Ტრანსკრიფცია
1 რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო უმაღლესი განათლების ფედერალური სახელმწიფო საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება "ტოლიატის სახელმწიფო უნივერსიტეტი" მათემატიკის, ფიზიკის და საინფორმაციო ტექნოლოგიების ინსტიტუტი "ალგებრა და გეომეტრია" სტუდენტების სწავლების მეთოდები საბაკალავრო სკოლის ალგებრის კურსი BAKA L A V R S K A Y WORK საბაკალავრო მომზადების მიმართულება: პედაგოგიური განათლება ფოკუსი (პროფილი): მათემატიკა და კომპიუტერული მეცნიერება სტუდენტი ვ.ვ. ნაზაროვი სამეცნიერო ხელმძღვანელი: პედაგოგიურ მეცნიერებათა დოქტორი, პროფ. რ.ა. უტეევა დაშვებულია დაცვაში კათედრის გამგე: პედაგოგიურ მეცნიერებათა დოქტორი, პროფ. რ.ა. უტეევა 016 ტოლიატი - 016
2 სარჩევი შესავალი... თავი I. თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების მეთოდოლოგიური სისტემა საბაზო სკოლის ალგებრა კურსის ძირითადი მიზნები და ამოცანები თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების ძირითადი მიზნები და ამოცანები საბაზო სკოლის ალგებრაში სწავლების მეთოდოლოგიური ანალიზის შინაარსი. თემა „კვადრატული ფესვები“ ალგებრის საბაზისო საკურსო სკოლებში თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების ფორმები, მეთოდები და საშუალებები საბაზო სკოლის ალგებრის კურსში... 5 დასკვნა I თავის შესახებ... თავი II. მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების ორგანიზებისთვის საბაზისო სკოლის ალგებრის კურსის ამოცანები თემაზე „კვადრატული ფესვები“, ფოკუსირებულია საბაზისო სკოლის ცოდნისა და უნარ-ჩვევების საბაზო სასკოლო ალგებრის კურსი „Tasks on the Root“ მიზნად ისახავს საბოლოო სერტიფიცირებისთვის მომზადებას და მათემატიკაში OGE-ს ჩაბარებას. დასკვნა II თავში.
3 შესავალი კვლევის აქტუალობა. თემა „კვადრატული ფესვები“ საბაზო სკოლის ალგებრის კურსის ერთ-ერთი ტრადიციული თემაა. მიღებული რიცხვების შესწავლა ეფუძნება მოსწავლეთა ცოდნას და უნარებს მე-6 კლასის რაციონალური მათემატიკის კურსის შესახებ. რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულების უნარ-ჩვევების გაუმჯობესება ხდება მე-7 კლასის ალგებრის კურსში. მე-8 კლასის ალგებრის კურსში თემის „კვადრატული ფესვები“ შესწავლის მნიშვნელობა და ადგილი დაკავშირებულია რაციონალური რიცხვების სიმრავლის შემდგომი გაფართოებისა და ირაციონალური რიცხვების დანერგვის აუცილებლობასთან. თემის შესწავლის მოტივაცია შეიძლება იყოს კვადრატის გვერდის (გვერდის სიგრძის) პოვნის ცნობილი პრაქტიკული ამოცანა მის მოცემულ ფართობზე დაყრდნობით, რომლის ამოხსნისთვისაც ადრე ცნობილი რიცხვები საკმარისი არ არის. გარდა ამისა, მრავალი გეომეტრიული ამოცანის, ფიზიკის, ქიმიისა და ბიოლოგიის ამოცანების ამოხსნისას საჭირო ხდება კვადრატული ფესვების შემცველი განტოლებების ამოხსნა. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია იცოდეთ კვადრატული ფესვებით მოქმედებების წესები და ვისწავლოთ როგორ გარდაქმნათ მათ შემცველი გამონათქვამები. მოდით მივმართოთ კვადრატული ფესვის ცნების წარმოშობისა და მისი აღნიშვნის ისტორიას, რომელიც შედგენილია შემდეგი წყაროების საფუძველზე. n კვადრატული ფესვის ნიშნის x და x თანამედროვე ფორმა მაშინვე არ გამოჩნდა. რადიკალური ნიშნის ევოლუცია გაგრძელდა თითქმის ხუთი საუკუნე, დაწყებული მე-13 საუკუნიდან, როდესაც იტალიელმა და ზოგიერთმა ევროპელმა მათემატიკოსმა პირველად დაარქვა კვადრატულ ფესვს ლათინური სიტყვით Radix (ფესვი) ან შემოკლებით R. მე-15 საუკუნეში. ნ. შუკემ 1-ის ნაცვლად დაწერა R 1. თანამედროვე ძირის ნიშანი მომდინარეობს იმ აღნიშვნით, რომელსაც იყენებდნენ მე-15-16 საუკუნეების გერმანელი მათემატიკოსები, რომლებიც ალგებრას უწოდებდნენ მეცნიერებას „კოსს“, ხოლო ალგებრულ მათემატიკოსებს „კოსისტებს“. (მე-12-15 საუკუნეების მათემატიკოსები ყველა ნაშრომს წერდნენ ექსკლუზიურად ლათინურ ენაზე. ისინი უწოდებდნენ უცნობს რეს (ნივთს).
4 იტალიელმა მათემატიკოსმა თარგმნა სიტყვა res როგორც cosa. ბოლო ტერმინი ისესხეს გერმანელებმა, რომელთაგანაც გამოჩნდნენ კოსისტები და კოსები.) XV ს. ზოგიერთი გერმანელი კოსისტი კვადრატული ფესვის აღსანიშნავად გამოხატვის ან რიცხვის წინ იყენებდა წერტილს. კურსირებულ წერაში ეს წერტილები ტირეებით შეიცვალა, მოგვიანებით კი სიმბოლოდ იქცა, ერთ-ერთი ასეთი ნიშანი ჩვეულებრივ კვადრატულ ფესვს ნიშნავდა. თუ საჭირო იყო მეოთხე ხარისხის ფესვის მითითება, მაშინ გამოიყენებოდა ორმაგი ნიშანი. მხოლოდ იმის გამოცნობა შეიძლება, თუ როგორ დაინიშნა მერვე ფესვი. თუ ანალოგს ავიღებთ მეოთხე ხარისხთან, მაშინ ეს ნიშანი უნდა გამოევლინა კვადრატული ფესვის სამმაგი ამონაწერი, ანუ ამისათვის საჭირო იყო სამი კვადრატის დაყენება. თუმცა, ეს აღნიშვნა კუბის ფესვითაა დაკავებული. სავარაუდოდ, სწორედ ასეთი აღნიშვნებიდან ჩამოყალიბდა ნიშანი V, რომელიც წერილობით ახლოს არის სკოლის მოსწავლეებისთვის ნაცნობ თანამედროვე ნიშანთან, მაგრამ ზედა ხაზის გარეშე. ეს ნიშანი პირველად ნახეს გერმანულ ალგებრაში "ლამაზი და სწრაფი გამოთვლა ალგებრის გამოცდილი წესების დახმარებით". ამ ნაშრომის ავტორი იყო მათემატიკის მასწავლებელი ვენიდან, წარმოშობით ჩეხეთი, კრისტოფ რუდოლფი. წიგნი დიდი წარმატებით სარგებლობდა და მე-16 საუკუნის განმავლობაში გამუდმებით იბეჭდებოდა. და შემდეგ მთელი გზა 1615 წლამდე. კრიშტოფის მიერ შემოთავაზებული ფესვის ნიშანი გამოიყენეს A. Girard-მა, S. Stevin-მა (მან დაწერა ძირის მაჩვენებელი რადიკალური ნიშნის მარჯვნივ წრეში: V () ან V (). 166 წელს ჰოლანდიელმა მათემატიკოსმა ა. ჟირარმა შეცვალა რუდოლფის ფესვის ნიშანი და შემოიღო თანამედროვე აღნიშვნასთან ძალიან ახლოს, წერის ამ ფორმამ დაიწყო წინა ნიშნის R-ის ჩანაცვლება. თუმცა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში ძირის ნიშანი იწერებოდა ზედა ხაზის გატეხვით, კერძოდ: + ბ. და მხოლოდ 167 წელს რენე დეკარტმა დააკავშირა ჰორიზონტალური ხაზი საკონტროლო ნიშნით, ახალი აღნიშვნის გამოყენებით თავის წიგნში "გეომეტრია". მაგრამ აქაც არ იყო თანამედროვე ფორმის ზუსტი ასლი. დეკარტის ჩანაწერი გარკვეულწილად განსხვავდებოდა. რომელსაც ჩვენ მიჩვეულები ვართ, ერთი დეტალით, მას აქვს 4
5 დაიწერა: C + 1 q qq p, სადაც ასო C, რომელიც მოთავსებულია რადიკალის შემდეგ დაუყოვნებლივ, მიუთითებს კუბური ფესვის აღნიშვნაზე. მისი თანამედროვე ფორმით, ეს გამოთქმა ასე გამოიყურება: C + 1 q q p. რადიკალების თანამედროვე დამწერლობასთან ყველაზე ახლოს ნიუტონმა გამოიყენა თავის „უნივერსალურ არითმეტიკაში“ (1685 წ.) ფესვის პირველი აღნიშვნა, რომელიც მთლიანად ემთხვევა დღევანდელს, გვხვდება ფრანგი მათემატიკოსის როლის წიგნში „Manual of ალგებრა“, გამოქვეყნდა 1690 წელს. მისი დაწერიდან მხოლოდ რამდენიმე ხნის შემდეგ, პლანეტის მათემატიკოსებმა საბოლოოდ მიიღეს კვადრატული ფესვის აღნიშვნის ერთი და საბოლოო ფორმა. საკვლევი პრობლემა: რა მეთოდოლოგიური თავისებურებები ახასიათებს სკოლაში თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლებას? მე-8 კლასის ალგებრის კურსში 5, საბაზო კვლევის ობიექტს წარმოადგენს დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვის ალგებრის სწავლების პროცესი. კვლევის საგანია თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების მეთოდოლოგიური სისტემა. საბაკალავრო ნაშრომის მიზანია გამოავლინოს თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების მეთოდოლოგიური სისტემა. კვლევის მიზნები: 1. საბაზო სკოლის ალგებრის კურსში თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების ძირითადი მიზნები და ამოცანები (მეთოდური სისტემის სამიზნე კომპონენტი).. თემის „კვადრატული ფესვები“ შინაარსის ანალიზი. საბაზო სკოლის ალგებრის სახელმძღვანელოებში (მეთოდოლოგიური სისტემის შინაარსობრივი კომპონენტი).. თემის ,,კვადრატული ფესვები” სწავლების სხვადასხვა ფორმის, მეთოდისა და საშუალებების შესწავლა საბაზო სკოლის (ორგანიზაციული) ალგებრის კურსში.
მეთოდოლოგიური სისტემის 6 კომპონენტი). 4. ჩამოაყალიბეთ მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლებისათვის. კვლევის მეთოდები: სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური ლიტერატურის ანალიზი, მათემატიკის პროგრამები, სასკოლო ალგებრის სახელმძღვანელოები საკვლევ თემაზე, ანალიზი, მასალის სისტემატიზაცია და განზოგადება. ამ ნაშრომის პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ იგი წარმოადგენს საბაზისო სკოლის ალგებრის კურსში თემის „კვადრატული ფესვების“ სწავლების მეთოდოლოგიურ სისტემას და აყალიბებს მეთოდოლოგიურ რეკომენდაციებს, რომლებიც შეიძლება გამოიყენონ მათემატიკის მასწავლებლებმა, ასევე ბაკალავრებმა სასწავლო პრაქტიკის დროს. სკოლა. ბაკალავრიატის მუშაობის წარმოდგენილი შედეგები და დასკვნები შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როგორც საფუძვლად სტუდენტების თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების მეთოდების შემდგომი განვითარებისათვის. წარმოდგენილია თავდაცვისთვის: საბაზო სკოლის ალგებრის კურსში თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების მეთოდოლოგიური სისტემა. სამუშაო სტრუქტურა. საბაკალავრო ნაშრომი შედგება შესავლისგან, ორი თავისგან, დასკვნისა და ცნობარისაგან. 6
7 თავი I. თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების მეთოდოლოგიური სისტემა საბაზო სკოლის ალგებრის კურსში 1. თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების ძირითადი მიზნები და ამოცანები საბაზო სკოლის ალგებრის კურსში ძირითადი ზოგადი ზოგადი განათლების ფედერალურ სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტში. განათლება (შპს FSES) აღნიშნულია, რომ სასწავლო საგნის მიმართულება „მათემატიკა“ უნდა უზრუნველყოფდეს: 1) მათემატიკის, როგორც რეალობის გაგების მეთოდის შესახებ იდეების ჩამოყალიბებას, რაც საშუალებას მოგცემთ აღწეროთ და შეისწავლოთ რეალური პროცესები და ფენომენები;) უნარების განვითარება. საგანმანათლებლო მათემატიკურ ტექსტთან მუშაობა (გაანალიზება, საჭირო ინფორმაციის ამოღება), აზრების ზუსტად და კომპეტენტურად გამოხატვა მათემატიკური ტერმინოლოგიისა და სიმბოლიკის გამოყენებით, კლასიფიკაციის, ლოგიკური დასაბუთების, მათემატიკური დებულებების მტკიცებულებების განხორციელება; რეალურ რიცხვებამდე; ზეპირი, წერითი, ინსტრუმენტული გამოთვლების უნარ-ჩვევების დაუფლება; 4) ალგებრის სიმბოლური ენის, გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნების შესრულების ტექნიკის, განტოლებების ამოხსნის, განტოლებათა სისტემების, უტოლობებისა და უტოლობების სისტემების დაუფლება; ალგებრის ენაზე რეალური სიტუაციების მოდელირების, ალგებრის გამოყენებით აგებული მოდელების შესწავლისა და მიღებული შედეგების ინტერპრეტაციის უნარი; მათემატიკის პროგრამაში ავტორი განსაზღვრავს შემდეგ მიზნებსა და ამოცანებს თემის „კვადრატული ფესვები“ შესასწავლად: რაციონალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოება, ირაციონალური და რეალური რიცხვების ცნების დანერგვა, კვადრატული ფესვებისა და მათთან მოქმედებების შესწავლა. 7
8 თემის შესწავლის შედეგად მოსწავლეებმა უნდა იცოდნენ: 1. პერიოდული და არაპერიოდული უსასრულო ათობითი წილადების განსაზღვრა.. ფუნქცია y=x, მისი თვისებები და გრაფიკი.. კვადრატული ფესვის ცნება 4. არითმეტიკის თვისებები. კვადრატული ფესვები. 5. ნამდვილ, რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე. თემის შესწავლის შედეგად მოსწავლეებმა უნდა შეძლონ: 1. საერთო წილადის ათწილადად გადაქცევა და პირიქით.. რეალური, რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების შედარება.. შეძლონ y=x ფუნქციის გრაფიკის დახატვა. 4. დაამატეთ და ამოიღეთ მულტიპლიკატორი ძირის ნიშნის ქვეშ. 5. მოქმედებების შესრულება კვადრატული ფესვებით. მათემატიკის პროგრამაში ავტორი განსაზღვრავს შემდეგ მიზნებსა და ამოცანებს თემის "კვადრატული ფესვები" შესასწავლად (მაკარიჩევის სახელმძღვანელოსთვის): რაციონალური რიცხვების შესახებ ინფორმაციის სისტემატიზაცია და ირაციონალური რიცხვების წარმოდგენა, რითაც აფართოებს რიცხვის ცნებას; კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების მარტივი გარდაქმნების შესრულების უნარის განვითარება. თემის შესწავლის შედეგად მოსწავლეებმა უნდა იცოდნენ: 1. ნატურალური, მთელი რიცხვი, რაციონალური, ირაციონალური და რეალური რიცხვები.. რიცხვის მოდული ა.. არითმეტიკული კვადრატული ფესვი და მისი თვისებები. 4. ფუნქცია y= x, მისი თვისებები და გრაფიკი. თემის შესწავლის შედეგად მოსწავლეებმა უნდა შეძლონ: 1. ამოხსნან უმარტივესი კვადრატული განტოლებები. 8
9 . დაამატეთ და ამოიღეთ მულტიპლიკატორი ფესვის ნიშნის ქვეშ. იპოვეთ კვადრატული ფესვების სავარაუდო მნიშვნელობები. 4. აიღეთ რიცხვის სიმძლავრის კვადრატული ფესვი. 5. ირაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნა. მათემატიკის პროგრამაში ავტორი ალიმოვის სახელმძღვანელოში თემის „კვადრატული ფესვების“ შესასწავლად განსაზღვრავს შემდეგ მიზნებსა და ამოცანებს: რაციონალური რიცხვების შესახებ ინფორმაციის სისტემატიზაცია და ირაციონალური რიცხვების წარმოდგენა, რითაც აფართოებს რიცხვის ცნებას; კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების მარტივი გარდაქმნების შესრულების უნარის განვითარება. თემის შესწავლის შედეგად მოსწავლეებმა უნდა იცოდნენ: 1. არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ცნება.. რეალური რიცხვები თემის შესწავლის შედეგად მოსწავლეებმა უნდა შეძლონ ხარისხში, ნამრავლის და წილადის კვადრატული ფესვის პოვნა. ს. მინაევას სტატიაში [, გვ. 4-7] აღნიშნულია, რომ განყოფილების „კვადრატული ფესვების“ შესწავლას აქვს შემდეგი მიზნები: ასწავლოს კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების გარდაქმნების შესრულება; კვადრატული და კუბური ფესვების მაგალითის გამოყენებით ჩამოაყალიბეთ საწყისი იდეები n-ე ფესვის შესახებ. 015 წლის 8 აპრილს დათარიღებული ძირითადი ზოგადი განათლების სავარაუდო საბაზო საგანმანათლებლო პროგრამაში ნათქვამია, რომ კურსდამთავრებულმა უნდა ისწავლოს მე-8 კლასში (ყოველდღიურ ცხოვრებაში გამოსაყენებლად, სხვა საგნების შესწავლისას და საბაზო საფეხურზე სწავლის წარმატებით გაგრძელების შესაძლებლობის უზრუნველსაყოფად): 1. მოქმედება საბაზისო დონეზე: დონის ცნებები: ნატურალური რიცხვი, მთელი რიცხვი, საერთო წილადი, ათობითი, შერეული წილადი, რაციონალური რიცხვი, არითმეტიკული კვადრატული ფესვი.. შეაფასეთ დადებითი მთელი რიცხვის კვადრატული ფესვის მნიშვნელობა. 9
10 . რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების ამოცნობა. 4. შეადარეთ რიცხვები. 5. გაიგეთ რიცხვის სტანდარტული ფორმით ჩაწერის მნიშვნელობა. 6. ამოხსენით კვადრატული განტოლებები კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებით. 7. რიცხვთა წრფეზე უტოლობებისა და მათი სისტემების ამონახსნების დახატვა. კურსდამთავრებულს შესაძლებლობა ექნება ისწავლოს მე-8 კლასში, რათა უზრუნველყოს განათლების წარმატებით გაგრძელების შესაძლებლობა საბაზო და მაღალ საფეხურებზე: 1. მოქმედება ცნებებით: ნატურალური რიცხვების სიმრავლე, მთელი რიცხვების სიმრავლე, რაციონალური რიცხვების სიმრავლე, ირაციონალური რიცხვი, კვადრატი. ფესვი, ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე, ნატურალური რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, მთელი რიცხვები, რაციონალური, რეალური რიცხვები.. გამოთვლების შესრულება, მათ შორის რაციონალური გამოთვლის ტექნიკის გამოყენებით.. რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების შედარება. 4. რაციონალური რიცხვი წარმოადგინეთ ათწილადის სახით. 5. კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების გარდაქმნების შესრულება. 6. კვადრატული ფესვების შემცველ გამონათქვამებში ბინომის ჯამის ან სხვაობის კვადრატის ამოცნობა.. საბაზო სკოლის ალგებრის კურსში თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების შინაარსის მეთოდოლოგიური ანალიზი საბაზო (ცნობილია სასკოლო მათემატიკის კურსიდან 5-6). ალგებრა 7 კლასი) ცოდნა: რაციონალური რიცხვის ცნება; რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლის ცნება და მისი აღნიშვნა; 10 და რა თქმა უნდა
11 ძირითადი მოქმედება (ოპერაცია) რაციონალური რიცხვებით; ფუნქცია y = x. ახალი (დანერგილი) ცოდნა: რიცხვის კვადრატული ფესვის ცნება; არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ცნება; არითმეტიკული კვადრატული ფესვების თვისებები; მულტიპლიკატორის შეკრება და გამოკლება ძირის ნიშნის ქვეშ; მოქმედებები კვადრატული ფესვებით. თემის „კვადრატული ფესვები“ შინაარსის ანალიზი მე-8 კლასის ალგებრის სხვადასხვა სახელმძღვანელოებში წარმოდგენილია ცხრილებში 1-4. სახელმძღვანელოში Yu.N. მაკარიჩევა უფრო მეტ საათს უთმობს, ვიდრე სხვა საათებს განყოფილების "კვადრატული ფესვების" შესასწავლად; მთელი განყოფილება დაყოფილია 4 აბზაცად. შეხებულია კვადრატული ფესვების სავარაუდო განსაზღვრის შესწავლის თემა, მაგრამ გამოტოვებულია პერიოდული ათობითი წილადების თემა. სახელმძღვანელოში გ.კ. მურავინი და ო.ვ. მურავინამ 18 საათზე ცოტა ნაკლები დაუთმო განყოფილებას "კვადრატული ფესვები", განყოფილება შედგება აბზაცებისგან, პერიოდული ათობითი წილადების თემას ეხება, მაგრამ კვადრატული ფესვების სავარაუდო აღმოჩენა არ არის. ნიკოლსკის სახელმძღვანელოში განყოფილება "კვადრატული ფესვები" შედგება მხოლოდ ერთი აბზაცისა და 5 პუნქტისგან; ბევრი თემა და კონცეფცია არ არის წარმოდგენილი. სახელმძღვანელოში გ.ვ. დოროფეევი მოიცავს პითაგორას თეორემისადმი მიძღვნილ თემას, რომელიც ყველა ჩამოთვლილში აკლია. აქ კუბის ფესვების შესწავლაცაა შეხებული. ყველა სახელმძღვანელოში განყოფილების შესწავლა იწყება რეალური და ირაციონალური რიცხვებით, მაგრამ თითოეულ ავტორს თავისი მიდგომა აქვს. შემდეგ მოდის თვით კვადრატული ფესვის და არითმეტიკული კვადრატული ფესვის შესწავლა, თვისებები და მათზე მოქმედებები. თერთმეტი
12 სახელმძღვანელოს ავტორები Yu.N. მაკარიჩევი, ნ.გ. მინდიუკი, კ.ი. ნეშკოვი, ს.ბ. სუვოროვა თავებისა და აბზაცების სათაურები 4. ნამდვილი რიცხვები 9. რაციონალური რიცხვები 10. ირაციონალური რიცხვები 5. არითმეტიკული კვადრატული ფესვი 11. კვადრატული ფესვები. არითმეტიკული კვადრატული ფესვი. 1. განტოლება x =a. 1. კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობების პოვნა. 14. ფუნქცია y= x და მისი გრაფიკი. 6. არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებები. 15. ნამრავლისა და წილადის კვადრატული ფესვი. 16. გრადუსის კვადრატული ფესვი. 7. არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებების გამოყენება 17. ფაქტორის ამოღება ფესვის ნიშნის ქვეშ. მულტიპლიკატორის შეყვანა ფესვის ნიშნის ქვეშ. 18. კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების კონვერტაცია. ცხრილი 1 საათების რაოდენობა სულ ცხრილი სახელმძღვანელოს ავტორები გ.კ. მურავინი, კ.ს. მურავინი, ო.ვ. მურავინა თავებისა და აბზაცების სათაურები 5. ნამდვილი რიცხვები 14. რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები. 15. პერიოდული და არაპერიოდული უსასრულო ათობითი წილადები. 6. კვადრატული ფესვები. 16. ფუნქცია y=x და მისი გრაფიკი. 17. კვადრატული ფესვის ცნება. 18. არითმეტიკული კვადრატული ფესვების თვისებები. 19. მამრავლის შეკრება და გამოკლება ძირის ნიშნის ქვეშ. 0. მოქმედებები კვადრატული ფესვებით. საათების რაოდენობა სულ 18 ცხრილი სახელმძღვანელოს ავტორები ს.მ. ნიკოლსკი, მ.კ. პოტაპოვი, ნ.ნ. რეშეტნიკოვი, ა.ვ. შევკინი თავებისა და აბზაცების სათაურები. კვადრატული ფესვები.1 კვადრატული ფესვის ცნება.. არითმეტიკული კვადრატული ფესვი.. ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვი..4 კვადრატული ფესვების სავარაუდო გამოთვლა..5 არითმეტიკული კვადრატული ფესვების თვისებები. 1
13 ცხრილი 4 სახელმძღვანელოს ავტორები თავებისა და აბზაცების სათაური საათების რაოდენობა გ.ვ. დოროფეევი .1 კვადრატის გვერდის პოვნის პრობლემა. ირაციონალური რიცხვები. პითაგორას თეორემა.4 კვადრატული ფესვი (ალგებრული მიდგომა).5 კვადრატული ფესვების თვისებები.6 კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია.7 კუბური ფესვი სულ 18 თემის „კვადრატული ფესვები“ შესწავლა მე-8 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოს ავტორთა მურავინი. . დასაწყისში მოცემულია რაციონალური რიცხვების სიმრავლის გაფართოება, შემოტანილია ირაციონალური და რეალური რიცხვების ცნებები და განხილულია ჩვეულებრივი წილადებიდან ათწილადებზე გადასვლა და პირიქით. ერთი საათი ეთმობა რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს მე-14 პუნქტში „რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები“ მოთხრობილია მათი წარმოშობის ისტორია და თემის შესწავლის მიზანი. განმარტებები მოცემულია სეგმენტების სიგრძის მაგალითებსა და თანაფარდობებზე დაყრდნობით. განმარტება 1: თუ ორ სეგმენტს აქვს საერთო ზომა, რომელიც შეესაბამება m-ჯერ ერთ სეგმენტში და n-ჯერ მეორეში, მაშინ მათი თანაფარდობა m, n არის რაციონალური რიცხვი. ირაციონალური რიცხვის განმარტება მოცემულია მაგალით 1-ში: მაგალითი 1: d = (m n) =. აქედან გამომდინარე (m n) =. განტოლების მარცხენა მხარის წილადის მნიშვნელი განსხვავდება ერთისაგან, ამიტომ წილადი რომ იყოს მთელი რიცხვის ტოლი, ის უნდა შემცირდეს n-ით. მაგრამ m და n ნატურალურ რიცხვებს არ აქვთ საერთო გამყოფები, ამიტომ მათ კვადრატებსაც არ აქვთ საერთო გამყოფები. ეს ნიშნავს, რომ ტოლობა m = არის მცდარი, ე.ი. რიცხვი d არ არის წილადი. n 1
14 მაგალითმა დაამტკიცა, რომ რიცხვი d არ არის რაციონალური რიცხვი, ეს ნიშნავს, რომ კვადრატის დიაგონალს არ აქვს საერთო ზომა თავის გვერდთან, რიცხვი d არის ირაციონალური რიცხვი. შემდეგი აბზაცი ეთმობა პერიოდულ და არაპერიოდულ წილადებს, შემოტანილია პერიოდის ცნება და გამართლებულია თარგმანის დროს პერიოდის გამოჩენის გარდაუვალობა. ამ პუნქტს ეთმობა ერთი საათი, მე-15 პუნქტში შესწავლილია პერიოდული და არაპერიოდული ათობითი წილადები, განიხილება რაციონალური და ირაციონალური რიცხვების ფესვის სავარაუდო განსაზღვრის თემა. შემდეგ განხილული მაგალითების გამოყენებით მოცემულია სასრული და უსასრულო ათობითი წილადების განმარტებები. მაგალითი: 1 გადავიყვანოთ ათწილად წილადში, გამოდის: 0. რიცხვს, რომელიც უსასრულოდ მეორდება ჩანაწერში, ეწოდება წერტილი, ხოლო თავად წილადს პერიოდული. თვისება 1: ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის სახით (საპირისპირო ასევე მართალია). განმარტება: ნებისმიერი ირაციონალური რიცხვი იწერება როგორც უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი, ხოლო ნებისმიერი უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი არის ირაციონალური რიცხვი. განმარტება: უსასრულო პერიოდული ათობითი არის რაციონალური რიცხვი, ხოლო უსასრულო არაპერიოდული ათობითი არის ირაციონალური რიცხვი. ამის შემდეგ ხდება უშუალოდ გადასვლა თემის „კვადრატული ფესვების“ შესწავლაზე. კვლევა იწყება აბზაცით „ფუნქცია y=x და მისი გრაფიკი“. მეორდება მასალა ფუნქციებსა და გრაფიკებზე. გამოყოფილია საათი, ჯერ დეკარტის კოორდინატთა სისტემის წერტილებში აშენდება y=x ფუნქციის გრაფიკი, ტარდება მისი შესწავლა და მოცემულია გრაფიკის დასახელება: განმარტება 4: y=x ფუნქციის გრაფიკი. პარაბოლას უწოდებენ. 14
15 კვადრატული ფესვის ცნებაზე გადასვლა ხდება x =a კვადრატული განტოლების ამოხსნის გზით, იმის მტკიცებით, რომ ასეთი მეთოდი საშუალებას გვაძლევს ავხსნათ ტერმინის ბუნება. გამოყოფილია საათები.შემდეგ მე-17 აბზაცში მოცემულია კვადრატული ფესვის ცნება. განმარტება 5: x =a განტოლების ფესვებს ეწოდება a-ს კვადრატული ფესვები. განმარტება 6: არაუარყოფით რიცხვს, რომლის კვადრატი უდრის a-ს, ეწოდება a-ს არითმეტიკული კვადრატული ფესვი და აღინიშნება a-ით. . შემოღებულია რადიკალის ნიშანი და მოცემულია მისი წარმოშობის ისტორია. შემდეგ ავტორები გადადიან არითმეტიკული კვადრატული ფესვების თვისებების შესწავლაზე; ამ ეტაპზე ისინი იწყებენ კვადრატული ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნის უნარის გამომუშავებას. მოცემულია ნაწილი მე-18 პუნქტში მოცემულია არითმეტიკული კვადრატული ფესვების თვისებები: თვისება: ნებისმიერი რიცხვისთვის a = a. თვისება: ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვებისთვის a და b: ab= a b . ამის შემდეგ ხდება ძირის ნიშნის ქვეშ მულტიპლიკატორის შეკრებისა და გამოკლების თემის შესწავლა და პრაქტიკა. მუშაობა გრძელდება კვადრატული ფესვებით. როგორც ავტორები აღნიშნავენ, სტუდენტებს შეიძლება გაუჭირდეთ ლიტერატურული გამონათქვამების გადაქცევა, რადგან სწორედ ამ სიტუაციაშია მნიშვნელოვანი მოდულის ნიშანი ფესვის ნიშნის ქვეშ მულტიპლიკატორის ამოღებისას. მოცემულია ნაწილი. მე-19 პუნქტში შესწავლილია მულტიპლიკატორის შეყვანა და ამოღება ფესვის ნიშნის რეჟიმებიდან, მოცემულია თვისება: თვისება 4: არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის b a b= a * b= a *. ბ. შემდეგ, ავტორები გადადიან კვადრატულ ფესვებთან მოქმედებებზე, ამ ეტაპზე, ძირითადად, ციფრული გამონათქვამების გადაქცევაში პრაქტიკაში, 15
ამ თემაზე ცოდნას 16 სკოლის მოსწავლე იღრმავებს. კვლევა შეიძლება დაიყოს ორ ნაწილად: 1. რიცხვების კვადრატულ ფესვებთან მუშაობა.. ლიტერატურული გამონათქვამების გარდაქმნა. კვლევის ეს მოდელი არ ადგენს სწავლის თანმიმდევრობას, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მეორე ნაწილი, თუმცა ამ ეტაპზე სასარგებლოა, მაგრამ მაინც ახორციელებს მე-9 კლასის მასალის პროპედევტიკას, სადაც სპეციალურად შეისწავლება ასოების გამონათქვამების ტრანსფორმაცია რადიკალებით. გამოყოფილია 4 საათი. მე-0 განყოფილებაში და ბოლო ნაწილში ვსწავლობთ მოქმედებებს კვადრატული ფესვებით. გაიხსენეთ ადრე ნასწავლი თვისებები და გამოიყენეთ ისინი რიცხვითი გამონათქვამების გარდაქმნისთვის. განიხილება ისეთი ქმედებები, როგორიცაა: მნიშვნელში ირაციონალურობისგან გათავისუფლება, ფაქტორიზაცია, გამოხატვის გამარტივება. მთლიანობაში, განყოფილების შესასწავლად ავტორები გამოყოფენ 19 საათს, ყოველი განყოფილების შემდეგ არის ტესტი ან დამოუკიდებელი ნამუშევარი, ხოლო თავის ბოლოს არის ტესტი. თემის „კვადრატული ფესვების“ შესწავლა მე-8 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოს საფუძველზე Yu.N. მაკარიჩევა. თავი „კვადრატული ფესვები“ იწყება რეალური რიცხვების მიმოხილვით. პირველ რიგში, არის ძირითადი ინფორმაციის შეხსენება ნატურალური რიცხვების სიმრავლის, ნატურალური რიცხვების გაყოფის შესახებ და ამ თემაზე ტიპიური ამოცანების მიმოხილვა. გამოყოფილია საათები, შემდეგ ტარდება ერთი გაკვეთილი მთელი რიცხვების შესახებ ძირითადი ინფორმაციის განხილვისა და ტიპიური ამოცანების განხილვის მიზნით, შემდეგ კი რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს ეძღვნება გაკვეთილი. შემდეგი არის გაკვეთილი, რომელიც წარმოგიდგენთ ირაციონალური რიცხვების ცნებას და ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს. ზემოთ ნახსენები გაკვეთილების შემდეგ იწყება მე-16
17 კვადრატული ფესვების პირდაპირი შესწავლა, გაკვეთილი, რომელშიც განხილულია კვადრატული ფესვის და არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ცნებები. შემდეგ გაკვეთილი ეძღვნება უმარტივესი კვადრატული განტოლებების ამოხსნას x =a და შემდეგ 1 გაკვეთილს, რომელიც სწავლობს კვადრატული ფესვების სავარაუდო მნიშვნელობების პოვნას. მომდევნო გაკვეთილზე ყურადღება გამახვილდება y= x ფუნქციაზე, მის თვისებებზე და გრაფიკზე. ქვემოთ მოცემულია გაკვეთილები, რომლებიც ეხება არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებებს. 1 გაკვეთილი განიხილავს ნამრავლისა და წილადის კვადრატული ფესვის თვისებებს, შემდეგი გაკვეთილი არის თუ როგორ უნდა გამოვყოთ რიცხვის ხარისხში კვადრატული ფესვი. ამ ეტაპზე ავტორი გვთავაზობს ტესტზე რამდენიმე გაკვეთილის დახარჯვას და მის შემოწმებას, შემდეგ კი გაკვეთილებზე გადასვლას, რომლებიც ეხება არითმეტიკული კვადრატული ფესვის თვისებების გამოყენებას. 1 გაკვეთილი ძირის ნიშნის ქვეშ მულტიპლიკატორის მიმატებისა და გამოკლების უნარების განხილვისა და ვარჯიშის მიზნით. შემდეგ გაკვეთილი, რომელიც მოიცავს ირაციონალური გამონათქვამების გარდაქმნის ძირითად ტექნიკას. დასასრულს, ავტორი გვთავაზობს საბოლოო ტესტის ჩატარებას თემაზე "კვადრატული ფესვები". ამ მონაკვეთის შესასწავლად სულ ერთი საათია გამოყოფილი. ახლა ვნახოთ ს. მინაევას რეკომენდაციები ალგებრის გაკვეთილებში კვადრატული ფესვის ცნების დანერგვის შესახებ გ.ვ.-ს სახელმძღვანელოს გამოყენებით. დოროფეევა მე-8 კლასში: 1. კვადრატის გვერდის პოვნის პრობლემა (გაკვეთილი) კვადრატული ფესვის ცნების გასაცნობად გამოიყენება ამ კურსისთვის დამახასიათებელი სუბსტანციური მიდგომა მოტივაციური და სემანტიკური ასპექტების გამოკვეთით. მასალა წარმოდგენილია შემდეგნაირად: მოსწავლეებმა იციან ფორმულა S = a, რომლითაც კვადრატის a გვერდის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ მისი ფართობი S; მაგრამ მათემატიკაში არსებობს 17-დან კვადრატის გვერდის პოვნის შებრუნებული ამოცანის ამოხსნის ფორმულა
მოცემული S ფართობის 18, რომელიც იწერება შემდეგნაირად: a = S. სიმბოლო S აღნიშნავს კვადრატის მხარეს, რომლის ფართობი უდრის S. თუ, მაგალითად, S = 100, მაშინ a = 100. ვინაიდან 100 = 10, შემდეგ a = 100 = 10. იმისათვის, რომ სტუდენტებმა ისწავლონ ახალი სიმბოლო, შეგიძლიათ შესთავაზოთ რამდენიმე კითხვა, როგორიცაა: დაე, კვადრატის ფართობი იყოს 81 მ: სიმბოლოს გამოყენებით, ჩაწერეთ გამოსახულება გვერდისთვის. ეს მოედანი; რა არის კვადრატის გვერდის სიგრძე? გეომეტრიული ენიდან ალგებრულ ენაზე გადასვლისას, S სიმბოლოს მნიშვნელობა შეიძლება ასე აღვწეროთ: S არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის S. (სიგრძე ხომ არ შეიძლება გამოვხატოთ როგორც უარყოფითი რიცხვი! ) ამრიგად, მივდივართ „მუშა“ ფორმულირებამდე, რომელსაც გამოვიყენებთ კვადრატული ფესვების მნიშვნელობების მოძიებისას. მასწავლებლის ყურადღებას ვაქცევთ იმაზე, თუ როგორ იკითხება სიმბოლო S: S-ის კვადრატული ფესვი. აქ ზედსართავი სახელი "არითმეტიკა" ზედმეტია, ვინაიდან თემის ამ ეტაპზე ვმუშაობთ მხოლოდ დადებითი ფესვებით. თუმცა ტერმინი მოგვიანებით იქნება გამოყენებული.. ირაციონალური რიცხვები (გაკვეთილი) ამ ეტაპზე ორი ასპექტი შეიძლება გამოიყოს: იდეოლოგიური და პრაქტიკული. იდეოლოგიური მდგომარეობს ირაციონალური რიცხვების პირველ გაცნობაში; პრაქტიკული - "გამოუღებელი" ფესვების შეფასების უნარის გამომუშავებისას, იპოვნეთ მათი სავარაუდო მნიშვნელობები როგორც შეფასების, ასევე კალკულატორის გამოყენებით. მოსწავლეები ირაციონალური რიცხვების შემოღების აუცილებლობამდე მიდიან კვადრატის ფართობის მიხედვით გვერდის პოვნის უკვე ნაცნობი პრობლემის განხილვის შედეგად. სახელმძღვანელოში მე-10 სურათზე ნაჩვენებია ორი კვადრატი. ერთ-ერთი მათგანია, მისი ფართობი 1 კვადრატია. ერთეულები მეორე კვადრატის გვერდი პირველის დიაგონალია და მისი ფართობი ორჯერ დიდია. (სინამდვილეში, პატარა კვადრატი შედგება ორი თანაბარი სამკუთხედისგან, ხოლო დიდი შედგება ოთხი ასეთი 18-ისგან.
არის 19 სამკუთხედი.) ეს ნიშნავს, რომ დიდი კვადრატის ფართობი უდრის კვ. ერთეულები რა არის ამ კვადრატის გვერდის სიგრძე? ავღნიშნოთ ა-ით. კვადრატული ფესვის ნიშნის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ a=. სტუდენტები ჯერჯერობით მხოლოდ „ამოღებულ“ ფესვებს ეხებიან. თქვენ უნდა დაუთმოთ მათ ორიოდე წუთი, რათა ამ შემთხვევაში სცადონ ფესვის ამოღება, რათა დარწმუნდნენ, რომ მნიშვნელობა a = 1 არ არის საკმარისი და თუ აიღებთ a =, მაშინ ეს უკვე ძალიან ბევრია; შეეცდება ათწილადის პოვნა და ნახოს, რომ 1.4<, а 1,5 >. შემდეგი, საკმაოდ მარტივი მტკიცებულება ხორციელდება, რომ არ არსებობს არც მთელი და არც წილადი, რომლის კვადრატი ტოლია (სახელმძღვანელო გვ. 7). ამრიგად, არ არსებობს რაციონალური რიცხვი, რომელიც ზუსტად გამოხატავს ჩვენი კვადრატის გვერდის სიგრძეს. ვისურვებდი, რომ მოსწავლეებმა გააცნობიერონ ის საოცარი აღმოჩენა, რომლითაც მივიდნენ უძველესი მათემატიკოსები (არის სეგმენტი, მაგრამ მას სიგრძე არ აქვს!), ასევე, რომ ამ ფაქტმა ბიძგი მისცა მათემატიკის განვითარებას (საჭირო იყო ახალი რიცხვების შემოღება!) . მოსწავლეებს ეუბნებიან, რომ რიცხვი, რომელიც გამოხატავს კვადრატის გვერდის სიგრძეს, რომლის ფართობია კვ. ერთეულები, მიეკუთვნება ეგრეთ წოდებული ირაციონალური რიცხვების კლასს: - ეს არის დადებითი ირაციონალური რიცხვი, რომლის კვადრატი ტოლია, ანუ ტოლობა () = მართალია. მათ უნდა შეეძლოთ დაასახელონ a ფორმის სხვა ირაციონალური რიცხვები და განახორციელონ ტრანსფორმაციები, როგორიცაა (a) =a a-ს კონკრეტული დადებითი მნიშვნელობებისთვის, ორივე მიმართულებით. ასე რომ, ირაციონალური რიცხვების პირველი გაცნობა ექვემდებარება საკმაოდ ვიწრო მიზანს: ეს ხდება კვადრატული ფესვების შესწავლასთან დაკავშირებით და უზრუნველყოფს, პირველ რიგში, ამ თემის საჭიროებებს. გარდა ზემოთ აღწერილი ინფორმაციისა (კერძოდ: რაციონალურ რიცხვებს შორის არ არის რიცხვი, რომელიც გამოხატავს კვადრატის გვერდის სიგრძეს, რომლის ფართობიც ტოლია; რაციონალური რიცხვების გარდა, არის ასევე ე.წ. ირაციონალური 19.
მე-20; ირაციონალური რიცხვები მოიცავს a ფორმის ყველა რიცხვს, თუ a არ არის მთელი რიცხვის ან წილადი რიცხვის კვადრატი), სტუდენტები სწავლობენ, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი განსხვავებული ბუნების ირაციონალური რიცხვი (მაგალითად, რიცხვი z), რომ ირაციონალურ რიცხვებს შეუძლიათ. იყოს უარყოფითი და პრაქტიკაში მათი ჩანაცვლება (დაახლოებით) ათობითი წილადებით. ირაციონალური და რეალური რიცხვების შესახებ უფრო საფუძვლიან ინფორმაციას მოსწავლეები იღებენ მე-9 კლასის კურსის „მეორე უღელტეხილზე“. a ფორმის ირაციონალური რიცხვის ათობითი მიახლოების პოვნის ფუნდამენტური შესაძლებლობის დემონსტრირებისთვის, სახელმძღვანელო იყენებს შეფასების მეთოდს: ნაპოვნია მიახლოებითი მნიშვნელობები ნაკლოვანებით და ჭარბით, გამოხატული თანმიმდევრული მთელი რიცხვებით (ანუ ზუსტი 1-მდე. ), თანმიმდევრული ათობითი წილადები ერთი ათობითი ადგილით (ანუ სიზუსტით 0,1-მდე) და ა.შ. ამ მეთოდის საფუძველია განცხადება: თუ a და b დადებითი რიცხვებია და a. 21 პითაგორას თეორემის გამოყენებასთან დაკავშირებით მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძის გამოსათვლელად მისი ფეხებიდან (მაგალითი 1 გვ. 84), სახელმძღვანელოში ნახსენებია „პითაგორას სამკუთხედი“. გაითვალისწინეთ, რომ მიუხედავად იმისა, რომ უსასრულოდ ბევრი მათგანია, არსებობს მხოლოდ ერთი სამეული, რომელიც შედგება თანმიმდევრული ნატურალური რიცხვებისგან. სასურველია ირაციონალური სიგრძის სეგმენტების აგება (ან ირაციონალური აბსცისებით კოორდინატთა წრფეზე) კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით არა მარტო განხილული იყოს სახელმძღვანელოს ტექსტში (გვ. 85), არამედ რეალურად შესრულდეს თითოეული მოსწავლე თავის ბლოკნოტში. ასეთი სამუშაო შეიძლება შემოგთავაზოთ, მაგალითად, როგორც საშინაო დავალება. მოსწავლეები უნდა გააფრთხილონ, რომ ნახატი უნდა იყოს მოწესრიგებული, საკმარისად დიდი და ადვილად წასაკითხად. გავაანალიზოთ სახელმძღვანელოებში არსებული პრობლემური მასალა და გამოვყოთ თემაში „კვადრატული ფესვები“ გამოყენებული პრობლემების ძირითადი ტიპები. სტატიაში მოცემულია სავარჯიშოები თემაზე „კვადრატული ფესვები“ სახელმძღვანელოდან გ.ვ. დოროფეევი, რომელიც მოიცავს თემის ამ შესავალი ფრაგმენტის ყველა არსებით ასპექტს. სავარჯიშოების მთავარი მიზანია ახალი კონცეფციის დაუფლება და რადიკალური ნიშნის გამოყენების უნარის განვითარება. ყურადღება ექცევა ამოცანებს და 7. a=b ფორმის ტოლობიდან b=a თანასწორობაზე გადასვლის უნარი და პირიქით ძალიან ხშირად საჭიროა. სავარჯიშოები 8 - კვადრატული ფესვების შემცველი რიცხვითი და ანბანური გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოსათვლელად. მოსწავლეებმა უნდა ისწავლონ, რომ ძირის ნიშანი, ფრჩხილების მსგავსად, არის დაჯგუფების სიმბოლო. 4-7 სავარჯიშოებში უფრო განვითარებულია ადრე დაწყებული (და ძალიან მნიშვნელოვანი აპლიკაციების თვალსაზრისით) მუშაობა ფორმულებთან. ახლა ეს არის ფორმულები, რომლებიც შეიცავს რადიკალებს ან მოითხოვს რადიკალების გამოყენებას ნებისმიერი ცვლადის გამოხატვისას სხვების თვალსაზრისით. ასეთი ამოცანები ხშირად უქმნის სირთულეებს მოსწავლეებს, ამიტომ მათი ნაწილობრივ დასრულება შესაძლებელია შემდეგი პუნქტების შესწავლით. გარდა 1 უფრო მეტიც, სასარგებლოა მათთან დაბრუნება. B ჯგუფიდან 8 და 9 ამოცანები ამ ეტაპზე რთულად ითვლება; ისინი, რა თქმა უნდა, არ არის ყველა სტუდენტისთვის. მომზადების დაბალი დონის კლასებში შეგიძლიათ შეასრულოთ A ჯგუფის დავალებები, ასევე, თუ შესაძლებელია, 41 და 44. განვიხილოთ მაგალითი სახელმძღვანელოდან: იპოვეთ 60-ის სავარაუდო მნიშვნელობა. ამოხსნა: თანდართულია რიცხვის კვადრატი. ორ "ზუსტ" კვადრატს შორის - რიცხვები 49 და 64: 49<(60), то есть 7 <(60) <8. Значит как 7 <(60), то 7< 60; так как (60) <8, то 60<8. Значит 7< 60<8. Очевидно, что 60 ближе к 8, чем к 7, то есть Рассмотренный способ нахождения приближенного значения корня, в силу своей громоздкости, имеет, в основном, теоретическое значение; учащимся достаточно лишь уметь указывать два целых числа, между которыми заключено значение данного корня. А при решении задач предполагается широкое использование калькулятора. Упражнения к пункту предназначены, прежде всего, для осознанного восприятия этого сложного для учащихся материала (46-51). Кроме того, использование калькулятора позволяет, с помощью наблюдений, прийти к некоторым теоретическим обобщениям, например к выводу о возрастании значения корня с увеличением подкоренного выражения (5-54). В образце к упражнению 6 показаны приемы сравнения, которыми должны овладеть учащиеся. Упражнения 65 и 66 направлены на формирование умения выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни, с использованием равенства (a) =а, где a 0. В классах с невысоким уровнем подготовки достаточно упражнений группы А. Вообще, в этом блоке дана представительная группа заданий, 23 რომელიც შეიძლება იყოს სრულიად შეზღუდული. სავარჯიშო 57. მეთოდი I. კალკულატორის გამოყენებით იპოვეთ ფესვების სავარაუდო მნიშვნელობები: 5.4; 6.45; 7.65. ეს ნიშნავს, რომ თითოეული ეს რიცხვი ეკუთვნის სეგმენტს, რომელსაც ბოლოები აქვს წერტილებზე და, და ისინი განლაგებულია ამ სეგმენტზე შემდეგი თანმიმდევრობით: 5, 6, 7. გარდა ამისა: რიცხვი 5 ეკუთვნის სეგმენტს, რომელსაც ბოლოები აქვს წერტილებში და, ; რიცხვი 6 ეკუთვნის სეგმენტს, რომელსაც ბოლოები აქვს 4 და 5 წერტილებზე; რიცხვი 7 ეკუთვნის სეგმენტს, რომელსაც ბოლოები აქვს 6 და 7 წერტილებზე. მეთოდი II. ჩვენ მივდივართ იმავე შედეგამდე შეფასების გამოყენებით. მაგალითად, 5-ისთვის გვაქვს:<(5) <, то есть < 5<;, <(5) <, то есть,< 5<,. Упражнение 59. Очевидно, что точке К соответствует число 0,4, так как 0< 0,4< 1. Точно так же легко понять, что число лишнее, так как на отрезке с концами х=1 и х точка не отмечена. Сложнее с точкой L: ведь каждое из оставшихся чисел 5 и 7 располагается на отрезке с концами и. Но точка L расположена в левой половине отрезка, значит число, которое ей соответствует, должно быть меньше,5. Ответ почти очевиден: это 5. Но все же какое-то объяснение необходимо. Можно обратиться к калькулятору, а можно рассуждать так:,5 = 6,5; так как (5) <,5, то 5 <,5. Упражнение 70. а) Сначала находим, что 8< 7,5 < 9, а затем сравниваем числа 8,5 и 7,5. Так как 8,5 = 7,5<7,5, то 8,5< 7,5, 24 და ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 7.5 უახლოვდება 9-ს. ამოცანების ამოხსნისას, ბუნებრივია, ვარაუდობენ, რომ გამოიყენებთ კალკულატორს. A ჯგუფიდან მომზადების დაბალი დონის კლასებში შეგიძლიათ შემოიფარგლოთ ამოცანებით (ისინი აკმაყოფილებენ სავალდებულო მოთხოვნების დონეს), ასევე განიხილონ საკვლევი პრობლემა 91. სავარჯიშო 86. პრობლემა მოგვარებულია სახელმძღვანელოს მე-7 ნახატზე დაყრდნობით. ვიზუალური მოსაზრებებიდან ირკვევა, რომ უდიდესი სიგრძის სეგმენტი არის პარალელეპიპედის დიაგონალი. შევადაროთ დიაგონალის სიგრძე ლერწმის სიგრძეს. ჯერ ვიპოვოთ l ფუძის დიაგონალის სიგრძე: l= a + b = = 700 (სმ). ახლა ვიპოვოთ d პარალელეპიპედის დიაგონალის სიგრძე: d= (700) + 50 = 9800 (სმ). 9800 წლიდან< 10000=100, то трость данных размеров поместить в коробку нельзя. Упражнение 90. Геометрически выражение a + b + c можно истолковать как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого a, b и с. В самом деле, из прямоугольного треугольника LMN имеем, что LM= a + b. А из прямоугольного треугольника KLN получим, что NM= c + (a + b) = a + b + c По неравенству треугольника a + b + c 25 10= + 1 ; 1= + ; 17= მაგრამ ეს შეიძლება სხვაგვარად გაკეთდეს. ამრიგად, 10 სიგრძის სეგმენტის მიღება შესაძლებელია შემდეგი ალგორითმის გამოყენებით: 10 = (5) + (5). ალგებრას მე-8 კლასის სახელმძღვანელოში მურავინას ავტორები გვთავაზობენ მონაკვეთის შესწავლის დაწყებას შემდეგი სავარჯიშოებით: სავარჯიშო 15. გადის თუ არა y=x ფუნქციის გრაფიკი წერტილში: A(-;4) B(-). .5;1) C(;59) D (-6.5;4.5). პასუხი: A-დიახ, B-არა C-კი D-დიახ. მე-17 პუნქტი შეიცავს სავარჯიშოებს კვადრატული ფესვის გამოსათვლელად.მაგალითი. გამოთვალეთ გამოსავალი ხდება 1105 რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის გზით. 1105= *5 * = 5 7 = (5 7) =*5*7=105 პასუხი: 105. მე-18 პუნქტში მოცემულია არითმეტიკული კვადრატული ფესვების თვისებები და მათი გამოყენების ამოცანები, რადიკალური გამოსახულებების გამარტივება და მათი გამოთვლა. მაგალითი 4. (გვ. 100) გამარტივება (5). (5) = - 5 = 5-. პასუხი: 5-. მაგალითი 5. გამოთვალეთ 0, = 0, =0,8*4*5=80. პასუხი 80. მაგალითი 6. გამოთვალეთ = =4 7. პასუხი: 4 7. მე-19 პარაგრაფში განიხილება სავარჯიშოები ძირის ნიშნის ქვეშ მამრავლის შეკრებისა და გამოკლების შესახებ, ასევე ეხება გამონათქვამების მნიშვნელობების შედარების დავალებებს. . 5 26 მაგალითი 7. ამოიღეთ კოეფიციენტი ძირის ნიშნის ქვეშ გამოთქმაში მოდით გავამრავლოთ რიცხვები 10 და 90 მარტივ ფაქტორებად: 10= **5, 90=* *5. აქედან გამომდინარე, 10*90= 4 * * = 4 5 = **5* =60. პასუხი: =,5.. პასუხი:,5. მაგალითი 8. (გვ. 105) გაამარტივეთ გამოთქმა = 5 = 5 = მაგალითი 9. (გვ. 105) ძირის ნიშნის ქვეშ შეიყვანეთ ფაქტორი: 5 0.4. 5 0.4 = 5 0.4 = 5 0.4 = 10. პასუხი: 10. მაგალითი 10. (გვ. 106) შეადარეთ გამოთქმების მნიშვნელობები და. = 9 = 18 და = 4 = 1. >. პასუხი: >. 0 წერტილი ეთმობა მოქმედებებს კვადრატულ ფესვებთან, წილადების გადაქცევას კვადრატული ფესვებით, გამონათქვამების გამარტივებას, ირაციონალურობისგან თავის დაღწევას. მაგალითი 11. (გვ. 108) გადააქციეთ წილადი 54 ისე, რომ მისი მნიშვნელი არ შეიცავდეს რადიკალს. პასუხი: = 54 = 1 7 = 1 = 4 = =. 9 მაგალითი 1. (გვ. 109) გაამარტივე გამოთქმა =5 6 96=4 6 = = = =() 6=1 6 პასუხი: 27 მაგალითი 1. (გვ. 109) გაათავისუფლე წილადი მნიშვნელობის ირაციონალურობისაგან. =(). პასუხი: (). 6 = 6(1+ 10) 1 10 (1 10)(1+ 10) =6(1+ 10) = 6(1+ 10) =. თემის ,,კვადრატული ფესვები“ სწავლების ფორმები, მეთოდები და საშუალებები საბაზისო სკოლის ალგებრის კურსში ამ განყოფილებაში გავაანალიზებთ თემის შესწავლის პრაქტიკულ გამოცდილებას გამოქვეყნებული სტატიებისა და სასწავლო საშუალებების საფუძველზე. ს. მინაევას სტატიაში აღნიშნულია, რომ კვადრატული ფესვის ცნება „ჩნდება“ შესწავლილ კურსში ორი პრობლემის განხილვისას - გეომეტრიული (მისი ფართობის მიხედვით კვადრატის გვერდის სიგრძის პოვნის შესახებ) და ალგებრული. (x = a ფორმის განტოლების ფესვების რაოდენობის შესახებ, სადაც a არის თვითნებური რიცხვი). პირველი პრობლემის განხილვასთან დაკავშირებით მოსწავლეები იღებენ საწყის იდეებს ირაციონალური რიცხვების შესახებ. თავის შინაარსში ავტორმა ჩართო ალგებრასთვის არატრადიციული კითხვა – პითაგორას თეორემა. ეს გაკეთდა კვადრატული ფესვების ბუნებრივი გამოყენების დემონსტრირებისთვის სეგმენტების სიგრძის საპოვნელად, ირაციონალური სიგრძით სეგმენტების და ირაციონალური კოორდინატებით წერტილების აგებისთვის. ამავდროულად, არ აქვს მნიშვნელობა სად გაიგეს სტუდენტები პირველად პითაგორას თეორემის შესახებ - გეომეტრიის კურსში თუ ალგებრის კურსში. ავტორი ასევე ამტკიცებს, რომ სწავლის ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგი, გარდა იდეოლოგიური ასპექტებისა, არის კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების (პირველ რიგში, რიცხვითი) ზოგიერთი ტრანსფორმაციის შესრულების უნარი. მოსწავლეები ასევე ეცნობიან კუბურ ფესვების ცნებას; ამავდროულად, ისინი ქმნიან საწყის იდეებს ძირის 7-ის შესახებ 28-ე ხარისხი. და ბოლოს, სავარჯიშოების სისტემის მეშვეობით მოსწავლეები იგებენ y = x და y = x გრაფიკებს. მთელი თემის განმავლობაში, ავტორი ითვალისწინებს კალკულატორის ფართო გამოყენებას, არა მხოლოდ როგორც ფესვების ამოღების საშუალებას, არამედ როგორც გარკვეული თეორიული იდეების ილუსტრირების საშუალებას. კუბური ფესვების ამოსაღებად კალკულატორის გამოყენების აუცილებლობის გამო, შემოღებულია n დადებითი რიცხვის ფესვის სხვა აღნიშვნა: a = a 1 n. ვ.ოლხოვის სტატიაში ყურადღებას ამახვილებს იმ ფაქტზე, რომ „კვადრატული ფესვების“ განყოფილების შესწავლისას განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს კომპლექსური რადიკალის ტრანსფორმაციას. ავტორი გვთავაზობს შემდეგ მეთოდოლოგიას, მოჰყავს მოსწავლესთან მუშაობის ინდივიდუალური ფორმის მაგალითი თემის შესწავლისას: მათემატიკის კლასში მოსწავლეს სთხოვეს გამოიყენოს ვიეტას თეორემა, რათა შერჩევით იპოვონ ფესვები განტოლებაში x - 7x + 10. = 0, რაც მან დიდი სირთულის გარეშე გააკეთა: X 1 = 5, X = (ცოტა მეწყინა კითხვის სიმარტივე). შემდეგ შემოგვთავაზეს 7 ± 10 გამოხატვის გამარტივება. აქ უნდა დავინახოთ სრული კვადრატი რადიკალის ქვეშ. მანამდე ჩაწერა რთული ფორმულა A ± B = A B ± A A B, (1) მან ჩაანაცვლა მასში სპეციფიკური რიცხვითი მნიშვნელობები და მიიღო ± = 5 ±. მაგრამ არის პირდაპირი ანალოგია წინა მაგალითთან 7=5 +, 10=5*, ანუ 7 ± 10= 5 + ± 5 = (5 ±) = 5 ± ამის შემდეგ მოსწავლემ დამოუკიდებლად ამოხსნა რამდენიმე მაგალითი: 8 29 6 ± 4 = 6 ± 8 = 4 + ± 4 =±, 1 ± 48 = 1 ± 1 = ± 1 1 = 1 ± 1, 18 ± 18 = 18 ± = 16 + ± 16 =4±, 7 ± 4 = 7 ± 1 = 4 + ± 4 =± და თქვა, რომ ახლა მას ესმის, როგორ გაჩნდა ფორმულა (1), თუმცა არ არის აუცილებელი მისი კონკრეტულად დამახსოვრება. A ± B= A ± B 4. შევქმნათ განტოლება: X AX + B = 0. 4 X 1 = A+ A B, X = A A B ; A ± B= A ± B 4 = X 1 + X ± X 1 X = X 1 ± X = A+ A B ± A A B, სადაც A>0, B>0, A -B>0 და ფორმულა გამარტივებულია, როდესაც A - ზუსტად კვადრატში. სავარჯიშო 1. აჩვენეთ, რომ = ; = 1 + სტატიის ავტორი ვ.ი. სედაკოვა გთავაზობთ მარტივ მეთოდებს, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად შეასრულოთ ოპერაციები თქვენს თავში, როგორიცაა კვადრატული ფესვების ამოღება. ამ მეთოდებს შეუძლიათ გაზარდონ პროდუქტიულობა კლასში, რადგან ზეპირი და ნახევრად ზეპირი სავარჯიშოები შესაძლებელს ხდის გაკვეთილზე დიდი რაოდენობით მასალის შესწავლას, რაც მასწავლებელს საშუალებას აძლევს განსაჯოს მე-9 კლასის მზადყოფნა. 30 ახალი მასალის შესწავლისთვის. ეს მასალა სასარგებლოა მათემატიკის მომავალი მასწავლებლებისთვის. სკოლაში მათემატიკის კურსის სწავლების ერთ-ერთი მთავარი მიზანია მოსწავლეებში შეგნებული და ძლიერი გამოთვლითი უნარების განვითარება. გამოთვლითი უნარები მათემატიკური უნარების მნიშვნელოვანი კომპონენტია. ზეპირი არითმეტიკის თემა განსაკუთრებით აქტუალურია სახელმწიფო საბოლოო სერტიფიცირების (FSE) და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის (USE) დროს, სადაც გამოთვლითი მოწყობილობების გამოყენება დაუშვებელია. სამუშაოს სხვა ფორმებთან ერთად ზეპირი სავარჯიშოები შესაძლებელს ხდის შექმნას პირობები, რომლებშიც გააქტიურდება სხვადასხვა ტიპის მოსწავლის აქტივობა: აზროვნება, მეტყველება, საავტომობილო უნარები. ამიტომ მათემატიკის თითოეულ გაკვეთილზე გონებრივი გამოთვლებით სავარჯიშოებისთვის აუცილებელია 10 წუთამდე გამოყოფა. გამოთვლითი უნარების გამომუშავება რთული და სისტემატური პროცესია. იგი შედგება შემდეგი ეტაპებისაგან: უნარების ჩამოყალიბების პირველი ეტაპი არის უნარის დაუფლება. მეორე ეტაპი არის უნარების ავტომატიზაციის ეტაპი. უნარის ავტომატიზაცია არის შედეგის მიღება სავარჯიშოების ზეპირად შესრულებისას, პრაქტიკულად ჩანაწერების, ჩანაწერების და ა.შ. მოსწავლეებისთვის თემაში „კვადრატული ფესვები“ გავაცნოთ გონებრივი გამოთვლის მეთოდი. მრავალნიშნა ნატურალური რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღება. ჯერ ჩამოვწეროთ კვადრატული ფესვის ზოგადი სახით ამოღების ალგორითმი, რომელიც შეიძლება გამოვიყენოთ ნატურალურ რიცხვებთან მუშაობისას. 1. რიცხვი დაყავით ჯგუფებად (მარჯვნიდან მარცხნივ, ბოლო ციფრით დაწყებული), თითოეულ ჯგუფში ორი მომიჯნავე ციფრის ჩათვლით. ამ შემთხვევაში, ბოლო ჯგუფი შეიძლება შეიცავდეს ერთ ციფრს (თუ რიცხვს აქვს კენტი რიცხვი) და ორ ციფრს, თუ ციფრების რაოდენობა ლუწია. ამ რიცხვში ჯგუფების რაოდენობა აჩვენებს შედეგის ციფრების რაოდენობას. 31. ვირჩევთ უდიდეს რიცხვს ისე, რომ მისი კვადრატი არ აღემატებოდეს ბოლო ჯგუფის რიცხვს (დათვლა მარჯვნიდან მარცხნივ); ეს არის შედეგის პირველი ციფრი.მოდით, შედეგის პირველი ციფრის კვადრატში გამოვაკლოთ მიღებული რიცხვი ბოლო ჯგუფს და მივუმატოთ ბოლო ჯგუფს მარჯვნივ ნაპოვნი სხვაობა. ვიღებთ გარკვეულ რიცხვს A. შედეგის არსებული ნაწილის გაორმაგებით მივიღებთ რიცხვს a. ახლა ავირჩიოთ რიცხვი x ისე, რომ a და x რიცხვის ნამრავლი არ აღემატებოდეს A რიცხვს. რიცხვი x არის შედეგის მეორე ციფრი. 4. A რიცხვის ნამრავლს გამოვაკლოთ x-ზე, მივუმატოთ მესამე ჯგუფი მარჯვნივ ნაპოვნი სხვაობას, მივიღებთ გარკვეულ რიცხვს B. შედეგის არსებული ნაწილის გაორმაგებით მივიღებთ რიცხვს b. ახლა ავირჩიოთ უდიდესი ციფრი y ისე, რომ y-ის მიერ რიცხვის ნამრავლი არ აღემატებოდეს B რიცხვს. ციფრი y არის შედეგის მესამე ციფრი. 5. წესის შემდეგი საფეხური მეორდება მე-4 საფეხურს. ეს გრძელდება მანამ, სანამ არ იქნება გამოყენებული რიცხვების პირველი ჯგუფი. მაგალითი 14. ვაჩვენოთ ეს ალგორითმი უფრო მარტივი მაგალითის გამოყენებით, რომლის შედეგიც აშკარაა. გამოვთვალოთ 144. ორი ათეულის ფარგლებში ნატურალური რიცხვების კვადრატების ცხრილიდან ცნობილია, რომ 144 = 1. 144 რიცხვში გამოვყოფთ ორ ციფრს მარჯვნიდან მარცხნივ, 1/44. მივიღეთ რიცხვების ორი ჯგუფი, ასე რომ, შედეგი იქნება ორნიშნა რიცხვი. ვირჩევთ რიცხვს, რომლის კვადრატი არ აღემატება რიცხვს მეორე ჯგუფში (დათვლა მარჯვნიდან მარცხნივ), ეს არის რიცხვი 1. ჩვენს შემთხვევაში ეს რიცხვი იქნება ნომერი 1, რადგან მისი კვადრატი ერთის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ პასუხი შეიცავს რიცხვს 1-ს ათეულების ადგილზე, 144 რიცხვს გამოაკელით მიღებული ათეულების რიცხვი და დარჩენილი იქნება რიცხვი 44. მოდით განვსაზღვროთ პასუხში ერთეულების რიცხვი. ამისათვის, მარცხნივ, გავამრავლოთ მიღებული ათეულების ციფრი, მივიღებთ. მოდი ავირჩიოთ ეს 1 32 არის რიცხვი, როცა გამრავლდება თავისთავზე და მიღებულ რიცხვზე, შედეგი არის 44. ეს რიცხვია, ამიტომ 144-ის კვადრატული ფესვის აღებისას ვიღებთ რიცხვს 1. ვირჩევთ პასუხის 1_ რიცხვებს. პასუხი: 144=1. მაგალითი 15. განვიხილოთ ხუთნიშნა რიცხვიდან კვადრატული ფესვების ამოღების პროცესი ამოირჩიეთ პასუხი 4 პასუხი: 54756=4. დასკვნები პირველი თავის შესახებ პირველ თავში თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების ძირითადი მიზნები და ამოცანები განხილული იყო საბაზო სკოლის ალგებრის კურსში, რომელიც დაფუძნებულია შპს ფედერალური სახელმწიფო განათლების სტანდარტებისა და მათემატიკის პროგრამებზე. მე-8 კლასის ალგებრას სახელმძღვანელოებში თეორიული და პრობლემაზე დაფუძნებული მასალის ანალიზმა აჩვენა, რომ სახელმძღვანელოების ავტორები იყენებენ განსხვავებულ მიდგომებს კვადრატული ფესვის კონცეფციის და სავარჯიშოების სისტემის დანერგვისთვის, რომელიც მიზნად ისახავს კვადრატული ფესვების გამოთვლის უნარის განვითარებას. რიცხვითი გამონათქვამების გამარტივება. სტატიებსა და სასწავლო საშუალებებზე დაყრდნობით თემის „კვადრატული ფესვების“ შესწავლის პრაქტიკული გამოცდილების ანალიზი საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ თემა საკმაოდ რთულია სტუდენტებისთვის. თუმცა, შესაბამისი სავარჯიშოებისა და სპეციალური ტექნიკის დახმარებით, შეგიძლიათ მიაღწიოთ კვადრატული ფესვის კონცეფციისა და მისი ძირითადი თვისებების მყარ გაგებას. 33 თავი II. მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები თემის „კვადრატული ფესვები“ სწავლების ორგანიზებისთვის საბაზო სკოლის ალგებრის კურსი 4. პრობლემები თემაზე „კვადრატული ფესვები“, ფოკუსირებული საბაზისო სკოლის ცოდნისა და უნარების საბაზისო საფეხურზე ცოდნისა და უნარების შესახებ. ფესვები“ წარმოდგენილი ალგებრის სახელმძღვანელოებში მე-8 კლასი პირობითად შეიძლება დავყოთ 4 ჯგუფად: ჯგუფი 1. ამოცანები კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების მნიშვნელობის პოვნის შესახებ. ჯგუფი. არითმეტიკული კვადრატული ფესვების გამოყენებით კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ამოცანები. ჯგუფი. კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების გამარტივებასა და შედარებასთან დაკავშირებული პრობლემები. ჯგუფი 4. კვადრატული ფესვის ამოცანები. ვნახოთ ამოცანების მაგალითები: ჯგუფი 1. კვადრატული ფესვების შემცველი გამონათქვამების მნიშვნელობის პოვნის ამოცანები. მაგალითი 1. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: ა) 1,5 0,1 0,5 ბ) 9 გ) 16,. ამოხსნა: ა) არითმეტიკული ფესვის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ 1.5=.5, ვინაიდან,5 > 0 და,5 = 1.5; 0.5= 0.5 იმიტომ 0.5 > 0 და 0.5 = 0.5..5 0.1 0.5 = 7 0.05= 6.95 ბ) 9 = 9, რადგან 9 = 9 = 9 34 გ) ამ გამოთქმას აზრი არ აქვს, რადგან ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არაუარყოფითი რიცხვია. პასუხი: ა) 6,95; ბ) 9; გ) გამოთქმას აზრი არ აქვს მაგალითი. ამოიღეთ ირაციონალურობა მნიშვნელიდან: 1 ა) 4 ბ) 7 გ) ამოხსნა: 1 ა) (1())() 4 1 ბ) 7 4 (7 4(7)() 7) 4(7 7) 4( 7 4) 7 გ) ((5 5 7) (7) (5 5 7) 7) (5 5 7) (5 6) 5 6 (გამოიყენება წილადის მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორების ახალი მეთოდი - გამრავლება მის კონიუგატზე). პასუხი: ა) + ბ) 7 + გ) 5 6 ჯგუფი. კვადრატული განტოლებების ამოხსნა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის მაგალითის გამოყენებით. იპოვეთ x-ის მნიშვნელობა გამოსახულებაში 10x 14 = 11. 4 35 10x 15 x 1.5 ამოხსნა: 10x x 14 x 15:10 10x x შემოწმება: , პასუხი: x = 1.5. 4 x x მაგალითი 4. იპოვეთ x-ის მნიშვნელობა გამოსახულებაში 4 x = 1. ამოხსნა: x 1 შეამოწმეთ: პასუხი: x ჯგუფი. ამ ჯგუფში ჩვენ გავაერთიანებთ ამოცანებს გამონათქვამების გამარტივებაზე. მაგალითი 5: გაამარტივე გამოთქმა: 5 36 6 ამოხსნა: წილადის მნიშვნელში ირაციონალურობის თავიდან ასაცილებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი ჯამზე, თუ მნიშვნელი შეიცავს სხვაობას ან გაამრავლოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი სხვაობით, თუ მნიშვნელი შეიცავს ჯამს) () ())(( ))(() () () : 6 მაგალითი 7. გაამარტივე გამოთქმა: .5 8 ამოხსნა: .5 8 (იყენებს ნამრავლის არითმეტიკულ კვადრატულ ფესვს.) პასუხი: 5 37 ჯგუფი 4. კვადრატული ფესვი. ამ ჯგუფში შემოგთავაზებთ ამოღების ამოცანებს მაგალითი 8. ამოიღეთ გამოთქმის ფესვი ამოხსნა: 5a 6 49 გამოვიყენოთ თეორემა წილადის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის გამოყვანის შესახებ. 5a a a a 7 6 გამოვიყენოთ თეორემა ნამრავლის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღების შესახებ. 5a a a 6 შემდეგ ვიყენებთ შემდეგ თეორემას: ნებისმიერი a რიცხვისთვის მოქმედებს შემდეგი ტოლობა: a a a 5a 5a 5 a 5 (a) 5 a 5 a პასუხი: თუ a 0, მაშინ თუ a< 0, то 5 a 7 5 a a 5 7 a Пример 9. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) a a 1) x x 5 7 38 1) a ამოხსნა: a a a a a (გამოიყენება ნამრავლის არითმეტიკული კვადრატული ფესვის საპირისპირო მიმართულებით აღების თეორემა). პასუხი: 1) ა) x 11x 4 1) 64 მაგალითი 10. ამოიღეთ ფესვი: x) 400 a, სადაც a< 0 Решение: 1) 11x x x 4 11 (x 8) 11 x 8 11x 8 1 x 8) 400 a a a a 0 a (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения и теорема: a a). Ответ: 1) 1 x 8 0 a 8 39 სტატიაში შემოთავაზებულია მრავალვარიანტული დიდაქტიკური მასალები (დავალებები ბარათებში), რომლებიც მიზნად ისახავს ძირებით რიცხვითი გამონათქვამების გამარტივებას. ისინი უდავოდ დაეხმარებიან მათემატიკის მასწავლებელს დამოუკიდებელი თუ ტესტური სამუშაოს ორგანიზებისას. მოდით მივცეთ ვარიანტების დავალებები. ვარიანტი 1 1. გამარტივება: გამარტივება: მნიშვნელში ირაციონალურობის აღმოფხვრა: გამოხატვის გამარტივება გამოთვალეთ: 7 * გაამარტივეთ გამოთქმა 6+4 4, იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 8. გამოთვალეთ: * იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 10. გაამარტივეთ გამოთქმა ()(75 7) და დაამტკიცეთ, რომ მიღებული რიცხვი არის განტოლების ფესვი x 0 = 0. ვარიანტი 1. გაამარტივეთ: ალგებრაში სამუშაო პროგრამა 8 კლასისათვის (ზოგადსაგანმანათლებლო საფეხური) შემდგენელი: ტიხონოვი ვ.ა., მათემატიკის მასწავლებელი; პროგრამის განხორციელების პერიოდი: 1 წელი სამუშაო პროგრამა ეფუძნება ფედერალურს მათემატიკის ახსნა-განმარტება ეს სამუშაო პროგრამა შემუშავდა ძირითადი ზოგადი განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის ფედერალური კომპონენტისა და ძირითადი ზოგადი განათლების პროგრამის საფუძველზე. ზოგადი ზოგადი განათლების სამუშაო პროგრამა მათემატიკაში MBOU პენზას №30 საშუალო სკოლაში (5 კლასი) ახსნა-განმარტება დოკუმენტის სტატუსი საბაზო ზოგადი განათლების მათემატიკის სამუშაო პროგრამა მე-5 კლასისთვის. მე-5 კლასის მათემატიკის სამუშაო პროგრამის რეზიუმე. ახსნა-განმარტება სამუშაო პროგრამა მათემატიკაში 2016-2017 სასწავლო წლის მე-5 კლასში შედგენილია: 1. ფედერალური კანონი 273 ფედერალური კანონი 29.12.2012წ. ახსნა-განმარტება სამუშაო პროგრამა მათემატიკაში შედგენილია შემდეგი მარეგულირებელი დოკუმენტებისა და მეთოდოლოგიური რეკომენდაციების საფუძველზე: 1. ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტი ძირითადი. განმარტებითი შენიშვნა. ეს სამუშაო პროგრამა განკუთვნილია მე-8 კლასის მოსწავლეებისთვის და ხორციელდება შემდეგი დოკუმენტაციის საფუძველზე:. დაწყებითი ზოგადი, ძირითადი ზოგადი და მეორადი სახელმწიფო სტანდარტი სამუშაო სასწავლო გეგმა მათემატიკა 5-6 კლასები 2017-2018 სასწავლო წელი ABSTRACT ეს სამუშაო პროგრამა შემუშავებულია ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო კოდექსის ძირითადი დებულებების შესაბამისად ბელგოროდის მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება "მე-17 საშუალო სკოლა" "შეთანხმებულია" განათლების სკოლის ხელმძღვანელი N.A. ილმინსკაია ოქმი 20 "შეთანხმებული" დირექტორის მოადგილე. სამუშაო პროგრამა მათემატიკაში მე-5 კლასისთვის ახსნა-განმარტება სამუშაო პროგრამა მათემატიკაში მე-5 კლასის მოსწავლეებისთვის შემუშავდა რუსეთის ფედერაციის თავდაცვის სამინისტროს 2007 წლის პროგრამის საფუძველზე, დამტკიცებული რუსეთის ფედერაციის თავდაცვის სამინისტროს მიერ და ავტორის მიერ. განიხილება მოსკოვის რეგიონის შეხვედრაზე, კულტურული და MKOU LSOSH 1 ტექნოლოგიური საქმიანობის მასწავლებლების დირექტორი M.M. Kostin და SPL სერვისის ბრძანება 109 წუთი 01, 2017 წლის 01 სექტემბერს. 2017 წლის 01 სექტემბრიდან ძირითადი ზოგადი განათლების საბაზო საგანმანათლებლო პროგრამის დანართი 208 წლის 30 აგვისტოს 488ოს ბრძანება. ტიუმენის რეგიონი ხანტი-მანსის ავტონომიური ოკრუგი იუგრა ნიჟნევარტოვსკის ოლქი მუნიციპალური ბიუჯეტი 1. ახსნა-განმარტება ალგებრის სამუშაო პროგრამა მე-9 კლასისთვის შედგენილია მარეგულირებელი დოკუმენტების და საინფორმაციო და მეთოდოლოგიური მასალების საფუძველზე: 1. განათლების შესახებ რუსეთის ფედერაციაში: ფედერალური საგანმანათლებლო მასალის კალენდარულ-თემატური დაგეგმვა ალგებრაში მე-8 კლასისთვის. ახსნა-განმარტება მე-8 კლასის ალგებრაში კალენდარულ-თემატური დაგეგმარება შედგენილია სამაგალითო პროგრამის საფუძველზე. საბაზო ზოგადი განათლების სტუდენტების მომზადების დონის მოთხოვნები: მოსწავლეებმა უნდა იცოდნენ/გაიგონ: - მათემატიკური მეცნიერების მნიშვნელობა თეორიასა და პრაქტიკაში წარმოშობილი პრობლემების გადასაჭრელად; სიგანე და ამავე დროს სამუშაო პროგრამა კლასი (დონე), რომელზედაც ისწავლება 8 სასწავლო კურსი საგნობრივი სფერო მათემატიკა და კომპიუტერული მეცნიერება აკადემიური საგანი მათემატიკა (ალგებრა) სასწავლო წელი 2017-2018 საათების რაოდენობა წელიწადში 102 მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება გიმნაზია 4 ხიმკში დამტკიცებულია: MBOU Gymnasium 4 დირექტორის მიერ / N.N. კოზელსკაია / 2015 წლის ორდენი სამუშაო პროგრამა ალგებრაში (საბაზო დონე) მე-8 კლასი განხილულია სკოლის პედაგოგიური საბჭოს სხდომაზე 2009 წელს. „შეთანხმებული“ სკოლის დირექტორის მოადგილე საგანმანათლებლო დაწესებულებაში MBOSHI „KSHI“ მინეხანოვა გ.რ. 2009 MBOSHI „KSHI“-ს „დამტკიცებული“ დირექტორი ტაიპოვა ა.რ. 2009 წ განიხილება: მოსკოვის რეგიონის შეხვედრაზე / ZYUMurtazaeva Pr-დან შეთანხმდნენ: დირექტორის მოადგილე საგანმანათლებლო დაწესებულებებში / EKKhairetdinova დამტკიცდა: სკოლის დირექტორი / LMAmetova Pr სამუშაო პროგრამიდან ალგებრაში 8 A MBOU "Starokrymskaya OSH" შინაარსი. განმარტებითი ჩანაწერი 3 გვერდი სასწავლო გეგმაში სასწავლო საგნის ადგილის აღწერა სასწავლო და მეთოდურ კომპლექტში კონტროლის საგნობრივი ფორმების დაუფლების დაგეგმილი შედეგები 2. საგანმანათლებლო თემების შინაარსი. მუნიციპალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება საშუალო სკოლა 40 LIPETSK სამუშაო პროგრამა ალგებრაში 8 კლასის სმენის დარღვევის მქონე სტუდენტებისთვის ახსნა-განმარტება ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულების მე-8 კლასის მოსწავლეებისთვის სასწავლო საგნის „ალგებრა“ წინამდებარე სამუშაო პროგრამა შემუშავდა ძირითადი ზოგადი განათლების საავტორო პროგრამის საფუძველზე. ახსნა-განმარტება მე-8 კლასის საბაზო საშუალო სკოლის ალგებრის ეს პროგრამა შედგენილია ძირითადი ზოგადი განათლების სახელმწიფო სტანდარტის ფედერალური კომპონენტის საფუძველზე. 1. აკადემიური საგნის დაუფლების დაგეგმილი შედეგები მე-6 კლასში საგნის „მათემატიკა“ სწავლის საგნობრივი შედეგები შემდეგი უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბებაა: საგნობრივი სფერო „არითმეტიკა“: შეასრულოს. სამუშაო პროგრამის დანართი მათემატიკაში მურმანსკის ოლქი, კოლას რაიონი, გვ. მინკინოს სახელმწიფო რეგიონალური საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება "მინკინოს გამასწორებელი სკოლა-ინტერნატი" სამუშაო პროგრამა მათემატიკის მე-6 კლასისთვის. 1. კალენდარულ-თემატური გაკვეთილის გეგმა სასწავლო სექციები და თემები თარიღი საათების რაოდენობა პირველი კვარტალი (42 გაკვეთილი) 1. რიცხვების გაყოფა (20 გაკვეთილი) 1.09-28.09 1-3 გამყოფი. დაგეგმილი შედეგები პირადი მეტასაგანი საგანი თავდაპირველი იდეები მათემატიკის იდეებისა და მეთოდების შესახებ, როგორც მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების უნივერსალური ენის, ფენომენებისა და პროცესების მოდელირების საშუალების შესახებ; 1 ახსნა-განმარტება მე-9 კლასის საგნის „ალგებრა“ სამუშაო პროგრამა შედგენილია ძირითადი ზოგადი განათლების სახელმწიფო სტანდარტის ფედერალური კომპონენტის საფუძველზე. ეს სამუშაო პროგრამა ახსნა-განმარტება მე-8 კლასის ალგებრის სამუშაო პროგრამა შეესაბამება დაწყებითი ზოგადი, ძირითადი ზოგადი და საშუალო (სრული) ზოგადი სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის ფედერალურ კომპონენტს. ახსნა-განმარტება სამუშაო პროგრამა შედგენილია: - მათემატიკაში საბაზო ზოგადი განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის ფედერალური კომპონენტის - მათემატიკის სამოდელო პროგრამების საფუძველზე. თავი ალგებრაში შესავალი.. კვადრატული ტრინემიალი... ბაბილონური ამოცანა მათი ჯამიდან და ნამრავლიდან ორი რიცხვის პოვნის. ალგებრაში ერთ-ერთი უძველესი პრობლემა შემოთავაზებული იქნა ბაბილონში, სადაც ის ფართოდ იყო გავრცელებული განმარტებითი შენიშვნა. ეს სამუშაო პროგრამა საგანში „მათემატიკა“ ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულების მე-6 კლასის მოსწავლეებისთვის საავტორო პროგრამის საფუძველზე შემუშავდა ს.მ. ნიკოლსკი, M.K. პოტაპოვი, განმარტებითი შენიშვნა. (მათემატიკის კლასი 5) ეს სამუშაო პროგრამა შედგენილია მათემატიკაში სახელმწიფო პროგრამის შესაბამისად რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტროს ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. ახსნა-განმარტება ალგებრაში სამუშაო პროგრამა შემუშავდა შემდეგი მარეგულირებელი სამართლებრივი დოკუმენტების საფუძველზე: 2012 წლის 29 დეკემბრის ფედერალური კანონი 273-FZ „რუსეთის ფედერაციაში განათლების შესახებ“; შეკვეთა განმარტებითი შენიშვნა ალგებრის სამუშაო პროგრამა მე-8 კლასისთვის შედგენილია მეორე თაობის ძირითადი ზოგადი განათლების ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის დებულებების შესაბამისად. დოკუმენტის სტატუსი განმარტებითი ჩანაწერი ეს სამუშაო პროგრამა ალგებრაში ძირითადი ზოგადი განათლების სკოლის მე-8 კლასისთვის (მოწინავე საფეხური) შედგენილია სახელმწიფოს ფედერალური კომპონენტის საფუძველზე. განხილული მიღებულია დამტკიცებული მოსკოვის მასწავლებელთა ასოციაციის მიერ მათემატიკისთვის შეხვედრაზე მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულების დირექტორი საშუალო სკოლის ოქმი 1 26.08. 2014. პედაგოგიური გვ. პოიმა თავდაცვის სამინისტროს უფროსი პრასლოვა ო.მ. საბჭო როდიონოვა O.I. პროტოკოლი 1 კერძო საგანმანათლებლო დაწესებულება ლიცეუმი 1 „Sputnik“ განიხილება 1 ლიცეუმის მეთოდოლოგიური საბჭოს სხდომაზე „Sputnik“ 2017 წ. 1 ლიცეუმის მეთოდური საბჭოს თავმჯდომარე „Sputnik“ ურსულ სამუშაო პროგრამის რეზიუმე მე-8 კლასი, ალგებრა ახსნა-განმარტება მე-8 კლასის საბაზო საშუალო სკოლის ალგებრაში სამუშაო პროგრამა შედგენილია: სახელმწიფოს ფედერალური კომპონენტის საფუძველზე. 1. ახსნა-განმარტება. ალგებრის სამუშაო პროგრამა ეფუძნება საავტორო პროგრამას „ალგებრა მე-8 კლასი“. ავტო მაკარიჩევი და სხვები სახელმწიფო კომპონენტის საგანმანათლებლო საგნების შინაარსის შესაბამისად სამუშაო პროგრამა ალგებრასა და გეომეტრიაში 7 "ა" კლასისთვის 2018 2019 სასწავლო წელი პროგრამის შემქმნელი მასწავლებელი ვიქტორ ალექსანდროვიჩ პალენი 2018 სამუშაო პროგრამის გამორჩეული თავისებურებები: ადაპტირებული მუნიციპალიტეტის საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება საშუალო სკოლა 4 განიხილება პედაგოგიური საბჭოს მიერ 31.08 ოქმი 1. 2017 წლის 31/08/2017 162 ბრძანება დამტკიცებულია: დირექტორი სატესტო და საზომი მასალები მათემატიკაში შუალედური სერტიფიცირებისთვის 2018 წელს, კლასი 7 ახსნა-განმარტება ნაშრომის შინაარსი სტრუქტურირებულია: რუსეთის ფედერაციის ფედერალური კანონის შესაბამისად. ახსნა-განმარტება მარეგულირებელი დოკუმენტები სამუშაო პროგრამა შედგენილია: რუსეთის ფედერაციის ფედერალური კანონის 9..0 73-FZ „რუსეთის ფედერაციაში განათლების შესახებ“ ფედერალური კომპონენტის საფუძველზე. ახსნა-განმარტება სამუშაო პროგრამა შედგენილია შემდეგნაირად: რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტროს ბრძანება 03/05/2004 1089 „სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტების ფედერალური კომპონენტის დამტკიცების შესახებ. 1. საგნის დაუფლების დაგეგმილი შედეგები დაწყებით სკოლაში მათემატიკის შესწავლა საშუალებას აძლევს მოსწავლეებს მიაღწიონ შემდეგ შედეგებს: პიროვნული განვითარების მიმართულებით: - უნარი ნათლად, ახსნა-განმარტებითი შენიშვნა ალგებრის სამუშაო პროგრამა მე-8 კლასისთვის შედგენილია მეორე თაობის ძირითადი ზოგადი განათლების ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის დებულებების შესაბამისად. საგანმანათლებლო პროგრამის დანართი კალენდარი თემატური დაგეგმვა ალგებრაში მე-8 კლასში სახელმძღვანელო "ალგებრა 8", ავტორი იუ.ნ. მაკარიჩევი და სხვები, რედაქტორი ს.ა. ახსნა-განმარტება დაწყებითი სკოლის ალგებრის პროგრამა შედგენილია: - ძირითადი ზოგადი განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის ფედერალური კომპონენტის მოთხოვნების შესაბამისად. ახსნა-განმარტება ალგებრაში სამუშაო პროგრამა მე-8 კლასისთვის (სიღრმისეული შესწავლა) შედგენილია სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის ფედერალური კომპონენტის, ალგებრის პროგრამის შესაბამისად. რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო ნოვოსიბირსკის სახელმწიფო უნივერსიტეტის განათლებისა და კვლევითი ცენტრის სპეციალიზებული ცენტრი მათემატიკა მე-8 კლასი პოლინომები ნოვოსიბირსკის პოლინომები რაციონალური სამუშაო პროგრამა შედგენილია მარეგულირებელი დოკუმენტების შესაბამისად:. ფედერალური კანონი 29.2.202 273-FZ "რუსეთის ფედერაციაში განათლების შესახებ", ფედერალური სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულების მოთხოვნები ახსნა-განმარტება წინამდებარე სამუშაო პროგრამა „ალგებრა“ შემუშავებულია: - 2012 წლის 29 დეკემბრის 273-FZ (შესწორებული 2015 წლის 13 ივლისს) „რუსეთის ფედერაციაში განათლების შესახებ“ ფედერალური კანონის საფუძველზე; - საავტორო უფლებებიდან გამომდინარე სამუშაო პროგრამა შედგენილია მარეგულირებელი დოკუმენტების შესაბამისად: ფედერალური კანონი 29.2.202 273-FZ "რუსეთის ფედერაციაში განათლების შესახებ". 2. რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს ბრძანება ყაზახეთის რესპუბლიკის ზოგადი და პროფესიული განათლების სამინისტრო სახელმწიფო საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება დაწყებითი პროფესიული განათლება როსტოვის რეგიონში მე-5 პროფესიული სასწავლებელი Პრაქტიკული სამუშაო ედპ-ის დისციპლინაში. 01.„მათემატიკა: ალგებრა და პრინციპები
მათემატიკური ანალიზი; გეომეტრია"
ამ თემაზე:
„ფესვების, ძალების და ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციები».
ამისთვისსტუდენტები მეკურსი გ. დონის როსტოვი 2017 წელი განყოფილება No1.
Ალგებრა.
თემა 1.2.
ფესვები, ძალა და ლოგარითმები.
პრაქტიკული გაკვეთილი No1.
თემა:
„ფესვების, ძალების და ლოგარითმების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციები“. სამიზნე:ვიცი
რადიკალების თვისებები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები; შეძლოს მათი გამოყენება, როცა
ფესვების, ძალების და ლოგარითმების შემცველ გამონათქვამებზე ტრანსფორმაციების შესრულება. საათების რაოდენობა
: 1 საათი. თეორიული მასალა.
Ფესვები.
მოქმედება, რომლითაც ფესვი აღმოჩენილიან-ე ხარისხი, რომელსაც ფესვის ამოღება ეწოდებან-მე ხარისხი. განმარტება.
ბუნებრივი ხარისხის არითმეტიკული ფესვინარაუარყოფითი a რიცხვის ≥ 2-ს ეწოდება არაუარყოფითი რიცხვი,ნრომლის მე-თე ხარისხი უდრის a. მეორე ხარისხის არითმეტიკული ფესვი ასევე ეწოდება კვადრატულ ფესვს, ხოლო მესამე ხარისხის ფესვს - კუბურ ფესვს. Მაგალითად. გამოთვალეთ: არითმეტიკული ფესვინმე-ე ხარისხს აქვს შემდეგი თვისებები: თუ a ≥ 0, b > 0 და ნ,
მ- ნატურალური რიცხვები დან ≥ 2,
მ≥ 2, მაშინ 1. 3.
2. 4.
არითმეტიკული ფესვის თვისებების გამოყენების მაგალითები. ხარისხის თვისებები რაციონალური მაჩვენებლით.
ნებისმიერი რაციონალური რიცხვისთვის p და k და ნებისმიერი a > 0 და b > 0 ტოლობები ჭეშმარიტია: 1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. .
ხარისხის თვისებების გამოყენების მაგალითები: 1). 7*
4). .
რიცხვის ლოგარითმი
განმარტება.
დადებითი რიცხვის ლოგარითმიბა ძირამდე, სადაცა > 0,
ა≠ 1, ეწოდება მაჩვენებელს, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოსა, მისაღებად ბ.
ა
=
ბ
არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა. ლოგარითმების თვისებები
დაე ა > 0,
ა ≠ 1,
ბ>0, c >0, k – ნებისმიერი რეალური რიცხვი. მაშინ ფორმულები მოქმედებს: 1
.
ჟურნალი
(
ძვ.წ
) =
logb
+
logc
, 4.
logb
=
,
2.
log = logb - ჟურნალი
გ, 5.ჟურნალი
a = 1
,
3.
ჟურნალი
ბ
= to *
logb
, 6.
ჟურნალი
0 = 1
.
ფორმულების გამოყენების მაგალითები: log2 + ჟურნალი 18
= ჟურნალი ( 2 * 18
)
=
ჟურნალი 36 = 2;
ჟურნალი 48
-ლოგი 4
= ჟურნალი=
ჟურნალი 12 = 1;
ჟურნალი 9 = *
ჟურნალი 9
= .
თავად გადაწყვიტეთ
.
Დავალებები. 1 ვარიანტი
1. გამოთვალეთ:
1) ; 4)
ჟურნალი ;
2) ; 5) 0,5;
3) ; 6) 3
ჟურნალი 2 -
ჟურნალი 64.
2 თუ x = 7. 3. შეადარეთ რიცხვები:ჟურნალი 11 და ჟურნალი 19.
4. გამარტივება: 1) ; 2) . 5. გამოთვალეთ: ჟურნალიჟურნალიჟურნალი 3.
_________________________________________________________________
ვარიანტი 2
1. გამოთვალეთ:
1) ; 4)
ჟურნალი 64;
2) ; 5) ;
3) ; 6) 2
ჟურნალი 3 -
ჟურნალი 81.
2. იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა: 3 თუ y = 2. 3. შეადარეთ რიცხვები:ჟურნალიდა ჟურნალი.
4. გამარტივება: 1) ; 2) . 5. გამოთვალეთ: ჟურნალიჟურნალიჟურნალი 2.
__________________________________________________________________
შეფასების კრიტერიუმები:
11 სწორი დავალება - „5“; 9 - 10 სწორი დავალება - „4“; 7 - 8 სწორი დავალება - "3". ბაშმაკოვი. M.I. მათემატიკა: სახელმძღვანელო NPO-ებისა და SPO-ებისთვის. - მ.: გამომცემლობა "აკადემია", 2013 წ. ალიმოვი შ.ა. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. 10 (11) უჯრედი – მ.: 2012 წ. Ალგებრა. მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო, პრობლემური წიგნი ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები/ ა.გ. მორდკოვიჩი და სხვები - M.: Mnemosyne, 2009 წ. Ალგებრა. მე-8 კლასი: სახელმძღვანელო, პრობლემური წიგნი ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები/ ა.გ. მორდკოვიჩი და სხვები - M.: Mnemosyne, 2008 წ. Ალგებრა. მე-7 კლასი: სახელმძღვანელო, პრობლემური წიგნი ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები/ ა.გ. მორდკოვიჩი და სხვები - M.: Mnemosyne, 2007 წ. მოხსენების ფორმა:
მასწავლებლის მიერ დავალებების შესრულების შემოწმება ფესვის ამოღების ოპერაციის პრაქტიკაში წარმატებით გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა გაეცნოთ ამ ოპერაციის თვისებებს. თეორემა 1.
ორი არაუარყოფითი ჩიპის ნამრავლის n-ე ფესვი (n=2, 3, 4,...) უდრის ამ რიცხვების n-ე ფესვების ნამრავლს:
კომენტარი:
1.
თეორემა 1 მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როდესაც რადიკალური გამოხატულება არის ორზე მეტი არაუარყოფითი რიცხვის ნამრავლი. თეორემა 2.თუ,
და n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობა მართალია თეორემა 1 საშუალებას გვაძლევს გავამრავლოთ t მხოლოდ იმავე ხარისხის ფესვები
, ე.ი. მხოლოდ ფესვები იგივე ინდექსით. თეორემა 3.თუ
,k არის ნატურალური რიცხვი და n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, მაშინ ტოლობა მართალია სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბუნებრივ ძალაზე ფესვის ასამაღლებლად საკმარისია რადიკალური გამოხატულება ამ ძალაზე აიყვანოთ. თეორემა 4.თუ
,k, n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვები, მაშინ ტოლობა მართალია სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფესვიდან ფესვის ამოსაღებად საკმარისია ფესვების მაჩვენებლების გამრავლება. Ფრთხილად იყავი!გავიგეთ, რომ ფესვებზე შეიძლება შესრულდეს ოთხი ოპერაცია: გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და ფესვის ამოღება (ფესვიდან). მაგრამ რა შეიძლება ითქვას ფესვების დამატებასა და გამოკლებაში? Არ არსებობს გზა. თეორემა 5.თუ
ფესვის და რადიკალური გამოხატვის მაჩვენებლები მრავლდება ან იყოფა იმავე ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, ე.ი. პრობლემის გადაჭრის მაგალითები მაგალითი 2.გამოთვალეთ მაგალითი 3.გამოთვალეთ: გამოსავალი.ალგებრაში ნებისმიერი ფორმულა, როგორც მოგეხსენებათ, გამოიყენება არა მხოლოდ "მარცხნიდან მარჯვნივ", არამედ "მარჯვნიდან მარცხნივ". ამრიგად, ფესვების პირველი თვისება ნიშნავს, რომ ისინი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმით და, პირიქით, შეიძლება შეიცვალოს გამოხატულებით. იგივე ეხება ფესვების მეორე თვისებას. ამის გათვალისწინებით, მოდით გავაკეთოთ გამოთვლები. გილოცავთ: დღეს ჩვენ გადავხედავთ ფესვებს - ერთ-ერთ ყველაზე დამაფიქრებელ თემას მე-8 კლასში. :) ბევრი ადამიანი იბნევა ფესვებს არა იმიტომ, რომ ისინი რთულია (რა არის ამაში რთული - რამდენიმე განმარტება და კიდევ რამდენიმე თვისება), არამედ იმიტომ, რომ სასკოლო სახელმძღვანელოების უმეტესობაში ფესვები ისეთი ჯუნგლებშია განსაზღვრული, რომ მხოლოდ თავად სახელმძღვანელოების ავტორები შეუძლია გაიგოს ეს ნაწერი. და მაშინაც მხოლოდ ერთი ბოთლი კარგი ვისკით. :) ამიტომ, ახლა მე მოგცემთ ფესვის ყველაზე სწორ და კომპეტენტურ განმარტებას - ერთადერთი, რომელიც ნამდვილად უნდა გახსოვდეთ. შემდეგ კი აგიხსნით: რატომ არის ეს ყველაფერი საჭირო და როგორ გამოვიყენოთ იგი პრაქტიკაში. მაგრამ პირველ რიგში, გახსოვდეთ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი, რომელსაც ბევრი სახელმძღვანელოს შემდგენელი რატომღაც „ავიწყდება“: ფესვები შეიძლება იყოს ლუწი ხარისხის (ჩვენი საყვარელი $\sqrt(a)$, ისევე როგორც ყველა სახის $\sqrt(a)$ და ლუწი $\sqrt(a)$) და კენტი ხარისხის (ყველა სახის $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ და ა.შ.). და კენტი ხარისხის ფესვის განმარტება გარკვეულწილად განსხვავდება ლუწისაგან. ფესვებთან დაკავშირებული ყველა შეცდომის და გაუგებრობის ალბათ 95% იმალება ამ გარყვნილ „გარკვეულ განსხვავებულში“. მოდით, ერთხელ და სამუდამოდ გავარკვიოთ ტერმინოლოგია: განმარტება. ფესვიც კი ნ$a$ რიცხვიდან არის ნებისმიერი არაუარყოფითირიცხვი $b$ ისეთია, რომ $((b)^(n))=a$. ხოლო $a$ იგივე რიცხვის კენტი ფესვი არის ზოგადად ნებისმიერი რიცხვი $b$, რომლისთვისაც იგივე თანასწორობაა: $((b)^(n))=a$. ნებისმიერ შემთხვევაში, ფესვი აღინიშნება ასე: \(ა)\] რიცხვს $n$ ასეთ ნოტაციაში ეწოდება ძირეული მაჩვენებელი, ხოლო რიცხვს $a$ ეწოდება რადიკალური გამოხატულება. კერძოდ, $n=2$-ისთვის ვიღებთ ჩვენს „საყვარელ“ კვადრატულ ფესვს (სხვათა შორის, ეს არის ლუწი ხარისხის ფესვი), ხოლო $n=3$-ისთვის ვიღებთ კუბურ ფესვს (კენტი ხარისხი), რომელიც არის ასევე ხშირად გვხვდება პრობლემებსა და განტოლებებში. მაგალითები. კვადრატული ფესვების კლასიკური მაგალითები: \[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \ბოლო (გასწორება)\] სხვათა შორის, $\sqrt(0)=0$ და $\sqrt(1)=1$. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან $((0)^(2))=0$ და $((1)^(2))=1$. ასევე გავრცელებულია კუბის ფესვები - არ უნდა შეგეშინდეთ მათი: \[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \ბოლო (გასწორება)\] კარგი, რამდენიმე "ეგზოტიკური მაგალითი": \[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \ბოლო (გასწორება)\] თუ არ გესმით რა განსხვავებაა ლუწ და კენტ ხარისხს შორის, ხელახლა წაიკითხეთ განმარტება. Ეს ძალიან მნიშვნელოვანია! ამასობაში განვიხილავთ ფესვების ერთ უსიამოვნო მახასიათებელს, რის გამოც დაგვჭირდა ლუწი და კენტი მაჩვენებლების ცალკე განმარტების შემოღება. განმარტების წაკითხვის შემდეგ, ბევრი სტუდენტი იკითხავს: "რას ეწეოდნენ მათემატიკოსები, როცა ამას მოიფიქრეს?" და მართლაც: რისთვის არის საჭირო ყველა ეს ფესვი? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, ცოტა ხნით დავუბრუნდეთ დაწყებით სკოლას. დაიმახსოვრეთ: იმ შორეულ დროში, როცა ხეები უფრო გამწვანებული იყო და პელმენი უფრო გემრიელი, ჩვენი მთავარი საზრუნავი რიცხვების სწორად გამრავლება იყო. ისე, რაღაც "ხუთი ხუთზე - ოცდახუთი", ეს ყველაფერია. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ რიცხვები არა წყვილებში, არამედ სამეულებში, ოთხჯერ და ზოგადად მთლიან სიმრავლეებში: \[\ დასაწყისი (გასწორება) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \ბოლო(გასწორება)\] თუმცა, ეს არ არის მთავარი. ხრიკი განსხვავებულია: მათემატიკოსები ზარმაცები არიან, ამიტომ მათ გაუჭირდათ ათი ხუთეულის გამრავლების ასე ჩამოწერა: ამიტომაც გამოვიდნენ დიპლომები. რატომ არ უნდა დაწეროთ ფაქტორების რაოდენობა ზემოწერის სახით გრძელი სტრიქონის ნაცვლად? Რაღაც მსგავსი: ძალიან მოსახერხებელია! ყველა გამოთვლა საგრძნობლად მცირდება და 5183-ის ჩასაწერად არ დაგჭირდებათ პერგამენტის ფურცლებისა და ბლოკნოტების დახარჯვა. ამ ჩანაწერს რიცხვის ძალა ეწოდა, მასში მრავალი თვისება იყო ნაპოვნი, მაგრამ ბედნიერება ხანმოკლე აღმოჩნდა. გრანდიოზული სასმელის წვეულების შემდეგ, რომელიც მხოლოდ ხარისხების "აღმოჩენისთვის" მოეწყო, ზოგიერთმა განსაკუთრებით ჯიუტმა მათემატიკოსმა მოულოდნელად იკითხა: "რა მოხდება, თუ ვიცით რიცხვის ხარისხი, მაგრამ თავად რიცხვი უცნობია?" ახლა, მართლაც, თუ ვიცით, რომ გარკვეული რიცხვი $b$, ვთქვათ, მე-5 ხარისხში იძლევა 243-ს, მაშინ როგორ გამოვიცნოთ რის ტოლია თავად რიცხვი $b$? ეს პრობლემა ბევრად უფრო გლობალური აღმოჩნდა, ვიდრე ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს. იმის გამო, რომ აღმოჩნდა, რომ "მზა" ძალების უმეტესობისთვის არ არსებობს ასეთი "საწყისი" ნომრები. თავად განსაჯეთ: \[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((ბ)^(3))=64\მარჯვენა arrow b=4\cdot 4\cdot 4\rightarrow b=4. \\ \ბოლო (გასწორება)\] რა მოხდება, თუ $((b)^(3))=50$? გამოდის, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გარკვეული რიცხვი, რომელიც თავის თავზე სამჯერ გამრავლებისას მოგვცემს 50-ს. მაგრამ რა არის ეს რიცხვი? ის აშკარად მეტია 3-ზე, ვინაიდან 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. ანუ ეს რიცხვი სადღაც სამიდან ოთხს შორისაა, მაგრამ ვერ გაიგებთ რის ტოლია. სწორედ ამიტომ გამოვიდნენ მათემატიკოსებმა $n$th ფესვები. სწორედ ამიტომ შემოვიდა რადიკალური სიმბოლო $\sqrt(*)$. აღვნიშნოთ თავად რიცხვი $b$, რომელიც მითითებული ხარისხით მოგვცემს ადრე ცნობილ მნიშვნელობას \[\sqrt[n](a)=b\მარჯვენა ისარი ((b)^(n))=a\] მე არ ვკამათობ: ხშირად ეს ფესვები ადვილად გამოითვლება - ზემოთ ვნახეთ რამდენიმე ასეთი მაგალითი. მაგრამ მაინც, უმეტეს შემთხვევაში, თუ თქვენ ფიქრობთ თვითნებურ რიცხვზე და შემდეგ ცდილობთ მისგან თვითნებური ხარისხის ფესვის ამოღებას, საშინელი უბედურება დაგემუქრებათ. Რა არის იქ! უმარტივესი და ყველაზე ნაცნობი $\sqrt(2)$ კი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჩვენი ჩვეული ფორმით - როგორც მთელი რიცხვი ან წილადი. და თუ შეიყვანთ ამ რიცხვს კალკულატორში, ნახავთ ამას: \[\sqrt(2)=1.414213562...\] როგორც ხედავთ, ათობითი წერტილის შემდეგ არის რიცხვების გაუთავებელი თანმიმდევრობა, რომელიც არ ემორჩილება არანაირ ლოგიკას. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ ამ რიცხვის დამრგვალება, რათა სწრაფად შეადაროთ სხვა რიცხვებს. Მაგალითად: \[\sqrt(2)=1.4142...\დაახლოებით 1.4 \lt 1.5\] ან აი კიდევ ერთი მაგალითი: \[\sqrt(3)=1.73205...\დაახლოებით 1.7 \gt 1.5\] მაგრამ ყველა ეს დამრგვალება, პირველ რიგში, საკმაოდ უხეშია; და მეორეც, თქვენ ასევე უნდა გქონდეთ მიახლოებითი მნიშვნელობებით მუშაობა, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეგიძლიათ დაიჭიროთ არაადეკვატური შეცდომები (სხვათა შორის, შედარებისა და დამრგვალების უნარი საჭიროა პროფილზე ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ტესტირება). მაშასადამე, სერიოზულ მათემატიკაში ფესვების გარეშე შეუძლებელია - ისინი $\mathbb(R)$-ის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის იგივე თანაბარი წარმომადგენლები არიან, ისევე როგორც ჩვენთვის დიდი ხანია ნაცნობი წილადები და მთელი რიცხვები. ფესვის წარმოდგენის შეუძლებლობა $\frac(p)(q)$ ფორმის წილადად ნიშნავს, რომ ეს ფესვი არ არის რაციონალური რიცხვი. ასეთ რიცხვებს ირაციონალურს უწოდებენ და მათი ზუსტად წარმოდგენა შეუძლებელია, გარდა რადიკალური ან ამისთვის სპეციალურად შექმნილი სხვა კონსტრუქციების (ლოგარითმები, სიმძლავრეები, ლიმიტები და ა.შ.) დახმარებით. მაგრამ ამაზე უფრო სხვა დროს. განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, სადაც, ყველა გამოთვლების შემდეგ, ირაციონალური რიცხვები კვლავ დარჩება პასუხში. \[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\დაახლოებით 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\დაახლოებით -1.2599... \\ \ბოლო (გასწორება)\] ბუნებრივია, ფესვის გარეგნობიდან თითქმის შეუძლებელია გამოცნობა რა რიცხვები მოვა ათობითი წერტილის შემდეგ. თუმცა, თქვენ შეგიძლიათ დაეყრდნოთ კალკულატორს, მაგრამ ყველაზე მოწინავე თარიღის კალკულატორიც კი გვაძლევს მხოლოდ ირაციონალური რიცხვის პირველ რამდენიმე ციფრს. ამიტომ ბევრად უფრო სწორია პასუხების დაწერა $\sqrt(5)$ და $\sqrt(-2)$ სახით. სწორედ ამიტომ გამოიგონეს ისინი. პასუხების მოსახერხებლად ჩასაწერად. ყურადღებიანმა მკითხველმა ალბათ უკვე შენიშნა, რომ მაგალითებში მოცემული ყველა კვადრატული ფესვი დადებითი რიცხვებიდან არის აღებული. ისე, ყოველ შემთხვევაში ნულიდან. მაგრამ კუბის ფესვები შეიძლება მშვიდად ამოიღოთ აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვიდან - იქნება ეს დადებითი თუ უარყოფითი. Რატომ ხდება ეს? შეხედეთ $y=(x)^(2))$ ფუნქციის გრაფიკს: შევეცადოთ გამოვთვალოთ $\sqrt(4)$ ამ გრაფიკის გამოყენებით. ამისთვის დიაგრამაზე იხაზება ჰორიზონტალური ხაზი $y=4$ (მონიშნულია წითლად), რომელიც კვეთს პარაბოლას ორ წერტილში: $((x)_(1))=2$ და $((x). )_(2)) =-2$. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან პირველი რიცხვით ყველაფერი ნათელია - ის დადებითია, ამიტომ არის ფესვი: მაგრამ მერე რა ვუყოთ მეორე პუნქტს? თითქოს ოთხს ერთდროულად ორი ფესვი აქვს? ბოლოს და ბოლოს, თუ −2 რიცხვს კვადრატში გამოვყოფთ, ასევე მივიღებთ 4-ს. რატომ არ დავწეროთ $\sqrt(4)=-2$ მაშინ? და რატომ უყურებენ მასწავლებლები ასეთ პოსტებს, თითქოს შენი ჭამა უნდათ? :) უბედურება ის არის, რომ თუ რაიმე დამატებით პირობებს არ დააწესებთ, მაშინ ოთხკუთხედს ექნება ორი კვადრატული ფესვი - დადებითი და უარყოფითი. და ნებისმიერ დადებით რიცხვს ასევე ექნება ორი მათგანი. მაგრამ უარყოფით რიცხვებს საერთოდ არ ექნებათ ფესვები - ეს ჩანს იმავე გრაფიკიდან, რადგან პარაბოლა არასოდეს ეცემა ღერძის ქვემოთ. წ, ე.ი. არ იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს. მსგავსი პრობლემა ჩნდება ყველა ფესვისთვის ლუწი მაჩვენებლით: სწორედ ამიტომ, $n$ ლუწი ხარისხის ფესვის განსაზღვრაში კონკრეტულად არის გათვალისწინებული, რომ პასუხი უნდა იყოს არაუარყოფითი რიცხვი. ასე ვიხსნით გაურკვევლობას. მაგრამ კენტი $n$-ისთვის ასეთი პრობლემა არ არის. ამის სანახავად გადავხედოთ $y=((x)^(3))$ ფუნქციის გრაფიკს: ამ გრაფიკიდან ორი დასკვნის გამოტანა შეიძლება: სამწუხაროა, რომ ეს მარტივი რამ არ არის ახსნილი უმეტეს სახელმძღვანელოებში. ამის ნაცვლად, ჩვენი ტვინი იწყებს ამაღლებას ყველა სახის არითმეტიკული ფესვებით და მათი თვისებებით. დიახ, მე არ ვკამათობ: თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ რა არის არითმეტიკული ფესვი. და ამაზე დეტალურად ვისაუბრებ ცალკე გაკვეთილზე. დღეს ჩვენ ასევე ვისაუბრებთ მასზე, რადგან ამის გარეშე ყველა ფიქრი $n$-th სიმრავლის ფესვებზე არასრული იქნებოდა. მაგრამ ჯერ ნათლად უნდა გესმოდეთ განმარტება, რომელიც მე ზემოთ მოვიყვანე. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ტერმინების სიმრავლის გამო, ისეთი არეულობა დაიწყება თქვენს თავში, რომ საბოლოოდ ვერაფერს გაიგებთ. საკმარისია გაიგოთ განსხვავება ლუწ და კენტ ინდიკატორებს შორის. ამიტომ, კიდევ ერთხელ შევაგროვოთ ყველაფერი, რაც ნამდვილად უნდა იცოდეთ ფესვების შესახებ: რთულია? არა, არ არის რთული. Ნათელია? დიახ, ეს სრულიად გასაგებია! ახლა ჩვენ ცოტას ვივარჯიშებთ გამოთვლებით. ფესვებს ბევრი უცნაური თვისება და შეზღუდვა აქვთ - ეს ცალკე გაკვეთილზე იქნება განხილული. ამიტომ, ახლა განვიხილავთ მხოლოდ ყველაზე მნიშვნელოვან "ხრიკს", რომელიც ეხება მხოლოდ ფესვებს თანაბარი ინდექსით. მოდით დავწეროთ ეს თვისება ფორმულის სახით: \[\sqrt(((x)^(2n)))=\მარცხენა| x\მარჯვნივ|\] სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვს გავზრდით ლუწი ხარისხამდე და შემდეგ გამოვყოფთ იმავე სიმძლავრის ფესვს, მივიღებთ არა თავდაპირველ რიცხვს, არამედ მის მოდულს. ეს არის მარტივი თეორემა, რომლის დამტკიცებაც შესაძლებელია (საკმარისია ცალკე განვიხილოთ არაუარყოფითი $x$, შემდეგ კი უარყოფითი). ამაზე მუდმივად საუბრობენ მასწავლებლები, ეს ყველა სასკოლო სახელმძღვანელოშია მოცემული. მაგრამ როგორც კი საქმე ეხება ირაციონალური განტოლებების ამოხსნას (ანუ განტოლებები, რომლებიც შეიცავს რადიკალურ ნიშანს), სტუდენტებს ერთხმად ავიწყდებათ ეს ფორმულა. საკითხის დეტალურად გასაგებად, მოდით, ერთი წუთით დავივიწყოთ ყველა ფორმულა და შევეცადოთ გამოვთვალოთ ორი რიცხვი პირდაპირ: \[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4)))=?\] ეს არის ძალიან მარტივი მაგალითები. ადამიანების უმეტესობა გადაჭრის პირველ მაგალითს, მაგრამ ბევრი ადამიანი ჩერდება მეორეზე. ნებისმიერი ასეთი სისულელის უპრობლემოდ მოსაგვარებლად, ყოველთვის გაითვალისწინეთ პროცედურა: მოდით შევხედოთ პირველ გამონათქვამს: $\sqrt((3)^(4)))$. ცხადია, თქვენ ჯერ უნდა გამოთვალოთ გამოხატულება ფესვის ქვეშ: \[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\] შემდეგ გამოვყოფთ 81 რიცხვის მეოთხე ფესვს: ახლა იგივე გავაკეთოთ მეორე გამონათქვამთან დაკავშირებით. პირველ რიგში, ჩვენ ვზრდით რიცხვს −3 მეოთხე ხარისხზე, რაც მოითხოვს მის 4-ჯერ გამრავლებას: \[((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4))=\left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \ მარცხენა (-3 \მარჯვნივ)=81\] ჩვენ მივიღეთ დადებითი რიცხვი, რადგან პროდუქტში მინუსების ჯამური რაოდენობა არის 4 და ისინი ყველა გააუქმებენ ერთმანეთს (ბოლოს და ბოლოს, მინუს მინუსს აძლევს პლუსს). შემდეგ კვლავ გამოვყავით ფესვი: პრინციპში, ეს სტრიქონი ვერ დაიწერა, რადგან უაზროა, რომ პასუხი იგივე იქნებოდა. იმათ. ერთი და იგივე სიმძლავრის თანაბარი ფესვი "წვავს" მინუსებს და ამ თვალსაზრისით შედეგი არ განსხვავდება ჩვეულებრივი მოდულისგან: \[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \მარჯვნივ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \მარჯვნივ))^(4)))=\მარცხნივ| -3 \მარჯვნივ|=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\] ეს გამოთვლები კარგად ემთხვევა ლუწი ხარისხის ფესვის განსაზღვრას: შედეგი ყოველთვის არაუარყოფითია და რადიკალური ნიშანი ასევე ყოველთვის შეიცავს არაუარყოფით რიცხვს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ფესვი არ არის განსაზღვრული. ამრიგად, არავითარ შემთხვევაში არ უნდა შემცირდეს დაუფიქრებლად ფესვები და ხარისხები, რითაც თითქოსდა „გამარტივდეს“ ორიგინალური გამოთქმა. რადგან თუ ფესვს აქვს უარყოფითი რიცხვი და მისი მაჩვენებელი ლუწია, მივიღებთ ამოცანების წყებას. თუმცა, ყველა ეს პრობლემა აქტუალურია მხოლოდ თუნდაც ინდიკატორებისთვის. ბუნებრივია, კენტი მაჩვენებლების მქონე ფესვებსაც აქვთ საკუთარი თავისებურება, რაც პრინციპში არ არსებობს ლუწებთან. კერძოდ: \[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\] მოკლედ, თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ მინუსი უცნაური ხარისხის ფესვების ნიშნის ქვეშ. ეს არის ძალიან სასარგებლო თვისება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ "გადააგდოთ" ყველა უარყოფითი მხარე: \[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \ბოლო (გასწორება)\] ეს მარტივი თვისება მნიშვნელოვნად ამარტივებს ბევრ გამოთვლას. ახლა თქვენ არ გჭირდებათ ინერვიულოთ: რა მოხდება, თუ უარყოფითი გამონათქვამი დამალული იყო ფესვის ქვეშ, მაგრამ ფესვის ხარისხი თანაბარი აღმოჩნდა? საკმარისია ყველა მინუსი ფესვების გარეთ „გადააგდოს“, რის შემდეგაც ისინი შეიძლება გამრავლდეს ერთმანეთზე, გაიყოს და საერთოდ ბევრი საეჭვო რამის გაკეთება, რაც „კლასიკური“ ფესვების შემთხვევაში გარანტირებული მიგვიყვანს. შეცდომა. და აქ სცენაზე ჩნდება სხვა განმარტება - იგივე, რომლითაც უმეტეს სკოლებში იწყებენ ირაციონალური გამონათქვამების შესწავლას. და ამის გარეშე ჩვენი მსჯელობა არასრული იქნებოდა. Შეხვედრა! ერთი წუთით დავუშვათ, რომ ძირის ნიშნის ქვეშ შეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი რიცხვები ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ნული. დავივიწყოთ ლუწი/კენტი მაჩვენებლები, დავივიწყოთ ყველა ზემოთ მოცემული განმარტება - ვიმუშავებთ მხოლოდ არაუარყოფით რიცხვებზე. Რა იქნება შემდეგ? შემდეგ კი ჩვენ მივიღებთ არითმეტიკულ ფესვს - ის ნაწილობრივ ემთხვევა ჩვენს "სტანდარტულ" განმარტებებს, მაგრამ მაინც განსხვავდება მათგან. განმარტება. არაუარყოფითი რიცხვის $n$th ხარისხის არითმეტიკული ფესვი $a$ არის არაუარყოფითი რიცხვი $b$ ისეთი, რომ $((b)^(n))=a$. როგორც ვხედავთ, პარიტეტი აღარ გვაინტერესებს. ამის ნაცვლად, გამოჩნდა ახალი შეზღუდვა: რადიკალური გამოხატულება ახლა ყოველთვის არაუარყოფითია, ხოლო თავად ფესვი ასევე არაუარყოფითი. იმის გასაგებად, თუ როგორ განსხვავდება არითმეტიკული ფესვი ჩვეულებრივისგან, გადახედეთ კვადრატისა და კუბური პარაბოლის გრაფიკებს, რომლებსაც უკვე ვიცნობთ: როგორც ხედავთ, ამიერიდან ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ის გრაფიკები, რომლებიც განლაგებულია პირველ კოორდინატთა კვარტალში - სადაც $x$ და $y$ კოორდინატები დადებითია (ან მინიმუმ ნული). აღარ დაგჭირდებათ ინდიკატორის ყურება იმის გასაგებად, გვაქვს თუ არა უფლება ფესვის ქვეშ უარყოფითი რიცხვის ჩასმა. რადგან უარყოფითი რიცხვები პრინციპში აღარ განიხილება. თქვენ შეიძლება იკითხოთ: "კარგი, რატომ გვჭირდება ასეთი სტერილური განმარტება?" ან: "რატომ ვერ მივაღწევთ ზემოთ მოცემულ სტანდარტულ განმარტებას?" ისე, მე მივცემ მხოლოდ ერთ ქონებას, რის გამოც ახალი განმარტება ხდება შესაბამისი. მაგალითად, ექსპონენტაციის წესი: \[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\] გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ჩვენ შეგვიძლია რადიკალური გამოხატულება ავიყვანოთ ნებისმიერ სიმძლავრემდე და ამავდროულად გავამრავლოთ ფესვის მაჩვენებელი იმავე სიმძლავრეზე - და შედეგი იქნება იგივე რიცხვი! აქ არის მაგალითები: \[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \ბოლო(გასწორება)\] მაშ რა არის დიდი საქმე? რატომ არ შეგვეძლო ამის გაკეთება ადრე? აი რატომ. განვიხილოთ მარტივი გამოთქმა: $\sqrt(-2)$ - ეს რიცხვი საკმაოდ ნორმალურია ჩვენი კლასიკური გაგებით, მაგრამ აბსოლუტურად მიუღებელია არითმეტიკული ფესვის თვალსაზრისით. შევეცადოთ მისი გადაკეთება: $\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \მარჯვნივ))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (გასწორება)$ როგორც ხედავთ, პირველ შემთხვევაში მინუსი ამოვიღეთ რადიკალის ქვეშ (ჩვენ გვაქვს ყველა უფლება, რადგან მაჩვენებელი უცნაურია), ხოლო მეორე შემთხვევაში გამოვიყენეთ ზემოაღნიშნული ფორმულა. იმათ. მათემატიკური თვალსაზრისით, ყველაფერი კეთდება წესების მიხედვით. WTF?! როგორ შეიძლება ერთი და იგივე რიცხვი იყოს დადებითიც და უარყოფითიც? Არ არსებობს გზა. უბრალოდ, სიძლიერის ფორმულა, რომელიც მშვენივრად მუშაობს დადებით რიცხვებზე და ნულზე, იწყებს სრული ერესის წარმოქმნას უარყოფითი რიცხვების შემთხვევაში. სწორედ ასეთი ბუნდოვანებისგან თავის დასაღწევად გამოიგონეს არითმეტიკული ფესვები. მათ ეძღვნება ცალკე დიდი გაკვეთილი, სადაც დეტალურად განვიხილავთ მათ ყველა თვისებას. ასე რომ, ჩვენ ახლა მათზე არ ვისაუბრებთ - გაკვეთილი უკვე ძალიან გრძელი აღმოჩნდა. დიდხანს ვფიქრობდი, ეს თემა ცალკე აბზაცში ჩამეტანა თუ არა. ბოლოს გადავწყვიტე აქ დამეტოვებინა. ეს მასალა განკუთვნილია მათთვის, ვისაც სურს ფესვების კიდევ უფრო კარგად გაგება - აღარ არის საშუალო "სკოლის" დონეზე, არამედ ოლიმპიადასთან ახლოს. ასე რომ: რიცხვის $n$th ფესვის „კლასიკური“ განმარტებისა და ასოცირებული დაყოფის ლუწ და კენტ მაჩვენებლებად გარდა, არსებობს უფრო „ზრდასრული“ განმარტება, რომელიც საერთოდ არ არის დამოკიდებული პარიტეტზე და სხვა დახვეწილობაზე. ამას ალგებრული ფესვი ჰქვია. განმარტება. ნებისმიერი $a$-ის ალგებრული $n$th ფესვი არის $b$ ყველა რიცხვის სიმრავლე, რომ $((b)^(n))=a$. ასეთი ფესვებისთვის დადგენილი აღნიშვნა არ არსებობს, ასე რომ, ჩვენ მხოლოდ ტირეს დავდებთ თავზე: \[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \მარჯვნივ. \მარჯვნივ\) \] ფუნდამენტური განსხვავება გაკვეთილის დასაწყისში მოცემული სტანდარტული განმარტებისგან არის ის, რომ ალგებრული ფესვი არის არა კონკრეტული რიცხვი, არამედ სიმრავლე. და რადგან ჩვენ ვმუშაობთ რეალურ რიცხვებთან, ეს ნაკრები მხოლოდ სამი ტიპისაა: ბოლო შემთხვევა უფრო დეტალურ განხილვას იმსახურებს. მოდი დავთვალოთ რამდენიმე მაგალითი, რომ გავიგოთ განსხვავება. მაგალითი. შეაფასეთ გამონათქვამები: \[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\] გამოსავალი. პირველი გამოთქმა მარტივია: \[\overline(\sqrt(4))=\მარცხნივ\( 2;-2 \მარჯვნივ\)\] ეს არის ორი რიცხვი, რომლებიც კომპლექტის ნაწილია. რადგან თითოეული მათგანი კვადრატში იძლევა ოთხს. \[\overline(\sqrt(-27))=\მარცხნივ\( -3 \მარჯვნივ\)\] აქ ჩვენ ვხედავთ კომპლექტს, რომელიც შედგება მხოლოდ ერთი ნომრისგან. ეს საკმაოდ ლოგიკურია, რადგან ფესვის მაჩვენებლები უცნაურია. და ბოლოს, ბოლო გამოთქმა: \[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \] ჩვენ მივიღეთ ცარიელი ნაკრები. რადგან არ არსებობს არც ერთი რეალური რიცხვი, რომელიც მეოთხე (ანუ ლუწი!) ხარისხზე აყვანისას მოგვცემს უარყოფით რიცხვს -16. დასკვნითი შენიშვნა. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: შემთხვევითი არ იყო, რომ ყველგან აღვნიშნე, რომ ჩვენ ვმუშაობთ რეალურ რიცხვებზე. რადგან კომპლექსური რიცხვებიც არის - იქ $\sqrt(-16)$-ის გამოთვლა სავსებით შესაძლებელია და კიდევ ბევრი უცნაური რამ. თუმცა, რთული რიცხვები თითქმის არასოდეს ჩნდება თანამედროვე სკოლის მათემატიკის კურსებში. ისინი ამოღებულია სახელმძღვანელოების უმეტესობიდან, რადგან ჩვენი ჩინოვნიკები ამ თემას „ზედმეტად რთულად გასაგებად“ მიიჩნევენ. Სულ ეს არის. შემდეგ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ ფესვების ყველა ძირითად თვისებას და ბოლოს ვისწავლით როგორ გავამარტივოთ ირაციონალური გამონათქვამები. :)
ყველა თვისება ჩამოყალიბებულია და დადასტურებულია მხოლოდ ფესვების ნიშნების ქვეშ მყოფი ცვლადების არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის.
მოკლე(თუმცა არაზუსტი) ფორმულირება, რომელიც უფრო მოსახერხებელია პრაქტიკაში გამოსაყენებლად: წილადის ფესვი უდრის ფესვების წილადს.
ეს არის თეორემა 1-ის შედეგი. ფაქტობრივად, მაგალითად, k = 3-ისთვის ვიღებთ: ზუსტად იგივენაირად შეგვიძლია მსჯელობა k მაჩვენებლის ნებისმიერი სხვა ბუნებრივი სიდიდის შემთხვევაში.
Მაგალითად,
მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ დავწერო Really, მაგრამ ეს აშკარაა
მაგალითი 1.გამოთვალეთ
გამოსავალი.ფესვების პირველი თვისების გამოყენებით (თეორემა 1), ვიღებთ:
გამოსავალი.შერეული რიცხვის გადაქცევა არასწორ წილადად.
ჩვენ გვაქვს ფესვების მეორე თვისების გამოყენება ( თეორემა 2
), ვიღებთ:
რატომ არის საჭირო ფესვები საერთოდ?
რატომ არის საჭირო ორი განმარტება?
კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი იძლევა ორ ფესვს: დადებითი და უარყოფითი 
კუბის პარაბოლას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, ამიტომ კუბის ფესვის აღება შესაძლებელია ნებისმიერი რიცხვიდან
ძირითადი თვისებები და შეზღუდვები
შენიშვნა პროცედურის შესახებ
მინუს ნიშნის ამოღება ფესვის ნიშნის ქვეშ
არითმეტიკული ფესვი
არითმეტიკული ფესვის საძიებო არე - არაუარყოფითი რიცხვები ალგებრული ფესვი: მათთვის, ვისაც სურს მეტი იცოდეს
