გაკვეთილის მიზნები:

• საგანმანათლებლო:ტრენინგი ერთგვაროვანი განტოლების შემცველი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის, განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების შესახებ;
• განვითარებადი: აზროვნების, ყურადღების, მეხსიერების განვითარება, მთავარის გამოკვეთის უნარი;
• საგანმანათლებლო:კომუნიკაციის უნარის განვითარება.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის შესწავლის გაკვეთილი.

გამოყენებული სასწავლო ტექნოლოგიები:

• ჯგუფებში მუშაობა;
• დიზაინის მეთოდი.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი.

გაკვეთილამდე ერთი კვირით ადრე მოსწავლეები იღებენ თემებს შემოქმედებითი დავალებისთვის (ოფციონის მიხედვით).
I ვარიანტი. განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები. გადაწყვეტილებები.
ვარიანტი II. სისტემები, რომლებიც შეიცავს ერთგვაროვან განტოლებას. გადაწყვეტილებები.

თითოეულმა მოსწავლემ დამატებითი სასწავლო ლიტერატურის გამოყენებით უნდა მოძებნოს შესაბამისი სასწავლო მასალა, შეარჩიოს განტოლებათა სისტემა და ამოხსნას იგი.
თითოეული ვარიანტიდან ერთი მოსწავლე ქმნის მულტიმედია პრეზენტაციებს შემოქმედებითი ამოცანის თემაზე. მასწავლებელი საჭიროების შემთხვევაში უწევს კონსულტაციებს მოსწავლეებს.

I. მოსწავლეთა სასწავლო საქმიანობის მოტივაცია

მასწავლებლის გახსნის სიტყვა
წინა გაკვეთილზე განვიხილეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა უცნობის ჩანაცვლებით. ახალი ცვლადების არჩევის ზოგადი წესი არ არსებობს. ამასთან, განტოლების სისტემის ორი ტიპი შეიძლება გამოიყოს, როდესაც არსებობს ცვლადების გონივრული არჩევანი:

• განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები;
• განტოლებათა სისტემები, რომელთაგან ერთი ერთგვაროვანია.

II. ახალი მასალის სწავლა

მე-2 ვარიანტის მოსწავლეები მოხსენებას აკეთებენ საშინაო დავალების შესახებ.

1. მულტიმედიური პრეზენტაციის „ერთგვაროვანი განტოლების შემცველი სისტემები“ სლაიდების ჩვენება (პრეზენტაცია 1).

2. იმავე მერხთან მსხდომ მოსწავლეთა წყვილებში მუშაობა: მე-2 ვარიანტის მოსწავლე თავის მეზობელს უხსნის ერთგვაროვანი განტოლების შემცველი სისტემის ამოხსნას.

1 ვარიანტის სტუდენტის ანგარიში.

1. მულტიმედიური პრეზენტაციის „განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები“ სლაიდების დემონსტრირება (პრეზენტაცია 2).

მოსწავლეები რვეულებში წერენ:

2. იმავე მერხთან მსხდომ მოსწავლეთა წყვილებში მუშაობა: 1 ვარიანტის მოსწავლე თავის მეზობელს უხსნის განტოლებათა სიმეტრიული სისტემის ამონახს.

III. ნასწავლი მასალის განმტკიცება

მუშაობა ჯგუფურად (მოსწავლეები, რომლებიც გვერდით მერხებთან სხედან, გაერთიანებულნი არიან 4 მოსწავლის ჯგუფად).
6 ჯგუფიდან თითოეული ასრულებს შემდეგ დავალებას.

განსაზღვრეთ სისტემის ტიპი და გადაჭრით:

მოსწავლეები ჯგუფურად აანალიზებენ სისტემებს, ადგენენ მათ ტიპს, შემდეგ ფრონტალური მუშაობისას განიხილავენ სისტემების გადაწყვეტილებებს.

სისტემა

სიმეტრიული, შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები x+y=u, xy=v

ბ) სისტემა

შეიცავს ერთგვაროვან განტოლებას.

რიცხვების წყვილი (0;0) არ არის სისტემის გამოსავალი.

IV. მოსწავლის ცოდნის მონიტორინგი

დამოუკიდებელი მუშაობა ვარიანტებზე.

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

მოსწავლეები მასწავლებელს გადასცემენ რვეულებს შესამოწმებლად.

V. საშინაო დავალება

1. შესრულებულია ყველა სტუდენტის მიერ.

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

2. ასრულებენ „ძლიერი“ მოსწავლეები.

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

VI. გაკვეთილის შეჯამება

კითხვები:
რა ტიპის განტოლებათა სისტემები შეიტყვეთ კლასში?
განტოლებათა სისტემების ამოხსნის რა მეთოდი გამოიყენება მათ ამოსახსნელად?

გაკვეთილზე მოსწავლეების მიერ მიღებული შეფასებების მოხსენება.

