ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

მოდი, შორს არ წავიდეთ, დაუყოვნებლივ განვიხილოთ შებრუნებული ფუნქცია. რომელი ფუნქციაა ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:

ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:

ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: ამის ნაცვლად ვწერთ.

რის ტოლია? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2. რა არის ფუნქციის წარმოებული?

პასუხები: ექსპონენციალური და ბუნებრივი ლოგარითმი წარმოებული პერსპექტივიდან ცალსახად მარტივი ფუნქციებია. ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ერთად ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ექნებათ განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენცირების წესები

რისი წესები? ისევ ახალი ტერმინი, ისევ?!...

დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.

Სულ ეს არის. კიდევ რა შეიძლება ეწოდოს ამ პროცესს ერთი სიტყვით? არა წარმოებული... მათემატიკოსები დიფერენციალს ფუნქციის იგივე ნამატს უწოდებენ. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.

ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

სულ 5 წესია.

მუდმივი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან.

თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესიც მუშაობს განსხვავებაზე: .

დავამტკიცოთ. დაე ეს იყოს, ან უფრო მარტივი.

მაგალითები.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

1. წერტილში;
2. წერტილში;
3. წერტილში;
4. წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

1. (წარმოებული ყველა წერტილში ერთნაირია, რადგან ის წრფივი ფუნქციაა, გახსოვს?);

პროდუქტის წარმოებული

აქ ყველაფერი მსგავსია: შემოვიტანოთ ახალი ფუნქცია და ვიპოვოთ მისი ზრდა:

წარმოებული:

მაგალითები:

1. იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ ექსპონენტები (დაგავიწყდათ ეს ჯერ კიდევ რა არის?).

ასე რომ, სად არის გარკვეული რიცხვი.

ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე შევიყვანოთ:

ამისათვის გამოვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:

ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

მოხდა?

აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:

ფორმულა ძალიან წააგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის იგივე რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.

მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

პასუხები:

ეს არის მხოლოდ რიცხვი, რომლის გამოთვლა შეუძლებელია კალკულატორის გარეშე, ანუ მისი უფრო მარტივი ფორმით ჩაწერა შეუძლებელია. ამიტომ პასუხში ამ სახით ვტოვებთ.

გაითვალისწინეთ, რომ აქ არის ორი ფუნქციის კოეფიციენტი, ამიტომ ჩვენ ვიყენებთ დიფერენციაციის შესაბამის წესს:

ამ მაგალითში ორი ფუნქციის პროდუქტია:

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:

ამიტომ, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმი განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:

ჩვენ უნდა შევამციროთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

მხოლოდ ახლა დავწერთ ამის ნაცვლად:

მნიშვნელი უბრალოდ მუდმივია (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული მიიღება ძალიან მარტივად:

ექსპონენციური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები თითქმის არასოდეს გვხვდება ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.

რთული ფუნქციის წარმოებული.

რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც არქტანგენტი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთული გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი გაგიჭირდებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და კარგად იქნებით), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.

წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერის ქამარი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ობიექტებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი ლენტით აკრავს. შედეგი არის კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.

შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი კვადრატში მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა რიცხვი (შოკოლადი), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც, მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, ჩვენ ვასრულებთ პირველ მოქმედებას პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მოქმედებასთან ერთად, რაც პირველიდან გამოვიდა.

Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

ჩვენი მაგალითისთვის,.

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გავაკეთოთ იგივე ნაბიჯები საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატში გააკეთებთ მას და შემდეგ ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს: . ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც მოქმედებების თანმიმდევრობა იცვლება, ფუნქცია იცვლება.

მეორე მაგალითი: (იგივე). .

ქმედება, რომელსაც ჩვენ ვაკეთებთ ბოლოს, დაერქმევა "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში

1. რა მოქმედებას ვასრულებთ პირველ რიგში? ჯერ გამოვთვალოთ სინუსი და მხოლოდ ამის შემდეგ დავჭრათ იგი. ეს ნიშნავს, რომ ეს არის შიდა ფუნქცია, მაგრამ გარე.
   ხოლო ორიგინალური ფუნქციაა მათი შემადგენლობა: .
2. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
3. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
4. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.
5. შიდა: ; გარე:.
   ექსპერტიზა:.

ჩვენ ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.

ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადის ფილას და ვეძებთ წარმოებულს. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალურ მაგალითთან დაკავშირებით, ასე გამოიყურება:

Სხვა მაგალითი:

ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

როგორც ჩანს მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

გადაწყვეტილებები:

1) შიდა: ;

გარე: ;

2) შიდა: ;

(უბრალოდ აქამდე ნუ ცდილობ მის გაჭრას! კოსინუსიდან არაფერი გამოდის, გახსოვს?)

3) შიდა: ;

გარე: ;

მაშინვე ირკვევა, რომ ეს არის სამ დონის რთული ფუნქცია: ბოლოს და ბოლოს, ეს უკვე თავისთავად რთული ფუნქციაა და მისგან ფესვსაც ამოვიღებთ, ანუ ვასრულებთ მესამე მოქმედებას (შოკოლადი ჩავდოთ შესაფუთში. და პორტფელში ლენტით). მაგრამ შეშინების მიზეზი არ არის: ჩვენ კვლავ „გავანაწილებთ“ ამ ფუნქციას იმავე თანმიმდევრობით, როგორც ყოველთვის: ბოლოდან.

ანუ ჯერ განვასხვავებთ ფესვს, შემდეგ კოსინუსს და მხოლოდ ამის შემდეგ გამონათქვამს ფრჩხილებში. და შემდეგ ვამრავლებთ ყველაფერს.

ასეთ შემთხვევებში მოსახერხებელია მოქმედებების დანომრვა. ანუ წარმოვიდგინოთ რა ვიცით. რა თანმიმდევრობით შევასრულებთ მოქმედებებს ამ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოსათვლელად? მოდით შევხედოთ მაგალითს:

რაც უფრო გვიან შესრულდება მოქმედება, მით უფრო "გარე" იქნება შესაბამისი ფუნქცია. მოქმედებების თანმიმდევრობა იგივეა, რაც ადრე:

აქ ბუდე ძირითადად 4 დონისაა. მოდით განვსაზღვროთ მოქმედების კურსი.

1. რადიკალური გამოხატულება. .

2. ფესვი. .

3. სინუსი. .

4. მოედანი. .

5. ყველაფრის ერთად შეკრება:

წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ

ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნამატის არგუმენტის ზრდასთან:

ძირითადი წარმოებულები:

დიფერენცირების წესები:

მუდმივი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან:

თანხის წარმოებული:

პროდუქტის წარმოებული:

კოეფიციენტის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

1. ჩვენ განვსაზღვრავთ "შიდა" ფუნქციას და ვპოულობთ მის წარმოებულს.
2. ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას და ვპოულობთ მის წარმოებულს.
3. ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.

გრძნობთ, რომ გამოცდამდე ჯერ კიდევ ბევრი დროა? ეს თვეა? ორი? წელი? პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ სტუდენტი საუკეთესოდ უმკლავდება გამოცდას, თუ წინასწარ იწყებს მისთვის მომზადებას. ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ბევრი რთული ამოცანაა, რომელიც სკოლის მოსწავლეებსა და მომავალ აპლიკანტებს უმაღლეს ქულების მიღწევის გზას ადგას. თქვენ უნდა ისწავლოთ ამ დაბრკოლებების გადალახვა და გარდა ამისა, ეს არ არის რთული. თქვენ უნდა გესმოდეთ ბილეთებიდან სხვადასხვა ამოცანებთან მუშაობის პრინციპი. მაშინ ახლებთან არანაირი პრობლემა არ იქნება.

ლოგარითმები ერთი შეხედვით წარმოუდგენლად რთული ჩანს, მაგრამ დეტალური ანალიზით სიტუაცია გაცილებით მარტივი ხდება. თუ გსურთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარება უმაღლესი ქულით, უნდა გესმოდეთ მოცემული კონცეფცია, რის გაკეთებასაც გთავაზობთ ამ სტატიაში.

პირველ რიგში, მოდით გამოვყოთ ეს განმარტებები. რა არის ლოგარითმი (ლოგი)? ეს არის იმ სიმძლავრის მაჩვენებელი, რომელზეც ბაზა უნდა გაიზარდოს მითითებული ნომრის მისაღებად. თუ ეს გაუგებარია, მოდით შევხედოთ ელემენტარულ მაგალითს.

ამ შემთხვევაში, ბოლოში არსებული ბაზა უნდა გაიზარდოს მეორე ხარისხზე, რათა მიიღოთ ნომერი 4.

ახლა მოდით შევხედოთ მეორე კონცეფციას. ფუნქციის წარმოებული ნებისმიერი ფორმით არის ცნება, რომელიც ახასიათებს ფუნქციის ცვლილებას მოცემულ წერტილში. თუმცა ეს სასკოლო პროგრამაა და თუ ამ ცნებებთან ინდივიდუალურად გაქვთ პრობლემები, ღირს თემის გამეორება.

ლოგარითმის წარმოებული

ამ თემაზე ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო დავალებების მაგალითში შეგიძლიათ რამდენიმე დავალების მიცემა. დასაწყისისთვის, უმარტივესი ლოგარითმული წარმოებული. აუცილებელია შემდეგი ფუნქციის წარმოებულის პოვნა.

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ შემდეგი წარმოებული

არსებობს სპეციალური ფორმულა.

ამ შემთხვევაში x=u, log3x=v. ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ჩვენი ფუნქციიდან ფორმულაში.

x-ის წარმოებული იქნება ერთის ტოლი. ლოგარითმი ცოტა უფრო რთულია. მაგრამ თქვენ გაიგებთ პრინციპს, თუ უბრალოდ ჩაანაცვლებთ მნიშვნელობებს. შეგახსენებთ, რომ lg x-ის წარმოებული არის ათობითი ლოგარითმის წარმოებული, ხოლო ln x-ის წარმოებული არის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული (ე-ზე დაყრდნობით).

ახლა უბრალოდ შეაერთეთ მიღებული მნიშვნელობები ფორმულაში. სცადეთ თავად, შემდეგ ჩვენ შევამოწმებთ პასუხს.

რა შეიძლება იყოს აქ ზოგიერთისთვის პრობლემა? ჩვენ შემოვიღეთ ბუნებრივი ლოგარითმის ცნება. მოდით ვისაუბროთ მასზე და ამავე დროს გავარკვიოთ, როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები მასთან. თქვენ ვერაფერს ნახავთ რთულს, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც გესმით მისი მუშაობის პრინციპი. თქვენ უნდა შეეგუოთ მას, რადგან მას ხშირად იყენებენ მათემატიკაში (უფრო მეტად უმაღლეს სასწავლებლებში).

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული

მის ბირთვში, ეს არის ლოგარითმის წარმოებული e ფუძემდე (რომელიც არის ირაციონალური რიცხვი, რომელიც არის დაახლოებით 2.7). სინამდვილეში, ln ძალიან მარტივია, ამიტომ ხშირად გამოიყენება მათემატიკაში ზოგადად. რეალურად არც ამით პრობლემის მოგვარება იქნება პრობლემა. უნდა გვახსოვდეს, რომ ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული e ფუძესთან ტოლი იქნება ერთი გაყოფილი x-ზე. შემდეგი მაგალითის გამოსავალი ყველაზე გამოვლენილი იქნება.

წარმოვიდგინოთ, როგორც რთული ფუნქცია, რომელიც შედგება ორი მარტივისაგან.

საკმარისია კონვერტაცია

ჩვენ ვეძებთ u-ს წარმოებულს x-ის მიმართ

განვაგრძოთ მეორე

ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ამოხსნის მეთოდს u=nx-ის ჩანაცვლებით.

Რა მოხდა ბოლოს?

ახლა გავიხსენოთ რას ნიშნავდა n ამ მაგალითში? ეს არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც შეიძლება გამოჩნდეს x-ის წინ ბუნებრივ ლოგარითმში. თქვენთვის მნიშვნელოვანია გესმოდეთ, რომ პასუხი მასზე არ არის დამოკიდებული. ჩაანაცვლე რაც გინდა, პასუხი მაინც იქნება 1/x.

როგორც ხედავთ, აქ არაფერია რთული, თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ პრინციპი, რომ სწრაფად და ეფექტურად მოაგვაროთ პრობლემები ამ თემაზე. ახლა თქვენ იცით თეორია, ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის მისი პრაქტიკაში გამოყენება. ივარჯიშეთ პრობლემების გადაჭრაში, რათა დიდხანს დაიმახსოვროთ მათი გადაწყვეტის პრინციპი. შეიძლება ეს ცოდნა არ დაგჭირდეთ სკოლის დამთავრების შემდეგ, მაგრამ გამოცდაზე ის უფრო აქტუალური იქნება, ვიდრე ოდესმე. Წარმატებას გისურვებ!

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებულის და ლოგარითმის ფუძემდე ფორმულების დადასტურება და წარმოშობა. ln 2x, ln 3x და ln nx-ის წარმოებულების გამოთვლის მაგალითები. n-ე რიგის ლოგარითმის წარმოებულის ფორმულის დადასტურება მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით.

შინაარსი

Იხილეთ ასევე: ლოგარითმი - თვისებები, ფორმულები, გრაფიკი
ბუნებრივი ლოგარითმი - თვისებები, ფორმულები, გრაფიკი

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებულებისა და ლოგარითმის ფორმულების წარმოშობა

x-ის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ტოლია ერთი გაყოფილი x-ზე:
(1) (ln x)′ =.

ლოგარითმის წარმოებული a საფუძვლამდე ტოლია ერთი გაყოფილი ცვლადზე x გამრავლებული a-ის ბუნებრივ ლოგარითმზე:
(2) (log a x)′ =.

მტკიცებულება

დაე, იყოს რაიმე დადებითი რიცხვი, რომელიც არ უდრის ერთს. განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია x ცვლადზე, რომელიც არის ფუძის ლოგარითმი:
.
ეს ფუნქცია განისაზღვრება. ვიპოვოთ მისი წარმოებული x ცვლადის მიმართ. განმარტებით, წარმოებული არის შემდეგი ლიმიტი:
(3) .

მოდით გარდავქმნათ ეს გამონათქვამი, რათა შევამციროთ იგი ცნობილ მათემატიკურ თვისებებამდე და წესებამდე. ამისათვის ჩვენ უნდა ვიცოდეთ შემდეგი ფაქტები:
ა)ლოგარითმის თვისებები. დაგვჭირდება შემდეგი ფორმულები:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ბ)ლოგარითმის უწყვეტობა და ლიმიტების თვისება უწყვეტი ფუნქციისთვის:
(7) .
აქ არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს ლიმიტი და ეს ლიმიტი დადებითია.
IN)მეორე ღირსშესანიშნავი ლიმიტის მნიშვნელობა:
(8) .

მოდით გამოვიყენოთ ეს ფაქტები ჩვენს ლიმიტამდე. ჯერ ალგებრული გამონათქვამის გარდაქმნას
.
ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ თვისებებს (4) და (5).

.

გამოვიყენოთ თვისება (7) და მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი (8):
.

და ბოლოს, ჩვენ ვიყენებთ თვისებას (6):
.
ლოგარითმი ბაზამდე ედაურეკა ბუნებრივი ლოგარითმი. იგი დანიშნულია შემდეგნაირად:
.
შემდეგ;
.

ამრიგად, მივიღეთ ფორმულა (2) ლოგარითმის წარმოებულისთვის.

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული

კიდევ ერთხელ ვწერთ ლოგარითმის წარმოებულის ფორმულას a-ს საფუძველზე:
.
ამ ფორმულას აქვს ბუნებრივი ლოგარითმის უმარტივესი ფორმა, რომლისთვისაც, . მერე
(1) .

ამ სიმარტივის გამო, ბუნებრივი ლოგარითმი ძალიან ფართოდ გამოიყენება მათემატიკური ანალიზში და მათემატიკის სხვა დარგებში, რომლებიც დაკავშირებულია დიფერენციალურ გამოთვლებთან. ლოგარითმული ფუნქციები სხვა ფუძეებთან ერთად შეიძლება გამოიხატოს ბუნებრივი ლოგარითმის მიხედვით თვისების გამოყენებით (6):
.

ლოგარითმის წარმოებული ფუძის მიმართ შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულიდან (1), თუ დიფერენციაციის ნიშნიდან მუდმივას ამოიღებთ:
.

სხვა გზები ლოგარითმის წარმოებულის დასამტკიცებლად

აქ ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ვიცით ექსპონენციალური წარმოებულის ფორმულა:
(9) .
შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებულის ფორმულა, იმის გათვალისწინებით, რომ ლოგარითმი არის ექსპონენციალურის შებრუნებული ფუნქცია.

მოდით დავამტკიცოთ ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებულის ფორმულა, შებრუნებული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულის გამოყენება:
.
ჩვენს შემთხვევაში. ბუნებრივი ლოგარითმის შებრუნებული ფუნქცია არის ექსპონენციალური:
.
მისი წარმოებული განისაზღვრება ფორმულით (9). ცვლადები შეიძლება დაინიშნოს ნებისმიერი ასოთი. ფორმულაში (9) შეცვალეთ x ცვლადი y-ით:
.
Მას შემდეგ
.
მერე
.
ფორმულა დადასტურებულია.

ახლა ჩვენ ვამტკიცებთ ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებულის ფორმულას გამოყენებით რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესები. ვინაიდან ფუნქციები და ერთმანეთის შებრუნებულია, მაშინ
.
მოდით განვასხვავოთ ეს განტოლება x ცვლადის მიმართ:
(10) .
x-ის წარმოებული უდრის ერთს:
.
ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესს:
.
Აქ . ჩავანაცვლოთ (10):
.
აქედან
.

მაგალითი

იპოვეთ წარმოებულები 2x, ln 3xდა lnnx.

ორიგინალურ ფუნქციებს აქვთ მსგავსი ფორმა. ამიტომ ჩვენ ვიპოვით ფუნქციის წარმოებულს y = log nx. შემდეგ ჩვენ ვცვლით n = 2 და n = 3. და, ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულებს წარმოებულებისთვის ln 2xდა ln 3x .

ასე რომ, ჩვენ ვეძებთ ფუნქციის წარმოებულს
y = log nx .
წარმოვიდგინოთ ეს ფუნქცია, როგორც რთული ფუნქცია, რომელიც შედგება ორი ფუნქციისგან:
1) ფუნქციები დამოკიდებულია ცვლადზე: ;
2) ფუნქციები დამოკიდებულია ცვლადზე: .
შემდეგ ორიგინალური ფუნქცია შედგება ფუნქციებისგან და:
.

ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული x ცვლადის მიმართ:
.
ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული ცვლადის მიმართ:
.
ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.
.
აქ ჩვენ დავაყენეთ.

