სინუსი 2 რიცხვით წრეზე. განტოლება არის sin x = a. ჩვენ ვვარჯიშობთ, რათა ვიპოვოთ სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობები წრეში

ვარჯიში.
იპოვეთ x-ის მნიშვნელობა ზე.

გამოსავალი.
ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობის პოვნა, რომლის დროსაც იგი უდრის ნებისმიერ მნიშვნელობას, ნიშნავს იმის დადგენას, რომელ არგუმენტებზე იქნება სინუსის მნიშვნელობა ზუსტად ისე, როგორც მითითებულია პირობაში.
ამ შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გავარკვიოთ, რა მნიშვნელობებზე იქნება სინუსის მნიშვნელობა 1/2-ის ტოლი. ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით.
მაგალითად, გამოიყენეთ, რომლითაც განვსაზღვროთ x-ის რომელ მნიშვნელობებზე იქნება სინუს ფუნქცია 1/2-ის ტოლი.
კიდევ ერთი გზაა გამოყენება. შეგახსენებთ, რომ სინუსების მნიშვნელობები დევს Oy ღერძზე.
ყველაზე გავრცელებული გზაა გამოყენება, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც საქმე გვაქვს მნიშვნელობებთან, რომლებიც სტანდარტულია ამ ფუნქციისთვის, როგორიცაა 1/2.
ყველა შემთხვევაში არ უნდა დავივიწყოთ სინუსის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება - მისი პერიოდი.
მოდი ვიპოვოთ ცხრილის სინუს 1/2 მნიშვნელობა და ვნახოთ რა არგუმენტები შეესაბამება მას. არგუმენტები, რომლებიც ჩვენ გვაინტერესებს არის Pi / 6 და 5Pi / 6.
ჩამოვწეროთ ყველა ფესვი, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ განტოლებას. ამისათვის ჩვენ ვწერთ უცნობი არგუმენტს x, რომელიც გვაინტერესებს და ცხრილიდან მიღებული არგუმენტის ერთ-ერთ მნიშვნელობას, ანუ Pi / 6. ჩვენ ვწერთ მას სინუსის პერიოდის გათვალისწინებით. არგუმენტის ყველა მნიშვნელობა:

ავიღოთ მეორე მნიშვნელობა და მივყვეთ იგივე ნაბიჯებს, როგორც წინა შემთხვევაში:

თავდაპირველი განტოლების სრული ამოხსნა იქნება:
და
ქშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მთელი რიცხვის მნიშვნელობა.

ტრიგონომეტრიულ წრეზე, გარდა კუთხეების გრადუსით, ჩვენ ვაკვირდებით .

მეტი ინფორმაცია რადიანების შესახებ:

რადიანი განისაზღვრება, როგორც რკალის კუთხური მნიშვნელობა, რომლის სიგრძე უდრის მის რადიუსს. შესაბამისად, ვინაიდან გარშემოწერილობა უდრის , მაშინ აშკარაა, რომ რადიანები ჯდება წრეში, ანუ

1 რადი ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

ყველამ იცის, რომ რადიანია

ასე, მაგალითად, და. ასე ჩვენ ისწავლა რადიანების კუთხეებად გადაქცევა.

ახლა პირიქითაა გადავიყვანოთ გრადუსები რადიანებად.

ვთქვათ, უნდა გადავიყვანოთ რადიანებად. ეს დაგვეხმარება. ჩვენ ვაგრძელებთ შემდეგნაირად:

ვინაიდან რადიანები, შევავსოთ ცხრილი:

ჩვენ ვვარჯიშობთ, რათა ვიპოვოთ სინუსის და კოსინუსის მნიშვნელობები წრეში

მოდით დავაზუსტოთ შემდეგი.

კარგი, კარგი, თუ გამოთვლას გვთხოვენ, ვთქვათ, - როგორც წესი, აქ დაბნეულობა არ არის - ყველა ჯერ წრეზე იწყებს ყურებას.

და თუ მოგეთხოვებათ გამოთვლა, მაგალითად,... ბევრი ადამიანი უცებ იწყებს გაუგებრობას, სად უნდა ეძებოს ეს ნული... ისინი ხშირად ეძებენ მას საწყისში. რატომ?

1) ერთხელ და სამუდამოდ შევთანხმდეთ!რა მოდის შემდეგ ან არის არგუმენტი = კუთხე და ჩვენი კუთხეები მდებარეობს წრეზე, ნუ ეძებ მათ ცულებზე!(უბრალოდ ცალკეული წერტილები ეცემა წრეზეც და ღერძზეც...) და ჩვენ ვეძებთ სინუსების და თავად კოსინუსების მნიშვნელობებს ღერძებზე!

2) და კიდევ ერთი რამ!თუ „საწყის“ პუნქტს გადავუხვიეთ საათის საწინააღმდეგოდ(ტრიგონომეტრიული წრის გადაკვეთის ძირითადი მიმართულება), შემდეგ ჩვენ გადავდებთ კუთხეების დადებით მნიშვნელობებსამ მიმართულებით მოძრაობისას კუთხის მნიშვნელობები იზრდება.

თუ „საწყის“ პუნქტს გადავუხვიეთ საათის ისრის მიმართულებით, შემდეგ გამოვსახავთ უარყოფითი კუთხის მნიშვნელობებს.

მაგალითი 1.

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

ჩვენ ვპოულობთ მას წრეზე. წერტილს ვაპროექტებთ სინუს ღერძზე (ანუ ვხატავთ პერპენდიკულარს წერტილიდან სინუს ღერძამდე (oy)).

ჩვენ მივდივართ 0. ასე რომ, .

მაგალითი 2.

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

ჩვენ ვპოულობთ მას წრეზე (ჩვენ მივდივართ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ და ისევ). ჩვენ ვაპროექტებთ წერტილს სინუსურ ღერძზე (და ის უკვედევს სინუსების ღერძზე).

ჩვენ მივიღებთ -1-ს სინუსური ღერძის გასწვრივ.

გაითვალისწინეთ, რომ წერტილის უკან არის „დამალული“ წერტილები, როგორიცაა (ჩვენ შეგვიძლია მივიდეთ წერტილზე, რომელიც მონიშნულია, საათის ისრის მიმართულებით, რაც ნიშნავს მინუს ნიშნის გამოჩენას) და უსასრულოდ ბევრი სხვა.

ჩვენ შეგვიძლია მივცეთ შემდეგი ანალოგი:

წარმოვიდგინოთ ტრიგონომეტრიული წრე, როგორც სტადიონის სარბენი ბილიკი.

თქვენ შეიძლება აღმოჩნდეთ "დროშის" წერტილში, დასაწყისიდან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ დაწყებული, ირბინეთ, ვთქვათ, 300 მ. ან ირბინეთ, ვთქვათ, 100 მ საათის ისრის მიმართულებით (ვვარაუდობთ, რომ ბილიკის სიგრძეა 400 მ).

თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაასრულოთ დროშის წერტილში (დაწყების შემდეგ) რბენით, ვთქვათ, 700მ, 1100მ, 1500მ და ა.შ. საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. თქვენ შეგიძლიათ დაასრულოთ დროშის წერტილში 500 მ ან 900 მ სირბილით და ა.შ. საათის ისრის მიმართულებით დასაწყისიდან.

გონებრივად გადააქციეთ სტადიონის სარბენი ბილიკი რიცხვით ხაზად. წარმოიდგინეთ, სად იქნება ამ ხაზზე მნიშვნელობები 300, 700, 1100, 1500 და ა.შ., მაგალითად. რიცხვთა წრფეზე დავინახავთ წერტილებს, რომლებიც ერთმანეთისგან თანაბრად არის დაშორებული. დავუბრუნდეთ წრეს. წერტილები „ერთად ერწყმის“ ერთს.

ასეა ტრიგონომეტრიულ წრეშიც. ყოველი წერტილის მიღმა უსაზღვროდ ბევრი სხვა იმალება.

ვთქვათ კუთხეები , , და ა.შ. წარმოდგენილია ერთი წერტილით. და მათში სინუსისა და კოსინუსის მნიშვნელობები, რა თქმა უნდა, ემთხვევა. (შეგიმჩნევიათ, რომ დავამატეთ/გამოვაკლეთ ან ? ეს არის სინუსის და კოსინუსური ფუნქციის პერიოდი.)

მაგალითი 3.

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

მოდით გადავიყვანოთ ხარისხებად სიმარტივისთვის.