შესავალი ჩემი პროექტის პრობლემა ის არის, რომ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარება მოითხოვს განტოლებების სხვადასხვა სისტემის ამოხსნის უნარს, ხოლო საშუალო სკოლის კურსზე მათ არ აქვთ საკმარისი დრო ამ საკითხის უფრო ღრმად გასაგებად. სამუშაოს მიზანი: მოემზადოს ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის. სამუშაოს მიზნები: გააფართოვეთ ცოდნა მათემატიკის სფეროში, რომელიც დაკავშირებულია „სიმეტრიის“ ცნებასთან. გააუმჯობესეთ თქვენი მათემატიკური კულტურა „სიმეტრიის“ ცნების გამოყენებით სიმეტრიული განტოლებების სისტემების ამოხსნისას, ისევე როგორც მათემატიკაში სხვა ამოცანები.

სიმეტრიის ცნება. სიმეტრია - (ძვ. ბერძნ. συμμετρία), ფართო გაგებით - უცვლელობა ნებისმიერი გარდაქმნებისას. მაგალითად, სხეულის სფერული სიმეტრია ნიშნავს, რომ სხეულის გარეგნობა არ შეიცვლება, თუ იგი სივრცეში ბრუნავს თვითნებური კუთხით. ორმხრივი სიმეტრია ნიშნავს, რომ მარჯვენა და მარცხენა რომელიმე სიბრტყის მიმართ ერთნაირად გამოიყურება.

ამოცანების ამოხსნა სიმეტრიის გამოყენებით. ამოცანა No1 ორი ადამიანი რიგრიგობით ათავსებს იდენტურ მონეტებს მრგვალ მაგიდაზე და მონეტები არ უნდა ფარავდეს ერთმანეთს. ის, ვინც მოძრაობს ვერ აკეთებს, კარგავს. ვინ იგებს სწორად თამაშისას? (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რომელ მოთამაშეს აქვს გამარჯვების სტრატეგია?)

სიმეტრიული სისტემების ამოხსნის მეთოდები. სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა შესაძლებელია ცვლადების შეცვლით, რომლებსაც თამაშობენ ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრები. ორი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ორი უცნობით x და y ამოხსნილია u = x + y, v = xy ჩანაცვლებით.

მაგალითი No2 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი სახით 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 . გამოვხატავთ u = მეორე განტოლებიდან და შევცვლით მას პირველ განტოლებაში, ვიღებთ 9v2– 28v – 156 = 0. ამ განტოლების ფესვები v 1 = 6 და v 2 = - საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები U1 = 5, u2= - გამოთქმიდან u =.

მოდით ახლა გადავწყვიტოთ სისტემების შემდეგი სიმრავლე მოდით ახლა გადავწყვიტოთ სისტემების შემდეგი სიმრავლე x + y = 5, და x + y = - , xy = 6 xy = - . x = 5 – y, და y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 – y, და y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = - . x = 5 – y, და y = -x -, y 1 = 3, y 2 =2 x 1 = , x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3, და x 1 = , x 2 = - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = - , y 2= პასუხი: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

სიმეტრიული სისტემების ამოხსნისას გამოყენებული თეორემები. თეორემა 1. (სიმეტრიული მრავალწევრების შესახებ) ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომი ორ ცვლადში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ძირითადი სიმეტრიული პოლინომის ფუნქციის სახით, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სიმეტრიული მრავალწევრისთვის f (x, y) არის ორი ცვლადის φ (u) ფუნქცია. , ქ) ისეთი, რომ

თეორემა 2. (სიმეტრიული მრავალწევრების შესახებ) თეორემა 2. (სიმეტრიული მრავალწევრების შესახებ) ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომი სამ ცვლადში შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრის ფუნქციად: სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი სიმეტრიული პოლინომისთვის f (x, y) არის სამი ცვლადის θ (u, v, w) ასეთი ფუნქცია, რომელიც

უფრო რთული სიმეტრიული სისტემები - მოდულის შემცველი სისტემები: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. განვიხილოთ ეს სისტემა x-ისთვის ცალკე< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

ბ) x ≤ y-სთვის< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) სისტემა იღებს ფორმას - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2, ან - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2, საიდანაც ვპოულობთ x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. რიცხვების მეორე წყვილი განსახილველ ფართობს განეკუთვნება, ანუ ეს არის ამ სისტემის ამოხსნა.

თუ x ≥ 1, მაშინ: თუ x ≥ 1, მაშინ: ა) x > y და y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y და y ≥ 1 სისტემა იღებს ფორმას x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, ან x – y + y 2 = 3, x + y = 4, საიდანაც ვპოულობთ x = 1, y = 3. რიცხვების ეს წყვილი არ ეკუთვნის განსახილველ ფართობს;

გ) x ≤ y (მაშინ y ≥ 1) სისტემა იღებს ფორმას c) x ≤ y (მაშინ y ≥ 1) სისტემა იღებს ფორმას - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, ან - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, საიდანაც ვპოულობთ x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. რიცხვების ეს წყვილი არ ეკუთვნის განსახილველ რეგიონს. ამრიგად, x 1 = - 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. პასუხი: (- 1; 1); (თერთმეტი).

დასკვნა მათემატიკა ავითარებს ადამიანის აზროვნებას, გვასწავლის ლოგიკის საშუალებით სხვადასხვა ამოხსნის პოვნას. ასე რომ, როდესაც ვისწავლე სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა, მივხვდი, რომ მათი გამოყენება შესაძლებელია არა მხოლოდ კონკრეტული მაგალითების დასასრულებლად, არამედ სხვადასხვა სახის პრობლემების გადასაჭრელად. ვფიქრობ, რომ პროექტი არა მარტო მე მომგებიანია. მათთვის, ვისაც ასევე სურს ამ თემის გაცნობა, ჩემი ნამუშევარი კარგი ასისტენტი იქნება.

გამოყენებული ლიტერატურის სია: ბაშმაკოვი M.I., „ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი“, მე-2 გამოცემა, მოსკოვი, „Prosveshchenie“, 1992, 350 pp. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., „ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები“, საცნობარო წიგნი; მესამე გამოცემა, შესწორებული და გაფართოებული; კიევი, ნაუკოვა, დუმკა, 1987, 648 გვ. Sharygin I.F., „მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის“, მოსკოვი, გამომცემლობა „დროფა“, 1995, 490 გვ. ინტერნეტ რესურსები: http://www.college.ru/

ნამუშევარი შეიძლება გამოყენებულ იქნას გაკვეთილებისთვის და მოხსენებებისთვის თემაზე "მათემატიკა"

მათემატიკაში მზა პრეზენტაციები გამოიყენება როგორც ვიზუალური დამხმარე საშუალებები, რომლებიც მასწავლებელს ან მშობელს საშუალებას აძლევს აჩვენონ სასწავლო წიგნიდან შესწავლილი თემა სლაიდების და ცხრილების გამოყენებით, აჩვენონ ამოცანებისა და განტოლებების ამოხსნის მაგალითები და ასევე შეამოწმონ ცოდნა. საიტის ამ განყოფილებაში შეგიძლიათ იპოვოთ და ჩამოტვირთოთ ბევრი მზა პრეზენტაცია მათემატიკაზე 1, 2, 3, 4, 5, 6 კლასების სტუდენტებისთვის, ასევე პრეზენტაციები უმაღლესი მათემატიკის შესახებ უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის.

ასე რომ, თქვენ ვიღებთ განტოლებას გავიხსენოთ თეორემა მრავალწევრების რაციონალური ფესვების შესახებ (§ 2.1.5). ჩვენი განტოლების რაციონალური ფესვები უნდა ვეძებოთ -4 რიცხვის გამყოფებს შორის. ყველა გამყოფის გავლისას ჩვენ დავრწმუნდით, რომ განტოლებას არ აქვს რაციონალური ფესვები. თუმცა ეს თეორემა არ იყო ფესვების არსებობის თეორემა. ეს თეორემა მხოლოდ შემდეგს ამტკიცებდა: თუ პოლინომს მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით აქვს რაციონალური ფესვები (მაგრამ მათი არსებობა მაინც შესაძლებელია), მაშინ ამ ფესვებს ექნება რაიმე განსაკუთრებული ფორმა. ეს თეორემა არ აღწერდა შემთხვევას, როდესაც არ არსებობს რაციონალური ფესვები.

შევეცადოთ ვიპოვოთ საწყისი სისტემის განტოლების ფესვები ირაციონალურ რიცხვებს შორის. თუმცა, ამას გარკვეული კრეატიულობა დასჭირდება: სიმეტრიული სისტემების სტანდარტული ჩანაცვლება აშკარად აქ არ მუშაობს.

მეორე განტოლების კუბში აყვანით მივიღებთ: ამრიგად, ვიეტას თეორემით და არის კვადრატული განტოლების ფესვები Hence და Hence,

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის შესახებ დამატებითი ლიტერატურის შესწავლისას დამხვდა ახალი ტიპის სისტემა - სიმეტრიული. და ჩემს თავს დავსახე მიზანი:

შეაჯამეთ სამეცნიერო ინფორმაცია თემაზე „განტოლებათა სისტემები“.

გაიაზრონ და ისწავლონ ამოხსნა ახალი ცვლადების შემოტანით;

3) განვიხილოთ განტოლებათა სიმეტრიულ სისტემებთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიები

4) ისწავლეთ განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ისტორია.

ხაზოვანი განტოლებიდან უცნობის ამოღება დიდი ხანია გამოიყენება. მე-17-18 საუკუნეებში. ვ. გამორიცხვის ტექნიკა შეიმუშავეს ფერმატმა, ნიუტონმა, ლაიბნიცმა, ეილერმა, ბეზოუტმა, ლაგრანჟმა.

