Тэгш өнцөгт гурвалжинг шийдэх даалгавруудыг авч үзэхэд би синус ба косинусын тодорхойлолтыг цээжлэх арга техникийг танилцуулна гэж амласан. Үүнийг ашигласнаар та аль хөл нь гипотенузид (зэргэлдээ эсвэл эсрэг талд) хамаарахыг хурдан санах болно. Тодорхойгүй хугацаагаар хойш тавихгүй гэж шийдлээ, шаардлагатай материал доор байгаа, уншина уу 😉

10-11-р ангийн сурагчид эдгээр тодорхойлолтыг санахад хэцүү байгааг би олон удаа ажигласан. Тэд хөл нь гипотенузыг хэлдэг гэдгийг маш сайн санаж байна, гэхдээ аль нь вэ- мартах ба андуурсан. Алдааны үнэ бол шалгалтын явцад алдсан оноо юм.

Миний математикт шууд танилцуулах мэдээлэл ямар ч хамаагүй. Энэ нь дүрслэлийн сэтгэлгээ, аман-логик холболтын аргуудтай холбоотой юм. Энэ нь зөв, би өөрөө нэг удаа санаж байнатодорхойлолтын өгөгдөл. Хэрэв та тэдгээрийг мартсан хэвээр байгаа бол танилцуулсан техникүүдийн тусламжтайгаар үүнийг санах нь үргэлж хялбар байдаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны синус ба косинусын тодорхойлолтыг танд сануулъя.

КосинусТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

СинусТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.

Тэгэхээр, косинус гэдэг үг таны дотор ямар холбоог төрүүлдэг вэ?

Хүн бүр өөрийн гэсэн байдаг байхХолбоосыг санаарай:

Тиймээс та тэр даруй таны ой санамжинд илэрхийлэл байх болно -

«… ЗЖЛИЙН хөл ба гипотенузын харьцаа».

Косинусын тодорхойлолттой холбоотой асуудал шийдэгдсэн.

Хэрэв та тэгш өнцөгт гурвалжин дахь синусын тодорхойлолтыг санаж байх шаардлагатай бол косинусын тодорхойлолтыг санаж байвал тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн синус нь эсрэг талын хөлийн гипотенузын харьцаа гэдгийг хялбархан тогтоож чадна. Эцсийн эцэст, зөвхөн хоёр хөл байдаг, хэрэв зэргэлдээх хөл нь косинусаар "эзлэгдсэн" бол синусын хувьд зөвхөн эсрэг тал нь үлддэг.

Тангенс ба котангенсын талаар юу хэлэх вэ? Үүнтэй ижил төөрөгдөл. Оюутнууд энэ бол хөлний харьцаа гэдгийг мэддэг боловч аль нь зэргэлдээх, эсвэл эсрэгээрээ аль нь хамааралтай болохыг санах нь асуудал юм.

Тодорхойлолт:

ТангенсТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа юм.

КотангенсТэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг нь зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын харьцаа юм.

Хэрхэн санах вэ? Хоёр арга бий. Нэг нь аман-логик холболтыг ашигладаг, нөгөө нь математикийн холболтыг ашигладаг.

МАТЕМАТИК АРГА

Ийм тодорхойлолт байдаг - хурц өнцгийн тангенс нь өнцгийн синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа юм.

* Томьёог санаж, тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа гэдгийг үргэлж тодорхойлж болно.

Үүний нэгэн адил.Хурц өнцгийн котангенс нь өнцгийн косинусын синусын харьцаа юм.

Тэгэхээр! Эдгээр томъёог санаж, та үргэлж дараахь зүйлийг тодорхойлж чадна.

- тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа юм.

- тэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцгийн котангенс нь зэргэлдээх хөлийг эсрэг талынхтай харьцуулсан харьцаа юм.

ҮГЭЭР-ЛОГИКИЙН АРГА

Шүргэгчийн тухай. Холбоосыг санаарай:

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та энэ логик холболтыг ашиглан шүргэгчийн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй бол энэ нь юу болохыг амархан санаж чадна.