(მოგვიანებით, როცა ტრიგონომეტრიულ წრეს შეეგუებით, რადიანების გრადუსებად გადაქცევა აღარ დაგჭირდებათ):

ჩვენ გადავალთ საათის ისრის მიმართულებით წერტილიდან ჩვენ წავალთ ნახევარ წრეზე () და მეორე

ჩვენ გვესმის, რომ სინუსის მნიშვნელობა ემთხვევა სინუსის მნიშვნელობას და ტოლია

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ავიღებთ, მაგალითად, ან და ა.შ., მაშინ მივიღებთ იგივე სინუს მნიშვნელობას.

მაგალითი 4.

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

თუმცა, ჩვენ არ გადავიყვანთ რადიანებს ხარისხებად, როგორც წინა მაგალითში.

ანუ, ჩვენ უნდა ვიაროთ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ნახევარი წრის და მეორე მეოთხედი ნახევარი წრის მიმართულებით და მივიღოთ მიღებული წერტილი კოსინუს ღერძზე (ჰორიზონტალური ღერძი).

მაგალითი 5.

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

როგორ დავხატოთ ტრიგონომეტრიულ წრეზე?

თუ გავივლით ან, ყოველ შემთხვევაში, მაინც აღმოვჩნდებით იმ წერტილში, რომელიც ჩვენ დავნიშნეთ, როგორც "დაწყება". ამიტომ, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გადახვიდეთ წრის წერტილზე

მაგალითი 6.

იპოვნეთ ღირებულება.

გამოსავალი:

ჩვენ მივაღწევთ წერტილს (ის მაინც მიგვიყვანს ნულამდე). ჩვენ ვაპროექტებთ წრის წერტილს კოსინუსების ღერძზე (იხ. ტრიგონომეტრიული წრე), ჩვენ აღმოვჩნდებით . ანუ .

ტრიგონომეტრიული წრე თქვენს ხელშია

თქვენ უკვე გესმით, რომ მთავარია გახსოვდეთ პირველი კვარტლის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები. დანარჩენ კვარტალებში ყველაფერი მსგავსია, თქვენ უბრალოდ უნდა დაიცვათ ნიშნები. და იმედი მაქვს, რომ არ დაივიწყებთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების "კიბეების ჯაჭვს".

როგორ მოვძებნოთ ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობებიძირითადი კუთხეები.

რის შემდეგაც გაეცანით ტანგენტისა და კოტანგენტის ძირითად მნიშვნელობებს, შეგიძლიათ გაიაროთ

ცარიელ წრის შაბლონზე. მატარებელი!

სინუსური მნიშვნელობები მოცემულია ინტერვალში [-1; 1], ე.ი. -1 ≤ sin α ≤ 1. ამიტომ, თუ |a| > 1, მაშინ განტოლებას sin x = a არ აქვს ფესვები. მაგალითად, განტოლებას sin x = 2 არ აქვს ფესვები.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე პრობლემას.

ამოხსენით განტოლება sin x = 1/2.

გამოსავალი.

გაითვალისწინეთ, რომ sin x არის წერტილის ორდინატი ერთეულ წრეზე, რომელიც მიიღება წერტილის P (1; 0) x კუთხით საწყისის გარშემო ბრუნვით.

½-ის ტოლი ორდინატი არის M 1 და M 2 წრის ორ წერტილში.

ვინაიდან 1/2 = sin π/6, მაშინ M 1 წერტილი მიიღება P წერტილიდან (1; 0) x 1 = π/6 კუთხით ბრუნვით, ასევე x = π/6 + 2πk კუთხით, სადაც k. = +/-1, +/-2,…

წერტილი M 2 მიიღება P წერტილიდან (1; 0) x 2 = 5π/6 კუთხით ბრუნვის შედეგად, ასევე x = 5π/6 + 2πk კუთხით, სადაც k = +/-1, + /-2, ... , ე.ი. კუთხეებით x = π – π/6 + 2πk, სადაც k = +/-1, +/-2, ….

ასე რომ, განტოლების ყველა ფესვი sin x = 1/2 შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk, სადაც k € Z.

ეს ფორმულები შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: x = (-1) n π/6 + πn, სადაც n € Z (1).

მართლაც, თუ n არის ლუწი რიცხვი, ე.ი. n = 2k, მაშინ (1) ფორმულიდან ვიღებთ x = π/6 + 2πk და თუ n კენტი რიცხვია, ე.ი. n = 2k + 1, შემდეგ ფორმულიდან (1) ვიღებთ x = π – π/6 + 2πk.

უპასუხე. x = (-1) n π/6 + πn, სადაც n € Z.

ამოხსენით განტოლება sin x = -1/2.

გამოსავალი.

ორდინატს -1/2 აქვს M 1 და M 2 ერთეული წრის ორი წერტილი, სადაც x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. შესაბამისად, განტოლების ყველა ფესვი sin x = -1/2 შეიძლება მოიძებნოს x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z ფორმულების გამოყენებით.

ჩვენ შეგვიძლია გავაერთიანოთ ეს ფორმულები ერთში: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).

მართლაც, თუ n = 2k, მაშინ ფორმულის გამოყენებით (2) ვიღებთ x = -π/6 + 2πk და თუ n = 2k – 1, მაშინ ფორმულის გამოყენებით (2) ვპოულობთ x = -5π/6 + 2πk.

უპასუხე. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.

ამრიგად, თითოეულ განტოლებას sin x = 1/2 და sin x = -1/2 აქვს ფესვების უსასრულო რაოდენობა.

სეგმენტზე -π/2 ≤ x ≤ π/2, თითოეულ ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი:
x 1 = π/6 არის განტოლების ფესვი sin x = 1/2 და x 1 = -π/6 არის განტოლების ფესვი sin x = -1/2.

რიცხვს π/6 ეწოდება 1/2 რიცხვის რკალი და იწერება: arcsin 1/2 = π/6; რიცხვს -π/6 ეწოდება -1/2 რიცხვის რკალი და იწერება: arcsin (-1/2) = -π/6.

ზოგადად, განტოლებას sin x = a, სადაც -1 ≤ a ≤ 1, აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი სეგმენტზე -π/2 ≤ x ≤ π/2. თუ a ≥ 0, მაშინ ფესვი შედის ინტერვალში; თუ< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

ამრიგად, რიცხვის რკალი a € [–1; 1] ასეთ რიცხვს ეწოდება € [–π/2; π/2], რომლის სინუსი ტოლია a.

аrcsin а = α, თუ sin α = а და -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).

მაგალითად, аrcsin √2/2 = π/4, ვინაიდან sin π/4 = √2/2 და – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, ვინაიდან sin (-π/3) = -√3/2 და – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

ისევე, როგორც ეს გაკეთდა 1 და 2 ამოცანების ამოხსნისას, შეიძლება აჩვენოს, რომ განტოლების ფესვები sin x = a, სადაც |a| ≤ 1, გამოხატული ფორმულით

x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).

ჩვენ ასევე შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი € [-1; 1] ფორმულა аrcsin (-а) = -аrcsin а მოქმედებს.

ფორმულიდან (4) გამომდინარეობს, რომ განტოლების ფესვები
sin x = a = 0-სთვის, a = 1, a = -1 შეგიძლიათ იპოვოთ მარტივი ფორმულების გამოყენებით:

sin x = 0 x = πn, n € Z (5)

sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)

sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

ნებისმიერი დონის სირთულის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა საბოლოოდ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნამდე მოდის. და ამაში ტრიგონომეტრიული წრე ისევ საუკეთესო ასისტენტი გამოდის.

გავიხსენოთ კოსინუსის და სინუსის განმარტებები.

კუთხის კოსინუსი არის აბსცისა (ანუ კოორდინატი ღერძის გასწვრივ) წერტილის ერთეულ წრეზე, რომელიც შეესაბამება მოცემულ კუთხით ბრუნვას.

კუთხის სინუსი არის ერთეული წრის წერტილის ორდინატი (ანუ კოორდინატი ღერძის გასწვრივ), რომელიც შეესაბამება მოცემულ კუთხით ბრუნვას.

ტრიგონომეტრიულ წრეზე მოძრაობის დადებითი მიმართულება საათის ისრის საწინააღმდეგოა. ბრუნვა 0 გრადუსით (ან 0 რადიანით) შეესაბამება წერტილს კოორდინატებით (1;0)

ჩვენ ვიყენებთ ამ განმარტებებს მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოსახსნელად.

1. ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება დაკმაყოფილებულია ბრუნვის კუთხის ყველა მნიშვნელობით, რომელიც შეესაბამება წრის წერტილებს, რომელთა ორდინატი ტოლია.

მოდი აღვნიშნოთ წერტილი ორდინატით ორდინატთა ღერძზე:

დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი x ღერძის პარალელურად, სანამ ის არ გადაიკვეთება წრეზე. ვიღებთ ორ ქულას წრეზე დადებული და ორდინატი. ეს წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებში:

თუ რადიანზე ბრუნვის კუთხის შესაბამისი წერტილიდან დავტოვებთ სრულ წრეს, მაშინ მივიღებთ რადიანზე ბრუნვის კუთხის შესაბამის წერტილს და აქვს იგივე ორდინატი. ანუ ბრუნვის ეს კუთხეც აკმაყოფილებს ჩვენს განტოლებას. ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ იმდენი "უსაქმური" რევოლუცია, რამდენიც გვინდა, დავუბრუნდეთ იმავე წერტილს და ყველა ეს კუთხის მნიშვნელობა დააკმაყოფილებს ჩვენს განტოლებას. "უსაქმური" რევოლუციების რაოდენობა აღინიშნა ასოთი (ან). ვინაიდან ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ეს რევოლუციები როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მიმართულებით, (ან) შეგვიძლია მივიღოთ ნებისმიერი მთელი რიცხვი.

ანუ, საწყისი განტოლების ამონახსნების პირველ სერიას აქვს ფორმა:

, , - მთელი რიცხვების სიმრავლე (1)

ანალოგიურად, გადაწყვეტილებების მეორე სერიას აქვს ფორმა:

, სად , . (2)

როგორც თქვენ მიხვდით, ამონახსნების ეს სერია ეფუძნება წრის წერტილს, რომელიც შეესაბამება ბრუნვის კუთხეს .

გადაწყვეტილებების ეს ორი სერია შეიძლება გაერთიანდეს ერთ ჩანაწერში:

თუ ამ ჩანაწერში ავიღებთ (ანუ ლუწი), მაშინ მივიღებთ გადაწყვეტილებების პირველ სერიას.

თუ ამ ჩანაწერში ავიღებთ (ანუ კენტს), მაშინ მივიღებთ ამონახსნების მეორე სერიას.

2. ახლა მოდით ამოვხსნათ განტოლება

ვინაიდან ეს არის წერტილის აბსცისა ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია კუთხით ბრუნვით, ჩვენ აღვნიშნავთ წერტილს ღერძზე აბსცისით:

დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი ღერძის პარალელურად, სანამ არ გადაიკვეთება წრეზე. წრეზე დაწოლილი და აბსცისის მქონე ორ ქულას მივიღებთ. ეს წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებში. შეგახსენებთ, რომ საათის ისრის მიმართულებით მოძრაობისას ვიღებთ ბრუნვის უარყოფით კუთხეს:

მოდით დავწეროთ გადაწყვეტილებების ორი სერია:

(სასურველ წერტილამდე მივდივართ მთავარი სრული წრიდან, ანუ.

მოდით გავაერთიანოთ ეს ორი სერია ერთ ჩანაწერში:

3. ამოხსენით განტოლება

ტანგენსი გადის წერტილში კოორდინატებით (1,0) ერთეული წრის OY ღერძის პარალელურად.

მოდი ავღნიშნოთ მასზე 1-ის ტოლი ორდინატით (ჩვენ ვეძებთ ტანგენტს, რომლის კუთხეები უდრის 1-ს):

ეს წერტილი სწორი ხაზით დავუკავშიროთ კოორდინატების საწყისს და მოვნიშნოთ წრფის გადაკვეთის წერტილები ერთეულ წრესთან. სწორი ხაზისა და წრის გადაკვეთის წერტილები შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და:

ვინაიდან ბრუნვის კუთხეების შესაბამისი წერტილები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ჩვენს განტოლებას, ერთმანეთისგან რადიანების მანძილზეა, ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნა დავწეროთ ასე:

4. ამოხსენით განტოლება

კოტანგენტების ხაზი გადის ღერძის პარალელურად ერთეული წრის კოორდინატებით წერტილში.

კოტანგენტების ხაზზე აბსცისით -1 ავღნიშნოთ წერტილი:

დავუკავშიროთ ეს წერტილი სწორი ხაზის საწყისს და გავაგრძელოთ სანამ არ გადაიკვეთება წრეზე. ეს სწორი ხაზი გადაკვეთს წრეს იმ წერტილებში, რომლებიც შეესაბამება ბრუნვის კუთხეებს და რადიანებში: