• და 0 =1ნებისმიერი რიცხვი (ნულის გარდა) ნულოვან ხარისხამდე უდრის ერთს.
• a 1 = aნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს.
• ნაჯახი∙აწ=აx + წერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას, ფუძე იგივე რჩება და ემატება მაჩვენებლები.
• ნაჯახი:აწ=აx-წერთნაირი ფუძით ძალების გაყოფისას ფუძე იგივე რჩება და გამყოფის მაჩვენებელს აკლდება დივიდენდის მაჩვენებელს.
• (აx) წ=აxyსიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება
• (a∙b)x=აx∙ბწპროდუქტის სიმძლავრემდე აყვანისას, თითოეული ფაქტორი ამაღლებულია ამ ძალამდე.
• (ა/ბ)x=აx/ბწწილადის ხარისხამდე აწევისას, წილადის მრიცხველიც და მნიშვნელიც ამ ხარისხზე ამაღლებულია.
• a -x \u003d 1 / ax
• (ა/ბ)-x=(ბ/ა)x.

რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით ა (შესვლა a b) არის მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს. ანომრის მისაღებად ბ.

შესვლა a b= ნ, თუ a n= ბ. მაგალითები: 1) ჟურნალი 2 8= 3 , რადგან 2 3 =8;

2) log 5 (1/25)= -2 , რადგან 5 -2 \u003d 1/5 2 \u003d 1/25; 3) ჟურნალი 7 1= 0 , რადგან 7 0 =1.

ლოგარითმის ნიშნის ქვეშშეიძლება იყოს მხოლოდ დადებითი რიცხვებიუფრო მეტიც, ლოგარითმის საფუძველი არის რიცხვი a≠1. ლოგარითმის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი.

ეს იდენტურობა გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან: ვინაიდან ლოგარითმი არის ექსპონენტი ( ნ), შემდეგ ნომრის აწევით ა, ვიღებთ ნომერს ბ.

ბაზის ლოგარითმი 10 ათწილადი ლოგარითმი ეწოდება და წერისას სიტყვა „ლოგის“ მართლწერაში გამოტოვებულია ფუძე 10 და ასო „ო“.

ლგ7 = ჟურნალი 10 7, ლგ7 არის 7 რიცხვის ათობითი ლოგარითმი.

ბაზის ლოგარითმი ე(ნაპიერის რიცხვი e≈2.7) ბუნებრივი ლოგარითმი ეწოდება.

ln7 = ჟურნალი e 7, ლნ7 არის 7 რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი.

ლოგარითმების თვისებებიმოქმედებს ლოგარითმებისთვის ნებისმიერ ბაზაზე.

ჟურნალი ა1=0 ერთიანობის ლოგარითმი არის ნული (a>0, a≠1).

შესვლა ა=1 რიცხვის ლოგარითმი ამიზეზით აუდრის ერთს (a>0, a≠1).

log a (x∙y)=log a x+log a y

ნამრავლის ლოგარითმი უდრის ფაქტორების ლოგარითმების ჯამს.

ჟურნალი ა(x/ წ)= ჟურნალი x— შესვლა y

კოეფიციენტის ლოგარითმი უდრის დივიდენდისა და გამყოფის ლოგარითმებს შორის სხვაობას.

log a b=log c b/log c a

რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის რიცხვის ლოგარითმს ბახალ საფუძველზე თანიყოფა ძველი ფუძის ლოგარითმით აახალ საფუძველზე თან.

log a b k= კ∙ შესვლა a bხარისხის ლოგარითმი ( ბ კ) უდრის მაჩვენებლის ნამრავლს ( კ) ფუძის ლოგარითმამდე ( ბ) ამ ხარისხის.

შესვლა ა ნ ბ=(1/ ნ)∙ შესვლა a bრიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით a nწილადის ნამრავლის ტოლი 1/ ნრიცხვის ლოგარითმამდე ბმიზეზით ა.

შესვლა ა ნ ბ კ=(კ/ ნ)∙ შესვლა a bფორმულა არის ორი წინა ფორმულის კომბინაცია.

log a r b r =log a bან შესვლა a ბ= შესვლა ა რ ბ რ

ლოგარითმის მნიშვნელობა არ იცვლება, თუ ლოგარითმის ფუძე და რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ერთსა და იმავე ხარისხზეა აყვანილი.

