Monoton funkció egy olyan függvény, amely ugyanabba az irányba változik.

Funkció növeli ha az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. Más szóval, ha az érték növekedésével x jelentése y is növekszik, akkor ez egy növekvő függvény.

Funkció csökken ha az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg. Más szóval, ha az érték növekedésével x jelentése y csökken, akkor ez egy csökkenő függvény.

Ha egy függvény valamely intervallumon növekszik vagy csökken, akkor ezen az intervallumon monotonnak nevezzük.

Funkció állandó (nem monoton) , ha nem csökken és nem nő.

Tétel(a monotonitás szükséges kritériuma):

1. Ha egy f(x) differenciálható függvény valamely intervallumban növekszik, akkor ezen az intervallumon a deriváltja nemnegatív, azaz.

2. Ha egy f(x) differenciálható függvény valamely intervallumban csökken, akkor ezen az intervallumon a deriváltja nem pozitív, .

3. Ha a függvény nem változik, akkor a deriváltja egyenlő nullával, azaz. .

Tétel(a monotonitás kellő jele):

Legyen f(x) folytonos az (a;b) intervallumon, és legyen deriváltja minden pontban, akkor:

1. Ha a belső (a;b) pozitív, akkor f(x) növekszik.

2. Ha a belső (a;b) negatív, akkor f(x) csökken.

3. Ha , akkor f(x) állandó.

Az extrémák függvényének vizsgálata.

Extrémum- a függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon. Azt a pontot, ahol a szélsőértéket elérjük, szélsőpontnak nevezzük. Ennek megfelelően, ha a minimumot elérjük, akkor a szélsőpontot minimumpontnak, ha pedig a maximumot, akkor a maximumpontnak nevezzük.

1. Keresse meg a függvény tartományát és azokat az intervallumokat, amelyeken a függvény folytonos!

2. Keresse meg a származékot.

3. Keresse meg a kritikus pontokat, pl. pontok, ahol egy függvény deriváltja nulla vagy nem létezik.

4. Minden olyan intervallumban, amelyre a definíciós tartomány kritikus pontokkal van felosztva, határozza meg a derivált előjelét és a függvény változásának jellegét.

5. Minden kritikus pontnál határozza meg, hogy az a pontos maximum, minimum, vagy nem szélsőpont.

Rögzítse a monotonitás és az extrémum függvényintervallumának vizsgálatának eredményét!

A függvény legnagyobb és legkisebb értéke.

Séma egy szegmensen folytonos függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálására.

1. Keresse meg a származékot.

2. Keresse meg a kritikus pontokat az adott szakaszon.

3. Számítsa ki a függvény értékét a kritikus pontokban és a szakasz végein!

4. A számított értékek közül válassza ki a legkisebbet és a legnagyobbat.

Egy függvény konvexitása és konkávsága.

Egy ívet konvexnek nevezünk, ha bármelyik metszését legfeljebb két pontban metszi.

A felfelé konvexitás által alkotott vonalakat konvexnek, a lefelé konvexitás által alkotott vonalakat konkávnak nevezzük.

Geometriailag egyértelmű, hogy bármely érintője alatt konvex ív, az érintő felett pedig konkáv ív található.

A függvény inflexiós pontjai.

Az inflexiós pont egy pont az egyenesen, amely elválaszt egy konvex ívet a konkávtól.

Az inflexiós pontban az érintő keresztezi az egyenest, ennek a pontnak a közelében az egyenes az érintő mindkét oldalán fekszik.

Az első derivált csökkenési intervalluma a függvénygráf konvexitási szakaszának, a növekedési intervallum pedig a homorúság szakaszának felel meg.

Tétel(az inflexiós pontokról):

Ha a második derivált az intervallumban mindenhol negatív, akkor ennek az intervallumnak megfelelő y = f(x) egyenes íve konvex. Ha a második derivált az intervallumban mindenütt pozitív, akkor az y = f(x) egyenesnek ennek az intervallumnak megfelelő íve konkáv.

Az inflexiós pont kötelező előjele:

Ha az inflexiós pont abszcisszája, akkor a , vagy nem létezik.

Az inflexiós pont elégséges jele:

A pont az y = f(x) egyenes inflexiós pontja, ha , a ;

Amikor tőle balra a domborúság, jobbra a homorúság, balra pedig a homorúság, jobbra pedig a konvexitás szakasza található.

Aszimptoták.

Meghatározás.

Egy függvény gráfjának aszimptotája egy olyan egyenes, amelynek az a tulajdonsága, hogy a függvény grafikonjának pontja és az egyenes közötti távolság a gráfpont origójától korlátlan távolságban nullára hajlik.

Az aszimptoták típusai:

1. Az egyenest az y=f(x) függvény gráfjának függőleges aszimptotájának nevezzük, ha a közvetlen értékek legalább egyike vagy egyenlő vagy .

Numerikus készlet x számít szimmetrikus nullához viszonyítva, ha van ilyen xЄ x jelentése - x szintén a készlethez tartozik x.

Funkció y = f(xx, számít még x xЄ x, f(x) = f(-x).

Páros függvény esetén a grafikon szimmetrikus az y tengelyre.

Funkció y = f(x), amely a készleten található x, számít páratlan, ha a következő feltételek teljesülnek: a) a halmaz x szimmetrikus nulla körül; b) bármely xЄ x, f(x) = -f(-x).

Páratlan függvény esetén a gráf szimmetrikus az origóhoz képest.

Funkció nál nél = f(x), xЄ x, nak, nek hívják időszakos tovább x ha van szám T (T ≠ 0) (időszak funkciókat), ha az alábbi feltételek teljesülnek:

• x - TÉs x + T sokaktól x bárkinek xЄ x;
• bárkinek xЄ x, f(x + T) = f(x - T) = f(X).

Abban az esetben, ha T a függvény periódusa, akkor az alak tetszőleges száma mT, Ahol mЄ Z, m≠ 0, ez a függvény periódusa is. Egy adott függvény pozitív periódusai közül a legkisebbet (ha létezik) főperiódusának nevezzük.

Abban az esetben, ha T- a függvény fő periódusa, majd a grafikonjának elkészítéséhez a grafikon egy részét a hosszdefiníciós terület bármelyik intervallumára építheti T, majd végezze el a grafikon ezen szakaszának párhuzamos fordítását az O tengely mentén x hogy ± T, ±2 T, ....

Funkció y = f(x), alulról határolt a forgatáson x A, amely bármely xЄ x, A ≤ f(x). A halmazon alulról határolt függvény grafikonja x, teljesen a vonal felett fekszik nál nél = A(ez egy vízszintes vonal).

Funkció nál nél = f(x), felülről korlátozva a forgatáson x(egyúttal ezen a halmazon meg kell határozni), ha van szám BAN BEN, amely bármely xЄ x, f(x) ≤ BAN BEN. Az X halmazon felülről határolt függvény grafikonja teljesen az egyenes alatt van nál nél = BAN BEN(ez egy vízszintes vonal).

A függvény figyelembe veszi korlátozott a forgatáson x(ugyanakkor ezen a halmazon kell definiálni), ha felülről és alulról korlátos ezen a halmazon, azaz vannak ilyen számok AÉs BAN BEN, amely bármely xЄ x az egyenlőtlenségeket A ≤ f(x) ≤ B. Egy halmazra korlátos függvény grafikonja x, teljesen az egyenes vonalak között helyezkedik el nál nél = AÉs nál nél = BAN BEN(ezek vízszintes vonalak).

Funkció nál nél = f (x) a halmazon korlátosnak tekintendő x(egyúttal ezen a halmazon meg kell határozni), ha van szám VAL VEL> 0, amely bármely xЄ x, │f(x)│≤ VAL VEL.

Funkció nál nél = f(x), xЄ x, nak, nek hívják növekvő (nem csökkenő) egy részhalmazon M VAL VEL x mikor mindegyikre x 1 és x 2 / M oly módon, hogy x 1 < x 2 , korrekt f(x 1) < f(x 2) (f(x 1) ≤ f(x 2)). Vagy az y függvényt hívjuk meg növekvő a forgatáson NAK NEK, ha ebből a halmazból az argumentum nagyobb értéke felel meg a függvény nagyobb értékének.

Funkció nál nél = f(x), xЄX-et hívják csökkenő (nem növekvő) egy részhalmazon M VAL VEL x mikor mindegyikre x 1 és x 2 / M oly módon, hogy x 1 < x 2 , korrekt f(x 1) > f(x 2) (f(x 1) ≥ f(x 2)). vagy funkciót nál nél csökkenőnek nevezzük a készleten NAK NEK, ha ebből a halmazból az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

Funkció nál nél = f(x), xЄ x, nak, nek hívják monoton egy részhalmazon M VAL VEL x, ha csökken (nem növekszik) vagy növekszik (nem csökken) M.

Ha a funkció nál nél = f(x), xЄ x, csökken vagy növekszik egy részhalmazon M VAL VEL x, akkor egy ilyen függvényt hívunk szigorúan monoton a forgatáson M.

Szám M hívott a függvény legnagyobb értéke u a forgatáson NAK NEK, ha ez a szám a függvény értéke egy bizonyos x értéknél 0 érvek halmazaNAK NEK, és a K halmaz argumentumának többi értéke esetén az y függvény értékei nem nagyobbak, mint a számM.

Szám m hívott a legkisebb érték funkciók y a készüléken NAK NEK ha ez a szám a függvény értéke egy bizonyos értéknél x 0 argumentum a halmazból NAK NEK, és az x argumentum többi értékéhez a halmazból NAK NEK az y függvény értéke nem kisebb egy számnál m.

A függvény főbb tulajdonságai , amivel érdemesebb elkezdeni a tanulmányozását és a kutatás az a terület, amely meghatározza és jelentõsége. Emlékeztetni kell arra, hogyan ábrázolják az elemi függvények grafikonjait. Csak ezután térhet át összetettebb grafikonok felépítésére. A „Funkciók” témakör széles körben alkalmazható a közgazdaságtanban és más tudományterületeken. A függvényeket a matematika során tanulmányozzák, és továbbra is tanulmányozzák felsőoktatási intézmények . Ott a függvényeket az első és a második derivált segítségével tanulmányozzák.

Ami nem változtat előjelet, vagyis vagy mindig nem negatív, vagy mindig nem pozitív. Ha emellett a növekmény nem nulla, akkor a függvény meghívásra kerül szigorúan monoton. A monoton függvény olyan függvény, amely ugyanabban az irányban változik.

A függvény akkor növekszik, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. A függvény akkor csökken, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

Definíciók

Legyen akkor adott függvény

. . . .

Egy (szigorúan) növekvő vagy csökkenő függvényt (szigorúan) monotonnak mondunk.

Egyéb terminológia

Néha növekvő függvényeket hívnak nem csökkenő, és csökkenő funkciók nem növekvő. A szigorúan növekvő függvényeket egyszerűen növekvőnek, a szigorúan csökkenő függvényeket pedig egyszerűen csökkenőnek nevezzük.

A monoton függvények tulajdonságai

Funkció Monotonitási feltételek

Ennek fordítva általában nem igaz. Egy szigorúan monoton függvény deriváltja eltűnhet. Azonban azoknak a pontoknak a halmazának, ahol a derivált nem egyenlő nullával, sűrűnek kell lennie az intervallumon.

Hasonlóképpen, szigorúan csökken egy intervallumon, ha és csak akkor, ha a következő két feltétel teljesül:

Példák

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mi a "monoton funkció" más szótárakban:

Monoton funkció- - egy f (x) függvény, amely vagy növekvő lehet egy adott intervallumon (azaz minél nagyobb az argumentum értéke ezen az intervallumon, annál nagyobb a függvény értéke), vagy csökkenő (ellenkező esetben) .........

Egy függvény, amely az argumentum növekedésével vagy mindig növekszik (vagy legalábbis nem csökken), vagy mindig csökken (nem nő) ... Nagy enciklopédikus szótár

- (monotoniás függvény) Olyan függvény, amelyben az argumentum értékének növekedésével a függvény értéke mindig ugyanabba az irányba változik. Ezért, ha y=f(x), akkor vagy dy/dx 0 x minden értékére, ebben az esetben y növekszik... ... Közgazdasági szótár

- (a görög monotonos monofonikus szóból) olyan függvény, amelynek Δf(x) = f(x') f(x) lépései nem változtatnak előjelet Δx = x' x > 0 esetén, azaz vagy mindig nem negatív, vagy mindig nem pozitív . Nem egészen pontosan szólva M. f. ezek olyan függvények, amelyek a ...... Nagy szovjet enciklopédia

Olyan függvény, amely az argumentum növelésekor vagy mindig növekszik (vagy legalábbis nem csökken), vagy mindig csökken (nem növekszik). * * * MONOTONE FUNCTION MONOTONE FUNCTION, egy függvény, amely az argumentum növelésekor vagy mindig növekszik (vagy ... ... enciklopédikus szótár

Egy változó függvénye, amely a valós számok egy bizonyos részhalmazán van definiálva, az n at növekmény nem változtat előjelet, azaz vagy mindig nem negatív, vagy mindig nem pozitív. Ha szigorúan nagyobb (kisebb, mint) nulla, akkor az M. f. hívják…… Matematikai Enciklopédia

Egy függvény, amely az argumentum növekedésével vagy mindig növekszik (vagy legalábbis nem csökken), vagy mindig csökken (nem nő) ... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Ez egy olyan sorozat, amelynek elemei nem csökkennek a szám növekedésével, vagy éppen ellenkezőleg, nem nőnek. Az ilyen szekvenciák gyakran megtalálhatók a kutatás során, és számos megkülönböztető jellemzővel és további tulajdonsággal rendelkeznek... ... Wikipédia

funkció- Emberek csoportja vagy csoportja, valamint az általuk használt eszközök vagy egyéb erőforrások egy vagy több folyamat vagy tevékenység végrehajtásához. Például az ügyfélszolgálat. Ennek a kifejezésnek van egy másik jelentése is: ... ... Műszaki fordítói kézikönyv

Funkció- 1. Függő változó; 2. y \u003d f (x) megfelelés a változók között, ami miatt egy bizonyos x mennyiség (argumentum vagy független változó) minden egyes figyelembe vett értéke egy bizonyos értéknek felel meg ... ... Közgazdasági és matematikai szótár

Def.: Egy függvényt egy bizonyos intervallumon keresztül növekvőnek nevezünk, ha ebben az intervallumban az argumentum minden nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg.

Def.: Egy függvényt egy bizonyos intervallumon belül csökkenőnek nevezünk, ha ebben az intervallumban az argumentum minden nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

Ahogy növekszik . Hasonlóképpen a csökkenő függvényeket monotonnak nevezzük.

Ha a függvény nem monoton, akkor definíciós tartománya véges számú monotonitási intervallumra osztható, amelyek váltakozhatnak a függvény állandóságának intervallumaival.

Az y = f(x) függvény monotonitását az első f ¤ (x) deriváltjának előjele jellemzi, nevezetesen, ha valamelyik f ¤ (x) intervallumban > 0, akkor a függvény ebben az intervallumban növekszik, ha valamely f ¤ (x) intervallum< 0, то функция убывает в этом промежутке.

Az y = f(x) függvény monotonitási intervallumainak megtalálása az első derivált f ¤ (x) konstans előjelű intervallumainak megtalálására redukálódik.

Innen kapunk egy szabályt az y = f(x) függvény monotonitási intervallumainak meghatározására.

1. Keresse meg a nullákat és az f ¤ (x) szakadási pontokat!

2. Határozzuk meg próbamódszerrel f ¤ (x) előjelét azokban az intervallumokban, amelyekre az 1. pontban kapott pontok felosztják az f(x) függvény definíciós tartományát!

Példa:

Keresse meg az y \u003d - x 2 + 10x + 7 függvény monotonitási intervallumait

Keressük f ¤ (x). y¢ = -2x +10

Az a pont, ahol y¢ = 0 egy, és a függvény tartományát a következő intervallumokra osztja: (– ∞,5) ÉS (5 ,+ ∞), amelyek mindegyikében y¢ konstans előjelet tart. Helyettesítsük be a függvény adott értékeit ezekbe az intervallumokba, és határozzuk meg az y¢ előjelét a jelzett intervallumokon, majd:

intervallumon (–∞.5] y¢ > 0,

a függvény növekszik az intervallumon és az ÉS intervallumon (3 ,+ ∞), amelyek mindegyikében y¢ konstans előjelet tart. Helyettesítse be ezekben az intervallumokban a függvény konkrét értékeit, majd határozza meg az y¢ előjelét a jelzett intervallumokon.

Monoton funkció egy függvény növekedés amely nem változtat előjelet, vagyis vagy mindig nem negatív, vagy mindig nem pozitív. Ha emellett a növekmény nem nulla, akkor a függvény meghívásra kerül szigorúan monoton. A monoton függvény olyan függvény, amely ugyanabban az irányban változik.

A függvény akkor növekszik, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg. A függvény akkor csökken, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

Legyen akkor adott függvény

Egy (szigorúan) növekvő vagy csökkenő függvényt (szigorúan) monotonnak mondunk.

Az extrémum definíciója

Az y = f(x) függvényt valamely intervallumban növekvőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha x1 esetén< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Ha egy y = f(x) differenciálható függvény egy szakaszon növekszik (csökken), akkor a deriváltja ezen a szakaszon f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Egy xо pontot az f(x) függvény lokális maximumának (minimumának) nevezzük, ha létezik az xо pontnak olyan környéke, amelynek minden pontjára az f(x) egyenlőtlenség ≤ f(xо) (f(x) ) ≥ f(xо)) igaz.

A maximum és minimum pontokat szélsőséges pontoknak, a függvény értékeit pedig ezekben a pontokban szélsőpontoknak nevezzük.

szélsőséges pontok

Az extrémumhoz szükséges feltételek. Ha az xo pont az f (x) függvény szélsőpontja, akkor vagy f "(xo) \u003d 0, vagy f (xo) nem létezik. Az ilyen pontokat kritikusnak nevezzük, és magát a függvényt a A függvény szélsőpontját a kritikus pontjai között kell keresni.

Az első elégséges feltétel. Legyen xo kritikus pont. Ha f "(x) az xo ponton való áthaladáskor előjelet vált pluszról mínuszra, akkor a függvénynek az xo pontban van maximuma, ellenkező esetben minimuma. Ha a derivált a kritikus ponton való áthaladáskor nem változtat előjelet, akkor az xo pontban nincs extrémum.

A második elégséges feltétel. Legyen az f (x) függvénynek egy f "(x) deriváltja az xo pont közelében és egy második deriváltja magában az xo pontban. Ha f" (xo) = 0,> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Egy szakaszon az y = f(x) függvény akár a kritikus pontokon, akár a szakasz végén elérheti minimális vagy maximum értékét.

7. Konvexitás intervallumai, függvény konkávsága .Inflexiós pontok.

Függvénygrafikon y=f(x) hívott konvex az intervallumon (a;b), ha ezen az intervallumon bármelyik érintője alatt helyezkedik el. Függvénygrafikon y=f(x) hívott homorú az intervallumon (a;b), ha ebben az intervallumban bármelyik érintője felett helyezkedik el. Az ábrán egy konvex görbe látható (a;b)és homorú ahhoz (időszámításunk előtt). Példák. Vegyünk egy elegendő előjelet, amely lehetővé teszi annak meghatározását, hogy egy függvény grafikonja egy adott intervallumban konvex vagy konkáv lesz. Tétel. Hadd y=f(x)által megkülönböztethető (a;b). Ha az intervallum minden pontján (a;b) a függvény második deriváltja y = f(x) negatív, azaz. f""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 homorú. Bizonyíték. A határozottság kedvéért tegyük fel, hogy f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Vegyük a függvénygrafikont y = f(x) tetszőleges pont M 0 abszcisszával x 0  (a; b) és húzza át a pontot M 0 tangens. Az ő egyenlete. Meg kell mutatnunk, hogy a függvény grafikonja a (a;b) ez alatt az érintő alatt fekszik, i.e. azonos értékkel x görbe ordináta y = f(x) kisebb lesz, mint az érintő ordinátája.

Funkció inflexiós pontja

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van. inflexiós pont.

Funkció inflexiós pont belső pont domainek, amely ezen a ponton folytonos, van egy véges vagy határozott előjelű végtelen derivált ezen a ponton, és egy szigorúan konvex felfelé irányuló intervallum vége és egy szigorúan lefelé konvex intervallum kezdete, vagy fordítva.

Nem hivatalos

Ebben az esetben a lényeg az inflexiós pont függvénygráf, vagyis a függvény grafikonja azon a ponton, amelyik "áthajlik". tangens ehhez ezen a ponton: esetén az érintő a gráf alatt van, és a gráf fölött van (vagy fordítva)

A létezés feltételei

Az inflexiós pont létezésének szükséges feltétele: ha egy f(x) függvénynek, amely a pont valamelyik környezetében kétszer differenciálható, van inflexiós pontja, akkor.

Az inflexiós pont létezésének elégséges feltétele: ha egy függvény folyamatosan differenciálható a pontidők, páratlan és, u és a szomszédságában, akkor a függvénynek van inflexiós pontja.