თანამედროვე აღნიშვნით, ორი წრფივი განტოლების სისტემას ორი უცნობით აქვს ფორმა: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 ამ სისტემის ამონახსნები გამოიხატება ფორმულებით.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

მე-17 საუკუნეში შექმნილი კოორდინატული მეთოდის წყალობით. ფერმას და დეკარტს, შესაძლებელი გახდა განტოლებათა სისტემების გრაფიკულად ამოხსნა.

III-II ათასწლეულში დაწერილ ძველ ბაბილონურ ტექსტებში. ე. , შეიცავს უამრავ პრობლემას, რომელთა გადაჭრაც შესაძლებელია განტოლებათა სისტემების აგებით, რომლებშიც ასევე შეყვანილია მეორე ხარისხის განტოლებები.

მაგალითი #1:

დავამატე ჩემი ორი კვადრატის ფართობები: 25. მეორე კვადრატის გვერდი უდრის პირველის გვერდს და კიდევ 5. შესაბამისი აღნიშვნის განტოლებათა სისტემა ასე გამოიყურება: x2 + y2 = 25, y = x. = 5

დიოფანტე, რომელსაც ბევრი უცნობის აღნიშვნა არ გააჩნდა, დიდი შრომა სჭირდებოდა უცნობის ისე შერჩევას, რომ სისტემის ამონახსნები ერთი განტოლების ამოხსნამდე დაეყვანა.

მაგალითი #2:

იპოვნეთ ორი ნატურალური რიცხვი, იცოდეთ, რომ მათი ჯამი არის 20, ხოლო კვადრატების ჯამი არის 208.

პრობლემა ასევე მოგვარდა განტოლებათა სისტემის შედგენით, x + y = 20, მაგრამ ამოხსნილია x2 + y2 = 208

დიოფანტე, აუცილებელ რიცხვთა სხვაობის ნახევარს არჩევს უცნობად, ე.ი.

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- არ აკმაყოფილებს ამოცანის პირობებს, შესაბამისად, თუ z = 2x = 12 და y = 8

ალგებრული განტოლებათა სისტემის ცნებები.

ბევრ პრობლემაში აუცილებელია რამდენიმე უცნობი სიდიდის პოვნა, იმის ცოდნა, რომ მათი დახმარებით წარმოქმნილი სხვა სიდიდეები (უცნობების ფუნქციები) ტოლია ერთმანეთის ან რომელიმე მოცემული სიდიდის. მოდით შევხედოთ მარტივ მაგალითს.

2400 მ2 ფართობის მართკუთხა მიწის ნაკვეთი შემოღობილია 200 მ სიგრძის გალავნით. იპოვნეთ ნაკვეთის სიგრძე და სიგანე. სინამდვილეში, ამ პრობლემის „ალგებრული მოდელი“ არის ორი განტოლებისა და ერთი უტოლობის სისტემა.

შესაძლო უთანასწორობა ყოველთვის უნდა იყოს მხედველობაში. როცა ამოხსნით განტოლებათა სისტემების შედგენის ამოცანებს. მაგრამ მთავარია განტოლებების თავად ამოხსნა. მე გეტყვით გამოყენებული მეთოდების შესახებ.

დავიწყოთ განმარტებებით.

განტოლებათა სისტემა არის რამდენიმე (ერთზე მეტი) განტოლების ერთობლიობა, რომლებიც დაკავშირებულია ხვეული სამაგრით.

ხვეული ფრჩხილი ნიშნავს, რომ სისტემის ყველა განტოლება უნდა შესრულდეს ერთდროულად და აჩვენებს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვების წყვილი (x; y), რომელიც აქცევს თითოეულ განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში.

სისტემის ამონახსნი არის x და y რიცხვების წყვილი, რომლებიც ამ სისტემაში ჩანაცვლებისას მისი ყოველი განტოლება გარდაიქმნება სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამონახსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.

ჩანაცვლების მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი არის ის, რომ ერთ-ერთ განტოლებაში ერთი ცვლადი გამოხატულია მეორის მიხედვით. შედეგად მიღებული გამოხატულება ჩანაცვლებულია სხვა განტოლებით, რომელიც შემდეგ ხდება განტოლება ერთი ცვლადით და შემდეგ იხსნება. ამ ცვლადის შედეგად მიღებული მნიშვნელობები ჩანაცვლებულია ორიგინალური სისტემის ნებისმიერ განტოლებაში და ნაპოვნია მეორე ცვლადი.

ალგორითმი.

1. სისტემის ერთი განტოლებიდან y გამოხატეთ x-ის მიხედვით.

2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.

3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.

4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.

5) დაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y).

მაგალითი No. 1 y = x – 1,

ჩავანაცვლოთ y = x - 1 მეორე განტოლებაში, მივიღებთ 5x + 2 (x - 1) = 16, საიდანაც x = 2. ჩავანაცვლოთ მიღებული გამოხატულება პირველ განტოლებაში: y = 2 - 1 = 1.

პასუხი: (2; 1).

მაგალითი #2:

8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2

2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2

5y = 10 x = 8y – 4, y = -2

2х – 21у = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20

2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2

პასუხი: (-20; -2).

მაგალითი No3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – კვადრატული განტოლება y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

ამიტომ (-2; -4); (4; 8) – ამ სისტემის გადაწყვეტილებები.

დამატების მეთოდი.

დამატების მეთოდი არის ის, რომ თუ მოცემული სისტემა შედგება განტოლებისგან, რომლებიც ერთად შეკრებისას ქმნიან განტოლებას ერთ ცვლადთან, მაშინ ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობებს. ნაპოვნია მეორე ცვლადის მნიშვნელობა, როგორც ჩანაცვლების მეთოდით.

სისტემის ამოხსნის ალგორითმი დამატების მეთოდის გამოყენებით.

1. კოეფიციენტების მოდულების გათანაბრება ერთ-ერთი უცნობისთვის.

2. მიღებული განტოლებების მიმატებით ან გამოკლებით იპოვეთ ერთი უცნობი.

3. ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლება საწყისი სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში, იპოვეთ მეორე უცნობი.

მაგალითი No1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა შეკრების მეთოდით: x + y = 20, x – y = 10

მეორეს გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, მივიღებთ

გამოვხატოთ მეორე გამონათქვამიდან x = 20 - y

ჩაანაცვლეთ y = 5 ამ გამოსახულებაში: x = 20 – 5 x = 15.

პასუხი: (15; 5).

მაგალითი #2:

მოდით წარმოვადგინოთ შემოთავაზებული სისტემის განტოლებები განსხვავების სახით, მივიღებთ

7y = 21, საიდანაც y = 3

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა x = გამოსახული სისტემის მეორე განტოლებიდან, მივიღებთ x = 4.

პასუხი: (4; 3).

მაგალითი #3:

2x + 11y = 15,

10x – 11y = 9

ამ განტოლებების მიმატებით მივიღებთ:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლებით მეორე განტოლებაში, მივიღებთ:

10 * 2 – 11y = 9, საიდანაც y = 1.

ამ სისტემის გამოსავალი არის წყვილი: (2; 1).

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი.

ალგორითმი.

1. ააგეთ თითოეული სისტემის განტოლების გრაფიკები.

2. იპოვეთ აგებული ხაზების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები.

სიბრტყეზე ხაზების ურთიერთ მოწყობის შემთხვევა.

1. თუ წრფეები იკვეთება, ანუ აქვთ ერთი საერთო წერტილი, მაშინ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი.

2. თუ წრფეები პარალელურია, ანუ საერთო წერტილები არ აქვთ, მაშინ განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს.

3. თუ წრფეები ერთმანეთს ემთხვევა, ანუ მათ აქვთ ბევრი წერტილი, მაშინ განტოლებათა სისტემას ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა აქვს.

მაგალითი #1:

გრაფიკულად ამოხსენით განტოლებათა სისტემა x – y = -1,

გამოვსახოთ y პირველი და მეორე განტოლებიდან: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

მოდით ავაშენოთ თითოეული სისტემის განტოლების გრაფიკები:

1) y = 1 + x – ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y = 4 – 2x – ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 1 y 4 2

პასუხი: (1; 2).

მაგალითი No2: y x ​​+ 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y = , y = y = - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y 3 2 y = - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y 2 1

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

მაგალითი No3: y x ​​– 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x 0 2 y -1 0

პასუხი: სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი.

ახალი ცვლადების შემოღების მეთოდი არის ის, რომ ახალი ცვლადი შემოდის მხოლოდ ერთ განტოლებაში ან ორ ახალ ცვლადში ორივე განტოლებისთვის ერთდროულად, შემდეგ განტოლება ან განტოლებები წყდება ახალ ცვლადებთან მიმართებაში, რის შემდეგაც რჩება უფრო მარტივი სისტემის ამოხსნა. განტოლებათა, საიდანაც ვპოულობთ სასურველ ამონახსნებს.

მაგალითი #1:

X + y = 5

ავღნიშნოთ = z, შემდეგ =.

პირველი განტოლება მიიღებს z + = ფორმას, ის უდრის 6z – 13 + 6 = 0. მიღებული განტოლების ამოხსნის შემდეგ გვაქვს z = ; z =. შემდეგ = ან =, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველი განტოლება იყოფა ორ განტოლებად, შესაბამისად, გვაქვს ორი სისტემა:

X + y = 5 x + y = 5

ამ სისტემების გადაწყვეტილებები არის მოცემული სისტემის გადაწყვეტილებები.

პირველი სისტემის გამოსავალი არის წყვილი: (2; 3), ხოლო მეორე არის წყვილი (3; 2).

მაშასადამე, სისტემის ამონახსნები + = , x + y = 5

წყვილები არიან (2; 3); (3; 2)

მაგალითი #2:

მოდით = X, a = Y.

X =, 5 * - 2U = 1

5Х – 2У = 1 2.5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7.5U – 2U = 1

X =, -9.5U = -19

5 * - 2U = 1 U = 2

ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.

2 x = 1, y = 0.5

პასუხი: (1; 0.5).

განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები.

სისტემას, რომელსაც აქვს n უცნობი, ეწოდება სიმეტრიული, თუ ის არ იცვლება უცნობის გადალაგებისას.

ორი განტოლების სიმეტრიული სისტემა ორი უცნობით x და y ამოხსნილია u = x + y, v = xy ჩანაცვლებით. გაითვალისწინეთ, რომ სიმეტრიულ სისტემებში შეხვედრილი გამონათქვამები გამოხატულია u და v-ით. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე ასეთი მაგალითი, რომლებიც უდავო ინტერესს იწვევს მრავალი სიმეტრიული სისტემის ამოხსნისთვის: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v და ა.შ.

სამი განტოლების სიმეტრიული სისტემა უცნობი x y, z ამოხსნილია x + y + z = u, xy + yz + xz = w ჩანაცვლებით. თუ მოიძებნება u, v, w, მაშინ შედგენილია კუბური განტოლება t2 – ut2 + vt – w = 0, რომლის ფესვები t1, t2, t3 სხვადასხვა პერმუტაციებში არის საწყისი სისტემის ამონახსნები. ასეთ სისტემებში ყველაზე გავრცელებული გამონათქვამები გამოიხატება u, v, w შემდეგნაირად: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

მაგალითი No1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

მოდით x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი No2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

მოდით x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი No3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

მოდით x =y = u, xy =v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

პასუხი: (1; 3); (3; 1).

მაგალითი No4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

მოდით x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

ჩვენ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

პასუხი: (4; 1); (14).

მაგალითი No5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

მოდით შევცვალოთ უცნობები, სისტემა მიიღებს ფორმას u2 + v = 49, u + v = 23

ამ განტოლებების მიმატებით მივიღებთ u2 + u – 72 = 0 ფესვებით u1 = 8, u2 = -9. შესაბამისად, v1 = 15, v2 = 32. რჩება სისტემების სიმრავლის ამოხსნა x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

სისტემა x + y = 8, აქვს ამონახსნები x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

სისტემა x + y = -9 არ აქვს რეალური ამონახსნები.

პასუხი: (3; 5), (5; 3).

მაგალითი No6. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა.

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით u = y + x და v = xy ვიღებთ განტოლებათა შემდეგ სისტემას

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

სისტემის მეორე განტოლებიდან v = -3 – u გამოთქმის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ შემდეგ განტოლებას 2u2 + 7u + 5 = 0, რომლის ფესვებია u1 = -1 და u2 = -2,5; და შესაბამისად, v1 = -2 და v2 = -0.5 მნიშვნელობები მიიღება v = -3 – u-დან.

ახლა რჩება სისტემის შემდეგი სიმრავლის ამოხსნა x + y = -1, და x + y = -2.5, xy = -2 xy = -0.5

სისტემების ამ ნაკრების და, შესაბამისად, თავდაპირველი სისტემის ამონახსნები (მათი ეკვივალენტობის გამო) შემდეგია: (1; -2), (-2; 1), (;).

მაგალითი #7:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2y + 8 = 0

ძირითადი სიმეტრიული მრავალწევრების გამოყენებით, სისტემა შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით

3uv – 2v = 78,

გამოვხატავთ u = მეორე განტოლებიდან და შევცვლით მას პირველ განტოლებაში, ვიღებთ 9v2 – 28v – 156 = 0. ამ განტოლების ფესვები v1 = 6 და v2 = - საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ შესაბამისი მნიშვნელობები U1 = 5, u2 = - გამოთქმიდან u =.

ახლა გადავწყვიტოთ სისტემების შემდეგი სიმრავლე x + y = 5, და x + y = -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y, და y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y, და y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y, და y = -x -, y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 და x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

პასუხი: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

დასკვნა.

სტატიის წერის პროცესში გავეცანი ალგებრული განტოლებების სხვადასხვა ტიპის სისტემას. შეჯამებული სამეცნიერო ინფორმაცია თემაზე „განტოლებათა სისტემები“.

გავარკვიე და ვისწავლე ამოხსნა ახალი ცვლადების შემოტანით;

განვიხილეთ განტოლებათა სიმეტრიულ სისტემებთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიები

ისწავლა განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

− 4 1 + 4

−6

27 ≡ 0,

−4 x + 4 y + 27

+(y +6 )

x = 1, x

(x−1)

= −6.

y = −6

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე განტოლების ამონახსნი ჯერ კიდევ არ არის სისტემის ამოხსნა. შედეგად მიღებული რიცხვები უნდა შეიცვალოს სისტემის დარჩენილ პირველ განტოლებაში. ამ შემთხვევაში, ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ იდენტურობას.

პასუხი: (1, – 6).♦

§5. ჰომოგენური განტოლებები და სისტემები
ფუნქცია f(x, y)	დაურეკა	ერთგვაროვანი		კ თუ
f (tx, ty) = tk f (x, y) .	მაგალითად, ფუნქცია f (x, y) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
არის მე-4 ხარისხის ჰომოგენური, რადგან		f (tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx) 2 (ty) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2). განტოლება f(x, y) = 0, სადაც				f (x, y) -

ერთგვაროვან ფუნქციას ერთგვაროვანი ეწოდება. ეს მოდის განტოლებამდე

tion ერთი უცნობით, თუ შემოიტანეთ ახალი ცვლადი t = x y.

f (x, y) = a,

სისტემა ორი ცვლადით g (x, y) = b, სადაც f (x, y), g (x, y) –

იმავე ხარისხის ერთგვაროვან ფუნქციებს ერთგვაროვანი ეწოდება. თუ ab ≠ 0, გავამრავლოთ პირველი განტოლება b-ზე, მეორე a-ზე და

ვიღებთ ერთს მეორისგან და ვიღებთ ეკვივალენტურ სისტემას

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

პირველი განტოლება t = ცვლადების შეცვლით

(ან t =

) შემცირდება

განტოლება ერთი უცნობით.

თუ a = 0

(b = 0), შემდეგ განტოლება f (x, y) = 0 (g (x, y) = 0) ჩანაცვლებით

ცვლადები t =

(ან t =

) დაიყვანება განტოლებამდე ერთი უცნობით

− xy + y

21 ,

მაგალითი 20. (მსუ, 2001, ქიმიური ფაკულტეტი) ამოხსენით სისტემა

− 2xy + 15 = 0.

2012-2013 სასწავლო წელი წელი, No1, მე-11 კლასი. მათემატიკა. ალგებრული განტოლებები, უტოლობები, სისტემები

− xy + y 2 = 21,

− xy + y 2

y2 − 2 xy

−2 xy = −15

2xy = − 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

19 ± 11

5x 2 − 19xy + 12y 2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2 xy = −15

x = 3 y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3; −

3 ) , (4; 5) ,

(− 4; − 5) . ♦

§6. სიმეტრიული სისტემები

f(x,y)

დაურეკა

სიმეტრიული,

f (x, y) = f (y, x) .

f(x, y) = a

ფორმის განტოლებათა სისტემა

სადაც f (x, y), g (x, y) – სიმეტრიული

g(x, y) = b,

ric, ეწოდება სიმეტრიულ სისტემას. ასეთი სისტემები წყვეტს

უფრო ხშირად ხდება	მხოლოდ ახლის დანერგვით	ცვლადები
x + y = u, xy

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17,

მაგალითი 21. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

x + xy + y = 5 .

♦ ეს არის ალგებრული (სიმეტრიული) სისტემა, ჩვეულებრივ ის იხსნება x + y = u, xy = v ჩანაცვლებით. შეამჩნია რომ

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = (x + y) (x 2 − xy + y 2) + x 3 y 3 =

= (x + y) ((x + y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u (u2 − 3 v) + v3,

ჩვენ გადავიწერთ სისტემას ფორმაში

© 2012, ZFTSH MIPT. კოლესნიკოვა სოფია ილინიჩნა

2012-2013 სასწავლო წელი წელი, No1, მე-11 კლასი. მათემატიკა. ალგებრული განტოლებები, უტოლობები, სისტემები

− 3 uv + v

u = 5 − v,

6 = 0

V =5

-5 ვ

v = 3, u = 2

(ძველ ცვლადებში)

x + y = 2,

x = 2 − y,

xy = 3,

y 2 − 2 y + 3 = 0

x + y = 3,

x = 3 − y,

x = 2, y = 1,

y −3 y + 2 = 0

x = 1, y = 2.

xy = 2,

პასუხი: (2;1),

(1; 2) . ♦

ლიტერატურა

1. S.I. Kolesnikova "ინტენსიური მომზადების კურსი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის". მოსკოვი, ირისი – პრესა;

2. „ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის კომპლექსური პრობლემების გადაჭრა“ მოსკოვი, ირისი – პრესა ან „ვაკო“, 2011;

3. ჟურნალი „პოტენციალი“ No1– 2 2005 – სტატიები S.I. Kolesnikova “ირაციონალური განტოლებები” და “ირაციონალური უტოლობები”;

4. S.I. Kolesnikova "ირაციონალური განტოლებები", მოსკოვი, 2010 წ.

შპს აზბუკა;

5. S. I. Kolesnikova "ირაციონალური უთანასწორობები", მოსკოვი, 2010, შპს "აზბუკა";

6. S.I. Kolesnikova "განტოლებები და უტოლობები მოდულების შემცველი", მოსკოვი, 2010, შპს აზბუკა.

საკონტროლო კითხვები

1 (2). იპოვეთ ინტერვალის უმცირესი სიგრძე, რომელიც შეიცავს 5x + 1 ≥ 2(x − 1) უტოლობის ყველა ამონახსანს.

2 (2). ამოხსენით უტოლობა x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (კუბური განტოლების ამოხსნა არ არის საჭირო, რადგან მარჯვნივ და მარცხნივ არის x − 2 ფაქტორი).

3 (2). ამოხსენით უტოლობა 2 − x ≥ x − 3.

4 (2). იპოვეთ ინტერვალის უმოკლეს სიგრძე, რომელსაც

მოიმკის ყველა გამოსავალი უთანასწორობისთვის	x2 + 5 x − 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14 )

5 (3). იპოვნეთ უტოლობის ამონახსნების კვადრატების ჯამი

© 2012, ZFTSH MIPT. კოლესნიკოვა სოფია ილინიჩნა

2012-2013 სასწავლო წელი წელი, No1, მე-11 კლასი. მათემატიკა. ალგებრული განტოლებები, უტოლობები, სისტემები

4 − x − 8 + x ≤ x +6 .

6 (3). ამოხსენით უტოლობა 5 + x − 8 − x ≤ 3 − x.

7 (3). ამოხსენით უტოლობა		− x 3 − x −1			≤x.
						9 − 4x − (x + 3) )
8 (3). ამოხსენით უტოლობა		4 − x −(x + 2 ) )(					≤ 0.
			(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 )

9 (4). იპოვეთ ინტერვალის უმოკლეს სიგრძე, რომელსაც

მოიმკის ყველა გამოსავალი უთანასწორობისთვის
			x+5				x+2				144 − x< 0.
			X−2				4 x −5		6x - 6

10 (2). იპოვეთ ინტერვალის უმოკლეს სიგრძე, რომელიც შეიცავს 8 x − 8 ≤ 32 + 4x − x 2 უტოლობის ყველა ამონახსნებს.

11 (4). იპოვეთ უტოლობათა ყველა მთელი რიცხვის ამონახსნის კვადრატების ჯამი

2 (2). იპოვეთ უმოკლეს სიგრძე ინტერვალისა, რომელიც შეიცავს
			(x − 1 )3 (x + 3)
უთანასწორობის ყველა გამოსავალი										≤ 0 .
			2x - 1				x − 2		) (x − 1)

3 (2). ამოხსენით უტოლობა

4 (x − 3 ) 4 ≥ 4 (x − 7 .5 ) 4 .

4 (4). ამოხსენით უტოლობა

x2 + 3 x − 4

x 2 - 16

2x 2 + 3x − 20

5 (3). ამოხსენით უტოლობა (x 2	X +1 ) 2 −2 x 3 + x 2 + x −3 x 2		≥ 0 .
თვისებები 4 − 2x − 1 ≤ 3.	Დავალებები
	− 5x + 6 + 9 − 2x − 5	≤ 0 .
1(3). ამოხსენით უტოლობა
19x 2 − 4x 3 − 4x + 19

10x 2 − 17x − 6

6 (4). იპოვეთ ყველა a, რომლის განტოლებაც

4 x −

ფუნქცია f (x) = x 2 + 4x +

x 2 -

x − 1

- a იღებს მხოლოდ

არაუარყოფა -

თელიალური მნიშვნელობები.

8 (4). ამოხსენით განტოლება 4 x − 3

x − 1

5x + 14 − 3

5x + 14 − 1

9 (4). ამოხსენით განტოლება

x 2 − 5 +

x 2 −3 = x +1 +

x + 3 .

24 − x 2

9 2 x

10 (3). ამოხსენით უტოლობა

≥ 0 .

x2 − 4 7 x − 10

11 (3). სამი მრბოლელი ერთდროულად იწყებს წრიულ ტრასაზე ერთი წერტილიდან და მიდის მუდმივი სიჩქარით იმავე მიმართულებით. პირველი მხედარი პირველად დაეწია მეორეს, გაიარა თავისი მეხუთე წრე, სტარტის დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილში და ამის შემდეგ ნახევარი საათის შემდეგ, მეორედ დაეწია მესამე მხედარს, სტარტის ჩათვლის გარეშე. . მეორე მხედარი დაწყებიდან 3 საათის შემდეგ პირველად დაეწია მესამეს. რამდენ წრეს აკეთებს საათში პირველი მძღოლი, თუ მეორე ასრულებს წრეს მინიმუმ ოც წუთში?

© 2012, ZFTSH MIPT. კოლესნიკოვა სოფია ილინიჩნა