• ფუნქცია F (x) ეწოდება ანტიწარმოებულს f (x) ფუნქციისთვის მოცემულ ინტერვალზე, თუ ყველა x ამ ინტერვალიდან F "(x) \u003d f (x).
• ნებისმიერი ანტიწარმოებული f (x) ფუნქციისთვის მოცემულ ინტერვალზე შეიძლება დაიწეროს როგორც F (x) + C, სადაც F (x) არის f (x) ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი, ხოლო С არის თვითნებური მუდმივი.
• განხილულ ინტერვალზე f (x) + C ყველა ანტიწარმოებულის F (x) + C ფუნქციის სიმრავლეს განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეწოდება და აღინიშნება ∫f (x) dx, სადაც f (x) არის ინტეგრადი, f ( x) dx არის ინტეგრანტი, x არის ცვლადის ინტეგრაცია.

1) (∫f(x)dx)"=f(x); 2) d∫f (x) dx=f (x) dx; 3) ∫kf (x) dx=k ∫f (x) dx;

4) ∫dF (x) dx=F (x)+C ან ∫F"(x) dx=F (x)+C;

5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;

6) ∫f (kx+b) dx=(1/k) F (kx+b)+C.

ინტეგრალების ცხრილი.

რევოლუციის სხეულის მოცულობა.

ჩემი საიტის ძვირფასო სტუმრებო, ყველა მათემატიკის ძირითადი ფორმულები 7-11შეგიძლიათ მიიღოთ (სრულიად უფასოდ) ბმულზე დაწკაპუნებით.

სულ არის 431 ფორმულა როგორც ალგებრაში, ასევე გეომეტრიაში. გირჩევთ, მიღებული pdf ფაილი დაბეჭდოთ ბუკლეტის სახით. როგორ გავაკეთოთ ეს - წარმატებული სწავლა, მეგობრებო!

დენის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აᲠოდესაც:

ოპერაციები ხარისხით.

1. გრადუსების გამრავლება ერთიდაიგივე ფუძით, მათი მაჩვენებლები ჯამდება:

ვარa n = a m + n.

2. იმავე ფუძის მქონე გრადუსების დაყოფისას მათ ინდიკატორებს აკლებენ:

3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს:

(abc…) n = a n b n c n…

4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია:

(a/b) n = a n / b n .

5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება:

(am) n = a m n .

ზემოთ მოყვანილი თითოეული ფორმულა სწორია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.

Მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

ოპერაციები ფესვებით.

1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:

2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას:

3. ფესვის ხარისხზე აყვანისას საკმარისია ძირის რიცხვის ამ ხარისხზე აყვანა:

4. თუ გავზრდით ფესვის ხარისხს ში ნერთხელ და ამავე დროს ამაღლება ნ th ძალა არის ძირეული რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

5. თუ დავაკლებთ ფესვის ხარისხს ში ნ root ამავე დროს ნრადიკალური რიცხვიდან th ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:

ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლის მქონე რიცხვის ხარისხი განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომლის მაჩვენებლით ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:

ფორმულა ვარ:a n = a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ ზე მ< ნ.

Მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ფორმულამდე ვარ:a n = a m - nსამართლიანი გახდა m=n, საჭიროა ნულოვანი ხარისხის არსებობა.

ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით.ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულოვანი მაჩვენებლით უდრის ერთს.

Მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად ახარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მამ რიცხვის ე ძალა ა.

ჩვენი საიტის youtube არხზე, რათა იცოდეთ ყველა ახალი ვიდეო გაკვეთილი.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ ხარისხების ძირითადი ფორმულები და მათი თვისებები.

რიცხვის პროდუქტი ახდება თავისთავად n ჯერ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს გამოთქმა a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

სიმძლავრე ან ექსპონენციალური განტოლებები- ეს არის განტოლებები, რომლებშიც ცვლადები არიან სიმძლავრეებში (ან ექსპონენტებში), ხოლო ფუძე არის რიცხვი.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები:

ამ მაგალითში რიცხვი 6 არის საფუძველი, ის ყოველთვის ბოლოშია და ცვლადი xხარისხი ან ზომა.

მოდით მოვიყვანოთ ექსპონენციალური განტოლებების მეტი მაგალითი.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

ახლა ვნახოთ, როგორ იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები?

ავიღოთ მარტივი განტოლება:

2 x = 2 3

ასეთი მაგალითი გონებითაც კი ამოიხსნება. ჩანს, რომ x=3. ყოველივე ამის შემდეგ, იმისათვის, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები ტოლი იყოს, x-ის ნაცვლად უნდა დააყენოთ რიცხვი 3.
ახლა ვნახოთ, როგორ უნდა მივიღოთ ეს გადაწყვეტილება:

2 x = 2 3
x = 3

ამ განტოლების ამოსახსნელად ჩვენ ამოვიღეთ იგივე საფუძველი(ანუ დეუზები) და დაწერე რაც დარჩა, ეს არის გრადუსები. ჩვენ მივიღეთ პასუხი, რასაც ვეძებდით.

ახლა შევაჯამოთ ჩვენი გამოსავალი.

ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:
1. საჭიროა შემოწმება იგივეთუ არა განტოლების საფუძვლები მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ საფუძველი არ არის იგივე, ჩვენ ვეძებთ ვარიანტებს ამ მაგალითის გადასაჭრელად.
2. მას შემდეგ, რაც ბაზები იგივეა, გათანაბრებახარისხი და ამოხსენით მიღებული ახალი განტოლება.

ახლა მოვაგვაროთ რამდენიმე მაგალითი:

დავიწყოთ მარტივი.

მარცხენა და მარჯვენა გვერდების ფუძეები უდრის რიცხვს 2-ს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ფუძე და გავაიგივოთ მათი გრადუსები.

x+2=4 აღმოჩნდა უმარტივესი განტოლება.
x=4 - 2
x=2
პასუხი: x=2

შემდეგ მაგალითში ხედავთ, რომ ბაზები განსხვავებულია, ეს არის 3 და 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

დასაწყისისთვის, ცხრას გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ:

ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ იგივე ბაზები. ჩვენ ვიცით, რომ 9=3 2. გამოვიყენოთ სიმძლავრის ფორმულა (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

ჩვენ ვიღებთ 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ახლა გასაგებია, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ფუძეები იგივეა და სამის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ისინი და გავათანაბროთ გრადუსები.

3x=2x+16 მიიღო უმარტივესი განტოლება
3x-2x=16
x=16
პასუხი: x=16.

მოდით შევხედოთ შემდეგ მაგალითს:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვუყურებთ ბაზებს, ბაზები განსხვავებულია ორი და ოთხი. და ჩვენც იგივე უნდა ვიყოთ. ოთხმაგს გარდაქმნით ფორმულის მიხედვით (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ასევე ვიყენებთ ერთ ფორმულას a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

დაამატეთ განტოლებას:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაგრამ სხვა რიცხვები 10 და 24 გვეშლება, რა ვუყოთ მათ? თუ კარგად დააკვირდებით, ხედავთ, რომ მარცხენა მხარეს ვიმეორებთ 2 2x, აი პასუხი - შეგვიძლია 2 2x ჩავდოთ ფრჩხილებიდან:

2 2x (2 4 - 10) = 24

გამოვთვალოთ გამოხატულება ფრჩხილებში:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

მთელ განტოლებას ვყოფთ 6-ზე:

წარმოიდგინეთ 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 ფუძე იგივეა, გადააგდეთ ისინი და გააიგივეთ გრადუსები.
2x \u003d 2 აღმოჩნდა უმარტივესი განტოლება. ვყოფთ 2-ზე, მივიღებთ
x = 1
პასუხი: x = 1.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

9 x - 12*3 x +27= 0

მოდით გარდავქმნათ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ჩვენი ფუძეები იგივეა, უდრის სამს.ამ მაგალითში ცხადია, რომ პირველ სამეულს აქვს ხარისხი ორჯერ (2x), ვიდრე მეორეს (მხოლოდ x). ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ ჩანაცვლების მეთოდი. რიცხვი უმცირესი ხარისხით იცვლება:

შემდეგ 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

ჩვენ ყველა გრადუსს ვცვლით x-ებით განტოლებაში t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას. ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

ცვლადში დაბრუნება x.

ჩვენ ვიღებთ t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

ანუ

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს, t 2-დან:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
პასუხი: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

საიტზე შეგიძლიათ განყოფილებაში HELP DECIDE დასვათ საინტერესო კითხვები, ჩვენ აუცილებლად გიპასუხებთ.

შეუერთდი ჯგუფს

ხარისხი

ნომერი c (\displaystyle c)დაურეკა ნ- რიცხვის ხარისხში a (\displaystyle a), თუ

Თვისებები:

1. (a b) n = a n b n (\displaystyle \left(ab\right)^(n)=a^(n)b^(n))
2. (a b) n = a n b n (\displaystyle \left((a \over b)\right)^(n)=((a^(n)) \over (b^(n))))
3. a n a m = a n + m (\displaystyle a^(n)a^(m)=a^(n+m))
4. a n a m = a n − m (\displaystyle \left.(a^(n) \over (a^(m)))\right.=a^(n-m))
5. (a n) m = a n m (\displaystyle \left(a^(n)\right)^(m)=a^(nm))
6. ჩანაწერს არ გააჩნია ასოციაციურობის (შეთავსებადობის) თვისება, ანუ, ზოგადად, მარცხენა ასოციაციურობა არ არის მარჯვენა ასოციაციურობის ტოლი. (a n) m ≠ a (n m) (\displaystyle (a^(n))^(m)\neq a^(\left((n^(m))\მარჯვნივ))), შედეგი დამოკიდებული იქნება მოქმედებების თანმიმდევრობაზე, მაგალითად, (2 2) 3 = 4 3 = 64 (\displaystyle (2^(2))^(3)=4^(3)=64), ა 2 (2 3) = 2 8 = 256 (\displaystyle 2^(\left((2^(3))\მარჯვნივ))=2^(8)=256). ჩვეულებრივია ჩანაწერის განხილვა a n m (\displaystyle a^(n^(m)))ექვივალენტი a (n m) (\displaystyle a^(\left((n^(m))\მარჯვნივ))), მაგრამ სამაგიეროდ (a n) m (\displaystyle (a^(n))^(m))შეგიძლიათ უბრალოდ დაწეროთ a n m (\displaystyle a^(nm))წინა ქონების გამოყენებით. თუმცა, ზოგიერთი პროგრამირების ენა არ იცავს ამ კონვენციას (იხ.);
7. ექსპონენტაციას არ აქვს კომუტატიურობის თვისება  (გადაადგილება): ზოგადად რომ ვთქვათ, a b ≠ b a (\displaystyle a^(b)\neq b^(a)), Მაგალითად, 2 5 = 32 (\displaystyle 2^(5)=32), მაგრამ 5 2 = 25 (\displaystyle 5^(2)=25).

რეალური ხარისხი

დაე a ≥ 0, r (\displaystyle a\geqslant 0,r)არის რეალური რიცხვები და r (\displaystyle r)არის ირაციონალური რიცხვი. მოდით განვსაზღვროთ მნიშვნელობა შემდეგნაირად.

მოგეხსენებათ, ნებისმიერი რეალური რიცხვის მიახლოება შესაძლებელია, ზემოდან და ქვემოდან, ორი რაციონალური რიცხვით, ანუ შეგიძლიათ აირჩიოთ r (\displaystyle r)რაციონალური ინტერვალი [p, q] (\displaystyle)ნებისმიერი ხარისხის სიზუსტით. შემდეგ ყველა შესაბამისი ინტერვალის საერთო ნაწილი [a p, a q] (\displaystyle)შედგება ერთი წერტილისგან, რომელიც აღებულია როგორც a r (\displaystyle a^(r)).

სხვა მიდგომა ეფუძნება სერიებისა და ლოგარითმების თეორიას (იხ.).

გაძლიერება

კომპლექსური ხარისხი

ჯერ ვაჩვენოთ, როგორ გამოითვლება მაჩვენებელი e z (\displaystyle e^(z)), სად ე- ეილერის ნომერი, ზ- თვითნებური კომპლექსური ნომერი, z = x + y i (\displaystyle z=x+yi).

ახლა განიხილეთ ზოგადი შემთხვევა, სადაც a, b (\displaystyle a,b)ორივე რთული რიცხვია. ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა წარმოდგენაა a (\displaystyle a)ექსპონენციალური ფორმით და იდენტურობის გამოყენებით a b = e b Ln ⁡ (a) (\displaystyle a^(b)=e^(b\ \ოპერატორის სახელი (Ln) (a))), სად Ln (\displaystyle \ოპერატორის სახელი (Ln))- კომპლექსური ლოგარითმი:

უნდა გვახსოვდეს, რომ რთული ლოგარითმი მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციაა, ასე რომ, ზოგადად რომ ვთქვათ, რთული სიმძლავრე ცალსახად არ არის განსაზღვრული.

ხარისხი, როგორც ფუნქცია

რადგან გამოთქმა იყენებს ორ სიმბოლოს ( x (\displaystyle x)და y (\displaystyle y)), მაშინ ის შეიძლება ჩაითვალოს სამი ფუნქციიდან ერთ-ერთად:

სასარგებლო ფორმულები

X y = a y ჟურნალი a ⁡ x (\displaystyle x^(y)=a^(y\log _(a)x)) x y = e y ln ⁡ x (\displaystyle x^(y)=e^(y\ln x)) x y = 10 y lg ⁡ x (\displaystyle x^(y)=10^(y\lg x))

ბოლო ორი ფორმულა გამოიყენება დადებითი რიცხვების თვითნებურ სიმძლავრემდე ასაყვანად ელექტრონულ კალკულატორებზე (მათ შორის კომპიუტერულ პროგრამებზე), რომლებსაც არ აქვთ ჩაშენებული ფუნქცია. x y (\displaystyle x^(y)).

გამოიყენეთ ზეპირ მეტყველებაში

ჩაწერა a n (\displaystyle a^(n))ჩვეულებრივ იკითხება როგორც " ავ n (\displaystyle n)ხარისხი" ან " არამდენადაც ნ". Მაგალითად, 10 4 (\displaystyle 10^(4))იკითხება "ათი მეოთხე ძალამდე" 10 3/2 (\displaystyle 10^(3/2))იკითხება როგორც "ათი სამი წამის ხარისხზე (ან: ერთი და ნახევარი)."

მეორე და მესამე ხარისხის სპეციალური სახელებია: კვადრატი და კუბი, შესაბამისად. Მაგალითად, 10 2 (\displaystyle 10^(2))იკითხება როგორც "ათი კვადრატი" 10 3 (\displaystyle 10^(3))იკითხება "ათი კუბური". ეს ტერმინოლოგია წარმოიშვა ძველი ბერძნული მათემატიკიდან. ძველი ბერძნები ალგებრულ კონსტრუქციებს გეომეტრიული ალგებრის ენაზე აყალიბებდნენ (ინგლისური)რუსული. კერძოდ, სიტყვა "გამრავლების" ნაცვლად, ისინი საუბრობდნენ ფართობზე a 3 (\displaystyle a^(3)) - ეს არის " აგამრავლებული თავისთავად სამიჯერ“, იმის გათვალისწინებით, რომ სამი ფაქტორია მიღებული a (\displaystyle a). ეს არ არის მთლად ზუსტი და შეიძლება გამოიწვიოს გაურკვევლობა, რადგან გამრავლების რაოდენობა იქნება ერთით ნაკლები: a 3 = a ⋅ a ⋅ a (\displaystyle a^(3)=a\cdot a\cdot a)(სამი ფაქტორი, მაგრამ ორი გამრავლება). ხშირად, როდესაც ამბობენ, "გამოსახულია როგორც x I V (\displaystyle x^(IV))შესაბამისად . დეკარტიდან დაწყებული, ხარისხი აღინიშნა ფორმის "ორსართულიანი" აღნიშვნით. a b (\displaystyle a^(b)).

კომპიუტერებისა და კომპიუტერული პროგრამების მოსვლასთან ერთად გაჩნდა პრობლემა, რომ კომპიუტერული პროგრამების ტექსტში შეუძლებელია ხარისხის "ორსართულიანი" სახით დაწერა. ამასთან დაკავშირებით გამოიგონეს სპეციალური ხატები, რომლებიც მიუთითებდნენ ექსპონენტაციის მოქმედებაზე. პირველი ასეთი ხატი იყო ორი ვარსკვლავი.

პროგრამირების ენებსა და კომპიუტერულ სისტემებში ექსპონენტაციის ზოგიერთი ნიშანი.

სიმძლავრის ფუნქცია არის y=x n ფორმის ფუნქცია (წაიკითხეთ, როგორც y უდრის x n-ის ხარისხს), სადაც n არის მოცემული რიცხვი. სიმძლავრის ფუნქციების განსაკუთრებული შემთხვევებია y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x და მრავალი სხვა ფორმის ფუნქციები. მოდით უფრო მეტი ვისაუბროთ თითოეულ მათგანზე.

წრფივი ფუნქცია y=x 1 (y=x)

გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილში (0; 0) 45 გრადუსიანი კუთხით Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით.

სქემა ნაჩვენებია ქვემოთ.

წრფივი ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

• ფუნქცია იზრდება და განისაზღვრება მთელი რიცხვის ღერძზე.
• მას არ აქვს მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები.

კვადრატული ფუნქცია y=x 2

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა.

კვადრატული ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

• 1. x=0-ისთვის, y=0 და y>0 x0-სთვის
• 2. კვადრატული ფუნქცია თავის წვეროზე აღწევს თავის მინიმალურ მნიშვნელობას. Ymin x=0-ზე; ასევე უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა არ არსებობს.
• 3. ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე (-∞; 0] და იზრდება ინტერვალზე )