Alapfogalmak
Kezdjük a definíciókkal páros, páratlan és periodikus függvények.
2. definíció
A páros függvény olyan függvény, amely nem változtatja meg értékét a független változó előjelének megváltozásakor:
3. definíció
Egy függvény, amely bizonyos időközönként megismétli az értékeit:
T a függvény periódusa.
Páros és páratlan trigonometrikus függvények
Tekintsük a következő ábrát (1. ábra):
1. kép
Itt a $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ és a $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ egységnyi hosszúságú vektorok, amelyek szimmetrikusak a $Ox$ tengelyhez képest.
Nyilvánvaló, hogy ezeknek a vektoroknak a koordinátáit a következő összefüggések kapcsolják össze:
Mivel a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei meghatározhatók egy egységnyi trigonometrikus kör segítségével, így azt kapjuk, hogy a szinuszfüggvény páratlan, a koszinusz függvény pedig páros, azaz:
A trigonometrikus függvények periodikussága
Tekintsük a következő ábrát (2. ábra).
2. ábra.
Itt a $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ egységnyi hosszúságú vektor.
Tegyünk egy teljes fordulatot a $\overrightarrow(OA)$ vektorral. Azaz forgassuk el az adott vektort $2\pi $ radiánnal. Ezt követően a vektor teljesen visszatér eredeti helyzetébe.
Mivel a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei az egységnyi trigonometrikus kör segítségével definiálhatók, azt kapjuk, hogy
Vagyis a szinusz és a koszinusz függvények periodikus függvények, amelyeknek a legkisebb periódusa $T=2\pi $.
Tekintsük most az érintő és a kotangens függvényét. Mivel $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, akkor
Mivel $ctgx=\frac(cosx)(sinx)$, akkor
Példák a páros, páratlan és periodikus trigonometrikus függvények használatára vonatkozó problémákra
1. példa
Bizonyítsa be a következő állításokat:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Mivel az érintő egy periodikus függvény, amelynek minimális periódusa $(360)^0$, így kapjuk
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Mivel a koszinusz egy páros és periodikus függvény, minimum $2\pi $ periódussal, kapjuk
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Mivel a szinusz egy páratlan és periodikus függvény, amelynek minimális periódusa $(360)^0$, így kapjuk
Ha létrehozunk egy egységkört, amelynek középpontja az origóban van, és beállítjuk az argumentum tetszőleges értékét x0és számolja a tengelytől Ökör sarok x 0, akkor ez a szög az egységkörön valami pontnak felel meg A(1. ábra) és a tengelyre való vetülete Ó lesz pont M. Vágott hossz OM egyenlő a pont abszcisszájának abszolút értékével A. adott argumentumérték x0 leképezett függvényérték y= cos x 0 mint egy pont abszcisszája A. Ennek megfelelően a lényeg BAN BEN(x 0 ;nál nél 0) a függvénygráfhoz tartozik nál nél= cos x(2. ábra). Ha pont A a tengelytől jobbra található OU, a tokozin pozitív lesz, ha balra akkor negatív. De mindenesetre a lényeg A nem hagyhatja el a kört. Ezért a koszinusz -1 és 1 között mozog:
-1 = cos x = 1.
További elforgatás tetszőleges szögben, 2 többszöröse p, pontot ad vissza A ugyanoda. Ezért a függvény y= kötözősaláta xp:
cos ( x+ 2p) = cos x.
Ha az argumentumnak két olyan értékét veszünk, amelyek abszolút értékben egyenlőek, de előjelben ellentétesek, xÉs - x, keresse meg a megfelelő pontokat a körön Egy xÉs Fejsze. ábrán látható módon. 3 a tengelyre való vetületüket Ó ugyanaz a pont M. Ezért
kötözősaláta(- x) = cos( x),
azok. koszinusz páros függvény, f(–x) = f(x).
Tehát feltárhatjuk a függvény tulajdonságait y= cos x a szegmensen , majd vegye figyelembe annak paritását és periodicitását.
Nál nél x= 0 pont A a tengelyen fekszik Ó, az abszcisszája 1, ezért cos 0 = 1. Növekedéssel x pont A felfelé és balra mozog a kör körül, a vetülete természetesen csak balra, és x = esetén p/2 koszinusz 0 lesz. Pont A ebben a pillanatban felemelkedik a maximális magasságra, majd tovább halad balra, de már lefelé halad. Az abszcissza folyamatosan csökken, amíg el nem éri a legkisebb értéket, amely egyenlő -1 at x= p. Így a szegmensen a függvény nál nél= cos x monoton 1-ről –1-re csökken (4., 5. ábra).
A koszinusz paritásából következik, hogy a [– p, 0], a függvény monoton módon növekszik –1-ről 1-re, és nulla értéket vesz fel x =–p/2. Ha több időszakot vesz fel, hullámos görbét kap (6. ábra).
Tehát a funkció y= cos x pontokban nulla értéket vesz fel x= p/2 + kp, Ahol k- tetszőleges egész szám. A pontokban az 1-gyel egyenlő maximumot érik el x= 2kp, azaz a 2. lépéssel p, a minimumok pedig –1-gyel egyenlők a pontokban x= p + 2kp.
y függvény \u003d sin x.
Az egységkörön x 0 pontnak felel meg A(7. ábra), és a tengelyre való vetülete OU lesz pont N.W függvény értéke y 0 = bűn x0 pont ordinátájaként határozzuk meg A. Pont BAN BEN(sarok x 0 ,nál nél 0) a függvénygráfhoz tartozik y= bűn x(8. ábra). Egyértelmű, hogy a funkció y= bűn x periodikus, periódusa 2 p:
bűn( x+ 2p) = bűn ( x).
Két argumentumérték esetén xÉs - , megfelelő pontjainak vetületei Egy xÉs Fejsze tengelyenként OU szimmetrikusan helyezkedik el a pont körül RÓL RŐL. Ezért
bűn(- x) = –sin ( x),
azok. a szinusz páratlan függvény, f(– x) = –f( x) (9. ábra).
Ha a lényeg A pont körül forog RÓL RŐL a sarkon p/2 az óramutató járásával ellentétes irányban (más szóval, ha a szög xértékkel növeljük p/2), akkor az új pozícióban lévő ordinátája egyenlő lesz a régi abszcisszával. Ami azt jelenti
bűn( x+ p/2) = cos x.
Ellenkező esetben a szinusz a koszinusz, "elkésve". p/2, mivel bármely koszinusz érték "ismétlődik" a szinuszban, amikor az argumentum %-kal nő p/2. Egy szinuszgráf felépítéséhez pedig elegendő a koszinusz gráfot eltolni p/2 jobbra (10. kép). A szinusz egy rendkívül fontos tulajdonságát fejezi ki az egyenlőség
Az egyenlőség geometriai jelentése az ábrán látható. 11. Itt X - ez az ív fele AB, és a bűn X - a megfelelő akkord fele. Nyilván a pontok közeledtével AÉs BAN BEN az akkord hossza egyre közelebb kerül az ív hosszához. Ugyanebből az ábrából könnyen kivehető az egyenlőtlenség
|bűn x| x|, bármelyre érvényes x.
A (*) képletet a matematikusok csodálatos határnak nevezik. Ebből különösen az a bűn következik x» x kicsiben x.
Funkciók nál nél=tg x, y=ctg x. Két másik trigonometrikus függvény – az érintő és a kotangens – a legkönnyebben a szinusz és a koszinusz általunk már ismert arányaként definiálható:
A szinuszhoz és a koszinuszhoz hasonlóan az érintő és a kotangens is periodikus függvények, de periódusuk egyenlő p, azaz feleak a szinusznak és koszinusznak. Ennek oka egyértelmű: ha a szinusz és a koszinusz egyaránt előjelet vált, akkor az arányuk nem változik.
Mivel az érintő nevezőjében koszinusz van, az érintő nincs meghatározva azokon a pontokon, ahol a koszinusz 0 - amikor x= p/2 +kp. Minden más ponton monoton növekszik. Közvetlen x= p/2 + kp az érintő esetében a függőleges aszimptoták. A pontokon kpérintő és meredekség 0, illetve 1 (12. ábra).
A kotangens nincs megadva ott, ahol a szinusz 0 (amikor x = kp). Más pontokon monoton csökken, és a vonalak x = kp – vertikális aszimptotái. A pontokon x = p/2 +kp a kotangens 0-ra fordul, és ezekben a pontokban a meredekség -1 (13. ábra).
Paritás és periodicitás.
Egy függvényt akkor is hívunk, ha f(–x) = f(x). A koszinusz és a szekáns függvények párosak, a szinusz, az érintő, a kotangens és a koszekáns függvények pedig páratlanok:
| sin(-α) = -sinα | tg (–α) = –tg α |
| cos(-α) = cosα | ctg(-α) = -ctgα |
| sec(-α) = secα | cosec (–α) = – cosec α |
A paritási tulajdonságok a pontok szimmetriájából következnek P a és R-a (14. ábra) a tengely körül x. Ilyen szimmetria esetén a pont ordinátája előjelet vált (( x;nál nél) megy ( x; -y)). Minden függvény - periodikus, szinusz, koszinusz, szekáns és koszekáns - periódusa 2 p, és érintő és kotangens - p:
| bűn (α + 2 kπ) = sinα | cos (α + 2 kπ) = cosα |
| barnabarna (α + kπ) = tgα | ctg(α + kπ) = ctgα |
| mp (α + 2 kπ) = mp | kosec (α + 2 kπ) = cosecα |
A szinusz és koszinusz periodicitása abból következik, hogy minden pont P a + 2 kp, Ahol k= 0, ±1, ±2,…, egybeesik, az érintő és a kotangens periodicitása pedig abból adódik, hogy a pontok P egy + kp felváltva esnek a kör két átmérőjűen ellentétes pontjába, és ugyanazt a pontot adják az érintőtengelyen.
A trigonometrikus függvények főbb tulajdonságait egy táblázatban foglalhatjuk össze:
| Funkció | Tartomány | Sok érték | Paritás | A monotonitás területei ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| bűn x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | páratlan | -vel növekszik x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), csökken, mint x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2) |
| kötözősaláta x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | még | Növeli a x O((2 k – 1) p, 2kp), csökken a xÓ (2 kp, (2k + 1) p) |
| tg x | x № p/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | páratlan | -vel növekszik x O((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | páratlan | órakor csökken x RÓL RŐL ( kp, (k + 1) p) |
| mp x | x № p/2 + p k | (–Ґ , –1] ÉS [+1, +Ґ ) | még | Növeli a xÓ (2 kp, (2k + 1) p), csökken a x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| ok x | x № p k | (–Ґ , –1] ÉS [+1, +Ґ ) | páratlan | -vel növekszik x O((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), csökken, mint x O((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Öntési képletek.
Ezen képletek szerint az a, ahol argumentum trigonometrikus függvényének értéke p/2 a p , redukálható az a argumentum függvényének értékére, ahol 0 a p /2, ez is megegyezik és kiegészíti azt.
| Érv b |  – a |
+ a | p– a | p+ a | + a | + a | 2p– a |
| sinb | cos a | cos a | bűn a | –sin a | -cos a | -cos a | –sin a |
| cosb | bűn a | –sin a | -cos a | -cos a | –sin a | bűn a | cos a |
Ezért a trigonometrikus függvények táblázataiban az értékeket csak hegyesszögekre adják meg, és elegendő, ha például a szinuszra és az érintőre korlátozzuk magunkat. A táblázat csak a leggyakrabban használt szinusz- és koszinuszképleteket tartalmazza. Tőlük könnyen beszerezhető az érintő és a kotangens képlete. Amikor függvényt öntünk az űrlap argumentumából kp/2 ± a , ahol k egy egész szám, az a argumentum függvényéhez:
1) a függvény neve mentésre kerül, ha k páros, és "kiegészítő"-re változik, ha k páratlan;
2) a jobb oldali előjel egybeesik a pontban lévő redukálható függvény előjelével kp/2 ± a, ha az a szög hegyes.
Például ctg (a - p/2) Győződjön meg arról, hogy a - p/2 0-nál a p /2 a negyedik kvadránsban van, ahol a kotangens negatív, és az 1. szabály szerint megváltoztatjuk a függvény nevét: ctg (a - p/2) = –tg a .
Összeadási képletek.
Több szög képletek.
Ezek a képletek közvetlenül az összeadási képletekből származnak:
sin 2a \u003d 2 sin a cos a;
cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;
sin 3a \u003d 3 sin a - 4 sin 3 a;
cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;
A cos 3a képletét Francois Viet használta egy köbegyenlet megoldása során. Ő volt az első, aki kifejezéseket talált a cos-ra n a és bűn n a , amelyeket később egyszerűbb módon De Moivre képletéből kaptunk.
Ha az a-t /2-re cseréli a dupla argumentumú képletekben, akkor azok félszög képletekre konvertálhatók:
Univerzális helyettesítési képletek.
Ezekkel a képletekkel egy adott argumentumból származó különböző trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezés átírható egyetlen tg (a / 2) függvényből racionális kifejezésként, ez néhány egyenlet megoldásánál hasznos:
 |
|
 |
 |
Képletek összegek termékekké és termékek összegekké alakításához.
A számítógépek megjelenése előtt ezeket a képleteket a számítások egyszerűsítésére használták. A számításokat logaritmikus táblázatok, majd később - diaszabályok segítségével végezték, mert. a logaritmusok a legalkalmasabbak a számok szorzására, ezért az összes eredeti kifejezést a logaritmusok számára megfelelő formára redukáltuk, pl. olyan munkákhoz, mint:
2 bűn a sin b = cos( a-b) – cos ( a+b);
2 cos a kötözősaláta b= cos( a-b) + cos( a+b);
2 bűn a kötözősaláta b= bűn ( a-b) + bűn ( a+b).
Az érintő és a kotangens függvények képletei a fentiekből nyerhetők.
Fokozatcsökkentési képletek.
A többszörös argumentum képleteiből képletek származnak:
| sin 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a \u003d (3 sin a - sin 3a) / 4; | cos 3 a = (3 cos a + cos3 a )/4. |
Ezen képletek segítségével a trigonometrikus egyenletek alacsonyabb fokú egyenletekre redukálhatók. Ugyanígy levezethetők redukciós képletek a szinusz és a koszinusz magasabb hatványaira.
| Trigonometrikus függvények deriváltjai és integráljai | |
| (bűn x)` = cos x; | (kötözősaláta x)` = -bűn x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t bűn x dx= -cos x + C; | t cos x dx= bűn x + C; |
| t tg x dx= –ln |cos x| + C; | t ctg x dx = ln|sin x| + C; |
Minden trigonometrikus függvény definíciós tartományának minden pontján folytonos és végtelenül differenciálható. Ráadásul a trigonometrikus függvények deriváltjai trigonometrikus függvények, és integrálva trigonometrikus függvényeket vagy logaritmusaikat is megkapjuk. A trigonometrikus függvények racionális kombinációinak integráljai mindig elemi függvények.
Trigonometrikus függvények ábrázolása hatványsorok és végtelen szorzatok formájában.
Minden trigonometrikus függvény hatványsorokká bővíthető. Ebben az esetben a függvények sin x b cos x sorokban jelennek meg. konvergens minden értékre x:
Ezek a sorozatok felhasználhatók a bűn közelítő kifejezéseinek megszerzésére xés cos x kis értékekhez x:
at | x| p/2;
0x-nál| p
(B n Bernoulli-számok).
sin függvények xés cos x végtelen számú termékként ábrázolható:
Trigonometrikus rendszer 1, cos x, bűn x, cos 2 x, bűn 2 x, ¼, cos nx, bűn nx, ¼, a [– p, p] ortogonális függvényrendszer, amely lehetővé teszi a függvények trigonometrikus sorozatok formájában történő ábrázolását.
egy valós argumentum megfelelő trigonometrikus függvényeinek analitikus folytatásaiként definiálhatók a komplex síkban. Igen, bűn zés cos z definiálható a bűn sorozataival xés cos x, ha ahelyett x tegye z:
Ezek a sorozatok az egész síkon összefolynak, tehát bűn zés cos z teljes funkciók.
Az érintőt és a kotangenst a következő képletek határozzák meg:
tg függvények zés ctg z meromorf függvények. lengyelek tg zés sec z egyszerűek (1. rendűek) és pontokon helyezkednek el z=p/2 + pn, ctg oszlopok zés cosec z szintén egyszerűek és pontokon helyezkednek el z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Valamennyi képlet, amely egy valós argumentum trigonometrikus függvényeire érvényes, az összetettre is érvényes. Különösen,
bűn(- z) = -sin z,
kötözősaláta(- z) = cos z,
tg(- z) = –tg z,
ctg (- z) = -ctg z,
azok. páros és páratlan paritás megmarad. A képletek is mentésre kerülnek
bűn( z + 2p) = bűn z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,
azok. a periodicitás is megmarad, és a periódusok ugyanazok, mint a valódi argumentum függvényeinél.
A trigonometrikus függvények egy tisztán képzeletbeli argumentum exponenciális függvényében fejezhetők ki:
Vissza, e iz cos-ban kifejezve zés a bűn z képlet szerint:
e iz= cos z + én bűn z
Ezeket a képleteket Euler-képleteknek nevezzük. Leonhard Euler 1743-ban mutatta be őket.
A trigonometrikus függvények hiperbolikus függvényekkel is kifejezhetők:
z = –én SH iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
ahol sh, ch és th hiperbolikus szinusz, koszinusz és érintő.
Komplex argumentum trigonometrikus függvényei z = x + iy, Ahol xÉs y- valós számok, valós argumentumok trigonometrikus és hiperbolikus függvényeivel fejezhetők ki, például:
bűn( x+iy) = bűn x ch y + én kötözősaláta x SH y;
cos ( x+iy) = cos x ch y + én bűn x SH y.
Egy összetett argumentum szinusza és koszinusza abszolút értékben 1-nél nagyobb valós értékeket vehet fel. Például:
Ha egy ismeretlen szög a trigonometrikus függvények argumentumaként lép be az egyenletbe, akkor az egyenletet trigonometrikusnak nevezzük. Az ilyen egyenletek olyan gyakoriak, hogy módszereik a megoldások nagyon részletesek és gondosan megtervezettek. VAL VEL különféle módszerek és képletek segítségével a trigonometrikus egyenletek a forma egyenleteire redukálódnak f(x)= a, Ahol f- a legegyszerűbb trigonometrikus függvények bármelyike: szinusz, koszinusz, érintő vagy kotangens. Ezután fejezze ki az érvet x ezt a függvényt ismert értékén keresztül A.
Mivel a trigonometrikus függvények periodikusak, ugyanaz A az értéktartományból végtelen sok értéke van az argumentumnak, és az egyenlet megoldása nem írható fel egyetlen függvényként A. Ezért a fő trigonometrikus függvények definíciójának tartományában kiválasztunk egy szakaszt, amelyben az összes értékét felveszi, mindegyiket csak egyszer, és ebben a szakaszban találunk egy függvényt, amely inverz vele. Az ilyen függvényeket úgy jelöljük, hogy az eredeti függvény nevéhez az előtagot (ív) rendeljük, és inverz trigonometrikusnak nevezzük. függvények vagy csak ívfüggvények.
Inverz trigonometrikus függvények.
A bűnért x, kötözősaláta x, tg xés ctg x inverz függvények definiálhatók. Ezeket rendre arcsin jelölik x(Olvassa el: "Arxine x"), arcos x, arctg xés arcctg x. Értelemszerűen arcsin x van ilyen szám y, Mit
bűn nál nél = x.
Ugyanez igaz más inverz trigonometrikus függvényekre is. De ez a meghatározás némi pontatlanságtól szenved.
Ha a bűnt tükrözzük x, kötözősaláta x, tg xés ctg x a koordinátasík első és harmadik negyedének felezőpontjához képest, akkor a függvények periodicitásuk miatt kétértelművé válnak: ugyanaz a szinusz (koszinusz, érintő, kotangens) végtelen számú szögnek felel meg.
Hogy megszabaduljunk a kétértelműségtől, a görbe egy szakasza, amelynek szélessége p, miközben szükséges, hogy az argumentum és a függvény értéke között egy-egy megfeleltetés figyelhető meg. Az origóhoz közeli területek kerülnek kiválasztásra. A sinus számára mint az „egy az egyhez intervallum” a szegmens [– p/2, p/2], amelyen a szinusz monoton –1-ről 1-re növekszik, a koszinusznál a szakasz, az érintőnél és a kotangensnél az intervallumok (– p/2, p/2) és (0, p). Az intervallum minden görbéje a felezőszög körül tükröződik, és most inverz trigonometrikus függvényeket definiálhat. Például legyen megadva az argumentum értéke x 0,úgy, hogy 0 J x 0 Ј 1. Ezután a függvény értéke y 0 = arcsin x 0 lesz az egyetlen érték nál nél 0 , oly módon, hogy - p/2 J nál nél 0 Ј p/2 és x 0 = bűn y 0 .
Így az arcszinusz az arcsin függvénye A, a [–1, 1] intervallumon definiálva, és mindegyikre egyenlő A ilyen érték a , – p/2 a p /2 hogy sin a = A. Nagyon kényelmes egy egységkörrel ábrázolni (15. ábra). Mikor | a| 1 a körön két pont van ordinátával a, szimmetrikusan a tengelyre y. Az egyik a szög a= arcsin A, a másik pedig a szög p - a. VAL VEL figyelembe véve a szinusz periodicitását, a sin egyenlet megoldását x= A a következőképpen van írva:
x =(–1)nív bűn a + 2p n,
Ahol n= 0, ±1, ±2,...
Más egyszerű trigonometrikus egyenleteket is megoldanak:
kötözősaláta x = a, –1 =a= 1;
x=±arcos a + 2p n,
Ahol P= 0, ±1, ±2,... (16. ábra);
tg x = a;
x= arctg a + p n,
Ahol n = 0, ±1, ±2,... (17. ábra);
ctg x= A;
x= arcctg a + p n,
Ahol n = 0, ±1, ±2,... (18. ábra).
Az inverz trigonometrikus függvények főbb tulajdonságai:
ív bűn x(19. ábra): a definíciós tartomány a szegmens [–1, 1]; hatótávolság - [- p/2, p/2], monoton növekvő függvény;
arccos x(20. ábra): a definíciós tartomány a [–1, 1] szegmens; értéktartomány - ; monotonan csökkenő funkció;
arctg x(21. ábra): definíciós tartomány - minden valós szám; értéktartomány – intervallum (– p/2, p/2); monoton növekvő funkció; egyenes nál nél= –p/2 és y \u003d p / 2 - vízszintes aszimptoták;
arcctg x(22. ábra): definíciós tartomány - minden valós szám; értéktartomány - intervallum (0, p); monotonan csökkenő funkció; egyenes y= 0 és y = p a vízszintes aszimptoták.
Mert komplex argumentum trigonometrikus függvényei sin zés cos z(ellentétben a valódi argumentum függvényeivel) vegyen fel minden összetett értéket, akkor az egyenletek sin z = aés cos z = a bármilyen komplexumra van megoldása egy xÉs y valós számok, vannak egyenlőtlenségek
½| e\ey–e y| ≤|bűn z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
amelyből y® Ґ aszimptotikus képletek következnek (egyenletesen a x)
|bűn z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
A trigonometrikus függvények először a csillagászati és geometriai kutatások kapcsán merültek fel. A háromszög és a kör szakaszainak arányai, amelyek lényegében trigonometrikus függvények, már a 3. században megtalálhatók. időszámításunk előtt e. az ókori görög matematikusok munkáiban – Eukleidész, Arkhimédész, Pergai Apollóniosz és mások azonban ezek az arányszámok nem képezték önálló vizsgálati tárgyat, így nem vizsgálták a trigonometrikus függvényeket mint olyanokat. Eredetileg szegmenseknek tekintették őket, és ebben a formában Arisztarchosz (Kr. e. 4. vége - 3. század második fele), Hipparkhosz (Kr. e. 2. század), Menelaosz (Kr. u. 1. század) és Ptolemaiosz (Kr. u. 2. század) használta őket, amikor gömbháromszögek megoldása. Ptolemaiosz összeállította az első akkordtáblázatot a 30 "-ig terjedő hegyesszögekre, 10-6 pontossággal. Ez volt az első szinusztáblázat. Arányként a sin a függvény már Ariabhatában is megtalálható (V. század vége). A tg a és ctg a függvényeket al- Battaniban (9. század 2. fele - 10. század eleje) és Abul-Wefában (10. század) találjuk, aki a sec a-t és a cosec a-t is használja... Aryabhata már ismerte a képletet ( sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1, valamint félszög sin és cos képletek, amelyek segítségével szinusztáblázatokat épített a 3 ° 45 "-os szögekhez; a trigonometrikus függvények ismert értékei alapján a legegyszerűbb argumentumokhoz. Bhaskara (XII. század) módszert adott a táblázatok összeadási képletekkel történő összeállítására az 1-ig. A különféle argumentumok trigonometrikus függvényeinek összegének és különbségének szorzattá alakítására szolgáló képleteket Regiomontanus (15. század) és J. Napier vezette le az utóbbi logaritmusfeltalálása (1614) kapcsán. Regiomontanus egy táblázatot adott a szinuszértékekről 1"-en keresztül. A trigonometrikus függvények hatványsorokká való kiterjesztését I. Newton (1669) érte el. L. Euler (18. század) modern formába hozta a trigonometrikus függvények elméletét. Ő birtokolja a valódi és összetett érvekre vonatkozó definíciójukat, amelyet ma már szimbolizmusként vesznek át, kapcsolatot teremtve a szinusz- és koszinuszrendszer exponenciális függvényével és ortogonalitásával.
|BD| - az A pontban középpontba állított kör ívének hossza.
α a radiánban kifejezett szög.
Érintő ( tgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb hosszára |AB| .
Kotangens ( ctgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .
Tangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.
Az érintőfüggvény grafikonja, y = tg x
Kotangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelölést is elfogadták:
;
;
.
A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x
Az érintő és a kotangens tulajdonságai
Periodikaság
y= függvények tg xés y= ctg xπ periódusúak.
Paritás
Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.
Definíciók és értékek tartományai, növekvő, csökkenő
A tangens és a kotangens függvények definíciós tartományukon folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész szám).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Hatály és folytonosság | ||
| Értéktartomány | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Emelkedő | - | |
| Csökkenő | - | |
| Extrémek | - | - |
| Nullák, y= 0 | ||
| Metszéspontok az y tengellyel, x = 0 | y= 0 | - |
Képletek
Kifejezések szinuszban és koszinuszban
;
;
;
;
;
Az összeg és a különbség érintőjének és kotangensének képlete
A többi képlet például könnyen beszerezhető
Érintők szorzata
Az érintők összegének és különbségének képlete
Ez a táblázat az érvelés egyes értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja. 
Kifejezések komplex számokkal
Kifejezések hiperbolikus függvényekkel
;
;
Származékok
; .
.
Az n-edik sorrend deriváltja a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Tangens képleteinek származtatása > > > ; kotangensre >>>
Integrálok
Bővítések sorozatokká
Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xÉs cos xés osszuk fel ezeket a polinomokat egymásra, . Ez a következő képleteket eredményezi.
Nál nél .
nál nél .
Ahol B n- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
Ahol .
Vagy a Laplace-képlet szerint: 
Inverz függvények
Az érintő és a kotangens inverz függvényei az arctangens és az arckotangensek.
Arctangens, arctg
, Ahol n- egész.
Ív érintő, arcctg
, Ahol n- egész.
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve kutatóknak és mérnököknek, 2012.
Alapfogalmak
Kezdjük a definíciókkal páros, páratlan és periodikus függvények.
2. definíció
A páros függvény olyan függvény, amely nem változtatja meg értékét a független változó előjelének megváltozásakor:
3. definíció
Egy függvény, amely bizonyos időközönként megismétli az értékeit:
T a függvény periódusa.
Páros és páratlan trigonometrikus függvények
Tekintsük a következő ábrát (1. ábra):
1. kép
Itt a $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ és a $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ szimmetrikus az $Ox$ tengelyhez képest vektorok egyetlen hossz.
Nyilvánvaló, hogy ezeknek a vektoroknak a koordinátáit a következő összefüggések kapcsolják össze:
Mivel a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei meghatározhatók egy egységnyi trigonometrikus kör segítségével, így azt kapjuk, hogy a szinuszfüggvény páratlan, a koszinusz függvény pedig páros, azaz:
A trigonometrikus függvények periodikussága
Tekintsük a következő ábrát (2. ábra).
2. ábra.
Itt a $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ egységnyi hosszúságú vektor.
Tegyünk egy teljes fordulatot a $\overrightarrow(OA)$ vektorral. Azaz forgassuk el az adott vektort $2\pi $ radiánnal. Ezt követően a vektor teljesen visszatér eredeti helyzetébe.
Mivel a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei az egységnyi trigonometrikus kör segítségével definiálhatók, azt kapjuk, hogy
Vagyis a szinusz és a koszinusz függvények periodikus függvények, amelyeknek a legkisebb periódusa $T=2\pi $.
Tekintsük most az érintő és a kotangens függvényét. Mivel $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, akkor
Mivel $ctgx=\frac(cosx)(sinx)$, akkor
Példák a páros, páratlan és periodikus trigonometrikus függvények használatára vonatkozó problémákra
1. példa
Bizonyítsa be a következő állításokat:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Mivel az érintő egy periodikus függvény, amelynek minimális periódusa $(360)^0$, így kapjuk
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Mivel a koszinusz egy páros és periodikus függvény, minimum $2\pi $ periódussal, kapjuk
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Mivel a szinusz egy páratlan és periodikus függvény, amelynek minimális periódusa $(360)^0$, így kapjuk
