უტოლობების ამოხსნა პარამეტრით.
უტოლობები, რომლებსაც აქვთ ფორმა ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются წრფივი უტოლობები.
წრფივი უტოლობების პარამეტრით ამოხსნის პრინციპები ძალიან ჰგავს პარამეტრით წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპებს.
მაგალითი 1.
ამოხსენით უტოლობა 5x – a > ცული + 3.
გამოსავალი.
პირველი, მოდით გარდავქმნათ საწყისი უტოლობა:
5x – ax > a + 3, ავიღოთ x უტოლობის მარცხენა მხარეს ფრჩხილებიდან:
(5 – a)x > a + 3. ახლა განიხილეთ პარამეტრის შესაძლო შემთხვევები:
თუ a > 5, მაშინ x< (а + 3) / (5 – а).
თუ a = 5, მაშინ გამოსავალი არ არის.
Თუ< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).
ეს გამოსავალი იქნება პასუხი უთანასწორობაზე.
მაგალითი 2.
ამოხსენით x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a უტოლობა a ≠ 1-ისთვის.
გამოსავალი.
მოდით გადავცვალოთ საწყისი უტოლობა:
x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. თუ გავამრავლებთ უტოლობის ორივე მხარეს (-1-ზე), მივიღებთ:
ცული/(a – 1) ≥ a/3. მოდით განვიხილოთ a პარამეტრის შესაძლო შემთხვევები:
1 შემთხვევა. მოდით a/(a – 1) > 0 ან € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). შემდეგ x ≥ (a – 1)/3.
შემთხვევა 2. მოდით a/(a – 1) = 0, ე.ი. a = 0. მაშინ x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.
შემთხვევა 3. მოდით a/(a – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
პასუხი: x € [(a – 1)/3; +∞) ევროსთვის (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] ევროდ (0; 1);
x € R a = 0-ზე.
მაგალითი 3.
ამოხსენით უტოლობა |1 + x| ≤ ცული x-თან შედარებით.
გამოსავალი.
მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობის ცულის მარჯვენა მხარე უნდა იყოს არაუარყოფითი, ე.ი. ცული ≥ 0. უტოლობიდან მოდულის გამოვლენის წესით |1 + x| ≤ ცული გვაქვს ორმაგი უტოლობა
ნაჯახი ≤ 1 + x ≤ ცული. მოდით გადავიწეროთ შედეგი სისტემის სახით:
(ცული ≥ 1 + x;
(-ცული ≤ 1 + x.
მოდით გადავიტანოთ იგი:
((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.
ჩვენ ვსწავლობთ მიღებულ სისტემას ინტერვალებით და წერტილებით (ნახ. 1):
≤ -1 x €-ისთვის (-∞; 1/(a – 1)].
-1-ზე< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
როდესაც a = 0 x = -1.
0-ზე< а ≤ 1 решений нет.
უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი
გრაფიკების შედგენა მნიშვნელოვნად ამარტივებს პარამეტრის შემცველი განტოლებების ამოხსნას. გრაფიკული მეთოდის გამოყენება პარამეტრით უტოლობების ამოხსნისას კიდევ უფრო ნათელი და მიზანშეწონილია.
f(x) ≥ g(x) ფორმის უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა ნიშნავს x ცვლადის მნიშვნელობების პოვნას, რომლისთვისაც f(x) ფუნქციის გრაფიკი დევს g(x) ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ. ამისათვის ყოველთვის საჭიროა გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების პოვნა (თუ ისინი არსებობს).
მაგალითი 1.
ამოხსენით უტოლობა |x + 5|< bx.
გამოსავალი.
ვაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს y = |x + 5| და y = bx (ნახ. 2). უტოლობის გამოსავალი იქნება x ცვლადის ის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც არის y = |x + 5 ფუნქციის გრაფიკი. იქნება y = bx ფუნქციის გრაფიკის ქვემოთ. 
სურათზე ჩანს:
1) b > 1-სთვის წრფეები იკვეთება. ამ ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის აბსციზა არის x + 5 = bx განტოლების ამონახსნი, საიდანაც x = 5/(b – 1). გრაფიკი y = bx მდებარეობს ზემოთ x-ზე ინტერვალიდან (5/(b – 1); +∞), რაც ნიშნავს, რომ ეს სიმრავლე არის უტოლობის ამოხსნა.
2) ანალოგიურად ვხვდებით, რომ -1-ზე< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).
4) 0 ≤ b ≤ 1-ისთვის, გრაფიკები არ იკვეთება, რაც ნიშნავს, რომ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.
პასუხი: x € (-∞; 5/(b – 1)) b ≤ -1-ისთვის;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) -1-ზე< b < 0;
არ არის ამონახსნები 0 ≤ b ≤ 1-ისთვის; x € (5/(b – 1); +∞) b > 1-ისთვის.
მაგალითი 2.
ამოხსენით უტოლობა a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).
გამოსავალი.
1) ვიპოვოთ "საკონტროლო" მნიშვნელობები a პარამეტრისთვის: a 1 = 0 და 2 = -1.
2) მოვაგვაროთ ეს უტოლობა რეალური რიცხვების თითოეულ ქვეჯგუფზე: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).
აა< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;
ბ) a = -1, მაშინ ეს უტოლობა მიიღებს ფორმას 0 x > 0 – ამონახსნები არ არის;
გ) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
დ) a = 0, მაშინ ამ უტოლობას აქვს ფორმა 0 x > 4 – ამონახსნები არ არის;
ე) a > 0, ამ უტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ x > (a + 4)/a.
მაგალითი 3.
ამოხსენით უტოლობა |2 – |x||< a – x.
გამოსავალი.
ვაშენებთ y = |2 – |x|| ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 3)და განვიხილოთ სწორი წრფის მდებარეობის ყველა შესაძლო შემთხვევა y = -x + a. 
პასუხი: უტოლობას არ აქვს ამონახსნები ≤ -2-ისთვის;
x € (-∞; (a – 2)/2) ევროსთვის (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) a > 2-ისთვის.
პარამეტრებით სხვადასხვა ამოცანების, განტოლებებისა და უტოლობების გადაჭრისას აღმოჩენილია ევრისტიკული ტექნიკის მნიშვნელოვანი რაოდენობა, რომელთა წარმატებით გამოყენება შესაძლებელია მათემატიკის ნებისმიერ სხვა ფილიალში.
პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემები მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ლოგიკური აზროვნების და მათემატიკური კულტურის ფორმირებაში. სწორედ ამიტომ, პარამეტრებით პრობლემების გადაჭრის მეთოდებს რომ დაეუფლეთ, წარმატებით გაუმკლავდებით სხვა პრობლემებს.
ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ უტოლობები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!
ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.
კურსის მუშაობა
შემსრულებელი: ბუგროვი ს კ.
მრავალი ფიზიკური პროცესის და გეომეტრიული ნიმუშის შესწავლა ხშირად იწვევს პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრას. ზოგიერთი უნივერსიტეტი ასევე შეიცავს განტოლებებს, უტოლობას და მათ სისტემებს საგამოცდო ნაშრომებში, რომლებიც ხშირად ძალიან რთულია და ამოხსნის არასტანდარტულ მიდგომას მოითხოვს. სკოლაში სასკოლო მათემატიკის კურსის ეს ერთ-ერთი ყველაზე რთული განყოფილება განიხილება მხოლოდ რამდენიმე არჩევით კლასში.
ამ ნაშრომის მომზადებისას, მე დავსახე ამ თემის უფრო ღრმა შესწავლის მიზანი, ყველაზე რაციონალური გადაწყვეტის გამოვლენა, რომელიც სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე. ჩემი აზრით, გრაფიკული მეთოდი არის მოსახერხებელი და სწრაფი გზა განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრებით ამოსახსნელად.
ჩემი ესსე განიხილავს განტოლებების, უტოლობების და მათ სისტემებს, რომლებიც ხშირად გვხვდება და ვიმედოვნებ, რომ მუშაობის პროცესში მიღებული ცოდნა დამეხმარება სკოლის გამოცდების ჩაბარებაში და უნივერსიტეტში ჩაბარებისას.
§ 1. ძირითადი განმარტებები
განვიხილოთ განტოლება
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)
სადაც a, b, c, …, k, x არის ცვლადი სიდიდეები.
ცვლადი მნიშვნელობების ნებისმიერი სისტემა
a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0, x = x0,
რომელშიც ამ განტოლების ორივე მარცხენა და მარჯვენა მხარე იღებს რეალურ მნიშვნელობებს, ეწოდება a, b, c, ..., k, x ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების სისტემა. მოდით A იყოს a-ს ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, B იყოს b-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე და ა.შ., X იყოს x-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, ე.ი. аОА, bОB, …, xOX. თუ A, B, C, …, K სიმრავლეებიდან ავირჩევთ და ვაფიქსირებთ, შესაბამისად, ერთ მნიშვნელობას a, b, c, …, k და ჩავანაცვლებთ მათ განტოლებაში (1), მაშინ მივიღებთ განტოლებას x-ისთვის, ე.ი. განტოლება ერთი უცნობით.
ცვლადებს a, b, c, ..., k, რომლებიც განტოლების ამოხსნისას მუდმივად ითვლება, პარამეტრებს უწოდებენ, ხოლო თავად განტოლებას პარამეტრების შემცველი განტოლება.
პარამეტრები აღინიშნება ლათინური ანბანის პირველი ასოებით: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, ხოლო უცნობი - ასოებით x, y, z.
პარამეტრებით განტოლების ამოხსნა ნიშნავს იმის მითითებას, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე არსებობს ამონახსნები და რა არის ისინი.
ორ განტოლებას, რომელიც შეიცავს ერთსა და იმავე პარამეტრებს, ეწოდება ეკვივალენტური, თუ:
ა) მათ აქვთ აზრი იმავე პარამეტრის მნიშვნელობებზე;
ბ) პირველი განტოლების ყოველი ამონახსნი არის მეორე და პირიქით.
§ 2. ამოხსნის ალგორითმი.
იპოვეთ განტოლების განსაზღვრის სფერო.
გამოვხატავთ a-ს x-ის ფუნქციით.
xOa კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ a=¦(x) ფუნქციის გრაფიკს x-ის იმ მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც შედის ამ განტოლების განმარტების დომენში.
ვპოულობთ a=c წრფის გადაკვეთის წერტილებს, სადაც cÎ(-¥;+¥) a=¦(x) ფუნქციის გრაფიკით.თუ a=c წრფე კვეთს გრაფიკს a=¦(x) , შემდეგ განვსაზღვრავთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისს. ამისათვის საკმარისია ამოხსნათ განტოლება a=¦(x) x-ისთვის.
ჩვენ ვწერთ პასუხს.
I. ამოხსენით განტოლება
(1)ვინაიდან x=0 არ არის განტოლების ფესვი, განტოლება შეიძლება გადაწყდეს:
ანფუნქციის გრაფიკი არის ორი „წებოვანი“ ჰიპერბოლა. თავდაპირველი განტოლების ამონახსნების რაოდენობა განისაზღვრება აგებული წრფის გადაკვეთის წერტილებისა და y=a სწორი წრფის რაოდენობით.
თუ O (-¥;-1]П(1;+¥)П
, მაშინ სწორი y=a კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს ერთ წერტილში. x-ის განტოლების ამოხსნისას ამ წერტილის აბსცისს ვიპოვით.ამრიგად, ამ ინტერვალზე, განტოლებას (1) აქვს ამონახსნი
. , მაშინ სწორი y=a კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს ორ წერტილზე. ამ წერტილების აბსცისები შეიძლება ვიპოვოთ განტოლებებიდან და ვიღებთ და . , მაშინ y=a წრფე არ კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს, შესაბამისად ამონახსნები არ არის.თუ O (-¥;-1]П(1;+¥)П
, ეს ; , რომ , ; , მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის.II. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებაც
აქვს სამი განსხვავებული ფესვი.განტოლების გადაწერა როგორც
და წყვილი ფუნქციის შესწავლის შემდეგ, შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ პარამეტრის a და მხოლოდ მათი სასურველი მნიშვნელობები შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკის იმ პოზიციებს, რომლებშიც მას აქვს ზუსტად სამი წერტილი ფუნქციის გრაფიკთან გადაკვეთაზე. .xOy კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ ავაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს
). ამისათვის ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ იგი ფორმაში და, ოთხი წარმოქმნილი შემთხვევის განხილვის შემდეგ, დავწეროთ ეს ფუნქცია ფორმაშიფუნქციის გრაფიკიდან გამომდინარე
- ეს არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს დახრილობის კუთხე Ox ღერძის მიმართ ტოლი, და კვეთს Oy ღერძს კოორდინატებით (0, a) წერტილში, დავასკვნით, რომ სამი მითითებული გადაკვეთის წერტილის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს ხაზი ეხება ფუნქციის გრაფიკს. აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს.III. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული განტოლებათა სისტემაა
აქვს გადაწყვეტილებები.
სისტემის პირველი განტოლებიდან ვიღებთ
მაშასადამე, ეს განტოლება განსაზღვრავს "ნახევრად პარაბოლების" ოჯახს - პარაბოლის მარჯვენა ტოტები "სრიალებს" თავიანთი წვეროებით აბსცისის ღერძის გასწვრივ.ავირჩიოთ სრული კვადრატები მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს და გავამრავლოთ იგი
თვითმფრინავის მრავალი წერტილი
მეორე განტოლების დამაკმაყოფილებელი არის ორი სწორი ხაზი დამოდით გავარკვიოთ პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აქვს მრუდი "ნახევრად პარაბოლების" ოჯახიდან მინიმუმ ერთი საერთო წერტილი ერთ-ერთ სწორ ხაზთან.
სახელმწიფო საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება
სამარას რეგიონის საშუალო ზოგადი განათლება
სახელობის No2 სკოლა. ვ.მასკინას რკინიგზა Ხელოვნება. კლიავინო
კლიავლინსკის მუნიციპალური ოლქი
სამარას რეგიონი
« განტოლებები
და
უთანასწორობები
პარამეტრებით"
სახელმძღვანელო
კლიავინო
სახელმძღვანელო
"განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით"მე-10–11 კლასების მოსწავლეებისთვის
ეს სახელმძღვანელო არის დანართი არჩევითი კურსის პროგრამის "განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით", რომელმაც გაიარა გარე გამოცდა (სამარას რეგიონის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური ექსპერტთა საბჭო 2008 წლის 19 დეკემბერს რეკომენდირებულია გამოყენება სამარას რეგიონის საგანმანათლებლო დაწესებულებებში)
ავტორები
რომადანოვა ირინა ვლადიმეროვნა
მათემატიკის მასწავლებელი კლიავილინსკაიას საშუალო საგანმანათლებლო დაწესებულებაში
სახელობის No2 სკოლა. ვ.მასკინა, კლიავლინსკის რაიონი, სამარას ოლქი
სერბაევა ირინა ალექსეევნა
შესავალი …………………………………………………………… 3-4
წრფივი განტოლებები და უტოლობა პარამეტრებით……………..4-7
კვადრატული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით………………7-9
წილადი-რაციონალური განტოლებები პარამეტრებით……………..10-11
ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით……11-13
ტრიგონომეტრიული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებთან.14-15
ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებთან ერთად………16-17
ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებთან......16-18
ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მიზნები……………………………………………………...18-20
ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის……………………………21-28
შესავალი.
განტოლებები და უტოლობები პარამეტრებით.
თუ განტოლებაში ან უტოლობაში ზოგიერთ კოეფიციენტს არ არის მოცემული კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობები, მაგრამ ასოებით არის მითითებული, მაშინ მათ ე.წ. პარამეტრები,და თავად განტოლება ან უტოლობა პარამეტრული.
განტოლების ან უტოლობის გადასაჭრელად პარამეტრებით საჭიროა:
აირჩიეთ განსაკუთრებული მნიშვნელობა- ეს არის პარამეტრის მნიშვნელობა, რომელშიც ან გავლისას იცვლება განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა.
განსაზღვრეთ მოქმედი მნიშვნელობები- ეს არის პარამეტრის მნიშვნელობები, რომლებშიც განტოლება ან უტოლობა აზრი აქვს.
განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა პარამეტრებით ნიშნავს:
1) განსაზღვრეთ რა პარამეტრის მნიშვნელობებში არსებობს გადაწყვეტილებები;
2) პარამეტრის მნიშვნელობების თითოეული დასაშვები სისტემისთვის იპოვეთ ამონახსნების შესაბამისი ნაკრები.
თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლება პარამეტრით შემდეგი მეთოდების გამოყენებით: ანალიტიკური ან გრაფიკული.
ანალიტიკური მეთოდი მოიცავს განტოლების შესწავლას რამდენიმე შემთხვევის განხილვით, რომელთაგან არცერთის გამოტოვება არ შეიძლება.
განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნა თითოეული ტიპის პარამეტრებით ანალიტიკური მეთოდით მოიცავს სიტუაციის დეტალურ ანალიზს და თანმიმდევრულ კვლევას, რომლის დროსაც ჩნდება საჭიროება. "ფრთხილი მოპყრობა"პარამეტრით.
გრაფიკული მეთოდი გულისხმობს განტოლების გრაფიკის აგებას, საიდანაც შეიძლება დადგინდეს, თუ როგორ მოქმედებს პარამეტრის ცვლილება, შესაბამისად, განტოლების ამოხსნაზე. გრაფიკი ზოგჯერ საშუალებას გაძლევთ ანალიტიკურად ჩამოაყალიბოთ პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო და საკმარისი პირობები. გრაფიკული ამოხსნის მეთოდი განსაკუთრებით ეფექტურია, როდესაც თქვენ უნდა დაადგინოთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას პარამეტრზე და აქვს უდავო უპირატესობა იმისა, რომ ეს ნათლად დაინახოს.
§ 1. წრფივი განტოლებები და უტოლობა.
წრფივი განტოლება ა x = ბ , ზოგადი ფორმით დაწერილი, შეიძლება ჩაითვალოს განტოლებად პარამეტრებით, სადაც x - უცნობი , ა , ბ - პარამეტრები. ამ განტოლებისთვის, პარამეტრის სპეციალური ან საკონტროლო მნიშვნელობა არის ის, რომლის დროსაც უცნობის კოეფიციენტი ნულდება.
პარამეტრით წრფივი განტოლების ამოხსნისას განიხილება შემთხვევები, როდესაც პარამეტრი უდრის მის განსაკუთრებულ მნიშვნელობას და განსხვავდება მისგან.
სპეციალური პარამეტრის მნიშვნელობა ა არის ღირებულება ა = 0.
ბ = 0 არის სპეციალური პარამეტრის მნიშვნელობა ბ .
ზე ბ ¹ 0 განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.
ზე ბ = 0 განტოლება მიიღებს ფორმას: 0x = 0. ამ განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.
ფორმის უტოლობები აჰ > ბ და ნაჯახი < ბ (a ≠ 0)წრფივი უტოლობები ეწოდება. უთანასწორობის გადაწყვეტილებების ნაკრები აჰ >ბ- ინტერვალი
(; +
),
თუ ა
> 0
, და (-;)
, თუ ა< 0
. ანალოგიურად უთანასწორობისთვის
ოჰ<
ბ
ამონახსნების ნაკრები - ინტერვალი(-;),
თუ ა
> 0,
და (; +),
თუ ა< 0.
მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება ცული = 5
გამოსავალი: ეს არის წრფივი განტოლება.
თუ a = 0, შემდეგ განტოლება 0 × x = 5გამოსავალი არ აქვს.
თუ ა¹ 0, x =- განტოლების ამოხსნა.
უპასუხე: ზე ა¹ 0, x=
a = 0-სთვის გამოსავალი არ არის.
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება ნაჯახი – 6 = 2a – 3x.
გამოსავალი:ეს არის წრფივი განტოლება, ნაჯახი – 6 = 2a – 3x (1)
ცული + 3x = 2a +6
განტოლების გადაწერა როგორც (a+3)x = 2(a+3)განიხილეთ ორი შემთხვევა:
a= -3და ა¹ -3.
თუ a= -3, მაშინ ნებისმიერი რეალური რიცხვი Xარის (1) განტოლების ფესვი. თუ ა¹ -3 , განტოლებას (1) აქვს ერთი ფესვი x = 2.
პასუხი:ზე a = -3, x 
რ
;
ზე ა
¹
-3, x = 2.
მაგალითი 3. რა პარამეტრის მნიშვნელობებზე აგანტოლების ფესვებს შორის
2h – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0უფრო მეტი ფესვებია 1 ?
გამოსავალი: მოდი ამოვხსნათ განტოლება 2h – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0- წრფივი განტოლება
2(a - 2) x = a 2 – 4a +4
2(a - 2) x = (a – 2) 2
ზე a = 2განტოლების ამოხსნა 0x = 0იქნება ნებისმიერი რიცხვი, მათ შორის ერთი 1-ზე მეტი.
ზე ა¹
2 x = 
.
პირობით x > 1, ანუ >1 და >4.
პასუხი:ზე ა (2) U (4;∞).
მაგალითი 4 . თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობისთვის აიპოვნეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა ah=8.
გამოსავალი. ცული = 8- წრფივი განტოლება.
წ = ა- ჰორიზონტალური ხაზების ოჯახი;
წ = - გრაფიკი არის ჰიპერბოლა. მოდით ავაშენოთ ამ ფუნქციების გრაფიკები.
პასუხი: თუ a =0, მაშინ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს. თუ a ≠ 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი.
მაგალითი 5 . გრაფიკების გამოყენებით გაარკვიეთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას:
|x| = აჰ - 1.
y =| x | ,
წ = აჰ - 1- გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის წერტილს (0;-1).
მოდით ავაშენოთ ამ ფუნქციების გრაფიკები.
პასუხი: როდის |ა|>1- ერთი ფესვი
ზე | ა|≤1 - განტოლებას არ აქვს ფესვები.
მაგალითი 6 . უთანასწორობის ამოხსნა ცული + 4 > 2x + ა 2
გამოსავალი
:
ცული + 4 > 2x + ა
2
(a – 2) x >ა
2
– 4. განვიხილოთ სამი შემთხვევა.
უპასუხე. x > a + 2ზე a > 2; X<а + 2, ზე ა< 2; ზე a=2არ არის გადაწყვეტილებები.
§ 2. კვადრატული განტოლებები და უტოლობა
Კვადრატული განტოლებაარის ფორმის განტოლება ოჰ ² + ბ x + c = 0 , სად a≠ 0,
A, ბ , თან - პარამეტრები.
პარამეტრით კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სტანდარტული ამოხსნის მეთოდები შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:
1
)
კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი:
დ
=
ბ
² - 4
აწ
,
(
²-
ა.კ)
2)
კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები:X
1
=
, X
2
=
,
(X
1,2 =
)
კვადრატული უტოლობები ეწოდება
ა X 2 + ბ x + c > 0,ა X 2 + ბ x + c< 0, (1), (2)
ა X 2 + ბ x + c ≥ 0,ა X 2 + ბ x + c ≤ 0,(3), (4)
უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე (3) მიიღება უტოლობის (1) ამონახსნების სიმრავლეებისა და განტოლების გაერთიანებით. , ა X 2 + ბ x + c = 0.ანალოგიურად შეიძლება მოიძებნოს უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე (4).
თუ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი
ა
X
2
+
ბ
x + c
არის ნულზე ნაკლები, მაშინ a > 0-ისთვის ტრინომი დადებითია ყველა x-ისთვის რ.
თუ კვადრატულ ტრინომს აქვს ფესვები (x 1
< х
2
), შემდეგ a > 0-ისთვის არის დადებითი ნაკრებზე(-;
x 2 )
(X 2;
+)
და უარყოფითი ინტერვალზე
(x 1; x 2 ). Თუ< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; x 2 ) და უარყოფითი ყველა x-ისთვის (-;
x 1 )(X 2;
+).
მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება ax² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.
ეს არის კვადრატული განტოლება
გამოსავალი: განსაკუთრებული მნიშვნელობა a = 0.
ზე a = 0ვიღებთ წრფივ განტოლებას 2x - 4 = 0. მას აქვს ერთი ფესვი x = 2.
ზე a ≠ 0.მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი.
დ = (a-1)² + 4a = (a+1)²
თუ a = -1,რომ დ = 0 - ერთი ფესვი.
ვიპოვოთ ფესვი ჩანაცვლებით a = -1.
-x² + 4x – 4= 0,ანუ x² -4x + 4 = 0,ჩვენ ვპოულობთ ამას x=2.
თუ a ≠ - 1, ეს დ
>0
. root ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:x= 
;
X 1 =2, x 2 = -.
პასუხი:ზე a=0 და a= -1განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = 2;ზე a ≠ 0 და
ა ≠ - 1 განტოლებას ორი ფესვი აქვსX 1 =2, x 2 =-.
მაგალითი 2. იპოვეთ ამ განტოლების ფესვების რაოდენობა x²-2x-8-a=0პარამეტრების მნიშვნელობების მიხედვით ა.
გამოსავალი. მოდით გადავიწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x²-2x-8=a
წ = x²-2x-8- გრაფიკი არის პარაბოლა;
წ =ა- ჰორიზონტალური ხაზების ოჯახი.
მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები.
პასუხი: როდის ა<-9 , განტოლებას არ აქვს ამონახსნები; როდესაც a=-9, განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი; ზე a> -9, განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს.
მაგალითი 3. რაზე აუთანასწორობა (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0შეესაბამება x-ის ყველა მნიშვნელობას?
გამოსავალი.კვადრატული ტრინომი დადებითია x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, თუ
a-3 > 0 და დ<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
საიდანაც გამომდინარეობს, რომა
> 6
.
უპასუხე.ა > 6
§ 3. წილადი რაციონალური განტოლებები პარამეტრით,
შემცირდება წრფივი
წილადური განტოლებების ამოხსნის პროცესი მიმდინარეობს ჩვეულებრივი სქემის მიხედვით: წილადი იცვლება მთელი რიცხვით განტოლების ორივე მხარის მარცხენა და მარჯვენა მხარის საერთო მნიშვნელზე გამრავლებით. რის შემდეგაც წყდება მთელი განტოლება, გარდა გარე ფესვებისა, ანუ რიცხვებისა, რომლებიც მნიშვნელს ნულს აქცევს.
პარამეტრით განტოლების შემთხვევაში ეს პრობლემა უფრო რთულია. აქ, ზედმეტი ფესვების „აღრიცხვის“ მიზნით, საჭიროა ვიპოვოთ პარამეტრის მნიშვნელობა, რომელიც აქცევს საერთო მნიშვნელს ნულზე, ანუ ამოხსნას პარამეტრის შესაბამისი განტოლებები.
მაგალითი 1.
ამოხსენით განტოლება 
= 0
გამოსავალი: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – a = 0, x = a.
პასუხი:ზე a ≠ - 2, x=a
ზე a = -2არ არის ფესვები.
მაგალითი 2
.
ამოხსენით განტოლება 
- 
= 
(1)
ეს არის წილადი რაციონალური განტოლება
გამოსავალი:მნიშვნელობა a = 0არის განსაკუთრებული. ზე a = 0განტოლებას აზრი არ აქვს და შესაბამისად არ აქვს ფესვები. თუ a ≠ 0,შემდეგ გარდაქმნების შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- კვადრატული განტოლება.
მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი 
= (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4,
იპოვნეთ განტოლების ფესვებიX
1
= a + 1, x
2
= a - 3.
(1) განტოლებიდან (2) განტოლებაზე გადასვლისას გაფართოვდა (1) განტოლების განმარტების დომენი, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს უცხო ფესვების გამოჩენა. ამიტომ, გადამოწმება აუცილებელია.
ექსპერტიზა.გამოვრიცხოთ ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან Xისინი, რომლებშიც
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.
თუ X 1 +1=0, ანუ (a+1) + 1= 0, ეს a= -2.ამრიგად,
ზე a= -2 , X 1 -
თუ X 1 +2=0, ანუ (a+1)+2=0,რომ a = - 3. ამრიგად, როდესაც a = - 3, x 1 - განტოლების უცხო ფესვი. (1).
თუ X 2 +1=0, ანუ (a – 3) + 1= 0, ეს a = 2. ამრიგად, როდესაც a = 2 x 2 - (1) განტოლების უცხო ფესვი.
თუ X 2 +2=0, ანუ ( a – 3) + 2 = 0,რომ a=1. ამრიგად, როდესაც a = 1,
X 2 - განტოლების უცხო ფესვი (1).
ამის შესაბამისად, როცა a = - 3ვიღებთ x = - 3 – 3 = -6;
ზე a = - 2 x = -2 – 3= - 5;
ზე a = 1 x =1 + 1 = 2;
ზე a = 2 x = 2+1 = 3.
შეგიძლიათ დაწეროთ პასუხი.
პასუხი: 1) თუ a= -3,რომ x= -6; 2) თუ a= -2, ეს x= -5; 3) თუ a = 0, მაშინ ფესვები არ არის; 4) თუ a = 1, ეს x=2; 5) თუ a=2, ეს x=3; 6) თუ a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, შემდეგ x 1 = a + 1, x 2 = a-3.
§4. ირაციონალური განტოლებები და უტოლობა
განტოლებები და უტოლობები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ძირის ნიშნის ქვეშ, ეწოდება ირაციონალური.
ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა მოდის ირაციონალურიდან რაციონალურ განტოლებაზე გადასვლაზე, განტოლების ორივე მხარის მაჩვენებლით ან ცვლადის ჩანაცვლებით. როდესაც განტოლების ორივე მხარე ტოლი სიმძლავრის ტოლფასია, შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები. ამიტომ, ამ მეთოდის გამოყენებისას, თქვენ უნდა შეამოწმოთ ნაპოვნი ყველა ფესვი მათი ორიგინალურ განტოლებაში ჩანაცვლებით, პარამეტრის მნიშვნელობების ცვლილებების გათვალისწინებით.
ფორმის განტოლება 
=g (x) სისტემის ტოლფასია 
უტოლობა f (x) ≥ 0 გამომდინარეობს განტოლებიდან f (x) = g 2 (x).
ირაციონალური უტოლობების ამოხსნისას გამოვიყენებთ შემდეგ ეკვივალენტურ გარდაქმნებს:
≤ g(x) 
≥გ(x) 
მაგალითი 1.
ამოხსენით განტოლება 
= x + 1 (3)
ეს არის ირაციონალური განტოლება
გამოსავალი:
არითმეტიკული ფესვის განმარტებით, განტოლება (3) სისტემის ტოლფასია 
.
ზე a = 2სისტემის პირველ განტოლებას აქვს ფორმა 0 x = 5, ანუ გამოსავალი არ აქვს.
ზე a≠ 2 x= 
.
მოდით გავარკვიოთ რა ღირებულებებითა
ნაპოვნი ღირებულებაX
აკმაყოფილებს უთანასწორობასx ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
სადაც a ≤ან a > 2.
პასუხი:ზე a≤, a > 2 x= ,
ზე < а ≤ 2
განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.
მაგალითი 2.
ამოხსენით განტოლება 
= ა
(დანართი 4)
გამოსავალი. წ
=
წ = ა- ჰორიზონტალური ხაზების ოჯახი.
მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები.
უპასუხე: ზე ა<0 - არ არსებობს გადაწყვეტილებები;
ზე ა≥ 0 - ერთი გამოსავალი.
მაგალითი 3
. მოვაგვაროთ უტოლობა(a+1) 
<1.
გამოსავალი.ო.დ.ზ. x ≤ 2. თუ a+1 ≤0, მაშინ უტოლობა მოქმედებს ყველა დასაშვებ მნიშვნელობებზე X. თუ a+1>0, ეს
(a+1) <1.<
სადაც X (2- 
2
უპასუხე.
X (- ;2ზე ა (-;-1,
X (2- 2
ზე ა
(-1;+).
§ 5. ტრიგონომეტრიული განტოლებები და უტოლობა.
აქ მოცემულია უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:
სინქსი = ა x= (-1)ნ arcsin a+πn, n Z, 
≤1, (1)
Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
თუ
>1, მაშინ (1) და (2) განტოლებებს არ აქვთ ამონახსნები.
tan x = a x= არქტანი a + πn, n ზ, ა რ
ctg x = a x = arcctg a + πn, n ზ, ა რ
თითოეული სტანდარტული უტოლობისთვის ჩვენ მივუთითებთ ამონახსნების ერთობლიობას:
1.
sin x > ა arcsin a + 2 πn
Z,
ზე ა
<-1,
x რ
;
ზე ა
≥ 1,
არ არის გადაწყვეტილებები.
2. . ცოდვა x< a π - რკალი a + 2 πnZ,
a≤-1-ისთვის არ არის გამოსავალი; > 1-ისთვის,x რ
3.
cos
x
>
ა
-
არკები
ა
+ 2
πn
<
x
<
არკები
ა
+ 2
πn
,
ნ
ზ
,
ზე ა<-1,
x რ
; ზე ა
≥ 1
, არ არსებობს გადაწყვეტილებები.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
ზე a≤-1
, არ არის გადაწყვეტილებები; ზეა
> 1,
x
რ
5. tan x > a, arctan a + πnZ
6.ტგ x< a, -π/2 + πn Z
მაგალითი 1. იპოვე ა, რისთვისაც ამ განტოლებას აქვს ამონახსნი:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
გამოსავალი.განტოლება დავწეროთ ფორმაში
თანos 2 x + (2 ა -4) cosx +(ა – 5)(a+1) =0,კვადრატის სახით ამოხსნით, მივიღებთ cosx = 5-ადა cosx = -a-1.
განტოლება cosx
= 5-
ა
აქვს მოწოდებული გადაწყვეტილებები -1≤ 5-ა
≤1
4≤
ა≤ 6 და განტოლება. cosx
= -
a-1
მოწოდებული -1≤ -1-ა
≤ 1
-2 ≤
ა
≤0.
უპასუხე.
ა
-2; 0 4; 6
მაგალითი 2.
რაზე ბარის ისეთი, რომ უთანასწორობა 
+
ბ> 0 მოქმედებს ყველა x ≠πn
,
ნ
ზ
.
გამოსავალი.დავსვათ ა= 0. უტოლობა მოქმედებს b >0. ახლა ვაჩვენოთ, რომ არცერთი b ≤0 არ აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. მართლაც, საკმარისია x = დააყენოთ π /2, თუ ა <0, и х = - π /2 ზე ა ≥0.
უპასუხე.b>0
§ 6. ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობა
1. განტოლება თ(x)
ვ ( x )
=
თ(x)
გ ( x) ზე თ(x) > 0 უდრის ორი სისტემის კრებულს 
და 
2. განსაკუთრებულ შემთხვევაში (h (x)= ა ) განტოლება ა f(x) = ა g(x) at ა> 0, უდრის ორი სისტემის კრებულს
და 
3. განტოლება ა f(x) = ბ , სად ა > 0, ა ≠1, ბ>0, განტოლების ტოლფასი
f (x)= log a b. ხდება ა=1 განიხილება ცალკე.
უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა ემყარება სიმძლავრის თვისებას. ფორმის უთანასწორობავ(ა
x ) > 0 ცვლადის ცვლილების გამოყენებითტ=
ა
x ამცირებს უტოლობათა სისტემის ამოხსნას 
შემდეგ კი შესაბამისი მარტივი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნას.
არამკაცრი უტოლობის ამოხსნისას აუცილებელია მკაცრი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლეს შესაბამისი განტოლების ფესვების დამატება. როგორც გამონათქვამის შემცველ ყველა მაგალითში განტოლებების ამოხსნისას ა f (x), ჩვენ ვვარაუდობთ ა> 0. საქმე ა= 1 განიხილება ცალკე.
მაგალითი 1
.
რაზე აგანტოლება 8 x = 
მხოლოდ დადებითი ფესვები აქვს?
გამოსავალი.
ერთზე მეტი ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებით გვაქვს x>0 8
X >1 >1
>0, საიდანა
(1,5;4).
უპასუხე.
ა
(1,5;4).
მაგალითი 2. უთანასწორობის ამოხსნა ა 2 ∙2 x > ა
გამოსავალი. განვიხილოთ სამი შემთხვევა:
1.
ა< 0
. ვინაიდან უტოლობის მარცხენა მხარე დადებითია, მარჯვენა კი უარყოფითი, უტოლობა მოქმედებს ნებისმიერი x-ისთვის. რ.
2. ა=0. გადაწყვეტილებები არ არსებობს.
3.
ა
> 0
.
ა
2
∙2
x
> ა
2
x
>
x > - ჟურნალი 2
ა
უპასუხე.
X რზე ა
> 0; არ არსებობს გადაწყვეტილებები
ა
=0; X (-
ჟურნალი 2
ა; +) ზეa> 0
.
§ 7. ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობა
წარმოვადგინოთ ამოხსნისას გამოყენებული რამდენიმე ეკვივალენტობა ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები.
1. განტოლება log f (x) g (x) = log f (x) h (x) სისტემის ტოლფასია
კერძოდ, თუ ა >0, ა≠1, მაშინ
ჟურნალი ა
g(x)=ლოგი ა
h(x) 
2.
განტოლება ჟურნალი ა
g(x)=b g(x)=ა
ბ (
ა
>0,
a ≠
1, გ(x) >0).
3. უთანასწორობა ჟურნალი ვ ( x )
გ (x) ≤
ჟურნალი ვ ( x )
თ(x) უდრის ორი სისტემის ერთობლიობას: 
და 
Თუ, b არის რიცხვები, a >0, a ≠1, მაშინ
ჟურნალი ა
f(x) ≤ ბ 
ჟურნალი ა
f(x)>b 
მაგალითი 1.
ამოხსენით განტოლება 
გამოსავალი. ვიპოვოთ ODZ: x > 0, x ≠ ა 4 , ა > 0, ა≠ 1. გარდაქმენით განტოლება
ჟურნალი 
x – 2 = 4 – ჟურნალი ა
x ჟურნალი x + ჟურნალი ა
x– 6 = 0, საიდანაც ჟურნალი ა
x = - 3
x = ა-3 და ჟურნალი ა
x = 2
x = ა 2. მდგომარეობა x = ა
4
ა
– 3
=
ა 4 ან ა
2
=
ა
4
არ არის შესრულებული ODZ-ზე.
პასუხი: x = ა-3, x = ა 2 საათზე ა
(0; 1) 
(1; ).
მაგალითი 2 . იპოვნეთ ყველაზე დიდი ღირებულება ა, რისთვისაც განტოლება
2
ჟურნალი 
-
+
ა
= 0 აქვს ამონახსნები.
გამოსავალი.
ჩანაცვლებას გავაკეთებთ =
ტდა მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას 2ტ 2
–
ტ +
ა
= 0. ამოხსნა, ვპოულობთდ = 1-8
ა
. განვიხილოთ დ≥0, 1-8
ა
≥0 
ა
≤.
ზე ა = კვადრატულ განტოლებას აქვს ფესვიტ= >0.
უპასუხე. ა =
მაგალითი 3 . უთანასწორობის ამოხსნაჟურნალი(x 2 – 2 x + ა ) > - 3
გამოსავალი.
მოდით გადავჭრათ უტოლობათა სისტემა 
კვადრატული ტრინომების ფესვები x 1,2
= 1 ± 
მათი 3,4
= 1 ± 
.
კრიტიკული პარამეტრის მნიშვნელობები: ა= 1 და ა= 9.
მოდით X 1 და X 2 იყოს პირველი და მეორე უტოლობების ამონახსნების სიმრავლეები
X 1 
X 2
= X – საწყისი უტოლობის ამოხსნა.
0-ზე<
ა
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), ზეა> 1 X 1 = (-;+).
0-ზე<
ა
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), ზეა≥9 X 2 - ხსნარის გარეშე.
განვიხილოთ სამი შემთხვევა:
1. 0<
ა
≤1 X = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
ა
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. ა≥ 9 X - ხსნარის გარეშე.
ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მიზნები
მაღალი დონე C1, C2
მაგალითი 1. იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა რ, რისთვისაც განტოლება
რ ∙ ctg 2x+2sinx+ გვ= 3 აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.
გამოსავალი.გადავცვალოთ განტოლება
რ ∙ (
- 1) + 2sinx + გვ= 3, sinx =t, ტ 
, ტ 
0.
-
გვ+2ტ+ გვ
= 3,
+ 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = გვ
.
დაე ვ(წ) = 3
ტ 2
– 2
ტ 3
. ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრებივ(x) ზე 
. ზე /
= 6
ტ – 6
ტ 2
, 6
ტ - 6
ტ 2
= 0,
ტ 1
=0,
ტ 2
= 1.
ვ(-1) = 5,
ვ(1) = 1.
ზე ტ ,
ე(ვ) =
,
ზე ტ ,
ე(ვ) =
, ანუ როდის ტ ,
ე(ვ) =
.
მე-3 განტოლებამდეტ 2
– 2
ტ 3
=
გვ
(შესაბამისად მოცემული) ერთი ფესვი მაინც ჰქონდა საჭირო და საკმარისიგვ
ე(ვ), ანუ გვ
.
უპასუხე.
.
მაგალითი 2.
რა პარამეტრის მნიშვნელობებზეაგანტოლება ჟურნალი 
(4
x 2
– 4
ა
+
ა
2
+7) = 2-ს აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?
გამოსავალი.მოდით გადავიყვანოთ განტოლება ამის ერთ ეკვივალენტად:
4x 2 - 4 ა + ა 2 +7 = (x 2 + 2) 2.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ გარკვეული რიცხვი x არის მიღებული განტოლების ფესვი, მაშინ რიცხვი - x ასევე არის ამ განტოლების ფესვი. პირობით, ეს შეუძლებელია, ამიტომ ერთადერთი ფესვი არის რიცხვი 0.
ჩვენ ვიპოვით ა.
4∙ 0 2 - 4ა + ა 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
ა 2 - 4ა +7 = 4, ა 2 - 4ა +3 = 0, ა 1 = 1, ა 2 = 3.
ექსპერტიზა.
1)
ა
1
= 1. მაშინ განტოლება ასე გამოიყურება:ჟურნალი (4
x 2
+4) =2. მოდი მოვაგვაროთ
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 არის ერთადერთი ფესვი.
2)
ა
2
= 3. განტოლება ასე გამოიყურება:ჟურნალი (4
x 2
+4) =2 x = 0 არის ერთადერთი ფესვი.
უპასუხე. 1; 3
მაღალი დონე C4, C5
მაგალითი 3. იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა R,რისთვისაც განტოლება
x 2 - ( რ+ 3)x + 1= 0-ს აქვს მთელი ფესვები და ეს ფესვები არის ამონახსნები უტოლობაზე: x 3 – 7 რ x 2 + 2x 2 - 14 რ x - 3x +21 რ ≤ 0.
გამოსავალი.
მოდით x 1,
X 2
– x განტოლების მთელი რიცხვი ფესვები 2
– (რ
+ 3)x + 1= 0. შემდეგ ვიეტას ფორმულის მიხედვით ტოლობები x 1
+ x 2
=
რ
+ 3, x 1
∙ x 2
= 1. x ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი 1
, X 2
შეიძლება იყოს ერთის ტოლი მხოლოდ ორ შემთხვევაში: x 1
= x 2
= 1 ან x 1
= x 2
= - 1. თუ x 1
= x 2
= 1, მაშინრ
+ 3 = 1+1 = 2რ
= - 1; თუ x 1
= x 2
= - 1, მაშინრ
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 რ
= - 5. შევამოწმოთ არის თუ არა x განტოლების ფესვები 2
– (რ
+ 3)x + 1= 0 აღწერილ შემთხვევებში ამ უტოლობის ამონახსნებით. შემთხვევისთვისრ
= - 1, x 1
= x 2
= 1 გვაქვს
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – მართალია; შემთხვევისთვის რ= - 5, x 1 = x 2 = - 1 გვაქვს (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – სწორია. ასე რომ, პრობლემის პირობები მხოლოდ დაკმაყოფილებულია რ= - 1 და რ = - 5.
უპასუხე.რ 1 = - 1 და რ 2 = - 5.
მაგალითი 4. იპოვნეთ პარამეტრის ყველა დადებითი მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც რიცხვი 1 ეკუთვნის ფუნქციის განსაზღვრის დომენს
ზე
= (ა 
-
ა 
).
სამუშაოს ტიპი: 18
მდგომარეობა
პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებს უტოლდება უტოლობა
\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1დაკმაყოფილებულია x-ის ყველა მნიშვნელობით?
გამოსავლის ჩვენებაგამოსავალი
ეს უტოლობა უდრის ორმაგ უტოლობას 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .
მოდით \sin x=t, მაშინ მივიღებთ უტოლობას:
4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , რომელიც უნდა შესრულდეს -1 \leq t \leq 1-ის ყველა მნიშვნელობისთვის. თუ a=0, მაშინ უტოლობა (*) მოქმედებს ნებისმიერი t\in [-1;1] .
მოდით \neq 0 . ფუნქცია f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t იზრდება [-1;1] ინტერვალზე, ვინაიდან წარმოებული f"(t)=3t^(2) +4at +5a^(2) > 0 t \in \mathbb(R) და a \neq 0-ის ყველა მნიშვნელობისთვის (დისკრიმინანტი D< 0 и старший коэффициент больше нуля).
უტოლობა (*) დაკმაყოფილდება t \in [-1;1] პირობებით
\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \მარცხნივ მარჯვენა ისარი \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\: \მარცხნივ მარჯვენა ისარი \ დასაწყისი (შემთხვევები) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq ა< 0 .
ასე რომ, პირობა დაკმაყოფილებულია, როდესაც -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .
უპასუხე
\left [ -\frac(2)(5); 0 \ მარჯვენა ]
წყარო: „მათემატიკა. 2016 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მზადება. პროფილის დონე." რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.
სამუშაოს ტიპი: 18
თემა: უტოლობები პარამეტრით
მდგომარეობა
იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის არის უტოლობა
x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a
აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.
გამოსავლის ჩვენებაგამოსავალი
უტოლობა უდრის უტოლობათა სისტემების ერთობლიობას
\left[\!\!\begin(მასივი)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(შემთხვევები) \\ \დაწყება(შემთხვევები)x
Oxa კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ ავაშენებთ ფუნქციების გრაფიკებს a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.
მიღებული სიმრავლე კმაყოფილდება ფუნქციების გრაფიკებს შორის ჩასმული წერტილებით a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x x\in ინტერვალზე (დაჩრდილული ტერიტორია).
გრაფიკიდან განვსაზღვრავთ: თავდაპირველ უტოლობას აქვს უნიკალური ამონახსნები a=-4 და a=5, ვინაიდან დაჩრდილულ არეში იქნება ერთი წერტილი ორდინატით -4-ის ტოლი და 5-ის ტოლი.
ამ გაკვეთილზე ჩვენ შევისწავლით უტოლობების პარამეტრებით ამოხსნის ალგორითმს და ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ იგი ამ ტიპის პრობლემის გადაჭრისას.
განმარტება ერთი.
პარამეტრით უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს, თითოეული პარამეტრის მნიშვნელობისთვის, მოცემული უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლის პოვნას ან იმის მტკიცებას, რომ ამონახსნები არ არსებობს.
განვიხილოთ წრფივი უტოლობები.
განმარტება ორი.
x პლუს ფორმის უტოლობები იყოს ნულზე მეტი, ნულის მეტი ან ტოლი, ნულზე ნაკლები, ნულის ნაკლები ან ტოლი, სადაც ადა იყოს რეალური რიცხვები, X- ცვლადი, ეწოდება პირველი ხარისხის უტოლობა (წრფივი უტოლობა).
წრფივი უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი პარამეტრით, მაგალითად, უტოლობა x პლუს იყოს ნულზე მეტი, სადაც ადა იყოს რეალური რიცხვები, X- ცვლადი. განვიხილოთ შემდეგი შემთხვევები:
პირველი შემთხვევა:აარის ნულზე მეტი, მაშინ x მეტია მინუსზე გაყოფა a-ზე.
შესაბამისად, უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე არის ღია ციფრული სხივი მინუსიდან გაყოფილი a-ზე პლუს უსასრულობაზე.
მეორე შემთხვევა:ანულზე ნაკლები, მაშინ x ნაკლებია მინუსზე გაყოფა a-ზე
და, მაშასადამე, უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე არის ღია ციფრული სხივი მინუს უსასრულობამდე მინუს, გაყოფილი a-ზე.
მესამე შემთხვევა: აუდრის ნულს, მაშინ უტოლობა მიიღებს ფორმას: ნული გამრავლებული x-ზე პლუს იქნება ნულზე მეტი და ბაენულზე მეტი, ნებისმიერი რეალური რიცხვი არის უტოლობის ამოხსნა და როდის ბაენულზე ნაკლები ან ტოლი, უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.
დანარჩენი უტოლობა წყდება ანალოგიურად.
მოდით შევხედოთ მაგალითებს.
სავარჯიშო 1
ამოხსენით უტოლობა a x არის ერთზე ნაკლები ან ტოლი.
გამოსავალი
ნიშნის მიხედვით აგანვიხილოთ სამი შემთხვევა.
პირველი შემთხვევა: თუ ამეტია ნულზე, მაშინ x ნაკლებია ან ტოლია ერთზე გაყოფილი a-ზე;
მეორე შემთხვევა: თუ აარის ნულზე ნაკლები, მაშინ x მეტია ან ტოლია ერთზე გაყოფილი a-ზე;
მესამე შემთხვევა: თუ აუდრის ნულს, მაშინ უტოლობა მიიღებს ფორმას: x-ზე გამრავლებული ნული არის ერთზე ნაკლები ან ტოლი და, შესაბამისად, ნებისმიერი რეალური რიცხვი არის საწყისი უტოლობის ამოხსნა.
ამრიგად, თუ აარის ნულზე მეტი, მაშინ x ეკუთვნის სხივს მინუს უსასრულობიდან ერთამდე გაყოფილი a-ზე.
თუ ა ანულის ტოლი,
რომ x
პასუხი: თუ აარის ნულზე მეტი, მაშინ x ეკუთვნის სხივს მინუს უსასრულობიდან ერთზე გაყოფილი a-ზე;
თუ აარის ნულზე ნაკლები, მაშინ x ეკუთვნის სხივს ერთიდან გაყოფილი a-ზე პლუს უსასრულობამდე და თუ ანულის ტოლი,
რომ x x ეკუთვნის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს.
დავალება 2
ამოხსენით უტოლობის მოდული x-ს მინუს ორი, ვიდრე მინუს a-სა და ერთ-ს შორის სხვაობის კვადრატი.
გამოსავალი
გაითვალისწინეთ, რომ x-ს გამოკლებული ორი მოდული მეტია ან ტოლია ნულის ნებისმიერი რეალურისთვის Xდა მინუს a-სა და ერთს შორის სხვაობის კვადრატი არის ნულის ტოლი ან ნაკლები პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ა. ამიტომ, თუ აუდრის ერთს, შემდეგ ნებისმიერს X- ორის გარდა რეალური რიცხვი არის უტოლობის ამოხსნა და თუ აარ არის ერთის ტოლი, მაშინ ნებისმიერი რეალური რიცხვი არის უტოლობის ამოხსნა.
პასუხი: თუ აუდრის ერთს, მაშინ x ეკუთვნის ორი ღია რიცხვითი სხივის გაერთიანებას მინუს უსასრულობიდან ორამდე და ორიდან პლუს უსასრულობამდე,
და თუ ამიეკუთვნება ორი ღია რიცხვითი სხივის კავშირს მინუს უსასრულობიდან ერთამდე და ერთიდან პლუს უსასრულობამდე, მაშინ Xეკუთვნის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს.
დავალება 3
ამოხსენით უტოლობა სამჯერ სხვაობა ოთხი a და x ნაკლები ორი a x პლუს სამი.
გამოსავალი
ამ უტოლობის ელემენტარული გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ უტოლობას: x გამრავლებული ორი a და სამის ჯამზე მეტია სამზე გამრავლებული ოთხი a და ერთის სხვაობით.
პირველი შემთხვევა: თუ ორს პლუს სამი მეტია ნულზე, ე.ი ამეტია მინუს სამ წამზე, მაშინ x მეტია წილადზე, რომლის მრიცხველი სამჯერ არის ოთხი a და ერთის სხვაობაზე, ხოლო მნიშვნელი არის ორი და პლუს სამი.
მეორე შემთხვევა: თუ ორს პლუს სამი არის ნულზე ნაკლები, ე.ი აარის მინუს სამ წამზე ნაკლები, მაშინ x ნაკლებია წილადზე, რომლის მრიცხველი სამჯერ არის ოთხი a და ერთის სხვაობაზე, ხოლო მნიშვნელი არის ორი a პლუს სამი.
მესამე შემთხვევა: თუ ორს პლუს სამი უდრის ნულს, ე.ი აუდრის მინუს სამ წამს,
ნებისმიერი რეალური რიცხვი არის საწყისი უტოლობის ამოხსნა.
შესაბამისად, თუ a ეკუთვნის ღია რიცხვით წრფეს მინუს სამი წამიდან პლუს უსასრულობამდე, მაშინ x
მიეკუთვნება წილადის ღია რიცხვით წრფეს, რომლის მრიცხველი სამჯერ არის ოთხი a-სა და ერთის სხვაობაზე, ხოლო მნიშვნელი არის ორი პლიუს სამი, პლუს უსასრულობამდე.
თუ a მიეკუთვნება ღია რიცხვით წრფეს მინუს უსასრულობიდან მინუს სამ წამამდე, მაშინ x ეკუთვნის ღია რიცხვით წრფეს მინუს უსასრულობიდან წილადამდე, რომლის მრიცხველი სამჯერ არის ოთხი a და ერთის სხვაობაზე, ხოლო მნიშვნელი არის ორი a პლუს. სამი;
თუ აუდრის მინუს სამ წამს, მაშინ Xეკუთვნის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს.
პასუხი: თუ a ეკუთვნის ღია რიცხვით წრფეს მინუს სამი წამიდან პლუს უსასრულობამდე, მაშინ x
მიეკუთვნება წილადის ღია რიცხვის სხივს, რომლის მრიცხველი სამჯერ არის ოთხი a-სა და ერთის სხვაობაზე, ხოლო მნიშვნელი არის ორი პლიუს სამი პლუს უსასრულობამდე;
თუ a ეკუთვნის ღია რიცხვით წრფეს მინუს უსასრულობიდან მინუს სამ წამამდე, მაშინ x მიეკუთვნება ღია რიცხვით წრფეს მინუს უსასრულობიდან წილადამდე, რომლის მრიცხველი სამჯერ უდრის ოთხის a და ერთის სხვაობას, ხოლო მნიშვნელი არის ორი a პლუს. სამი;
თუ აუდრის მინუს სამ წამს, მაშინ Xეკუთვნის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს.
დავალება 4
ყველა სწორი პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის აამოხსენით უტოლობის კვადრატული ფესვი x-ს გამოკლებული პლუს კვადრატული ფესვი ორიდან მინუს x პლუს კვადრატული ფესვი მინუს ერთი პლუს კვადრატული ფესვი სამის გამოკლებული a ნულზე მეტი.
გამოსავალი
ვიპოვოთ პარამეტრის განსაზღვრის დომენი ა. იგი განისაზღვრება უტოლობათა სისტემით, რომლის ამოხსნისას აღმოვაჩენთ, რომ a ეკუთვნის სეგმენტს ერთიდან სამამდე.
ეს უტოლობა უდრის უტოლობათა სისტემას, რომლის ამოხსნით აღმოვაჩენთ, რომ x მიეკუთვნება a-დან ორ a-მდე სეგმენტს.
თუ a მიეკუთვნება სეგმენტს ერთიდან სამამდე, მაშინ თავდაპირველი უტოლობის ამონახსნი არის სეგმენტი a-დან ორამდე a.
პასუხი: თუ a მიეკუთვნება სეგმენტს ერთიდან სამამდე, toix ეკუთვნის სეგმენტს a-დან ორამდე a.
დავალება 5
იპოვე ყველა ა, რისთვისაც უთანასწორობა
x-ის კვადრატული ფესვი კვადრატში მინუს x მინუს ორს დამატებული წილადის კვადრატული ფესვი, რომლის მრიცხველიც არის ორი გამოკლებული x და მნიშვნელი არის x პლუს ოთხი მეტი ან ტოლი x-ს პლუს ორი გამოკლებული წილადის კვადრატული ფესვი, რომლის მრიცხველიც არის x პლუს ერთი და მნიშვნელი არის ხუთი გამოკლებული x არ აქვს ამონახსნი.
გამოსავალი
Პირველი. მოდით გამოვთვალოთ ამ უტოლობის განსაზღვრის დომენი. იგი განისაზღვრება უტოლობათა სისტემით, რომლის ამონახსნი არის ორი რიცხვი: x უდრის მინუს ერთს და x უდრის ორს.
მეორე. მოდით ვიპოვოთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ამ უტოლობას აქვს გადაწყვეტილებები. ამისთვის ყველაფერს ვიპოვით ა, რომლისთვისაც x უდრის მინუს ერთს და x უდრის ორს - ეს არის ამ უტოლობის ამოხსნა. განვიხილოთ და გადავწყვიტოთ ორი სისტემის ნაკრები. გამოსავალი არის ორი რიცხვითი სხივის გაერთიანება მინუს უსასრულობიდან მინუს ერთ ნახევარამდე და ერთიდან პლუს უსასრულობამდე.
ეს ნიშნავს, რომ ამ უტოლობას აქვს ამონახსნი, თუ a მიეკუთვნება მინუს ორი რიცხვითი სხივების გაერთიანებას.
უსასრულობა მინუს ერთ ნახევრამდე და ერთიდან პლუს უსასრულობამდე.
მესამე. შესაბამისად, ამ უტოლობას არ აქვს ამონახსნი, თუ a ეკუთვნის შუალედს მინუს ერთი ნახევრიდან ერთამდე.
პასუხი: უტოლობას არ აქვს ამონახსნი, თუ a მიეკუთვნება მინუს ნახევრიდან ერთამდე ინტერვალს.