ასე რომ, ჩვენ აღმოვაჩინეთ:
(11) .
ჩვენ ვხედავთ, რომ წარმოებული არ არის დამოკიდებული n-ზე. ეს შედეგი საკმაოდ ბუნებრივია, თუ ჩვენ გარდაქმნით ორიგინალ ფუნქციას პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულის გამოყენებით:
.
- ეს მუდმივია. მისი წარმოებული არის ნული. მაშინ ჯამის დიფერენცირების წესის მიხედვით გვაქვს:
.

; ; .

x მოდულის ლოგარითმის წარმოებული

მოდი ვიპოვოთ კიდევ ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი ფუნქციის - x მოდულის ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:
(12) .

განვიხილოთ საქმე. შემდეგ ფუნქცია ასე გამოიყურება:
.
მისი წარმოებული განისაზღვრება ფორმულით (1):
.

ახლა განვიხილოთ საქმე. შემდეგ ფუნქცია ასე გამოიყურება:
,
სად .
მაგრამ ჩვენ ასევე ვიპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებული ზემოთ მოცემულ მაგალითში. ის არ არის დამოკიდებული n-ზე და უდრის
.
მერე
.

ჩვენ გავაერთიანებთ ამ ორ შემთხვევას ერთ ფორმულაში:
.

შესაბამისად, იმისთვის, რომ ლოგარითმი დაფუძნდეს a-ზე, გვაქვს:
.

ბუნებრივი ლოგარითმის უმაღლესი რიგის წარმოებულები

განიხილეთ ფუნქცია
.
ჩვენ ვიპოვეთ მისი პირველი რიგის წარმოებული:
(13) .

ვიპოვოთ მეორე რიგის წარმოებული:
.
ვიპოვოთ მესამე რიგის წარმოებული:
.
ვიპოვოთ მეოთხე რიგის წარმოებული:
.

შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ n-ე რიგის წარმოებულს აქვს ფორმა:
(14) .
მოდით დავამტკიცოთ ეს მათემატიკური ინდუქციით.

მტკიცებულება

მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობა n = 1 ფორმულაში (14):
.
მას შემდეგ, რაც , მაშინ როცა n = 1 ფორმულა (14) მოქმედებს.

დავუშვათ, რომ ფორმულა (14) დაკმაყოფილებულია n = k-სთვის. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს გულისხმობს, რომ ფორმულა მოქმედებს n = k-სთვის + 1 .

მართლაც, n = k-სთვის გვაქვს:
.
დიფერენცირება x ცვლადის მიმართ:

.
ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ:
.
ეს ფორმულა ემთხვევა ფორმულას (14) n = k +-ისთვის 1 . ამრიგად, იმ დაშვებიდან, რომ ფორმულა (14) მოქმედებს n = k-ზე, გამოდის, რომ ფორმულა (14) მოქმედებს n = k +-ზე. 1 .

ამიტომ, ფორმულა (14), n-ე რიგის წარმოებულისთვის, მოქმედებს ნებისმიერი n-ისთვის.

ლოგარითმის უმაღლესი რიგის წარმოებულები ფუძემდე a

ლოგარითმის n-ე რიგის წარმოებული რომ იპოვოთ a-ზე, თქვენ უნდა გამოვხატოთ იგი ბუნებრივი ლოგარითმის მიხედვით:
.
ფორმულის გამოყენებით (14), ჩვენ ვპოულობთ n-ე წარმოებულს:
.

Იხილეთ ასევე:

რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული.
სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ დიფერენციაციის ტექნიკის გაუმჯობესებას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაერთიანებთ ჩვენს მიერ განხილულ მასალას, გადავხედავთ უფრო რთულ წარმოებულებს და ასევე გავეცნობით წარმოებულის პოვნის ახალ ტექნიკას და ხრიკებს, კერძოდ, ლოგარითმული წარმოებულის.

იმ მკითხველებმა, რომლებსაც აქვთ დაბალი დონის მომზადება, უნდა მიმართონ სტატიას როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტილებების მაგალითები, რაც საშუალებას მოგცემთ ამაღლოთ თქვენი უნარები თითქმის ნულიდან. შემდეგი, თქვენ უნდა ყურადღებით შეისწავლოთ გვერდი რთული ფუნქციის წარმოებული, გაიგე და გადაწყვიტე ყველაჩემს მიერ მოყვანილი მაგალითები. ეს გაკვეთილი ლოგიკურად მესამეა ზედიზედ და მისი დაუფლების შემდეგ თქვენ თავდაჯერებულად განასხვავებთ საკმაოდ რთულ ფუნქციებს. არასასურველია პოზიციის დაკავება „სხვაგან სად? საკმარისია!”, რადგან ყველა მაგალითი და გამოსავალი აღებულია რეალური ტესტებიდან და ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

დავიწყოთ გამეორებით. გაკვეთილზე რთული ფუნქციის წარმოებულიჩვენ გადავხედეთ რამდენიმე მაგალითს დეტალური კომენტარებით. დიფერენციალური გამოთვლების და მათემატიკური ანალიზის სხვა დარგების შესწავლის პროცესში, თქვენ მოგიწევთ ძალიან ხშირად დიფერენცირება და ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი (და არა ყოველთვის აუცილებელი) მაგალითების დეტალურად აღწერა. ამიტომ, ჩვენ ვივარჯიშებთ წარმოებულების მოძიებაში ზეპირად. ამისათვის ყველაზე შესაფერისი "კანდიდატები" არის უმარტივესი ფუნქციების წარმოებულები, მაგალითად:

რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესის მიხედვით :

სამომავლოდ სხვა მატანის თემების შესწავლისას, ასეთი დეტალური ჩანაწერი ყველაზე ხშირად არ არის საჭირო; ვარაუდობენ, რომ სტუდენტმა იცის როგორ მოიძიოს ასეთი წარმოებულები ავტოპილოტზე. წარმოვიდგინოთ, რომ დილის 3 საათზე ტელეფონმა დარეკა და სასიამოვნო ხმამ იკითხა: "რა არის ორი X-ის ტანგენტის წარმოებული?" ამას უნდა მოჰყვეს თითქმის მყისიერი და თავაზიანი პასუხი: .

პირველი მაგალითი დაუყოვნებლივ იქნება განკუთვნილი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 1

იპოვეთ შემდეგი წარმოებულები ზეპირად, ერთ მოქმედებაში, მაგალითად: . დავალების შესასრულებლად საჭიროა მხოლოდ გამოიყენოთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი(თუ ჯერ არ გახსოვთ). თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გირჩევთ გაკვეთილის ხელახლა წაკითხვას რთული ფუნქციის წარმოებული.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

რთული წარმოებულები

წინასწარი საარტილერიო მომზადების შემდეგ, ფუნქციების 3-4-5 ბუდეების მქონე მაგალითები ნაკლებად საშინელი იქნება. შემდეგი ორი მაგალითი შეიძლება ზოგს რთულად მოეჩვენოს, მაგრამ თუ მათ გესმით (ვიღაც დაზარალდება), მაშინ დიფერენციალურ გამოთვლებში თითქმის ყველაფერი ბავშვის ხუმრობად მოგეჩვენებათ.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას, პირველ რიგში, აუცილებელია უფლებაგაიგე შენი ინვესტიციები. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს ეჭვები, შეგახსენებთ სასარგებლო ტექნიკას: ჩვენ ვიღებთ მაგალითად "x"-ის ექსპერიმენტულ მნიშვნელობას და ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზში) ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა "საშინელი გამოხატულებით".

1) ჯერ უნდა გამოვთვალოთ გამოხატულება, რაც ნიშნავს, რომ ჯამი არის ყველაზე ღრმა ჩადგმა.

2) შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:

4) შემდეგ კუბური კოსინუსი:

5) მეხუთე საფეხურზე განსხვავება:

6) და ბოლოს, ყველაზე გარე ფუნქცია არის კვადრატული ფესვი:

რთული ფუნქციის დიფერენცირების ფორმულა გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით, ყველაზე გარე ფუნქციიდან შინაგანამდე. Ჩვენ ვწყვეტთ:

როგორც ჩანს, შეცდომები არ არის...

(1) აიღეთ კვადრატული ფესვის წარმოებული.

(2) ჩვენ ვიღებთ სხვაობის წარმოებულს წესის გამოყენებით

(3) სამეულის წარმოებული არის ნული. მეორე წევრში ვიღებთ ხარისხის წარმოებულს (კუბი).

(4) აიღეთ კოსინუსის წარმოებული.

(5) აიღეთ ლოგარითმის წარმოებული.

(6) და ბოლოს, ჩვენ ვიღებთ ყველაზე ღრმა ჩანერგვის წარმოებულს.

შეიძლება ძალიან რთული ჩანდეს, მაგრამ ეს არ არის ყველაზე სასტიკი მაგალითი. აიღეთ, მაგალითად, კუზნეცოვის კოლექცია და თქვენ დააფასებთ გაანალიზებული წარმოებულის მთელ სილამაზეს და სიმარტივეს. შევამჩნიე, რომ მათ მოსწონთ გამოცდაზე მსგავსი რამის მიცემა, რათა შეამოწმონ, ესმის თუ არა სტუდენტს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნა თუ არ ესმის.

შემდეგი მაგალითი არის თქვენთვის მოსაგვარებელი.

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მინიშნება: პირველ რიგში ვიყენებთ წრფივობის წესებს და პროდუქტის დიფერენციაციის წესს

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

დროა გადავიდეთ უფრო პატარა და ლამაზზე.
იშვიათი არაა, მაგალითად, აჩვენოს არა ორი, არამედ სამი ფუნქციის ნამრავლი. როგორ მოვძებნოთ სამი ფაქტორის პროდუქტის წარმოებული?

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჯერ ვუყურებთ, შესაძლებელია თუ არა სამი ფუნქციის ნამრავლის გადაქცევა ორი ფუნქციის ნამრავლად? მაგალითად, თუ ჩვენ გვქონდა ორი მრავალწევრი ნამრავლში, მაშინ შეგვიძლია გავხსნათ ფრჩხილები. მაგრამ განსახილველ მაგალითში ყველა ფუნქცია განსხვავებულია: ხარისხი, მაჩვენებელი და ლოგარითმი.

ასეთ შემთხვევებში აუცილებელია თანმიმდევრობითგამოიყენეთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესი ორჯერ

ხრიკი ისაა, რომ „y“-ით აღვნიშნავთ ორი ფუნქციის ნამრავლს: , ხოლო „ve“-ით აღვნიშნავთ ლოგარითმს: . რატომ შეიძლება ამის გაკეთება? მართლა – ეს არ არის ორი ფაქტორის პროდუქტი და წესი არ მუშაობს?! არაფერია რთული:

ახლა რჩება წესის მეორედ გამოყენება ფრჩხილებში:

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გადაუგრიხოთ და ფრჩხილებიდან რაღაც ჩადოთ, მაგრამ ამ შემთხვევაში ჯობია პასუხი ზუსტად ამ ფორმით დატოვოთ - უფრო ადვილი იქნება შემოწმება.

განხილული მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს მეორე გზით:

ორივე გამოსავალი აბსოლუტურად ექვივალენტურია.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის; ნიმუშში ის იხსნება პირველი მეთოდის გამოყენებით.

მოდით შევხედოთ მსგავს მაგალითებს წილადებით.

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

არსებობს რამდენიმე გზა, რომლითაც შეგიძლიათ აქ წასვლა:

ან ასე:

მაგრამ ამოხსნა უფრო კომპაქტურად დაიწერება, თუ პირველად გამოვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენციაციის წესს მთელი მრიცხველის აღებით:

პრინციპში, მაგალითი მოგვარებულია და თუ დარჩა ისე, როგორც არის, შეცდომა არ იქნება. მაგრამ თუ დრო გაქვთ, ყოველთვის მიზანშეწონილია შეამოწმოთ მონახაზი, რათა ნახოთ, შეიძლება თუ არა პასუხის გამარტივება? შევამციროთ მრიცხველის გამოხატულება საერთო მნიშვნელამდე და მოვიშოროთ სამსართულიანი წილადი:

დამატებითი გამარტივების მინუსი არის ის, რომ არსებობს შეცდომის დაშვების რისკი არა წარმოებულის პოვნისას, არამედ ბანალური სკოლის გარდაქმნების დროს. მეორეს მხრივ, მასწავლებლები ხშირად უარყოფენ დავალებას და ითხოვენ წარმოებულის „გახსენებას“.

უფრო მარტივი მაგალითი საკუთარი გადასაჭრელად:

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ წარმოებულის პოვნის მეთოდებს და ახლა განვიხილავთ ტიპურ შემთხვევას, როდესაც დიფერენციაციისთვის არის შემოთავაზებული "საშინელი" ლოგარითმი.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გრძელი გზა გაიაროთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

მაგრამ პირველივე ნაბიჯი მაშინვე გიბიძგებს სასოწარკვეთილებაში - თქვენ უნდა აიღოთ უსიამოვნო წარმოებული წილადი სიმძლავრედან და შემდეგ ასევე წილადიდან.

Ამიტომაც ადრეროგორ ავიღოთ „დახვეწილი“ ლოგარითმის წარმოებული, ის ჯერ გამარტივებულია ცნობილი სკოლის თვისებების გამოყენებით:

! თუ ხელთ გაქვთ სავარჯიშო რვეული, დააკოპირეთ ეს ფორმულები პირდაპირ იქ. თუ რვეული არ გაქვთ, დააკოპირეთ ისინი ფურცელზე, რადგან გაკვეთილის დარჩენილი მაგალითები ამ ფორმულების გარშემო ტრიალებს.

თავად გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს ასე:

მოდით გარდავქმნათ ფუნქცია:

წარმოებულის პოვნა:

თავად ფუნქციის წინასწარმა კონვერტაციამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გამოსავალი. ამრიგად, როდესაც მსგავსი ლოგარითმი შემოთავაზებულია დიფერენციაციისთვის, ყოველთვის მიზანშეწონილია მისი „დაშლა“.

ახლა კი რამდენიმე მარტივი მაგალითი, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ყველა ტრანსფორმაცია და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებული

თუ ლოგარითმების წარმოებული ასეთი ტკბილი მუსიკაა, მაშინ ჩნდება კითხვა: შესაძლებელია თუ არა ზოგიერთ შემთხვევაში ლოგარითმის ხელოვნურად ორგანიზება? შეიძლება! და აუცილებელიც კი.

მაგალითი 11

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ცოტა ხნის წინ განვიხილეთ მსგავსი მაგალითები. Რა უნდა ვქნა? შეგიძლიათ თანმიმდევრულად გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი, შემდეგ კი პროდუქტის დიფერენცირების წესი. ამ მეთოდის მინუსი ის არის, რომ თქვენ აღმოჩნდებით უზარმაზარ სამსართულიან წილადთან, რომელსაც საერთოდ არ გსურთ გაუმკლავდეთ.

მაგრამ თეორიასა და პრაქტიკაში არის ისეთი მშვენიერი რამ, როგორიცაა ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები შეიძლება ხელოვნურად დალაგდეს ორივე მხრიდან მათი „დაკიდებით“:

შენიშვნა : იმიტომ ფუნქციას შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ, ზოგადად რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოდულები: , რომელიც გაქრება დიფერენცირების შედეგად. თუმცა მისაღებია ამჟამინდელი დიზაინიც, სადაც ნაგულისხმევად არის გათვალისწინებული კომპლექსიმნიშვნელობები. მაგრამ თუ მთელი სიმკაცრით, მაშინ ორივე შემთხვევაში უნდა გაკეთდეს დათქმა.

ახლა თქვენ უნდა "დაშალოთ" მარჯვენა მხარის ლოგარითმი მაქსიმალურად (ფორმულები თქვენს თვალწინ?). მე დეტალურად აღვწერ ამ პროცესს:

დავიწყოთ დიფერენცირებით.
ორივე ნაწილს ვასრულებთ პრემიერის ქვეშ:

მარჯვენა მხარის წარმოებული საკმაოდ მარტივია, მე მასზე კომენტარს არ გავაკეთებ, რადგან თუ კითხულობთ ამ ტექსტს, თქვენ უნდა შეძლოთ მას თავდაჯერებულად გაუმკლავდეთ.

რაც შეეხება მარცხენა მხარეს?

მარცხენა მხარეს გვაქვს რთული ფუნქცია. მე ვგეგმავ კითხვას: "რატომ, არის ერთი ასო "Y" ლოგარითმის ქვეშ?"

ფაქტია, რომ ეს "ერთი ასო თამაში" - თავისთავად არის ფუნქცია(თუ ეს არ არის ძალიან ნათელი, იხილეთ სტატია ირიბად მითითებული ფუნქციის წარმოებული). მაშასადამე, ლოგარითმი არის გარე ფუნქცია, ხოლო "y" არის შიდა ფუნქცია. და ჩვენ ვიყენებთ წესს რთული ფუნქციის დიფერენცირებისთვის :

მარცხენა მხარეს, თითქოს ჯადოსნურად, გვაქვს წარმოებული. შემდეგ, პროპორციის წესის მიხედვით, გადავიტანთ "y"-ს მარცხენა მხარის მნიშვნელიდან მარჯვენა მხარის ზევით:

ახლა კი გავიხსენოთ, რა სახის "მოთამაშის" ფუნქციაზე ვისაუბრეთ დიფერენციაციის დროს? მოდით შევხედოთ მდგომარეობას:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 12

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ამ ტიპის მაგალითის დიზაინის ნიმუში მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენებით შესაძლებელი გახდა ნებისმიერი 4-7 მაგალითის ამოხსნა, სხვა საქმეა, რომ იქ ფუნქციები უფრო მარტივია და, შესაძლოა, ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება არც თუ ისე გამართლებული იყოს.

სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ჯერ არ განვიხილავთ ამ ფუნქციას. სიმძლავრე-ექსპონენციალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლისთვისაც ხარისხიც და საფუძველიც დამოკიდებულია "x"-ზე. კლასიკური მაგალითი, რომელიც მოგეცემათ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ან ლექციაში:

როგორ ვიპოვოთ ძალა-ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული?

აუცილებელია ახლავე განხილული ტექნიკის გამოყენება - ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმები ორივე მხარეს ვკიდებთ:

როგორც წესი, მარჯვენა მხარეს, ხარისხი ამოღებულია ლოგარითმის ქვეშ:

შედეგად, მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფუნქციის ნამრავლი, რომელიც დიფერენცირებული იქნება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით. .

ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს; ამისათვის ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ:

შემდგომი ქმედებები მარტივია:

საბოლოოდ:

თუ რომელიმე კონვერტაცია ბოლომდე გასაგები არ არის, გთხოვთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მაგალითი No. 11-ის განმარტებები.

პრაქტიკულ ამოცანებში ძალაუფლების ექსპონენციალური ფუნქცია ყოველთვის უფრო რთული იქნება, ვიდრე განხილული ლექციის მაგალითი.

მაგალითი 13

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმულ წარმოებულს.

მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფაქტორის მუდმივი და ნამრავლი - „x“ და „ლოგარითმი x“ (ლოგარითმის ქვეშ მოთავსებულია სხვა ლოგარითმი). დიფერენცირებისას, როგორც გვახსოვს, სჯობს მუდმივი მყისიერად გადავიტანოთ წარმოებული ნიშნიდან, რათა ხელი არ შეუშვას; და, რა თქმა უნდა, ჩვენ ვიყენებთ ნაცნობ წესს :

წარმოებულის პოვნის ოპერაციას დიფერენციაცია ეწოდება.

უმარტივესი (და არც თუ ისე მარტივი) ფუნქციების წარმოებულების პოვნის ამოცანების გადაჭრის შედეგად წარმოებულის, როგორც არგუმენტის ნამატის შეფარდების შეფარდების ზღვრად განსაზღვრით, გამოჩნდა წარმოებულების ცხრილი და დიფერენცირების ზუსტად განსაზღვრული წესები. . პირველები, ვინც მუშაობდნენ წარმოებულების პოვნის სფეროში, იყვნენ ისააკ ნიუტონი (1643-1727) და გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცი (1646-1716).

ამიტომ, ჩვენს დროში, რომელიმე ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად, არ არის საჭირო ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზემოაღნიშნული ლიმიტის გამოთვლა არგუმენტის ზრდასთან, არამედ საჭიროა მხოლოდ ცხრილის გამოყენება. წარმოებულები და დიფერენცირების წესები. შემდეგი ალგორითმი შესაფერისია წარმოებულის მოსაძებნად.

წარმოებულის საპოვნელად, თქვენ გჭირდებათ გამოხატვა ძირითადი ნიშნის ქვეშ მარტივი ფუნქციების დაყოფა კომპონენტებადდა განსაზღვრეთ რა ქმედებები (პროდუქტი, ჯამი, კოეფიციენტი)ეს ფუნქციები დაკავშირებულია. შემდეგი, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულებს ვხვდებით წარმოებულთა ცხრილში, ხოლო ნამრავლის წარმოებულების ფორმულებს, ჯამისა და კოეფიციენტის - დიფერენციაციის წესებში. წარმოებული ცხრილი და დიფერენციაციის წესები მოცემულია პირველი ორი მაგალითის შემდეგ.

მაგალითი 1.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. დიფერენციაციის წესებიდან ვხვდებით, რომ ფუნქციების ჯამის წარმოებული არის ფუნქციათა წარმოებულების ჯამი, ე.ი.

წარმოებულთა ცხრილიდან ვიგებთ, რომ „x“-ის წარმოებული უდრის ერთს, ხოლო სინუსის წარმოებული კოსინუსის. ჩვენ ამ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ წარმოებულთა ჯამს და ვპოულობთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის მდგომარეობით:

მაგალითი 2.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ, როგორც იმ ჯამის წარმოებულს, რომელშიც მეორე წევრს აქვს მუდმივი კოეფიციენტი; ის შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

თუ ჯერ კიდევ ჩნდება კითხვები იმის შესახებ, თუ საიდან მოდის რაღაც, ისინი ჩვეულებრივ ირკვევა მას შემდეგ, რაც გაეცანით წარმოებულთა ცხრილს და დიფერენციაციის უმარტივეს წესებს. ჩვენ ახლა მათზე გადავდივართ.

მარტივი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

1. მუდმივის (რიცხვის) წარმოებული. ნებისმიერი რიცხვი (1, 2, 5, 200...), რომელიც არის ფუნქციის გამოხატულებაში. ყოველთვის ნულის ტოლია. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ, რადგან ეს ძალიან ხშირად არის საჭირო
2. დამოუკიდებელი ცვლადის წარმოებული. ყველაზე ხშირად "X". ყოველთვის ერთის ტოლია. ეს ასევე მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს დიდი ხნის განმავლობაში
3. ხარისხის წარმოებული. პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ უნდა გადააქციოთ არაკვადრატული ფესვები ძალად.
4. ცვლადის წარმოებული ძალა -1
5. კვადრატული ფესვის წარმოებული
6. სინუსის წარმოებული
7. კოსინუსის წარმოებული
8. ტანგენსის წარმოებული
9. კოტანგენტის წარმოებული
10. არქსინის წარმოებული
11. რკალის კოსინუსის წარმოებული
12. არქტანგენტის წარმოებული
13. რკალის კოტანგენტის წარმოებული
14. ნატურალური ლოგარითმის წარმოებული
15. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული
16. მაჩვენებლის წარმოებული
17. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

დიფერენცირების წესები

1. ჯამის ან სხვაობის წარმოებული
2. პროდუქტის წარმოებული
2ა. გამოხატვის წარმოებული გამრავლებული მუდმივ კოეფიციენტზე
3. კოეფიციენტის წარმოებული
4. რთული ფუნქციის წარმოებული

წესი 1.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, შემდეგ ფუნქციები ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია

და

იმათ. ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრული ჯამის.

შედეგი. თუ ორი დიფერენცირებადი ფუნქცია განსხვავდება მუდმივი წევრით, მაშინ მათი წარმოებულები ტოლია, ე.ი.

წესი 2.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია, მაშინ მათი პროდუქტი ერთსა და იმავე წერტილში დიფერენცირებადია

და

იმათ. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული ტოლია თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლისა და მეორის წარმოებულის ჯამს.

დასკვნა 1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებულის ნიშნიდან:

დასკვნა 2. რამდენიმე დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ფაქტორისა და ყველა სხვა წარმოებულის ნამრავლების ჯამს.

მაგალითად, სამი მულტიპლიკატორისთვის:

წესი 3.თუ ფუნქციები

რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია და , მაშინ ამ დროს მათი კოეფიციენტიც დიფერენცირებადიაu/v და

იმათ. ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელის პროდუქტებსა და მრიცხველის წარმოებულსა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის კვადრატი. ყოფილი მრიცხველი.

სად უნდა მოძებნოთ რამე სხვა გვერდებზე

რეალურ ამოცანებში პროდუქტის წარმოებულისა და კოეფიციენტის პოვნისას, ყოველთვის საჭიროა რამდენიმე დიფერენციაციის წესის ერთდროულად გამოყენება, ამიტომ ამ წარმოებულებზე მეტი მაგალითია სტატიაში."პროდუქტის წარმოებული და ფუნქციების კოეფიციენტი".

კომენტარი.არ უნდა აურიოთ მუდმივი (ანუ რიცხვი), როგორც ჯამის ტერმინი და როგორც მუდმივი ფაქტორი! ტერმინის შემთხვევაში მისი წარმოებული ნულის ტოლია, ხოლო მუდმივი ფაქტორის შემთხვევაში იგი ამოღებულია წარმოებულების ნიშნიდან. ეს არის ტიპიური შეცდომა, რომელიც ხდება წარმოებულების შესწავლის საწყის ეტაპზე, მაგრამ რადგან საშუალო სტუდენტი ხსნის რამდენიმე ერთ და ორნაწილიან მაგალითს, ის აღარ უშვებს ამ შეცდომას.

და თუ პროდუქტის ან კოეფიციენტის დიფერენცირებისას გაქვთ ტერმინი u"ვ, რომელშიც u- რიცხვი, მაგალითად, 2 ან 5, ანუ მუდმივი, მაშინ ამ რიცხვის წარმოებული იქნება ნულის ტოლი და, შესაბამისად, მთელი წევრი იქნება ნულის ტოლი (ეს შემთხვევა განიხილება მაგალითში 10).

კიდევ ერთი გავრცელებული შეცდომა არის რთული ფუნქციის წარმოებულის, როგორც მარტივი ფუნქციის წარმოებულის მექანიკური ამოხსნა. Ამიტომაც რთული ფუნქციის წარმოებულიცალკე სტატია ეთმობა. მაგრამ ჯერ ჩვენ ვისწავლით მარტივი ფუნქციების წარმოებულების პოვნას.

გზაში, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამონათქვამების გარდაქმნის გარეშე. ამისათვის შეიძლება დაგჭირდეთ სახელმძღვანელოს გახსნა ახალ ფანჯრებში. მოქმედებები ძალებითა და ფესვებითდა მოქმედებები წილადებთან .

თუ თქვენ ეძებთ ამონახსნებს წილადებისა და ფესვების წარმოებულების შესახებ, ანუ, როდესაც ფუნქცია გამოიყურება , შემდეგ მიჰყევით გაკვეთილს წილადების ჯამების წარმოებული ხარისხებითა და ფესვებით.

თუ თქვენ გაქვთ ისეთი დავალება, როგორიცაა , შემდეგ გაივლით გაკვეთილს „მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები“.

ნაბიჯ-ნაბიჯ მაგალითები - როგორ მოვძებნოთ წარმოებული

მაგალითი 3.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის გამოხატვის ნაწილებს: მთელი გამოხატულება წარმოადგენს პროდუქტს, ხოლო მისი ფაქტორები არის ჯამები, რომელთაგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს მუდმივ ფაქტორს. ჩვენ ვიყენებთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესს: ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის თითოეული ამ ფუნქციის ნამრავლების ჯამს მეორის წარმოებულის მიხედვით:

შემდეგ ვიყენებთ ჯამის დიფერენციაციის წესს: ფუნქციების ალგებრული ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულების ალგებრულ ჯამს. ჩვენს შემთხვევაში, თითოეულ ჯამში მეორე წევრს აქვს მინუს ნიშანი. თითოეულ ჯამში ჩვენ ვხედავთ როგორც დამოუკიდებელ ცვლადს, რომლის წარმოებული უდრის ერთს, ასევე მუდმივ (რიცხვს), რომლის წარმოებულიც ნულის ტოლია. ასე რომ, "X" იქცევა ერთად, ხოლო მინუს 5 იქცევა ნულში. მეორე გამონათქვამში "x" მრავლდება 2-ზე, ამიტომ ორს ვამრავლებთ იმავე ერთეულზე, როგორც "x"-ის წარმოებული. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წარმოებულ მნიშვნელობებს:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნ წარმოებულებს პროდუქციის ჯამში და ვიღებთ მთელი ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც საჭიროა პრობლემის პირობით:

და თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ წარმოებული პრობლემის გადაწყვეტა.

მაგალითი 4.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კოეფიციენტის წარმოებული. ჩვენ ვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების ფორმულას: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელისა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველის წარმოებულს შორის. მნიშვნელი, ხოლო მნიშვნელი არის ყოფილი მრიცხველის კვადრატი. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ უკვე ვიპოვეთ მრიცხველის ფაქტორების წარმოებული მაგალითში 2. ასევე არ დაგვავიწყდეს, რომ ნამრავლი, რომელიც არის მრიცხველის მეორე ფაქტორი მიმდინარე მაგალითში, აღებულია მინუს ნიშნით:

თუ თქვენ ეძებთ ამოცანების გადაწყვეტას, რომლებშიც უნდა იპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, სადაც არის ფესვებისა და ძალების უწყვეტი გროვა, როგორიცაა, მაგალითად, , მაშინ კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება კლასში "წილადი წილადებისა და ფესვების ჯამების წარმოებული" .

თუ საჭიროა მეტი გაიგოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულების შესახებ, ანუ როცა ფუნქცია გამოიყურება , მაშინ გაკვეთილი თქვენთვის "მარტივი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების წარმოებულები" .

მაგალითი 5.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ პროდუქტს, რომლის ერთ-ერთი ფაქტორია დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი, რომლის წარმოებულსაც გავეცანით წარმოებულთა ცხრილში. პროდუქტის დიფერენცირების წესისა და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ტაბულური მნიშვნელობის გამოყენებით ვიღებთ:

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ წარმოებული პრობლემის გადაწყვეტა აქ ონლაინ წარმოებულების კალკულატორი .

მაგალითი 6.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

გამოსავალი. ამ ფუნქციაში ჩვენ ვხედავთ კოეფიციენტს, რომლის დივიდენდი არის დამოუკიდებელი ცვლადის კვადრატული ფესვი. კოეფიციენტების დიფერენცირების წესის გამოყენებით, რომელიც გავიმეორეთ და გამოვიყენეთ მაგალით 4-ში და კვადრატული ფესვის წარმოებულის ცხრილის მნიშვნელობის გამოყენებით, ვიღებთ:

მრიცხველში წილადის მოსაშორებლად, მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ.