Ძირითადი ცნებები
ჯერ გავიხსენოთ განმარტება ლუწი, კენტი და პერიოდული ფუნქციები.
განმარტება 2
ლუწი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც არ იცვლის თავის მნიშვნელობას დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშნის ცვლილებისას:
განმარტება 3
ფუნქცია, რომელიც იმეორებს თავის მნიშვნელობებს გარკვეული რეგულარული ინტერვალით:
T - ფუნქციის პერიოდი.
ლუწი და კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
განვიხილოთ შემდეგი სურათი (ნახ. 1):
სურათი 1.
აქ $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ და $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ არის ერთეული სიგრძის ვექტორები, სიმეტრიული $Ox$ ღერძის მიმართ.
აშკარაა, რომ ამ ვექტორების კოორდინატები დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით:
ვინაიდან სინუსის და კოსინუსების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დადგენა შესაძლებელია ერთეული ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, მივიღებთ, რომ სინუს ფუნქცია იქნება კენტი, ხოლო კოსინუს ფუნქცია იქნება ლუწი ფუნქცია, ანუ:
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობა
განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა (ნახ. 2).
სურათი 2.
აქ $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ არის ერთეული სიგრძის ვექტორი.
მოდით გავაკეთოთ სრული რევოლუცია $\overrightarrow(OA)$ ვექტორით. ანუ მოვატრიალოთ ეს ვექტორი $2\pi $ რადიანებით. ამის შემდეგ ვექტორი მთლიანად უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას.
ვინაიდან სინუსისა და კოსინუსების ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება განისაზღვროს ერთეული ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, მივიღებთ
ანუ სინუს და კოსინუს ფუნქციები პერიოდული ფუნქციებია უმცირესი პერიოდით $T=2\pi $.
ახლა განვიხილოთ ტანგენსის და კოტანგენტის ფუნქციები. ვინაიდან $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, მაშინ
ვინაიდან $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, მაშინ
ამოცანების მაგალითები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პარიტეტის, უცნაურობისა და პერიოდულობის გამოყენებით
მაგალითი 1
დაამტკიცეთ შემდეგი განცხადებები:
ა) $tg(385)^0=tg(25)^0$
გ) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
ა) $tg(385)^0=tg(25)^0$
ვინაიდან ტანგენტი არის პერიოდული ფუნქცია მინიმალური პერიოდით $(360)^0$, მივიღებთ
ბ) $(cos \left(-13\pi \მარჯვნივ)\ )=-1$
ვინაიდან კოსინუსი არის ლუწი და პერიოდული ფუნქცია, რომლის მინიმალური პერიოდია $2\pi $, მივიღებთ
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
გ) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
ვინაიდან სინუსი არის კენტი და პერიოდული ფუნქცია, რომლის მინიმალური პერიოდია $(360)^0$, მივიღებთ
თუ ავაშენებთ ერთეულ წრეს მისი ცენტრით საწყისზე და დავაყენებთ თვითნებურ მნიშვნელობას არგუმენტისთვის x 0და დათვალეთ ღერძიდან ოქსიკუთხე x 0, მაშინ ეს კუთხე ერთეულ წრეზე შეესაბამება გარკვეულ წერტილს ა(ნახ. 1) და მისი პროექცია ღერძზე ოჰიქნება წერტილი მ. მონაკვეთის სიგრძე OMწერტილის აბსცისის აბსოლუტური მნიშვნელობის ტოლია ა. მოცემული არგუმენტის მნიშვნელობა x 0ფუნქციის ღირებულება შედგენილია წ= cos x 0 აბსცისის წერტილების მსგავსად ა. შესაბამისად, წერტილი IN(x 0 ;ზე 0) ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს ზე= cos X(ნახ. 2). თუ წერტილი აარის ღერძის მარჯვნივ OU, მიმდინარე სინუსი იქნება დადებითი, მაგრამ თუ მარცხნივ იქნება უარყოფითი. მაგრამ მაინც, პერიოდი ავერ ტოვებს წრეს. მაშასადამე, კოსინუსი მდებარეობს -1-დან 1-მდე დიაპაზონში:
–1 = cos x = 1.
დამატებითი ბრუნვა ნებისმიერი კუთხით, 2-ის ჯერადი გვ, დაბრუნების წერტილი აიმავე ადგილას. ამიტომ ფუნქცია y = cos xგვ:
cos( x+ 2გვ) = cos x.
თუ ავიღებთ არგუმენტის ორ მნიშვნელობას, ტოლი აბსოლუტური მნიშვნელობით, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით, xდა - x, იპოვნეთ წრეზე შესაბამისი წერტილები Ნაჯახიდა Ნაჯახი. როგორც ჩანს ნახ. 3 მათი პროექცია ღერძზე ოჰიგივე წერტილია მ. Ამიტომაც
cos(- x) = cos ( x),
იმათ. კოსინუსი არის თანაბარი ფუნქცია, ვ(–x) = ვ(x).
ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიკვლიოთ ფუნქციის თვისებები წ= cos Xსეგმენტზე , შემდეგ კი გავითვალისწინოთ მისი პარიტეტი და პერიოდულობა.
