Хичээлийн зорилго:

• боловсролын:нэгэн төрлийн тэгшитгэл агуулсан тэгшитгэлийн систем, тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн системийг шийдэж сурах;
• хөгжиж байна: сэтгэлгээ, анхаарал, санах ой, гол зүйлийг тодруулах чадварыг хөгжүүлэх;
• боловсролын:харилцааны ур чадварыг хөгжүүлэх.

Хичээлийн төрөл:шинэ материал сурах хичээл.

Ашигласан сургалтын технологи:

• бүлгийн ажил;
• дизайны арга.

Тоног төхөөрөмж:компьютер, мультимедиа проектор.

Хичээл эхлэхээс долоо хоногийн өмнө оюутнууд бүтээлч даалгаврын сэдвүүдийг (сонголтуудын дагуу) авдаг.
би сонголт. Тэгшитгэлийн тэгш хэмийн систем. Шийдэл.
II сонголт. Нэг төрлийн тэгшитгэл агуулсан системүүд. Шийдэл.

Оюутан бүр нэмэлт боловсролын ном зохиолыг ашиглан зохих сургалтын материалыг олж, тэгшитгэлийн системийг сонгож, шийдвэрлэх ёстой.
Сонголт бүрээс нэг оюутан бүтээлч даалгаврын сэдвээр мультимедиа үзүүлэнг бүтээдэг. Багш нь шаардлагатай бол оюутнуудад зааварчилгаа өгдөг.

I. Сурагчдын сурах үйл ажиллагааны сэдэл

Багшийн танилцуулга
Өмнөх хичээлээр бид тэгшитгэлийн системийн шийдлийг үл мэдэгдэхийг орлуулах аргаар авч үзсэн. Шинэ хувьсагчийг сонгох ерөнхий дүрэм байхгүй. Гэсэн хэдий ч хувьсагчийн боломжийн сонголт байгаа тохиолдолд хоёр төрлийн тэгшитгэлийн системийг ялгаж болно.

• тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн системүүд;
• тэгшитгэлийн систем, тэдгээрийн нэг нь нэгэн төрлийн.

II. Шинэ материал сурах

Хоёрдахь хувилбарын оюутнууд гэрийн даалгавраа тайлагнадаг.

1. "Нэг төрлийн тэгшитгэл агуулсан системүүд" мультимедиа үзүүлэнгийн слайд шоу (илтгэл 1).

2. Нэг ширээн дээр сууж буй оюутнуудын хосоор ажиллах: хоёр дахь хувилбарын оюутан ширээн дээрх хөршдөө нэгэн төрлийн тэгшитгэл агуулсан системийн шийдлийг тайлбарладаг.

1-р сонголтын оюутнуудын тайлан.

1. "Тэгш хэмийн тэгшитгэлийн системүүд" мультимедиа үзүүлэнгийн слайд шоу (танилцуулга 2).

Оюутнууд дэвтэр дээрээ бичдэг:

2. Нэг ширээнд сууж буй сурагчдын хосоор ажиллах: I хувилбарын оюутан ширээн дээрх хөршдөө тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн системийн шийдлийг тайлбарлаж байна.

III. Судалсан материалыг нэгтгэх

Бүлэгээр ажиллах (4 сурагчтай бүлэгт зэргэлдээх ширээн дээр сууж буй оюутнуудыг нэгтгэдэг).
6 бүлэг тус бүр дараах даалгаврыг гүйцэтгэнэ.

Системийн төрлийг тодорхойлж, шийдвэрлэх:

Бүлгийн оюутнууд системд дүн шинжилгээ хийж, тэдгээрийн төрлийг тодорхойлж, дараа нь фронтын ажлын явцад системийн шийдлүүдийг хэлэлцдэг.

а) систем

тэгш хэмтэй, бид шинэ хувьсагчдыг нэвтрүүлдэг x+y=u, xy=v

б) систем

нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг агуулна.

Хос тоо (0;0) нь системийн шийдэл биш юм.

IV. Оюутнуудын мэдлэгийг хянах

Сонголтууд дээр бие даан ажиллах.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Оюутнууд дэвтэрээ багшид шалгуулахаар өгнө.

V. Гэрийн даалгавар

1. Бүх сурагчид тоглоно.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

2. "Хүчтэй" сурагчдыг гүйцэтгэнэ.

Тэгшитгэлийн системийг шийд:

VI. Хичээлийн хураангуй

Асуултууд:
Та ангидаа ямар төрлийн тэгшитгэлийн системийг сурсан бэ?
Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх ямар аргыг ашигладаг вэ?

Хичээлийн үеэр оюутнуудын авсан дүнг тайлагнах.

