5T = 2 l, T = 4 l.
A példában kapott eredmények általánosítása a következő állítás: a függvény fő periódusa 
A.G. Mordkovich Algebra 10. osztály
Az óra tartalma lecke jegyzetek támogató keretóra prezentáció gyorsítási módszerek interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk hanganyagok, videoklipek és multimédiás fényképek, képek, grafikonok, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők kivonatok cikkek tippek a kíváncsiskodóknak kiságy lapok tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javítása tankönyvi hibák kijavítása tankönyvi töredék frissítése az innováció elemei a leckében az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknakévre ideális óranaptár terv módszertani ajánlások vitaprogramok Integrált leckék2020 júliusában a NASA expedíciót indít a Marsra. Az űrszonda egy elektronikus adathordozót szállít a Marsra, amelyen az expedíció összes regisztrált résztvevőjének neve szerepel.
A résztvevők regisztrációja nyitott. Szerezze meg jegyét a Marsra ezen a linken.
Ha ez a bejegyzés megoldotta a problémát, vagy csak tetszett, oszd meg a linket barátaiddal a közösségi hálózatokon.
Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan figyeli és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.
A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, a LaTeX és az ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és készen áll arra, hogy matematikai képleteket szúrjon be webhelye weboldalaiba.
Újabb szilveszter... fagyos idő és hópelyhek az ablaküvegen... Mindez arra késztetett, hogy ismét írjak... fraktálokról, és arról, hogy mit tud róla Wolfram Alpha. Erről a témáról van egy érdekes cikk, amely példákat tartalmaz kétdimenziós fraktálszerkezetekre. Itt a háromdimenziós fraktálok bonyolultabb példáit nézzük meg.
A fraktál vizuálisan ábrázolható (leírható) geometriai alakzatként vagy testként (ez azt jelenti, hogy mindkettő halmaz, jelen esetben ponthalmaz), amelynek részletei ugyanolyan alakúak, mint magának az eredeti alaknak. Vagyis ez egy önhasonló szerkezet, amelynek részleteit megvizsgálva nagyítva ugyanazt az alakot fogjuk látni, mint nagyítás nélkül. Míg egy közönséges geometriai alakzatnál (nem fraktálnál), nagyításkor olyan részleteket látunk, amelyeknek egyszerűbb a formája, mint maga az eredeti ábra. Például elég nagy nagyításnál az ellipszis egy része egyenes szakasznak tűnik. Ez nem történik meg a fraktálokkal: ezek növekedésével újra ugyanazt az összetett alakzatot fogjuk látni, amely minden növekedésnél újra és újra megismétlődik.
Benoit Mandelbrot, a fraktálok tudományának megalapítója ezt írta Fraktálok és művészet a tudomány nevében című cikkében: „A fraktálok geometriai alakzatok, amelyek részleteiben éppoly összetettek, mint általános formájukban. Vagyis ha a fraktál részei az egész méretére megnagyobbodik, egészben fog megjelenni, vagy pontosan, vagy esetleg enyhe deformációval."
A trigonometrikus függvények periodikusak, azaz egy bizonyos időszak után ismétlődnek. Ennek eredményeként elegendő a függvényt ezen az intervallumon tanulmányozni, és a felfedezett tulajdonságokat kiterjeszteni az összes többi periódusra.
Utasítás1. Ha adunk egy primitív kifejezést, amelyben csak egy trigonometrikus függvény van (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), és a függvényen belüli szöget nem szorozzuk meg semmilyen számmal, és magát nem emeljük bármilyen mértékben – használja a definíciót. A sin, cos, sec, cosec tartalmú kifejezéseknél a periódusnak merészen állítsa be a 2P-t, ha pedig az egyenletben szerepel a tg, ctg, akkor P. Tegyük fel, hogy az y=2 sinx+5 függvénynél a periódus egyenlő lesz 2P-vel. .
2. Ha egy trigonometrikus függvény előjele alatti x szöget megszorozzuk valamilyen számmal, akkor ennek a függvénynek a periódusának meghatározásához osszuk el ezzel a számmal a tipikus periódust. Tegyük fel, hogy adott egy y = sin 5x függvény. A szinusz tipikus periódusa 2P; elosztva 5-tel, 2P/5-öt kapunk - ez a kifejezés kívánt periódusa.
3. Egy hatványra emelt trigonometrikus függvény periódusának meghatározásához becsülje meg a hatvány paritását. Az egyenletes fok eléréséhez csökkentse felére a jellemző időtartamot. Tegyük fel, hogy ha megadjuk az y = 3 cos^2x függvényt, akkor a tipikus 2P periódus 2-szeresére csökken, tehát a periódus egyenlő lesz P-vel. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a tg, ctg függvények minden P-re periodikusak. fokozat.
4. Ha kapunk egy egyenletet, amely két trigonometrikus függvény szorzatát vagy hányadosát tartalmazza, először keresse meg mindegyik periódusát külön-külön. Ezek után keresse meg azt a minimális számot, amely mindkét pont egészét tartalmazza. Tegyük fel, hogy az y=tgx*cos5x függvény adott. Érintő esetén a periódus P, koszinusznál 5x a periódus 2P/5. A minimális szám, amelyben mindkét időszak elhelyezhető, 2P, így a kívánt periódus 2P.
5. Ha nehéznek találja a javasolt végrehajtást, vagy kétségei vannak az eredményben, próbálja meg a meghatározottak szerint csinálni. Vegyük T-t a függvény periódusának, nagyobb nullánál. Helyettesítsd be az (x + T) kifejezést x helyett az egyenletbe, és oldd meg a kapott egyenlőséget úgy, mintha T egy paraméter vagy egy szám lenne. Ennek eredményeként felfedezi a trigonometrikus függvény értékét, és meg tudja találni a legkisebb periódust. Tegyük fel, hogy az enyhülés eredményeként az azonosságbűn (T/2) = 0 értéket kapja. A T minimális értéke, amelynél végrehajtják, 2P, ez lesz a feladat eredménye.
A periodikus függvény olyan függvény, amely megismétli értékeit egy nem nulla periódus után. A függvény periódusa egy olyan szám, amely egy függvény argumentumához hozzáadva nem változtatja meg a függvény értékét.
Szükséged lesz
- Elemi matematikai ismeretek és alapvető áttekintés.
1. Jelöljük az f(x) függvény periódusát K számmal. Feladatunk ennek a K értéknek a feltárása. Ehhez képzeljük el, hogy az f(x) függvény egy periodikus függvény definíciójával, egyenlővé tesszük f(x+K)=f(x).
2. Oldjuk meg a kapott egyenletet az ismeretlen K-re vonatkozóan, mintha x egy állandó lenne. A K értékétől függően több lehetőség is lesz.
3. Ha K>0 – akkor ez a függvény periódusa Ha K=0 – akkor az f(x) függvény nem periodikus Ha az f(x+K)=f(x) egyenlet megoldása igen nem létezik olyan K esetén, amely nem egyenlő nullával, akkor egy ilyen függvényt aperiodikusnak nevezünk, és nincs is periódusa.
Videó a témáról
Jegyzet!
Minden trigonometrikus függvény periodikus, és minden 2-nél nagyobb fokú polinom aperiodikus.
Hasznos tanács
Egy 2 periodikus függvényből álló függvény periódusa e függvények periódusainak legkisebb univerzális többszöröse.
A trigonometrikus egyenletek olyan egyenletek, amelyek egy ismeretlen argumentum trigonometrikus függvényeit tartalmazzák (például: 5sinx-3cosx =7). Annak érdekében, hogy megtanulja, hogyan oldja meg őket, ismernie kell ennek néhány módját.
1. Az ilyen egyenletek megoldása 2 lépésből áll: az első az egyenlet reformálása, hogy elnyerje legegyszerűbb formáját. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek: Sinx=a; Cosx=a stb.
2. A második a kapott legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet megoldása. Az ilyen típusú egyenletek megoldásának alapvető módjai vannak: Algebrai megoldás. Ez a módszer híresen ismert az iskolából, egy algebratanfolyamból. Más néven a változó helyettesítésének és helyettesítésének módszere. Redukciós képletek segítségével átalakítjuk, behelyettesítjük, majd megkeressük a gyökereket.
3. Az egyenlet faktorálása. Először az összes kifejezést balra mozgatjuk, és figyelembe vesszük őket.
4. Az egyenlet homogénre redukálása. Az egyenleteket homogén egyenleteknek nevezzük, ha minden tag azonos fokú, és a szinusz és a koszinusz azonos szögű.A megoldáshoz a következőket kell tenni: először át kell vinni az összes tagját a jobb oldalról a bal oldalra; helyezzen ki minden univerzális tényezőt a zárójelekből; a tényezőket és a zárójeleket nullával egyenlővé tenni; az egyenértékű zárójelek alacsonyabb fokú homogén egyenletet adnak, amelyet a cos-szal (vagy sin) kell a legmagasabb fokig elosztani; oldja meg a kapott algebrai egyenletet a tan vonatkozásában.
5. A következő módszer a félszögre való átállás. Mondjuk, oldja meg az egyenletet: 3 sin x – 5 cos x = 7. Térjünk át a félszögre: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 sin ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , ami után az összes tagot egy részre redukáljuk (lehetőleg a jobb oldalra), és megoldjuk az egyenletet.
6. Segédszög bevitele. Amikor lecseréljük a cos(a) vagy sin(a) egész értéket. Az „a” jel egy segédszög.
7. A termék összeggé alakításának módszere. Itt kell alkalmazni a megfelelő képleteket. Tegyük fel, hogy adott: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Oldja meg úgy, hogy a bal oldalt összeggé alakítja, azaz: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.
8. A végső módszert multifunkcionális helyettesítésnek nevezzük. Átalakítjuk a kifejezést és módosítjuk, mondjuk Cos(x/2)=u, majd megoldjuk az egyenletet az u paraméterrel. A végösszeg megvásárlásakor az értéket az ellenkezőjére váltjuk.
Videó a témáról
Ha egy kör pontjait tekintjük, akkor x, x + 2π, x + 4π stb. egybeesnek egymással. Így az egyenes vonalú trigonometrikus függvények periodikusan megismétlik értéküket. Ha egy függvény periódusa ismert, akkor ezen a perióduson meg lehet alkotni a függvényt, és megismételni másokon.
1. A periódus egy T szám, amelyre f(x) = f(x+T). A periódus megtalálásához oldja meg a megfelelő egyenletet x és x+T behelyettesítésével argumentumként. Ebben az esetben a már jól ismert periódusokat használják a függvényekhez. A szinuszos és koszinuszfüggvényeknél a periódus 2π, az érintő és kotangens függvényeknél pedig π.
2. Legyen adott az f(x) = sin^2(10x) függvény. Tekintsük a sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) kifejezést. Használja a képletet a fok csökkentésére: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Ekkor kapsz 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) vagy cos 20x = cos (20x+20T). Tudva, hogy a koszinusz periódusa 2π, 20T = 2π. Ez azt jelenti, hogy T = π/10. T a minimális helyes periódus, és a függvény megismétlődik 2T és 3T után, valamint a másik irányban a tengely mentén: -T, -2T stb.
Hasznos tanács
Képletekkel csökkentheti a függvény mértékét. Ha már ismeri egyes függvények periódusait, próbálja meg a meglévő függvényt ismertekre redukálni.
Egy függvény páratlanságának és páratlanságának vizsgálata segít a függvény grafikonjának felépítésében és a viselkedésének megértésében. Ehhez a kutatáshoz össze kell hasonlítania az „x” és a „-x” argumentumhoz írt függvényt.
1. Írja le a vizsgálni kívánt függvényt y=y(x) formában!
2. Cserélje ki a függvény argumentumát „-x”-re. Helyettesítse ezt az argumentumot funkcionális kifejezésre.
3. Egyszerűsítse a kifejezést.
4. Így ugyanaz a függvény van írva az „x” és „-x” argumentumokhoz. Nézd meg ezt a két bejegyzést. Ha y(-x)=y(x), akkor ez páros függvény. Ha y(-x)=-y(x), akkor páratlan függvény. Ha lehetetlen mondjuk egy függvényről, hogy y (-x)=y(x) vagy y(-x)=-y(x), akkor ez a paritás tulajdonsága alapján univerzális alakú függvény. Vagyis se nem páros, se nem páratlan.
5. Írja le megállapításait. Most már használhatja őket egy függvény grafikonjának felépítéséhez vagy egy függvény tulajdonságainak jövőbeni analitikai vizsgálatához.
6. Egy függvény páratlanságáról és páratlanságáról akkor is beszélhetünk, ha a függvény grafikonja már adott. Tegyük fel, hogy a gráf egy fizikai kísérlet eredményeként szolgált Ha egy függvény grafikonja szimmetrikus az ordináta tengelyre, akkor y(x) páros függvény. Ha egy függvény grafikonja szimmetrikus az abszcissza tengelyre, akkor x(y) páros függvény. x(y) az y(x) függvény inverze, Ha egy függvény grafikonja szimmetrikus az origóra (0,0), akkor y(x) páratlan függvény. Az x(y) inverz függvény is páratlan lesz.
7. Fontos megjegyezni, hogy egy függvény egyenletességének és páratlanságának gondolata közvetlen kapcsolatban áll a függvény definíciós tartományával. Ha mondjuk egy páros vagy páratlan függvény nem létezik x=5-nél, akkor x=-5-nél nem létezik, ami nem mondható el egy univerzális alakú függvényről. A páros és páratlan paritás megállapításakor ügyeljen a függvény tartományára.
8. Az egyenlőség és a páratlan függvény keresése korrelál a függvényértékek halmazának megtalálásával. Egy páros függvény értékkészletének megtalálásához elegendő a függvény felét megnézni, a nullától jobbra vagy balra. Ha x>0-nál az y(x) páros függvény értéket vesz fel A-ból B-be, akkor ugyanazokat az értékeket veszi fel, x0-nál pedig az y(x) páratlan függvény veszi fel A-ból az értéktartományt. B-hez, majd x sin^2-ben? + cos^2 ? = 1. A harmadik és negyedik azonosságot úgy kapjuk meg, hogy rendre elosztjuk b^2-vel és a^2-vel: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? vagy 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ?. Az ötödik és hatodik főazonosság bizonyítása egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összegének meghatározásával történik, amely egyenlő 90°-kal vagy?/2. Nehezebb trigonometrikus azonosságok: argumentumok hozzáadásának képlete, kettős és hármas szögek, a fok csökkentése, a függvények összegének vagy szorzatainak reformálása, valamint a trigonometrikus helyettesítési képletek, nevezetesen az alapvető trigonometrikus függvények tan félszögben kifejezett kifejezései: sin ?= (2*tg ?/2)/ (1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Egy matematikai függvény minimális értékének megtalálásának szükségessége az alkalmazott problémák megoldásában, mondjuk a közgazdaságtanban ténylegesen fontos. A veszteségek minimalizálása nagy jelentőséggel bír az üzleti tevékenység szempontjából.
1. A függvény minimális értékének megtalálásához meg kell határozni, hogy az x0 argumentum mekkora értékénél teljesül az y(x0) egyenlőtlenség? y(x), hol x? x0. Mint általában, ez a probléma egy bizonyos intervallumon vagy a függvény minden értéktartományában megoldódik, ha nincs megadva. A megoldás egyik aspektusa a fix pontok megtalálása.
2. Stacionárius pont az argumentum azon értéke, amelynél a függvény deriváltja nullává válik. Fermat tétele szerint, ha egy differenciálható függvény valamikor szélső értéket vesz fel (jelen esetben lokális minimumot), akkor ez a pont stacionárius.
3. A függvény gyakran pontosan ezen a ponton veszi fel minimális értékét, de nem határozható meg változatlanul. Ráadásul nem mindig lehet pontosan megmondani, hogy mennyi a függvény minimuma, vagy végtelenül kis értéket vesz fel. Aztán szokás szerint megtalálják azt a határt, amelyre a csökkenéssel hajlik.
4. Egy függvény minimális értékének meghatározásához négy lépésből álló műveletsort kell végrehajtani: a függvény definíciós tartományának megtalálása, fix pontok megszerzése, ezeken a függvény értékeinek áttekintése. pontok és az intervallum végén a minimum megtalálása.
5. Kiderül, hogy legyen adott y(x) függvény olyan intervallumon, amelynek határai az A és B pontban vannak. Keressük meg a definíciójának tartományát, és derítsük ki, hogy az intervallum a részhalmaza-e.
6. Számítsa ki a függvény deriváltját! Egyenlítse a kapott kifejezést nullával, és keresse meg az egyenlet gyökereit. Ellenőrizze, hogy ezek az álló pontok a résbe esnek-e. Ha nem, akkor azokat a további szakaszban nem veszik figyelembe.
7. Vizsgálja meg a rést a határok típusa szerint: nyitott, zárt, összetett vagy mérhetetlen. Ez határozza meg, hogyan keresi a minimális értéket. Tegyük fel, hogy az [A, B] szakasz egy zárt intervallum. Csatlakoztassa őket a függvényhez, és számítsa ki az értékeket. Tegye ugyanezt egy álló ponttal. Válassza ki a legalacsonyabb összeget.
8. Nyitott és mérhetetlen időközök esetén valamivel nehezebb a helyzet. Itt olyan egyoldalú határokat kell keresnie, amelyek nem mindig adnak egyértelmű eredményt. Tegyük fel, hogy egy zárt és egy átszúrt határú intervallumhoz [A, B) keresni kell egy függvényt x = A pontban és egy lim y egyoldalú határértéket x-ben? B-0.
