Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэг нь ашиглах явдал юм VIET томъёо, түүнийг Франсуа Вьеттийн нэрээр нэрлэсэн.

Тэрээр 16-р зуунд Францын хаанд үйлчилж байсан алдартай хуульч байжээ. Чөлөөт цагаараа тэрээр одон орон, математикийн чиглэлээр суралцдаг байв. Тэрээр квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын холбоог тогтоосон.

Томъёоны давуу талууд:

1 . Томьёог хэрэглэснээр та шийдлийг хурдан олох боломжтой. Хоёрдахь коэффициентийг квадрат руу оруулах шаардлагагүй тул түүнээс 4ac-ыг хасаад ялгаварлагчийг олоод утгыг томъёонд орлуулж үндсийг нь олно.

2 . Шийдэлгүйгээр та үндэсийн шинж тэмдгийг тодорхойлж, үндэсийн утгыг сонгож болно.

3 . Хоёр бичлэгийн системийг шийдсэний дараа уг үндсийг өөрсдөө олоход хэцүү биш юм. Дээрх квадрат тэгшитгэлд язгууруудын нийлбэр нь хасах тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициентийн утгатай тэнцүү байна. Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын үржвэр нь гурав дахь коэффициентийн утгатай тэнцүү байна.

4 . Эдгээр язгуурыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг бич, өөрөөр хэлбэл урвуу бодлогыг шийд. Жишээлбэл, энэ аргыг онолын механикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

5 . Тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байх үед томъёог ашиглах нь тохиромжтой.

Алдаа:

1 . Томъёо нь бүх нийтийнх биш юм.

Вьетагийн теорем 8-р анги

Томъёо
Хэрэв x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийн үндэс бол:

Жишээ
x 1 = -1; x 2 = 3 - тэгшитгэлийн үндэс x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Эсрэг теорем

Томъёо
Хэрэв x 1, x 2, p, q тоонууд дараах нөхцлөөр хамааралтай бол:

Тэгвэл x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 тэгшитгэлийн үндэс болно.

Жишээ
Үндэсүүдийг нь ашиглан квадрат тэгшитгэл байгуулъя.

X 1 = 2 -? 3 ба x 2 = 2 +? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Шаардлагатай тэгшитгэл нь: x 2 - 4x + 1 = 0 хэлбэртэй байна.

Виетийн теоремыг ихэвчлэн аль хэдийн олдсон үндсийг шалгахад ашигладаг. Хэрэв та үндсийг нь олсон бол \(p)-ийн утгыг тооцоолохдоо \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(case)\) томъёог ашиглаж болно. \) ба \(q\). Хэрэв тэдгээр нь анхны тэгшитгэлтэй ижил байвал үндсийг нь зөв олно.

Жишээ нь, -г ашиглан \(x^2+x-56=0\) тэгшитгэлийг шийдэж, язгуурыг гаргацгаая: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Шийдвэрлэх явцад алдаа гаргасан эсэхийг шалгацгаая. Манай тохиолдолд \(p=1\), \(q=-56\). Виетийн теоремоор бид дараах байдалтай байна.

\(\эхлэх(тохиолдол)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\төгсгөх(тохиолдол)\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\эхлэх(тохиолдол)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\төгсгөл(тохиолдлууд)\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\эхлэх(тохиолдол)-1=-1\\-56=-56\төгсгөл(тохиолдлууд)\ )

Хоёр мэдэгдэл нийлсэн нь бид тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.

Энэ шалгалтыг амаар хийж болно. Энэ нь 5 секунд шаардагдах бөгөөд таныг тэнэг алдаанаас аврах болно.

Вьетагийн эсрэг теорем

Хэрэв \(\эхлэх(тохиолдлууд)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(тохиолдлууд)\), \(x_1\) ба \(x_2\) нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно \ (x^ 2+px+q=0\).

Эсвэл энгийн байдлаар: хэрэв танд \(x^2+px+q=0\) хэлбэрийн тэгшитгэл байгаа бол \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot) системийг шийднэ үү. x_2=q\ end(cases)\) та түүний үндсийг олох болно.

Энэ теоремын ачаар та квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг хурдан олох боломжтой, ялангуяа эдгээр үндэс нь . Энэ ур чадвар нь маш их цаг хэмнэдэг тул чухал юм.

Жишээ . \(x^2-5x+6=0\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл : Виетийн урвуу теоремыг ашигласнаар язгуурууд нь дараах нөхцлийг хангадаг болохыг олж мэдэв: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг харна уу \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) тоог ямар хоёрт хувааж болох вэ? \(2\) ба \(3\), \(6\) ба \(1\) эсвэл \(-2\) ба \(-3\), \(-6\) ба \(- 1\). Системийн эхний тэгшитгэл нь аль хосыг сонгохыг хэлж өгнө: \(x_1+x_2=5\). \(2\) ба \(3\) нь төстэй, учир нь \(2+3=5\).
Хариулах : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Жишээ . Виетийн теоремын эсрэг заалтыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Шийдэл :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(2\) ба \(7\), \(-2\) ба \(-7\), \(-1\) ба \(-14\), \(1\) ба \(14\ ). Ямар хос тоо нийлбэл \(15\) болох вэ? Хариулт: \(1\) ба \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(-2\) ба \(2\), \(4\) ба \(-1\), \(1\) ба \(-4\). Ямар хос тоо нийлбэл \(-3\) болох вэ? Хариулт: \(1\) ба \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(4\) ба \(5\), \(-4\) ба \(-5\), \(2\) ба \(10\), \(-2\) ба \(-10\ ), \(-20\) ба \(-1\), \(20\) ба \(1\). Ямар хос тоо нийлбэл \(-9\) болох вэ? Хариулт: \(-4\) ба \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(390\) ба \(2\). Тэд \(88\) хүртэл нэмэх үү? Үгүй \(780\) өөр ямар үржүүлэгчтэй вэ? \(78\) ба \(10\). Тэд \(88\) хүртэл нэмэх үү? Тиймээ. Хариулт: \(78\) ба \(10\).

Сүүлчийн нэр томъёог бүх боломжит хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх шаардлагагүй (сүүлийн жишээн дээрх шиг). Та тэдгээрийн нийлбэр нь \(-p\) өгч байгаа эсэхийг шууд шалгаж болно.

Чухал!Вьетагийн теорем ба эсрэгээр теорем нь зөвхөн , өөрөөр хэлбэл \(x^2\)-ийн коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв бид эхлээд бууруулаагүй тэгшитгэл өгсөн бол \(x^2\)-ийн урд талын коэффициентэд хуваагаад л багасгаж болно.

Жишээлбэл, \(2x^2-4x-6=0\) тэгшитгэлийг өгье, бид Виетийн теоремуудын аль нэгийг ашиглахыг хүсч байна. Гэхдээ \(x^2\) коэффициент нь \(2\)-тэй тэнцүү тул бид чадахгүй. Тэгшитгэлийг бүхэлд нь \(2\)-д хуваагаад түүнээс салцгаая.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Бэлэн. Одоо та хоёр теоремыг ашиглаж болно.

Байнга асуудаг асуултуудын хариулт

Асуулт: Виетийн теоремыг ашиглан та аль нэгийг шийдэж чадах уу?
Хариулт: Харамсалтай нь үгүй. Хэрэв тэгшитгэлд бүхэл тоо байхгүй эсвэл уг тэгшитгэл нь огт үндэсгүй бол Виетийн теорем тус болохгүй. Энэ тохиолдолд та ашиглах хэрэгтэй ялгаварлагч . Аз болоход сургуулийн математикийн тэгшитгэлийн 80% нь бүхэл тооны шийдтэй байдаг.

Энэ лекцээр бид квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба түүний коэффициентүүдийн хоорондох сонирхолтой хамааралтай танилцах болно. Эдгээр харилцааг Францын математикч Франсуа Вьет (1540-1603) анх нээжээ.

Жишээлбэл, 3x 2 - 8x - 6 = 0 тэгшитгэлийн хувьд үндсийг нь олохгүйгээр та Виетийн теоремыг ашиглан язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү, язгуурын үржвэр нь тэнцүү гэж шууд хэлж болно.
өөрөөр хэлбэл - 2. x 2 - 6x + 8 = 0 тэгшитгэлийн хувьд бид дүгнэж байна: язгууруудын нийлбэр нь 6, үндэсийн үржвэр нь 8; Дашрамд хэлэхэд, үндэс нь юутай тэнцүү болохыг таахад хэцүү биш юм: 4 ба 2.
Вьетагийн теоремын баталгаа. ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 язгуурыг томъёогоор олно.

Энд D = b 2 - 4ac нь тэгшитгэлийн дискриминант юм. Эдгээр үндсийг нэгтгэж,
бид авдаг

Одоо x 1 ба x 2 үндэсүүдийн үржвэрийг тооцоолъё. Бидэнд байна

Хоёрдахь хамаарал нь батлагдсан:
Сэтгэгдэл. Виетийн теорем нь квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай (өөрөөр хэлбэл D = 0 үед) тохиолдолд хүчинтэй бөгөөд энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь дээрх харилцааг ашигласан хоёр ижил язгууртай гэж үздэг.
x 2 + px + q = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийн батлагдсан хамаарал нь маш энгийн хэлбэртэй байна. Энэ тохиолдолд бид дараахийг олж авна.

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
тэдгээр. бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.
Виетийн теоремыг ашигласнаар квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын бусад хамаарлыг олж авч болно. Жишээлбэл, x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 гэсэн бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс байцгаая. Дараа нь

Гэхдээ Виетийн теоремын гол зорилго нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын зарим хамаарлыг илэрхийлэхэд оршдоггүй. Илүү чухал зүйл бол Виетийн теоремыг ашиглан квадрат гурвалсан тоог хүчин зүйлээр ялгах томьёог гаргаж авсан бөгөөд үүнийг бид ирээдүйд хийх боломжгүй юм.

Баталгаа. Бидэнд байгаа

Жишээ 1. Квадрат гурвалсан гишүүнийг 3х 2 - 10х + 3 гэж тооц.
Шийдэл. 3x 2 - 10x + 3 = 0 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид 3x 2 - 10x + 3 гурвалсан квадратын язгуурыг олно: x 1 = 3, x2 = .
Теорем 2-ыг ашиглан бид олж авна

Үүний оронд 3x - 1 гэж бичих нь утга учиртай. Дараа нь бид эцэст нь 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) авна.
Өгөгдсөн квадрат гурвалжийг теорем 2-ыг хэрэглэхгүйгээр бүлэглэх аргыг ашиглан үржвэрлэх боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Гэхдээ таны харж байгаагаар энэ аргын амжилт нь бид амжилттай бүлэглэл олж чадах эсэхээс хамаарна, харин эхний аргын амжилт нь баталгаатай байдаг.
Жишээ 1. Бутархай хэсгийг багасгах

Шийдэл. 2x 2 + 5x + 2 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = - 2-г ​​олно.

x2 - 4x - 12 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = 6, x 2 = -2-ийг олно. Тийм ч учраас
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Одоо өгөгдсөн бутархайг багасгая:

Жишээ 3. Илэрхийллийн хүчин зүйл:
a)x4 + 5x 2 +6; б) 2х+-3
Шийдэл а) y = x2 шинэ хувьсагчийг оруулъя. Энэ нь өгөгдсөн илэрхийллийг y хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалсан хэлбэрээр, тухайлбал y 2 + bу + 6 хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно.
y 2 + bу + 6 = 0 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид квадрат гурвалсан y 2 + 5у + 6 язгуурыг олно: y 1 = - 2, y 2 = -3. Одоо теорем 2-ыг ашиглая; бид авдаг

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y = x 2, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн илэрхийлэл рүү буцна гэдгийг санах хэрэгтэй. Тэгэхээр,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
б) y = шинэ хувьсагчийг оруулъя. Энэ нь өгөгдсөн илэрхийллийг y хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалжин хэлбэрээр, тухайлбал 2y 2 + y - 3 хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа
2у 2 + у - 3 = 0, 2у 2 + у - 3 квадрат гурвалжны язгуурыг ол:
y 1 = 1, y 2 =. Дараа нь теорем 2-ыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

y =, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн илэрхийлэл рүү буцна гэдгийг санах хэрэгтэй. Тэгэхээр,

Хэсгийн төгсгөлд - Виетийн теоремтой, эс тэгвээс эсрэг заалттай холбоотой зарим үндэслэл:
хэрэв x 1, x 2 тоонууд нь x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q байвал эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
Энэхүү мэдэгдлийг ашигласнаар та язгуур томьёо ашиглахгүйгээр олон квадрат тэгшитгэлийг амаар шийдэж, мөн өгөгдсөн язгууртай квадрат тэгшитгэлийг зохиож болно. Жишээ хэлье.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Энд x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. x 1 = 8, x 2 = 3 гэдгийг таахад амархан.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Энд x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6 гэдгийг таахад амархан.
Хэрэв тэгшитгэлийн дамми гишүүн эерэг тоо байвал хоёр үндэс нь эерэг эсвэл сөрөг байна гэдгийг анхаарна уу; Үндэс сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

3) x 2 + x - 12 = 0. Энд x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12 байна. x 1 = 3, x2 = -4 гэдгийг таахад хялбар байдаг.
Анхаарна уу: хэрэв тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн сөрөг тоо байвал үндэс нь өөр өөр тэмдэгтэй байна; Үндэс сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1 нь тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг, өөрөөр хэлбэл. x 1 = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс юм. x 1 x 2 = -, мөн x 1 = 1 тул бид x 2 = -ийг олж авна.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Энд x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Хэрэв та 2830 = 283 гэдгийг анхаарч үзвэл. 10, ба 293 = 283 + 10, тэгвэл x 1 = 283, x 2 = 10 болох нь тодорхой болно (одоо энэ квадрат тэгшитгэлийг стандарт томъёогоор шийдэхийн тулд ямар тооцоолол хийх ёстойг төсөөлөөд үз дээ).

6) Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь x 1 = 8, x 2 = - 4 тоо байхаар квадрат тэгшитгэл зохиоё. Ийм тохиолдолд ихэвчлэн x 2 + px + q = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг хийдэг.
Бидэнд x 1 + x 2 = -p байгаа тул 8 - 4 = -p, өөрөөр хэлбэл p = -4 байна. Дараа нь x 1 x 2 = q, өөрөөр хэлбэл. 8 «(-4) = q, бид хаанаас q = -32 авдаг. Тэгэхээр p = -4, q = -32, энэ нь шаардлагатай квадрат тэгшитгэл нь x 2 -4x-32 = 0 хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

Наймдугаар ангид сурагчдад квадрат тэгшитгэл, түүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар танилцуулдаг. Үүний зэрэгцээ, туршлагаас харахад ихэнх оюутнууд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ зөвхөн нэг аргыг ашигладаг - квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо. Сэтгэцийн арифметикийн ур чадвар сайтай оюутнуудын хувьд энэ арга нь үндэслэлгүй юм. Оюутнууд ахлах сургуульд байхдаа ч гэсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байдаг бөгөөд энд ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолоход цаг зарцуулах нь үнэхээр харамсалтай юм. Миний бодлоор квадрат тэгшитгэлийг судлахдаа Виетийн теоремыг хэрэглэхэд илүү их цаг хугацаа, анхаарал хандуулах хэрэгтэй (А.Г. Мордковичийн "Алгебр-8" хөтөлбөрийн дагуу "Вьетагийн теорем. Квадратын задрал" сэдвийг судлахад ердөө хоёр цаг л төлөвлөсөн. гурван гишүүнийг шугаман хүчин зүйл болгон хувиргах").

Ихэнх алгебрийн сурах бичигт энэ теоремыг багасгасан квадрат тэгшитгэлд зориулж томъёолсон байдаг. Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай ба , тэдгээрийн хувьд , , тэгшитгэлүүд хангагдана.Дараа нь Вьетагийн теоремтой эсрэг заалтыг томъёолж, энэ сэдвийг хэрэгжүүлэх хэд хэдэн жишээг санал болгож байна.

Тодорхой жишээнүүдийг авч, Виетийн теоремыг ашиглан шийдлийн логикийг авч үзье.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд.

Энэ тэгшитгэл нь үндэстэй, тухайлбал, ба . Дараа нь Виетийн теоремын дагуу тэгш байдал нь нэгэн зэрэг байх ёстой.

Үндэсийн бүтээгдэхүүн нь эерэг тоо гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс нь ижил тэмдэгтэй гэсэн үг юм. Мөн язгууруудын нийлбэр нь эерэг тоо тул тэгшитгэлийн язгуур хоёулаа эерэг байна гэж бид дүгнэж байна. Үндэсний бүтээгдэхүүн рүү дахин орцгооё. Тэгшитгэлийн үндэс нь эерэг бүхэл тоо гэж үзье. Дараа нь зөв эхний тэгш байдлыг зөвхөн хоёр аргаар (хүчин зүйлийн дарааллаар) олж авч болно: эсвэл . Санал болгож буй хос тоонуудыг Виетийн теоремын хоёр дахь мэдэгдлийн хэрэгжих боломжтой эсэхийг шалгацгаая. . Тиймээс 2 ба 3 тоо нь тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангаж байгаа тул өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт: 2; 3.