"... эсрэг талын хөлийг зэргэлдээхтэй харьцуулсан харьцаа"

Хэрэв котангенсийн тухай ярих юм бол шүргэгчийн тодорхойлолтыг санаж байвал котангенсын тодорхойлолтыг хялбархан хэлж чадна.

"... зэргэлдээх хөлийн эсрэг талын харьцаа"

Сайт дээр тангенс, котангенсыг цээжлэх сонирхолтой техник байдаг " Математикийн тандем " , хар.

УНИВЕРСАЛ АРГА

Та зүгээр л нунтаглаж болно.Гэхдээ практикээс харахад аман-логик холболтын ачаар хүн зөвхөн математик төдийгүй мэдээллийг удаан хугацаанд санаж байдаг.

Энэ материал танд хэрэгтэй байсан гэж найдаж байна.

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких

P.S: Хэрэв та сайтын талаар олон нийтийн сүлжээгээр хэлвэл би талархах болно.

Тригонометр нь шинжлэх ухааны хувьд Эртний Дорнодод үүссэн. Анхны тригонометрийн харьцааг одон орон судлаачид үнэн зөв хуанли зохиож, оддын чиг баримжаа олгох зорилгоор боловсруулсан. Эдгээр тооцоолол нь бөмбөрцөг тригонометртэй холбоотой бөгөөд сургуулийн хичээл дээр тэд хавтгай гурвалжны талууд ба өнцгийн харьцааг судалдаг.

Тригонометр бол тригонометрийн функцүүдийн шинж чанар, гурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм.

МЭ 1-р мянганы соёл, шинжлэх ухааны оргил үед Эртний Дорнодоос Грект мэдлэг дэлгэрчээ. Гэхдээ тригонометрийн гол нээлт бол Арабын Халифатын үеийн хүмүүсийн гавьяа юм. Тодруулбал, туркмены эрдэмтэн аль-Маразви тангенс, котангенс зэрэг функцүүдийг нэвтрүүлж, синус, тангенс, котангенсийн утгын анхны хүснэгтийг эмхэтгэсэн. Синус ба косинусын тухай ойлголтыг Энэтхэгийн эрдэмтэд нэвтрүүлсэн. Евклид, Архимед, Эратосфен зэрэг эртний агуу хүмүүсийн бүтээлүүдэд тригонометрийн асуудалд ихээхэн анхаарал хандуулдаг.

Тригонометрийн үндсэн хэмжигдэхүүнүүд

Тоон аргументын үндсэн тригонометрийн функцууд нь синус, косинус, тангенс, котангенс юм. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн графиктай: синус, косинус, тангенс, котангенс.

Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг тооцоолох томъёо нь Пифагорын теорем дээр үндэслэсэн болно. Сургуулийн хүүхдүүдэд "Бүх чиглэлд тэнцүү Пифагор өмд" гэсэн томъёоллыг илүү сайн мэддэг, учир нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжны жишээн дээр нотолгоог өгсөн болно.

Синус, косинус болон бусад хамаарал нь аливаа тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг ба талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоодог. Бид А өнцгийн хувьд эдгээр хэмжигдэхүүнийг тооцоолох томъёог өгч, тригонометрийн функцүүдийн хамаарлыг судална.

Таны харж байгаагаар tg ба ctg нь урвуу функцууд юм. Хэрэв бид а хөлийг нүгэл А ба гипотенуз c-ийн үржвэрээр, b хөлийг cos A * c гэж илэрхийлбэл тангенс ба котангенсийн дараах томъёог авна.

тригонометрийн тойрог

Графикаар дурдсан хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Энэ тохиолдолд тойрог нь α өнцгийн бүх боломжит утгыг илэрхийлнэ - 0 ° -аас 360 ° хүртэл. Зургаас харахад функц бүр өнцгөөс хамааран сөрөг эсвэл эерэг утгыг авдаг. Жишээлбэл, хэрэв α нь тойргийн I ба II хэсэгт хамаарах бол нүгэл α нь "+" тэмдэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл 0 ° -аас 180 ° хүртэл байна. α нь 180°-аас 360° хүртэл (III ба IV улирал) байвал sin α нь зөвхөн сөрөг утгатай байж болно.

Тодорхой өнцгөөр тригонометрийн хүснэгтүүдийг барьж, хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг олж мэдье.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° гэх мэт α-ийн утгыг онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолж, тусгай хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэв.

Эдгээр өнцгүүдийг санамсаргүй байдлаар сонгоогүй. Хүснэгт дэх π тэмдэглэгээ нь радианд зориулагдсан. Рад нь дугуй нумын урт нь түүний радиустай тохирч байх өнцөг юм. Энэ утгыг бүх нийтийн харилцааг бий болгохын тулд нэвтрүүлсэн бөгөөд радианаар тооцоолоход радиусын бодит урт нь см-ээр хамаарахгүй.

Тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн өнцөг нь радиан утгатай тохирч байна.

Тэгэхээр 2π нь бүтэн тойрог буюу 360° гэдгийг таахад хэцүү биш юм.

Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарууд: синус ба косинус

Синус ба косинус, тангенс ба котангенсийн үндсэн шинж чанарыг авч үзэх, харьцуулахын тулд тэдгээрийн функцийг зурах шаардлагатай. Үүнийг хоёр хэмжээст координатын системд байрлах муруй хэлбэрээр хийж болно.

Синусын долгион ба косинусын долгионы шинж чанарын харьцуулсан хүснэгтийг авч үзье.

синусоид	косинусын долгион
у = нүгэл х	у = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, хувьд x = πk, энд k ϵ Z	cos x = 0, хувьд x = π/2 + πk, энд k ϵ Z
sin x = 1, хувьд x = π/2 + 2πk, энд k ϵ Z	cos x = 1, хувьд x = 2πk, энд k ϵ Z
sin x = - 1, at x = 3π/2 + 2πk, энд k ϵ Z	cos x = - 1, хувьд x = π + 2πk, энд k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, өөрөөр хэлбэл сондгой функц	cos (-x) = cos x, өөрөөр хэлбэл функц нь тэгш байна
	функц нь үечилсэн, хамгийн бага үе нь 2π
sin x › 0, x нь I ба II хэсэгт хамаарах буюу 0°-аас 180° хүртэл (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x нь I ба IV улиралд хамаарах буюу 270°-аас 90° хүртэл (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x нь III ба IV улиралд хамаарах буюу 180°-аас 360° хүртэл (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x нь II ба III улиралд хамаарах буюу 90°-аас 270° хүртэл (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
[- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] интервал дээр нэмэгдэнэ.	[-π + 2πk, 2πk] интервал дээр нэмэгддэг
[ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] интервалууд дээр буурдаг.	интервалаар буурдаг
дериватив (нүгэл х)' = cos x	дериватив (cos x)’ = - sin x

Функц тэгш эсвэл тэгш биш эсэхийг тодорхойлох нь маш энгийн. Тригонометрийн хэмжигдэхүүний шинж тэмдэг бүхий тригонометрийн тойргийг төсөөлж, OX тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийг оюун ухаанаар "нугалахад" хангалттай. Тэмдгүүд ижил байвал функц нь тэгш, үгүй ​​бол сондгой байна.

Радиануудын танилцуулга, синусоид ба косинусын долгионы үндсэн шинж чанарыг тоолох нь дараахь хэв маягийг авчрах боломжийг бидэнд олгодог.

Томъёоны зөв эсэхийг шалгах нь маш хялбар байдаг. Жишээлбэл, x = π/2-ийн хувьд синус нь 1-тэй тэнцүү ба x = 0-ийн косинустай адил байна. Хүснэгтийг харах эсвэл өгөгдсөн утгуудын функцын муруйг мөрдөх замаар шалгаж болно.

Тангентоид ба котангентоидын шинж чанарууд

Тангенс ба котангентын функцүүдийн графикууд нь синусоид ба косинусын долгионоос эрс ялгаатай. tg ба ctg утга нь бие биенээсээ урвуу байна.

1. Y = tgx.
2. Шүргэгч нь x = π/2 + πk дахь y-ийн утгууд руу чиглэдэг боловч тэдгээрт хэзээ ч хүрдэггүй.
3. Тангентоидын хамгийн бага эерэг үе нь π юм.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна.
5. Tg x = 0, x = πk-ийн хувьд.
6. Функц нэмэгдэж байна.
7. Tg x › 0, x ϵ-ийн хувьд (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ-ийн хувьд (— π/2 + πk, πk).
9. Дериватив (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Текст дэх котангентоидын график дүрслэлийг авч үзье.

Котангентоидын үндсэн шинж чанарууд:

1. Y = ctgx.
2. Синус ба косинусын функцээс ялгаатай нь тангентоид Y нь бүх бодит тоонуудын багцын утгыг авч болно.
3. Котангентоид нь x = πk үед y-ийн утгууд руу чиглэдэг боловч хэзээ ч хүрч чаддаггүй.
4. Котангентоидын хамгийн бага эерэг үе нь π юм.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk-ийн хувьд.
7. Функц нь буурч байна.
8. Ctg x › 0, x ϵ-ийн хувьд (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ-ийн хувьд (π/2 + πk, πk).
10. Дериватив (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Засвар

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт

Анхаарна уу. Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд квадрат язгуурыг тэмдэглэхийн тулд √ тэмдгийг ашигладаг. Бутархайг тэмдэглэхийн тулд - "/" тэмдэг.

бас үзнэ үүашигтай материал:

Учир нь тригонометрийн функцийн утгыг тодорхойлох, тригонометрийн функцийг заасан шугамын огтлолцол дээр ол. Жишээлбэл, 30 градусын синус - бид нүгэл (синус) гэсэн гарчигтай баганыг хайж байгаа бөгөөд хүснэгтийн энэ баганын огтлолцлыг "30 градус" гэсэн шугамаар олдог бөгөөд тэдгээрийн уулзвар дээр бид үр дүнг уншина - нэг хоёрдугаарт. Үүнтэй адилаар бид олдог косинус 60градус, синус 60градус (дахин нүгэл (синус) багана ба 60 градусын эгнээний огтлолцол дээр бид sin 60 = √3/2 утгыг олно) гэх мэт. Үүнтэй адилаар бусад "алдартай" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенсийн утгыг олдог.

Пи-ийн синус, пи-ийн косинус, пи-ийн тангенс болон радиан дахь бусад өнцөг

Доорх косинус, синус, тангенсийн хүснэгт нь аргумент нь тригонометрийн функцүүдийн утгыг олоход тохиромжтой. радианаар өгөгдсөн. Үүнийг хийхийн тулд өнцгийн утгуудын хоёр дахь баганыг ашиглана уу. Үүний ачаар та алдартай өнцгийн утгыг градусаас радиан болгон хувиргаж болно. Жишээлбэл, эхний мөрөнд байгаа 60 градусын өнцгийг олоод түүний утгыг радианаар уншъя. 60 градус нь π/3 радиантай тэнцүү.

Пи тоо нь тойргийн тойргийн өнцгийн хэмжүүрээс хамаарах хамаарлыг онцгой илэрхийлдэг. Тэгэхээр пи радиан нь 180 градустай тэнцэнэ.

Пи (радиан) -аар илэрхийлсэн дурын тоог pi (π) тоог 180-аар сольсноор градус руу хялбархан хөрвүүлж болно..

Жишээ:
1. синус пи.
sin π = нүгэл 180 = 0
Тиймээс pi-ийн синус нь 180 градусын синустай ижил бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна.

2. косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
Тиймээс pi-ийн косинус нь 180 градусын косинустай ижил бөгөөд хасах нэгтэй тэнцүү байна.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
Иймээс pi-ийн тангенс нь 180 градусын тангенстай ижил бөгөөд тэгтэй тэнцүү байна.

0 - 360 градусын өнцгийн синус, косинус, тангенсийн утгын хүснэгт (байнга утгууд)

өнцөг α (зэрэг)	өнцөг α радианд (pi-ээр)	нүгэл (синус)	cos (косинус)	тг (шүргэх)	ctg (котангенс)	сек (секант)	шалтгаан (косекант)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Хэрэв тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд функцийн утгын оронд зураас (шүргээ (tg) 90 градус, котангенс (ctg) 180 градус) тэмдэглэгдсэн бол градусын хэмжүүрийн өгөгдсөн утгын хувьд өнцөг, функц нь тодорхой утгатай байдаггүй. Хэрэв зураас байхгүй бол нүд хоосон тул бид хүссэн утгыг хараахан оруулаагүй байна. Хамгийн түгээмэл өнцгийн утгуудын косинус, синус, тангенсийн утгын талаарх одоогийн өгөгдөл нь ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байгаа хэдий ч хэрэглэгчид бидэнд ямар хүсэлт ирүүлж, хүснэгтийг шинэ утгуудаар нэмж байгааг бид сонирхож байна. асуудлууд.

Хамгийн алдартай өнцгүүдийн sin, cos, tg тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градус
(тоон утгууд "Брадисын хүснэгтийн дагуу")

өнцгийн утга α (градус)	радиан дахь α өнцгийн утга	нүгэл (синус)	cos (косинус)	tg (шүргэх)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн ойлголтууд нь тригонометрийн үндсэн категори болох математикийн нэг салбар бөгөөд өнцгийн тодорхойлолттой салшгүй холбоотой байдаг. Энэхүү математикийн шинжлэх ухааныг эзэмшихийн тулд томъёо, теоремыг цээжлэх, ойлгох, орон зайн сэтгэлгээг хөгжүүлэх шаардлагатай. Тийм ч учраас тригонометрийн тооцоолол нь сургуулийн сурагчид, оюутнуудад хүндрэл учруулдаг. Тэдгээрийг даван туулахын тулд та тригонометрийн функц, томъёог илүү сайн мэддэг байх ёстой.

Тригонометрийн ойлголтууд

Тригонометрийн үндсэн ойлголтуудыг ойлгохын тулд эхлээд тэгш өнцөгт гурвалжин ба тойрог дахь өнцөг гэж юу болох, яагаад бүх үндсэн тригонометрийн тооцоолол нь тэдгээртэй холбоотой болохыг шийдэх хэрэгтэй. Нэг өнцөг нь 90 градус байх гурвалжин бол тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Түүхийн хувьд энэ дүрсийг архитектур, навигаци, урлаг, одон орон судлалын хүмүүс ихэвчлэн ашигладаг байсан. Үүний дагуу энэ зургийн шинж чанарыг судалж, дүн шинжилгээ хийснээр хүмүүс түүний параметрүүдийн харгалзах харьцааг тооцоолоход хүрчээ.

Тэгш өнцөгт гурвалжинтай холбоотой гол ангилал нь гипотенуз ба хөл юм. Гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг байрлах гурвалжны тал юм. Хөл нь тус тусын нөгөө хоёр тал юм. Аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градус байдаг.

Бөмбөрцөг тригонометр бол сургуульд судлагдаагүй тригонометрийн хэсэг боловч одон орон, геодези зэрэг хэрэглээний шинжлэх ухаанд эрдэмтэд үүнийг ашигладаг. Бөмбөрцөг тригонометрийн гурвалжны нэг онцлог нь түүний өнцгийн нийлбэр нь үргэлж 180 градусаас их байдаг.

Гурвалжны өнцөг

Тэгш өнцөгт гурвалжинд өнцгийн синус нь хүссэн өнцгийн эсрэг талын хөлийг гурвалжны гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Үүний дагуу косинус нь зэргэлдээх хөл ба гипотенузын харьцаа юм. Гипотенуз нь хөлөөс үргэлж урт байдаг тул эдгээр хоёр утга нь үргэлж нэгээс бага утгатай байдаг.

Өнцгийн шүргэгч нь эсрэг талын хөлийг хүссэн өнцгийн зэргэлдээх хөлтэй харьцуулсан харьцаа буюу синусын косинустай тэнцүү утга юм. Котангенс нь эргээд хүссэн өнцгийн зэргэлдээх хөлийг эсрэг талын кактеттай харьцуулсан харьцаа юм. Нэгжийг шүргэгчийн утгад хуваах замаар өнцгийн котангенсыг олж авч болно.

нэгж тойрог

Геометрийн нэгж тойрог нь радиус нь нэгтэй тэнцүү тойрог юм. Ийм тойрог нь декартын координатын системд баригдсан бөгөөд тойргийн төв нь үүссэн цэгтэй давхцаж, радиус векторын анхны байрлалыг X тэнхлэгийн эерэг чиглэл (абсцисса тэнхлэг) тодорхойлно. Тойргийн цэг бүр нь XX ба YY гэсэн хоёр координаттай, өөрөөр хэлбэл абсцисса ба ординатын координат юм. XX хавтгай дахь тойргийн дурын цэгийг сонгож, түүнээс перпендикулярыг абсцисса тэнхлэг рүү буулгаснаар сонгосон цэг рүү радиусаар үүссэн тэгш өнцөгт гурвалжинг (үүнийг C үсгээр тэмдэглэе), перпендикуляр зурсан болно. X тэнхлэг (огтлолцох цэгийг G үсгээр тэмдэглэсэн) ба гарал үүсэл (цэг нь А үсгээр тэмдэглэгдсэн) ба G огтлолцлын цэгийн хоорондох абсцисса тэнхлэгийн сегмент. Үүссэн гурвалжин ACG нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. тойрог, AG нь гипотенуз, AC ба GC нь хөл юм. AC тойргийн радиус ба абсцисса тэнхлэгийн сегментийн AG тэмдэглэгээний хоорондох өнцгийг бид α (альфа) гэж тодорхойлно. Тиймээс cos α = AG/AC. АС нь нэгж тойргийн радиус бөгөөд нэгтэй тэнцүү гэж үзвэл cos α=AG болно. Үүний нэгэн адил sin α=CG.

Түүнчлэн эдгээр өгөгдлүүдийг мэдсэнээр тойрог дээрх С цэгийн координатыг тодорхойлох боломжтой, учир нь cos α=AG, sin α=CG нь C цэг нь өгөгдсөн координаттай (cos α; sin α) байна гэсэн үг юм. Тангенс нь синусыг косинустай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү гэдгийг мэдсэнээр бид tg α \u003d y / x, ctg α \u003d x / y гэдгийг тодорхойлж болно. Сөрөг координатын систем дэх өнцгийг харгалзан үзвэл зарим өнцгийн синус ба косинусын утгууд сөрөг байж болохыг тооцоолж болно.

Тооцоолол ба үндсэн томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн утгууд

Нэгж тойргоор дамжуулан тригонометрийн функцүүдийн мөн чанарыг авч үзсэний дараа бид зарим өнцгийн хувьд эдгээр функцүүдийн утгыг гаргаж авах боломжтой. Доорх хүснэгтэд утгуудыг жагсаав.

Хамгийн энгийн тригонометрийн таних тэмдэг

Тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх утга байгаа тэгшитгэлийг тригонометр гэж нэрлэдэг. sin x = α, k утгатай адилтгалууд нь дурын бүхэл тоо:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. нүгэл x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. нүгэл x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, шийдэл байхгүй.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

cos x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, шийдэл байхгүй.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

tg x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

ctg x = a утгатай таних тэмдэгтүүд, k нь дурын бүхэл тоо:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Дамжуулах томъёо

Тогтмол томъёоны энэ ангилал нь хэлбэрийн тригонометрийн функцээс аргументийн функц руу шилжих, өөрөөр хэлбэл ямар ч утгын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг өнцгийн харгалзах үзүүлэлт болгон хувиргах аргуудыг илэрхийлдэг. Тооцооллыг илүү хялбар болгохын тулд 0-ээс 90 градусын интервал.

Өнцгийн синусын функцийг багасгах томъёо дараах байдалтай байна.

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = нүгэл α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• нүгэл(3600 + α) = нүгэл α.

Өнцгийн косинусын хувьд:

• cos(900 - α) = нүгэл α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = нүгэл α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Дээрх томъёог ашиглах нь хоёр дүрмийн дагуу боломжтой. Нэгдүгээрт, хэрэв өнцгийг утга (π/2 ± a) эсвэл (3π/2 ± a) хэлбэрээр илэрхийлж чадвал функцийн утга өөрчлөгдөнө.

• нүглээс cos хүртэл;
• учираас нүгэл рүү;
• tg-ээс ctg хүртэл;
• ctg-ээс tg хүртэл.

Хэрэв өнцгийг (π ± a) эсвэл (2π ± a) гэж дүрсэлж чадвал функцийн утга өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна.

Хоёрдугаарт, бууруулсан функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй: хэрэв энэ нь анх эерэг байсан бол энэ нь хэвээр байна. Сөрөг функцүүдийн хувьд ч мөн адил.

Нэмэлт томъёо

Эдгээр томьёо нь тригонометрийн функцээр хоёр эргэлтийн өнцгийн нийлбэр ба зөрүүний синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг илэрхийлдэг. Өнцгийг ихэвчлэн α ба β гэж тэмдэглэдэг.

Томъёо нь дараах байдалтай байна.

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * нүгэл.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * нүгэл.
3. tan(α ± β) = (тан α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Эдгээр томъёо нь α ба β өнцөгт хүчинтэй.

Давхар ба гурвалсан өнцгийн томьёо

Давхар ба гурвалсан өнцгийн тригонометрийн томьёо нь 2α ба 3α өнцгийн функцийг α өнцгийн тригонометрийн функцтэй холбосон томъёо юм. Нэмэлт томъёоноос гаргаж авсан:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Нийлбэрээс бүтээгдэхүүн рүү шилжих

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) гэдгийг авч үзвэл энэ томьёог хялбарчлан sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ижилслийг олж авна. Үүний нэгэн адил sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = нүгэл(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Бүтээгдэхүүнээс нийлбэр рүү шилжих

Эдгээр томьёо нь нийлбэрийг бүтээгдэхүүн рүү шилжүүлэх таних тэмдгүүдээс дагана.

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Бууруулах томъёо

Эдгээр ижил төстэй байдлын хувьд синус ба косинусын квадрат ба куб хүчийг олон өнцгийн эхний түвшний синус ба косинусаар илэрхийлж болно.

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Бүх нийтийн орлуулалт

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалтын томъёо нь тригонометрийн функцийг хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлдэг.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), харин x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), энд x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), энд x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), харин x \u003d π + 2πn.

Онцгой тохиолдлууд

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн тодорхой тохиолдлуудыг доор өгөв (k нь дурын бүхэл тоо).

Синусын хувьд хувийн:

sin x утга	x утга
0	pk
1	π/2 + 2πк
-1	-π/2 + 2πк
1/2	π/6 + 2πk эсвэл 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk эсвэл -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk эсвэл 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk эсвэл -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk эсвэл 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk эсвэл -2π/3 + 2πk

Косинусын коэффициентууд:

cos x утга	x утга
0	π/2 + 2πк
1	2πк
-1	2 + 2πк
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πк
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Тангенсийн хувьд хувийн:

tg x утга	x утга
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Котангентын коэффициентүүд:

ctg x утга	x утга
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теоремууд

Синусын теорем

Теоремын хоёр хувилбар байдаг - энгийн ба өргөтгөсөн. Энгийн синусын теорем: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Энэ тохиолдолд a, b, c нь гурвалжны талууд, α, β, γ нь эсрэг талын өнцөг юм.

Дурын гурвалжны өргөтгөсөн синусын теорем: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Энэ адилтгалын хувьд R нь өгөгдсөн гурвалжныг дүрсэлсэн тойргийн радиусыг илэрхийлнэ.

Косинусын теорем

Тодорхойлолтыг дараах байдлаар харуулна: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Томъёонд a, b, c нь гурвалжны талууд, α нь а талын эсрэг талын өнцөг юм.

Тангенс теорем

Томъёо нь хоёр өнцгийн тангенс ба тэдгээрийн эсрэг талын талуудын уртын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг. Талуудыг a, b, c гэж тэмдэглэсэн бөгөөд харгалзах эсрэг талын өнцөг нь α, β, γ байна. Шүргэх теоремын томъёо: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Котангентын теорем

Гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиусыг талуудын урттай холбоно. Хэрэв a, b, c нь гурвалжны талууд, A, B, C нь тус тусын эсрэг өнцөг, r нь бичээстэй тойргийн радиус, p нь гурвалжны хагас периметр бол дараах ижил төстэй байдал үүснэ. барих:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Хэрэглээ

Тригонометр бол зөвхөн математикийн томьёотой холбоотой онолын шинжлэх ухаан биш юм. Түүний шинж чанар, теорем, дүрмийг хүний ​​​​үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарууд - одон орон судлал, агаар, далайн навигаци, хөгжмийн онол, геодези, хими, акустик, оптик, электроник, архитектур, эдийн засаг, механик инженерчлэл, хэмжих ажил, компьютер график, практикт ашигладаг. зураг зүй, далай судлал болон бусад олон.

Синус, косинус, тангенс, котангенс нь тригонометрийн үндсэн ойлголт бөгөөд гурвалжны өнцөг ба талуудын уртын хамаарлыг математикийн аргаар илэрхийлж, ижил төстэй байдал, теорем, дүрмээр дамжуулан хүссэн хэмжигдэхүүнийг олох боломжтой.

Тригонометрийн үндсэн томьёо нь үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоодог томъёо юм. Синус, косинус, тангенс, котангенс нь хоорондоо олон харилцаа холбоотой байдаг. Доор бид үндсэн тригонометрийн томъёог өгч, ая тухтай байлгах үүднээс тэдгээрийг зорилгын дагуу бүлэглэв. Эдгээр томъёог ашигласнаар та стандарт тригонометрийн хичээлээс бараг бүх асуудлыг шийдэж чадна. Тус тусад нь өгүүлэлд зориулагдах тэдгээрийн гарал үүслийг биш зөвхөн томъёог доор өгснийг бид нэн даруй тэмдэглэж байна.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд

Тригонометрийн ижилсэл нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хоорондын хамаарлыг өгч, нэг функцийг нөгөө өнцгөөр илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Тригонометрийн ижил төстэй байдал

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Эдгээр таних тэмдэг нь нэгж тойрог, синус (син), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg) гэсэн тодорхойлолтоос шууд гардаг.

Дамжуулах томъёо

Цутгах томьёо нь дурын болон дур зоргоороо том өнцөгтэй ажиллахаас 0-ээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.

Дамжуулах томъёо

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 πz = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Бууруулах томъёо нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн байдлын үр дагавар юм.

Тригонометрийн нэмэх томъёо

Тригонометрийн нэмэлт томъёо нь эдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцийг илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Тригонометрийн нэмэх томъёо

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Нэмэх томьёо дээр үндэслэн олон өнцгийн тригонометрийн томъёог гаргаж авдаг.

Олон өнцгийн томьёо: давхар, гурвалсан гэх мэт.

Давхар ба гурвалсан өнцгийн томьёо

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - нүгэл 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t \ g 2 u003d 2 t g α 1 - t g 2 α with t g 2 α \u003d with t g 2 α - 1 2 with t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d -α3 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Хагас өнцгийн томъёо

Тригонометрийн хагас өнцгийн томьёо нь давхар өнцгийн томъёоны үр дагавар бөгөөд хагас өнцөг болон бүх өнцгийн косинусын үндсэн функцуудын хоорондын хамаарлыг илэрхийлдэг.

Хагас өнцгийн томъёо

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Бууруулах томъёо

Бууруулах томъёо

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Ихэнхдээ тооцоололд нүсэр хүч чадалтай ажиллахад тохиромжгүй байдаг. Зэрэг бууруулах томьёо нь тригонометрийн функцын зэргийг дур зоргоороо томоос эхнийх хүртэл бууруулах боломжийг олгодог. Тэдний ерөнхий үзэл бодол энд байна:

Бууруулах томъёоны ерөнхий хэлбэр

бүр n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

сондгой n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгаа

Тригонометрийн функцүүдийн зөрүү ба нийлбэрийг үржвэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, илэрхийллийг хялбарчлахад синус ба косинусын ялгааг хүчин зүйлээр тооцох нь маш тохиромжтой.

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгаа

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 син α + β 2 sin β - α 2

Тригонометрийн функцүүдийн бүтээгдэхүүн

Хэрэв функцүүдийн нийлбэр ба зөрүүний томъёонууд нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн рүү шилжих боломжийг олгодог бол тригонометрийн функцүүдийн бүтээгдэхүүний томъёонууд урвуу шилжилтийг хийдэг - бүтээгдэхүүнээс нийлбэр рүү. Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёог авч үзнэ.

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийн томъёо

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (нүгэл (α - β) + нүгэл (α + β))

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

Бүх үндсэн тригонометрийн функцууд - синус, косинус, тангенс, котангенс - хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлэгдэж болно.

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 2 т г α 2

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу