სადაც განიხილებოდა მართკუთხა სამკუთხედის ამოხსნის ამოცანები, მე დავპირდი, რომ წარმოვადგენდი სინუსისა და კოსინუსების განმარტებების დამახსოვრების ტექნიკას. მისი გამოყენებით, თქვენ ყოველთვის სწრაფად გახსოვთ, რომელი ფეხი ეკუთვნის ჰიპოტენუზას (მიმდებარე თუ მოპირდაპირე). გადავწყვიტე განუსაზღვრელი ვადით არ გადავდოთ, საჭირო მასალა ქვემოთ, გთხოვთ წაიკითხოთ 😉

ფაქტია, რომ მე არაერთხელ მინახავს, ​​როგორ უჭირთ 10-11 კლასების მოსწავლეებს ამ განმარტებების დამახსოვრება. მათ კარგად ახსოვთ, რომ ფეხი ჰიპოტენუზას ეხება, მაგრამ რომელი- დაივიწყე და დაბნეული. შეცდომის ფასი, როგორც მოგეხსენებათ გამოცდაზე, დაკარგული ქულაა.

ინფორმაციას, რომელსაც უშუალოდ მათემატიკას წარვადგენ, არაფერ შუაშია. იგი ასოცირდება ფიგურალურ აზროვნებასთან და ვერბალურ-ლოგიკური კავშირის მეთოდებთან. ასეა, მე თვითონ ერთხელ და სამუდამოდ გამახსენდაგანმარტების მონაცემები. თუ მაინც დაგავიწყდათ ისინი, მაშინ წარმოდგენილი ტექნიკის დახმარებით ყოველთვის ადვილი დასამახსოვრებელია.

შეგახსენებთ სინუსის და კოსინუსის განმარტებებს მართკუთხა სამკუთხედში:

კოსინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

სინუსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

მაშ, რა ასოციაციებს იწვევს თქვენში სიტყვა კოსინუსი?

ალბათ ყველას აქვს თავისიდაიმახსოვრეთ ბმული:

ამრიგად, თქვენ დაუყოვნებლივ გექნებათ გამოხატულება თქვენს მეხსიერებაში -

«… მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან».

კოსინუსის განსაზღვრის პრობლემა მოგვარებულია.

თუ საჭიროა დაიმახსოვროთ სინუსის განმარტება მართკუთხა სამკუთხედში, შემდეგ გაიხსენეთ კოსინუსის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად დაადგინოთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან. ყოველივე ამის შემდეგ, მხოლოდ ორი ფეხია, თუ მიმდებარე ფეხი "ოკუპირებულია" კოსინუსით, მაშინ მხოლოდ საპირისპირო მხარე რჩება სინუსისთვის.

რაც შეეხება ტანგენტს და კოტანგენტს? იგივე დაბნეულობა. სტუდენტებმა იციან, რომ ეს არის ფეხების თანაფარდობა, მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ დაიმახსოვროთ რომელი რომელს ეხება - ან მიმდებარეს, ან პირიქით.

განმარტებები:

ტანგენტიმართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხე არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან:

კოტანგენსიმართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხე არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროზე:

როგორ გავიხსენოთ? არსებობს ორი გზა. ერთი ასევე იყენებს ვერბალურ-ლოგიკურ კავშირს, მეორე - მათემატიკურს.

მათემატიკური მეთოდი

არსებობს ასეთი განმარტება - მახვილი კუთხის ტანგენსი არის კუთხის სინუსის თანაფარდობა მის კოსინუსთან:

* ფორმულის დამახსოვრებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან.

ანალოგიურად.მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის კუთხის კოსინუსის შეფარდება მის სინუსთან:

Ისე! ამ ფორმულების დამახსოვრებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ განსაზღვროთ, რომ:

- მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება მეზობელთან

- მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება მოპირდაპირეზე.

ვერბალურ-ლოგიკური მეთოდი

ტანგენტის შესახებ. დაიმახსოვრეთ ბმული:

ანუ, თუ თქვენ გჭირდებათ დაიმახსოვროთ ტანგენტის განმარტება, ამ ლოგიკური კავშირის გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად გახსოვდეთ რა არის

"... მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მიმდებარედ"

თუ საქმე ეხება კოტანგენტს, მაშინ გაიხსენეთ ტანგენტის განმარტება, შეგიძლიათ მარტივად გამოხატოთ კოტანგენტის განმარტება -

"... მიმდებარე ფეხის შეფარდება საპირისპიროზე"

საიტზე არის ტანგენტისა და კოტანგენტის დამახსოვრების საინტერესო ტექნიკა " მათემატიკური ტანდემი " , შეხედე.

