Бичлэг

1 ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ "Тольятти Улсын Их Сургууль" Математик, Физик, Мэдээллийн Технологийн Хүрээлэн "Алгебр, Геометр" тэнхимийн Холбооны улсын төсвийн дээд боловсролын дээд сургууль СУУРЬ СУРГУУЛИЙН АЛГЕБРИЙН ХИЧЭЭЛ БАКА Л А В Р С К А Й АЖИЛ Бакалаврын сургалтын чиглэл: Сурган хүмүүжүүлэх боловсрол Гол чиглэл (профиль): Математик, компьютерийн шинжлэх ухаан Оюутан В.В. Назаров Шинжлэх ухааны удирдагч: сурган хүмүүжүүлэх ухааны доктор, проф. Р.А. Утеева Батлан ​​хамгаалахад хүлээн зөвшөөр. Тэнхимийн эрхлэгч: Сурган хүмүүжүүлэх ухааны доктор, проф. Р.А. Утеева 016 Тольятти - 016

2 АГУУЛГА ОРШИЛ... I БҮЛЭГ. СУРГУУЛИЙН СУУРЬ АЛГЕБРИЙН ХИЧЭЭЛИЙН “Квадрат үндэс” СЭДВИЙГ ЗААХ АРГА ЗҮЙН СИСТЕМ. Алгебрийн үндсэн хичээлийн “Квадрат үндэс” сэдэв Суурь сургуулийн алгебрийн хичээлийн “Квадрат язгуур” сэдвийг заах хэлбэр, арга, хэрэгсэл... 5 I бүлгийн дүгнэлт... II БҮЛЭГ. СУРГУУЛИЙН АЛГЕБРИЙН СУУРЬ ХИЧЭЭЛИЙН “Квадрат үндэс” СЭДВИЙГ ЗОХИОН БАЙГУУЛАХ АРГА ЗҮЙН ЗӨВЛӨМЖ. эцсийн аттестатчилалд бэлтгэх, математикийн OGE-д тэнцэхэд чиглэгдсэн II бүлгийн дүгнэлт ДҮГНЭЛТ АШИГЛАСАН АШИГЛАСАН АШИГЛАЛТЫН ЖАГСААЛТ... 58

3 ОРШИЛ Судалгааны хамаарал. “Дөрвөлжин үндэс” сэдэв нь сургуулийн суурь алгебрийн хичээлийн уламжлалт сэдвүүдийн нэг юм. Түүний олж авсан тоонуудын судалгаа нь 6-р ангийн рационал математикийн хичээлийн талаархи сурагчдын мэдлэг, ур чадвар дээр суурилдаг. Рационал тоон дээр үйлдэл хийх ур чадварыг дээшлүүлэх нь 7-р ангийн алгебрийн хичээлд тохиолддог. 8-р ангийн алгебрийн хичээлийн “Квадрат үндэс” сэдвийг судлахын ач холбогдол, газар нь рационал тооны багцыг цаашид өргөжүүлэх, иррационал тоог нэвтрүүлэх шаардлагатай байгаатай холбоотой юм. Энэ сэдвийг судлах сэдэл нь өмнө нь мэдэгдэж байсан тоонууд хангалтгүй байгааг шийдвэрлэхэд өгөгдсөн талбайд үндэслэн квадратын талыг (хажуугийн урт) олох алдартай практик асуудал байж болно. Нэмж дурдахад геометрийн олон бодлого, физик, хими, биологийн асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ квадрат язгуур агуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Тиймээс квадрат язгууртай үйлдлийн дүрмийг мэдэж, тэдгээрийг агуулсан илэрхийллийг хэрхэн хувиргах талаар сурах нь чухал юм. Дараах эх сурвалжид үндэслэн эмхэтгэсэн квадрат язгуур, түүний тэмдэглэгээний гарал үүслийн түүхийг авч үзье. n Х, х хоёр язгуур тэмдгийн орчин үеийн хэлбэр шууд гарч ирээгүй. Радикал тэмдгийн хувьсал бараг таван зуун жил үргэлжилсэн бөгөөд 13-р зуунд Итали болон Европын зарим математикчид 15-р зуунд латин үгээр Radix (язгуур) буюу товчилсон R. дөрвөлжин язгуурыг нэрлэж эхэлсэн. Н.Шуке 1-ийн оронд R 1 гэж бичжээ. Орчин үеийн язгуур тэмдэг нь 15-16-р зууны Германы математикчид алгебрийг шинжлэх ухаан "Косс", алгебрийн математикчид "Коссистууд" гэж нэрлэдэг байсан тэмдэглэгээнээс гаралтай. (12-15-р зууны математикчид бүх бүтээлээ зөвхөн латин хэл дээр бичдэг байсан. Тэд үл мэдэгдэх res (юм) гэж нэрлэдэг).

Италийн 4 математикч res гэдэг үгийг коса гэж орчуулсан байдаг. Сүүлийн нэр томъёог Германчууд зээлж авсан бөгөөд тэднээс коссист, косс гарч ирэв.) 15-р зуунд. Зарим Германы Косистууд квадрат язгуурыг илэрхийлэхийн тулд илэрхийлэл эсвэл тооны өмнө цэг тавьсан. Хажуу үсгээр бичихэд эдгээр цэгүүдийг зураасаар сольж, сүүлдээ тэмдэг болсон.Тийм нэг тэмдэг нь энгийн язгуур гэсэн утгатай. Дөрөвдүгээр зэргийн үндсийг зааж өгөх шаардлагатай байсан бол давхар тэмдэг ашигласан. Найм дахь язгуур нь яг яаж томилогдсоныг л тааж болно. Хэрэв бид дөрөв дэх зэрэгтэй зүйрлэвэл энэ тэмдэг нь квадрат язгуурыг гурав дахин задлахыг тодорхойлох ёстой байсан бөгөөд үүний тулд гурван квадрат тавих шаардлагатай байв. Гэхдээ энэ тэмдэглэгээг шоо язгуур эзэлдэг. Ийм тэмдэглэгээний үр дүнд V тэмдэг нь дараа нь үүссэн байх магадлалтай бөгөөд энэ нь сургуулийн хүүхдүүдэд танил болсон орчин үеийн тэмдэгт бичгээр ойролцоо боловч дээд шугамгүй байв. Энэ тэмдгийг анх Германы алгебр "Алгебрын чадварлаг дүрмийн тусламжтайгаар хурдан хурдан тооцоолох" гэж үзсэн. Энэхүү бүтээлийн зохиогч нь Вена хотын математикийн багш, Чех улсын уугуул Кристоф Рудольф байв. Энэ ном маш их амжилтанд хүрсэн бөгөөд 16-р зууны турш байнга дахин хэвлэгджээ. Тэгээд 1615 он хүртэл. Криштофын санал болгосон язгуурын тэмдгийг А.Жирард, С.Стевин нар ашигласан (тэр радикал тэмдгийн баруун талд язгуур илтгэгчийг тойрог хэлбэрээр бичсэн: V () эсвэл V (). 166 онд Голландын математикч А. .Жирард Рудольфын язгуурын тэмдгийг өөрчилсөн ба орчин үеийн тэмдэглэгээнд маш ойрхон тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн.Энэ бичгийн хэлбэр нь өмнөх R тэмдгийг орлуулж эхэлсэн.Гэвч хэсэг хугацаанд язгуур тэмдэг нь дээд мөрийг таслах замаар бичигдсэн, тухайлбал ингэж бичдэг байсан. : a + b. Зөвхөн 167 онд Рене Декарт "Геометр" номондоо шинэ тэмдэглэгээ ашиглан хэвтээ шугамыг шалгах тэмдэгтэй холбосон. Гэхдээ энд ч гэсэн орчин үеийн хэлбэрийн яг хуулбар байгаагүй. Декартийн бичлэг арай өөр байсан. бидний дассан нэгээс нэг нарийн зүйлд.Түүнд 4

5-ыг бичсэн байна: C + 1 q qq p, энд радикалын дараа шууд байрлуулсан С үсэг нь шоо язгуур тэмдэглэгээг илэрхийлэв. Орчин үеийн хэлбэрээр энэ илэрхийлэл дараах байдалтай байна: C + 1 q q p. Радикалыг орчин үеийн бичихэд хамгийн ойр зүйлийг Ньютон "Универсал арифметик" (1685) номондоо ашигласан. Өнөөгийнхтэй бүрэн давхцаж буй язгуурын анхны тэмдэглэгээ нь Францын математикч Роллегийн "Manual of the" номонд байдаг. Алгебр” 1690 онд хэвлэгдсэн. Үүнийг бичснээс хойш хэсэг хугацааны дараа гаригийн математикчид эцэст нь квадрат язгуурын тэмдэглэгээний цорын ганц бөгөөд эцсийн хэлбэрийг хүлээн зөвшөөрсөн. Судалгааны асуудал: сургуульд "Дөрвөлжин үндэс" сэдвийг заах арга зүйн онцлог юу вэ? 8-р ангийн алгебрийн хичээлд 5, суурь Судалгааны объект нь бага ангийн сурагчдад алгебрийн хичээл заах үйл явц юм. Судалгааны сэдэв нь “Дөрвөлжин үндэс” сэдвийг заах арга зүйн систем юм. Бакалаврын ажлын зорилго нь "Дөрвөлжин үндэс" сэдвийг заах арга зүйн тогтолцоог илчлэх явдал юм. Судалгааны зорилго: 1. Суурь сургуулийн алгебрийн хичээлд “Квадрат үндэс” сэдвийг заах үндсэн зорилго, зорилтыг тодорхойлох (арга зүйн системийн зорилтот бүрэлдэхүүн хэсэг).. “Дөрвөлжин үндэс” сэдвийн агуулгад дүн шинжилгээ хийх. суурь сургуулийн алгебрийн сурах бичигт (арга зүйн системийн агуулгын бүрэлдэхүүн хэсэг).. Суурь сургуулийн алгебрийн хичээлд “Квадрат үндэс” сэдвийг заах төрөл бүрийн хэлбэр, арга, хэрэгслийг судлах.

арга зүйн системийн 6 бүрэлдэхүүн хэсэг). 4. “Дөрвөлжин үндэс” сэдвийг заах арга зүйн зөвлөмж боловсруулах. Судалгааны арга: Судалгааны сэдвээр шинжлэх ухаан, арга зүйн ном зохиол, математикийн хөтөлбөр, сургуулийн алгебрийн сурах бичигт дүн шинжилгээ хийх, материалыг шинжлэх, системчлэх, нэгтгэх. Энэхүү ажлын практик ач холбогдол нь сургуулийн алгебрийн үндсэн хичээлд “Дөрвөлжин үндэс” сэдвийг заах арга зүйн тогтолцоог танилцуулж, математикийн багш, бакалаврын зэрэгтэй багш нар багшлах дадлага хийх явцад ашиглаж болох арга зүйн зөвлөмжийг боловсруулсанд оршино. сургууль. Бакалаврын ажлын танилцуулсан үр дүн, дүгнэлтийг оюутнуудад "Дөрвөлжин үндэс" сэдвийг заах аргыг цаашид хөгжүүлэх үндэс болгон ашиглаж болно. Хамгаалалтад толилуулсан: ЕБС-ийн алгебрийн үндсэн хичээлд “Дөрвөлжин үндэс” сэдвийг заах арга зүйн систем. Ажлын бүтэц. Бакалаврын дипломын ажил нь танилцуулга, хоёр бүлэг, дүгнэлт, ашигласан материалын жагсаалтаас бүрдэнэ. 6

7 БҮЛЭГ I. СУРГУУЛИЙН СУУРЬ АЛГЕБРИЙН ХИЧЭЭЛИЙН “Квадрат үндэс” сэдвийг заах АРГА ЗҮЙН СИСТЕМ 1. Суурь сургуулийн алгебрийн хичээлд “Квадрат үндэс” сэдвийг заах үндсэн зорилго, зорилт. Боловсрол (FSES LLC) нь "Математик" судлах сэдвийн хүрээнд дараахь зүйлийг хангах ёстой гэж тэмдэглэжээ: 1) бодит үйл явц, үзэгдлийг дүрслэх, судлах боломжийг олгодог бодит байдлыг ойлгох арга болох математикийн талаархи санаа бодлыг бий болгох;) ур чадварыг хөгжүүлэх; боловсролын математикийн тексттэй ажиллах (шинжилгээ хийх, шаардлагатай мэдээллийг гаргаж авах), математикийн нэр томъёо, бэлгэдлийг ашиглан өөрийн бодлыг үнэн зөв, чадварлаг илэрхийлэх, ангилал, логик үндэслэл, математикийн мэдэгдлийн нотолгоо хийх;) тоо, тооны системийн талаархи санаа бодлыг байгалийн жамаар хөгжүүлэх; бодит тоонууд руу; аман, бичгийн, багажийн тооцооллын ур чадварыг эзэмших; 4) алгебрийн бэлгэдлийн хэл, илэрхийллийн ижил хувиргалт хийх, тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем, тэгш бус байдал, тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмших; бодит нөхцөл байдлыг алгебрийн хэлээр загварчлах, алгебр ашиглан барьсан загваруудыг шалгах, олж авсан үр дүнг тайлбарлах чадвар; Математикийн хөтөлбөрт зохиогч “Квадрат язгуур” сэдвийг судлахдаа дараахь зорилго, зорилтуудыг тодорхойлсон: Рационал тооны багцыг өргөжүүлэх, иррационал ба бодит тооны тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх, квадрат язгуур, тэдгээртэй үйлдлүүдийг судлах. 7

8 Сэдвийг судалсны үр дүнд оюутнууд: 1. Үе үе ба үе бус хязгааргүй аравтын бутархайн тодорхойлолт.. y=x функц, түүний шинж чанар, график.. Квадрат язгуурын тухай ойлголт 4. Арифметикийн шинж чанарууд. квадрат үндэс. 5. Бодит, рационал, иррационал тооны олонлог. Сэдвийг судалсны үр дүнд оюутнууд: 1. Энгийн бутархайг аравтын бутархай болон эсрэгээр нь хувиргах.. Бодит, рационал, иррационал тоог харьцуулах.. y=x функцийн графикийг зурах чадвартай байх. 4. Үндэс тэмдгийн доор үржүүлэгчийг нэмж хасна. 5. Квадрат язгууртай үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ. Математикийн хөтөлбөрт зохиогч "Дөрвөлжин үндэс" сэдвийг судлах дараах зорилго, зорилтуудыг тодорхойлсон (Макарычевын сурах бичигт): Рационал тооны талаархи мэдээллийг системчилж, иррационал тооны тухай ойлголт өгөх, ингэснээр тооны тухай ойлголтыг өргөжүүлэх; квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийн энгийн хувиргалтыг хийх чадварыг хөгжүүлэх. Сэдвийг судалсны үр дүнд оюутнууд: 1. Натурал, бүхэл тоо, рационал, иррационал, бодит тоо.. a тооны модуль.. Арифметик квадрат язгуур, түүний шинж чанарууд. 4. y= x функц, түүний шинж чанар, график. Сэдвийг судалсны үр дүнд оюутнууд: 1. Хамгийн энгийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. 8