ზე X= 0 ქულა აღერძზე დევს ოჰ, მისი აბსციზა არის 1 და შესაბამისად cos 0 = 1. გაზრდით Xწერტილი ამოძრაობს წრის გარშემო ზევით და მარცხნივ, მისი პროექცია, ბუნებრივია, არის მხოლოდ მარცხნივ და x = გვ/2 კოსინუსი ტოლი ხდება 0. წერტილი აამ მომენტში ის ადის მაქსიმალურ სიმაღლემდე, შემდეგ კი აგრძელებს მოძრაობას მარცხნივ, მაგრამ უკვე დაღმავალი. მისი აბსციზა მცირდება მანამ, სანამ არ მიაღწევს უმცირეს მნიშვნელობას, რომელიც უდრის –1 at X= გვ. ამრიგად, ინტერვალზე ფუნქცია ზე= cos Xმონოტონურად მცირდება 1-დან –1-მდე (სურ. 4, 5).
კოსინუსის პარიტეტიდან გამომდინარეობს, რომ ინტერვალზე [- გვ, 0] ფუნქცია მონოტონურად იზრდება –1-დან 1-მდე, იღებს ნულოვან მნიშვნელობას x =–გვ/2. თუ აიღებთ რამდენიმე პერიოდს, მიიღებთ ტალღოვან მრუდს (სურ. 6).
ასე რომ ფუნქცია წ= cos xიღებს ნულოვან მნიშვნელობებს წერტილებში X= გვ/2 + კპ, სად კ –ნებისმიერი მთელი რიცხვი. 1-ის ტოლი მაქსიმუმები მიიღწევა წერტილებში X= 2კპ, ე.ი. ნაბიჯებით 2 გვ, და მინიმუმები -1-ის ტოლია წერტილებში X= გვ + 2კპ.
ფუნქცია y = sin x.
ერთეული წრის კუთხეში x 0 შეესაბამება წერტილს ა(ნახ. 7), და მისი პროექცია ღერძზე OUიქნება წერტილი ნ.ზფუნქციის მნიშვნელობა y 0 =ცოდვა x 0განისაზღვრება როგორც წერტილის ორდინატი ა. Წერტილი IN(კუთხე x 0 ,ზე 0) ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს წ= ცოდვა x(ნახ. 8). გასაგებია, რომ ფუნქცია y =ცოდვა xპერიოდული, მისი პერიოდია 2 გვ:
ცოდვა ( x+ 2გვ) = ცოდვა ( x).
ორი არგუმენტის მნიშვნელობისთვის, Xდა -, მათი შესაბამისი წერტილების პროგნოზები Ნაჯახიდა Ნაჯახითითო ღერძზე OUმდებარეობს წერტილის მიმართ სიმეტრიულად შესახებ. Ამიტომაც
ცოდვა (- x) = –ცოდვა ( x),
იმათ. სინუსი არის კენტი ფუნქცია, f(- x) = –f( x) (ნახ. 9).
თუ წერტილი აროტაცია წერტილის მიმართ შესახებკუთხით გვ/2 საათის ისრის საწინააღმდეგოდ (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ კუთხე Xგაზრდის მიერ გვ/2), მაშინ მისი ორდინატი ახალ თანამდებობაზე იქნება აბსცისის ტოლი ძველში. Რაც ნიშნავს
ცოდვა ( x+ გვ/2) = cos x.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, სინუსი არის კოსინუსი "გვიან". გვ/2, ვინაიდან ნებისმიერი კოსინუსის მნიშვნელობა „განმეორდება“ სინუსში, როდესაც არგუმენტი გაიზრდება გვ/2. ხოლო სინუსური გრაფიკის ასაგებად, საკმარისია კოსინუსური გრაფიკის გადატანა გვ/2 მარჯვნივ (სურ. 10). სინუსის უაღრესად მნიშვნელოვანი თვისება გამოიხატება თანასწორობით
თანასწორობის გეომეტრიული მნიშვნელობა ჩანს ნახ. 11. აი X -ეს არის ნახევარი რკალი AB, როგორც X -შესაბამისი აკორდის ნახევარი. აშკარაა, რომ რაც უფრო უახლოვდება ქულები ადა INაკორდის სიგრძე სულ უფრო უახლოვდება რკალის სიგრძეს. იგივე ფიგურიდან მარტივია უტოლობის გამოტანა
|ცოდვა x| x|, მართალია ნებისმიერისთვის X.
მათემატიკოსები ფორმულას (*) აღსანიშნავ ზღვარს უწოდებენ. მისგან, კერძოდ, გამომდინარეობს, რომ ცოდვა X» Xპატარაზე X.
ფუნქციები ზე= ტგ x, y=ctg X. დანარჩენი ორი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, ტანგენსი და კოტანგენსი, ყველაზე მარტივად განისაზღვრება როგორც ჩვენთვის უკვე ცნობილი სინუსის და კოსინუსის თანაფარდობა:
სინუსისა და კოსინუსის მსგავსად, ტანგენსი და კოტანგენსი პერიოდული ფუნქციებია, მაგრამ მათი პერიოდები ტოლია გვ, ე.ი. ისინი სინუსისა და კოსინუსის ზომის ნახევარია. ამის მიზეზი ნათელია: თუ სინუსი და კოსინუსი ორივე ცვლის ნიშანს, მაშინ მათი თანაფარდობა არ შეიცვლება.
ვინაიდან ტანგენტის მნიშვნელი შეიცავს კოსინუსს, ტანგენსი არ არის განსაზღვრული იმ წერტილებში, სადაც კოსინუსი არის 0 - როცა X= გვ/2 +კპ. ყველა სხვა წერტილში ის მონოტონურად იზრდება. პირდაპირი X= გვ/2 + კპტანგენტისთვის არის ვერტიკალური ასიმპტოტები. წერტილებზე კპტანგენსი და დახრილობა არის 0 და 1, შესაბამისად (ნახ. 12).
კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული იქ, სადაც სინუსი არის 0 (როდის x = კპ). სხვა წერტილებში ის მონოტონურად მცირდება და სწორი ხაზები x = კპ – მისი ვერტიკალური ასიმპტოტები. წერტილებზე x = გვ/2 +კპკოტანგენსი ხდება 0 და დახრილობა ამ წერტილებში უდრის –1 (ნახ. 13).
პარიტეტი და პერიოდულობა.
ფუნქცია იწოდება მაშინაც კი, თუ ვ(–x) = ვ(x). კოსინუსი და სეკანტური ფუნქციები ლუწია, ხოლო სინუსური, ტანგენსი, კოტანგენსი და კოსეკანტური ფუნქციები კენტია:
| sin (–α) = – ცოდვა α | თან (–α) = – თან α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| წმ (–α) = წმ α | cosec (–α) = – cosec α |
პარიტეტული თვისებები გამომდინარეობს წერტილების სიმეტრიიდან პა და რ- ა (სურ. 14) ღერძის მიმართ X. ასეთი სიმეტრიით, წერტილის ორდინატი ცვლის ნიშანს (( X;ზე) მიდის ( X; –უ)). ყველა ფუნქციას - პერიოდულს, სინუსს, კოსინუსს, სეკანტს და კოსეკანტს აქვს 2 პერიოდი გვ, და ტანგენსი და კოტანგენსი - გვ:
| ცოდვა (α + 2 კπ) = ცოდვა α | cos(α+2 კπ) = cos α |
| tg(α+ კπ) = თან α | საწოლი (α+ კπ) = cotg α |
| წმ (α + 2 კπ) = წმ α | კოსეკი (α+2 კπ) = cosec α |
სინუსის და კოსინუსის პერიოდულობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ ყველა წერტილი პ a+2 კპ, სად კ= 0, ±1, ±2,…, ემთხვევა და ტანგენსის და კოტანგენსის პერიოდულობა განპირობებულია იმით, რომ წერტილები პ a+ კპმონაცვლეობით მოხვდება წრის ორ დიამეტრულად საპირისპირო წერტილში, რაც იძლევა იმავე წერტილს ტანგენტის ღერძზე.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები შეიძლება შეჯამდეს ცხრილში:
| ფუნქცია | დომენი | მრავალი მნიშვნელობა | პარიტეტი | ერთფეროვნების სფეროები ( კ= 0, ± 1, ± 2,…) |
| ცოდვა x | – Ґ x Ґ | [–1, +1] | უცნაური | იზრდება ერთად x O((4 კ – 1) გვ /2, (4კ + 1) გვ/2), მცირდება x O((4 კ + 1) გვ /2, (4კ + 3) გვ/2) |
| cos x | – Ґ x Ґ | [–1, +1] | თუნდაც | იზრდება ერთად x O((2 კ – 1) გვ, 2კპ), მცირდება x O(2 კპ, (2კ + 1) გვ) |
| ტგ x | x № გვ/2 + გვ კ | (–Ґ , +Ґ ) | უცნაური | იზრდება ერთად x O((2 კ – 1) გვ /2, (2კ + 1) გვ /2) |
| ctg x | x № გვ კ | (–Ґ , +Ґ ) | უცნაური | მცირდება xშესახებ ( კპ, (კ + 1) გვ) |
| წმ x | x № გვ/2 + გვ კ | (–Ґ , –1] და [+1, +Ґ ) | თუნდაც | იზრდება ერთად x O(2 კპ, (2კ + 1) გვ), მცირდება x O((2 კ– 1) გვ, 2 კპ) |
| კოსეკი x | x № გვ კ | (–Ґ , –1] და [+1, +Ґ ) | უცნაური | იზრდება ერთად x O((4 კ + 1) გვ /2, (4კ + 3) გვ/2), მცირდება x O((4 კ – 1) გვ /2, (4კ + 1) გვ /2) |
შემცირების ფორმულები.
ამ ფორმულების მიხედვით a არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობა, სადაც გვ/2 a p , შეიძლება შემცირდეს არგუმენტის ფუნქციის a მნიშვნელობამდე, სადაც 0 a p /2, მისი იგივე ან დამატებითი.
| არგუმენტი ბ |  -ა |
+ა | გვ-ა | გვ+ა | +ა | +ა | 2გვ-ა |
| ცოდვა ბ | cos ა | cos ა | ცოდვა ა | -ცოდვა ა | - cos ა | - cos ა | -ცოდვა ა |
| cos b | ცოდვა ა | -ცოდვა ა | - cos ა | - cos ა | -ცოდვა ა | ცოდვა ა | cos ა |
ამიტომ, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილებში მნიშვნელობები მოცემულია მხოლოდ მწვავე კუთხეებისთვის და საკმარისია შევიზღუდოთ, მაგალითად, სინუსზე და ტანგენტზე. ცხრილში მოცემულია მხოლოდ ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფორმულები სინუსისა და კოსინუსისთვის. აქედან ადვილია ტანგენტისა და კოტანგენტის ფორმულების მიღება. ფორმის არგუმენტიდან ფუნქციის გადმოცემისას კპ/2 ± a, სადაც კ- მთელი რიცხვი, არგუმენტის ფუნქციისთვის a:
1) ფუნქციის სახელი შენახულია თუ კლუწი და იცვლება „შემავსებელად“ თუ კკენტი;
2) მარჯვენა მხარეს ნიშანი ემთხვევა წერტილის შემცირების ფუნქციის ნიშანს კპ/2 ± a თუ კუთხე a მწვავეა.
მაგალითად, ctg-ის ჩამოსხმისას (a – გვ/2) ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ - გვ/2 0 a p /2 დევს მეოთხე კვადრანტში, სადაც კოტანგენსი უარყოფითია და 1 წესის მიხედვით ვცვლით ფუნქციის სახელს: ctg (a – გვ/2) = –tg a .
დამატების ფორმულები.
ფორმულები მრავალი კუთხისთვის.
ეს ფორმულები მიღებულია უშუალოდ დამატების ფორმულებიდან:
sin 2a = 2 sin a cos a;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a;
cos 3a-ს ფორმულა გამოიყენა ფრანსუა ვიეტმა კუბური განტოლების ამოხსნისას. ის იყო პირველი, ვინც იპოვა გამონათქვამები cos-ისთვის ნა და ცოდვა ნა, რომლებიც მოგვიანებით უფრო მარტივი გზით მიიღეს მოივრის ფორმულიდან.
თუ ორმაგი არგუმენტის ფორმულებში a-ს ჩაანაცვლებთ /2-ით, ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ნახევარკუთხის ფორმულებად:
უნივერსალური ჩანაცვლების ფორმულები.
ამ ფორმულების გამოყენებით, ერთი და იგივე არგუმენტის სხვადასხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი გამოხატულება შეიძლება გადაიწეროს, როგორც ერთი ფუნქციის რაციონალური გამოხატულება tg (a /2), ეს შეიძლება სასარგებლო იყოს ზოგიერთი განტოლების ამოხსნისას:
 |
|
 |
 |
თანხების პროდუქტებად და პროდუქტების ჯამებად გადაქცევის ფორმულები.
კომპიუტერების მოსვლამდე ამ ფორმულებს იყენებდნენ გამოთვლების გასამარტივებლად. გამოთვლები გაკეთდა ლოგარითმული ცხრილების გამოყენებით, ხოლო მოგვიანებით - სლაიდების წესი, რადგან ლოგარითმები საუკეთესოდ შეეფერება რიცხვების გასამრავლებლად, ამიტომ ყველა ორიგინალური გამონათქვამი მოყვანილია ლოგარითმიზაციისთვის მოსახერხებელ ფორმაში, ე.ი. სამუშაოებისთვის, მაგალითად:
2 ცოდვა ა sin b = cos ( ა–ბ) – cos ( ა+ბ);
2 cos ა cos ბ=cos( ა–ბ) + cos ( ა+ბ);
2 ცოდვა ა cos ბ= ცოდვა ( ა–ბ) + ცოდვა ( ა+ბ).
ტანგენსისა და კოტანგენსების ფუნქციების ფორმულების მიღება შესაძლებელია ზემოთ ჩამოთვლილიდან.
ხარისხის შემცირების ფორმულები.
მრავალი არგუმენტის ფორმულებიდან გამომდინარეობს შემდეგი ფორმულები:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3ა)/4. |
ამ ფორმულების გამოყენებით, ტრიგონომეტრიული განტოლებები შეიძლება შემცირდეს უფრო დაბალი ხარისხის განტოლებამდე. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემცირების ფორმულები სინუსისა და კოსინუსების უფრო მაღალი სიმძლავრეებისთვის.
| ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები და ინტეგრალები | |
| (ცოდვა x)` = cos x; | (კოს x)` = –ცოდვა x; |
| (ტგ x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| ცოდვა x dx= – cos x + C; | თ კოს x dx= ცოდვა x + C; |
| ტ ტგ x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = ln|ცოდვა x| + C; |
თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია მისი განსაზღვრის დომენის თითოეულ წერტილში არის უწყვეტი და უსასრულოდ დიფერენცირებადი. უფრო მეტიც, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ხოლო ინტეგრირებისას ასევე მიიღება ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ან მათი ლოგარითმები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების რაციონალური კომბინაციების ინტეგრალები ყოველთვის ელემენტარული ფუნქციებია.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოდგენა სიმძლავრის სერიის და უსასრულო პროდუქტების სახით.
ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს სიმძლავრის სერიებში. ამ შემთხვევაში ფუნქციები სცოდავს x bcos xწარმოდგენილია რიგებში. კონვერგენტული ყველა მნიშვნელობისთვის x:
ეს სერიები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცოდვის სავარაუდო გამონათქვამების მისაღებად xდა cos xმცირე ღირებულებებით x:
ზე | x| p/2;
0 x| გვ
(ბ n – ბერნულის რიცხვები).
ცოდვის ფუნქციები xდა cos xშეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო პროდუქტების სახით:
ტრიგონომეტრიული სისტემა 1, cos x, ცოდვა x, cos 2 xცოდვა 2 x, ¼, კო nx, ცოდვა nx, ¼, ფორმები სეგმენტზე [– გვ, გვ] ფუნქციათა ორთოგონალური სისტემა, რომელიც შესაძლებელს ხდის ფუნქციების წარმოდგენას ტრიგონომეტრიული სერიების სახით.
განისაზღვრება, როგორც რეალური არგუმენტის შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ანალიტიკური გაგრძელება კომპლექსურ სიბრტყეში. დიახ, ცოდო ზდა cos ზშეიძლება განისაზღვროს ცოდვის სერიების გამოყენებით xდა cos x, თუ ნაცვლად xდადება ზ:
ეს სერიები იყრის თავს მთელ თვითმფრინავზე, ამიტომ ცოდვა ზდა cos ზ- მთელი ფუნქციები.
ტანგენსი და კოტანგენსი განისაზღვრება ფორმულებით:
tg ფუნქციები ზდა ctg ზ- მერომორფული ფუნქციები. ტგ ბოძები ზდა წმ ზ- მარტივი (1 რიგი) და განთავსებულია წერტილებში z = გვ/2 + pn,ბოძები ctg ზდა კოსეკი ზ- ასევე მარტივი და განლაგებულია წერტილებში ზ = p n, n = 0, ±1, ±2,…
ყველა ფორმულა, რომელიც მოქმედებს რეალური არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის, ასევე მოქმედებს რთული არგუმენტისთვის. Კერძოდ,
ცოდვა (- ზ) = –ცოდვა ზ,
cos(- ზ) = cos ზ,
tg (- ზ) = –ტგ ზ,
ctg (– ზ) = –ctg z,
იმათ. შენარჩუნებულია ლუწი და კენტი პარიტეტი. ფორმულებიც შენახულია
ცოდვა ( ზ + 2გვ) = ცოდვა ზ, (ზ + 2გვ) = cos ზ, (ზ + გვ) = ტგ ზ, (ზ + გვ) = ctg ზ,
იმათ. პერიოდულობაც შენარჩუნებულია და პერიოდები იგივეა რაც რეალური არგუმენტის ფუნქციებისთვის.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება გამოიხატოს წმინდა წარმოსახვითი არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქციის მიხედვით:
უკან, e izგამოიხატება cos-ით ზდა ცოდვა ზფორმულის მიხედვით:
e iz= cos ზ + მეცოდვა ზ
ამ ფორმულებს ეილერის ფორმულებს უწოდებენ. ლეონჰარდ ეილერმა ისინი 1743 წელს შეიმუშავა.
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ასევე შეიძლება გამოიხატოს ჰიპერბოლური ფუნქციების მიხედვით:
ზ = –მეშ iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
სადაც sh, ch და th არის ჰიპერბოლური სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი.
რთული არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები z = x + iy, სად xდა წ- რეალური რიცხვები, შეიძლება გამოიხატოს რეალური არგუმენტების ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ფუნქციებით, მაგალითად:
ცოდვა ( x + iy) = ცოდვა xჩვ წ + მე cos xშ წ;
cos( x + iy) = cos xჩვ წ + მეცოდვა xშ წ.
რთული არგუმენტის სინუსსა და კოსინუსს შეუძლია მიიღოს რეალური მნიშვნელობები 1-ზე მეტი აბსოლუტური მნიშვნელობით. Მაგალითად:
თუ უცნობი კუთხე შედის განტოლებაში, როგორც ტრიგონომეტრიული ფუნქციების არგუმენტი, მაშინ განტოლებას ტრიგონომეტრიული ეწოდება. ასეთი განტოლებები იმდენად გავრცელებულია, რომ მათი მეთოდები გადაწყვეტილებები არის ძალიან დეტალური და ყურადღებით შემუშავებული. თანსხვადასხვა ტექნიკისა და ფორმულის გამოყენებით, ტრიგონომეტრიული განტოლებები მცირდება ფორმის განტოლებამდე ვ(x)= ა, სად ვ– ნებისმიერი უმარტივესი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი ან კოტანგენსი. შემდეგ გამოხატეთ არგუმენტი xეს ფუნქცია მისი ცნობილი მნიშვნელობით ა.
ვინაიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდულია, იგივეა ამნიშვნელობების დიაპაზონიდან არის არგუმენტის უსასრულოდ ბევრი მნიშვნელობა და განტოლების ამონახსნები არ შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც ერთი ფუნქცია. ა. მაშასადამე, თითოეული მთავარი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განსაზღვრის დომენში არჩეულია განყოფილება, რომელშიც იგი იღებს მის ყველა მნიშვნელობას, თითოეულს მხოლოდ ერთხელ, და ამ განყოფილებაში არის მის საწინააღმდეგო ფუნქცია. ასეთი ფუნქციები აღინიშნება თავდაპირველი ფუნქციის სახელზე პრეფიქსის რკალის (რკალის) დამატებით და ეწოდება შებრუნებული ტრიგონომეტრიული. ფუნქციები ან უბრალოდ რკალი ფუნქციები.
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.
ცოდვისთვის X, cos X, ტგ Xდა ctg Xინვერსიული ფუნქციები შეიძლება განისაზღვროს. ისინი შესაბამისად აღინიშნება arcsin-ით X(წაიკითხეთ "არქსინი" x"), არკოსი x, არქტანი xდა arcctg x. განმარტებით, arcsin Xარის ასეთი რიცხვი y,Რა
ცოდვა ზე = X.
ანალოგიურად სხვა შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის. მაგრამ ეს განმარტება განიცდის გარკვეულ უზუსტობას.
თუ ცოდვას ირეკლავ X, cos X, ტგ Xდა ctg Xკოორდინატთა სიბრტყის პირველი და მესამე კვადრანტების ბისექტრისთან შედარებით, მაშინ ფუნქციები, მათი პერიოდულობის გამო, ორაზროვანი ხდება: უსასრულო რაოდენობის კუთხე შეესაბამება იმავე სინუსს (კოსინუსი, ტანგენსი, კოტანგენსი).
გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, მრუდის მონაკვეთი სიგანეზე გვ, ამ შემთხვევაში აუცილებელია არგუმენტსა და ფუნქციის მნიშვნელობას შორის ერთი-ერთზე კორესპონდენციის შენარჩუნება. არჩეულია კოორდინატების წარმოშობის მახლობლად მდებარე არეები. სინუსისთვის როგორც "ერთ-ერთ ინტერვალს" ვიღებთ სეგმენტს [- გვ/2, გვ/2], რომელზეც სინუსი მონოტონურად იზრდება –1-დან 1-მდე, კოსინუსისთვის – სეგმენტი, ტანგენსისთვის და კოტანგენსისთვის, შესაბამისად, ინტერვალები (– გვ/2, გვ/2) და (0, გვ). ინტერვალზე თითოეული მრუდი აისახება ბისექტრის მიმართ და ახლა შეიძლება განისაზღვროს შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. მაგალითად, მიეცით არგუმენტის მნიშვნელობა x 0,ისეთი, რომ 0 Ј x 0 Ј 1. შემდეგ ფუნქციის მნიშვნელობა წ 0 = რკალი x 0 იქნება მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა ზე 0 , ისეთივე როგორც - გვ/2 Ј ზე 0 Ј გვ/2 და x 0 = ცოდვა წ 0 .
ამრიგად, არქსინი არის არქსინის ფუნქცია ა, განსაზღვრულია [–1, 1] ინტერვალზე და ტოლია თითოეულისთვის აასეთ ღირებულებამდე, - გვ/2 a p /2 რომ ცოდვა a = ა.ძალიან მოსახერხებელია მისი წარმოდგენა ერთეული წრის გამოყენებით (სურ. 15). როდის | ა| წრეზე 1 არის ორი წერტილი ორდინატით ა, სიმეტრიული ღერძის მიმართ u.ერთი მათგანი შეესაბამება კუთხეს ა= რკალი ა, და მეორე არის კუთხე პ - ა. თანსინუსის პერიოდულობის გათვალისწინებით განტოლების ცოდვის ამოხსნა x= აიწერება შემდეგნაირად:
x =(–1)ნრკალი ა + 2p n,
სად ნ= 0, ±1, ±2,...
სხვა მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებები შეიძლება ამოხსნას ანალოგიურად:
cos x = ა, –1 =ა= 1;
x =±არკოსი ა + 2p n,
სად პ= 0, ±1, ±2,... (სურ. 16);
ტგ X = ა;
x= არქტანი ა + გვ n,
სად n = 0, ±1, ±2,... (სურ. 17);
ctg X= ა;
X= arcctg ა + გვ n,
სად n = 0, ±1, ±2,... (სურ. 18).
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები:
რკალი X(სურ. 19): განსაზღვრების დომენი – სეგმენტი [–1, 1]; დიაპაზონი - [- გვ/2, გვ/2], მონოტონურად მზარდი ფუნქცია;
არკები X(ნახ. 20): განსაზღვრების დომენი – სეგმენტი [–1, 1]; დიაპაზონი - ; მონოტონურად კლებადი ფუნქცია;
arctg X(სურ. 21): განსაზღვრების სფერო – ყველა რეალური რიცხვი; მნიშვნელობების დიაპაზონი - ინტერვალი (- გვ/2, გვ/2); მონოტონურად მზარდი ფუნქცია; სწორი ზე= –გვ/2 და y = p /2 –ჰორიზონტალური ასიმპტოტები;
arcctg X(სურ. 22): განსაზღვრების სფერო – ყველა რეალური რიცხვი; მნიშვნელობების დიაპაზონი - ინტერვალი (0, გვ); მონოტონურად კლებადი ფუნქცია; სწორი წ= 0 და y = გვ- ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.
იმიტომ რომ რთული არგუმენტის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ზდა cos ზ(რეალური არგუმენტის ფუნქციებისგან განსხვავებით) იღებენ ყველა კომპლექსურ მნიშვნელობას, შემდეგ განტოლებები სინ ზ = ადა cos ზ = ააქვს გადაწყვეტილებები ნებისმიერი კომპლექსისთვის ნაჯახიდა წარის რეალური რიცხვები, მოქმედებს უტოლობები
½| e\e y–e-y| ≤|ცოდვა ზ|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|კოს ზ|≤½( e y +e -y),
რომელთაგან ზე წ® Ґ ასიმპტომური ფორმულები მოყვება (ერთგვაროვნად x)
|ცოდვა ზ| » 1/2 ე |y| ,
|კოს ზ| » 1/2 ე |y| .
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პირველად გამოჩნდა ასტრონომიისა და გეომეტრიის კვლევებთან დაკავშირებით. სამკუთხედისა და წრის სეგმენტების შეფარდება, რომლებიც არსებითად ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია, უკვე III საუკუნეშია ნაპოვნი. ძვ.წ ე. ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსთა ნაშრომებში – ევკლიდე, არქიმედეს, პერგას აპოლონიოსი და სხვები, თუმცა ეს ურთიერთობები არ იყო დამოუკიდებელი კვლევის ობიექტი, ამიტომ ისინი არ სწავლობდნენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, როგორც ასეთებს. ისინი თავდაპირველად ითვლებოდა სეგმენტებად და ამ ფორმით იყენებდნენ არისტარქეს (ძვ. წ. IV საუკუნის ბოლოს - III სს. II ნახევარი), ჰიპარქეს (ძვ. წ. II ს.), მენელაოსმა (ახ. წ. I ს.) და პტოლემეოსმა (ახ. წ. II საუკუნე). სფერული სამკუთხედების ამოხსნა. პტოლემემ შეადგინა აკორდების პირველი ცხრილი მწვავე კუთხისთვის ყოველ 30" სიზუსტით 10 –6. ეს იყო სინუსების პირველი ცხრილი. როგორც თანაფარდობა, ფუნქცია sin a უკვე გვხვდება არიაბჰატაში (V საუკუნის დასასრული). ფუნქციები tg a და ctg a გვხვდება ალ-ბატანში (მე-9 ნახევარი - მე-10 საუკუნის დასაწყისი) და აბულ-ვეფაში (მე-10 საუკუნე), რომელიც ასევე იყენებს sec a-ს და cosec a-ს... არიაბჰატამ უკვე იცოდა ფორმულა ( sin 2 a + cos 2 a) = 1, ასევე ფორმულები sin და cos ნახევარი კუთხით, რომელთა დახმარებით ავაგები სინუსების ცხრილები 3°45"-მდე კუთხეებისთვის; ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცნობილ მნიშვნელობებზე დაყრდნობით უმარტივესი არგუმენტებისთვის. ბჰასკარამ (მე-12 საუკუნე) მისცა ცხრილების აგების მეთოდი 1-ის თვალსაზრისით დამატების ფორმულების გამოყენებით. სხვადასხვა არგუმენტების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამისა და სხვაობის პროდუქტად გადაქცევის ფორმულები გამოიღეს Regiomontanus-მა (XV საუკუნე) და J. Napier-მა ამ უკანასკნელის ლოგარითმების გამოგონებასთან დაკავშირებით (1614). რეგიომონტანმა მისცა სინუსების სიდიდეების ცხრილი 1-ის მიხედვით". ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გაფართოება სიმძლავრეების სერიებში მიიღო ი. ნიუტონმა (1669 წ.). ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თეორია თანამედროვე ფორმაში შემოიტანა ლ. ეილერმა ( მე-18 საუკუნე). მას ეკუთვნის მათი განმარტება რეალური და რთული არგუმენტებისთვის, ახლა მიღებული სიმბოლიზმი, ამყარებს კავშირებს სინუსებისა და კოსინუსების სისტემის ექსპონენციალურ ფუნქციასთან და ორთოგონალურობასთან.
|BD| - წრის რკალის სიგრძე A წერტილში ცენტრით.
α არის რადიანებში გამოხატული კუთხე.
ტანგენტი ( tan α) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| მიმდებარე ფეხის სიგრძემდე |AB| .
კოტანგენსი ( ctg α) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .
ტანგენტი
სად ნ- მთლიანი.
დასავლურ ლიტერატურაში ტანგენტი შემდეგნაირად აღინიშნება:
.
;
;
.
ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი, y = tan x
კოტანგენსი
სად ნ- მთლიანი.
დასავლურ ლიტერატურაში კოტანგენტს აღნიშნავენ შემდეგნაირად:
.
ასევე მიღებულია შემდეგი აღნიშვნები:
;
;
.
კოტანგენსი ფუნქციის გრაფიკი, y = ctg x
ტანგენსის და კოტანგენსის თვისებები
პერიოდულობა
ფუნქციები y = tg xდა y = ctg xპერიოდულია π პერიოდით.
პარიტეტი
ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უცნაურია.
განსაზღვრებისა და ღირებულებების სფეროები, მზარდი, კლებადი
ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უწყვეტია მათი განმარტების სფეროში (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში ( ნ- მთლიანი).
| y = tg x | y = ctg x | |
| ფარგლები და უწყვეტობა | ||
| ღირებულებების დიაპაზონი | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| მზარდი | - | |
| Დაღმავალი | - | |
| უკიდურესობები | - | - |
| ნულები, y = 0 | ||
| კვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძით, x = 0 | y = 0 | - |
ფორმულები
გამონათქვამები სინუსის და კოსინუსის გამოყენებით
;
;
;
;
;
ტანგენტებისა და კოტანგენტების ფორმულები ჯამიდან და სხვაობიდან
დანარჩენი ფორმულების მიღება მარტივია, მაგალითად
ტანგენტების პროდუქტი
ტანგენტების ჯამისა და სხვაობის ფორმულა
ამ ცხრილში მოცემულია ტანგენტებისა და კოტანგენტების მნიშვნელობები არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობებისთვის. 
გამოთქმები რთული რიცხვების გამოყენებით
გამოხატვები ჰიპერბოლური ფუნქციების საშუალებით
;
;
წარმოებულები
; .
.
n-ე რიგის წარმოებული ფუნქციის x ცვლადის მიმართ:
.
ტანგენტების ფორმულების გამოყვანა > > > ; კოტანგენტისთვის >>>
ინტეგრალები
სერიის გაფართოება
x-ის სიმძლავრეებში ტანგენსის გაფართოების მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ გაფართოების რამდენიმე ტერმინი სიმძლავრის სერიაში ფუნქციებისთვის. ცოდვა xდა cos xდა გავყოთ ეს მრავალწევრები ერთმანეთზე, . ეს აწარმოებს შემდეგ ფორმულებს.
ზე.
ზე.
სად ბნ- ბერნულის ნომრები. ისინი განისაზღვრება ან განმეორებითი ურთიერთობით:
;
;
სად .
ან ლაპლასის ფორმულის მიხედვით: 
ინვერსიული ფუნქციები
ტანგენტისა და კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქციებია, შესაბამისად, არქტანგენსი და არკოტანგენსი.
არქტანგენტი, არქტგ
, სად ნ- მთლიანი.
Arccotangent, arcctg
, სად ნ- მთლიანი.
ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და კოლეჯის სტუდენტებისთვის, „ლან“, 2009 წ.
G. Korn, მათემატიკის სახელმძღვანელო მეცნიერებისა და ინჟინრებისთვის, 2012 წ.
Ძირითადი ცნებები
ჯერ გავიხსენოთ განმარტება ლუწი, კენტი და პერიოდული ფუნქციები.
განმარტება 2
ლუწი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც არ იცვლის თავის მნიშვნელობას დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშნის ცვლილებისას:
განმარტება 3
ფუნქცია, რომელიც იმეორებს თავის მნიშვნელობებს გარკვეული რეგულარული ინტერვალით:
T - ფუნქციის პერიოდი.
ლუწი და კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
განვიხილოთ შემდეგი სურათი (ნახ. 1):
სურათი 1.
აქ $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ და $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ სიმეტრიულია $Ox$ ღერძის მიმართ ვექტორები მარტოხელასიგრძე.
აშკარაა, რომ ამ ვექტორების კოორდინატები დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით:
ვინაიდან სინუსის და კოსინუსების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დადგენა შესაძლებელია ერთეული ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, მივიღებთ, რომ სინუს ფუნქცია იქნება კენტი, ხოლო კოსინუს ფუნქცია იქნება ლუწი ფუნქცია, ანუ:
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობა
განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა (ნახ. 2).
სურათი 2.
აქ $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ არის ერთეული სიგრძის ვექტორი.
მოდით გავაკეთოთ სრული რევოლუცია $\overrightarrow(OA)$ ვექტორით. ანუ მოვატრიალოთ ეს ვექტორი $2\pi $ რადიანებით. ამის შემდეგ ვექტორი მთლიანად უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას.
ვინაიდან სინუსისა და კოსინუსების ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება განისაზღვროს ერთეული ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, მივიღებთ
ანუ სინუს და კოსინუს ფუნქციები პერიოდული ფუნქციებია უმცირესი პერიოდით $T=2\pi $.
ახლა განვიხილოთ ტანგენსის და კოტანგენტის ფუნქციები. ვინაიდან $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, მაშინ
ვინაიდან $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, მაშინ
ამოცანების მაგალითები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პარიტეტის, უცნაურობისა და პერიოდულობის გამოყენებით
მაგალითი 1
დაამტკიცეთ შემდეგი განცხადებები:
ა) $tg(385)^0=tg(25)^0$
გ) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
ა) $tg(385)^0=tg(25)^0$
ვინაიდან ტანგენტი არის პერიოდული ფუნქცია მინიმალური პერიოდით $(360)^0$, მივიღებთ
ბ) $(cos \left(-13\pi \მარჯვნივ)\ )=-1$
ვინაიდან კოსინუსი არის ლუწი და პერიოდული ფუნქცია, რომლის მინიმალური პერიოდია $2\pi $, მივიღებთ
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
გ) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
ვინაიდან სინუსი არის კენტი და პერიოდული ფუნქცია, რომლის მინიმალური პერიოდია $(360)^0$, მივიღებთ