მეთოდი უნივერსალური

შეგიძლიათ უბრალოდ დაფქვა.მაგრამ როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, ვერბალურ-ლოგიკური კავშირების წყალობით, ადამიანს დიდი ხნის განმავლობაში ახსოვს ინფორმაცია და არა მხოლოდ მათემატიკური.

ვიმედოვნებ, რომ მასალა თქვენთვის სასარგებლო იყო.

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

ტრიგონომეტრია, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა ძველ აღმოსავლეთში. პირველი ტრიგონომეტრიული კოეფიციენტები შექმნეს ასტრონომებმა ზუსტი კალენდრის შესაქმნელად და ვარსკვლავებზე ორიენტირებისთვის. ეს გამოთვლები დაკავშირებულია სფერულ ტრიგონომეტრიასთან, ხოლო სკოლის კურსზე ისინი სწავლობენ ბრტყელი სამკუთხედის გვერდებისა და კუთხის თანაფარდობას.

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებებს და სამკუთხედების გვერდებსა და კუთხეებს შორის ურთიერთობას.

I ათასწლეულში კულტურისა და მეცნიერების აყვავების პერიოდში ცოდნა ძველი აღმოსავლეთიდან საბერძნეთში გავრცელდა. მაგრამ ტრიგონომეტრიის მთავარი აღმოჩენები არაბთა ხალიფატის კაცთა დამსახურებაა. კერძოდ, თურქმენმა მეცნიერმა ალ-მარაზვიმ შემოიტანა ისეთი ფუნქციები, როგორიცაა ტანგენსი და კოტანგენსი, შეადგინა მნიშვნელობების პირველი ცხრილები სინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების შესახებ. სინუსისა და კოსინუსის ცნება შემოიღეს ინდოელმა მეცნიერებმა. დიდი ყურადღება ეთმობა ტრიგონომეტრიას ანტიკური ხანის ისეთი დიდი მოღვაწეების ნამუშევრებში, როგორიცაა ევკლიდე, არქიმედეს და ერატოსთენე.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი რაოდენობები

რიცხვითი არგუმენტის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი გრაფიკი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

ამ რაოდენობების მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები ეფუძნება პითაგორას თეორემას. ეს უფრო ცნობილია სკოლის მოსწავლეებისთვის ფორმულირებით: „პითაგორას შარვალი, ყველა მიმართულებით თანაბარი“, რადგან მტკიცებულება მოცემულია ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის მაგალითზე.

სინუსი, კოსინუსი და სხვა დამოკიდებულებები ამყარებენ ურთიერთობას მახვილ კუთხეებსა და მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის. ჩვენ ვაძლევთ ფორმულებს ამ სიდიდეების გამოსათვლელად A კუთხისთვის და ვადგენთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ურთიერთობას:

როგორც ხედავთ, tg და ctg შებრუნებული ფუნქციებია. თუ A ფეხს წარმოვადგენთ, როგორც ცოდვის A და ჰიპოტენუზის c ნამრავლს, ხოლო b ფეხს, როგორც cos A * c, მაშინ მივიღებთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შემდეგ ფორმულებს:

ტრიგონომეტრიული წრე

გრაფიკულად, აღნიშნული რაოდენობების თანაფარდობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

წრე, ამ შემთხვევაში, წარმოადგენს α კუთხის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას - 0°-დან 360°-მდე. როგორც ნახატიდან ჩანს, თითოეული ფუნქცია კუთხიდან გამომდინარე იღებს უარყოფით ან დადებით მნიშვნელობას. მაგალითად, sin α იქნება „+“ ნიშნით, თუ α მიეკუთვნება წრის I და II მეოთხედებს, ანუ ის არის 0 °-დან 180 °-მდე დიაპაზონში. α 180°-დან 360°-მდე (III და IV კვარტლები), sin α შეიძლება იყოს მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობა.

შევეცადოთ ავაშენოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილები კონკრეტული კუთხისთვის და გავარკვიოთ რაოდენობების მნიშვნელობა.