9 . Үндэс тэмдгийн доор үржүүлэгчийг нэмж хасах. Квадрат язгуурын ойролцоо утгыг ол. 4. Тооны зэрэглэлийн квадрат язгуурыг авна. 5. Иррационал илэрхийллийг хувиргах. Математикийн хөтөлбөрт зохиогч Алимовын сурах бичигт "Квадрат үндэс" сэдвийг судлах дараах зорилго, зорилтуудыг тодорхойлсон: Рационал тооны талаархи мэдээллийг системчилж, иррационал тооны тухай ойлголт өгөх, ингэснээр тооны тухай ойлголтыг өргөжүүлэх; квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийн энгийн хувиргалтыг хийх чадварыг хөгжүүлэх. Сэдвийг судалсны үр дүнд оюутнууд мэдэж байх ёстой: 1. Арифметик квадрат язгуурын тухай ойлголт.. Бодит тоо Сэдвийг судалсны үр дүнд хүчин чадал, үржвэр, бутархайн квадрат язгуурыг олох чадвартай болно. С.Минаевагийн өгүүлэлд [, х. 4-7] “Дөрвөлжин язгуур” хэсгийг судлах нь дараах зорилгыг агуулна: дөрвөлжин язгуур агуулсан илэрхийллийн хувиргалтыг хэрхэн хийхийг заах; Квадрат ба куб язгуурын жишээг ашиглан n-р язгуурын талаар анхны санаа бодлыг бий болго. 015 оны 4-р сарын 8-ны өдрийн ерөнхий боловсролын суурь боловсролын ойролцоогоор суурь боловсролын хөтөлбөрт төгсөгч нь 8-р ангид суралцах ёстой (өдөр тутмын амьдралд ашиглах, бусад хичээлийг судлах, үндсэн түвшинд амжилттай үргэлжлүүлэн боловсрол эзэмших боломжийг хангах): 1. Үндсэн түвшинд ажиллах: түвшний ойлголтууд: натурал тоо, бүхэл тоо, энгийн бутархай, аравтын бутархай, холимог бутархай, рационал тоо, арифметик квадрат язгуур.. Эерэг бүхэл тооны квадрат язгуурын утгыг тооцоол. 9

10 . Рационал ба иррационал тоог таних. 4. Тоонуудыг харьцуул. 5. Тоог стандарт хэлбэрээр бичихийн утгыг ойлгох. 6. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийд. 7. Тооны шулуун дээр тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийн шийдийг зур. Төгсөгч нь 8-р ангидаа анхан шатны болон гүнзгийрүүлсэн түвшний боловсролыг амжилттай үргэлжлүүлэх боломжийг хангахын тулд: 1. Натурал тооны олонлог, бүхэл тооны олонлог, рационал тооны олонлог, иррационал тоо, квадрат гэсэн ойлголтуудыг ашиглан ажиллах боломжтой. язгуур, бодит тооны олонлог, натурал тооны геометрийн тайлбар, бүхэл тоо, рационал, бодит тоо.. Тооцоолол, түүний дотор рационал тооцоолох арга техникийг ашиглах.. Рационал ба иррационал тоог харьцуулах. 4. Рационал тоог аравтын бутархайгаар дүрсэл. 5. Квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийн хувиргалтыг гүйцэтгэнэ. 6. Квадрат язгуур агуулсан илэрхийлэлд хоёр гишүүний нийлбэр буюу зөрүүг тодорхойлох.. ЕБС-ийн алгебрийн суурь хичээлийн “Квадрат үндэс” сэдвийг заах агуулгын арга зүйн шинжилгээ (Сургуулийн математикийн 5-6-р хичээлээс мэддэг. алгебр 7-р анги) мэдлэг: рационал тооны тухай ойлголт; рационал тооны олонлогийн тухай ойлголт, түүний тэмдэглэгээ; 10 ба курс

Рационал тоо бүхий 11 үндсэн үйлдэл (үйлдэл); функц y = x. Шинэ (танилцуулсан) мэдлэг: тооны квадрат язгуурын тухай ойлголт; арифметик квадрат язгуурын тухай ойлголт; арифметик квадрат язгуурын шинж чанарууд; язгуур тэмдгийн доор үржүүлэгчийг нэмэх, хасах; квадрат язгууртай үйлдлүүд. 8-р ангийн төрөл бүрийн алгебрийн сурах бичгүүдийн “Дөрвөлжин үндэс” сэдвийн агуулгын дүн шинжилгээг Хүснэгт 1-4-т үзүүлэв. Сурах бичигт Ю.Н. Макаричева "Дөрвөлжин үндэс" хэсгийг судлахад бусад цагуудаас илүү цаг хуваарилдаг бөгөөд бүхэл бүтэн хэсгийг 4 догол мөрөнд хуваадаг. Квадрат язгуурын ойролцоо тодорхойлолтыг судлах сэдвийг хөндсөн боловч үечилсэн аравтын бутархай сэдвийг орхигдуулсан. Сурах бичигт Г.К. Муравин ба О.В. Муравина "Дөрвөлжин үндэс" хэсэгт 18 хүрэхгүй цаг зарцуулсан бөгөөд хэсэг нь догол мөрүүдээс бүрдэж, үечилсэн аравтын бутархай сэдвийг хөндсөн боловч квадрат язгуурын ойролцоо ололт байхгүй байна. Никольскийн сурах бичигт "Дөрвөлжин үндэс" хэсэг нь зөвхөн нэг догол мөр, 5 цэгээс бүрддэг бөгөөд олон сэдэв, ойлголтыг танилцуулаагүй болно. Сурах бичигт G.V. Дорофеев дээр дурдсан бүх зүйлд байхгүй Пифагорын теоремд зориулсан сэдвийг багтаасан болно. Шоо язгуурын судалгааг энд бас хөндсөн. Бүх сурах бичигт тухайн хэсгийг судлах нь бодит ба иррационал тооноос эхэлдэг боловч зохиогч бүр өөрийн гэсэн арга барилтай байдаг. Дараа нь квадрат язгуур өөрөө болон арифметик квадрат язгуур, тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлүүдийн судалгаа ирдэг. арван нэгэн

12 Сурах бичгийн зохиогчид Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова Бүлэг, догол мөрний гарчиг 4. Бодит тоо 9. Рационал тоо 10. Иррационал тоо 5. Арифметик квадрат язгуур 11. Квадрат язгуур. Арифметик квадрат язгуур. 1. Тэгшитгэл x =a. 1. Квадрат язгуурын ойролцоо утгыг олох. 14. y= x функц ба түүний график. 6. Арифметик квадрат язгуурын шинж чанарууд. 15. Үржвэр ба бутархайн язгуур. 16. Нэг градусын квадрат язгуур. 7. Арифметик квадрат язгуурын шинж чанаруудын хэрэглээ 17. Үндэс тэмдгийн доор байгаа хүчин зүйлийг хасах. Үндэсний тэмдгийн дор үржүүлэгчийг оруулах. 18. Квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийг хөрвүүлэх. Хүснэгт 1 Цагийн тоо Нийт Хүснэгт Сурах бичиг зохиогчид Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина Бүлэг ба догол мөрний гарчиг 5. Бодит тоо 14. Рационал ба иррационал тоо. 15. Үе үе ба үегүй хязгааргүй аравтын бутархай. 6. Квадрат үндэс. 16. y=x функц ба түүний график. 17. Квадрат язгуурын тухай ойлголт. 18. Арифметик квадрат язгуурын шинж чанарууд. 19. Үндэс тэмдгийн доор үржүүлэгчийг нэмэх, хасах. 0. Квадрат үндэстэй үйлдлүүд. Цагийн тоо Нийт 18 Хүснэгт Сурах бичиг зохиогч С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, A.V. Шевкин Бүлэг, догол мөрний гарчиг. Квадрат язгуур.1 Квадрат язгуурын тухай ойлголт.. Арифметик квадрат язгуур.. Натурал тооны язгуур..4 Квадрат язгуурын ойролцоо тооцоолол..5 Арифметик квадрат язгуурын шинж чанарууд. 1

13 Хүснэгт 4 Сурах бичгийн зохиогчид Бүлэг, догол мөрийн нэр Цагийн тоо Г.В. Дорофеев .1 Квадрат талын талыг олох асуудал. Иррационал тоо. Пифагорын теорем.4 Квадрат язгуур (алгебрийн арга).5 Квадрат язгуурын шинж чанар.6 Квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийг хувиргах.7 Шоо язгуур Нийт 18 “Квадрат язгуур” сэдвийг 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт үндэслэсэн судалгаа Муравин. . Эхэндээ рационал тоонуудын багцын өргөтгөлийг өгч, иррационал ба бодит тоонуудын тухай ойлголтыг танилцуулж, энгийн бутархайгаас аравтын бутархай болон эсрэгээр шилжих шилжилтийг авч үзнэ. Рационал ба иррационал тоонд нэг цаг зарцуулдаг.14-р зүйлд “Рационал ба иррационал тоо” тэдгээрийн үүссэн түүх, сэдвийг судлах зорилгын талаар өгүүлнэ. Тодорхойлолтыг жишээн дээр үндэслэн, сегментийн уртын харьцаагаар өгсөн болно. Тодорхойлолт 1: хэрвээ хоёр сегмент нь нэг хэсэгт m удаа, нөгөө хэсэгт n удаа таарах нийтлэг хэмжигдэхүүнтэй бол тэдгээрийн харьцаа m, n нь оновчтой тоо юм. Иррационал тооны тодорхойлолтыг жишээ 1-д өгөв: Жишээ 1: d = (m n) =. Тиймээс (m n) =. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бутархайн хуваагч нэгээс өөр тул бутархай нь бүхэл тоотой тэнцүү байхын тулд n-ээр багасгах шаардлагатай. Гэхдээ m ба n натурал тоонуудад нийтлэг хуваагч байдаггүй тул квадратууд нь нийтлэг хуваагчтай байдаггүй. Энэ нь m = тэгш байдал худал гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. d тоо нь бутархай биш юм. n 1

14 Жишээ нь d тоо нь рационал тоо биш гэдгийг баталсан бөгөөд энэ нь квадратын диагональ нь түүний талтай нийтлэг хэмжигдэхүүнгүй, d тоо нь иррационал тоо гэсэн үг юм. Дараагийн догол мөрийг үечилсэн болон үечилсэн бус бутархайд зориулж, хугацааны тухай ойлголтыг танилцуулж, орчуулгын явцад үе гарч ирэх нь гарцаагүй гэдгийг зөвтгөв. Энэ зүйлд нэг цаг зориулав.15-р зүйлд үе ба үе бус бутархай бутархайг судалж, рационал ба иррационал тооны язгуурыг ойролцоогоор тодорхойлох сэдвийг авч үзнэ. Дараа нь хэлэлцсэн жишээнүүдийг ашиглан төгсгөлтэй ба төгсгөлгүй аравтын бутархайн тодорхойлолтыг өгсөн болно. Жишээ: 1-ийг аравтын бутархай болгон хувиргавал: 0. Бичлэгт эцэс төгсгөлгүй давтагдаж буй тоог цэг, бутархайг өөрөө үе гэж нэрлэдэг. 1-р шинж чанар: дурын рационал тоог хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно (эсрэг нь бас үнэн). Тодорхойлолт: Аливаа иррационал тоог хязгааргүй үегүй аравтын бутархай гэж бичдэг ба ямар ч төгсгөлгүй үе бус аравтын бутархай нь иррационал тоо юм. Тодорхойлолт: Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай нь рационал тоо, төгсгөлгүй үет бус аравтын бутархай нь иррационал тоо юм. Дараа нь "Дөрвөлжин үндэс" сэдвийг судлах руу шууд шилждэг. Судалгаа "y=x функц ба түүний график" гэсэн догол мөрөөс эхэлнэ. Функц, графикийн талаархи материалыг давтаж байна. Нэг цаг хуваарилсан.Эхлээд декартын координатын системийн цэгүүдэд y=x функцийн графикийг байгуулж, судалгааг хийж графикийн нэрийг өгнө: Тодорхойлолт 4: y=x функцийн график. парабола гэж нэрлэдэг. 14

15 Квадрат язгуурын тухай ойлголт руу шилжих нь квадрат тэгшитгэлийн шийдлээр дамжин явагддаг x =a , ийм арга нь нэр томьёоны мөн чанарыг тайлбарлах боломжийг бидэнд олгодог гэж үздэг. Цаг хуваарилсан.Дараагийн 17-р догол мөрөнд язгуурын тухай ойлголтыг оруулсан. Тодорхойлолт 5: x =a тэгшитгэлийн язгуурыг a-ийн квадрат язгуур гэнэ. Тодорхойлолт 6: Квадрат нь а-тай тэнцүү сөрөг бус тоог a-ийн арифметик квадрат язгуур гэж нэрлэх ба а-аар тэмдэглэнэ. . Радикалын шинж тэмдгийг танилцуулж, түүний гарал үүслийн түүхийг өгдөг. Дараа нь зохиогчид арифметик квадрат язгуурын шинж чанарыг судлахад шилжиж, энэ үед тэд квадрат язгууртай илэрхийллийг хувиргах чадварыг хөгжүүлж эхэлдэг. Хэсэг өгөгдсөн.18-р зүйлд арифметик квадрат язгуурын шинж чанаруудыг өгөв: Өмч: Аливаа тооны хувьд a a = a. Өмч чанар: a ба b сөрөг бус тоонуудын хувьд: ab= a b . Дараа нь язгуур тэмдгийн доор үржүүлэгчийг нэмэх, хасах сэдвийг судалж, дадлага хийдэг. Дөрвөлжин үндэстэй ажил үргэлжилж байна. Зохиогчид тэмдэглэснээр оюутнууд үг хэллэгийг хөрвүүлэхэд бэрхшээлтэй байж магадгүй, учир нь энэ тохиолдолд модулийн тэмдэг нь үржүүлэгчийг язгуурын тэмдгийн доороос хасахад чухал байдаг. Хэсэг өгөгдсөн. 19-р зүйлд язгуурын тэмдгийн горимоос үржүүлэгчийг оруулах, хасах талаар судалж, шинж чанарыг өгсөн: 4-р шинж чанар: Сөрөг бус утгын хувьд b a b= a * b= a * б. Дараа нь зохиогчид квадрат язгууртай үйлдлүүд рүү шилжиж, энэ үед голчлон тоон илэрхийллийг хөрвүүлэх дасгал хийдэг.

Энэ сэдвээр 16 сургуулийн сурагчид мэдлэгээ гүнзгийрүүлж байна. Судалгааг хоёр хэсэгт хувааж болно: 1. Тооны квадрат язгууртай ажиллах.. Үг үсгийн хэллэгийг хөрвүүлэх. Энэхүү судалгааны загвар нь судалгааны дарааллыг тогтоодоггүй бөгөөд хоёр дахь хэсэг нь энэ үе шатанд ашигтай боловч 9-р ангийн материалын пропедевтикийг хийж байгаа бөгөөд энд үсгийн илэрхийлэлийг радикалуудаар хувиргах талаар тусгайлан судлах болно гэж бид хэлж чадна. 4 цаг хуваарилсан. 0-р хэсэг ба эцсийн хэсэгт бид квадрат язгууртай үйлдлүүдийг судалдаг. Өмнө нь сурсан шинж чанаруудыг эргэн санаж, тоон илэрхийллийг хувиргахад ашиглах. Хуваарийн утгагүй байдлаас ангижрах, хүчин зүйл ангилах, илэрхийллийг хялбарчлах зэрэг үйлдлүүдийг авч үзнэ. Нийтдээ зохиогчид тухайн хэсгийг судлахад 19 цаг хуваарилдаг бөгөөд хэсэг бүрийн дараа тест эсвэл бие даасан ажил, бүлгийн төгсгөлд тест байдаг. Ю.Н.-ын 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт тулгуурлан “Квадрат үндэс” сэдвийг судлах нь. Макарычева. "Дөрвөлжин үндэс" бүлэг нь бодит тоонуудын тоймоор эхэлдэг. Нэгдүгээрт, натурал тоонуудын олонлог, натурал тоон хуваагдах чадварын талаархи үндсэн мэдээллийг сануулах, сэдвийн талаархи ердийн бодлогуудыг тоймлох болно. Цаг хуваарилагдсан бөгөөд дараа нь бүхэл тооны талаархи үндсэн мэдээллийг давтаж, ердийн бодлогуудыг авч үзэх нэг хичээлийг зааж, дараа нь рационал тооны багцад зориулсан хичээлийг заана. Дараах нь иррационал тоо болон бодит тооны олонлогийн тухай ойлголтыг танилцуулах хичээл юм. Дээр дурдсан хичээлүүдийн дараа 16 дахь хичээл эхэлнэ

17 квадрат язгуурын шууд судалгаа, квадрат язгуур болон арифметик квадрат язгуурын тухай ойлголтуудыг авч үзсэн хичээл. Дараа нь хичээл нь хамгийн энгийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно x = a, дараа нь квадрат язгуурын ойролцоо утгыг олох 1 хичээл болно. Дараагийн хичээл нь y= x функц, түүний шинж чанар, графикийг авч үзэх болно. Дараах нь арифметик квадрат язгуурын шинж чанаруудтай холбоотой хичээлүүд юм. 1-р хичээл нь үржвэрийн квадрат язгуур ба бутархайн шинж чанарыг авч үзэх бөгөөд дараагийн хичээл нь тооны зэрэглэлийн квадрат язгуурыг хэрхэн гаргаж авах тухай юм. Энэ үе шатанд зохиогч тест дээр хэд хэдэн хичээл зарцуулж, шалгаж, дараа нь арифметик квадрат язгуурын шинж чанарыг ашиглахтай холбоотой хичээлүүд рүү шилжихийг санал болгож байна. Үржүүлэгчийг язгуур тэмдгийн доор нэмэх, хасах чадварыг давтах, дадлага хийх 1 хичээл. Дараа нь иррационал илэрхийллийг хөрвүүлэх үндсэн аргуудыг багтаасан хичээл. Эцэст нь зохиогч "Дөрвөлжин үндэс" сэдвээр эцсийн тест хийхийг санал болгож байна. Энэ хэсгийг судлахад нийт нэг цаг зарцуулдаг. Одоо Г.В.-ийн сурах бичгийг ашиглан алгебрийн хичээлд квадрат язгуурын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх талаар С.Минаевагийн зөвлөмжийг харцгаая. Дорофеева 8-р ангид: 1. Дөрвөлжин талыг олох асуудал (хичээл) Квадрат язгуурын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхийн тулд энэ хичээлийн сэдэл, семантик талыг онцолсон үндсэн хандлагыг ашигладаг. Материалыг дараах байдлаар үзүүлэв: оюутнууд S = a томьёог мэддэг бөгөөд дөрвөлжингийн а талыг ашиглан та түүний S талбайг тооцоолж болно; харин математикт 17-оос квадратын талыг олох урвуу бодлогыг шийдэх томьёо байдаг.

Өгөгдсөн S талбайн 18, үүнийг дараах байдлаар бичнэ: a = S. S тэмдэг нь талбай нь S-тэй тэнцүү квадратын талыг илэрхийлнэ. Хэрэв жишээ нь, S = 100 бол a = 100. 100 = учраас. 10, дараа нь a = 100 = 10. Оюутнуудад шинэ тэмдэг сурахын тулд та хэд хэдэн асуултыг санал болгож болно: дөрвөлжингийн талбайг 81 м байг: тэмдэгтийг ашиглан хажуугийн илэрхийлэл бичнэ үү. энэ дөрвөлжин; квадратын хажуугийн урт хэд вэ? Геометрийн хэлнээс алгебрийн хэл рүү шилжихэд S тэмдгийн утгыг дараах байдлаар тодорхойлж болно: S нь сөрөг бус тоо бөгөөд квадрат нь S-тэй тэнцүү байна. (Эцсийн эцэст уртыг сөрөг тоогоор илэрхийлэх боломжгүй! ) Тиймээс бид квадрат язгуурын утгыг олохдоо ашиглах "ажлын" томъёонд хүрэв. Бид багшийн анхаарлыг S тэмдэгтийг хэрхэн уншдаг талаар анхаарлаа хандуулж байна: S-ийн квадрат язгуур. Сэдвийн энэ хэсэгт бид зөвхөн эерэг язгуураар ажилладаг тул "арифметик" гэсэн тодотгол энд илүүдэхгүй. Гэсэн хэдий ч энэ нэр томъёог дараа нь ашиглах болно.. Иррационал тоо (хичээл) Энэ үед үзэл суртлын болон практик гэсэн хоёр талыг ялгаж болно. Үзэл суртлын нэг нь иррациональ тоотой анх танилцахад оршдог; практик - "олборлох боломжгүй" үндсийг үнэлэх чадварыг хөгжүүлэхдээ тооцоолол болон тооцоолуур ашиглан тэдгээрийн ойролцоо утгыг олох. Оюутнууд дөрвөлжин талбайн талбайн дагуу талыг олох аль хэдийн танил болсон асуудлыг авч үзсэний үр дүнд иррационал тоог нэвтрүүлэх хэрэгцээ гарч ирдэг. Сурах бичигт 10-р зурагт хоёр квадратыг үзүүлэв. Тэдний нэг нь ганц бие, талбай нь 1 квадрат. нэгж Хоёр дахь квадратын тал нь эхнийх нь диагональ бөгөөд түүний талбай нь хоёр дахин том байна. (Үнэндээ жижиг дөрвөлжин нь хоёр тэнцүү гурвалжингаас бүрддэг ба том нь дөрвөн ийм 18 гурвалжнаас бүрддэг.

19 гурвалжин байна.) Энэ нь том дөрвөлжингийн талбай нь кв-тэй тэнцүү гэсэн үг юм. нэгж Энэ квадратын хажуугийн урт хэд вэ? Үүнийг а гэж тэмдэглэе. Квадрат язгуур тэмдгийг ашиглан бид a= гэж бичиж болно. Оюутнууд өнөөг хүртэл зөвхөн "олборлох" үндэсийг авч үзсэн. Та тэдэнд хэдэн минут өгөх хэрэгтэй бөгөөд энэ тохиолдолд тэд a = 1 утга хангалтгүй байгаа эсэхийг шалгахын тулд үндсийг задлахыг оролдох бөгөөд хэрэв та = авбал энэ нь хэтэрхий их байна; аравтын бутархай олох гэж оролдоод 1.4<, а 1,5 >. Дараа нь квадрат нь тэнцүү бүхэл тоо, бутархай аль нь ч байхгүй гэдгийг маш энгийн нотолгоо хийдэг (сурах бичгийн 7-р тал). Тиймээс манай квадратын хажуугийн уртыг зөв илэрхийлэх оновчтой тоо байхгүй байна. Эртний математикчдийн хийсэн гайхалтай нээлтийг (хэсэг байдаг, гэхдээ энэ нь урт биш!), мөн энэ баримт нь математикийн хөгжилд түлхэц өгсөн (шинэ тоонуудыг нэвтрүүлэх шаардлагатай байсан) гэдгийг би оюутнуудад ойлгохыг хүсч байна. . Талбай нь кв бол дөрвөлжингийн хажуугийн уртыг илэрхийлдэг тоог оюутнуудад хэлнэ. нэгж нь иррационал тоо гэж нэрлэгддэг ангилалд багтдаг: - энэ нь эерэг иррационал тоо бөгөөд квадрат нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл () = тэгш байдал нь үнэн юм. Тэд a хэлбэрийн бусад иррационал тоонуудыг нэрлэж, a-ийн тодорхой эерэг утгуудын хувьд (a) =a гэх мэт хувиргалтыг хоёр чиглэлд гүйцэтгэх чадвартай байх ёстой. Тиймээс, иррационал тоотой анхны танилцах нь нэлээд явцуу зорилгод захирагддаг: энэ нь квадрат язгуурыг судлахтай холбоотой бөгөөд юуны түрүүнд энэ сэдвийн хэрэгцээг хангадаг. Дээр дурдсан мэдээллээс гадна (тухайлбал: оновчтой тоонуудын дунд талбай нь тэнцүү квадратын талын уртыг илэрхийлэх тоо байдаггүй; рационал тоонуудаас гадна иррационал 19 гэж нэрлэгддэг тоонууд байдаг.

20 дахь; иррационал тоонд a хэлбэрийн бүх тоо багтана, хэрэв а нь бүхэл тоо эсвэл бутархай тооны квадрат биш бол) оюутнууд өөр шинж чанартай хязгааргүй олон иррационал тоо (жишээлбэл, z тоо) байдгийг, иррационал тоо нь сөрөг байх ба практикт тэдгээрийг аравтын бутархайгаар (ойролцоогоор) орлуулдаг. Оюутнууд 9-р ангийн "хоёр дахь дамжуулалт" дээр иррационал ба бодит тоонуудын талаар илүү нарийвчилсан мэдээллийг авдаг. А хэлбэрийн иррационал тооны аравтын бутархайн ойролцооллыг олох үндсэн боломжийг харуулахын тулд сурах бичиг нь тооцоолох аргыг ашигладаг: дутагдалтай болон илүүдэлтэй ойролцоо утгуудыг дараалсан бүхэл тоогоор илэрхийлсэн (өөрөөр хэлбэл 1 хүртэл нарийвчлалтай) олно. ), нэг аравтын оронтой дараалсан аравтын бутархай (өөрөөр хэлбэл 0.1 хүртэлх нарийвчлалтай) гэх мэт. Энэ аргын үндэс нь дараах мэдэгдэл юм: хэрэв a ба b нь эерэг тоо ба a

21 Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын уртыг хөлөөс нь тооцоолохдоо Пифагорын теоремыг хэрэглэхтэй холбогдуулан (84-р хуудасны 1-р жишээ) сурах бичигт “Пифагорын гурвалсан гурвалжнууд” гэж дурдсан байдаг. Хэдийгээр тэдгээр нь хязгааргүй олон боловч дараалсан натурал тоонуудаас бүрдэх ганц гурвалсан тоо байдаг гэдгийг анхаарна уу. Луужин ба захирагчийг ашиглан иррациональ урттай сегментүүдийг (эсвэл иррационал абсцисс бүхий координатын шугам дээрх цэгүүдийг) барих ажлыг зөвхөн сурах бичгийн текстэд (х. 85) авч үзэх нь зүйтэй юм. сурагч бүр дэвтэр дээрээ. Ийм ажлыг жишээлбэл гэрийн даалгавар болгон санал болгож болно. Зураг нь цэвэр, хангалттай том, "уншихад" хялбар байх ёстойг оюутнуудад анхааруулах хэрэгтэй. Сурах бичигт байгаа асуудлын материалд дүн шинжилгээ хийж, "Дөрвөлжин үндэс" сэдвээр ашигласан асуудлын үндсэн төрлүүдийг тодруулцгаая. Уг нийтлэлд G.V.-ийн сурах бичгээс "Дөрвөлжин үндэс" сэдэвт дасгалуудыг онцолсон болно. Дорофеев, сэдвийн энэхүү танилцуулгын хэсгийн бүх чухал талыг хамарсан. Дасгалын гол зорилго нь шинэ ойлголтыг эзэмших, радикал тэмдгийг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх явдал юм. Даалгавруудад анхаарал хандуулдаг ба 7. a=b хэлбэрийн тэгшитгэлээс b = a ба эсрэгээр тэгшитгэл рүү шилжих чадвар маш олонтаа шаардагддаг. Дасгал 8- - квадрат язгуур агуулсан тоон болон цагаан толгойн үсгийн илэрхийллийн утгыг тооцоолох. Оюутнууд язгуур тэмдэг нь хаалт шиг бүлэглэх тэмдэг гэдгийг мэдэж авах ёстой. 4-7-р дасгалд өмнө нь эхлүүлсэн (мөн хэрэглээний үүднээс маш чухал) томъёотой ажиллах ажлыг цаашид хөгжүүлсэн. Одоо эдгээр нь радикал агуулсан эсвэл аливаа хувьсагчийг бусдын нэр томъёогоор илэрхийлэхэд радикал ашиглахыг шаарддаг томъёо юм. Ийм даалгавар нь ихэвчлэн оюутнуудад хүндрэл учруулдаг тул дараахь зүйлийг судалж үзээд хэсэгчлэн хийж болно. 1-ээс бусад

Түүнээс гадна тэдэн рүү буцах нь ашигтай байдаг. Энэ үе шатанд В бүлгийн 8, 9-р даалгавруудыг хэцүү гэж үзнэ; Тэд мэдээж бүх оюутнуудад зориулагдаагүй. Бэлтгэл багатай ангиудад А бүлгийн даалгавар, боломжтой бол 41, 44. Сурах бичгээс жишээ авч үзье: 60-ын ойролцоо утгыг ол. Шийдэл: Тооны квадратыг хавсаргасан болно. хоёр "яг" квадратын хооронд - 49 ба 64: 49 тоо<(60), то есть 7 <(60) <8. Значит как 7 <(60), то 7< 60; так как (60) <8, то 60<8. Значит 7< 60<8. Очевидно, что 60 ближе к 8, чем к 7, то есть Рассмотренный способ нахождения приближенного значения корня, в силу своей громоздкости, имеет, в основном, теоретическое значение; учащимся достаточно лишь уметь указывать два целых числа, между которыми заключено значение данного корня. А при решении задач предполагается широкое использование калькулятора. Упражнения к пункту предназначены, прежде всего, для осознанного восприятия этого сложного для учащихся материала (46-51). Кроме того, использование калькулятора позволяет, с помощью наблюдений, прийти к некоторым теоретическим обобщениям, например к выводу о возрастании значения корня с увеличением подкоренного выражения (5-54). В образце к упражнению 6 показаны приемы сравнения, которыми должны овладеть учащиеся. Упражнения 65 и 66 направлены на формирование умения выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни, с использованием равенства (a) =а, где a 0. В классах с невысоким уровнем подготовки достаточно упражнений группы А. Вообще, в этом блоке дана представительная группа заданий,

23 бөгөөд үүнийг бүрэн хязгаарлаж болно. Дасгал 57. Арга I. Тооцоологч ашиглан язгуурын ойролцоо утгыг ол: 5.4; 6.45; 7.65. Энэ нь эдгээр тоо тус бүр нь цэгүүд болон төгсгөлүүдтэй сегментэд хамаарах бөгөөд тэдгээр нь энэ сегмент дээр дараах дарааллаар байрлана гэсэн үг юм: 5, 6, 7. Цаашилбал: 5-ын тоо нь цэгүүд болон төгсгөлүүдтэй сегментэд хамаарна. ; 6 дугаар нь 4 ба 5-р цэгүүдэд төгсгөлтэй сегментэд хамаарна; 7 тоо нь 6 ба 7 цэгт төгсгөлтэй сегментэд хамаарна. II арга. Бид тооцооллыг ашиглан ижил үр дүнд хүрдэг. Жишээлбэл, 5-ын хувьд бидэнд:<(5) <, то есть < 5<;, <(5) <, то есть,< 5<,. Упражнение 59. Очевидно, что точке К соответствует число 0,4, так как 0< 0,4< 1. Точно так же легко понять, что число лишнее, так как на отрезке с концами х=1 и х точка не отмечена. Сложнее с точкой L: ведь каждое из оставшихся чисел 5 и 7 располагается на отрезке с концами и. Но точка L расположена в левой половине отрезка, значит число, которое ей соответствует, должно быть меньше,5. Ответ почти очевиден: это 5. Но все же какое-то объяснение необходимо. Можно обратиться к калькулятору, а можно рассуждать так:,5 = 6,5; так как (5) <,5, то 5 <,5. Упражнение 70. а) Сначала находим, что 8< 7,5 < 9, а затем сравниваем числа 8,5 и 7,5. Так как 8,5 = 7,5<7,5, то 8,5< 7,5,

24 бөгөөд энэ нь 7.5 тоо нь 9-д ойртсон гэсэн үг юм. Асуудлыг шийдэхдээ мэдээжийн хэрэг та тооны машин ашиглах болно гэж үздэг. А бүлгээс бэлтгэл багатай ангиудад та даалгавруудаар хязгаарлагдах боломжтой (тэдгээр нь заавал тавигдах шаардлагын түвшинд нийцэж байгаа), мөн судалгааны асуудлыг авч үзэх 91. Дасгал 86. Сурах бичгийн 7-р зураг дээр үндэслэн асуудлыг шийдвэрлэв. Харааны үүднээс авч үзвэл хамгийн урт сегмент нь параллелепипедийн диагональ болох нь тодорхой байна. Диагональ уртыг таягны урттай харьцуулж үзье. Эхлээд суурийн диагональ l уртыг олъё: l= a + b = = 700 (см). Одоо d параллелепипедийн диагоналын уртыг олъё: d= (700) + 50 = 9800 (см). 9800 оноос хойш< 10000=100, то трость данных размеров поместить в коробку нельзя. Упражнение 90. Геометрически выражение a + b + c можно истолковать как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого a, b и с. В самом деле, из прямоугольного треугольника LMN имеем, что LM= a + b. А из прямоугольного треугольника KLN получим, что NM= c + (a + b) = a + b + c По неравенству треугольника a + b + c

25 10= + 1 ; 1= + ; 17= Гэхдээ үүнийг өөрөөр хийж болно. Тиймээс 10 урттай сегментийг дараах алгоритмыг ашиглан авч болно: 10 = (5) + (5). 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт Муравинагийн зохиогчид уг хэсгийг судлах ажлыг дараах дасгалуудаас эхлүүлэхийг санал болгож байна: Дасгал 15. y=x функцийн график цэгээр дамждаг уу: A(-;4) B(-) .5;1) C(;59) D (-6.5;4.5). Хариулт: А-тийм, Б-үгүй С-тийм Г-тийм. 17-р догол мөрөнд квадрат язгуурыг тооцоолох дасгалуудыг агуулна.Жишээ. Тооцоол 1105 тоог анхны хүчин зүйл болгон задлах замаар шийдэл гардаг. 1105= *5 * = 5 7 = (5 7) =*5*7=105 Хариулт: 105. 18-р зүйлд арифметик квадрат язгуурын шинж чанар, тэдгээрийг хэрэглэх даалгаврууд, радикал илэрхийллийг хялбарчлах, тооцоолох талаар танилцуулав. Жишээ 4. (х. 100) Хялбаршуулах (5). (5) = - 5 = 5-. Хариулт: 5-. Жишээ 5. 0, = 0, =0.8*4*5=80-ийг тооцоол. Хариулт 80. Жишээ 6. Тооцоол = =4 7. Хариулт: 4 7. 19-р зүйлд язгуур тэмдгийн доор үржүүлэгчийг нэмэх, хасах дасгалуудыг авч үзсэн бөгөөд илэрхийллийн утгыг харьцуулах даалгавруудыг мөн авч үзсэн болно. . 5

26 Жишээ 7. Илэрхийллийн язгуур тэмдгийн доор байгаа хүчин зүйлийг хас. 10 ба 90-ийн тоог анхны үржүүлэгч болгон хуваая: 10= **5, 90=* *5. Эндээс 10*90= 4 * * = 4 5 = **5* =60. Хариулт: =,5.. Хариулт:,5. Жишээ 8. (х. 105) Илэрхийллийг хялбарчлах = 5 = 5 = Жишээ 9. (х. 105) Үндэс тэмдгийн доор хүчин зүйлийг оруулна уу: 5 0.4. 5 0.4 = 5 0.4 = 5 0.4 = 10. Хариулт: 10. Жишээ 10. (х. 106) болон илэрхийллийн утгыг харьцуул. = 9 = 18 ба = 4 = 1. >. Хариулт: >. 0-р цэг нь квадрат язгууртай үйлдлүүд, бутархайг квадрат язгууртай хөрвүүлэх, илэрхийлэлийг хялбарчлах, үндэслэлгүй байдлаас өөрийгөө чөлөөлөхөд зориулагдсан. Жишээ 11. (х. 108) 54-р бутархайг хуваагч нь радикал агуулаагүй байхаар хөрвүүл. Хариулт: = 54 = 1 7 = 1 = 4= =. 9 Жишээ 1. (х. 109) Илэрхийлэлийг хялбарчлах =5 6 96=4 6 = = = =() 6=1 6 Хариулт:

27 Жишээ 1. (х. 109) Бутархайг хуваагч дахь иррационал байдлаас чөлөөл. =(). Хариулт: (). 6 = 6(1+ 10) 1 10 (1 10)(1+ 10) =6(1+ 10) = 6(1+ 10) =. Сургуулийн алгебрийн үндсэн хичээлийн “Дөрвөлжин үндэс” сэдвийг заах хэлбэр, арга, хэрэгсэл.Энэ хэсэгт бид хэвлэгдсэн нийтлэл, сургалтын хэрэглэгдэхүүнд үндэслэн уг сэдвийг судлах практик туршлагад дүн шинжилгээ хийх болно. С.Минаевагийн өгүүлэлд квадрат язгуурын тухай ойлголт нь геометрийн (талбайд нь үндэслэн квадратын хажуугийн уртыг олох тухай) болон алгебрийн гэсэн хоёр асуудлыг хэлэлцэх явцад судалж буй хичээлээр "гарч ирдэг" гэж тэмдэглэжээ. (х = a хэлбэрийн тэгшитгэлийн язгуурын тооны тухай, энд a нь дурын тоо). Эхний асуудлыг авч үзэхтэй холбогдуулан оюутнууд иррационал тооны талаархи анхны санааг олж авдаг. Бүлгийн агуулгад зохиогч алгебрийн уламжлалт бус асуулт болох Пифагорын теоремыг оруулсан болно. Үүнийг хэрчмүүдийн уртыг олох, иррациональ урттай сегмент, иррационал координаттай цэгүүдийг байгуулахад квадрат язгуурын байгалийн хэрэглээг харуулах зорилгоор хийсэн. Үүний зэрэгцээ, оюутнууд Пифагорын теоремын талаар анх хаана сонсох нь хамаагүй - геометрийн курс эсвэл алгебрийн хичээл дээр. Зохиолч мөн сургалтын хамгийн чухал үр дүн нь үзэл суртлын талаас гадна квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийн зарим хувиргалтыг (үндсэндээ тоон) хийх чадвар гэж мэдэгджээ. Оюутнууд мөн шоо язгуурын тухай ойлголттой танилцсан; Үүний зэрэгцээ тэд 7-р үндэсийн талаархи анхны санааг бий болгодог

28-р зэрэг. Эцэст нь, дасгалын системээр дамжуулан оюутнууд у = х ба у = х графикуудын талаар ойлголттой болно. Сэдвийн туршид зохиогч тооцоолуурыг зөвхөн үндсийг задлах хэрэгсэл төдийгүй зарим онолын санааг харуулах хэрэгсэл болгон өргөнөөр ашигладаг гэж үздэг. Шоо үндсийг гаргаж авахын тулд тооцоолуур ашиглах шаардлагатай байгаа тул n эерэг тооны язгуурын өөр тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн: a = a 1 n. В.Ольховын нийтлэлд “Дөрвөлжин үндэс” хэсгийг судлахдаа нийлмэл радикалыг хувиргахад онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэйг онцолжээ. Зохиогч нь тухайн сэдвийг судлахдаа оюутантай бие даан ажиллах хэлбэрийн жишээг өгснөөр дараахь аргачлалыг санал болгож байна: Математикийн ангийн сурагчаас x - 7x + 10 тэгшитгэлийн үндсийг сонгох замаар олохын тулд Математикийн ангийн сурагчаас Виетийн теоремыг ашиглахыг хүссэн. = 0, тэр үүнийг нэг их төвөгшөөлгүй хийсэн: X 1 = 5, X = (Асуултын энгийн байдалд би бага зэрэг гомдсон). Дараа нь 7 ± 10 гэсэн илэрхийллийг хялбарчлахыг санал болгов. Энд бид радикалын дор бүрэн квадратыг харах ёстой. Өмнө нь A ± B = A A B ± A A B томьёог бичээд (1) түүнд тодорхой тоон утгыг орлуулж, ± = 5 ± олж авсан. Гэхдээ өмнөх жишээтэй шууд аналоги байна 7=5 +, 10=5*, өөрөөр хэлбэл 7 ± 10 = 5 + ± 5 = (5 ±) = 5 ± Үүний дараа оюутан хэд хэдэн жишээг бие даан шийдсэн: 8

29 6 ± 4 = 6 ± 8 = 4 + ± 4 =±, 1 ± 48= 1 ± 1 = ± 1 1= 1 ± 1, 18 ± 18= 18 ± = 16 + ± 16 =4±, 7 ± 4 = 7 ± 1 = 4 + ± 4 =± гэж хэлээд (1) томъёо хэрхэн үүссэнийг одоо ойлгож байна, гэхдээ үүнийг тусгайлан санах шаардлагагүй юм. A ± B= A ± B 4. Тэгшитгэл байгуулъя: X AX + B = 0. 4 X 1 = A+ A B, X = A A B ; A ± B= A ± B 4 = X 1 + X ± X 1 X = X 1 ± X = A+ A B ± A A B, энд A>0, B>0, A -B>0, томъёо нь A үед хялбарчлагдсан болно. - Яг дөрвөлжин. Дасгал 1. = гэдгийг харуул. = 1 + Өгүүллийн зохиогч, В.И. Седакова дөрвөлжин үндсийг гаргаж авах гэх мэт толгойндоо үйлдлүүдийг хурдан гүйцэтгэх боломжийг олгодог энгийн аргуудыг санал болгодог. Эдгээр аргууд нь ангид бүтээмжийг нэмэгдүүлэх боломжтой, учир нь аман болон хагас аман дасгалууд нь хичээл дээр их хэмжээний материалыг судлах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь багшид 9-р ангийн бэлэн байдлыг дүгнэх боломжийг олгодог.

Шинэ материал сурах 30. Энэ материал нь ирээдүйн математикийн багш нарт хэрэг болно. Сургуульд математикийн хичээл заах гол зорилгын нэг нь сурагчдын ухамсартай, хүчирхэг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэх явдал юм. Тооцооллын ур чадвар нь математикийн ур чадварын чухал бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Амны арифметикийн сэдэв нь улсын эцсийн гэрчилгээ (FSE) болон улсын нэгдсэн шалгалтын (USE) үед ялангуяа тооцоолох төхөөрөмжийг ашиглахыг хориглодог. Ажлын бусад хэлбэрүүдтэй хослуулан аман дасгалууд нь оюутны янз бүрийн үйл ажиллагааг идэвхжүүлэх нөхцлийг бүрдүүлэх боломжийг олгодог: сэтгэлгээ, яриа, моторт ур чадвар. Тийм ч учраас математикийн хичээл бүрт оюун ухааны тооцоолол бүхий дасгал хийхэд 10 хүртэл минут хуваарилах шаардлагатай байдаг. Тооцоолох чадварыг бий болгох нь нарийн төвөгтэй бөгөөд системтэй үйл явц юм. Энэ нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ: Ур чадвар төлөвшүүлэх эхний шат бол ур чадварыг эзэмших явдал юм. Хоёр дахь шат бол ур чадварыг автоматжуулах үе шат юм. Ур чадварын автоматжуулалт гэдэг нь амаар, практик дээр тэмдэглэл, тэмдэглэл хийхгүйгээр дасгал хийх явцад үр дүнд хүрэх явдал юм. Оюутнуудад зориулсан “Дөрвөлжин язгуур” сэдвээр оюуны тооцооллын аргыг танилцуулъя. Олон оронтой натурал тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах. Эхлээд натурал тоотой ажиллахад ашиглаж болох квадрат язгуурыг ерөнхий хэлбэрээр гаргаж авах алгоритмыг бичье. 1. Бүлэг тус бүрт зэргэлдээх хоёр цифрийг оруулан тоонуудыг бүлэгт (баруунаас зүүн тийш, сүүлчийн цифрээс эхлэн) хуваа. Энэ тохиолдолд сүүлийн бүлэгт нэг оронтой тоо (хэрэв тоо сондгой тоотой бол), тэгш тоотой бол хоёр оронтой байж болно. Энэ тооны бүлгийн тоо нь үр дүнгийн цифрүүдийн тоог харуулна.

31. Бид хамгийн том тоог сонгоно, ингэснээр түүний квадрат нь сүүлчийн бүлгийн тооноос хэтрэхгүй (баруунаас зүүн тийш тоолох); энэ нь үр дүнгийн эхний цифр юм.Үр дүнгийн эхний цифрийг квадрат болгож, сүүлийн бүлгээс гарсан тоог хасаад баруун талд байгаа олдсон зөрүү дээр төгсгөлийн өмнөх бүлгийг нэмье. Бид тодорхой A тоог авна. Үр дүнгийн одоо байгаа хэсгийг хоёр дахин нэмэгдүүлснээр бид a тоог авна. Одоо а ба х тоонуудын үржвэр нь А тооноос хэтрэхгүй байхаар x тоог сонгоцгооё. X тоо нь үр дүнгийн хоёр дахь орон юм. 4. А тооноос х-ийн үржвэрийг хасаад, баруун талд байгаа олдсон зөрүү дээр гурав дахь бүлгийг нэмбэл тодорхой B тоо гарна. Үр дүнгийн одоо байгаа хэсгийг хоёр дахин нэмэгдүүлснээр бид b тоог авна. Одоо y-ийн үржвэр нь В тооноос хэтрэхгүй байхаар хамгийн том y цифрийг сонгоцгооё. Y цифр нь үр дүнгийн гурав дахь орон юм. 5. Дүрмийн дараагийн алхам нь 4-р алхамыг давтана. Энэ нь эхний бүлгийн тоог ашиглах хүртэл үргэлжилнэ. Жишээ 14. Үр дүн нь ойлгомжтой, энгийн жишээ ашиглан энэ алгоритмыг үзүүлье. 144-ийг бодъё. Хоёр аравт доторх натурал тоонуудын квадратуудын хүснэгтээс 144 = 1 гэдэг нь мэдэгдэж байна. 144 тоонд баруунаас зүүн тийш 1/44 гэсэн хоёр цифрийг салгав. Бид хоёр бүлэг тоо авсан тул үр дүн нь хоёр оронтой тоо байх болно. Бид квадрат нь хоёр дахь бүлгийн тооноос хэтрэхгүй тоог сонгоно (баруунаас зүүн тийш тоолох), энэ нь 1 тоо юм. Манай тохиолдолд энэ тоо 1 байх болно, учир нь түүний квадрат нь нэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь хариулт нь аравтын орон дахь 1-ийн тоог агуулна гэсэн үг юм. 144-ийн тооноос гарсан аравтын тоог хасаад үлдсэн нь 44-ийн тоо болно. Хариулт дээрх нэгийн тоог тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд зүүн талд гарч ирсэн аравтын оронтой тоог үржүүлээрэй. Үүнийг 1-ийг сонгоцгооё

32 гэдэг нь тоо бөгөөд өөрөө үржүүлж үржүүлсэн тоо нь 44 болно. Иймээс энэ тоо нь 144-ийн квадрат язгуурыг авахдаа 1 гэсэн тоог авна. Бид 1_ хариултын тоог сонгоно. Хариулт: 144=1. Жишээ 15. Таван оронтой тооноос квадрат язгуур гаргаж авах үйл явцыг авч үзье.Хариултын цифрүүдийг сонго 4 Хариулт: 54756=4. Эхний бүлгийн дүгнэлт 1-р бүлэгт Холбооны Улсын Боловсролын Стандарт ХХК болон математикийн хөтөлбөрт суурилсан суурь сургуулийн алгебрийн хичээлд "Квадрат үндэс" сэдвийг заах үндсэн зорилго, зорилтуудыг авч үзсэн. Энэ сэдвээр 8-р ангийн алгебрийн сурах бичигт онолын болон асуудалд суурилсан материалд хийсэн дүн шинжилгээ нь сурах бичгийн зохиогчид квадрат язгуурын тухай ойлголт, квадрат язгуурыг тооцоолох чадварыг хөгжүүлэхэд чиглэсэн дасгалын системийг хоёуланг нь нэвтрүүлэхэд янз бүрийн арга хэрэглэдэг болохыг харуулж байна. тоон илэрхийллийг хялбарчлах. Нийтлэл, сургалтын хэрэглэгдэхүүн дээр үндэслэн "Дөрвөлжин үндэс" сэдвийг судлах практик туршлагын дүн шинжилгээ нь оюутнуудад энэ сэдэв нэлээд хэцүү гэж дүгнэх боломжийг олгодог. Гэсэн хэдий ч, зохих дасгалууд болон тусгай техникүүдийн тусламжтайгаар та квадрат язгуурын тухай ойлголт, түүний үндсэн шинж чанаруудын талаар хатуу ойлголттой болж чадна.

33 II БҮЛЭГ. СУРГУУЛИЙН АЛГЕБРИЙН СУУРЬ ХИЧЭЭЛИЙН “Квадрат үндэс” СЭДВИЙГ ЗОХИОН БАЙГУУЛАХ АРГА ЗҮЙН ЗӨВЛӨМЖ 4. Сургуулийн суурь алгебрийн хичээлийн үндсэн мэдлэг, ур чадварт чиглэсэн “Дөрвөлжин үндэс” сэдвийн бодлого. Үндэс” алгебрийн сурах бичигт 8-р ангийн 4 бүлэгт нөхцөлт хувааж болно: Бүлэг 1. Квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийн утгыг олох даалгавар. Бүлэг. Арифметик квадрат язгуур ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодлого. Бүлэг. Квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийг хялбарчлах, харьцуулахтай холбоотой асуудлууд. Бүлэг 4. Квадрат язгуурын бодлого. Бодлогын жишээг авч үзье: Бүлэг 1. Квадрат язгуур агуулсан илэрхийллийн утгыг олох бодлого. Жишээ 1. Илэрхийллийн утгыг ол: a) 1.5 0.1 0.5 b) 9 c) 16,. Шийдэл: a) Арифметик язгуурын тодорхойлолтоос үзэхэд 1.5=.5, учир нь,5 > 0 ба,5 = 1.5; 0.5= 0.5, учир нь 0.5 > 0 ба 0.5 = 0.5..5 0.1 0.5 = 7 0.05= 6.95 b) 9 = 9, учир нь 9 = 9 = 9

34 в) Энэ илэрхийлэл утгагүй, учир нь дурын тооны квадрат нь сөрөг бус тоо юм. Хариулт: a) 6.95; б) 9; в) илэрхийлэл утгагүй байна Жишээ. Хуваагчаас иррационалыг арилгах: 1 a) 4 b) 7 c) Шийдэл: 1 a) (1())() 4 1 б) 7 4 (7 4(7)() 7) 4(7 7) 4( 7 4) 7 в) ((5 5 7)(7)(5 5 7) 7) (5 5 7) (5 6) 5 6 (Бутархайн хуваагч дахь иррационал байдлаас ангижрах шинэ аргыг ашигласан. - түүний коньюгатаар үржүүлэх). Хариулт: a) + b) 7 + c) 5 6 Бүлэг. Квадрат тэгшитгэлийг арифметик язгуур ашиглан шийдвэрлэх жишээ. 10x 14 = 11 илэрхийлэл дэх х-ийн утгыг ол. 4

35 10x 15 x 1.5 Шийдэл: 10x x 14 x 15:10 10x x Шалгах: , Хариулт: x = 1.5. 4 x x Жишээ 4. 4 x = 1 илэрхийллийн x-ийн утгыг ол. Шийдэл: x 1 Шалгах: Хариулт: x Бүлэг. Энэ бүлэгт бид илэрхийллийг хялбарчлах даалгавруудыг нэгтгэх болно. Жишээ 5: Илэрхийлэлийг хялбарчлах: 5

36 6 Шийдэл: Бутархайн хуваагч дахь иррациональ байдлаас ангижрахын тулд хуваагч нь зөрүүтэй байвал энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг нийлбэрээр үржүүлэх, эсвэл энэ бутархайн хуваагчийг ялгавараар үржүүлэх шаардлагатай. хуваагч нь нийлбэр агуулсан) () ())(( ))(() ())(())(())(())((Хариулт: 4 6 Жишээ 6. Илэрхийллийг хялбарчлах: 8 4 Шийдэл: Хариу: 6 Жишээ 7. Илэрхийллийг хялбарчлах: .5 8 Шийдэл: .5 8 (Үйлдвэрийн арифметик квадрат язгуурыг ашигладаг.) ​​Хариулт: 5

37 Бүлэг 4. квадрат язгуур. Энэ бүлэгт бид задлах бодлогуудыг санал болгоно. Жишээ 8. Илэрхийллийн үндсийг задлах Шийдэл: 5a 6 49 Бутархайн арифметик квадрат язгуурыг гаргаж авах теоремыг ашиглая. 5a a a a a 7 6 Бүтээгдэхүүний арифметик квадрат язгуурыг гаргаж авах теоремыг ашиглая. 5a a a a a 6 Дараа нь бид дараах теоремыг ашиглана: дурын a тооны хувьд дараах тэгшитгэл биелнэ: a a a 5a 5a 5 a 5 (a) 5 a 5 a Хариулт: Хэрэв a 0 бол хэрэв a< 0, то 5 a 7 5 a a 5 7 a Пример 9. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) a a 1) x x 5 7

38 1) a Шийдэл: a a a a a a (Эсрэг чиглэлд үржвэрийн арифметик квадрат язгуур авах теоремыг ашигласан)) x x x x x x x x (Эсрэг чиглэлд үржвэрийн арифметик квадрат язгуур авах теоремыг ашигласан). Хариулт: 1) a) x 11x 4 1) 64 Жишээ 10. Үндэсийг задлах: x) 400 a, энд a< 0 Решение: 1) 11x x x 4 11 (x 8) 11 x 8 11x 8 1 x 8) 400 a a a a 0 a (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения и теорема: a a). Ответ: 1) 1 x 8 0 a 8

39 Уг нийтлэлд үндэс бүхий тоон илэрхийллийг хялбарчлахад чиглэсэн олон талт дидактик материалыг (карт дээрх даалгавар) санал болгож байна. Тэд математикийн багшид бие даасан эсвэл тестийн ажлыг зохион байгуулахад туслах нь дамжиггүй. Сонголтуудын даалгаврыг өгье. Сонголт 1 1. Хялбарчлах: Хялбарчлах: Хуваагчийн утгагүй байдлыг арилгах: Илэрхийллийг хялбарчлах Тооцоолох: 7 * 6+4 илэрхийллийг хялбарчлах 4, Илэрхийллийн утгыг олох 8. Тооцоолох: * Илэрхийллийн утгыг ол 10. Хялбарчил. ()(75 7) илэрхийллийг гаргаж, гарсан тоо нь x 0 = 0 тэгшитгэлийн язгуур болохыг батал. Хувилбар 1. Хялбарчил:

8 АНГИЙН АЛГЕБРИЙН АЖЛЫН ХӨТӨЛБӨР (ерөнхий боловсролын түвшин) Эмхэтгэсэн: Математикийн багш Тихонов В.А.; Хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэх хугацаа: 1 жил Ажлын хөтөлбөр нь холбооны үндсэн дээр хийгдсэн

МАТЕМАТИКИЙН ТАЙЛБАРТ ТАЙЛБАР: Энэхүү ажлын хөтөлбөрийг Ерөнхий ерөнхий боловсролын улсын боловсролын стандартын Холбооны бүрэлдэхүүн хэсэг, суурь ерөнхий боловсролын хөтөлбөрийн үндсэн дээр боловсруулсан болно.

Пенза хотын MBOU 30-р дунд сургуулийн математикийн ерөнхий боловсролын ажлын хөтөлбөр (5-р анги) Тайлбар бичиг баримт бичгийн байдал 5-р ангийн математикийн ерөнхий боловсролын ажлын хөтөлбөр

5-р ангийн математикийн ажлын хөтөлбөрийн хураангуй. Тайлбар тэмдэглэл 5-р ангийн 2016-2017 оны хичээлийн жилийн математикийн ажлын хөтөлбөрийг дараахь үндсэн дээр эмхэтгэсэн болно: 1. Холбооны хууль 273 Холбооны хууль 12/29/2012

Тайлбар тэмдэглэл Математикийн ажлын хөтөлбөрийг дараахь зохицуулалтын баримт бичиг, арга зүйн зөвлөмжийн үндсэн дээр боловсруулсан болно: 1. Суурь боловсролын холбооны улсын боловсролын стандарт.

Тайлбар тэмдэглэл. Энэхүү ажлын хөтөлбөр нь 8-р ангийн сурагчдад зориулагдсан бөгөөд дараахь баримт бичгийн үндсэн дээр хэрэгжинэ. Анхан шатны ерөнхий, үндсэн ерөнхий, дунд боловсролын улсын стандарт

2017-2018 оны хичээлийн жилд МАТЕМАТИКИЙН 5-6-р ангийн сургалтын хөтөлбөр ХУРААНГУУД Энэхүү ажлын хөтөлбөрийг Холбооны Улсын Боловсролын хуулийн үндсэн заалтуудын дагуу боловсруулсан болно.

Белгород хотын "17-р дунд сургууль" хотын төсвийн боловсролын байгууллага "Зөвшилцсөн" Боловсролын сургуулийн дарга Н.А.Ильминская 20 "Тохирсон" протоколын орлогч

5-р ангийн математикийн ажлын хөтөлбөр ТАЙЛБАР: 5-р ангийн сурагчдад зориулсан математикийн ажлын хөтөлбөрийг ОХУ-ын Батлан ​​хамгаалах яамны 2007 оны хөтөлбөрийн үндсэн дээр боловсруулж, ОХУ-ын Батлан ​​хамгаалах яам, зохиогчийн

Москва мужийн хурал дээр авч үзсэн соёлын болон MKOU LSOSH 1 технологийн үйл ажиллагааны багш нарын захирал M.M. Костин болон SPL үйлчилгээний тушаал 2017 оны 9-р сарын 01-ний өдрийн 109 протокол 01. 2017 оны 9-р сарын 01-ээс

Ерөнхий боловсролын суурь боловсролын хөтөлбөрийн хавсралт, 208 оны 8-р сарын 30-ны өдрийн 488os тушаал. Тюмень муж Ханты-Мансий автономит тойрог Югра Нижневартовск дүүрэг хотын төсөв

1. Тайлбар тэмдэглэл 9-р ангийн алгебрийн ажлын хөтөлбөрийг зохицуулалтын баримт бичиг, мэдээлэл, арга зүйн материалд үндэслэн эмхэтгэсэн: 1. ОХУ-ын боловсролын тухай: Холбооны

8-р ангийн алгебрийн сургалтын материалын хуанли-сэдэвчилсэн төлөвлөлт. Тайлбар тэмдэглэл 8-р ангийн алгебрийн хуанли-сэдэвчилсэн төлөвлөлтийг жишээ хөтөлбөрийн үндсэн дээр эмхэтгэсэн болно.

Суурь ерөнхий боловсролын суралцагчдын бэлтгэлийн түвшинд тавигдах шаардлага: Оюутнууд дараахь зүйлийг мэдэж байх/ойлгох ёстой: - онол практикт гарч буй асуудлыг шийдвэрлэхэд математикийн шинжлэх ухааны ач холбогдлыг; өргөн ба нэгэн зэрэг

АЖЛЫН ХӨТӨЛБӨР Боловсролын 8-р хичээлийг судалдаг анги (түвшин) Сэдвийн чиглэл Математик, компьютерийн шинжлэх ухаан Эрдмийн хичээл Математик (алгебр) 2017-2018 оны хичээлийн жил Жилийн цагийн тоо 102

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага Химки дэх 4-р биеийн тамирын заал БАТЛАВ: MBOU Gymnasium 4-ийн захирал / Н.Н. Козельская / 2015 оны тушаал Алгебрийн ажлын хөтөлбөр (үндсэн түвшин) 8-р анги

Сургуулийн сурган хүмүүжүүлэх зөвлөлийн 2009 оны хурлаар хэлэлцэв.“Зөвшилцөв” МБОШИ “КШИ” сургуулийн дэд захирал Миннеханова Г.Р. 2009 "Батлагдсан" MBOSHI "KSHI" компанийн захирал Таипова А.Р. 2009 он

ХАРСАН: Москва мужийн хуралд / ЗЮМуртазаева Пр-аас ЗӨВЛӨСӨН: Боловсролын асуудал эрхэлсэн орлогч захирал / Е.К.Хайретдинова БАТЛАВ: Сургуулийн захирал / Л.М.Аметова Пр АЖЛЫН ХӨТӨЛБӨР 8 A MBOU дахь алгебрийн чиглэлээр "Старокрымская ХАБЭА"

Агуулга. Тайлбар тэмдэглэл 3 хуудас Сургалтын төлөвлөгөөнд тухайн эрдмийн хичээлийн байр суурийг тодорхойлсон сургалт, арга зүйн багц хяналтын хичээлийн хэлбэрийг эзэмшсэнээр төлөвлөсөн үр дүн 2. Боловсролын сэдвийн агуулга

ХОТЫН ТӨСВИЙН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА Сонсголын бэрхшээлтэй 8-р ангийн сурагчдад зориулсан ЛИПецкийн 40-р ДУНД СУРГУУЛЬ АЛГЕБРИЙН АЖЛЫН ХӨТӨЛБӨР

Тайлбар тэмдэглэл Ерөнхий боловсролын сургуулийн 8-р ангийн сурагчдад зориулсан "Алгебр" эрдмийн хичээлийн энэхүү ажлын хөтөлбөрийг ерөнхий ерөнхий боловсролын зохиогчийн хөтөлбөрийн үндсэн дээр боловсруулсан болно.

Тайлбар: Ерөнхий боловсролын 8-р ангийн энэхүү алгебрийн хөтөлбөрийг улсын ерөнхий боловсролын стандартын холбооны бүрэлдэхүүн хэсэг дээр үндэслэн боловсруулсан болно.

1. Эрдмийн хичээлийг эзэмшсэнээр төлөвлөсөн үр дүн 6-р ангид “Математик” хичээлийг судалсны үр дүн нь дараах ур чадваруудыг бүрдүүлнэ: “Арифметик” хичээлийн чиглэл: гүйцэтгэх.

Математикийн ажлын хөтөлбөрийн хавсралт Мурманск муж, Кола дүүрэг, х. Минкино улсын бүсийн төсвийн боловсролын байгууллага "Минкино засч залруулах дотуур байр"

Математикийн 6-р ангийн ажлын хөтөлбөр. 1. Хуанли-сэдэвчилсэн хичээлийн төлөвлөгөө Сургалтын хэсэг, сэдэв Огноо Цагийн тоо 1-р улирал (42 хичээл) 1. Тооны хуваагдал (20 хичээл) 1.09-28.09 1-3 Хуваагч

ТӨЛӨВЛӨСӨН ҮР ДҮН Хувийн метасубъект Шинжлэх ухаан, технологийн бүх нийтийн хэл, үзэгдэл, үйл явцыг загварчлах хэрэгсэл болох математикийн санаа, аргачлалын талаархи анхны санаа;

1 ТАЙЛБАР: 9-р ангийн "Алгебр" хичээлийн ажлын хөтөлбөрийг ерөнхий боловсролын улсын стандартын холбооны бүрэлдэхүүн хэсэг дээр үндэслэн боловсруулсан болно. Энэ ажлын хөтөлбөр

Тайлбар тэмдэглэл 8-р ангийн алгебрийн ажлын хөтөлбөр нь бага ерөнхий, үндсэн ерөнхий, дунд (бүрэн) ерөнхий боловсролын улсын боловсролын стандартын Холбооны бүрэлдэхүүн хэсэгтэй тохирч байна.

Тайлбар тэмдэглэл Ажлын хөтөлбөрийг дараахь үндсэн дээр боловсруулсан болно: - Математикийн үндсэн ерөнхий боловсролын улсын боловсролын стандартын холбооны бүрэлдэхүүн хэсэг - Математикийн загвар хөтөлбөрүүд.

БҮЛЭГ АЛГЕБРЫН ОРШИЛ.. Квадрат гурвалсан... нийлбэр ба үржвэрээс хоёр тоог олох Вавилоны бодлого. Алгебрийн хамгийн эртний асуудлуудын нэг нь өргөн тархсан Вавилонд санал болгосон

Тайлбар тэмдэглэл. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 6-р ангийн сурагчдад зориулсан "Математик" хичээлийн энэхүү ажлын хөтөлбөрийг С.М. Никольский, М.К. Потапов,

ТАЙЛБАРЫН ТАЙЛБАР. (Математикийн 5-р анги) Энэхүү ажлын хөтөлбөрийг ОХУ-ын Боловсролын яамны ерөнхий боловсролын байгууллагуудад зориулсан математикийн улсын хөтөлбөрийн дагуу боловсруулсан болно.

Тайлбар тэмдэглэл Алгебр дахь ажлын хөтөлбөрийг дараахь зохицуулалтын эрх зүйн баримт бичгүүдэд үндэслэн боловсруулсан болно: 2012 оны 12-р сарын 29-ний өдрийн 273-ФЗ "ОХУ-ын боловсролын тухай" Холбооны хууль; Захиалга

Тайлбар тэмдэглэл 8-р ангийн алгебрийн ажлын хөтөлбөрийг хоёрдугаар үеийн ерөнхий боловсролын холбооны улсын боловсролын стандартын заалтын дагуу эмхэтгэсэн болно.

Баримт бичгийн статус Тайлбар тэмдэглэл Суурь ерөнхий боловсролын сургуулийн 8-р ангийн (ахисан түвшний) алгебрийн энэхүү ажлын хөтөлбөрийг муж улсын холбооны бүрэлдэхүүнд үндэслэн эмхэтгэсэн болно.

Хянасан Хүлээн зөвшөөрөгдсөн Москвагийн математикийн багш нарын холбоо хурлаар батлагдсан Хотын боловсролын байгууллагын ерөнхий боловсролын сургуулийн захирал 26.08-ны өдрийн 1 протокол. 2014. сурган хүмүүжүүлэх х. Поима БХЯ-ны дарга Праслова О.М. Зөвлөл Родионова О.И. Протокол 1

1-р лицей “Спутник” хувийн боловсролын байгууллагыг ХЭЛЭЛЦЭВ “Спутник” 1-р лицей сургуулийн арга зүйн зөвлөлийн хурлаар 2017 оны тэмдэглэл. "Спутник" 1-р лицей сургуулийн арга зүйн зөвлөлийн дарга Урсул

Ажлын хөтөлбөрийн хураангуй 8-р анги, алгебр ТАЙЛБАР: Суурь дунд сургуулийн 8-р ангийн алгебрийн хичээлийн ажлын хөтөлбөрийг дараахь үндсэн дээр эмхэтгэв: Мужийн холбооны бүрэлдэхүүн хэсэг.

1. Тайлбар тэмдэглэл. Алгебрийн ажлын хөтөлбөрийг зохиогчийн "Алгебр 8-р анги" хөтөлбөрт үндэслэсэн болно. авто Макарычев болон бусад улсын бүрэлдэхүүн хэсгийн боловсролын сэдвүүдийн агуулгын дагуу

2018 ОНЫ 2019 ОНЫ ХИЧЭЭЛИЙН ЖИЛИЙН 7 "А" АНГИЙН АЛГЕБР ГЕОМЕТРИЙН АЖЛЫН ХӨТӨЛБӨР Хөтөлбөр боловсруулагч багш Виктор Александрович Паленный 2018 Ажлын хөтөлбөрийн онцлог: Дасан зохицсон хэлбэрээр

Хотын төсвийн боловсролын байгууллага ЕБС 4 Сурган хүмүүжүүлэх зөвлөлөөр хэлэлцсэн 31.08-ны өдрийн 1-р протокол. 2017 2017.08.31-ний өдрийн 162 дугаар тушаал БАТЛАВ: Захирал

2018 онд математикийн дунд шатны гэрчилгээ олгох туршилт, хэмжилтийн материал, 7-р анги Тайлбар тэмдэглэл Ажлын агуулгыг ОХУ-ын Холбооны хуульд заасны дагуу боловсруулсан болно.

Тайлбар тэмдэглэл Зохицуулах баримт бичиг Ажлын хөтөлбөрийг дараахь үндсэн дээр боловсруулсан болно: ОХУ-ын Холбооны хуулийн 9..0 73-ФЗ "ОХУ-ын боловсролын тухай" холбооны бүрэлдэхүүн хэсэг.

Тайлбар тэмдэглэл Ажлын хөтөлбөрийг дараахь үндсэн дээр боловсруулсан болно: ОХУ-ын Боловсролын яамны 2004 оны 3-р сарын 05-ны өдрийн 1089 "Улсын боловсролын стандартын холбооны бүрэлдэхүүн хэсгийг батлах тухай" тушаал.

1. СЭДВИЙГ МЭДЛЭГДСЭН ТӨЛӨВЛӨГӨӨН ҮР ДҮН Бага ангид математикийн хичээлийг судалснаар дараах үр дүнд хүрэх боломжтой: Хувь хүний ​​хөгжлийн чиглэлээр: - ойлгомжтой, ойлгомжтой,

ТАЙЛБАР: 8-р ангийн алгебрийн ажлын хөтөлбөрийг хоёрдугаар үеийн ерөнхий боловсролын холбооны улсын боловсролын стандартын заалтын дагуу эмхэтгэсэн болно.

8-р ангийн алгебрийн хичээлийн хуанлийн сэдэвчилсэн төлөвлөлтийн боловсролын хөтөлбөрийн хавсралт "АЛГЕБРА 8" сурах бичиг, зохиолч Ю.Н.Макарычев болон бусад, С.А.Теляковский найруулсан Багш: Дудникова

Тайлбар тэмдэглэл Бага сургуулийн алгебрийн хөтөлбөрийг дараахь шаардлагын дагуу эмхэтгэсэн болно: - суурь ерөнхий боловсролын улсын боловсролын стандартын холбооны бүрэлдэхүүн хэсэг.

Тайлбар тэмдэглэл 8-р ангийн алгебрийн ажлын хөтөлбөрийг (гүнзгийрүүлсэн сургалт) улсын боловсролын стандартын холбооны бүрэлдэхүүн хэсэг болох алгебрийн хөтөлбөрийн дагуу эмхэтгэсэн болно.

ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ НОВОСИБИРСК УЛСЫН ИХ СУРГУУЛИЙН МЭРГЭЖИЛ БОЛОВСРОЛ, ЭРДЭМ ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ТӨВ Математик 8-р анги Олон гишүүнт Новосибирскийн олон гишүүнт рационал

Ажлын хөтөлбөрийг зохицуулалтын баримт бичгийн дагуу боловсруулсан болно. "ОХУ-ын боловсролын тухай" Холбооны хууль 202.02.29-ний 273-ФЗ, Холбооны улсын боловсролын байгууллагын шаардлага.

Тайлбар тэмдэглэл Энэхүү ажлын "Алгебр" хөтөлбөрийг дараахь үндсэн дээр боловсруулсан болно: - 2012 оны 12-р сарын 29-ний өдрийн 273-ФЗ Холбооны хууль (2015 оны 7-р сарын 13-нд нэмэлт, өөрчлөлт оруулсан) "ОХУ-ын боловсролын тухай"; - зохиогчийн эрх дээр үндэслэсэн

Ажлын хөтөлбөрийг зохицуулалтын баримт бичгийн дагуу боловсруулсан болно: 29.2.202-ны өдрийн 273-ФЗ "ОХУ-ын боловсролын тухай" холбооны хууль. 2. ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яамны тушаал

Бүгд Найрамдах Казахстан Улсын Ерөнхий болон мэргэжлийн боловсролын яам

улсын төсвийн боловсролын байгууллага

Ростов муж дахь мэргэжлийн анхан шатны боловсрол

5-р мэргэжлийн сургууль

Практик ажил

EDP-ийн сахилга бат. 01."Математик: алгебр ба зарчим

математик шинжилгээ; геометр"

энэ сэдвээр: “Үндэс, зэрэглэл, логарифм агуулсан илэрхийллийн хувиргалт».

Учир ньоюутнууд Iмэдээж

Г. Ростов-на-Дону

2017 он

1-р хэсэг. Алгебр.

Сэдэв 1.2. Үндэс, хүч ба логарифм.

Практик хичээл №1.

Сэдэв: "Үндэс, хүч, логарифм агуулсан илэрхийллийн хувиргалт."

Зорилтот:мэдэх радикал, хүч ба логарифмын шинж чанарууд; тэдгээрийг хэзээ хэрэглэх боломжтой үндэс, зэрэглэл, логарифм агуулсан илэрхийллүүд дээр хувиргалт хийх.

Цагийн тоо : 1 цаг.

Онолын материал.

Үндэс.

Үндэс олох үйлдэлn-р зэрэг, үндэс олборлолт гэж нэрлэдэгn--р зэрэг.

Тодорхойлолт. Байгалийн зэрэглэлийн арифметик язгуурnСөрөг бус тооны a-ийн ≥ 2-ыг сөрөг бус тоо гэнэ.nр зэрэг нь a-тай тэнцүү байна.

Хоёр дахь зэрэглэлийн арифметик язгуурыг квадрат язгуур, гуравдугаар зэргийн язгуурыг шоо язгуур гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл.

Тооцоолох:

Арифметик үндэсn-р зэрэг нь дараахь шинж чанартай байдаг.

a ≥ 0 бол b > 0 ба n, м- натурал тоо, баn ≥ 2, м≥ 2, тэгвэл

1. 3.

2. 4.

Арифметик язгуурын шинж чанарыг ашиглах жишээ.

Рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд.

Аливаа рационал тоо p ба k, ямар ч a > 0 ба b > 0 хувьд тэгшитгэл нь үнэн юм.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. .

Зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглах жишээ:

1). 7*

4). .

Тооны логарифм

Тодорхойлолт. Эерэг тооны логарифмбсуурь a, хаанаа > 0, а≠ 1, тоог өсгөх ёстой илтгэгч гэж нэрлэдэга, олж авах б.

а = б нь үндсэн логарифмын таних тэмдэг юм.

Логарифмын шинж чанарууд

Болъё а > 0, а ≠ 1, б>0, c >0, k – дурын бодит тоо. Дараа нь томъёонууд хүчинтэй байна:

1 . бүртгэл ( МЭӨ ) = logb + logc , 4. logb = ,

2. log = logb - бүртгэл в, 5.бүртгэл a = 1 ,

3. бүртгэл б = хүртэл * logb , 6. бүртгэл 0 = 1 .

Томьёог ашиглах жишээ:

log2 + бүртгэл 18 = бүртгэл( 2 * 18 ) = бүртгэл 36 = 2;

бүртгэл 48 - бүртгэл 4 =лог= бүртгэл 12 = 1;

бүртгэл 9 = * бүртгэл 9 = .

Өөрийнхөө төлөө шийд .

Даалгаврууд.

1 сонголт

1. Тооцоолох:

1) ; 4) бүртгэл ;

2) ; 5) 0,5;

3) ; 6) 3 бүртгэл 2 - бүртгэл 64.

2 бол x = 7.

3. Тоонуудыг харьцуулна уу:бүртгэл 11 ба бүртгэл 19.

4. Хялбарчил: 1) ; 2) .

5. Тооцоол: бүртгэлбүртгэлбүртгэл 3.

_________________________________________________________________

Сонголт 2

1. Тооцоолох:

1) ; 4) бүртгэл 64;

2) ; 5) ;

3) ; 6) 2 бүртгэл 3 - бүртгэл 81.

2. Илэрхийллийн утгыг ол. y = 2 бол 3.

3. Тоонуудыг харьцуулна уу:бүртгэлТэгээд бүртгэл.

4. Хялбарчил: 1) ; 2) .

5. Тооцоол: бүртгэлбүртгэлбүртгэл 2.

__________________________________________________________________

Үнэлгээний шалгуурууд:

11 зөв даалгавар - "5";

9 - 10 зөв даалгавар - "4";

7 - 8 зөв даалгавар - "3".

Башмаков. M.I. Математик: ТББ ба ТББ-уудад зориулсан сурах бичиг. - М.:

"Академи" хэвлэлийн төв, 2013 он.

Алимов Ш.А. болон бусад Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10 (11) нүд - М.: 2012 он.

Алгебр. 9-р анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг, бодлогын ном. байгууллагууд/

А.Г. Мордкович нар - М.: Мнемосине, 2009.

Алгебр. 8-р анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг, бодлогын ном. байгууллагууд/

А.Г. Мордкович нар - М.: Мнемосине, 2008.

Алгебр. 7-р анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг, бодлогын ном. байгууллагууд/

А.Г. Мордкович нар - М.: Мнемосине, 2007.

Мэдээллийн маягт: багшийн өгсөн даалгаврын биелэлтийг шалгах

Үндэс олборлох үйлдлийг практикт амжилттай ашиглахын тулд та энэ үйлдлийн шинж чанаруудтай танилцах хэрэгтэй.
Бүх шинж чанаруудыг зөвхөн язгуур тэмдгийн дор агуулагдах хувьсагчдын сөрөг бус утгуудын хувьд томъёолж, нотолсон болно.

Теорем 1. Хоёр сөрөг бус чипийн үржвэрийн n-р үндэс (n=2, 3, 4,...) нь эдгээр тооны n-р язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.

Сэтгэгдэл:

1. Радикал илэрхийлэл нь хоёроос илүү сөрөг бус тооны үржвэр байх тохиолдолд теорем 1 хүчинтэй хэвээр байна.

Теорем 2.Хэрэв, n нь 1-ээс их натурал тоо бол тэгш байдал үнэн болно

Товчхонпрактикт хэрэглэхэд илүү тохиромжтой (оновчтой биш ч гэсэн) томъёолол: бутархайн үндэс нь үндэсийн хэсэгтэй тэнцүү байна.

Теорем 1 нь t-ийг үржүүлэх боломжийг олгодог зөвхөн ижил түвшний үндэс , өөрөөр хэлбэл зөвхөн ижил индекстэй үндэс.

Теорем 3.Хэрэв ,k нь натурал тоо, n нь 1-ээс их натурал тоо бол тэгш байдал үнэн болно

Өөрөөр хэлбэл, байгалийн хүчинд үндсийг өсгөхийн тулд энэ хүч рүү радикал илэрхийлэлийг өсгөхөд хангалттай.
Энэ нь теорем 1-ийн үр дагавар юм.Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь k = 3-ын хувьд бид дараахийг олж авна: Бид k илтгэгчийн бусад натурал утгын хувьд яг адилхан үндэслэл гаргаж чадна.

Теорем 4.Хэрэв ,k, n нь 1-ээс их натурал тоо бол тэгш байдал үнэн болно

Өөрөөр хэлбэл, үндэснээс үндсийг гаргаж авахын тулд үндэсийн үзүүлэлтийг үржүүлэхэд хангалттай.
Жишээлбэл,

Болгоомжтой байгаарай!Үндэс дээр үржүүлэх, хуваах, илтгэх, үндсийг гаргах (үндэсээс) гэсэн дөрвөн үйлдлийг хийж болохыг бид мэдсэн. Харин үндсийг нэмэх, хасах талаар юу хэлэх вэ? Арга ч үгүй.
Жишээлбэл, "Үнэнээр" гэж бичихийн оронд, гэхдээ энэ нь ойлгомжтой

Теорем 5. Хэрэв үндэс ба радикал илэрхийллийн үзүүлэлтүүдийг ижил натурал тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1.Тооцоол

Шийдэл.Үндэсийн эхний шинж чанарыг ашиглан (Теорем 1) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 2.Тооцоол
Шийдэл.Холимог тоог буруу бутархай болгон хувирга.
Бид root-ийн хоёрдахь шинж чанарыг ашиглаж байна ( Теорем 2 ), бид дараахь зүйлийг авна.

Жишээ 3.Тооцоолох:

Шийдэл.Алгебрийн аливаа томьёог зөвхөн "зүүнээс баруун тийш" төдийгүй "баруунаас зүүн тийш" ашигладаг. Тиймээс язгуурын эхний шинж чанар нь тэдгээрийг хэлбэрээр илэрхийлж, эсрэгээр нь илэрхийллээр сольж болно гэсэн үг юм. Үндэс хоёр дахь шинж чанарт мөн адил хамаарна. Үүнийг харгалзан тооцоогоо хийцгээе.

Баяр хүргэе: өнөөдөр бид 8-р ангийн хамгийн сэтгэл хөдөлгөм сэдвүүдийн нэг болох үндсийг харах болно. :)

Олон хүмүүс язгуурын талаар эргэлздэг нь нарийн төвөгтэй учраас биш (энэ нь хэд хэдэн тодорхойлолт, хэд хэдэн шинж чанар юм), гэхдээ ихэнх сургуулийн сурах бичгүүдэд үндэс нь зөвхөн сурах бичгийг зохиогчид л ийм ширэнгэн ойгоор тодорхойлогддог. өөрсдөө энэ бичвэрийг ойлгож чадна. Тэгээд ч гэсэн ганц шил сайн вискитэй. :)

Тиймээс, одоо би язгуурын хамгийн зөв, хамгийн чадварлаг тодорхойлолтыг өгөх болно - таны санаж байх ёстой цорын ганц зүйл юм. Дараа нь би тайлбарлах болно: энэ бүхэн яагаад хэрэгтэй вэ, үүнийг практикт хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ.

Гэхдээ эхлээд олон сурах бичиг эмхэтгэгчид ямар нэг шалтгаанаар "мартдаг" нэг чухал зүйлийг санаарай.

Үндэс нь тэгш зэрэгтэй (бидний дуртай $\sqrt(a)$, түүнчлэн бүх төрлийн $\sqrt(a)$, бүр $\sqrt(a)$) ба сондгой зэрэгтэй (бүх төрлийн $\sqrt) байж болно. (a)$, $\ sqrt(a)$ гэх мэт). Мөн сондгой зэрэглэлийн язгуурын тодорхойлолт нь тэгш нэгээс арай өөр юм.

Үндэстэй холбоотой бүх алдаа, үл ойлголцлын 95% нь энэ новшийн "ямар нэгэн байдлаар" нуугдаж байгаа байх. Тиймээс нэр томъёог нэг удаа, бүрмөсөн тодорхой болгоё:

Тодорхойлолт. Бүр үндэс n$a$ тооноос дурын байна сөрөг бус$b$ тоо нь $((b)^(n))=a$ байна. Мөн ижил тооны $a$-ын сондгой язгуур нь ерөнхийдөө ижил тэгш байдлыг хангасан дурын $b$ тоо юм: $((b)^(n))=a$.

Ямар ч тохиолдолд язгуурыг дараах байдлаар тэмдэглэв.

\(a)\]

Ийм тэмдэглэгээний $n$ тоог язгуур илтгэгч, $a$ тоог радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Тодруулбал, $n=2$-ын хувьд бид өөрийн “дуртай” квадрат язгуурыг (дашрамд хэлэхэд, энэ нь тэгш градусын язгуур), $n=3$-д бид куб язгуурыг (сондгой градус) авна. асуудал, тэгшитгэлд ихэвчлэн олддог.

Жишээ. Квадрат язгуурын сонгодог жишээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дашрамд хэлэхэд $\sqrt(0)=0$, $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ба $((1)^(2))=1$ тул энэ нь нэлээд логик юм.

Шоо үндэс нь бас түгээмэл байдаг - тэднээс айх шаардлагагүй:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За, хэдэн "чамин жишээ":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хэрэв та тэгш, сондгой зэрэглэлийн ялгаа юу болохыг ойлгохгүй байгаа бол тодорхойлолтыг дахин уншина уу. Энэ нь маш чухал юм!

Энэ хооронд бид язгуурын нэг тааламжгүй шинж чанарыг авч үзэх болно, учир нь бид тэгш, сондгой илтгэгчийн тусдаа тодорхойлолтыг оруулах шаардлагатай болсон.

Яагаад үндэс хэрэгтэй вэ?

Тодорхойлолтыг уншсаны дараа олон оюутнууд "Математикчид үүнийг гаргахдаа ямар тамхи татдаг байсан бэ?" гэж асуух болно. Тэгээд үнэхээр: энэ бүх үндэс яагаад хэрэгтэй байна вэ?

Энэ асуултад хариулахын тулд бага анги руугаа түр орцгооё. Санаж байгаарай: мод ногоорч, бууз нь илүү амттай байсан тэр алс холын үед тоогоо зөв үржүүлэх нь бидний гол санаа байсан юм. За, "таваас тав - хорин тав" гэх мэт. Гэхдээ та тоог хосоор нь биш, харин гурав дахин, дөрөв дахин, ерөнхийдөө бүхэл багцаар үржүүлж болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Гэсэн хэдий ч энэ нь гол зүйл биш юм. Энэ арга нь өөр: математикчид залхуу хүмүүс тул арван тавын үржүүлгийг ингэж бичихэд хэцүү байсан.

