Гүйцэтгэсэн: Mohrenschildt I.K. бүлэг 1.45.36 Фрунзенскийн дүүргийн 314-р сургууль Багш О.П.Королева Санкт-Петербург 2006 он * Санкт-Петербургийн МЭДЭЭЛЛИЙН ТЕХНОЛОГИ, ХАРИЛЦААНЫ ТӨВ ХАРИН УРВУУЛАХ ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА

Экспоненциал ба логарифм функцууд Тригонометрийн функцууд

Үндсэн тодорхойлолт Тэгшитгэлийн жишээ Урвуу функцийн график Экспоненциал ба логарифм функц Синус ба арксинусын функц Косинус ба арккосинус функц Тангенс ба арктангенс функц Котангенс ба арккотангенс функц Туршилтын эх сурвалж Агуулга Төгсгөл

Урвуулах функц Хэрэв y=f (x) функц нь зөвхөн х-ийн нэг утгын хувьд өөрийн утга тус бүрийг авдаг бол энэ функцийг урвуу гэж нэрлэдэг. Ийм функцийн хувьд аргументуудын утгуудын функцын утгуудаас урвуу хамаарлыг илэрхийлж болно.

Өгөгдсөн функцээс урвуу функц байгуулах жишээ.Тусгай тохиолдол Өгөгдсөн y=3x+5 Функц x-ийн тэгшитгэл x-г y-ээр солих (1) ба (2) функцууд нь харилцан урвуу ерөнхий тохиолдол y=f (x) урвуу функц x= g (y) функц тодорхойлогдлоо ) x-г y= g(x)-ээр солих y=f (x) ба y= g(x) функцууд харилцан урвуу байна.

Урвуу функцүүдийн график OOF OPF OOF OOF X Y X Y

Экспоненциал ба логарифм функц y=log a x y=a x y=x a>1

sin x ба arcsin x функцууд y=sin x функцийг хэрчим дээр авч үзье Функц монотоноор нэмэгддэг. OPF [-1;1]. y= arcsin x функц нь y=sinx функцийн урвуу функц юм. [ -  ;  ] 2 2

cos x ба arccos x функцууд y=co s x функцийг хэрчим дээр авч үзье Функц нэг хэвийн буурдаг. OPF [-1;1]. y=arccos x функц нь y=co sx функцийн урвуу функц юм.

tg x ба arctg x функцууд y= tg x функцийг интервал дээр авч үзье.Функц монотоноор нэмэгддэг. OZF - R багц. y= arctan x функц нь y= tan x функцийн урвуу функц юм. (-  ; ) 2 2

ctg x ба arcctg x функцууд (0; ) интервал дээр y= ctg x функцийг авч үзье. Функц нь монотоноор буурдаг. OSF багц R. Урвуу функц нь y = arcctg x.

“Харилцан урвуу функц” сэдвийн тест Асуулт No1 Асуулт No2 Асуулт No3 Асуулт No4 Асуулт No5 Асуулт No5 Төгсгөл Төгсгөл

Асуулт No 1 Харилцан урвуу функцүүдийн графикууд нь координатын системд тэгш хэмтэй байрлана: Координатын гарал үүсэл Шулуун шугам y=x тэнхлэгүүд OY тэнхлэгүүд OX

Асуулт №2. Эхийн тодорхойлолтын муж ба урвуу функцийн утгын хүрээ хэрхэн хамааралтай вэ? Үүнтэй адил бие даасан

Асуулт No3 Аль функц нь логарифм функцийн урвуу функц вэ? Эрчим хүчний шугаман квадрат экспоненциал

Асуулт No4 y=arcctg x функц нь y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x функцийн урвуу утга юм.

Асуулт No5 “Харилцан урвуу функцүүд” сэдэв нь Анхан шат Миний дуртай Хялбар ойлгомжтой

Өө! Өө! Өө! Сайн байна, эрдэмтэн!

Хариулт буруу байна. Эхнээс нь давтана уу!

Буруу! Таны хариултанд би уурлаж байна!

Эх сурвалж Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров нар - 12 дахь хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2004. – 384 х. 10-11-р ангид алгебр судлах, шинжилгээний эхлэл: Ном. багш нарт зориулсан / N.E. Федорова, М.В. Ткачев. - 2-р хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2004. – 205 х. 10-р ангийн алгебрийн дидактик материал ба анализын эхлэл: Багш нарт зориулсан гарын авлага / B.M. Ивлев, С.М. Сахакян, С.И. Шварцбурд. – 2-р хэвлэл, шинэчилсэн. – М.: Боловсрол, 1998. -143 х. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикууд http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Сэдэв: "Харилцан урвуу функцууд."

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:

9-р ангид судалсан "Функц" сэдвээр сурагчдын мэдлэгийг давтаж, нэгтгэн дүгнэх. Харилцан урвуу функцтэй танилцах, урвуу функц байх нөхцөл, түүний шинж чанарыг судлах, урвуу функцийн графикийг хэрхэн байгуулах талаар сурах.

Боловсролын:

Оюутнуудын бүтээлч, сэтгэцийн үйл ажиллагаа, тэдний оюуны чанарыг хөгжүүлэх: асуудлыг "харах" чадвар.

Өөрийн бодол санаагаа тодорхой, ойлгомжтой илэрхийлэх, судлах, дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, дүгнэлт хийх чадварыг хөгжүүлэх.

Оюутнуудын бие даасан бүтээлч сэтгэлгээг хөгжүүлэх.

Оюутнуудын орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх.

Боловсролын:

Ер бусын нөхцөлд байгаа мэдээлэлтэй ажиллах чадварыг хөгжүүлэх.

Нарийвчлал, ухамсартай байдлыг төлөвшүүлэх.

Гоо зүйн боловсрол олгох.

Хичээлийн төрөл:нэгтгэсэн.

Тоног төхөөрөмж:

• мультимедиа проектор;

  хичээлийн нэмэлт: (Танилцуулга) – цахим хэрэглүүр дээр;

Боловсролын хэрэгсэл: компьютер, програмExcel, медиа проектор, слайд үзүүлэн.

Демо: Нэг координатын системд баригдсан функцүүдийн графикууд.

Боловсролын үйл ажиллагааг зохион байгуулах хэлбэрүүд: хувь хүн, харилцан яриа, слайд тексттэй ажиллах, дэвтэр дэх судалгааны ажил.

Арга: харааны, аман,график, судалгаа.

Хичээлийн үеэр.

1. Багшийн танилцуулах үг. Танилцуулга яриа. Оюутнуудын сэтгэлзүйн байдал.

Хичээлийн үеэр та бид 9-р ангид сурч байсан "Функц" сэдвээр мэдлэгээ давтаж, нэгтгэн дүгнэх, харилцан урвуу функцтэй танилцах, урвуу функц байх нөхцөл, түүний шинж чанарыг судлах, график хэрхэн байгуулах талаар суралцах ёстой. урвуу функцүүдийн. Бие биедээ ажлын амжилт, үр бүтээлтэй байхыг хүсэн ерөөе.

2. “Функц ба тэдгээрийн график” сэдвээр үзсэн материалыг давтах. Илтгэл.

Слайд 2-10. Ангитай урд талын ажил.

3. Шинэ материалыг судлах. Судалгаа, үзүүлэнгийн элементүүдтэй боловсролын яриа (слайд 11-24)

Хараат байдлын жишээ. Функцийн утга бүр нэг аргументын утгатай тохирч байна.

Ийм функцүүдийн хувьд аргументуудын утгуудын функцын утгуудаас урвуу хамаарлыг илэрхийлэх боломжтой.

Дасгал хийх.

Харилцан урвуу функцүүдийн утгын муж ба тодорхойлолтын мужийг ол.

4. Мэдлэгийг нэгтгэх.

"Функцийн урвуу" сэдвийн хичээлийн тэмдэглэл

Хичээл 1. Сэдвийн лекц "Урвуу функц"

Зорилтот: Энэ сэдвээр онолын хэрэглүүр бүрдүүлэх. Оруулна уу

Урвуу функцийн тухай ойлголт;

Урвуу функцийн тухай ойлголт;

Эргэлтийн хангалттай нөхцөлийг томъёолж, нотлох

функцууд;

Харилцан урвуу функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд.

Лекцийн хичээлийн төлөвлөгөө

Зохион байгуулах цаг.

Шинэ сэдвийг ойлгоход шаардлагатай оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх.

Шинэ материалын танилцуулга.

Хичээлийг дүгнэж байна.

Хичээлийн явц-лекц

1. Зохион байгуулах цаг.

2. Мэдлэгийг шинэчлэх. ( Өмнөх хичээлийн сэдвээр урд талын судалгаа.)

Функцийн графикийг оюутнуудад зориулсан интерактив самбар дээр харуулав (Зураг 1). Багш даалгавар боловсруулдаг - функцийн графикийг авч үзээд функцийн судлагдсан шинж чанаруудыг жагсаана. Оюутнууд судалгааны загварын дагуу функцийн шинж чанарыг жагсаав. Багш функцийн графикийн баруун талд интерактив самбар дээр тэмдэглэгээний тусламжтайгаар нэрлэсэн шинж чанаруудыг бичдэг.

Цагаан будаа. 1

Функцийн шинж чанарууд:

3. Оюутнуудад зорилго тавих.