Виетийн теоремыг ашиглан дээрх квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үндэслэл гаргах үндсэн үе шатуудыг онцолж үзье.

Вьетагийн теоремын мэдэгдлийг бич

(*)

• тэгшитгэлийн язгуурын тэмдгүүдийг тодорхойлох (Хэрэв үржвэр ба язгууруудын нийлбэр эерэг байвал язгуур хоёулаа эерэг тоо байна. Хэрэв язгуурын үржвэр эерэг тоо, язгуурын нийлбэр сөрөг бол язгуурын үржвэр сөрөг тоо байвал язгуур өөр өөр тэмдэгтэй байна.Түүнээс гадна язгууруудын нийлбэр эерэг байвал модулийн том язгуур нь эерэг тоо, нийлбэр нь сөрөг тоо байна. үндэс нь тэгээс бага бол модулийн том үндэс нь сөрөг тоо);
• Тэмдэглэгээнд (*) үржвэр нь зөв эхний тэгш байдлыг өгөх бүхэл тооны хосыг сонгох;
• олсон хос тооноос (*) тэмдэглэгээний хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар зөв тэгш байдлыг өгөх хосыг сонгоно уу;
• Хариултандаа тэгшитгэлийн олдсон язгуурыг зааж өгнө үү.

Илүү олон жишээ хэлье.

Жишээ 2: Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс ба байг. Дараа нь Виетийн теоремоор бид үржвэр эерэг, нийлбэр нь сөрөг тоо гэдгийг тэмдэглэв. Энэ нь хоёр үндэс нь сөрөг тоо гэсэн үг юм. Бид 10 (-1 ба -10; -2 ба -5) үржвэрийг өгөх хос хүчин зүйлийг сонгоно. Хоёр дахь хос тоо нь -7 хүртэл нэмэгдэнэ. Энэ нь -2 ба -5 тоонууд нь энэ тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг юм.

Хариулт: -2; -5.

Жишээ 3: Тэгшитгэлийг шийд .

Шийдэл.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс ба байг. Дараа нь Виетийн теоремоор бид бүтээгдэхүүн нь сөрөг байгааг тэмдэглэв. Энэ нь үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй гэсэн үг юм. Үндэсний нийлбэр нь мөн сөрөг тоо юм. Энэ нь хамгийн том модультай үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Бид бүтээгдэхүүн -10 (1 ба -10; 2 ба -5) өгөх хос хүчин зүйлийг сонгоно. Хоёр дахь хос тоо нь -3 хүртэл нэмэгдэнэ. Энэ нь 2 ба -5 тоонууд нь энэ тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг юм.

Хариулт: 2; -5.

Виетийн теоремыг зарчмын хувьд бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд томъёолж болно гэдгийг анхаарна уу. квадрат тэгшитгэл бол язгууртай ба , дараа нь , , тэгшитгэлүүд нь хангагдана.Гэсэн хэдий ч бүрэн квадрат тэгшитгэлд ядаж нэг үндэс (хэрэв байгаа бол) нь бутархай тоо байдаг тул энэ теоремыг хэрэглэх нь нэлээд асуудалтай байдаг. Мөн фракц сонгох нь урт бөгөөд хэцүү байдаг. Гэхдээ үүнээс гарах гарц байсаар байна.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье . Тэгшитгэлийн хоёр талыг эхний коэффициентээр үржүүлнэ Атэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ . Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлж, бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг олж авъя, түүний үндэс болон (хэрэв байгаа бол) Виетийн теоремыг ашиглан олж болно. Дараа нь анхны тэгшитгэлийн үндэс нь . Туслах бууруулсан тэгшитгэлийг үүсгэх нь маш энгийн гэдгийг анхаарна уу: хоёр дахь коэффициент хадгалагдаж, гурав дахь коэффициент нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. ac. Оюутнууд тодорхой ур чадвар эзэмшсэнээр тэр даруй туслах тэгшитгэл үүсгэж, Виетийн теоремыг ашиглан түүний үндсийг олж, өгөгдсөн бүрэн тэгшитгэлийн язгуурыг зааж өгдөг. Жишээ хэлье.

Жишээ 4: Тэгшитгэлийг шийд .

Туслах тэгшитгэлийг байгуулъя Виетийн теоремыг ашиглан бид түүний үндсийг олох болно. Энэ нь анхны тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг юм .

Хариулт: .

Жишээ 5: Тэгшитгэлийг шийд .

Туслах тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Виетийн теоремын дагуу түүний үндэс нь . Анхны тэгшитгэлийн язгуурыг олох .

Хариулт: .

Виетийн теоремыг хэрэглэх нь бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг амаар олох боломжийг олгодог өөр нэг тохиолдол юм. Үүнийг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм 1-ийн тоо нь тэгшитгэлийн үндэс юм , хэрэв зөвхөн хэрэв л бол. Тэгшитгэлийн хоёр дахь язгуурыг Вьетагийн теоремоор олдог ба -тэй тэнцүү байна. Бас нэг мэдэгдэл: -1 тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Дараа нь Виетийн теоремын дагуу тэгшитгэлийн хоёр дахь язгуур нь тэнцүү байна. Жижиглэсэн квадрат тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй мэдэгдлүүдийг томъёолж болно.

Жишээ 6: Тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэг болохыг анхаарна уу. Тэгэхээр тэгшитгэлийн үндэс .

Хариулт: .

Жишээ 7. Тэгшитгэлийг шийд.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь өмчийг хангана (үнэхээр, 1-(-999)+(-1000)=0). Тэгэхээр тэгшитгэлийн үндэс .

Хариулт: ..

Виетийн теоремыг хэрэглэх жишээ

Даалгавар 1. Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийд.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Даалгавар 2. Туслах багасгасан квадрат тэгшитгэл рүү шилжүүлж бүтэн квадрат тэгшитгэлийг шийд.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Даалгавар 3. Квадрат тэгшитгэлийг шинж чанарыг ашиглан шийд.

Сургуулийн алгебрийн хичээл дээр хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг судлахдаа үүссэн язгуурын шинж чанарыг харгалзан үздэг. Одоогоор тэдгээрийг Виетийн теорем гэж нэрлэдэг. Үүнийг ашиглах жишээг энэ нийтлэлд өгсөн болно.

Квадрат тэгшитгэл

Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэл нь доорх зурагт үзүүлсэн тэгшитгэл юм.

Энд a, b, c тэмдэгтүүд нь авч үзэж буй тэгшитгэлийн коэффициент гэж нэрлэгддэг зарим тоонууд юм. Тэгш байдлыг шийдэхийн тулд та үүнийг үнэн болгох x-ийн утгыг олох хэрэгтэй.

x-ийг өсгөх хамгийн их хүч нь хоёр байх тул ерөнхий тохиолдолд язгуурын тоо мөн хоёр байна.

Энэ төрлийн тэгш байдлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг. Энэ нийтлэлд бид тэдгээрийн аль нэгийг нь авч үзэх болно, үүнд Вьета теорем гэж нэрлэгддэг.

Вьетагийн теоремын томъёолол

16-р зууны төгсгөлд алдарт математикч Франсуа Вьет (Франц) янз бүрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуур шинж чанарыг шинжлэхдээ тэдгээрийн тодорхой хослолууд нь тодорхой харилцааг хангаж байгааг анзаарчээ. Ялангуяа эдгээр хослолууд нь тэдний бүтээгдэхүүн, нийлбэр юм.

Виетийн теорем нь дараахь зүйлийг тогтоодог: квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг нэгтгэхдээ эсрэг тэмдгээр авсан шугаман ба квадрат коэффициентүүдийн харьцааг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг үржүүлэхэд чөлөөт гишүүнийг квадрат коэффициенттэй харьцуулна. .

Хэрэв тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг өгүүллийн өмнөх хэсэгт байгаа зурагт үзүүлсэн шиг бичсэн бол математикийн хувьд энэ теоремыг хоёр тэгшитгэлийн хэлбэрээр бичиж болно.

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Энд r 1, r 2 нь тухайн тэгшитгэлийн язгууруудын утга юм.

Дээрх хоёр тэгшитгэлийг хэд хэдэн өөр өөр математикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Виетийн теоремыг шийдэл бүхий жишээнүүдэд ашиглахыг өгүүллийн дараах хэсгүүдэд өгсөн болно.