Оршил Миний төслийн асуудал бол шалгалтыг амжилттай өгөхийн тулд янз бүрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх чадвар шаарддаг бөгөөд ахлах сургуульд энэ асуудлыг илүү гүнзгий судлахад хангалттай цаг хугацаа өгдөггүй явдал юм. Ажлын зорилго: шалгалтыг амжилттай өгөхөд бэлтгэх. Ажлын даалгавар: "Тэгш хэм" гэсэн ойлголттой холбоотой математикийн чиглэлээр мэдлэгээ өргөжүүлэх. Симметр гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн систем болон математикийн бусад асуудлыг шийдвэрлэхдээ "тэгш хэм" гэсэн ойлголтыг ашиглан математикийн соёлоо сайжруул.

Симметрийн тухай ойлголт. Симметри - (эртний Грекийн συμμετρία), өргөн утгаараа - аливаа өөрчлөлтийн үед өөрчлөгддөггүй байдал. Жишээлбэл, биеийн бөмбөрцөг тэгш хэм нь орон зайд дурын өнцгөөр эргэлдэхэд биеийн гадаад төрх өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм. Хоёр талын тэгш хэм гэдэг нь зарим хавтгайд баруун, зүүн нь адилхан харагддаг гэсэн үг юм.

Симметрийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх. Бодлого 1 Хоёр хүн нэг ижил зоосыг дугуй ширээн дээр ээлжлэн тавьдаг бөгөөд зоос нь бие биенээ бүрхэж болохгүй. Хөдөлгөөн хийж чадахгүй хүн ялагдана. Зөв тогловол хэн хожих вэ? (Өөрөөр хэлбэл аль тоглогч ялах стратегитай вэ?)

Тэгш хэмтэй системийг шийдэх арга. Тэгш хэмт системийг үндсэн тэгш хэмт олон гишүүнт болох хувьсагчийн өөрчлөлтөөр шийдэж болно. Хоёр үл мэдэгдэх х ба у хоёр тэгшитгэлийн тэгш хэмийн системийг u = x + y, v = xy гэж орлуулснаар шийднэ.

Жишээ № 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 Үндсэн тэгш хэмт олон гишүүнтүүдийг ашиглан системийг дараах хэлбэрээр бичиж болно 3uv - 2v \u002u -78, 3v \u003d -8. Хоёр дахь тэгшитгэлээс u =-г илэрхийлж, эхний тэгшитгэлд орлуулахад бид 9v2– 28v – 156 = 0 болно. Энэ тэгшитгэлийн үндэс v 1 = 6 ба v 2 = - харгалзах утгуудыг олох боломжийг бидэнд олгоно u1 = 5, u2= - u = илэрхийллээс.

Дараах системүүдийн багцыг одоо бодъё. Дараах x + y = 5, x + y = - , xy = 6 xy = - гэсэн системүүдийн багцыг шийдье. x \u003d 5 - y, мөн y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y, мөн y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y, мөн y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, ба x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, у 2 =2 у 1 = -, у 2= Хариулт: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Тэгш хэмтэй системийг шийдвэрлэхэд ашигладаг теоремууд. Теорем 1. (тэгш хэмт олон гишүүнт дээр) Хоёр хувьсагчийн аль ч тэгш хэмт олон гишүүнтийг хоёр үндсэн тэгш хэмт олон гишүүнтийн функцээр илэрхийлж болно Өөрөөр хэлбэл аливаа тэгш хэмт олон гишүүнт f (x, y)-д φ (u,) гэсэн хоёр хувьсагчийн функц байдаг. v) ийм

Теорем 2. (тэгш хэмт олон гишүүнт дээр) Теорем 2. (тэгш хэмт олон гишүүнт дээр) Гурван хувьсагчийн аль ч тэгш хэмтэй олон гишүүнт гурван үндсэн тэгш хэмт олон гишүүнт функцээр дүрслэгдэж болно: Өөрөөр хэлбэл, ямар ч тэгш хэмтэй олон гишүүнт f (x, y) байна. θ (u, v, w) гэсэн гурван хувьсагчийн ийм функц

Илүү төвөгтэй тэгш хэмтэй системүүд - модулийг агуулсан системүүд: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | у-1 | = 2. Энэ системийг x хувьд тусад нь авч үзье< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) x ≤ y-ийн хувьд< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) систем нь хэлбэрийг авна - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2, эсвэл - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, Эндээс бид x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1-ийг олох болно. Хоёрдахь хос тоо нь авч үзэж буй хэсэгт хамаарна, өөрөөр хэлбэл энэ нь шийдэл юм. энэ системд.

Хэрэв x ≥ 1 бол: Хэрэв x ≥ 1 бол: a) x > y ба y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y ба y ≥ 1 бол систем нь x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, эсвэл x - y + y 2 = 3, x + y = 4 хэлбэртэй байх ба үүнээс бид х-г олно. = 1, y = 3. Энэ хос тоо нь авч үзэж буй хэсэгт хамаарахгүй;

в) x ≤ y (дараа нь y ≥ 1), систем хэлбэрийг авна c) x ≤ y (дараа нь y ≥ 1), систем нь - x + y + y 2 = 3, x - 1 + хэлбэрийг авна. y - 1 = 2, эсвэл - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, эндээс бид х 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8-ийг олох болно; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Эдгээр хос тоо нь авч үзэж буй хэсэгт хамаарахгүй. Тиймээс x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. Хариулт: (- 1; 1); (арван нэгэн).

Дүгнэлт Математик нь хүний ​​сэтгэлгээг хөгжүүлж, логикоор дамжуулан янз бүрийн шийдлийг олоход сургадаг. Тиймээс, тэгш хэмтэй системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсны дараа би эдгээрийг зөвхөн тодорхой жишээг бөглөхөд төдийгүй янз бүрийн төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болохыг ойлгосон. Төсөл зөвхөн надад ч биш тустай гэж бодож байна. Мөн энэ сэдэвтэй танилцахыг хүссэн хүмүүст миний ажил сайн туслагч байх болно.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт: Башмаков М.И., "Алгебр ба анализын эхлэл", 2-р хэвлэл, Москва, "Просвещение", 1992, 350 хуудас. Рудченко П.А., Яремчук Ф.П., "Алгебр ба энгийн функцууд ", лавлах; Гурав дахь хэвлэл, засварласан, томруулсан; Киев, Наукова, Думка, 1987, 648 хуудас. Шарыгин И.Ф., "Ахлах ангийн сурагчдад зориулсан математик", Москва, Дрофа хэвлэлийн газар, 1995, 490 хуудас. Интернетийн эх сурвалж: http://www.college.en/

Энэхүү бүтээлийг "Математик" сэдвээр хичээл, тайланд ашиглаж болно.

Математикийн бэлэн үзүүлэнгүүд нь багш, эцэг эхчүүдэд сурах бичгээс судалж буй сэдвийг слайд, хүснэгт ашиглан үзүүлэх, бодлого, тэгшитгэл шийдвэрлэх жишээг үзүүлэх, мэдлэгийг шалгах боломжийг олгодог үзүүлэн таниулах хэрэгсэл болгон ашигладаг. Сайтын энэ хэсгээс 1,2,3,4,5,6-р ангийн сурагчдад зориулсан математикийн олон бэлэн илтгэл, их дээд сургуулийн оюутнуудад зориулсан дээд математикийн илтгэлүүдийг олж, татаж авах боломжтой.

Тэгэхээр, таны хувьд бид тэгшитгэлийг олж авна Олон гишүүнтийн рационал язгуурын тухай теоремыг эргэн санацгаая (§ 2.1.5). Бидний тэгшитгэлийн оновчтой язгуурыг -4 тоог хуваагчдаас хайх ёстой. Бүх хуваагчдыг судалж үзээд тэгшитгэл нь оновчтой үндэсгүй гэдэгт бид итгэлтэй байна. Гэхдээ энэ теорем нь язгуур оршихуйн тухай теорем биш байсан. Заасан теорем нь зөвхөн дараах зүйлийг заасан: хэрэв бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнт рационал язгууртай бол (гэхдээ тэдгээр нь ОРШИХГҮЙ байх магадлал хэвээр байгаа) эдгээр үндэс нь ямар нэгэн тусгай хэлбэртэй байх болно. Рационал үндэс байхгүй тохиолдолд энэ теоремыг тайлбарлаагүй болно.

Иррационал тоонуудын дундаас анхны системийн тэгшитгэлийн язгуурыг олохыг хичээцгээе. Гэсэн хэдий ч энэ нь зарим нэг ур чадвар шаардах болно: тэгш хэмтэй системийг стандартаар солих нь энд ажиллахгүй нь ойлгомжтой.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг шоо болгон өсгөхөд бид дараахь зүйлийг олж авна. Тиймээс, Виетийн теоремын дагуу квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь Эндээс ба Эндээс,

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх талаархи нэмэлт ном зохиолыг судалж байхдаа би шинэ төрлийн систем болох тэгш хэмтэй танилцсан. Тэгээд би өөртөө зорилго тавьсан:

"Тэгшитгэлийн систем" сэдвээр шинжлэх ухааны мэдээллийг нэгтгэн дүгнэх.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга замыг ойлгож, хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах;

3) тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн системтэй холбоотой үндсэн онолыг авч үзье

4) тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн системийг шийдэж сурах.

Тэгшитгэлийн системийг шийдсэн түүх.

Шугаман тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг эрт дээр үеэс хэрэглэж ирсэн. 17-18 зуунд. В. хасах арга техникийг Фермат, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безут, Лагранж нар боловсруулсан.

Орчин үеийн тэмдэглэгээнд хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем нь дараах хэлбэртэй байна: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 Энэ системийн шийдлүүдийг томъёогоор илэрхийлнэ.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

17-р зуунд бий болсон координатын аргын ачаар. Ферма, Декарт нар тэгшитгэлийн системийг графикаар шийдвэрлэх боломжтой болсон.

МЭӨ 3-2 мянганы үед бичигдсэн эртний Вавилоны бичвэрүүдэд. д. , тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэх замаар шийдсэн олон асуудлыг багтаасан бөгөөд үүнд хоёр дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг оруулсан болно.

Жишээ №1:

Би хоёр квадратынхаа талбайг нэмлээ: 25. Хоёрдахь квадратын тал нь эхний талтай тэнцүү ба түүнээс дээш 5. Харгалзах тэмдэглэгээнд харгалзах тэгшитгэлийн систем нь: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Олон үл мэдэгдэх зүйлийн тэмдэглэгээгүй Диофант системийн шийдийг нэг тэгшитгэлийн шийдэл болгон багасгахын тулд үл мэдэгдэхийг сонгох гэж маш их хичээсэн.

Жишээ №2:

"Нийлбэр нь 20, квадратынх нь нийлбэр нь 208 гэдгийг мэдэж хоёр натурал тоог ол."

Асуудлыг мөн x + y = 20 тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэх замаар шийдсэн боловч x2 + y2 = 208-ыг шийдсэн.

Диофант, хүссэн тоонуудын зөрүүний хагасыг үл мэдэгдэх байдлаар сонгох, өөрөөр хэлбэл.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- нь бодлогын нөхцөлийг хангахгүй тул хэрэв z = 2x = 12, y = 8 бол

Алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тухай ойлголт.

Олон тооны асуудалд тэдгээрийн тусламжтайгаар үүссэн бусад хэмжигдэхүүнүүд (үл мэдэгдэх функцууд) бие биетэйгээ эсвэл зарим өгөгдсөн хэмжигдэхүүнтэй тэнцүү байдгийг мэдэхийн тулд хэд хэдэн үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг олох шаардлагатай байж болно. Энгийн жишээг авч үзье.

2400 м2 талбайтай тэгш өнцөгт газрыг 200 м урт хашаагаар хашсан. сегментийн урт ба өргөнийг ол. Үнэн хэрэгтээ энэ бодлогын "алгебрийн загвар" нь хоёр тэгшитгэл, нэг тэгш бус байдлын систем юм.

Боломжит хязгаарлалтууд - тэгш бус байдлыг үргэлж санаж байх ёстой. Тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэх асуудлыг шийдэх үед. Гэхдээ гол зүйл бол тэгшитгэлийг өөрсдөө шийдэх явдал юм. Би ашигладаг аргуудын талаар танд хэлэх болно.

Тодорхойлолтоос эхэлье.

Тэгшитгэлийн систем нь буржгар хаалтаар холбогдсон хэд хэдэн (нэгээс олон) тэгшитгэлийн багц юм.

Буржгар хаалт нь системийн бүх тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг гүйцэтгэх ёстой гэсэн үг бөгөөд тэгшитгэл бүрийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах хос тоог (x; y) олох шаардлагатайг харуулж байна.

Системийн шийдэл нь x ба y хос тоо бөгөөд энэ системд орлуулснаар түүний тэгшитгэл бүрийг жинхэнэ тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь түүний бүх шийдлийг олох эсвэл байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм.

Орлуулах арга.

Орлуулах арга нь тэгшитгэлийн аль нэгэнд нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлдэг. Үүссэн илэрхийлэл нь өөр тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл болж хувирч, дараа нь шийдэгдэнэ. Энэ хувьсагчийн үр дүнгийн утгыг анхны системийн дурын тэгшитгэлд орлуулж, хоёр дахь хувьсагчийг олно.

Алгоритм.

1. Системийн нэг тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийл.

2. Ү-ийн оронд үүссэн илэрхийллийг системийн өөр тэгшитгэлд орлуулна.

3. Үүссэн тэгшитгэлийг x-ийн хувьд шийд.

4. Эхний алхамд олж авсан y-ээс x гэсэн илэрхийлэлд х-ийн оронд 3-р алхам дээр олдсон тэгшитгэлийн язгуур тус бүрийг ээлжлэн орлуулна.

5) Хариултыг хос утгын (x; y) хэлбэрээр бичнэ үү.

Жишээ № 1 y \u003d x - 1,

Хоёрдахь тэгшитгэлд y \u003d x - 1-ийг орлуулснаар бид 5x + 2 (x - 1) \u003d 16-г авна, үүнээс x \u003d 2. бид эхний тэгшитгэлд үүссэн илэрхийллийг орлуулна: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

Хариулт: (2; 1).

Жишээ №2:

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2х - 21 нас \u003d 2 16 жил - 8 - 21 нас \u003d 2

5y \u003d 10 x \u003d 8y - 4, у \u003d -2

2х - 21 жил \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8 нас - 4) - 21 нас \u003d 2 x \u003d 8ж - 4, у \u003d -2 x \u003d -20, у \u003d -2

Хариулт: (-20; -2).

Жишээ №3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - квадрат тэгшитгэл y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

Тиймээс (-2; -4); (4; 8) нь энэ системийн шийдлүүд юм.

Нэмэх арга.

Нэмэх арга нь хэрэв өгөгдсөн систем нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл үүсгэдэг тэгшитгэлээс бүрддэг бол энэ тэгшитгэлийг шийдсэнээр бид аль нэг хувьсагчийн утгыг олж авна гэсэн үг юм. Орлуулах аргын нэгэн адил хоёр дахь хувьсагчийн утгыг олно.

Нэмэлтийн аргаар системийг шийдвэрлэх алгоритм.

1. Үл мэдэгдэхийн аль нэгэнд коэффициентийн модулиудыг тэнцүүл.

2. Үүссэн тэгшитгэлийг нэмэх, хасахдаа үл мэдэгдэх нэгийг ол.

3. Анхны системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олсон утгыг орлуулан хоёр дахь үл мэдэгдэхийг ол.

Жишээ №1. Тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар нэмж шийд: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хасвал бид олж авна

Бид хоёр дахь илэрхийлэлээс x \u003d 20 - y-ийг илэрхийлж байна

Энэ илэрхийлэлд y \u003d 5-ыг орлуулна уу: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.

Хариулт: (15; 5).

Жишээ №2:

Санал болгож буй системийн тэгшитгэлийг ялгаагаар илэрхийлье, бид олж авна

7y = 21, үүнээс у = 3

Энэ утгыг x = системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс илэрхийлсэн утгад орлуулснаар бид x = 4 болно.

Хариулт: (4; 3).

Жишээ №3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

Эдгээр тэгшитгэлийг нэмбэл бид:

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, энэ утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

10 * 2 - 11y \u003d 9, хаанаас y \u003d 1.

Энэ системийн шийдэл нь хос юм: (2; 1).

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх график арга.

Алгоритм.

1. Системийн тэгшитгэл тус бүрийн графикийг байгуул.

2. Баригдсан шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг олох.

Онгоц дээрх шугамыг харилцан зохион байгуулах тохиолдол.

1. Хэрэв шугамууд огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл нэг нийтлэг цэгтэй бол тэгшитгэлийн систем нь нэг шийдэлтэй байна.

2. Хэрэв шулуунууд параллель, өөрөөр хэлбэл тэдгээрт нийтлэг цэг байхгүй бол тэгшитгэлийн систем шийдэлгүй болно.

3. Хэрэв шугамууд давхцаж байвал, өөрөөр хэлбэл олон цэгтэй бол тэгшитгэлийн систем нь хязгааргүй тооны шийдтэй байна.

Жишээ №1:

x - y \u003d -1 тэгшитгэлийн системийг графикаар шийд.

Бид эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлээс y-г илэрхийлнэ: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

Системийн тэгшитгэл бүрийн графикийг байгуулъя.

1) y \u003d 1 + x - функцийн график нь шулуун шугам юм x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - функцийн график нь шулуун шугам юм x 0 1 y 4 2

Хариулт: (1; 2).

Жишээ №2: y x ​​+ 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - функцийн график нь шулуун шугам юм x 0 2 y 3 2 y \u003d - функцийн график нь шулуун шугам юм x 0 2 y 2 1

Хариулт: Ямар ч шийдэл байхгүй.

Жишээ № 3: y x ​​- 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - функцийн график нь шулуун шугам юм x 0 2 y -1 0

Хариулт: Систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга нь шинэ хувьсагчийг зөвхөн нэг тэгшитгэл эсвэл хоёр тэгшитгэлийн хоёр шинэ хувьсагчд нэгэн зэрэг нэвтрүүлж, дараа нь тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийг шинэ хувьсагчтай холбоотойгоор шийдэж, дараа нь илүү энгийн системийг шийдвэрлэхэд үлддэг. тэгшитгэлүүд, үүнээс бид хүссэн шийдлийг олдог.

Жишээ №1:

x + y = 5

= z, дараа нь = гэж тэмдэглэнэ.

Эхний тэгшитгэл нь z + = хэлбэртэй байх бөгөөд энэ нь 6z - 13 + 6 = 0-тэй тэнцэнэ. Үүссэн тэгшитгэлийг шийдсэний дараа z = ; z=. Дараа нь = эсвэл =, өөрөөр хэлбэл, эхний тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлд хуваагдсан тул бид хоёр системтэй болно:

x + y = 5 x + y = 5

Эдгээр системийн шийдлүүд нь өгөгдсөн системийн шийдлүүд юм.

Эхний системийн шийдэл нь хос (2; 3), хоёр дахь нь хос (3; 2) юм.

Иймд + = , x + y = 5 системийн шийдлүүд

Хосууд нь (2; 3); (3; 2)

Жишээ №2:

= X, a = Y гэж үзье.

X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7.5U - 2U \u003d 1

X \u003d, -9.5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

Сэлгээ хийцгээе.

2 x = 1, y = 0.5

Хариулт: (1; 0.5).

Тэгшитгэлийн тэгш хэмийн систем.

n үл мэдэгдэх системтэй систем нь үл мэдэгдэхийг дахин цэгцлэх үед өөрчлөгдөхгүй бол түүнийг тэгш хэмт гэж нэрлэдэг.

Хоёр үл мэдэгдэх х ба у хоёр тэгшитгэлийн тэгш хэмийн системийг u = x + y, v = xy гэж орлуулснаар шийднэ. Тэгш хэмт системд тохиолдох илэрхийлэл нь u ба v-ээр илэрхийлэгдэнэ гэдгийг анхаарна уу. Олон тэгш хэмтэй системийг шийдвэрлэхэд эргэлзээгүй хэд хэдэн жишээг өгье: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v гэх мэт.

x y, z үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн тэгш хэмийн системийг x + y + z = u, xy + yz + xz = w гэж орлуулах замаар шийднэ. Хэрэв u, v, w олдвол t2 – ut2 + vt – w = 0 куб тэгшитгэл үүснэ, янз бүрийн сэлгэлт дэх үндэс нь t1, t2, t3 нь анхны системийн шийдэл болно. Ийм систем дэх хамгийн түгээмэл илэрхийллүүдийг u, v, w-ээр дараах байдлаар илэрхийлдэг: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Жишээ №1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

x + y = u, xy = v гэж үзье.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Сэлгээ хийцгээе.

Хариулт: (1; 3); (3; 1).

Жишээ №2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

x + y = u, xy = v гэж үзье.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Сэлгээ хийцгээе.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Хариулт: (1; 3); (3; 1).

Жишээ №3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

x = y = u, xy = v гэж үзье.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Сэлгээ хийцгээе.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Хариулт: (1; 3); (3; 1).

Жишээ №4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

x + y = u, xy = v гэж үзье.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Сэлгээ хийцгээе.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Хариулт: (4; 1); (14).

Жишээ №5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Үл мэдэгдэх өөрчлөлтийг хийцгээе, систем нь u2 + v = 49, u + v = 23 хэлбэртэй болно.

Эдгээр тэгшитгэлийг нэмбэл u1 = 8, u2 = -9 үндэстэй u2 + u - 72 = 0 болно. Үүний дагуу v1 = 15, v2 = 32. x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32 системийн олонлогийг шийдвэрлэхэд үлдлээ.

x + y = 8 систем нь x1 = 3, y1 = 5 шийдлүүдтэй; x2=5, y2=3.

x + y = -9 системд бодит шийдэл байхгүй.

Хариулт: (3; 5), (5; 3).

Жишээ дугаар 6. Тэгшитгэлийн системийг шийд.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Үндсэн тэгш хэмт олон гишүүнтүүдийг u = y + x ба v = xy ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг олж авна.

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс v = -3 – u илэрхийлэлийг эхний тэгшитгэлд орлуулснаар язгуур нь u1 = -1, u2 = -2.5 байх 2u2 + 7u + 5 = 0 тэгшитгэлийг олж авна; Үүний дагуу v1 = -2 ба v2 = -0.5 утгуудыг v = -3 - u-аас авна.

Одоо x + y \u003d -1, x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5 гэсэн дараах багц системийг шийдэх л үлдлээ.

Энэхүү багц систем, улмаар анхны системийн шийдэл (тэнцүү байдлаас шалтгаалан) дараах байдалтай байна: (1; -2), (-2; 1), (;).

Жишээ №7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

Үндсэн тэгш хэмтэй олон гишүүнтүүдийг ашиглан системийг дараах хэлбэрээр бичиж болно

3uv - 2v = 78,

Хоёр дахь тэгшитгэлээс u = илэрхийлж, эхний тэгшитгэлд орлуулахад бид 9v2 – 28v – 156 = 0 болно. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь v1 = 6 ба v2 = - харгалзах u1 = 5 утгыг олох боломжийг бидэнд олгоно. u2 = - илэрхийллээс u =.

Одоо бид x + y \u003d 5, x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d - системүүдийн багцыг шийдэж байна.

x \u003d 5 - y, мөн y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y, мөн y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.

x = 5 – y, мөн y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3, and x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Хариулт: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Дүгнэлт.

Өгүүллийг бичих явцад би алгебрийн тэгшитгэлийн янз бүрийн системүүдтэй танилцсан. "Тэгшитгэлийн системүүд" сэдвээр шинжлэх ухааны нэгтгэсэн мэдээлэл.

Шинэ хувьсагч нэвтрүүлэх замаар хэрхэн шийдвэрлэх талаар ойлгож, сурсан;

Тэгшитгэлийн тэгш хэмтэй системтэй холбоотой үндсэн онолуудыг авч үзсэн

Тэгш хэмт тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан.

− 4 1 + 4

−6

27 ≡ 0,

−4 x + 4 y + 27

+(y +6)

x = 1, x

(x − 1 )

= −6.

y = −6

Хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл нь системийн шийдэл биш гэдгийг анхаарна уу. Үүссэн тоонуудыг системийн үлдсэн эхний тэгшитгэлд орлуулах ёстой. Энэ тохиолдолд орлуулсны дараа бид хэн болохыг олж авдаг.

Хариулт: (1, - 6).♦

§5. Нэг төрлийн тэгшитгэл ба систем
f(x, y) функц	дуудсан	нэгэн төрлийн		k хэрэв
f (tx, ty ) = tk f (x, y ) .	Жишээлбэл, f (x, y) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 функц
оноос хойш 4-р зэргийн нэгэн төрлийн байна		f(tx,ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 ) . Тэгшитгэл f (x, y) = 0, энд				f (x, y) -

нэгэн төрлийн функцийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Энэ нь тэгшитгэл рүү буурдаг

нэг үл мэдэгдэх, хэрэв бид шинэ хувьсагч t = x y оруулах юм бол.

f (x, y) = a,

Хоёр хувьсагчтай систем g (x, y) = b, энд f (x, y) , g (x, y) -

ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийн функцийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Хэрэв ab ≠ 0 бол эхний тэгшитгэлийг b-ээр, хоёр дахь тэгшитгэлийг a-аар үржүүлж, та-

Бид нэгийг нь нөгөөгөөсөө харьцуулдаг - бид ижил төстэй системийг авдаг

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

Хувьсагчийн өөрчлөлтийн эхний тэгшитгэл t =

(эсвэл t =

) хүртэл бууруулна

нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл.

Хэрэв a = 0 бол

(b = 0) , тэгвэл f (x, y) = 0 (g (x, y) = 0) тэгшитгэлийг орлуулах замаар.

хувьсагч t =

(эсвэл t =

) нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл болгон бууруулна

− xy + y

21 ,

Жишээ 20. (Москвагийн Улсын Их Сургууль, 2001, Химийн тэнхим) Системийг шийд.

− 2xy + 15 = 0.

2012-2013 оны хичээлийн жил жил, No1, 11 нүд. Математик. Алгебрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем

− xy + y 2 = 21,

− xy + y 2

y2 − 2xy

-2xy = -15

2xy = − 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

19 ± 11

5x2 - 19xy + 12y2 = 0 5

− 19

12 = 0

-2xy = -15

x=3y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3; −

3 ) , (4; 5) ,

(− 4; − 5) . ♦

§6. Симметрийн системүүд

f(x, y)

дуудсан

тэгш хэмтэй,

f(x, y) = f(y, x) .

f (x, y) = a

Маягтын тэгшитгэлийн систем

f (x , y ) , g (x , y ) нь тэгш хэмтэй байна

g (x, y) = b,

ric, тэгш хэмт систем гэж нэрлэдэг. Ийм системүүд

илүү олон удаа	зөвхөн шинийг нэвтрүүлэх замаар	хувьсагч
x + y = u, xy

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17,

Жишээ 21. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

x + xy + y = 5.

♦ Энэ нь ихэвчлэн x + y = u , xy = v -г өөрчлөх замаар шийдэгддэг алгебрийн (тэгш хэмт) систем юм. Үүнийг анзаарч байна

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = (x + y ) (x 2 − xy + y 2 ) + x 3 y 3 =

= (x + y ) ((x + y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u (u2 − 3 v) + v3 ,

хэлбэрээр системийг дахин бичнэ үү

© 2012, ZFTSH MIPT. Колесникова София Ильинична

2012-2013 оны хичээлийн жил жил, No1, 11 нүд. Математик. Алгебрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем

− 3uv + v

u = 5 - v,

6 = 0

V=5

−5v

v = 3, u = 2

(хуучин хувьсагчид)

x + y = 2,

x = 2 − y ,

xy = 3,

y 2 − 2 y + 3 = 0

x + y = 3,

x = 3 − y,

x=2, y=1,

y −3 y + 2 = 0

x=1, y=2.

xy = 2,

Хариулт: (2;1) ,

(1; 2) . ♦

Уран зохиол

1. S. I. Колесникова "Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх эрчимжүүлсэн курс". Москва, Цахилдаг - Хэвлэл;

2. "Улсын нэгдсэн шалгалтын нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх нь" Москва, Ирис - Пресс эсвэл "Вако", 2011;

3. "Потенциал" сэтгүүл №1 2005 онд -2 - С.И.Колесниковагийн "Иррационал тэгшитгэл", "Иррационал тэгш бус байдал" гэсэн нийтлэлүүд;

4. С.И.Колесников "Иррационал тэгшитгэл", Москва, 2010,

"Азбука" ХХК;

5. С.И.Колесникова “Иррациональ тэгш бус байдал”, Москва, 2010, “Азбука” ХХК;

6. С.И.Колесникова “Модуль агуулсан тэгшитгэл ба тэгш бус байдал”, Москва, 2010, Азбука ХХК.

Хяналтын асуултууд

1(2). 5x + 1 ≥ 2(x − 1) тэгш бус байдлын бүх шийдийг агуулсан интервалын хамгийн бага уртыг ол.

2(2). x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 тэгш бус байдлыг шийд (баруун зүүн талд x − 2 хүчин зүйл байгаа тул куб тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагагүй).

3(2). 2 − x ≥ x − 3 тэгш бус байдлыг шийд.

4(2). Харгалзах зайны хамгийн бага уртыг ол

тэгш бус байдлын бүх шийдлийг хураана	x2 + 5 x − 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14 )

5(3). Тэгш бус байдлын бүхэл шийдүүдийн квадратуудын нийлбэрийг ол

© 2012, ZFTSH MIPT. Колесникова София Ильинична

2012-2013 оны хичээлийн жил жил, No1, 11 нүд. Математик. Алгебрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем

4 − x − 8 + x ≤ x +6 .

6(3). 5 + x − 8 − x ≤ 3 − x тэгш бус байдлыг шийд.

7(3). Тэгш бус байдлыг шийд		− x 3 − x −1			≤x.
						9 − 4x − (x + 3) )
8(3). Тэгш бус байдлыг шийд		4 − x −(x + 2 ) )(					≤ 0.
			(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 )

9(4). Харгалзах зайны хамгийн бага уртыг ол

тэгш бус байдлын бүх шийдлийг хураана
			x+5				x+2				144-х< 0.
			X-2				4 x −5		6x − 6

10(2). 8 x − 8 ≤ 32 + 4x − x 2 тэгш бус байдлын бүх шийдийг агуулсан интервалын хамгийн бага уртыг ол.

11(4). бус бүх бүхэл шийдүүдийн квадратуудын нийлбэрийг ол.

2(2). агуулсан хамгийн богино интервалыг ол
			(x − 1 )3 (x + 3 )
тэгш бус байдлын бүх шийдлүүд										≤ 0 .
			2x − 1				x − 2		) (x − 1)

3(2). Тэгш бус байдлыг шийд

4 (x − 3 ) 4 ≥ 4 (x − 7 .5 ) 4 .

4(4). Тэгш бус байдлыг шийд

x2 + 3 x − 4

x2 − 16

2х 2 + 3х − 20

5(3). Тэгш бус байдлыг шийд (x 2	X +1 ) 2 −2 x 3 + x 2 + x −3 x 2		≥ 0 .
4 − 2x − 1 ≤ 3.	Даалгаврууд
	- 5х + 6 + 9 - 2х - 5	≤ 0 .
1(3). Тэгш бус байдлыг шийд
19х 2 - 4х 3 - 4х + 19

10х2-17х-6

6(4). Тэгшитгэл болох бүх а-г ол

4 х -

функц f (x) \u003d x 2 + 4x +

x 2 -

x − 1

- зөвхөн a зөвшөөрнө

сөрөг бус

хатуу утгууд.

8(4). 4 x − 3 тэгшитгэлийг шийд

x − 1

5х + 14 - 3

5х + 14 - 1

9(4). Тэгшитгэлийг шийд

x 2 − 5 +

x 2 −3 = x +1 +

x + 3.

24 - x2

9 2 х

10(3). Тэгш бус байдлыг шийд

≥ 0 .

x2 − 4 7 x − 10

11(3). Гурван дугуйчин хэлхээний нэг цэгээс нэгэн зэрэг хөдөлж, нэг чиглэлд тогтмол хурдтайгаар хөдөлдөг. Эхний унаач эхний удаагаа хоёр дахь удаагаа гүйцэж, тав дахь тойрогтоо гараанаас огт эсрэгээрээ, хагас цагийн дараа гарааны мөчийг тооцохгүйгээр гурав дахь унаачийг хоёр дахь удаагаа гүйцэв. . Хоёр дахь тамирчин гараанаас 3 цагийн дараа гурав дахь унаагаа гүйцэж түрүүлэв. Хоёр дахь нь наад зах нь хорин минутын дотор тойргоо дуусгавал эхний унаач цагт хэдэн тойрог хийх вэ?

© 2012, ZFTSH MIPT. Колесникова София Ильинична