Судалгааны төгсгөлд багш өнөөдөр хичээл дээр функцийн өөр нэг шинж чанар болох урвуу чадвартай танилцах болно гэж мэдэгдэв. Шинэ материалыг утга учиртай судлахын тулд багш хүүхдүүдийг хичээлийн төгсгөлд сурагчдын хариулах ёстой гол асуултуудтай танилцахыг урьж байна. Оюутан бүрт тараах материал хэлбэрээр асуултууд байдаг (хичээлийн өмнө тараасан).

Асуултууд:

1. Аль функцийг урвуу гэж нэрлэдэг вэ?

2. Ямар функцийг урвуу гэж нэрлэдэг вэ?

3. Шууд ба урвуу функцүүдийн тодорхойлолтын хүрээ, утгын багцууд хоорондоо хэрхэн холбоотой вэ?

4. Функцийн урвуу байдлын хангалттай нөхцөлийг томъёол.

5. Өсөн нэмэгдэж буй функцийн урвуу нь буурч байна уу эсвэл нэмэгдэж байна уу?

6. Сондгой функцийн урвуу нь тэгш эсвэл сондгой юу?

7. Харилцан урвуу функцүүдийн графикууд хэрхэн байрласан бэ?

4. Шинэ материалын танилцуулга.

1) Урвуу функцийн тухай ойлголт. Урвуу эргэлтийн хангалттай нөхцөл.

Интерактив самбар дээр багш тодорхойлолтын хүрээ, утгын багц нь ижил боловч функцүүдийн нэг нь монотон, нөгөө нь тийм биш хоёр функцийн графикийг харьцуулж үздэг (Зураг 2). Тиймээс функц нь функцийн шинж чанаргүй шинж чанартай байдаг: функцийн утгуудын олонлогоос ямар ч тоое ( x ) Юу ч байсан, энэ нь зөвхөн нэг цэг дэх функцийн утга учир багш оюутнуудыг урвуу функцийн тухай ойлголт руу хөтөлдөг.

Цагаан будаа. 2

Дараа нь багш урвуу функцийн тодорхойлолтыг томъёолж, интерактив самбар дээрх монотон функцийн графикийг ашиглан урвуу функцийн теоремын баталгааг гүйцэтгэнэ.

Тодорхойлолт 1. Функцийг дууддагбуцаах боломжтой , хэрэв энэ нь зөвхөн багцын нэг цэг дээр өөрийн утгуудын аль нэгийг авдаг болX .

Теорем. Хэрэв функц нь олонлог дээр монотон байвалX , дараа нь буцах боломжтой.

Нотолгоо:

Функцийг зөвшөөр y=f(x) багц дээр нэмэгддэгXорхи X 1 ≠x 2 - багцын хоёр цэгX .

Тодорхой хэлбэл, зөвшөөрьеX 1 < X 2 . Дараа нь тэр баримтаасX 1 < X 2 функц нэмэгдсэний улмаас үүнийг дагадагf(x 1 ) < f(x 2 ) .

Тиймээс аргументын өөр өөр утгууд нь функцийн өөр өөр утгатай тохирч байна, жишээлбэл. функц нь урвуу байдаг.

Функц буурах тохиолдолд теорем нь адилхан нотлогддог.

(Теоремийн баталгаа ахих тусам багш зурган дээр шаардлагатай бүх тайлбарыг маркер ашиглан хийдэг)

Урвуу функцийн тодорхойлолтыг томъёолохын өмнө багш оюутнуудаас санал болгож буй функцүүдийн аль нь урвуу функц болохыг тодорхойлохыг хүснэ. Интерактив самбар нь функцын графикуудыг (Зураг 3, 4) харуулж, аналитик байдлаар тодорхойлсон хэд хэдэн функцийг бичдэг.

А ) б )

Цагаан будаа. 3 Зураг. 4

В ) y = 2x + 5; Г ) y = - + 7.

Сэтгэгдэл. Функцийн монотон байдал ньхангалттай урвуу функц оршин байх нөхцөл. Гэхдээ үүнийгбиш зайлшгүй нөхцөл.

Функц нь монотон биш харин эргэх боломжтой, функц нь монотон биш, буцах боломжгүй, нэг хэвийн, буцах боломжтой янз бүрийн нөхцөл байдлын жишээг багш өгдөг.

2) Урвуу функцийн тухай ойлголт. Урвуу функц зохиох алгоритм.

Тодорхойлолт 2. Урвуу функцийг үзьеy=f(x) багц дээр тодорхойлсонX ба түүний утгын хүрээE(f)=Y . Бүгдийг нь тааруулъяy-аас Ю энэ бол цорын ганц утга юмX, аль үед f(x)=y. Дараа нь бид тодорхойлогдсон функцийг авнаЮ, А X – функцийн утгын хүрээ. Энэ функцийг тодорхойлсонx=f -1 (y),мөн залгана уу урвуу функцтэй холбоотойy=f(x), .

Дараа нь багш оюутнуудад аналитик аргаар өгөгдсөн урвуу функцийг олох аргыг танилцуулна.

Функцийн урвуу функц зохиох алгоритм y = е ( x ), .

Функцийг шалгана ууy=f(x) интервал дээр буцаах боломжтойX .

Экспресс хувьсагчXдамжуулан цагттэгшитгэлээс. y=f(x), гэдгийг харгалзан үзэж.

Үүний үр дүнд тэгш байдал, газруудыг солиноXТэгээд цагт. Оронд нь x=f -1 (y)бичих y=f -1 (x).

Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан багш энэ алгоритмыг хэрхэн ашиглахыг зааж өгдөг.

Жишээ 1. Үүнийг функцэд харуулу=2х-5

Шийдэл . Шугаман функцу=2х-5дээр тодорхойлсон Р, -ээр нэмэгддэг Р ба түүний утгын хүрээ ньР. Энэ нь урвуу функц дээр байна гэсэн үгР . Үүний аналитик илэрхийлэлийг олохын тулд бид тэгшитгэлийг шийднэу=2х-5харьцангуй X ; бид авах болно. Хувьсагчдыг дахин тодорхойлж, хүссэн урвуу функцийг олж авцгаая. Энэ нь R дээр тодорхойлогддог бөгөөд нэмэгдэж байна.

Жишээ 2. Үүнийг функцэд харуулy=x 2 , x ≤ 0 урвуу функц байгаа бөгөөд түүний аналитик илэрхийлэлийг ол.

Шийдэл . Функц нь тодорхойлолтын талбартаа тасралтгүй, монотон байдаг тул урвуу байдаг. Функцийн тодорхойлолтын хүрээ ба утгын багцад дүн шинжилгээ хийсний дараа урвуу функцийн аналитик илэрхийлэлийн талаар зохих дүгнэлт гаргана.

3) Харилцан урвуу функцүүдийн шинж чанарууд.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Хэрэв g – урвуу функц е , дараа нь е – урвуу функц g (функцууд нь харилцан урвуу байдаг), харинД ( g )= Э ( е ), Э ( g )= Д ( е ) .

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хэрэв функц нь X олонлог дээр өсөх (багарах), Y нь функцийн утгын муж бол урвуу функц нь Y дээр өсөх (буурах) юм.

Эд хөрөнгө 3. Функцийн урвуу функцийн графикийг олж авахын тулд функцийн графикийг шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй болгон хувиргах хэрэгтэй.y=x .

Үл хөдлөх хөрөнгө 4. Хэрэв сондгой функц урвуу бол түүний урвуу нь бас сондгой байна.

Эд хөрөнгө 5.Хэрэв функцууд е ( x ) Тэгээд харилцан урвуу, дараа нь энэ нь хэнд ч үнэн бөгөөд энэ нь хүн бүрт үнэн юм.

Жишээ 3. Боломжтой бол урвуу функцийн графикийг зур.

Шийдэл. Бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд энэ функц нь урвуу утгатай байдаггүй, учир нь энэ нь монотон биш юм. Тиймээс функц монотон байх интервалыг авч үзье: энэ нь урвуу байдаг гэсэн үг юм. Бид олох болнотүүнийг . Үүнийг хийхийн тулд бид илэрхийлж байнаx дамжууланy : . Үүнийг урвуу функц гэж дахин нэрлэе. Функцуудыг (Зураг 5) зурж, шулуун шугамтай харьцуулахад тэгш хэмтэй эсэхийг шалгацгаая.y = x .

Цагаан будаа. 5

Жишээ 4. Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол харилцан үйлчлэлийн функц бүрийн утгын багцыг ол.

Шийдэл. Харилцан урвуу функцүүдийн 1-р шинж чанарын дагуу бид байна.

5 . Дүгнэж байна

Оношлогооны ажил хийж байна. Энэхүү ажлын зорилго нь лекц дээр хэлэлцсэн боловсролын материалыг эзэмшсэн түвшинг тодорхойлох явдал юм. Лекцийн эхэнд томъёолсон асуултуудад хариулахыг оюутнуудаас асууна.

6 . Гэрийн даалгавар тохируулах.

1. Лекцийн материалыг ойлгох, теоремын үндсэн тодорхойлолт, мэдэгдлийг сурах.

2. Харилцан урвуу функцүүдийн шинж чанарыг батал.

Хичээл 2. “Урвуу функцийн тодорхойлолт. Функцийн урвуу байдлын хангалттай нөхцөл"

Зорилтот: Тухайн сэдвийн талаархи онолын мэдлэгийг асуудлыг шийдвэрлэхдээ ашиглах чадварыг хөгжүүлэх, урвуу функцийг судлах, урвуу функцийг бүтээхэд зориулсан үндсэн асуудлын төрлийг авч үзэх.

Семинарын хичээлийн төлөвлөгөө:

1. Зохион байгуулалтын мөч.

2. Мэдлэгийг шинэчлэх (оюутнуудын өмнөх ажил).

3. Судалсан материалыг нэгтгэх (асуудлыг шийдвэрлэх).

4. Хичээлийг дүгнэх.

5. Гэрийн даалгавар хийх.

Хичээлийн үеэр.

1. Зохион байгуулах цаг.

Багштай мэндлэх, сурагчдын хичээлд бэлэн байдлыг шалгах.

2. Мэдлэгийг шинэчлэх. ( оюутнуудын урд талын ажил).

Оюутнууд дараах даалгавруудыг амаар гүйцэтгэхийг хүснэ.

1. Функцийн урвуу байдлын хангалттай нөхцөлийг томъёол.

2. Графикийг нь зурагт үзүүлсэн функцүүдийн дотроос урвуу функцийг нь зааж өгнө үү.

3. Өгөгдсөн функцээс урвуу функц зохиох алгоритмыг томъёол.

4. Өгөгдлийн урвуу функц байдаг уу? Хэрэв хариулт нь тийм бол тэдгээрийг олоорой:

A) ; б ) ; в ) .

5. Зурагт графикийг харуулсан функцүүд хоорондоо урвуу байна уу (Зураг 6)? Хариултаа зөвтгөөрэй.

Цагаан будаа. 6

3. Сурсан материалыг нэгтгэх (асуудлыг шийдвэрлэх).

Судлагдсан материалыг нэгтгэх нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ.

Оюутны бие даасан ажил;

Бие даасан ажлын үр дүнг нэгтгэн дүгнэх.

Эхний шатанд оюутнуудад бие даан гүйцэтгэх даалгавар бүхий картуудыг санал болгодог.

Дасгал 1.

Функцууд нь бүхэл домэйн дээрээ урвуу байдаг уу? Хэрэв тийм бол үүний урвуу талыг олоорой.

а) ; б) ; в) .

Даалгавар 2.

Функцууд хоорондоо урвуу байна уу?

A) ;

б ) .

Даалгавар 3.

Заасан интервал тус бүр дээр функцийг авч үзье; хэрэв энэ интервал дээр функц урвуу байвал түүний урвуу аналитик байдлаар тодорхойлж, тодорхойлолтын муж, утгын мужийг зааж өгнө үү.

а ) Р ; б ) ; г ) [-2;0].

Даалгавар 4.

Функц нь эргэлт буцалтгүй гэдгийг батал. Интервал дээрх урвуу функцийг олоод түүний графикийг зур.

Даалгавар 5.

Функцийн график зурж, урвуу функц байгаа эсэхийг тодорхойлно. Хэрэв тийм бол урвуу функцийг ижил зурган дээр зурж, аналитик байдлаар тодорхойл.

а ) ; б ) .

Оюутнуудын бие даасан ажлын үр дүнг нэгтгэх үе шатанд даалгавруудыг зөвхөн завсрын үр дүнг бүртгэх замаар шалгадаг. Хамгийн их хүндрэл учруулсан асуудлуудыг самбар дээр авч үзэж, шийдлийн эрэл хайгуул, эсвэл шийдлийг бүхэлд нь бүртгэдэг.

4. Хичээлийг дүгнэх (эргэн бодох).

Оюутнуудад мини асуулга санал болгож байна:

Хичээл надад юу таалагдсан бэ?____________________________

Хичээлийн юу нь надад таалагдаагүй вэ?____________________________

_________________________________________________________________

Танд хамгийн сайн тохирох мэдэгдлийг заана уу:

1) Би функцийг буцаах чадварыг бие даан шалгаж, түүний урвууг бүтээж, үр дүн нь зөв гэдэгт итгэлтэй байна.

2) Би функцийн урвуу байдлыг шалгаж, түүний урвуу утгыг бүтээж чадна, гэхдээ үр дүн нь зөв гэдэгт үргэлж итгэлтэй байдаггүй, надад найз нөхдийнхөө тусламж хэрэгтэй байна.

3) Би буцаах функцийг бараг судалж чадахгүй, урвуу талыг барьж чадахгүй, надад багшаас нэмэлт зөвлөгөө хэрэгтэй байна.

Би олж авсан мэдлэгээ хаана хэрэгжүүлэх вэ?___________________________________________________________________________________________________

5. Гэрийн даалгавар тохируулах.

№ 10.3, 10.6(в, г), 10.7 (в, г), 10.9 (в, г), 10.13 (в, г), 10.18.(Мордкович, А.Г. Алгебр ба математик анализын эхлэл 10-р анги. 14 цагт 2-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан асуудлын ном (профайлын түвшин) / A.G. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемосине, 2014. - 384 х.)

Харилцан урвуу функцууд ба тэдгээрийн графикууд

(хамарсан материалын ерөнхий давталт)

Функцийн графикт аль график тохирох вэ y=x 3 эсрэгээрээ байна уу?

Функцийн графикт аль график тохирох ба урвуу утгатай юу?

Графикуудын аль нь графиктай тохирч байна вэ?

энэ нь урвуу функцтэй юу?

Аль график функцтэй тохирч байна вэ?

1-р бүлэг: хариулт a) учрыг тайлбарла

График ямар функцтэй тохирч байна вэ? 1 . y = x 3 2. 3. y = x 4 4 . y = x -2 5 . 6. y = x -1

функцийн график дээр

D(y)=(-:0) U(0;+)

Энэ тодорхойлолтын хамрах хүрээг тодорхойл

функцийн график дээр

Үүний утгын хүрээг зааж өгнө үү функцийн график дээр

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Өгөгдсөн функцийн урвуу функцийг ол цагт = g ( x )

Хэрэв (2) функц (1) функцтэй урвуу байвал ийм функцийг харилцан урвуу гэж нэрлэдэг.

Эдгээр функцүүдийн утгын багц ба тодорхойлолтын домэйныг олоорой.

• D (y)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (y)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Урвуу функцийн муж g(x) эхийн утгын багцтай давхцаж байна функцууд е ( x ), урвуу функцийн утгуудын багц g(x) анхны функцийн тодорхойлолтын мужтай давхцаж байна f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

• Монотон функц нь урвуу байна:

• хэрэв функц е (x) өснө, дараа нь түүний урвуу функц g (x) бас нэмэгддэг;
• Хэрэв функц е (x) буурч, дараа нь түүний урвуу функц g (x) мөн буурдаг.

Өгөгдсөн: y = x 3

Өгөгдсөн функцийн графикийг байгуулж, өгөгдсөн функцийн урвуу функцийн томъёог илэрхийлж, графикийг нь байгуул.

3. Хэрэв функц урвуу утгатай бол урвуу функцийн график нь y = x шулуунтай харьцуулахад энэ функцийн графиктай тэгш хэмтэй байна.

Өгөгдсөн функцийн урвуу функцийн графикийг байгуул.

Боловсролын бие даасан ажил

Сонголт II

Сонголт I

• Өгөгдсөн функцийн урвуу функцийг ол:

2. Тодорхойлолтын муж ба өгөгдсөнөөс урвуу функцийн утгуудын багцыг ол.

3. Өгөгдсөнтэй урвуу функцийн графикийг байгуул.

Сонголт II

Сонголт I

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

Гэрийн даалгавар:

шийдвэрлэх No579, No576(c,d

нэмэлт № 581(1,2)

• Хичээлийн явцад би сурсан ……………………………………
• Хичээлийн үеэр миний сонирхсон зүйл ……………………….
• Хэцүү байсан…………………………………………
• Би хичээл дээр олж авсан мэдлэгээ ашиглах боломжтой …………………………………………

Тусгал:

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:

• хөтөлбөрийн материалын дагуу шинэ сэдвийн талаархи мэдлэгийг хөгжүүлэх;
• функцийн урвуу функцийг судлах, өгөгдсөн функцийн урвуу функцийг хэрхэн олохыг заах;

Хөгжлийн:

• өөрийгөө хянах чадвар, бодитой яриаг хөгжүүлэх;
• урвуу функцийн тухай ойлголтыг эзэмшиж, урвуу функцийг олох аргад суралцах;

Боловсрол: харилцааны чадварыг хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж:компьютер, проектор, дэлгэц, интерактив самбар Ухаалаг самбар, бүлгийн ажилд зориулсан тараах материал (бие даасан ажил).

Хичээлийн үеэр.

1. Зохион байгуулалтын мөч.

Зорилтот – оюутнуудыг ангид ажилд бэлтгэх:

Ажилгүй хүмүүсийн тодорхойлолт,

Оюутнуудын ажилд сэтгэл санааг нь төрүүлэх, анхаарал төвлөрүүлэх;

Хичээлийн сэдэв, зорилгыг хэлнэ үү.

2. Оюутнуудын суурь мэдлэгийг шинэчлэх.Урд талын судалгаа.

Зорилтот - судалсан онолын материалын үнэн зөв, ухамсартай байдлыг тогтоох, хамрагдсан материалын давталт.<Приложение 1 >

Сурагчдад зориулсан интерактив самбар дээр функцийн графикийг үзүүлэв. Багш даалгавар боловсруулдаг - функцийн графикийг авч үзээд функцийн судлагдсан шинж чанаруудыг жагсаана. Оюутнууд судалгааны загварын дагуу функцийн шинж чанарыг жагсаав. Багш функцийн графикийн баруун талд интерактив самбар дээр тэмдэглэгээний тусламжтайгаар нэрлэсэн шинж чанаруудыг бичдэг.

Функцийн шинж чанарууд:

Судалгааны төгсгөлд багш өнөөдөр хичээл дээр функцийн өөр нэг шинж чанар болох урвуу чадвартай танилцах болно гэж мэдэгдэв. Шинэ материалыг утга учиртай судлахын тулд багш хүүхдүүдийг хичээлийн төгсгөлд сурагчдын хариулах ёстой гол асуултуудтай танилцахыг урьж байна. Асуултуудыг энгийн самбар дээр бичсэн бөгөөд сурагч бүр тараах материал болгон (хичээлийн өмнө тараасан)

1. Аль функцийг урвуу гэж нэрлэдэг вэ?
2. Аливаа функц урвуу байдаг уу?
3. Датумын урвуу функц гэж юу вэ?
4. Тодорхойлолтын муж ба функцийн утгуудын багц ба түүний урвуу хамааралтай юу вэ?
5. Хэрэв функц аналитик байдлаар өгөгдсөн бол урвуу функцийг томъёогоор хэрхэн тодорхойлох вэ?
6. Хэрэв функцийг графикаар өгсөн бол урвуу функцийг хэрхэн графикаар зурах вэ?

3. Шинэ материалын тайлбар.

Зорилтот - хөтөлбөрийн материалын дагуу шинэ сэдвээр мэдлэг бий болгох; функцийн урвуу функцийг судлах, өгөгдсөн функцийн урвуу функцийг хэрхэн олохыг заах; бодит яриаг хөгжүүлэх.

Багш нь догол мөрөнд заасан материалын дагуу материалыг танилцуулна. Интерактив самбар дээр багш тодорхойлолтын хүрээ, утгын багц нь ижил боловч функцүүдийн нэг нь монотон, нөгөө нь тийм биш хоёр функцийн графикийг харьцуулж, урвуу функцийн тухай ойлголтыг оюутнуудад танилцуулдаг. .

Дараа нь багш урвуу функцийн тодорхойлолтыг томъёолж, интерактив самбар дээрх монотон функцийн графикийг ашиглан урвуу функцийн теоремын баталгааг гүйцэтгэнэ.

Тодорхойлолт 1: y=f(x), x X функцийг дуудна буцаах боломжтой, хэрэв энэ нь X олонлогийн зөвхөн нэг цэг дээр өөрийн утгуудын аль нэгийг авдаг бол.

Теорем: Хэрэв y=f(x) функц нь X олонлог дээр монотон байвал урвуу болно.

Нотолгоо:

1. Функцийг зөвшөөр y=f(x)-ээр нэмэгддэг Xорхи x 1 ≠x 2- багцын хоёр цэг X.
2. Тодорхой хэлбэл, зөвшөөрье x 1< x 2.
   Дараа нь тэр баримтаас x 1< x 2үүнийг дагадаг f(x 1) < f(x 2).
3. Тиймээс аргументын өөр өөр утгууд нь функцийн өөр өөр утгатай тохирч байна, жишээлбэл. функц нь урвуу байдаг.

(Теоремийн баталгаа ахих тусам багш зурган дээр шаардлагатай бүх тайлбарыг маркер ашиглан хийдэг)

Урвуу функцийн тодорхойлолтыг томъёолохын өмнө багш оюутнуудаас санал болгож буй функцүүдийн аль нь урвуу функц болохыг тодорхойлохыг хүснэ. Интерактив самбар нь функцүүдийн графикуудыг харуулж, хэд хэдэн аналитик тодорхойлсон функцуудыг бичдэг.

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Багш урвуу функцийн тодорхойлолтыг танилцуулна.

Тодорхойлолт 2: Урвуу функцийг үзье y=f(x)багц дээр тодорхойлсон XТэгээд E(f)=Y. Бүгдийг нь тааруулъя y-аас Юэнэ бол цорын ганц утга юм X, аль үед f(x)=y.Дараа нь бид тодорхойлогдсон функцийг авна Ю, А X- функциональ хүрээ

Энэ функцийг тодорхойлсон x=f -1 (y)ба функцийн урвуу гэж нэрлэдэг y=f(x).

Оюутнуудаас тодорхойлолтын домэйн болон урвуу функцүүдийн утгуудын багцын хоорондох холболтын талаар дүгнэлт хийхийг хүсч байна.

Өгөгдсөн функцийн урвуу утгыг хэрхэн олох тухай асуултыг авч үзэхийн тулд багш хоёр сурагчийг татав. Өмнөх өдөр нь хүүхдүүд багшаас өгөгдсөн функцийн урвуу функцийг олох аналитик болон график аргуудыг бие даан шинжлэх даалгавар авчээ. Багш нь сурагчдыг хичээлд бэлтгэхэд зөвлөхийн үүрэг гүйцэтгэсэн.

Эхний оюутны мессеж.

Тайлбар: функцийн монотон байдал нь хангалттайурвуу функц оршин байх нөхцөл. Гэхдээ үүнийг бишзайлшгүй нөхцөл.

Оюутан функц нь монотон биш харин урвуу байдаг, функц нь монотон биш, урвуу биш, монотон ба урвуу байдаг янз бүрийн нөхцөл байдлын жишээг өгсөн.

Дараа нь оюутан аналитик аргаар өгөгдсөн урвуу функцийг олох аргыг оюутнуудад танилцуулна.

Алгоритм олох

1. Функц нь монотон байгаа эсэхийг шалгаарай.
2. х хувьсагчийг у-р илэрхийлнэ үү.
3. Хувьсагчийн нэрийг өөрчлөх. x=f -1 (y) гэсний оронд y=f -1 (x) гэж бичнэ.

Дараа нь тэр өгөгдсөн нэгийн урвуу функцийг олохын тулд хоёр жишээ шийднэ.

Жишээ 1: y=5x-3 функцийн хувьд урвуу функц байгааг харуулж, аналитик илэрхийллийг ол.

Шийдэл. Шугаман функц y=5x-3 нь R дээр тодорхойлогддог, R дээр нэмэгдэж, утгын хүрээ нь R байна. Энэ нь урвуу функц R дээр байна гэсэн үг. Түүний аналитик илэрхийлэлийг олохын тулд y=5x- тэгшитгэлийг шийднэ үү. x-ийн хувьд 3; Бид олж авна Энэ бол шаардлагатай урвуу функц юм. Энэ нь R дээр тодорхойлогддог бөгөөд нэмэгдэж байна.

Жишээ 2: y=x 2, x≤0 функцийн хувьд урвуу функц байгааг харуулж, аналитик илэрхийллийг ол.

Функц нь тодорхойлолтын талбартаа тасралтгүй, монотон байдаг тул урвуу байдаг. Функцийн тодорхойлолтын хүрээ ба утгын багцад дүн шинжилгээ хийсний дараа урвуу функцийн аналитик илэрхийллийн талаар зохих дүгнэлтийг гаргав.

Хоёр дахь оюутан энэ талаар илтгэл тавьдаг графикурвуу функцийг олох арга. Тайлбарлах явцад оюутан интерактив самбарын боломжуудыг ашигладаг.

y=f(x) функцтэй урвуу y=f -1 (x) функцийн графикийг авахын тулд y=f(x) функцийн графикийг шулуун шугамд тэгш хэмтэй болгон хувиргах шаардлагатай. y=x.

Интерактив самбар дээрх тайлбарын үеэр дараахь ажлыг гүйцэтгэнэ.

Нэг координатын системд функцийн график ба урвуу функцийн графикийг байгуул. Урвуу функцийн аналитик илэрхийллийг бич.

4. Шинэ материалыг анхан шатны нэгтгэх.

Зорилтот - судалсан материалын зөв ойлголт, ойлголтыг бий болгох, материалын анхан шатны ойлголт дахь дутагдлыг олж илрүүлэх, тэдгээрийг засах.

Оюутнууд хосуудад хуваагдана. Тэдэнд даалгаврын хуудас өгдөг бөгөөд энэ ажлыг хосоороо хийдэг. Ажлыг дуусгах хугацаа хязгаарлагдмал (5-7 минут). Нэг хос сурагч компьютер дээр ажилладаг бөгөөд энэ хугацаанд проектор унтардаг бөгөөд бусад хүүхдүүд компьютер дээр хэрхэн ажиллаж байгааг харж чадахгүй.

Хугацаа дууссаны дараа (оюутнуудын дийлэнх нь ажлыг гүйцэтгэсэн гэж үздэг) оюутнуудын ажлыг интерактив самбар дээр харуулдаг (проектор дахин асаалттай) бөгөөд шалгалтын явцад даалгавар биелсэн эсэхийг тодорхойлно. хосоороо зөв бөглөсөн. Шаардлагатай бол багш залруулах, тайлбарлах ажлыг гүйцэтгэдэг.

Хосоор бие даан ажиллах<Хавсралт 2 >

5. Хичээлийн хураангуй.Лекцийн өмнө тавьсан асуултуудын талаар. Хичээлийн дүнгийн зарлал.

Гэрийн даалгавар §10. № 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-р анги Ерөнхий боловсролын байгууллагуудад зориулсан 2 хэсэгт (профайлын түвшин) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova гэх мэт; засварласан А.Г.Мордкович, М: Мнемосине, 2007 он