α-ის მნიშვნელობებს, რომლებიც ტოლია 30°, 45°, 60°, 90°, 180° და ა.შ. განსაკუთრებული შემთხვევები ეწოდება. მათთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები გამოითვლება და წარმოდგენილია სპეციალური ცხრილების სახით.

ეს კუთხეები შემთხვევით არ აირჩიეს. ცხრილებში π აღნიშვნა არის რადიანებისთვის. რად არის კუთხე, რომლის დროსაც წრიული რკალის სიგრძე შეესაბამება მის რადიუსს. ეს მნიშვნელობა დაინერგა უნივერსალური ურთიერთობის დამყარების მიზნით; რადიანებში გაანგარიშებისას, რადიუსის რეალურ სიგრძეს სმ-ში მნიშვნელობა არ აქვს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილების კუთხეები შეესაბამება რადიანის მნიშვნელობებს:

ასე რომ, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ 2π არის სრული წრე ან 360°.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები: სინუსი და კოსინუსი

სინუსის და კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებების გასათვალისწინებლად და შესადარებლად აუცილებელია მათი ფუნქციების დახატვა. ეს შეიძლება გაკეთდეს მრუდის სახით, რომელიც მდებარეობს ორგანზომილებიან კოორდინატულ სისტემაში.

განვიხილოთ სინუსუსური და კოსინუსური ტალღების თვისებების შედარებითი ცხრილი:

სინუსოიდი	კოსინუსური ტალღა
y = ცოდვა x	y = cos x
ოძ [-1; 1]	ოძ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk-სთვის, სადაც k ϵ Z	cos x = 0, x = π/2 + πk, სადაც k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk, სადაც k ε Z	cos x = 1, x = 2πk-სთვის, სადაც k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk, სადაც k ε Z	cos x = - 1, x = π + 2πk, სადაც k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, ანუ კენტი ფუნქცია	cos (-x) = cos x, ანუ ფუნქცია ლუწია
	ფუნქცია პერიოდულია, ყველაზე პატარა პერიოდი არის 2π
sin x › 0, x მიეკუთვნება I და II მეოთხედებს ან 0°-დან 180°-მდე (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x მიეკუთვნება I და IV მეოთხედებს ან 270°-დან 90°-მდე (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x მიეკუთვნება III და IV მეოთხედებს ან 180°-დან 360°-მდე (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x ეკუთვნის II და III მეოთხედებს ან 90°-დან 270°-მდე (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
იზრდება ინტერვალით [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	იზრდება ინტერვალით [-π + 2πk, 2πk]
მცირდება ინტერვალებით [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	მცირდება ინტერვალებით
წარმოებული (sin x)' = cos x	წარმოებული (cos x)’ = - sin x

იმის დადგენა, არის თუ არა ფუნქცია ლუწი თუ არა, ძალიან მარტივია. საკმარისია წარმოვიდგინოთ ტრიგონომეტრიული წრე ტრიგონომეტრიული სიდიდეების ნიშნებით და გონებრივად „დაკეცოთ“ გრაფიკი OX ღერძის მიმართ. თუ ნიშნები ერთნაირია, ფუნქცია ლუწია, წინააღმდეგ შემთხვევაში – კენტი.

რადიანების შემოღება და სინუსოიდური და კოსინუსური ტალღების ძირითადი თვისებების ჩამოთვლა საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ შემდეგი ნიმუში:

ფორმულის სისწორის გადამოწმება ძალიან მარტივია. მაგალითად, x = π/2-სთვის, სინუსი უდრის 1-ს, ისევე როგორც x = 0-ის კოსინუსი. შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს ცხრილების ნახვით ან მოცემული მნიშვნელობებისთვის ფუნქციის მრუდების კვალის საშუალებით.

ტანგენტოიდის და კოტანგენტოიდის თვისებები

ტანგენტისა და კოტანგენტის ფუნქციების გრაფიკები მნიშვნელოვნად განსხვავდება სინუსოიდური და კოსინუსური ტალღებისგან. tg და ctg მნიშვნელობები შებრუნებულია ერთმანეთის მიმართ.

1. Y = tgx.
2. ტანგენსი მიდრეკილია y-ის მნიშვნელობებზე x = π/2 + πk, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
3. ტანგენტოიდის ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდია π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, ანუ ფუნქცია უცნაურია.
5. Tg x = 0, x = πk-სთვის.
6. ფუნქცია იზრდება.
7. Tg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (— π/2 + πk, πk).
9. წარმოებული (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

განვიხილოთ კოტანგენტოიდის გრაფიკული გამოსახულება ქვემოთ მოცემულ ტექსტში.

კოტანგენტოიდის ძირითადი თვისებები:

1. Y = ctgx.
2. სინუსებისა და კოსინუსების ფუნქციებისგან განსხვავებით, ტანგენტოიდში Y-ს შეუძლია მიიღოს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის მნიშვნელობები.
3. კოტანგენტოიდი მიდრეკილია y მნიშვნელობებისკენ x = πk-ზე, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
4. კოტანგენტოიდის ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდია π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk-სთვის.
7. ფუნქცია მცირდება.
8. Ctg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (π/2 + πk, πk).
10. წარმოებული (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x ფიქსი

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი

შენიშვნა. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ეს ცხრილი იყენებს √ ნიშანს კვადრატული ფესვის აღსანიშნავად. წილადის აღსანიშნავად - სიმბოლო "/".

იხილეთ ასევესასარგებლო მასალები:

ამისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაიპოვეთ ის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მითითების წრფის გადაკვეთაზე. მაგალითად, 30 გრადუსიანი სინუსი - ჩვენ ვეძებთ სვეტს სათაურით sin (sine) და ვპოულობთ ცხრილის ამ სვეტის კვეთას ხაზთან "30 გრადუსი", მათ გადაკვეთაზე ვკითხულობთ შედეგს - ერთი. მეორე. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ კოსინუსი 60გრადუსი, სინუსი 60გრადუსი (კიდევ ერთხელ, სინუს (სინუს) სვეტისა და 60 გრადუსიანი მწკრივის გადაკვეთაზე, ვპოულობთ მნიშვნელობას sin 60 = √3/2) და ა.შ. ანალოგიურად, გვხვდება სხვა "პოპულარული" კუთხეების სინუსების, კოსინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობები.

პი-ს სინუსი, პი-ს კოსინუსი, პი-ს ტანგენსი და სხვა კუთხეები რადიანებში

ქვემოთ მოყვანილი კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების ცხრილი ასევე შესაფერისია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობის საპოვნელად, რომელთა არგუმენტიც არის მოცემულია რადიანებში. ამისათვის გამოიყენეთ კუთხის მნიშვნელობების მეორე სვეტი. ამის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ პოპულარული კუთხეების მნიშვნელობა გრადუსიდან რადიანამდე. მაგალითად, ვიპოვოთ 60 გრადუსიანი კუთხე პირველ სტრიქონში და წავიკითხოთ მისი მნიშვნელობა რადიანებში მის ქვეშ. 60 გრადუსი უდრის π/3 რადიანს.

რიცხვი pi ცალსახად გამოხატავს წრის გარშემოწერილობის დამოკიდებულებას კუთხის ხარისხის ზომაზე. ასე რომ, პი რადიანები უდრის 180 გრადუსს.

ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოხატულია pi-ში (რადიანი) ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხებად პი (π) რიცხვის 180-ით ჩანაცვლებით..

მაგალითები:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
ამრიგად, pi-ს სინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსის სინუსი და უდრის ნულს.

2. კოსინუსი პი.
cos π = cos 180 = -1
ამრიგად, pi-ს კოსინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსიანი კოსინუსი და უდრის მინუს ერთი.

3. ტანგენტი პი
tg π = tg 180 = 0
ამრიგად, pi-ს ტანგენსი იგივეა, რაც 180 გრადუსიანი ტანგენსი და უდრის ნულს.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის მნიშვნელობების ცხრილი 0 - 360 გრადუსი კუთხეებისთვის (ხშირი მნიშვნელობები)

კუთხე α (გრადუსები)	კუთხე α რადიანებში (pi-ს მეშვეობით)	ცოდვა (სინუსი)	cos (კოსინუსი)	ტგ (ტანგენტი)	ctg (კოტანგენსი)	წმ (სეკანტი)	მიზეზი (თანამედროვე)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში, ფუნქციის მნიშვნელობის ნაცვლად, მითითებულია ტირე (ტანგენსი (tg) 90 გრადუსი, კოტანგენსი (ctg) 180 გრადუსი), მაშინ ხარისხის გაზომვის მოცემული მნიშვნელობისთვის. კუთხეს, ფუნქციას არ აქვს გარკვეული მნიშვნელობა. თუ ტირე არ არის, უჯრედი ცარიელია, ამიტომ ჯერ არ შეგვიყვანია სასურველი მნიშვნელობა. ჩვენ გვაინტერესებს რა მოთხოვნით მოდიან მომხმარებლები ჩვენთან და ავსებენ ცხრილს ახალი მნიშვნელობებით, მიუხედავად იმისა, რომ ყველაზე გავრცელებული კუთხის მნიშვნელობების კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობების შესახებ არსებული მონაცემები საკმარისია უმეტესობის გადასაჭრელად. პრობლემები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი sin, cos, tg ყველაზე პოპულარული კუთხისთვის
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 გრადუსი
(რიცხობრივი მნიშვნელობები "ბრედისის ცხრილების მიხედვით")

კუთხის მნიშვნელობა α (გრადუსები)	α კუთხის მნიშვნელობა რადიანებში	ცოდვა (სინუსი)	cos (კოსინუსი)	tg (ტანგენსი)	ctg (კოტანგენსი)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ცნებები ტრიგონომეტრიის ძირითადი კატეგორიებია - მათემატიკის ფილიალი და განუყოფლად არის დაკავშირებული კუთხის განსაზღვრასთან. ამ მათემატიკური მეცნიერების ფლობა მოითხოვს ფორმულებისა და თეორემების დამახსოვრებასა და გააზრებას, ასევე განვითარებულ სივრცით აზროვნებას. ამიტომ ტრიგონომეტრიული გამოთვლები ხშირად უქმნის სირთულეებს სკოლის მოსწავლეებსა და სტუდენტებს. მათ დასაძლევად უფრო მეტად უნდა გაეცნოთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და ფორმულებს.

ცნებები ტრიგონომეტრიაში

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ცნებების გასაგებად, ჯერ უნდა გადაწყვიტოთ რა არის მართკუთხა სამკუთხედი და კუთხე წრეში და რატომ არის დაკავშირებული ყველა ძირითადი ტრიგონომეტრიული გამოთვლა მათთან. სამკუთხედი, რომელშიც ერთ-ერთი კუთხე 90 გრადუსია, არის მართკუთხა სამკუთხედი. ისტორიულად, ამ ფიგურას ხშირად იყენებდნენ ადამიანები არქიტექტურაში, ნავიგაციაში, ხელოვნებაში, ასტრონომიაში. შესაბამისად, ამ ფიგურის თვისებების შესწავლისა და ანალიზის შედეგად, ადამიანები მივიდნენ მისი პარამეტრების შესაბამისი კოეფიციენტების გაანგარიშებამდე.

მართკუთხა სამკუთხედებთან დაკავშირებული ძირითადი კატეგორიებია ჰიპოტენუზა და ფეხები. ჰიპოტენუზა არის სამკუთხედის გვერდი, რომელიც მართი კუთხის საპირისპიროა. ფეხები, შესაბამისად, არის დანარჩენი ორი მხარე. ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის 180 გრადუსია.

სფერული ტრიგონომეტრია არის ტრიგონომეტრიის ის განყოფილება, რომელიც არ არის შესწავლილი სკოლაში, მაგრამ გამოყენებით მეცნიერებებში, როგორიცაა ასტრონომია და გეოდეზია, მეცნიერები მას იყენებენ. სფერულ ტრიგონომეტრიაში სამკუთხედის თვისება ის არის, რომ მას ყოველთვის აქვს 180 გრადუსზე მეტი კუთხეების ჯამი.

სამკუთხედის კუთხეები

მართკუთხა სამკუთხედში კუთხის სინუსი არის სასურველი კუთხის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა სამკუთხედის ჰიპოტენუზასთან. შესაბამისად, კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხისა და ჰიპოტენუზის თანაფარდობა. ორივე ამ მნიშვნელობას ყოველთვის აქვს ერთზე ნაკლები მნიშვნელობა, რადგან ჰიპოტენუზა ყოველთვის გრძელია ვიდრე ფეხი.

კუთხის ტანგენსი არის მნიშვნელობა, რომელიც უდრის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდებას სასურველი კუთხის მეზობელ წვერთან, ან სინუსსა და კოსინუსს. კოტანგენსი, თავის მხრივ, არის სასურველი კუთხის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა მოპირდაპირე კაქტესთან. კუთხის კოტანგენსი ასევე შეიძლება მივიღოთ ერთეულის ტანგენსის მნიშვნელობაზე გაყოფით.

