Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, nem megyünk messzire, azonnal figyelembe vesszük az inverz függvényt. Mi az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap egy szám:

Az ilyen logaritmust (vagyis egy bázisos logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mi egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: A kitevő és a természetes logaritmus olyan függvények, amelyek deriváltja szempontjából egyedülállóan egyszerűek. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal rendelkeznek, amit később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

Differenciálási szabályok

Milyen szabályokat? Megint egy új kifejezés?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Csak és minden. Mi más szó erre a folyamatra? Nem proizvodnovanie... A matematika differenciálját az at függvény nagyon növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjeléből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Hagyjuk, vagy könnyebben.

Példák.

Keresse meg a függvények deriváltjait:

1. azon a ponton;
2. azon a ponton;
3. azon a ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel ez egy lineáris függvény, emlékszel?);

Egy termék származéka

Itt minden hasonló: bevezetünk egy új funkciót, és megtaláljuk a növekedését:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg a függvények származékait és;
2. Keresse meg egy függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Az exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan találja meg bármely exponenciális függvény deriváltját, és ne csak a kitevőt (elfelejtette már, hogy mi az?).

Szóval hol van egy szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg új alapra hozni a függvényünket:

Ehhez egy egyszerű szabályt használunk: . Azután:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított a kitevő deriváltjához: ahogy volt, úgy marad, csak egy faktor jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények deriváltjait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem írható le egyszerűbb formában. Ezért a válaszban ebben a formában marad.

Vegye figyelembe, hogy itt két függvény hányadosa van, ezért alkalmazzuk a megfelelő differenciálási szabályt:

Ebben a példában két függvény szorzata:

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért, ha a logaritmusból egy tetszőlegest szeretne keresni más alappal, például:

Ezt a logaritmust az alaphoz kell hoznunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevezőről kiderült, hogy csak egy konstans (konstans szám, változó nélkül). A származék nagyon egyszerű:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg a vizsgán, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem ívtangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha a logaritmus nehéznek tűnik, olvassa el a "Logaritmusok" témakört, és minden sikerülni fog), de a matematika szempontjából a "komplex" szó nem azt jelenti, hogy "nehéz".

Képzeljen el egy kis szállítószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Kiderült, hogy egy ilyen összetett tárgy: egy csokoládé szalaggal becsomagolva és átkötve. Egy csokoládé szelet elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania az ellenkező lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd a kapott számot négyzetre emeljük. Szóval adnak egy számot (csoki), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd te négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal kötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor annak értékének megtalálása érdekében az első műveletet közvetlenül a változóval végezzük, majd egy másik második műveletet azzal, ami az első eredményeként történt.

Más szavakkal, Az összetett függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Példánkra .

Ugyanezeket a műveleteket megtehetjük fordított sorrendben is: először négyzetre teszünk, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát:. Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, akkor a funkció megváltozik.

Második példa: (ugyanaz). .

Az utolsó művelet, amit végzünk, a neve lesz "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ill "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonlít a változók megváltoztatásához: például a függvényben

1. Milyen lépéseket tegyünk először? Először kiszámoljuk a szinust, és csak ezután emeljük kockává. Tehát ez egy belső funkció, nem egy külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kivonjuk a csokoládét – keressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példa esetében ez így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Vizsgáljuk meg példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld csökkenteni! A koszinusz alól nem vesznek ki semmit, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy itt egy háromszintű komplex funkcióról van szó: elvégre ez már önmagában is egy komplex funkció, és mégis kivonjuk belőle a gyökeret, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csomagolóba csokoládét teszünk). és szalaggal egy aktatáskában). De nincs okunk félni: mindenesetre a megszokott sorrendben „pakoljuk ki” ezt a funkciót: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál "külsőbb" lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje - mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Sinus. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐRŐL

Függvény derivált- a függvény növekményének aránya az argumentum növekményéhez képest, az argumentum végtelenül kicsi növekményével:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjeléből:

Az összeg származéka:

Származékos termék:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a "belső" függvényt, megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a "külső" függvényt, megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.

Szerinted sok idő van még a vizsgáig? Ez egy hónap? Két? Év? A gyakorlat azt mutatja, hogy a hallgató akkor birkózik meg a legjobban a vizsgával, ha előre felkészült rá. Az Egységes Államvizsgán nagyon sok olyan nehéz feladat áll, amely útjában áll egy hallgatónak és egy leendő jelentkezőnek a legmagasabb pontszámig. Ezeket az akadályokat meg kell tanulni leküzdeni, ráadásul ezt nem nehéz megtenni. Meg kell értenie a jegyekből történő különféle feladatokkal való munka elvét. Akkor nem lesz gond az újakkal.

A logaritmusok első pillantásra hihetetlenül bonyolultnak tűnnek, de közelebbről megvizsgálva a helyzet sokkal egyszerűbbé válik. Ha a legmagasabb pontszámmal szeretné letenni a vizsgát, akkor meg kell értenie a szóban forgó fogalmat, amelyet ebben a cikkben javasolunk.

Először is válasszuk szét ezeket a definíciókat. Mi az a logaritmus (log)? Ez annak a teljesítménynek a mutatója, amelyre az alapot fel kell emelni a jelzett szám eléréséhez. Ha nem világos, elemi példát elemezünk.

Ebben az esetben az alábbi alapot a második hatványra kell emelni, hogy megkapjuk a 4-es számot.

Most foglalkozzunk a második fogalommal. Egy függvény bármilyen formájú deriváltját fogalomnak nevezzük, amely egy függvény változását jellemzi egy adott pontban. Ez azonban iskolai tananyag, és ha ezekkel a fogalmakkal külön-külön is problémákat tapasztal, érdemes megismételni a témát.

A logaritmus származéka

A témához kapcsolódó USE feladatokban több feladat is felhozható példaként. Kezdjük a legegyszerűbb logaritmikus deriválttal. Meg kell találnunk a következő függvény deriváltját.

Meg kell találnunk a következő származékot

Van egy speciális képlet.

Ebben az esetben x=u, log3x=v. Helyettesítsük be a függvényünk értékeit a képletbe.

x deriváltja eggyel lesz egyenlő. A logaritmus kicsit nehezebb. De megérti az elvet, ha csak helyettesíti az értékeket. Emlékezzünk vissza, hogy lg x deriváltja a decimális logaritmus deriváltja, ln x deriváltja pedig a természetes logaritmus deriváltja (e alapján).

Most csak helyettesítse be a kapott értékeket a képletbe. Próbálja ki Ön is, majd ellenőrizze a választ.

Mi lehet itt a probléma egyeseknek? Bevezettük a természetes logaritmus fogalmát. Beszéljünk róla, és egyúttal kitaláljuk, hogyan oldjuk meg a problémákat vele. Nem fog látni semmi bonyolultat, különösen, ha megérti a működési elvét. Meg kell szokni, hiszen a matematikában (főleg a felsőoktatási intézményekben) gyakran használják.

A természetes logaritmus származéka

Magában ez a logaritmus deriváltja az e bázishoz (ez egy irracionális szám, amely megközelítőleg 2,7). Valójában az ln nagyon egyszerű, ezért gyakran használják általában a matematikában. Igazából a probléma megoldása vele sem lesz probléma. Érdemes megjegyezni, hogy a természetes logaritmus e bázisra vonatkozó deriváltja egyenlő lesz egy osztva x-szel. A következő példa megoldása lesz a leginkább tájékoztató jellegű.

Képzelje el, mint egy összetett függvény, amely két egyszerű függvényből áll.

elég az átalakuláshoz

Az u deriváltját keressük x-re vonatkozóan

Folytassuk a másodikkal

A komplex függvény deriváltjának u=nx behelyettesítésével történő megoldásának módszerét alkalmazzuk.

Mi történt a végén?

Most emlékezzünk, mit jelentett n ebben a példában? Ez bármely szám, amely a természetes logaritmusban előfordulhat x előtt. Fontos megértened, hogy a válasz nem ezen múlik. Cserélj be bármit, a válasz továbbra is 1/x lesz.

Amint látja, itt nincs semmi bonyolult, elég csak megérteni az elvet, hogy gyorsan és hatékonyan megoldjuk a témával kapcsolatos problémákat. Most már ismeri az elméletet, a gyakorlatban kell megszilárdítani. Gyakorolja a problémák megoldását, hogy sokáig emlékezzen a megoldás elvére. Lehet, hogy az érettségi után nem lesz szüksége erre a tudásra, de a vizsgán relevánsabb lesz, mint valaha. Sok szerencsét!

A természetes logaritmus deriváltjának és az a bázisú logaritmusnak a bizonyítása és levezetése. Példák ln 2x, ln 3x és ln nx deriváltjainak kiszámítására. Az n-edrendű logaritmus derivált képletének bizonyítása matematikai indukciós módszerrel.

Tartalom

Lásd még: Logaritmus - tulajdonságok, képletek, grafikon
Természetes logaritmus - tulajdonságok, képletek, grafikon

A természetes logaritmus és az a bázisbeli logaritmus deriváltjainak képletei származtatása

Az x természetes logaritmusának deriváltja egy osztva x-szel:
(1) (lnx)′ =.

A logaritmus a bázisra vonatkozó deriváltja egyenlő egy osztva az x változóval, megszorozva a természetes logaritmusával:
(2) (log x)′ =.

Bizonyíték

Legyen olyan pozitív szám, amely nem egyenlő eggyel. Tekintsünk egy függvényt, amely az x változótól függ, ami egy alaplogaritmus:
.
Ezt a függvényt a . Keressük meg a deriváltját x-re vonatkozóan. Definíció szerint a derivált a következő határérték:
(3) .

Alakítsuk át ezt a kifejezést, hogy ismert matematikai tulajdonságokra és szabályokra redukáljuk. Ehhez a következő tényeket kell tudnunk:
ÉS) A logaritmus tulajdonságai. A következő képletekre van szükségünk:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Folytonos függvény logaritmusának folytonossága és határértékeinek tulajdonsága:
(7) .
Itt van néhány függvény, amelynek határértéke van, és ez a határ pozitív.
NÁL NÉL) A második csodálatos határ jelentése:
(8) .

Ezeket a tényeket a határunkig alkalmazzuk. Először transzformáljuk az algebrai kifejezést
.
Ehhez a (4) és (5) tulajdonságokat alkalmazzuk.

.

A (7) tulajdonságot és a második figyelemre méltó határt (8) használjuk:
.

És végül alkalmazza a (6) tulajdonságot:
.
bázis logaritmus e hívott természetes logaritmus. Így van jelölve:
.
Azután ;
.

Így megkaptuk a (2) képletet a logaritmus deriváltjára.

A természetes logaritmus származéka

Még egyszer kiírjuk a logaritmus derivált képletét az a bázisba:
.
Ennek a képletnek van a legegyszerűbb alakja a természetes logaritmushoz, amelyre , . Azután
(1) .

Emiatt az egyszerűség miatt a természetes logaritmust nagyon széles körben használják a számításokban és a matematika más, a differenciálszámítással kapcsolatos területein. A más bázisokkal rendelkező logaritmikus függvények természetes logaritmusban fejezhetők ki a (6) tulajdonság segítségével:
.

A logaritmus alapszármazékát az (1) képletből találhatjuk meg, ha a konstanst kivesszük a differenciáló jelből:
.

A logaritmus deriváltjának bizonyításának egyéb módjai

Itt feltételezzük, hogy ismerjük a kitevő deriváltjának képletét:
(9) .
Ekkor levezethetjük a természetes logaritmus deriváltjának képletét, feltéve, hogy a logaritmus a kitevő inverze.

Bizonyítsuk be a természetes logaritmus deriváltjának képletét, az inverz függvény deriváltjának képletét alkalmazva:
.
A mi esetünkben . A természetes logaritmus inverze a kitevő:
.
Származékát a (9) képlet határozza meg. A változók bármilyen betűvel jelölhetők. A (9) képletben az x változót y-ra cseréljük:
.
Azóta
.
Azután
.
A képlet bevált.

Most bebizonyítjuk a természetes logaritmus deriváltjának képletét a segítségével szabályokat az összetett függvény megkülönböztetésére. Mivel a és függvények inverzek egymással, akkor
.
Differenciáld ezt az egyenletet az x változóval:
(10) .
x deriváltja eggyel egyenlő:
.
Alkalmazzuk az összetett függvény differenciálási szabályát:
.
Itt . Cserélje be (10):
.
Innen
.

Példa

Keresse származékait 2x, 3xés ln nx.

Az eredeti függvények hasonló formájúak. Ezért meg fogjuk találni a függvény deriváltját y = log nx. Ekkor behelyettesítjük n = 2 és n = 3 értékkel. És így képleteket kapunk a származékaihoz 2xés 3x .

Tehát a függvény deriváltját keressük
y = log nx .
Képzeljük el ezt a függvényt két függvényből álló komplex függvényként:
1) Változó függő függvények : ;
2) Változó függő függvények: .
Ekkor az eredeti függvény a és a függvényekből áll:
.

Keressük meg a függvény deriváltját az x változóra vonatkozóan:
.
Keressük meg a függvény deriváltját a változóhoz képest:
.
Alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.
.
Itt helyettesítettük.

Így találtuk:
(11) .
Látjuk, hogy a derivált nem függ n-től. Ez az eredmény teljesen természetes, ha az eredeti függvényt a szorzat logaritmusának képletével alakítjuk át:
.
- egy állandó. A származéka nulla. Ekkor az összeg differenciálási szabálya szerint a következőket kapjuk:
.

; ; .

A modulo x logaritmus deriváltja

Keressük meg egy másik nagyon fontos függvény deriváltját - az x modul természetes logaritmusát:
(12) .

Nézzük az esetet. Ezután a függvény így néz ki:
.
Származékát az (1) képlet határozza meg:
.

Most fontolja meg az esetet. Ezután a függvény így néz ki:
,
hol .
De ennek a függvénynek a deriváltját is megtaláltuk a fenti példában. Nem függ n-től és egyenlő vele
.
Azután
.

Összevonjuk ezt a két esetet egy képletben:
.

Ennek megfelelően az a bázis logaritmusához a következőt kapjuk:
.

A természetes logaritmus magasabb rendű deriváltjai

Vegye figyelembe a funkciót
.
Megtaláltuk elsőrendű származékát:
(13) .

Keressük a másodrendű deriváltot:
.
Keressük meg a harmadik rend deriváltját:
.
Keressük meg a negyedik rend deriváltját:
.

Látható, hogy az n-edrendű derivált alakja:
(14) .
Bizonyítsuk be ezt matematikai indukcióval.

Bizonyíték

Helyettesítsük be az n = 1 értéket a (14) képletbe:
.
Mivel , akkor n = esetén 1 , a (14) képlet érvényes.

Tegyük fel, hogy a (14) képlet teljesül n = k esetén. Bizonyítsuk be, hogy ebből következik, hogy a képlet n = k-re érvényes + 1 .

Valójában n = k esetén van:
.
Differenciálj x-hez képest:

.
Így kaptunk:
.
Ez a képlet egybeesik a (14) képlettel, ha n = k + 1 . Tehát abból a feltételezésből, hogy a (14) képlet érvényes n = k esetén, az következik, hogy a (14) képlet érvényes n = k + esetén 1 .

Ezért az n-edrendű derivált (14) formula bármely n-re érvényes.

A logaritmus magasabb rendű deriváltjai a bázishoz

Az a bázislogaritmus n-edik deriváltjának megtalálásához a természetes logaritmussal kell kifejezni:
.
A (14) képletet alkalmazva megtaláljuk az n-edik deriváltot:
.

Lásd még:

összetett származékok. Logaritmikus derivált.
Az exponenciális függvény deriváltja

Továbbra is fejlesztjük differenciálási technikánkat. Ebben a leckében megszilárdítjuk a tárgyalt anyagot, megvizsgáljuk a bonyolultabb deriváltokat, és megismerkedünk új trükkökkel és trükkökkel a derivált megtalálásához, különösen a logaritmikus deriválttal.

Azok az olvasók, akik alacsony felkészültséggel rendelkeznek, olvassák el a cikket Hogyan lehet megtalálni a származékot? Megoldási példák amely lehetővé teszi, hogy szinte a semmiből emelje tudását. Ezután alaposan tanulmányoznia kell az oldalt Komplex függvény származéka, megérteni és megoldani Mindenki az általam felhozott példákat. Ez a lecke logikusan a harmadik a sorban, és miután elsajátította, magabiztosan megkülönbözteti a meglehetősen összetett funkciókat. Nem kívánatos ragaszkodni a „Hol máshol? Igen, és ez elég! ”, Mivel az összes példa és megoldás valódi tesztekből származik, és gyakran megtalálható a gyakorlatban.

Kezdjük az ismétléssel. A leckében Komplex függvény származéka számos példát megvizsgáltunk részletes megjegyzésekkel. A differenciálszámítás és a matematikai elemzés egyéb szakaszainak tanulmányozása során nagyon gyakran kell differenciálni, és nem mindig kényelmes (és nem mindig szükséges) a példákat nagyon részletesen festeni. Ezért a származékok szóbeli megtalálásában fogunk gyakorolni. Erre a legalkalmasabb "jelöltek" a legegyszerűbb összetett függvények származékai, például:

A komplex függvény differenciálási szabálya szerint :

A jövőben más matan témák tanulmányozásakor ilyen részletes nyilvántartásra legtöbbször nincs szükség, feltételezzük, hogy a hallgató képes hasonló származékokat találni robotpilóta segítségével. Képzeljük el, hogy hajnali 3 órakor megszólalt a telefon, és egy kellemes hang megkérdezte: "Mi a deriváltja két x érintőjének?". Ezt szinte azonnali és udvarias válasznak kell követnie: .

Az első példa azonnal önálló megoldásra lesz szánva.

1. példa

Keresse meg szóban, például egy lépésben a következő származékokat: . A feladat elvégzéséhez csak használnia kell elemi függvények deriváltjainak táblázata(ha még nem emlékezett). Ha nehézségei vannak, javaslom, hogy olvassa el újra a leckét Komplex függvény származéka.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Válaszok a lecke végén

Komplex származékok

Előzetes tüzérségi előkészítés után a 3-4-5 funkciót tartalmazó példák kevésbé lesznek ijesztőek. Talán a következő két példa bonyolultnak tűnik egyesek számára, de ha megértik (valaki szenved), akkor szinte minden más a differenciálszámításban gyerekviccnek tűnik.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint már említettük, egy komplex függvény deriváltjának megtalálásához először is szükség van rá jobb MEGÉRTSE A BEFEKTETÉSEKET. Kétség esetén emlékeztetek egy hasznos trükkre: vesszük például az "x" kísérleti értéket, és megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) ezt az értéket behelyettesíteni a "szörnyű kifejezésbe".

1) Először ki kell számítanunk a kifejezést, így az összeg a legmélyebb beágyazás.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután felkockázzuk a koszinuszát:

5) Az ötödik lépésben a különbség:

6) És végül, a legkülső függvény a négyzetgyök:

Összetett függvénydifferenciálási képlet fordított sorrendben alkalmazzák, a legkülső funkciótól a legbelsőig. Mi döntünk:

Úgy tűnik, nincs hiba...

(1) Vegyük a négyzetgyök deriváltját.

(2) A különbség deriváltját a szabály segítségével vesszük

(3) A hármas deriváltja nulla. A második tagban a fok (kocka) deriváltját vesszük.

(4) Vegyük a koszinusz deriváltját.

(5) Vegyük a logaritmus deriváltját.

(6) Végül vesszük a legmélyebb beágyazás deriváltját.

Lehet, hogy túl nehéznek tűnik, de nem ez a legbrutálisabb példa. Vegyük például Kuznyecov gyűjteményét, és értékelni fogja az elemzett származék minden varázsát és egyszerűségét. Észrevettem, hogy a vizsgán szeretnek hasonlót adni, hogy ellenőrizzék, hogy a hallgató érti-e, hogyan kell egy komplex függvény deriváltját megtalálni, vagy nem érti.

A következő példa egy önálló megoldásra vonatkozik.

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Tipp: Először a linearitás és a szorzat differenciálási szabályait alkalmazzuk

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ideje áttérni valami kompaktabbra és szebbre.
Nem ritka az olyan helyzet, amikor nem két, hanem három függvény szorzatát adjuk meg egy példában. Hogyan találjuk meg a három tényező szorzatának deriváltját?

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Először is megnézzük, de lehetséges-e három függvény szorzatát két függvény szorzatává alakítani? Például, ha két polinom van a szorzatban, akkor kinyithatjuk a zárójeleket. De ebben a példában minden függvény különbözik: fokszám, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges egymás után alkalmazza a termékdifferenciálási szabályt kétszer

A trükk az, hogy "y"-re két függvény szorzatát jelöljük: , és "ve" esetén a logaritmus:. Miért lehet ezt megtenni? Ez - ez nem két tényező szorzata és a szabály nem működik?! Nincs semmi bonyolult:

Most már másodszor kell alkalmazni a szabályt zárójelbe:

Továbbra is elferdíthetsz és kivehetsz valamit a zárójelek közül, de ebben az esetben jobb, ha ebben a formában hagyod a választ - könnyebb lesz ellenőrizni.

A fenti példa a második módon is megoldható:

Mindkét megoldás teljesen egyenértékű.

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa egy független megoldásra, a mintában az első módon van megoldva.

Tekintsünk hasonló példákat törtekkel.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt többféleképpen járhatsz:

Vagy így:

De a megoldás tömörebben is felírható, ha mindenekelőtt a hányados differenciálási szabályát alkalmazzuk , figyelembe véve a teljes számlálót:

Elvileg a példa meg van oldva, és ha ebben a formában marad, akkor nem lesz hiba. De ha van időd, mindig célszerű megnézni egy piszkozatot, de lehet-e egyszerűsíteni a választ? A számláló kifejezését közös nevezőre hozzuk és megszabadulni a háromemeletes törttől:

A további egyszerűsítések hátránya, hogy nem a származék megtalálásakor, hanem a banális iskolai átalakításoknál fennáll a hiba veszélye. Másrészt a tanárok gyakran elutasítják a feladatot, és azt kérik, hogy „hozzuk eszünkbe” a származékot.

Egy egyszerűbb példa a barkácsolható megoldásra:

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Továbbra is elsajátítjuk a derivált megtalálásának technikáit, és most egy tipikus esetet fogunk megvizsgálni, amikor egy „szörnyű” logaritmust javasolnak a differenciáláshoz.

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt hosszú utat tehet meg egy összetett függvény differenciálási szabályával:

De a legelső lépés azonnal csüggedtségbe sodor - egy tört fokozatú kellemetlen származékot kell vennie, majd törtből is.

ebből kifolyólag előtt hogyan vegyük a „fantasztikus” logaritmus deriváltját, korábban leegyszerűsítették a jól ismert iskolai tulajdonságokkal:

! Ha van kéznél egy gyakorlófüzet, másolja oda ezeket a képleteket. Ha nincs jegyzetfüzete, rajzolja le őket egy papírra, mivel a lecke többi példája ezen képletek körül fog járni.

Maga a megoldás a következőképpen fogalmazható meg:

Alakítsuk át a függvényt:

Megtaláljuk a származékot:

Maga a függvény előzetes átalakítása nagyban leegyszerűsítette a megoldást. Így ha hasonló logaritmust javasolnak a differenciáláshoz, mindig tanácsos „lebontani”.

És most néhány egyszerű példa egy független megoldásra:

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Minden átalakítás és válasz a lecke végén.

logaritmikus derivált

Ha a logaritmusok deriváltja ilyen édes zene, akkor felmerül a kérdés, hogy lehetséges-e bizonyos esetekben mesterségesen rendszerezni a logaritmust? Tud! És még szükséges is.

11. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Hasonló példákat a közelmúltban megvizsgáltunk. Mit kell tenni? Alkalmazható egymás után a hányados differenciálási szabálya, majd a szorzat differenciálási szabálya. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy egy hatalmas háromemeletes törtet kapunk, amivel egyáltalán nem akarunk foglalkozni.

De elméletben és gyakorlatban van egy olyan csodálatos dolog, mint a logaritmikus derivált. A logaritmusokat mesterségesen is meg lehet szervezni, ha mindkét oldalra "akasztjuk" őket:

jegyzet : mert A függvény negatív értékeket vehet fel, akkor általában modulokat kell használni: , amelyek a differenciálódás következtében eltűnnek. Azonban a jelenlegi kialakítás is elfogadható, ahol alapértelmezés szerint a összetettértékeket. De ha minden szigorral, akkor mindkét esetben fenntartással kell élni, hogy.

Most a lehető legjobban kell „lebontani” a jobb oldal logaritmusát (képletek a szeme előtt?). Ezt a folyamatot részletesen leírom:

Kezdjük a megkülönböztetéssel.
Mindkét részt egy vonással zárjuk:

A jobb oldal származéka meglehetősen egyszerű, nem kommentálom, mert ha ezt a szöveget olvassa, akkor nyugodtan kezelheti.

Mi van a bal oldallal?

A bal oldalon van összetett funkció. Előre látom a kérdést: „Miért, van egy „y” betű a logaritmus alatt?”.

A helyzet az, hogy ez az "egy y" - ÖNMAGÁBAN EGY FUNKCIÓ(ha nem túl világos, olvassa el az implicit módon megadott függvény származéka című cikket). Ezért a logaritmus egy külső függvény, az "y" pedig egy belső függvény. És az összetett függvények differenciálási szabályát használjuk :

A bal oldalon, mintha varázsütésre, van egy származékunk. Továbbá az arányszabály szerint a bal oldal nevezőjéből az „y”-t a jobb oldal tetejére dobjuk:

És most jut eszünkbe, hogy milyen „játék”-funkcióról beszéltünk a megkülönböztetéskor? Nézzük a feltételt:

Végső válasz:

12. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy „csináld magad” példa. Mintatervezés egy ilyen típusú példából a lecke végén.

A logaritmikus derivált segítségével a 4-7. példák bármelyikét meg lehetett oldani, más dolog, hogy ott egyszerűbbek a függvények, és talán nem nagyon indokolt a logaritmikus derivált használata.

Az exponenciális függvény deriváltja

Ezt a funkciót még nem vettük figyelembe. Az exponenciális függvény olyan függvény, amely rendelkezik és a fok és az alap az "x"-től függ. Klasszikus példa, amelyet bármelyik tankönyvben vagy előadáson megadnak:

Hogyan találjuk meg egy exponenciális függvény deriváltját?

Szükséges az imént tárgyalt technikát használni - a logaritmikus deriváltot. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk:

A fokozatot általában a jobb oldali logaritmus alól veszik ki:

Ennek eredményeként a jobb oldalon két függvény szorzata látható, amelyeket a szabványos képlet szerint különböztetünk meg. .

Megtaláljuk a származékot, ehhez mindkét részt vonjuk be körvonalak alá:

A következő lépések egyszerűek:

Végül:

Ha néhány átalakítás nem teljesen világos, kérjük, olvassa el újra figyelmesen a 11. példa magyarázatait.

A gyakorlati feladatokban az exponenciális függvény mindig bonyolultabb lesz, mint a vizsgált előadási példa.

13. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A logaritmikus deriváltot használjuk.

A jobb oldalon van egy konstans és két tényező szorzata - "x" és "x logaritmusának logaritmusa" (egy másik logaritmus van beágyazva a logaritmus alá). Egy konstans megkülönböztetésekor, mint emlékszünk, jobb, ha azonnal kivesszük a származék előjeléből, hogy ne álljon útban; és természetesen alkalmazza az ismert szabályt :

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) voltak az elsők, akik a származékok keresésének területén dolgoztak.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem szükséges kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, csak a táblázatot kell használni. a származékok és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szüksége van egy kifejezésre a stroke jel alá lebontja az egyszerű függvényeketés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Továbbá az elemi függvények deriváltjait a deriválttáblázatban, a szorzat, összeg és hányados deriváltjainak képleteit pedig a differenciálás szabályai között találjuk. A származékok és a differenciálási szabályok táblázata az első két példa után található.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Döntés. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy a függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "X" deriváltja eggyel egyenlő, a szinusz deriváltja pedig koszinusz. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Döntés. Differenciáljon annak az összegnek a deriváltjaként, amelyben a második tag állandó tényezővel kivehető a derivált előjeléből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azok általában a származéktáblázat és a legegyszerűbb differenciálási szabályok elolvasása után derülnek ki. Most megyünk hozzájuk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig nulla. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "x". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos megjegyezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványsá kell konvertálni.
4. Változó deriváltja -1 hatványára
5. A négyzetgyök származéka
6. Szinusz derivált
7. Koszinusz-származék
8. Érintő derivált
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinusz deriváltja
11. Az ív koszinusz származéka
12. Az arctangens származéka
13. Az inverz érintő deriváltja
14. Természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Az exponenciális függvény deriváltja

Differenciálási szabályok

1. Az összeg vagy a különbözet ​​származéka
2. Termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa funkciókat

egy ponton differenciálhatók, akkor ugyanabban a pontban a függvények

és

azok. a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény egy konstansban különbözik, akkor a deriváltjai, azaz

2. szabályHa funkciókat

egy ponton differenciálhatók, akkor a termékük is ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények mindegyikének szorzatának és a másik függvény deriváltjának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

2. következmény. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabályHa funkciókat

egy bizonyos ponton megkülönböztethető és , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálható.u/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező származéka közötti különbség, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete .

Hol lehet keresni más oldalakon

A szorzat deriváltjának és a hányadosnak valós feladatokban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért ezekre a deriváltokra további példák találhatók a cikkben."A szorzat és a hányados deriváltja".

Megjegyzés. Konstanst (vagyis számot) nem szabad összekeverni az összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy-két komponensű példát old meg, az átlaghallgató már nem követi el ezt a hibát.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, ahol u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz konstans, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ilyen esetet a 10. példa elemzi) .

Egy másik gyakori hiba az összetett függvény deriváltjának mechanikus megoldása egy egyszerű függvény deriváltjaként. ebből kifolyólag komplex függvény deriváltja külön cikknek szentelve. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakításait. Ehhez előfordulhat, hogy új Windows kézikönyvekben kell megnyitnia Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekés Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező deriváltokra, vagyis amikor a függvény úgy néz ki , majd kövesse a "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegének származéka" című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor az "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" leckében vagy.

Lépésről lépésre példák – hogyan találjuk meg a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Döntés. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés reprezentálja a szorzatot, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények mindegyikének szorzatának és a másik függvény deriváltjának összegével:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tag mínusz előjellel. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az "x" egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A származékok következő értékeit kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

A probléma megoldását pedig a deriválton ellenőrizheti.

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Döntés. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, ill. a nevező az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínusz előjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és fokok folytonos halmaza van, mint pl. akkor üdv az órán "A hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegének deriváltja" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor van egy lecke "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Döntés. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltjával a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzatdifferenciálási szabály és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értéke szerint a következőket kapjuk:

A derivált feladat megoldását a oldalon ellenőrizheti származékos számológép online .

6. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Döntés. Ebben a függvényben azt a hányadost látjuk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányados differenciálási szabálya és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értéke szerint a következőt kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -vel.