კვადრატული განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მეთოდია გამოყენება VIET ფორმულები, რომელსაც ფრანსუა ვიეტის სახელი ეწოდა.

ის იყო ცნობილი ადვოკატი, რომელიც მსახურობდა საფრანგეთის მეფეს მე-16 საუკუნეში. თავისუფალ დროს სწავლობდა ასტრონომიასა და მათემატიკას. მან დაამყარა კავშირი კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

ფორმულის უპირატესობები:

1 . ფორმულის გამოყენებით, შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ გამოსავალი. იმის გამო, რომ არ არის საჭირო მეორე კოეფიციენტის კვადრატში შეყვანა, შემდეგ მას 4ac გამოკლება, დისკრიმინანტის პოვნა და მისი მნიშვნელობის ჩანაცვლება ფორმულაში ფესვების საპოვნელად.

2 . გამოსავლის გარეშე, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფესვების ნიშნები და აირჩიოთ ფესვების მნიშვნელობები.

3 . ორი ჩანაწერის სისტემის ამოხსნის შემდეგ, ძნელი არ არის თავად ფესვების პოვნა. ზემოთ მოყვანილ კვადრატულ განტოლებაში ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტის მნიშვნელობას მინუს ნიშნით. ზემოხსენებულ კვადრატულ განტოლებაში ფესვების ნამრავლი უდრის მესამე კოეფიციენტის მნიშვნელობას.

4 . ამ ფესვების გამოყენებით ჩაწერეთ კვადრატული განტოლება, ანუ ამოხსენით შებრუნებული პრობლემა. მაგალითად, ეს მეთოდი გამოიყენება თეორიულ მექანიკაში ამოცანების გადაჭრისას.

5 . მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება, როდესაც წამყვანი კოეფიციენტი ერთის ტოლია.

ხარვეზები:

1 . ფორმულა არ არის უნივერსალური.

ვიეტას თეორემა მე-8 კლასი

ფორმულა
თუ x 1 და x 2 არის შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 + px + q = 0, მაშინ:

მაგალითები
x 1 = -1; x 2 = 3 - განტოლების ფესვები x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

ურთიერთობის თეორემა

ფორმულა
თუ x 1, x 2, p, q რიცხვები დაკავშირებულია პირობებით:

მაშინ x 1 და x 2 არის განტოლების ფესვები x 2 + px + q = 0.

მაგალითი
მოდით შევქმნათ კვადრატული განტოლება მისი ფესვების გამოყენებით:

X 1 = 2 - ? 3 და x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

საჭირო განტოლებას აქვს ფორმა: x 2 - 4x + 1 = 0.

ვიეტას თეორემა ხშირად გამოიყენება უკვე ნაპოვნი ფესვების შესამოწმებლად. თუ იპოვეთ ფესვები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულები \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(p-ის მნიშვნელობების გამოსათვლელად. \) და \(q\ ). და თუ ისინი აღმოჩნდებიან იგივე, რაც თავდაპირველ განტოლებაში, მაშინ ფესვები სწორად არის ნაპოვნი.

მაგალითად, მოდით, გამოყენებით , ამოხსნათ განტოლება \(x^2+x-56=0\) და მივიღოთ ფესვები: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). მოდით შევამოწმოთ შეცდომა თუ არა გადაჭრის პროცესში. ჩვენს შემთხვევაში, \(p=1\) და \(q=-56\). ვიეტას თეორემით გვაქვს:

\(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end (შემთხვევები)\) \(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\) \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

ორივე წინადადება ერთმანეთს ემთხვეოდა, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება სწორად მოვაგვარეთ.

ეს შემოწმება შეიძლება გაკეთდეს ზეპირად. დასჭირდება 5 წამი და გიხსნის სულელური შეცდომებისგან.

ვიეტას საპირისპირო თეორემა

თუ \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(შემთხვევები)\), მაშინ \(x_1\) და \(x_2\) არის კვადრატული განტოლების ფესვები \ (x^ 2+px+q=0\).

ან მარტივი გზით: თუ გაქვთ \(x^2+px+q=0\) ფორმის განტოლება, მაშინ ამოხსენით სისტემა \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) იპოვით მის ფესვებს.

ამ თეორემის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ სწრაფად იპოვოთ კვადრატული განტოლების ფესვები, განსაკუთრებით თუ ეს ფესვები არის . ეს უნარი მნიშვნელოვანია, რადგან ის დაზოგავს დიდ დროს.

მაგალითი . ამოხსენით განტოლება \(x^2-5x+6=0\).

გამოსავალი : ვიეტას შებრუნებული თეორემის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ ფესვები აკმაყოფილებს პირობებს: \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end (შემთხვევები)\).
შეხედეთ სისტემის მეორე განტოლებას \(x_1 \cdot x_2=6\). რა ორად შეიძლება დაიშალოს რიცხვი \(6\)? \(2\) და \(3\), \(6\) და \(1\) ან \(-2\) და \(-3\), და \(-6\) და \(- 1\). სისტემის პირველი განტოლება გეტყვით რომელი წყვილი აირჩიოთ: \(x_1+x_2=5\). \(2\) და \(3\) მსგავსია, რადგან \(2+3=5\).
უპასუხე : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

მაგალითები . ვიეტას თეორემის საპირისპიროს გამოყენებით იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები:
ა) \(x^2-15x+14=0\); ბ) \(x^2+3x-4=0\); გ) \(x^2+9x+20=0\); დ) \(x^2-88x+780=0\).

გამოსავალი :
ა) \(x^2-15x+14=0\) – რა ფაქტორებად იშლება \(14\)? \(2\) და \(7\), \(-2\) და \(-7\), \(-1\) და \(-14\), \(1\) და \(14\ ). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(15\)-ს? პასუხი: \(1\) და \(14\).

ბ) \(x^2+3x-4=0\) – რა ფაქტორებად იშლება \(-4\)? \(-2\) და \(2\), \(4\) და \(-1\), \(1\) და \(-4\). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(-3\)-ს? პასუხი: \(1\) და \(-4\).

გ) \(x^2+9x+20=0\) – რა ფაქტორებად იშლება \(20\)? \(4\) და \(5\), \(-4\) და \(-5\), \(2\) და \(10\), \(-2\) და \(-10\ ), \(-20\) და \(-1\), \(20\) და \(1\). რა რიცხვების წყვილი ემატება \(-9\)-ს? პასუხი: \(-4\) და \(-5\).

დ) \(x^2-88x+780=0\) – რა ფაქტორებად იშლება \(780\)? \(390\) და \(2\). დაემატება ისინი \(88\)-ს? არა. კიდევ რა მამრავლები აქვს \(780\)? \(78\) და \(10\). დაემატება ისინი \(88\)-ს? დიახ. პასუხი: \(78\) და \(10\).

არ არის აუცილებელი ბოლო ტერმინის გაფართოება ყველა შესაძლო ფაქტორად (როგორც ბოლო მაგალითში). თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეამოწმოთ არის თუ არა მათი ჯამი \(-p\).

Მნიშვნელოვანი!ვიეტას თეორემა და საპირისპირო თეორემა მუშაობს მხოლოდ , ანუ ერთთან, რომლის კოეფიციენტი \(x^2\) უდრის ერთს. თუ თავდაპირველად მოგვცეს არაშემცირებული განტოლება, მაშინ შეგვიძლია მისი შემცირება უბრალოდ \(x^2\"-ის წინ კოეფიციენტზე გაყოფით.

Მაგალითად, მოყვანილი იყოს განტოლება \(2x^2-4x-6=0\) და გვინდა ვიეტას ერთ-ერთი თეორემა გამოვიყენოთ. მაგრამ ჩვენ არ შეგვიძლია, რადგან კოეფიციენტი \(x^2\) უდრის \(2\). მოვიშოროთ იგი მთელი განტოლების \(2\-ზე) გაყოფით.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

მზადაა. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორივე თეორემა.

პასუხები ხშირად დასმულ კითხვებზე

Კითხვა: ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეგიძლიათ ამოხსნათ რომელიმე?
პასუხი: სამწუხაროდ არა. თუ განტოლება არ შეიცავს მთელ რიცხვებს ან განტოლებას საერთოდ არ აქვს ფესვები, მაშინ ვიეტას თეორემა არ დაეხმარება. ამ შემთხვევაში თქვენ უნდა გამოიყენოთ დისკრიმინანტი . საბედნიეროდ, სასკოლო მათემატიკაში განტოლებების 80%-ს აქვს მთელი რიცხვი ამონახსნები.

ამ ლექციაში ჩვენ გავეცნობით კვადრატული განტოლების ფესვებსა და მის კოეფიციენტებს შორის არსებულ კურიოზულ მიმართებებს. ეს ურთიერთობები პირველად აღმოაჩინა ფრანგმა მათემატიკოსმა ფრანსუა ვიეტმა (1540-1603).

მაგალითად, განტოლებისთვის 3x 2 - 8x - 6 = 0, მისი ფესვების პოვნის გარეშე, შეგიძლიათ, ვიეტას თეორემის გამოყენებით, დაუყოვნებლივ თქვათ, რომ ფესვების ჯამი ტოლია, ხოლო ფესვების ნამრავლი ტოლია
ანუ - 2. ხოლო x 2 - 6x + 8 = 0 განტოლებისთვის ვასკვნით: ფესვების ჯამი არის 6, ფესვების ნამრავლი არის 8; სხვათა შორის, ძნელი მისახვედრი არ არის, რას უდრის ფესვები: 4 და 2.
ვიეტას თეორემის დადასტურება. კვადრატული განტოლების ფესვები x 1 და x 2 ax 2 + bx + c = 0 გვხვდება ფორმულებით

სადაც D = b 2 - 4ac არის განტოლების დისკრიმინანტი. ამ ფესვების ერთად შეკრებისას,
ვიღებთ

ახლა გამოვთვალოთ x 1 და x 2 ფესვების ნამრავლი. გვაქვს

მეორე კავშირი დადასტურებულია:
კომენტარი. ვიეტას თეორემა ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევაში, როდესაც კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი (ანუ როდესაც D = 0), უბრალოდ ვარაუდობენ, რომ განტოლებას ორი იდენტური ფესვი აქვს, რომლებზეც ზემოაღნიშნული მიმართებებია გამოყენებული.
დადასტურებული მიმართებები შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის x 2 + px + q = 0 იღებს განსაკუთრებით მარტივ ფორმას. ამ შემთხვევაში ვიღებთ:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
იმათ. შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის საპირისპირო ნიშნით აღებულ მეორე კოეფიციენტს, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.
ვიეტას თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა მიმართებები კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. მოდით, მაგალითად, x 1 და x 2 იყოს შემცირებული კვადრატული განტოლების ფესვები x 2 + px + q = 0. მაშინ

თუმცა, ვიეტას თეორემის მთავარი მიზანი არ არის ის, რომ იგი გამოხატავს გარკვეულ კავშირებს კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის. ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია ის, რომ ვიეტას თეორემის გამოყენებით, მიღებულია კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა, რომლის გარეშეც მომავალში ვერ შევძლებთ.

მტკიცებულება. Ჩვენ გვაქვს

მაგალითი 1. შეადგინეთ კვადრატული ტრინომი 3x 2 - 10x + 3.
გამოსავალი. 3x 2 - 10x + 3 = 0 განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული ტრინომის ფესვებს 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
თეორემა 2-ის გამოყენებით ვიღებთ

აზრი აქვს ჩაწეროთ 3x - 1. შემდეგ საბოლოოდ მივიღებთ 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
გაითვალისწინეთ, რომ მოცემული კვადრატული ტრინომი შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული თეორემა 2-ის გამოყენების გარეშე დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

მაგრამ, როგორც ხედავთ, ამ მეთოდით წარმატება დამოკიდებულია იმაზე, შევძლებთ თუ არა წარმატებული დაჯგუფების პოვნას, მაშინ როცა პირველი მეთოდით წარმატება გარანტირებულია.
მაგალითი 1. წილადის შემცირება

გამოსავალი. განტოლებიდან 2x 2 + 5x + 2 = 0 ვპოულობთ x 1 = - 2,

განტოლებიდან x2 - 4x - 12 = 0 ვპოულობთ x 1 = 6, x 2 = -2. Ამიტომაც
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
ახლა შევამციროთ მოცემული წილადი:

მაგალითი 3. აიღეთ გამონათქვამები:
ა)x4 + 5x 2 +6; ბ)2x+-3
ამოხსნა ა) შემოვიღოთ ახალი ცვლადი y = x2. ეს საშუალებას მოგცემთ გადაწეროთ მოცემული გამოხატულება კვადრატული ტრინომის სახით y ცვლადის მიმართ, კერძოდ, სახით y 2 + bу + 6.
y 2 + bу + 6 = 0 განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ კვადრატული ტრინომის ფესვებს y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. ახლა გამოვიყენოთ თეორემა 2; ვიღებთ

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
უნდა გვახსოვდეს, რომ y = x 2, ანუ დაუბრუნდით მოცემულ გამოსახულებას. Ისე,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2) (x 2 + 3).
ბ) შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი y = . ეს საშუალებას მოგცემთ გადაწეროთ მოცემული გამოხატულება კვადრატული ტრინომის სახით y ცვლადის მიმართ, კერძოდ, სახით 2y 2 + y - 3. განტოლების ამოხსნის შემდეგ.
2y 2 + y - 3 = 0, იპოვეთ კვადრატული ტრინომის ფესვები 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . შემდეგი, თეორემა 2-ის გამოყენებით, ვიღებთ:

უნდა გვახსოვდეს, რომ y =, ანუ დაუბრუნდით მოცემულ გამონათქვამს. Ისე,

ნაწილის დასასრულს - გარკვეული მსჯელობა, რომელიც კვლავ უკავშირდება ვიეტას თეორემას, უფრო სწორად, საპირისპირო განცხადებას:
თუ რიცხვები x 1, x 2 ისეთია, რომ x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, მაშინ ეს რიცხვები არის განტოლების ფესვები
ამ განცხადების გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალი კვადრატული განტოლება ზეპირად, რთული ფესვის ფორმულების გამოყენების გარეშე და ასევე შეადგინოთ კვადრატული განტოლებები მოცემული ფესვებით. მოვიყვანოთ მაგალითები.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. აქ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. ადვილი მისახვედრია, რომ x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. აქ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. ადვილი მისახვედრია, რომ x 1 = -5, x 2 = -6.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ განტოლების მატყუარა წევრი დადებითი რიცხვია, მაშინ ორივე ფესვი დადებითია ან უარყოფითი; ეს მნიშვნელოვანია გავითვალისწინოთ ფესვების არჩევისას.

3) x 2 + x - 12 = 0. აქ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. ადვილი მისახვედრია, რომ x 1 = 3, x2 = -4.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ განტოლების თავისუფალი წევრი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ; ეს მნიშვნელოვანია გავითვალისწინოთ ფესვების არჩევისას.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. ადვილი მისახვედრია, რომ x = 1 აკმაყოფილებს განტოლებას, ე.ი. x 1 = 1 არის განტოლების ფესვი. ვინაიდან x 1 x 2 = - და x 1 = 1, ვიღებთ, რომ x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. აქ x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. თუ ყურადღებას მიაქცევთ, რომ 2830 = 283. 10 და 293 = 283 + 10, შემდეგ ირკვევა, რომ x 1 = 283, x 2 = 10 (ახლა წარმოიდგინეთ, რა გამოთვლები უნდა შესრულდეს ამ კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად სტანდარტული ფორმულების გამოყენებით).

6) შევადგინოთ კვადრატული განტოლება ისე, რომ მისი ფესვები იყოს რიცხვები x 1 = 8, x 2 = - 4. ჩვეულებრივ ასეთ შემთხვევებში ვადგენთ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას x 2 + px + q = 0.
გვაქვს x 1 + x 2 = -p, ამიტომ 8 - 4 = -p, ანუ p = -4. შემდეგი, x 1 x 2 = q, ე.ი. 8 «(-4) = q, საიდანაც ვიღებთ q = -32. ასე რომ, p = -4, q = -32, რაც ნიშნავს, რომ საჭირო კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 -4x-32 = 0.

მერვე კლასში მოსწავლეები ეცნობიან კვადრატულ განტოლებებს და მათ ამოხსნას. ამავდროულად, როგორც გამოცდილება აჩვენებს, სტუდენტების უმეტესობა იყენებს მხოლოდ ერთ მეთოდს სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას - კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა. სტუდენტებისთვის, რომლებსაც აქვთ კარგი გონებრივი არითმეტიკული უნარები, ეს მეთოდი აშკარად ირაციონალურია. მოსწავლეებს ხშირად უწევთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნა საშუალო სკოლაშიც და იქ უბრალოდ სამწუხაროა დისკრიმინანტის გამოთვლაზე დროის დახარჯვა. ჩემი აზრით, კვადრატული განტოლებების შესწავლისას მეტი დრო და ყურადღება უნდა მიექცეს ვიეტას თეორემის გამოყენებას (A.G Mordkovich Algebra-8 პროგრამის მიხედვით მხოლოდ ორი საათია დაგეგმილი თემის „ვიეტას თეორემა. კვადრატის დაშლა. ტრინომი ხაზოვან ფაქტორებად“).

ალგებრის სახელმძღვანელოების უმეტესობაში ეს თეორემა ჩამოყალიბებულია შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის და ამბობს, რომ თუ განტოლებას აქვს ფესვები და , მაშინ ტოლობები , , მათთვის დაკმაყოფილებულია.შემდეგ ჩამოყალიბებულია განცხადება ვიეტას თეორემასთან საპირისპიროდ და მოცემულია რამდენიმე მაგალითი ამ თემის პრაქტიკაში.

ავიღოთ კონკრეტული მაგალითები და მივაკვლიოთ ამოხსნის ლოგიკას ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება.

ვთქვათ, ამ განტოლებას აქვს ფესვები, კერძოდ, და. შემდეგ, ვიეტას თეორემის თანახმად, ტოლობები ერთდროულად უნდა იყოს:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფესვების ნამრავლი დადებითი რიცხვია. ეს ნიშნავს, რომ განტოლების ფესვები იგივე ნიშნისაა. და რადგან ფესვების ჯამი ასევე დადებითი რიცხვია, დავასკვნით, რომ განტოლების ორივე ფესვი დადებითია. ისევ დავუბრუნდეთ ფესვების პროდუქტს. დავუშვათ, რომ განტოლების ფესვები დადებითი მთელი რიცხვებია. მაშინ სწორი პირველი ტოლობის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ ორი გზით (ფაქტორების თანმიმდევრობამდე): ან . მოდით შევამოწმოთ შემოთავაზებული რიცხვების წყვილებისთვის ვიეტას თეორემის მეორე განცხადების მიზანშეწონილობა: . ამრიგად, რიცხვები 2 და 3 აკმაყოფილებს ორივე ტოლობას და, შესაბამისად, არის მოცემული განტოლების ფესვები.

პასუხი: 2; 3.

გამოვყოთ მსჯელობის ძირითადი ეტაპები ზემოაღნიშნული კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ვიეტას თეორემის გამოყენებით:

ჩაწერეთ ვიეტას თეორემის დებულება

(*)

• განსაზღვრეთ განტოლების ფესვების ნიშნები (თუ ნამრავლი და ფესვების ჯამი დადებითია, მაშინ ორივე ფესვი დადებითი რიცხვია. თუ ფესვების ნამრავლი დადებითი რიცხვია, ხოლო ფესვების ჯამი უარყოფითია, მაშინ ორივე ფესვი უარყოფითი რიცხვია. თუ ფესვების ნამრავლი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ფესვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, უფრო მეტიც, თუ ფესვების ჯამი დადებითია, მაშინ მოდულში უფრო დიდი ფესვი არის დადებითი რიცხვი, ხოლო თუ ჯამი. ფესვების ნულზე ნაკლებია, მაშინ მოდულში უფრო დიდი ფესვი არის უარყოფითი რიცხვი);
• აირჩიეთ მთელი რიცხვების წყვილი, რომელთა ნამრავლი იძლევა სწორ პირველ ტოლობას აღნიშვნით (*);
• ნაპოვნი რიცხვების წყვილებიდან აირჩიეთ წყვილი, რომელიც ჩანაცვლებისას აღნიშვნით (*) მეორე ტოლობით მისცემს სწორ ტოლობას;
• თქვენს პასუხში მიუთითეთ განტოლების ნაპოვნი ფესვები.

მოვიყვანოთ მეტი მაგალითები.

მაგალითი 2: ამოხსენით განტოლება .

გამოსავალი.

მოდით და იყოს მოცემული განტოლების ფესვები. შემდეგ ვიეტას თეორემით აღვნიშნავთ, რომ ნამრავლი დადებითია, ჯამი კი უარყოფითი რიცხვია. ეს ნიშნავს, რომ ორივე ფესვი უარყოფითი რიცხვია. ჩვენ ვირჩევთ ფაქტორების წყვილებს, რომლებიც იძლევა ნამრავლს 10 (-1 და -10; -2 და -5). რიცხვების მეორე წყვილი აგროვებს -7-ს. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები -2 და -5 არის ამ განტოლების ფესვები.

პასუხი: -2; -5.

მაგალითი 3: ამოხსენით განტოლება .

გამოსავალი.

მოდით და იყოს მოცემული განტოლების ფესვები. შემდეგ, ვიეტას თეორემით, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ პროდუქტი უარყოფითია. ეს ნიშნავს, რომ ფესვები სხვადასხვა ნიშნისაა. ფესვების ჯამიც უარყოფითი რიცხვია. ეს ნიშნავს, რომ ყველაზე დიდი მოდულის მქონე ფესვი უარყოფითია. ჩვენ ვირჩევთ ფაქტორების წყვილს, რომლებიც იძლევა პროდუქტს -10 (1 და -10; 2 და -5). რიცხვების მეორე წყვილი აგროვებს -3-ს. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები 2 და -5 არის ამ განტოლების ფესვები.

პასუხი: 2; -5.

გაითვალისწინეთ, რომ ვიეტას თეორემა, პრინციპში, შეიძლება ჩამოყალიბდეს სრული კვადრატული განტოლებისთვის: თუ კვადრატული განტოლება აქვს ფესვები და , მაშინ თანასწორობები , , დაკმაყოფილებულია მათთვის.თუმცა, ამ თეორემის გამოყენება საკმაოდ პრობლემურია, რადგან სრულ კვადრატულ განტოლებაში ერთ-ერთი ფესვი (თუ ასეთია, რა თქმა უნდა) არის წილადი რიცხვი. ხოლო წილადების შერჩევასთან მუშაობა ხანგრძლივი და რთულია. მაგრამ მაინც არის გამოსავალი.

განვიხილოთ სრული კვადრატული განტოლება . გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე პირველ კოეფიციენტზე ადა ჩაწერეთ განტოლება ფორმაში . მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი და მივიღოთ შემცირებული კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვები და (თუ ეს შესაძლებელია) შეიძლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით. მაშინ თავდაპირველი განტოლების ფესვები იქნება . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ დამხმარე შემცირებული განტოლების შექმნა ძალიან მარტივია: მეორე კოეფიციენტი შენარჩუნებულია, ხოლო მესამე კოეფიციენტი ტოლია ნამრავლის აწ. გარკვეული ოსტატობით მოსწავლეები დაუყოვნებლივ ქმნიან დამხმარე განტოლებას, პოულობენ მის ფესვებს ვიეტას თეორემის გამოყენებით და მიუთითებენ მოცემული სრული განტოლების ფესვებს. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 4: ამოხსენით განტოლება .

შევქმნათ დამხმარე განტოლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით ვიპოვით მის ფესვებს. ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველი განტოლების ფესვები .

პასუხი: .

მაგალითი 5: ამოხსენით განტოლება .

დამხმარე განტოლებას აქვს ფორმა . ვიეტას თეორემის მიხედვით, მისი ფესვებია. თავდაპირველი განტოლების ფესვების პოვნა .

პასუხი: .

და კიდევ ერთი შემთხვევა, როდესაც ვიეტას თეორემის გამოყენება საშუალებას გაძლევთ სიტყვიერად იპოვოთ სრული კვადრატული განტოლების ფესვები. ამის დამტკიცება არ არის რთული რიცხვი 1 არის განტოლების ფესვი , თუ და მხოლოდ თუ. განტოლების მეორე ფესვი ნაპოვნია ვიეტას თეორემით და უდრის. კიდევ ერთი განცხადება: ისე, რომ რიცხვი –1 არის განტოლების ფესვი აუცილებელი და საკმარისი. მაშინ განტოლების მეორე ფესვი ვიეტას თეორემის მიხედვით უდრის. მსგავსი განცხადებები შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის.

მაგალითი 6: ამოხსენით განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლების კოეფიციენტების ჯამი არის ნული. ასე რომ, განტოლების ფესვები .

პასუხი: .

მაგალითი 7. ამოხსენით განტოლება.

ამ განტოლების კოეფიციენტები აკმაყოფილებს თვისებას (ნამდვილად, 1-(-999)+(-1000)=0). ასე რომ, განტოლების ფესვები .

პასუხი: ..

ვიეტას თეორემის გამოყენების მაგალითები

ამოცანა 1. ამოხსენით მოცემული კვადრატული განტოლება ვიეტას თეორემის გამოყენებით.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

ამოცანა 2. ამოხსენით სრული კვადრატული განტოლება დამხმარე შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე გადასვლით.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

ამოცანა 3. ამოხსენით კვადრატული განტოლება თვისების გამოყენებით.

სასკოლო ალგებრის კურსში მეორე რიგის განტოლებების ამოხსნის მეთოდების შესწავლისას გათვალისწინებულია მიღებული ფესვების თვისებები. ისინი ამჟამად ცნობილია როგორც ვიეტას თეორემა. მისი გამოყენების მაგალითები მოცემულია ამ სტატიაში.

Კვადრატული განტოლება

მეორე რიგის განტოლება არის ტოლობა, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფოტოში.

აქ სიმბოლოები a, b, c არის რამდენიმე რიცხვი, რომელსაც ეწოდება განსახილველი განტოლების კოეფიციენტები. ტოლობის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ x-ის მნიშვნელობები, რომლებიც მას ჭეშმარიტად აქცევს.

გაითვალისწინეთ, რომ რადგან მაქსიმალური სიმძლავრე, რომლითაც x შეიძლება გაიზარდოს არის ორი, მაშინ ფესვების რაოდენობა ზოგად შემთხვევაში ასევე არის ორი.

ამ ტიპის თანასწორობის გადაჭრის რამდენიმე გზა არსებობს. ამ სტატიაში განვიხილავთ ერთ-ერთ მათგანს, რომელიც გულისხმობს ე.წ. ვიეტას თეორემის გამოყენებას.

ვიეტას თეორემის ფორმულირება

მე -16 საუკუნის ბოლოს, ცნობილმა მათემატიკოსმა ფრანსუა ვიეტმა (ფრანგმა) შენიშნა, როდესაც აანალიზებდა სხვადასხვა კვადრატული განტოლების ფესვების თვისებებს, რომ მათი გარკვეული კომბინაციები აკმაყოფილებს კონკრეტულ ურთიერთობებს. კერძოდ, ეს კომბინაციები მათი პროდუქტი და ჯამია.

ვიეტას თეორემა ადგენს შემდეგს: კვადრატული განტოლების ფესვები შეჯამებისას იძლევა საპირისპირო ნიშნით აღებული წრფივი და კვადრატული კოეფიციენტების შეფარდებას და მათი გამრავლებისას მივყავართ თავისუფალი წევრის კვადრატულ კოეფიციენტთან შეფარდებამდე. .

თუ განტოლების ზოგადი ფორმა დაწერილია ისე, როგორც ნაჩვენებია სტატიის წინა ნაწილში ფოტოზე, მაშინ მათემატიკურად ეს თეორემა შეიძლება დაიწეროს ორი ტოლობის სახით:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

სადაც r 1, r 2 არის მოცემული განტოლების ფესვების მნიშვნელობა.

ზემოაღნიშნული ორი თანასწორობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალი განსხვავებული მათემატიკური ამოცანის გადასაჭრელად. ვიეტას თეორემის გამოყენება ამონახსნებთან მაგალითებში მოცემულია სტატიის შემდეგ ნაწილებში.