ერთეული წრე

ერთეული წრე გეომეტრიაში არის წრე, რომლის რადიუსი უდრის ერთს. ასეთი წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში, წრის ცენტრი ემთხვევა წარმოშობის წერტილს, ხოლო რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია განისაზღვრება X ღერძის დადებითი მიმართულებით (აბსცისის ღერძი). წრის თითოეულ წერტილს აქვს ორი კოორდინატი: XX და YY, ანუ აბსცისა და ორდინატის კოორდინატები. XX სიბრტყეზე წრეზე ნებისმიერი წერტილის არჩევით და მისგან პერპენდიკულარულის აბსცისის ღერძზე ჩამოშვებით, მივიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც წარმოიქმნება არჩეული წერტილის რადიუსით (მოდით ავღნიშნოთ იგი ასო C-ით), პერპენდიკულარული X ღერძი (გადაკვეთის წერტილი აღინიშნება ასო G) და სეგმენტი აბსცისის ღერძი საწყისს (წერტილი აღინიშნება ასო A) და გადაკვეთის წერტილი G შორის. შედეგად მიღებული სამკუთხედი ACG არის მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც ჩაწერილია წრე, სადაც AG არის ჰიპოტენუზა, ხოლო AC და GC არის ფეხები. კუთხე AC წრის რადიუსსა და აბსცისის ღერძის სეგმენტს შორის AG აღნიშვნით, ჩვენ განვსაზღვრავთ, როგორც α (ალფა). ასე რომ, cos α = AG/AC. იმის გათვალისწინებით, რომ AC არის ერთეული წრის რადიუსი და ის უდრის ერთს, გამოდის, რომ cos α=AG. ანალოგიურად, sin α=CG.

გარდა ამისა, ამ მონაცემების ცოდნით, შესაძლებელია წრეზე C წერტილის კოორდინატის დადგენა, ვინაიდან cos α=AG და sin α=CG, რაც ნიშნავს, რომ C წერტილს აქვს მოცემული კოორდინატები (cos α; sin α). იმის ცოდნა, რომ ტანგენსი უდრის სინუსის თანაფარდობას კოსინუსთან, შეგვიძლია განვსაზღვროთ, რომ tg α \u003d y / x და ctg α \u003d x / y. ნეგატიურ კოორდინატთა სისტემაში კუთხეების გათვალისწინებით, შეიძლება გამოვთვალოთ, რომ ზოგიერთი კუთხის სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს უარყოფითი.

გამოთვლები და ძირითადი ფორმულები

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები

ერთეული წრის მეშვეობით ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არსის გათვალისწინებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები ზოგიერთი კუთხისთვის. მნიშვნელობები ჩამოთვლილია ქვემოთ მოცემულ ცხრილში.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

განტოლებებს, რომლებშიც არის უცნობი მნიშვნელობა ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ, ეწოდება ტრიგონომეტრიული. იდენტობები მნიშვნელობით sin x = α, k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, გამოსავალი არ არის.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

იდენტობები cos x = a მნიშვნელობით, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, გამოსავალი არ არის.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

იდენტობები tg x = a მნიშვნელობით, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

იდენტობები მნიშვნელობით ctg x = a, სადაც k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

ჩამოსხმის ფორმულები

მუდმივი ფორმულების ეს კატეგორია აღნიშნავს მეთოდებს, რომლითაც შეგიძლიათ გადახვიდეთ ფორმის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან არგუმენტის ფუნქციებზე, ანუ გადაიყვანოთ ნებისმიერი მნიშვნელობის კუთხის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი კუთხის შესაბამის ინდიკატორებზე. ინტერვალი 0-დან 90 გრადუსამდე გამოთვლების მეტი მოხერხებულობისთვის.

კუთხის სინუსისთვის ფუნქციების შემცირების ფორმულები ასე გამოიყურება:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

კუთხის კოსინუსისთვის:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენება შესაძლებელია ორი წესის დაცვით. პირველი, თუ კუთხე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც მნიშვნელობა (π/2 ± a) ან (3π/2 ± a), ფუნქციის მნიშვნელობა იცვლება:

• ცოდვიდან კოსამდე;
• კოსიდან ცოდვამდე;
• tg-დან ctg-მდე;
• ctg-დან tg-მდე.

ფუნქციის მნიშვნელობა უცვლელი რჩება, თუ კუთხე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც (π ± a) ან (2π ± a).

მეორეც, შემცირებული ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება: თუ თავდაპირველად დადებითი იყო, ასე რჩება. იგივე ეხება უარყოფით ფუნქციებს.

დამატების ფორმულები

ეს ფორმულები გამოხატავს ორი ბრუნვის კუთხის ჯამისა და სხვაობის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობებს მათი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით. კუთხეები ჩვეულებრივ აღინიშნება α და β.

ფორმულები ასე გამოიყურება:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

ეს ფორმულები მოქმედებს ნებისმიერი α და β კუთხისთვის.

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ფორმულები

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფორმულები არის ფორმულები, რომლებიც აკავშირებენ 2α და 3α კუთხეების ფუნქციებს, შესაბამისად, კუთხის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან. მიღებული დამატების ფორმულებიდან:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

ჯამიდან პროდუქტზე გადასვლა

იმის გათვალისწინებით, რომ 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ამ ფორმულის გამარტივებით, მივიღებთ იდენტურობას sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. ანალოგიურად, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

პროდუქტიდან ჯამზე გადასვლა

ეს ფორმულები თანხის პროდუქტზე გადასვლის იდენტობიდან გამომდინარეობს:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

შემცირების ფორმულები

ამ იდენტობებში, სინუსისა და კოსინუსის კვადრატული და კუბური სიმძლავრეები შეიძლება გამოიხატოს მრავალი კუთხის პირველი სიმძლავრის სინუსის და კოსინუსის მიხედვით:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

უნივერსალური ჩანაცვლება

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები გამოხატავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ნახევარი კუთხის ტანგენტის მიხედვით.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), ხოლო x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), სადაც x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), სადაც x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), ხოლო x \u003d π + 2πn.

განსაკუთრებული შემთხვევები

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ცალკეული შემთხვევები მოცემულია ქვემოთ (k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი).

პირადი სინუსისთვის:

sin x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	პკ
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ან 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ან -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ან 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ან -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ან 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ან -2π/3 + 2πk

კოსინუსების კოეფიციენტები:

cos x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	π/2 + 2πk
1	2 πკ
-1	2 + 2 πკ
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

პირადი ტანგენტისთვის:

tg x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	პკ
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

კოტანგენტების კოეფიციენტები:

ctg x მნიშვნელობა	x მნიშვნელობა
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

თეორემები

სინუსების თეორემა

თეორემის ორი ვერსია არსებობს - მარტივი და გაფართოებული. მარტივი სინუსების თეორემა: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. ამ შემთხვევაში, a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო α, β, γ არის მოპირდაპირე კუთხეები, შესაბამისად.

გაფართოებული სინუსების თეორემა თვითნებური სამკუთხედისთვის: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. ამ იდენტურობაში R აღნიშნავს წრის რადიუსს, რომელშიც ჩაწერილია მოცემული სამკუთხედი.

კოსინუსების თეორემა

იდენტურობა აისახება ამ გზით: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. ფორმულაში a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო α არის კუთხე a მოპირდაპირე მხარეს.

ტანგენტის თეორემა

ფორმულა გამოხატავს ურთიერთობას ორი კუთხის ტანგენტებსა და მათ მოპირდაპირე გვერდების სიგრძეს შორის. გვერდებს ეწერება a, b, c და შესაბამისი საპირისპირო კუთხეებია α, β, γ. ტანგენტის თეორემის ფორმულა: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

კოტანგენტის თეორემა

აკავშირებს სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსს მისი გვერდების სიგრძესთან. თუ a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები და A, B, C, შესაბამისად, მათი საპირისპირო კუთხეები, r არის ჩაწერილი წრის რადიუსი და p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი, შემდეგი იდენტობები. გამართავს:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

აპლიკაციები

ტრიგონომეტრია არ არის მხოლოდ თეორიული მეცნიერება, რომელიც დაკავშირებულია მათემატიკურ ფორმულებთან. მისი თვისებები, თეორემები და წესები პრაქტიკაში გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის სხვადასხვა დარგში - ასტრონომია, საჰაერო და საზღვაო ნავიგაცია, მუსიკის თეორია, გეოდეზია, ქიმია, აკუსტიკა, ოპტიკა, ელექტრონიკა, არქიტექტურა, ეკონომიკა, მანქანათმშენებლობა, საზომი სამუშაოები, კომპიუტერული გრაფიკა, კარტოგრაფია, ოკეანოგრაფია და მრავალი სხვა.

სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი არის ტრიგონომეტრიის ძირითადი ცნებები, რომლითაც შეგიძლიათ მათემატიკურად გამოხატოთ კავშირი სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდების სიგრძეებს შორის და იპოვოთ სასურველი სიდიდეები იდენტობების, თეორემებისა და წესების საშუალებით.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულები არის ფორმულები, რომლებიც ამყარებენ კავშირებს ძირითად ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის. სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი ურთიერთდაკავშირებულია მრავალი ურთიერთობით. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულები და მოხერხებულობისთვის ვაჯგუფებთ მათ დანიშნულების მიხედვით. ამ ფორმულების გამოყენებით თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ თითქმის ნებისმიერი პრობლემა სტანდარტული ტრიგონომეტრიის კურსიდან. ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ქვემოთ მოცემულია მხოლოდ თავად ფორმულები და არა მათი წარმოშობა, რომელსაც ცალკეული სტატიები დაეთმობა.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტობები

ტრიგონომეტრიული იდენტობები იძლევა ურთიერთობას ერთი კუთხის სინუსს, კოსინუსს, ტანგენტსა და კოტანგენტს შორის, რაც საშუალებას აძლევს ერთი ფუნქციის გამოხატვას მეორე კუთხით.

ტრიგონომეტრიული იდენტობები

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

ეს იდენტობები პირდაპირ გამომდინარეობს ერთეული წრის, სინუსის (sin), კოსინუსის (cos), ტანგენტის (tg) და კოტანგენტის (ctg) განმარტებებიდან.

ჩამოსხმის ფორმულები

ჩამოსხმის ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ თვითნებური და თვითნებურად დიდი კუთხით სამუშაოდან 0-დან 90 გრადუსამდე კუთხით მუშაობაზე.

ჩამოსხმის ფორმულები

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

შემცირების ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობის შედეგია.

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულები

ტრიგონომეტრიაში დამატების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ კუთხეების ჯამის ან სხვაობის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მიხედვით.

ტრიგონომეტრიული დამატების ფორმულები

sin α ± β = ცოდვა α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - ცოდვა α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

დამატების ფორმულებზე დაყრდნობით, მიღებულია ტრიგონომეტრიული ფორმულები მრავალმხრივი კუთხისთვის.

მრავალი კუთხის ფორმულა: ორმაგი, სამმაგი და ა.შ.

ორმაგი და სამმაგი კუთხის ფორმულები

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α t g 2 α \u003d ერთად t g 2 α - 1 2 t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

ნახევარი კუთხის ფორმულები

ნახევარკუთხის ფორმულები ტრიგონომეტრიაში არის ორმაგი კუთხის ფორმულების შედეგი და გამოხატავს ურთიერთობას ნახევარკუთხის ძირითად ფუნქციებსა და მთელი კუთხის კოსინუსს შორის.

ნახევარი კუთხის ფორმულები

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

შემცირების ფორმულები

შემცირების ფორმულები

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

ხშირად, გამოთვლებში, მოუხერხებელია მუშაობა რთული ძალებით. ხარისხის შემცირების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ხარისხი თვითნებურად დიდიდან პირველამდე. აქ არის მათი ზოგადი შეხედულება:

შემცირების ზოგადი ფორმების ფორმულები

თუნდაც ნ

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

კენტი n-სთვის

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების სხვაობა და ჯამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნამრავლის სახით. სინუსებისა და კოსინუსების განსხვავებების ფაქტორირება ძალიან მოსახერხებელია ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისა და გამოსახულებების გამარტივებისას.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამი და განსხვავება

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პროდუქტი

თუ ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ მათ ნამრავლზე, მაშინ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის ფორმულები ახორციელებენ საპირისპირო გადასვლას - ნამრავლიდან ჯამზე. განიხილება სინუსების, კოსინუსების და კოსინუსების ნამრავლის ფორმულები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ნამრავლის ფორმულები

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + ცოდვა (α + β))

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

ყველა ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია - სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი - შეიძლება გამოისახოს ნახევარი კუთხის ტანგენტის მიხედვით.

უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 ტ გ α 2

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter