მონოტონური ფუნქციაარის ფუნქცია, რომელიც იცვლება იმავე მიმართულებით.

ფუნქცია იზრდება , თუ უფრო დიდი არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო დიდ ფუნქციის მნიშვნელობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ღირებულება იზრდება xმნიშვნელობა წასევე იზრდება, მაშინ ეს არის მზარდი ფუნქცია.

ფუნქცია მცირდება , თუ უფრო დიდი არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო მცირე ფუნქციის მნიშვნელობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ღირებულება იზრდება xმნიშვნელობა წმცირდება, მაშინ ეს არის კლებადი ფუნქცია.

თუ ფუნქცია იზრდება ან მცირდება გარკვეულ ინტერვალზე, მაშინ მას ამ ინტერვალზე მონოტონური ეწოდება.

ფუნქცია მუდმივი (არაერთფეროვანი) , თუ ის არც მცირდება და არც იზრდება.

თეორემა(ერთფეროვნების აუცილებელი ნიშანი):

1. თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია f(x) იზრდება გარკვეულ ინტერვალში, მაშინ მისი წარმოებული ამ ინტერვალზე არის არაუარყოფითი, ე.ი.

2. თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია f(x) გარკვეულ ინტერვალში მცირდება, მაშინ მისი წარმოებული ამ ინტერვალზე არაპოზიტიურია, .

3. თუ ფუნქცია არ იცვლება, მაშინ მისი წარმოებული ტოლია ნულის, ე.ი. .

თეორემა(ერთფეროვნების საკმარისი ნიშანი):

მოდით, f(x) იყოს უწყვეტი (a;b) ინტერვალზე და ჰქონდეს წარმოებული ყველა წერტილში, მაშინ:

1. თუ შიგნით (a;b) დადებითია, მაშინ f(x) იზრდება.

2. თუ შიგნით (a;b) უარყოფითია, მაშინ f(x) მცირდება.

3. თუ , მაშინ f(x) მუდმივია.

ფუნქციის შესწავლა ექსტრემებისთვის.

ექსტრემალური- ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა მოცემულ კომპლექტზე. წერტილს, სადაც მიღწეულია ექსტრემუმი, ეწოდება ექსტრემალური წერტილი. შესაბამისად, თუ მიღწეულია მინიმუმი, უკიდურეს წერტილს ეწოდება მინიმალური წერტილი, ხოლო თუ მაქსიმუმი მიღწეულია, მას უწოდებენ მაქსიმალურ წერტილს.

1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი და ინტერვალები, რომლებზეც ფუნქცია უწყვეტია.

2. იპოვეთ წარმოებული.

3. იპოვეთ კრიტიკული წერტილები, ე.ი. წერტილები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული არის ნული ან არ არსებობს.

4. თითოეულ ინტერვალში, რომლებშიც განსაზღვრების დომენი იყოფა კრიტიკული წერტილებით, განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშანი და ფუნქციის ცვლილების ბუნება.

5. თითოეული კრიტიკული წერტილისთვის დაადგინეთ არის თუ არა ის ზუსტი მაქსიმალური, მინიმალური თუ არა ექსტრემალური წერტილი.

ჩამოწერეთ ერთფეროვნებისა და ექსტრემის ფუნქციური ინტერვალების შესწავლის შედეგი.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა.

სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის სქემა.

1. იპოვეთ წარმოებული.

2. იპოვეთ კრიტიკული წერტილები ამ სეგმენტზე.

3. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა კრიტიკულ წერტილებში და სეგმენტის ბოლოებში.

4. გამოთვლილი მნიშვნელობებიდან აირჩიეთ ყველაზე პატარა და უდიდესი.

ფუნქციის ამოზნექილი და ჩაზნექილი.

რკალს ეწოდება ამოზნექილი, თუ ის კვეთს მის რომელიმე სეკანტს არაუმეტეს ორ წერტილზე.

ამოზნექილი ზევით წარმოქმნილ ხაზებს ამოზნექილი ეწოდება, ხოლო ქვევით ამოზნექილი ხაზებს – ჩაზნექილი.

გეომეტრიულად ნათელია, რომ ამოზნექილი რკალი დევს მის რომელიმე ტანგენტის ქვეშ, ხოლო ჩაზნექილი რკალი ტანგენტის ზემოთ.

ფუნქციის დახრის წერტილები.

დახრის წერტილი არის წრფის წერტილი, რომელიც გამოყოფს ამოზნექილ რკალს ჩაზნექილისაგან.

დახრის წერტილში ტანგენსი კვეთს ხაზს; ამ წერტილის სიახლოვეს წრფე დგას ტანგენსის ორივე მხარეს.

პირველი წარმოებულის შემცირების ინტერვალი შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილ მონაკვეთს, ხოლო გაზრდის ინტერვალი - ჩაღრმავებულ მონაკვეთს.

თეორემა(დაბრუნების წერტილების შესახებ):

თუ მეორე წარმოებული ყველგან უარყოფითია ინტერვალში, მაშინ ამ ინტერვალის შესაბამისი y = f(x) წრფის რკალი ამოზნექილია. თუ მეორე წარმოებული ყველგან დადებითია ინტერვალში, მაშინ ამ ინტერვალის შესაბამისი y = f(x) წრფის რკალი ჩაზნექილია.

გადახრის წერტილის აუცილებელი ნიშანი:

თუ არის დახრის წერტილის აბსცისა, მაშინ ან არსებობს ან არ არსებობს.

გადახრის წერტილის საკმარისი ნიშანი:

წერტილი არის y = f(x) წრფის გადახრის წერტილი, თუ , და ;

როდესაც არის ამოზნექილი უბანი მარცხნივ, ჩაზნექილი უბანი მარჯვნივ და ჩაზნექილი არე მარცხნივ და ამოზნექილი მარჯვნივ.

ასიმპტოტები.

განმარტება.

ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს თვისება, რომ მანძილი ფუნქციის გრაფიკის წერტილიდან ამ სწორ ხაზამდე ნულისკენ მიისწრაფვის, რადგან გრაფიკის წერტილი განუსაზღვრელი ვადით მოძრაობს საწყისიდან.

ასიმპტოტების სახეები:

1. სწორ ხაზს ეწოდება y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტა, თუ პირდაპირი სიდიდეებიდან ერთი მაინც. ან უდრის ან .

რიცხვითი კომპლექტი Xითვლის სიმეტრიულინულთან შედარებით, თუ რომელიმე xЄ Xმნიშვნელობა - Xასევე ეკუთვნის კომპლექტს X.

ფუნქცია წ = ვ(XX, ითვლის თუნდაც X xЄ X, ვ(X) = ვ(-X).

ლუწი ფუნქციისთვის, გრაფიკი სიმეტრიულია Oy ღერძის მიმართ.

ფუნქცია წ = ვ(X), რომელიც განსაზღვრულია ნაკრებზე X, ითვლის უცნაური, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები: ა) დადგენილი Xსიმეტრიული ნულის მიმართ; ბ) ვინმესთვის xЄ X, ვ(X) = -ვ(-X).

უცნაური ფუნქციისთვის, გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

ფუნქცია ზე = ვ(x), xЄ X, დაურეკა პერიოდული on X, თუ არის ნომერი თ (თ ≠ 0) (პერიოდიფუნქციები), რომ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:

• X - თდა X + თბევრისგან Xვინმესთვის XЄ X;
• ვინმესთვის XЄ X, ვ(X + თ) = ვ(X - თ) = ვ(X).

Შემთხვევაში თარის ფუნქციის პერიოდი, შემდეგ ფორმის ნებისმიერი რიცხვი mT, სად მЄ ზ, მ≠ 0, ეს ასევე ამ ფუნქციის პერიოდია. მოცემული ფუნქციის უმცირეს დადებით პერიოდს (თუ ის არსებობს) მის ძირითად პერიოდს უწოდებენ.

Შემთხვევაში თარის ფუნქციის ძირითადი პერიოდი, შემდეგ მისი გრაფიკის ასაგებად, შეგიძლიათ გრაფის ნაწილი დახაზოთ სიგრძის განსაზღვრის დომენის ნებისმიერ ინტერვალზე. თ, და შემდეგ გააკეთეთ გრაფიკის ამ მონაკვეთის პარალელური გადატანა O ღერძის გასწვრივ X±-ით თ, ±2 თ, ....

ფუნქცია წ = ვ(X), ქვევით შემოსაზღვრულიკომპლექტზე X არომ ვინმესთვის XЄ X, ა ≤ ვ(X). ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც შეზღუდულია კომპლექტზე ქვემოთ X, მთლიანად მდებარეობს სწორი ხაზის ზემოთ ზე = ა(ეს არის ჰორიზონტალური ხაზი).

ფუნქცია ზე = ვ(x), ზემოდან შემოსაზღვრულიკომპლექტზე X(ეს უნდა განისაზღვროს ამ კომპლექტზე), თუ არის ნომერი INრომ ვინმესთვის XЄ X, ვ(X) ≤ IN. X სიმრავლეზე ზემოდან შემოსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკი მთლიანად მდებარეობს ხაზის ქვემოთ ზე = IN(ეს არის ჰორიზონტალური ხაზი).

ფუნქცია განიხილება შეზღუდულიკომპლექტზე X(ეს უნდა განისაზღვროს ამ სიმრავლეზე) თუ ამ ნაკრებზე არის შემოსაზღვრული ზემოდან და ქვემოდან, ანუ არის ასეთი რიცხვები ადა INრომ ვინმესთვის XЄ Xუთანასწორობები დაკმაყოფილებულია ა ≤ ვ(x) ≤ ბ. ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც შეზღუდულია სიმრავლით X, მთლიანად მდებარეობს სწორ ხაზებს შორის ზე = ადა ზე = IN(ეს არის ჰორიზონტალური ხაზები).

ფუნქცია ზე = ვ (X), კომპლექტზე შეზღუდულად ითვლება X(ეს უნდა განისაზღვროს ამ კომპლექტზე), თუ არის ნომერი თან> 0, რომელიც ნებისმიერისთვის xЄ X, │ვ(X)│≤ თან.

ფუნქცია ზე = ვ(X), XЄ X, დაურეკა მზარდი (არაკლებადი)ქვეჯგუფზე მთან Xროცა ყველასთვის X 1 და X 2 of მისეთივე როგორც X 1 < X 2, სამართლიანი ვ(X 1) < ვ(X 2) (ვ(X 1) ≤ ვ(X 2)). ან ფუნქცია y ეწოდება იზრდებაკომპლექტზე TO, თუ ამ ნაკრებიდან არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას.

ფუნქცია ზე = ვ(X), XЄX, ე.წ კლებადი (არა მზარდი)ქვეჯგუფზე მთან Xროცა ყველასთვის X 1 და X 2 of მისეთივე როგორც X 1 < X 2, სამართლიანი ვ(X 1) > ვ(X 2) (ვ(X 1) ≥ ვ(X 2)). ან ფუნქცია ზეკომპლექტზე კლება ეწოდება TO, თუ ამ ნაკრებიდან არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

ფუნქცია ზე = ვ(x), XЄ X, დაურეკა ერთფეროვანიქვეჯგუფზე მთან X, თუ ის მცირდება (არამზარდი) ან იზრდება (არაკლებადი) მ.

თუ ფუნქცია ზე = ვ(X), XЄ X, მცირდება ან იზრდება ქვეჯგუფზე მთან X, მაშინ ასეთი ფუნქცია ეწოდება მკაცრად ერთფეროვანიკომპლექტზე მ.

ნომერი მდაურეკა ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა y გადასაღებ მოედანზე TO, თუ ეს რიცხვი არის ფუნქციის მნიშვნელობა x-ის გარკვეულ მნიშვნელობაზე 0 არგუმენტი ნაკრებიდანTOდა არგუმენტის სხვა მნიშვნელობებისთვის K სიმრავლიდან y ფუნქციის მნიშვნელობა არ არის რიცხვზე მეტიმ.

ნომერი მდაურეკა ყველაზე დაბალი ღირებულებაფუნქციები y კომპლექტში TO, თუ ეს რიცხვი არის ფუნქციის მნიშვნელობა გარკვეულ მნიშვნელობაზე X 0 არგუმენტი ნაკრებიდან TOდა არგუმენტის x სხვა მნიშვნელობებისთვის კომპლექტიდან TO y ფუნქციის მნიშვნელობა არ არის რიცხვზე ნაკლები მ.

ფუნქციის ძირითადი თვისებები , საიდანაც უმჯობესია დაიწყოს მისი შესწავლა და კვლევა, ეს არის მისი განმარტებისა და მნიშვნელობის სფერო. უნდა გახსოვდეთ, როგორ არის გამოსახული ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები. მხოლოდ ამის შემდეგ შეგიძლიათ გადახვიდეთ უფრო რთული გრაფიკების შექმნაზე. თემას „ფუნქციები“ ფართო გამოყენება აქვს ეკონომიკასა და ცოდნის სხვა დარგებში. ფუნქციები შესწავლილია მათემატიკის მთელი კურსის განმავლობაში და გრძელდება შესწავლაუმაღლესი სასწავლებლები . იქ ფუნქციების შესწავლა ხდება პირველი და მეორე წარმოებულების გამოყენებით.

რომელიც არ ცვლის ნიშანს, ანუ ყოველთვის არაუარყოფითი ან ყოველთვის არადადებითი. თუ დამატებით ნამატი არ არის ნული, მაშინ ფუნქცია გამოძახებულია მკაცრად ერთფეროვანი. მონოტონური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც იცვლება იმავე მიმართულებით.

ფუნქცია იზრდება, თუ უფრო დიდი არგუმენტი შეესაბამება უფრო დიდ ფუნქციის მნიშვნელობას. ფუნქცია მცირდება, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

განმარტებები

დაე, ფუნქცია იყოს მოცემული

. . . .

(მკაცრად) მზარდ ან კლებად ფუნქციას (მკაცრად) მონოტონურს უწოდებენ.

სხვა ტერმინოლოგია

ზოგჯერ გაზრდის ფუნქციებს უწოდებენ არ კლებულობსდა ფუნქციების შემცირება არ მზარდი. მკაცრად მზარდ ფუნქციებს უბრალოდ გაზრდის უწოდებენ, ხოლო მკაცრად კლებად ფუნქციებს უბრალოდ კლებადობას.

მონოტონური ფუნქციების თვისებები

ფუნქციის ერთფეროვნების პირობები

პირიქით, ზოგადად რომ ვთქვათ, სიმართლეს არ შეესაბამება. მკაცრად მონოტონური ფუნქციის წარმოებული შეიძლება გაქრეს. თუმცა, წერტილების სიმრავლე, სადაც წარმოებული არ არის ნულის ტოლი, უნდა იყოს მკვრივი ინტერვალზე, უფრო სწორედ ასეა.

ანალოგიურად, მკაცრად მცირდება ინტერვალით, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი ორი პირობა:

მაგალითები

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის „მონოტონური ფუნქცია“ სხვა ლექსიკონებში:

მონოტონური ფუნქცია- არის ფუნქცია f(x), რომელიც შეიძლება იყოს გაზრდილი გარკვეულ ინტერვალზე (ანუ რაც უფრო დიდია არგუმენტის მნიშვნელობა ამ ინტერვალზე, მით მეტია ფუნქციის მნიშვნელობა), ან კლებადი (საპირისპირო შემთხვევაში) ........

ფუნქცია, რომელიც, როდესაც არგუმენტი იზრდება, ან ყოველთვის იზრდება (ან მინიმუმ არ მცირდება), ან ყოველთვის მცირდება (არ იზრდება) ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

- (მონოტონური ფუნქცია) ფუნქცია, რომელშიც არგუმენტის მნიშვნელობის ზრდისას ფუნქციის მნიშვნელობა ყოველთვის ერთი და იგივე მიმართულებით იცვლება. ამიტომ, თუ y=f(x), მაშინ ან dy/dx 0 x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, ამ შემთხვევაში y იზრდება... ... ეკონომიკური ლექსიკონი

- (ბერძნულიდან monótonos monochromatic) ფუნქცია, რომლის ნამატები Δf(x) = f(x') f(x) Δx = x' x > 0 არ ცვლის ნიშანს, ანუ ისინი ან ყოველთვის არაუარყოფითი არიან ან ყოველთვის. არაპოზიტიური. მთლად ზუსტად რომ არ გამოვხატო, მ.ფ. ეს არის ფუნქციები, რომლებიც იცვლება... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ფუნქცია, რომელიც, როდესაც არგუმენტი იზრდება, ან ყოველთვის იზრდება (ან სულაც არ მცირდება), ან ყოველთვის მცირდება (არ იზრდება). * * * მონოტონური ფუნქცია მონოტონური ფუნქცია, ფუნქცია, რომელიც, როდესაც არგუმენტი იზრდება, ან ყოველთვის იზრდება (ან... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ერთი ცვლადის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია რეალური რიცხვების გარკვეულ ქვეჯგუფზე, ჯგუფში ზრდა არ ცვლის ნიშანს, ანუ ის ყოველთვის არის არაუარყოფითი ან ყოველთვის არაპოზიტიური. თუ მკაცრად მეტია (ნაკლები) ნულზე, მაშინ M.f. დაურეკა...... მათემატიკური ენციკლოპედია

ფუნქცია, რომელიც, როდესაც არგუმენტი იზრდება, ან ყოველთვის იზრდება (ან მინიმუმ არ მცირდება), ან ყოველთვის მცირდება (არ იზრდება) ... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ეს არის თანმიმდევრობა, რომლის ელემენტები არ მცირდება რიცხვის ზრდასთან ერთად, ან, პირიქით, არ იზრდება. ასეთ თანმიმდევრობებს ხშირად ვხვდებით კვლევაში და აქვთ მთელი რიგი განმასხვავებელი თვისებები და დამატებითი თვისებები... ... ვიკიპედია

ფუნქცია- გუნდი ან ადამიანთა ჯგუფი და ინსტრუმენტები ან სხვა რესურსები, რომლებსაც ისინი იყენებენ ერთი ან მეტი პროცესის ან აქტივობის შესასრულებლად. მაგალითად, მომხმარებელთა მხარდაჭერა. ამ ტერმინს ასევე აქვს სხვა მნიშვნელობა: ... ... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

ფუნქცია- 1. დამოკიდებული ცვლადი; 2. y=f(x) შესაბამისობა ცვლად სიდიდეებს შორის, რის გამოც რომელიმე x სიდიდის თითოეული განხილული მნიშვნელობა (არგუმენტი ან დამოუკიდებელი ცვლადი) შეესაბამება გარკვეულ მნიშვნელობას... ... ეკონომიკურ-მათემატიკური ლექსიკონი

განმარტება: ამბობენ, რომ ფუნქცია იზრდება გარკვეული ინტერვალით, თუ ამ ინტერვალში არგუმენტის ყოველი უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას.

Def.: ფუნქცია მცირდება გარკვეული ინტერვალით, თუ ამ ინტერვალში არგუმენტის ყოველი უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

როგორ იზრდება . ანალოგიურად, კლებად ფუნქციებს მონოტონური ეწოდება.

თუ ფუნქცია არ არის მონოტონური, მაშინ მისი განსაზღვრის დომენი შეიძლება დაიყოს ერთფეროვნების ინტერვალების სასრულ რაოდენობად, რომლებიც შეიძლება ალტერნატიული იყოს ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალებით.

y = f(x) ფუნქციის ერთფეროვნება ხასიათდება მისი პირველი წარმოებულის f ¤ (x) ნიშნით, კერძოდ, თუ რომელიმე ინტერვალში f ¤ (x) > 0, მაშინ ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალში, თუ გარკვეული ინტერვალი f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

y = f(x) ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალების პოვნა მცირდება მისი პირველი წარმოებულის f ¤ (x) მუდმივი ნიშნის ინტერვალების პოვნამდე.

აქედან ვიღებთ წესს y = f(x) ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალების პოვნის შესახებ.

1. იპოვეთ f ¤ (x)-ის ნულები და უწყვეტობის წერტილები.

2. საცდელი მეთოდით განსაზღვრეთ f ¤ (x) ნიშანი იმ ინტერვალებში, რომლებშიც 1 საფეხურზე მიღებული წერტილები ყოფენ f (x) ფუნქციის განსაზღვრის დომენს.

მაგალითი:

იპოვეთ y = - x 2 + 10x + 7 ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები

ვიპოვოთ f ¤ (x). y¢ = -2x +10

წერტილი, სადაც y¢ = 0 არის ერთი და ის ყოფს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს შემდეგ ინტერვალებად: (– ∞,5) და (5,+ ∞), რომელთაგან თითოეულში y¢ ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს. მოდით ჩავანაცვლოთ ფუნქციის კონკრეტული მნიშვნელობები ამ ინტერვალებში და განვსაზღვროთ y¢ ნიშანი მითითებულ ინტერვალებზე, შემდეგ:

ინტერვალზე (– ∞,5] y¢ > 0,

ინტერვალზე ფუნქცია იზრდება, ხოლო I ინტერვალზე (3,+ ∞), რომელთაგან თითოეულში y¢ ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს. მოდით ჩავანაცვლოთ ფუნქციის კონკრეტული მნიშვნელობები ამ ინტერვალებში და განვსაზღვროთ y¢ ნიშანი მითითებულ ინტერვალებზე.

მონოტონური ფუნქციაარის ფუნქცია მატებარომელიც არ იცვლის ნიშანს, ანუ ყოველთვის არაუარყოფითი ან ყოველთვის არაპოზიტიური. თუ დამატებით ნამატი არ არის ნული, მაშინ ფუნქცია გამოძახებულია მკაცრად ერთფეროვანი. მონოტონური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც იცვლება იმავე მიმართულებით.

ფუნქცია იზრდება, თუ უფრო დიდი არგუმენტი შეესაბამება უფრო დიდ ფუნქციის მნიშვნელობას. ფუნქცია მცირდება, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას.

დაე, ფუნქცია იყოს მოცემული

(მკაცრად) მზარდ ან კლებად ფუნქციას (მკაცრად) მონოტონურს უწოდებენ.

ექსტრემის განმარტება

ფუნქცია y = f(x) ნათქვამია, რომ იზრდება (მცირდება) გარკვეულ ინტერვალში, თუ x1-ისთვის< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია y = f(x) იზრდება (მცირდება) ინტერვალზე, მაშინ მისი წარმოებული ამ ინტერვალზე f "(x) > 0

(f" (x)< 0).

xо წერტილს ეწოდება f(x) ფუნქციის ლოკალური მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი, თუ არის xо წერტილის სამეზობლო, რომლისთვისაც არის უტოლობა f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо). )) მართალია ყველა პუნქტისთვის.

მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ექსტრემალური წერტილები, ხოლო ფუნქციის მნიშვნელობებს ამ წერტილებში ეწოდება მისი ექსტრემა.

ექსტრემალური წერტილები

ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობები. თუ წერტილი xо არის f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილი, მაშინ ან f "(xо) = 0, ან f (xо) არ არსებობს. ასეთ წერტილებს უწოდებენ კრიტიკულს, ხოლო თავად ფუნქცია განისაზღვრება კრიტიკულზე. წერტილი ფუნქციის ექსტრემა უნდა ვეძებოთ მის კრიტიკულ წერტილებს შორის.

პირველი საკმარისი პირობა. დაე, xo იყოს კრიტიკული წერტილი. თუ f"(x) ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე xo წერტილის გავლისას, მაშინ xo წერტილში ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი, წინააღმდეგ შემთხვევაში აქვს მინიმალური. თუ კრიტიკულ წერტილში გავლისას წარმოებული არ იცვლის ნიშანს, მაშინ xo წერტილში ექსტრემუმი არ არის.

მეორე საკმარისი პირობა. მოდით, f(x) ფუნქციას ჰქონდეს წარმოებული f "(x) xо წერტილის სიახლოვეს და მეორე წარმოებული თავად xо წერტილში. თუ f" (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

სეგმენტზე ფუნქცია y = f(x) შეუძლია მიაღწიოს თავის მინიმალურ ან მაქსიმალურ მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.

7. ამოზნექილობის, ჩაზნექის ფუნქციების ინტერვალები .გადახრის წერტილები.

ფუნქციის გრაფიკი წ=f(x)დაურეკა ამოზნექილიინტერვალზე (ა; ბ), თუ იგი მდებარეობს ამ ინტერვალზე მისი რომელიმე ტანგენტის ქვემოთ. ფუნქციის გრაფიკი წ=f(x)დაურეკა ჩაზნექილიინტერვალზე (ა; ბ), თუ იგი მდებარეობს ამ ინტერვალზე მისი რომელიმე ტანგენტის ზემოთ. ფიგურაში ნაჩვენებია მრუდი, რომელიც ამოზნექილია (ა; ბ)და ჩაზნექილი (ბ; გ). მაგალითები. განვიხილოთ საკმარისი კრიტერიუმი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ, მოცემულ ინტერვალში ფუნქციის გრაფიკი იქნება ამოზნექილი თუ ჩაზნექილი. თეორემა. დაე წ=f(x)დიფერენცირებადი მიერ (ა; ბ). თუ ინტერვალის ყველა წერტილში (ა; ბ)ფუნქციის მეორე წარმოებული წ = f(x)უარყოფითი, ე.ი. ვ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же ვ""(x) > 0 – ჩაზნექილი. მტკიცებულება. დანამდვილებით ვივარაუდოთ, რომ ვ""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. ავიღოთ ფუნქციები გრაფიკზე y = f(x)თვითნებური წერტილი მ 0 აბსცისით x 0  (ა; ბ) და დახაზეთ წერტილი მ 0 ტანგენსი. მისი განტოლება. ჩვენ უნდა ვაჩვენოთ, რომ ფუნქციის გრაფიკი (ა; ბ)დევს ამ ტანგენტის ქვემოთ, ე.ი. იმავე ღირებულებით xმრუდის ორდინატი y = f(x)ნაკლები იქნება ტანგენსის ორდინატზე.

ფუნქციის დახრის წერტილი

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხ გადახრის წერტილი.

ფუნქციის შიდა წერტილის დახრის წერტილი განმარტების სფეროისეთი, რომელიც ამ წერტილში უწყვეტია, ამ წერტილში არის სასრული ან გარკვეული ნიშნის უსასრულო წარმოებული, არის ერთდროულად მკაცრი ამოზნექის ინტერვალის დასასრული ზემოთ და მკაცრი ამოზნექის ინტერვალის დასაწყისი ქვემოთ, ან პირიქით.

არაოფიციალური

ამ შემთხვევაში საქმე ისაა დახრის წერტილიფუნქციის გრაფიკი, ანუ ფუნქციის გრაფიკი წერტილში „მოხრილია“. ტანგენსიმას ამ მომენტში: ტანგენტს დევს გრაფის ქვეშ და გრაფის ზემოთ (ან პირიქით)

არსებობის პირობები

გადახრის წერტილის არსებობის აუცილებელი პირობა: თუ ფუნქცია f(x), ორჯერ დიფერენცირებადი წერტილის რომელიმე სამეზობლოში, აქვს გადახრის წერტილი, მაშინ.

გადახრის წერტილის არსებობის საკმარისი პირობა: თუ ფუნქცია წერტილის რომელიმე სამეზობლოში არის განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი, კენტი და, და, a-სთვის, მაშინ ფუნქციას აქვს გადახრის წერტილი.