ALGEBRA REFERENCIA ANYAG A 7-11.
Kedves Szülők! Ha matematika tanárt keres gyermeke számára, akkor ez a hirdetés Önnek szól. Skype korrepetálást ajánlok: egységes államvizsgára, egységes államvizsgára felkészítés, tudáshiányok felszámolása. Az előnyei nyilvánvalóak:
1) Gyermeke otthon van, és nyugodt lehet vele kapcsolatban;
2) Az órákat a gyermek számára megfelelő időpontban tartják, és ezeken az órákon Ön is részt vehet. Egyszerűen és érthetően elmagyarázom a szokásos iskolatáblán.
3) A Skype órák további fontos előnyeire magad is gondolhatsz!
- Munka n tényezők, amelyek mindegyike egyenlő A hívott n-a szám hatványa Aés ki van jelölve An.
- Azt a műveletet, amellyel több egyenlő tényező szorzatát megtaláljuk, hatványozásnak nevezzük. A hatványra emelt számot a hatvány alapjának nevezzük. Kitevőnek nevezzük azt a számot, amely megmutatja, hogy a bázis milyen hatványra van emelve. Így, An- diploma, A- a végzettség alapja, n– kitevő.
- és 0 =1
- a 1 =a
- a m∙ a n= a m + n
- a m: a n= a m — n
- (a m) n= a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a/ b) n= a n/ b n Ha egy tört hatványra emel, a tört számlálója és nevezője is erre a hatványra emelkedik.
- (- n) hatványszám (n – természetes) szám A, nem egyenlő nullával, az inverz számot veszik figyelembe n-a szám hatványa A, azaz . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a/ b) — n=(b/ a) n
- A természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai bármely kitevővel rendelkező fokokra is érvényesek.
A nagyon nagy és nagyon kicsi számokat általában szabványos formában írják le: a∙10 n, Ahol 1≤a<10 És n(természetes vagy egész szám) – a szabványos formában írt számok sorrendje.
- Azokat a kifejezéseket, amelyek számokból, változókból és ezek hatványaiból állnak a szorzás műveletével, monomiálisoknak nevezzük.
- Az ilyen típusú monomokat, amikor a numerikus tényező (együttható) áll az első helyen, majd a változók következnek a hatványaikkal, a monomiális standard típusnak nevezzük. A monomiális változók kitevőinek összegét a monom fokának nevezzük.
- Az azonos betűrésszel rendelkező monomokat hasonló monomoknak nevezzük.
- A monomok összegét polinomnak nevezzük. A polinomot alkotó monomokat a polinom tagjainak nevezzük.
- A binomiális olyan polinom, amely két tagból (monómokból) áll.
- A trinom olyan polinom, amely három tagból (monomiálisból) áll.
- Egy polinom foka a legmagasabb foka az alkotó monomoknak.
- Egy szabványos polinom nem tartalmaz hasonló kifejezéseket, és a tagok fokozatai szerint csökkenő sorrendben írják le.
- Egy monomi polinommal való szorzásához meg kell szoroznia a polinom minden tagját ezzel a monommal, és össze kell adnia a kapott szorzatokat.
- Egy polinom két vagy több polinom szorzataként való ábrázolását a polinom faktorálásának nevezzük.
- A polinom faktorálásának legegyszerűbb módja, ha a közös tényezőt kivesszük a zárójelekből.
- Egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szoroznia egy polinom minden tagját egy másik polinom minden tagjával, és a kapott szorzatokat monomok összegeként kell felírnia. Ha szükséges, adjon hozzá hasonló kifejezéseket.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Két kifejezés összegének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetével, plusz az első kifejezés és a második kifejezés szorzatának kétszeresével és a második kifejezés négyzetével.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Két kifejezés különbségének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetével mínusz az első kifejezés és a második kifejezés szorzatának kétszerese plusz a második kifejezés négyzete.
- a 2-b 2 =(a-b)(a+b) Két kifejezés négyzeteinek különbsége egyenlő a kifejezések és azok összege közötti különbség szorzatával.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Két kifejezés összegének kocka egyenlő az első kifejezés kockájával, plusz az első kifejezés négyzetének szorzatával, a másodiké plusz hármasával az első kifejezés szorzatával és a második négyzetével, plusz a második kifejezés kockájával.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Két kifejezés különbségének kocka egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első kifejezés szorzatának és a második négyzetének háromszorosával, mínusz a második kifejezés kockájának szorzatával.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Két kifejezés kockáinak összege egyenlő magának a kifejezésnek az összegének és a különbségük hiányos négyzetének szorzatával.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Két kifejezés kockáinak különbsége egyenlő a kifejezések közötti különbség és az összegük résznégyzetének szorzatával.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Három kifejezés összegének négyzete egyenlő e kifejezések négyzeteinek összegével, plusz maguknak a kifejezéseknek az összes lehetséges megduplázott páronkénti szorzatával.
- Referencia. Két kifejezés összegének tökéletes négyzete: a 2 + 2ab + b 2
Két kifejezés összegének részleges négyzete: a 2 + ab + b 2
Az űrlap funkciója y=x2 négyzetfüggvénynek nevezzük. Egy másodfokú függvény gráfja egy parabola, amelynek csúcsa az origóban van. Parabola ágak y=x² felfelé irányítva.
Az űrlap funkciója y=x 3 köbfüggvénynek nevezzük. Egy köbös függvény grafikonja az origón áthaladó köbös parabola. Egy köbös parabola ágai y=x³ 1. és 3. negyedében találhatók.
Egyenletes funkció.
Funkció f akkor is meghívódik, ha a változó minden értékével együtt x -X f(- x)= f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátatengelyre (Oy). Az y=x 2 függvény páros.
Páratlan funkció.
Funkció f páratlannak nevezzük, ha a változó minden értékével együtt x a függvényérték tartományából ( -X) szintén e funkció körébe tartozik, és az egyenlőség teljesül: f(- x)=- f(x) . Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra. Az y=x 3 függvény páratlan.
Másodfokú egyenlet.
Meghatározás. A forma egyenlete ax 2 +bx+c=0, Ahol a, bÉs c– bármilyen valós szám, és a≠0, x– változó, másodfokú egyenletnek nevezzük.
a- első együttható, b– második együttható, c- ingyenes tag.
Hiányos másodfokú egyenletek megoldása.
- ax 2 =0 – befejezetlen másodfokú egyenlet (b=0, c=0 ). Megoldás: x=0. Válasz: 0.
- ax 2 +bx=0 –befejezetlen másodfokú egyenlet (c=0 ). Megoldás: x (ax+b)=0 → x 1 =0 vagy ax+b=0 → x 2 =-b/a. Válasz: 0; -b/a.
- ax 2 +c=0 –befejezetlen másodfokú egyenlet (b=0 ); Megoldás: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Ha (-c/a)<0 , akkor nincsenek igazi gyökerek. Ha (-с/а)>0
- ax 2 +bx+c=0- másodfokú egyenletÁltalános nézet
Megkülönböztető D=b 2-4ac.
Ha D>0, akkor két valódi gyökerünk van:
Ha D=0, akkor egyetlen gyökünk van (vagy két egyenlő gyökünk) x=-b/(2a).
Ha D<0, то действительных корней нет.
- ax 2 +bx+c=0 – másodfokú egyenlet privát űrlap akár másodikra is
Együttható b
- ax 2 +bx+c=0 – másodfokú egyenlet privát típus biztosított : a-b+c=0.
Az első gyök mindig egyenlő mínusz eggyel, a második gyök pedig mindig egyenlő mínuszral Val vel, osztva A:
x1 =-1, x2 =-c/a.
- ax 2 +bx+c=0 – másodfokú egyenlet privát típus biztosított: a+b+c=0 .
Az első gyök mindig egyenlő eggyel, a második gyök pedig egyenlő Val vel, osztva A:
x 1 = 1, x 2 = c/a.
A megadott másodfokú egyenletek megoldása.
- x 2 +px+q=0 – redukált másodfokú egyenlet (az első együttható eggyel egyenlő).
A redukált másodfokú egyenlet gyökeinek összege x 2 +px+q=0 egyenlő az ellenkező előjellel vett második együtthatóval, és a gyökök szorzata egyenlő a szabad taggal:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2), Ahol x 1, x 2- másodfokú egyenlet gyökei ax 2 +bx+c=0.
A természetes argumentum függvényét számsorozatnak, a sorozatot alkotó számokat pedig a sorozat tagjainak nevezzük.
A numerikus sorrend a következő módokon adható meg: verbális, elemző, ismétlődő, grafikus.
Olyan numerikus sorozat, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz hozzáadódik egy adott sorozathoz d, aritmetikai progressziónak nevezzük. Szám d aritmetikai sorozat különbségének nevezzük. Számtani haladásban (a n), azaz egy aritmetikai sorozatban a következő tagokkal: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... definíció szerint: a 2 =a 1 + d; a 3 =a 2 + d; a 4 =a 3 + d; a 5 =a 4 + d; ...; a n =a n-1 + d; …
Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete.
a n =a 1 + (n-1) d.
A számtani progresszió tulajdonságai.
- Egy számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával:
a n =(a n-1 +a n+1):2;
- Egy számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a tőle egyenlő távolságra lévő tagok számtani átlagával:
a n =(a n-k +a n+k):2.
Képletek egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegére.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Geometriai progresszió.
A geometriai progresszió definíciója.
Olyan numerikus sorozat, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal egy adott sorozathoz q, geometriai progressziónak nevezzük. Szám q geometriai progresszió nevezőjének nevezzük. Mértani haladásban (b n), azaz b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... definíció szerint: b 2 = b 1 ∙q; b 3 = b 2 ∙q; b4=b3∙q; ... ; b n =b n -1 ∙q.
Egy geometriai progresszió n-edik tagjának képlete.
b n =b 1 ∙q n -1.
A geometriai progresszió tulajdonságai.
Az első összegének képleten geometriai progresszió tagjai.
Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege.
A végtelen periodikus tizedesjegy egyenlő a közönséges törttel, melynek számlálójában a tizedesvessző utáni teljes szám és a tört periódusa előtti tizedesvessző utáni szám különbsége szerepel, a nevező pedig „kilencből” és „nullából” áll, és annyi „ kilenc”, ahány számjegy van a periódusban, és annyi „nulla”, ahány számjegy van a törtpont előtti tizedesvessző után. Példa:
Derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza, koszinusza, érintője és kotangense.
(α+β=90°)
Van: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgp=ctga; ctgβ=tgα. Mivel β=90°-α, akkor
sin(90°-α)=cosa; cos (90°-a)=sina;
tg (90°-a)=ctga; ctg (90°-α)=tgα.
Az egymást 90°-ig kiegészítő szögek kofüggvényei egyenlőek.
Összeadási képletek.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Képletek kettős és hármas argumentumokhoz.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3α; 22) cos3α=4cos 3α-3cosα;
Képletek egy összeg (különbség) szorzattá alakítására.
Képletek egy szorzat összeggé (különbséggé) való átalakításához.
Félargumentumok.
Szinusz és koszinusz bármilyen szögből.
A trigonometrikus függvények egyenletessége (páratlansága).
A trigonometrikus függvények közül csak egy páros: y=cosx, a másik három páratlan, azaz cos (-α)=cosα;
sin (-α)=-sinα; tg(-a)=-tga; ctg (-α)=-ctgα.
Trigonometrikus függvények jelei koordinátanegyedek szerint.
Egyes szögek trigonometrikus függvényeinek értékei.
Radiánok.
1) 1 radián a középponti szög értéke egy olyan ív alapján, amelynek hossza megegyezik az adott kör sugarával. 1 rad≈57°.
2) Egy szög fokmértékének átalakítása radiánmértékre.
3) Radiánszögmérték átalakítása fokmértékre.
Redukciós képletek.
Mnemonikus szabály:
1. A redukált funkció elé tegye a redukálható jelet.
2. Ha a π/2 (90°) argumentumot páratlan számú alkalommal írjuk le, akkor a függvény kofüggvényre változik.
Inverz trigonometrikus függvények.
Egy szám arcszinusza (arcsin a) egy szög a [-π/2; π/2 ], amelynek szinusza egyenlő a-val.
arcsin(- a)=- arcsina.
Egy szám arckoszinusza (arccos a) egy szög az intervallumból, amelynek koszinusza egyenlő a-val.
arccos(-a)=π – arccosa.
Az a szám arktangense (arctg a) egy szög a (-π/2; π/2) intervallumból, amelynek érintője egyenlő a-val.
arctg(- a)=- arctga.
Az a szám arckotangense (arcctg a) a (0; π) intervallumból bezárt szög, amelynek kotangense egyenlő a-val.
arcctg(-a)=π – arcctg a.
Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.
Általános képletek.
1)
sin t=a, 0 2)
sin t = - a, 0 3)
cos t=a, 0 4)
cos t =-a, 0 5)
tg t =a, a>0, akkor t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0, akkor t= - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, majd t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, majd t=π – arcctg a + πn, nϵZ. Különleges képletek. 1)
sin t =0, akkor t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, akkor t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1, akkor t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0, akkor t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1, akkor t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1, akkor t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, akkor t = πn, nϵZ; 8)
cot t=0, akkor t = π/2+πn, nϵZ. Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása.
Kedves oldalam látogatói, mindenki alapvető matematikai képletek 7-11 linkre kattintva szerezheti be (teljesen ingyenesen).