Тиймдээ ч эрдмийн зэрэг гаргаж ирсэн. Урт мөрийн оронд хүчин зүйлийн тоог дээд үсгээр бичиж яагаад болохгүй гэж? Энэ нь иймэрхүү зүйл:

Энэ нь маш тохиромжтой! Бүх тооцоо мэдэгдэхүйц багасч, 5,183-ыг бичихийн тулд олон тооны илгэн цаас, дэвтэр үрэх шаардлагагүй болно. Энэ бичлэгийг тооны хүч гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд үүнээс олон тооны шинж чанарууд олдсон боловч аз жаргал нь богино настай байв.

Зэрэгцээг "нээх" зорилгоор зохион байгуулсан архидалт ихтэй үдэшлэгийн дараа зарим нэг зөрүүд математикч гэнэт "Бид тооны зэрэглэлийг мэддэг хэрнээ тоо нь өөрөө тодорхойгүй байвал яах вэ?" Хэрэв бид 5-р зэрэглэлд 243-ыг өгдөг гэж хэлэхэд $b$ тодорхой тоо мэддэг бол $b$ тоо өөрөө хэдтэй тэнцүү болохыг яаж тааж чадах вэ?

Энэ асуудал нь эхлээд харахад санагдахаас хамаагүй илүү дэлхий нийтийн шинж чанартай болсон. Учир нь ихэнх "бэлэн" эрх мэдлийн хувьд ийм "анхны" тоо байдаггүй нь тогтоогдсон. Өөрийгөө шүүх:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Баруун сум b=3\cdot 3\cdot 3\Баруун сум b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Баруун сум b=4\cdot 4\cdot 4\Баруун сум b=4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((b)^(3))=50$ бол яах вэ? Гурав дахин үржүүлбэл 50 болох тодорхой тоог олох хэрэгтэй болж байна. Гэхдээ энэ хэд вэ? Энэ нь 3-аас их байх нь тодорхой, учир нь 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тэр нь Энэ тоо гурваас дөрөвний хооронд байгаа боловч энэ нь юутай тэнцүү болохыг та ойлгохгүй байх болно.

Чухам ийм учраас математикчид $n$th үндсийг гаргаж ирсэн. Чухам ийм учраас $\sqrt(*)$ радикал тэмдэг гарч ирсэн. $b$-ийн тоог зааж өгөх нь заасан хэмжээгээр бидэнд урьд нь мэдэгдэж байсан утгыг өгөх болно

\[\sqrt[n](a)=b\Баруун сум ((b)^(n))=a\]

Би маргахгүй: ихэнхдээ эдгээр үндсийг амархан тооцдог - бид дээр дурдсан хэд хэдэн жишээг харсан. Гэсэн хэдий ч, ихэнх тохиолдолд, хэрэв та дурын тоо бодож, дараа нь дурын зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авахыг оролдвол танд аймшигтай зүйл тохиолдох болно.

Юу байна! Хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн танил $\sqrt(2)$ ч гэсэн бидний ердийн хэлбэрээр бүхэл тоо эсвэл бутархай хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй. Хэрэв та энэ тоог тооцоолуур руу оруулбал дараахь зүйлийг харах болно.

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Таны харж байгаагаар аравтын бутархайн дараа ямар ч логикт захирагдахгүй тоонуудын төгсгөлгүй дараалал бий. Мэдээжийн хэрэг та энэ тоог дугуйлж, бусад тоонуудтай хурдан харьцуулж болно. Жишээлбэл:

\[\sqrt(2)=1,4142...\ойролцоогоор 1,4 \лт 1,5\]

Эсвэл өөр жишээ энд байна:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ойролцоогоор 1.7 \gt 1.5\]

Гэхдээ эдгээр бүх тойргууд нь нэгдүгээрт, нэлээд ширүүн байдаг; хоёрдугаарт, та ойролцоо утгатай ажиллах чадвартай байх хэрэгтэй, эс тэгвээс та олон тооны тодорхой бус алдааг олж авах боломжтой (Дашрамд хэлэхэд, харьцуулах, дугуйлах чадварыг Улсын нэгдсэн шалгалтын профайл дээр туршиж үзэх шаардлагатай).

Тиймээс, ноцтой математикийн хувьд та үндэсгүйгээр хийж чадахгүй - эдгээр нь бидний эртнээс сайн мэддэг бутархай ба бүхэл тоонуудын нэгэн адил $\mathbb(R)$ бүх бодит тоонуудын ижил тэнцүү төлөөлөгчид юм.

Үндэсийг $\frac(p)(q)$ хэлбэрийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй байгаа нь энэ үндэс нь рационал тоо биш гэсэн үг юм. Ийм тоонуудыг иррациональ гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээрийг тусгайлан зохион бүтээсэн радикал эсвэл бусад бүтцийн тусламжтайгаар (логарифм, хүч, хязгаар гэх мэт) зөвхөн үнэн зөв илэрхийлэх боломжгүй юм. Гэхдээ энэ талаар өөр нэг удаа.

Бүх тооцооллын дараа иррационал тоонууд хариултад үлдэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ойролцоогоор 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\ойролцоогоор -1.2599... \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, үндэс гарч ирснээс хойш аравтын бутархайн дараа ямар тоо гарч ирэхийг таамаглах нь бараг боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч та тооцоолуур дээр найдаж болно, гэхдээ хамгийн дэвшилтэт огнооны тооцоолуур ч гэсэн иррационал тооны эхний хэдэн цифрийг л өгдөг. Тиймээс хариултыг $\sqrt(5)$, $\sqrt(-2)$ хэлбэрээр бичих нь хамаагүй зөв юм.

Чухам ийм учраас тэдгээрийг зохион бүтээсэн. Хариултуудыг хялбархан бичихийн тулд.

Яагаад хоёр тодорхойлолт хэрэгтэй байна вэ?

Анхааралтай уншигч жишээнүүдэд өгөгдсөн бүх квадрат язгуурыг эерэг тооноос авсан болохыг аль хэдийн анзаарсан байх. Ядаж л эхнээс нь. Гэхдээ шоо үндсийг эерэг эсвэл сөрөг аль ч тооноос тайван байдлаар гаргаж авах боломжтой.

Яагаад ийм зүйл болж байна вэ? $y=((x)^(2))$ функцийн графикийг харна уу:

Квадрат функцийн график нь эерэг ба сөрөг гэсэн хоёр язгуурыг өгдөг

Энэ графикийг ашиглан $\sqrt(4)$-г тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд $((x)_(1))=2$ ба $((x) гэсэн хоёр цэг дээр параболатай огтлолцох $y=4$ хэвтээ шугамыг график дээр (улаанаар тэмдэглэсэн) зурсан. )_(2)) =-2$. Энэ нь нэлээд логик юм, учир нь

Эхний тоогоор бүх зүйл тодорхой байна - энэ нь эерэг, тиймээс үндэс нь:

Гэхдээ хоёр дахь цэгийг яах вэ? Дөрөв нь нэг дор хоёр үндэстэй юм шиг? Тэгээд ч −2 тоог квадрат болговол бас 4 гарна. Тэгвэл яагаад $\sqrt(4)=-2$ гэж бичиж болохгүй гэж? Тэгээд багш нар яагаад чамайг идмээр байгаа юм шиг ийм бичлэг хардаг юм бэ? :)

Асуудал нь хэрэв та нэмэлт нөхцөл тавихгүй бол дөрвөлжин нь эерэг ба сөрөг гэсэн хоёр квадрат язгууртай болно. Ямар ч эерэг тоо бас хоёртой байх болно. Гэхдээ сөрөг тоо нь огт үндэсгүй байх болно - парабол тэнхлэгээс доош буудаггүй тул үүнийг ижил графикаас харж болно. y, өөрөөр хэлбэл сөрөг утгыг хүлээн зөвшөөрдөггүй.

Тэгш илтгэгчтэй бүх үндэст ижил төстэй асуудал гардаг:

1. Хатуухан хэлэхэд эерэг тоо бүр $n$ илтгэгчтэй хоёр үндэстэй байх болно;
2. Сөрөг тоонуудаас $n$-тай язгуурыг огт гаргаж авдаггүй.

Тийм ч учраас $n$ тэгш зэрэгтэй язгуурыг тодорхойлохдоо хариулт нь сөрөг бус тоо байх ёстой гэж тусгайлан заасан байдаг. Ингэж л бид хоёрдмол байдлаас ангижрах болно.

Гэхдээ сондгой $n$-д тийм асуудал байхгүй. Үүнийг харахын тулд $y=((x)^(3))$ функцийн графикийг харцгаая:

Куб парабол ямар ч утгыг авч болох тул шоо язгуурыг дурын тооноос авч болно

Энэ графикаас хоёр дүгнэлт гаргаж болно.

1. Куб параболын мөчрүүд нь ердийнхөөс ялгаатай нь дээд ба доош хоёр чиглэлд хязгааргүйд хүрдэг. Тиймээс бид ямар ч өндөрт хэвтээ шугам зурсан ч энэ шугам нь бидний графиктай огтлолцох нь гарцаагүй. Иймээс куб үндсийг ямар ч тооноос гаргаж авах боломжтой;
2. Үүнээс гадна, ийм уулзвар нь үргэлж өвөрмөц байх тул аль тоог "зөв" үндэс гэж үзэж, алийг нь үл тоомсорлох талаар бодох шаардлагагүй болно. Тийм ч учраас сондгой зэрэглэлийн үндсийг тодорхойлох нь тэгш зэрэгтэй харьцуулахад хялбар байдаг (сөрөг биш байх шаардлагагүй).

Эдгээр энгийн зүйлсийг ихэнх сурах бичигт тайлбарлаагүй нь харамсалтай. Үүний оронд бидний тархи бүх төрлийн арифметик язгуур, тэдгээрийн шинж чанаруудтай хөөрч эхэлдэг.

Тийм ээ, би маргахгүй: та бас арифметик үндэс гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй. Мөн би энэ талаар тусдаа хичээл дээр дэлгэрэнгүй ярих болно. Өнөөдөр бид бас энэ тухай ярих болно, учир нь үүнгүйгээр $n$-р үржвэрийн үндэсийн талаархи бүх бодол бүрэн бус байх болно.

Гэхдээ эхлээд миний дээр хэлсэн тодорхойлолтыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Үгүй бол олон тооны нэр томъёоны улмаас таны толгойд ийм эмх замбараагүй байдал үүсч, эцэст нь та юу ч ойлгохгүй болно.

Тэгш, сондгой үзүүлэлтүүдийн ялгааг ойлгоход л хангалттай. Тиймээс, үндэсийн талаар үнэхээр мэдэх шаардлагатай бүх зүйлийг дахин цуглуулцгаая.

1. Тэгш зэрэгтэй язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тооноос л байдаг ба өөрөө үргэлж сөрөг бус тоо байдаг. Сөрөг тоонуудын хувьд ийм үндэс нь тодорхойгүй байна.
2. Гэхдээ сондгой зэрэглэлийн үндэс нь ямар ч тооноос байдаг бөгөөд өөрөө ямар ч тоо байж болно: эерэг тоонуудын хувьд эерэг, сөрөг тоонуудын хувьд сөрөг байна.

Хэцүү байна уу? Үгүй ээ, хэцүү биш. Энэ нь тодорхой байна? Тийм ээ, энэ нь бүрэн ойлгомжтой! Тиймээс одоо бид тооцоололд бага зэрэг дасгал хийх болно.

Үндсэн шинж чанар ба хязгаарлалт

Үндэс нь олон хачирхалтай шинж чанар, хязгаарлалттай байдаг - үүнийг тусдаа хичээл дээр авч үзэх болно. Тиймээс, одоо бид зөвхөн тэгш индекстэй үндэст хамаарах хамгийн чухал "заль мэх" -ийг авч үзэх болно. Энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье.

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид тоог тэгш түвшинд өсгөж, дараа нь ижил түвшний үндсийг гаргавал бид анхны тоог биш, харин модулийг авна. Энэ бол амархан нотлогдож болох энгийн теорем (сөрөг бус $x$-г тусад нь авч үзэхэд хангалттай, дараа нь сөрөгийг тусад нь авч үзэхэд хангалттай). Багш нар энэ тухай байнга ярьдаг, сургуулийн сурах бичиг болгонд өгдөг. Гэхдээ иррационал тэгшитгэлийг (жишээ нь, радикал тэмдэг агуулсан тэгшитгэл) шийдэхэд оюутнууд санал нэгтэйгээр энэ томъёог мартдаг.

Асуудлыг нарийвчлан ойлгохын тулд бүх томъёог нэг минутын турш мартаж, хоёр тоог шууд тооцоолохыг хичээцгээе.

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \баруун))^(4)))=?\]

Эдгээр нь маш энгийн жишээ юм. Ихэнх хүмүүс эхний жишээг шийдэх боловч олон хүн хоёр дахь жишээн дээр гацдаг. Иймэрхүү хог хаягдлыг асуудалгүйгээр шийдэхийн тулд дараахь журмыг анхаарч үзээрэй.

1. Нэгдүгээрт, тоог дөрөв дэх зэрэглэлд хүргэнэ. За, энэ нь арай хялбар юм. Та үржүүлэх хүснэгтээс ч олж болох шинэ дугаар авах болно;
2. Одоо энэ шинэ тооноос дөрөв дэх үндсийг гаргаж авах шаардлагатай байна. Тэдгээр. Үндэс ба хүчийг "багасгах" байхгүй - эдгээр нь дараалсан үйлдлүүд юм.

Эхний илэрхийллийг харцгаая: $\sqrt(((3)^(4)))$. Мэдээжийн хэрэг та эхлээд язгуурын доорх илэрхийлэлийг тооцоолох хэрэгтэй.

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Дараа нь бид 81 тооны дөрөв дэх үндсийг гаргаж авна.

Одоо хоёр дахь илэрхийлэлтэй ижил зүйлийг хийцгээе. Нэгдүгээрт, бид −3 тоог дөрөв дэх зэрэгт хүргэх бөгөөд үүнийг өөрөө 4 дахин үржүүлэх шаардлагатай.

\[((\left(-3 \баруун))^(4))=\left(-3 \баруун)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \ зүүн(-3 \баруун)=81\]

Бүтээгдэхүүний нийт хасах тоо нь 4 байх тул бид эерэг тоо авсан бөгөөд тэд бүгд бие биенээ цуцлах болно (эцсийн эцэст хасах нь хасах нь нэмэх болно). Дараа нь бид үндсийг дахин гаргаж авдаг:

Зарчмын хувьд энэ мөрийг бичих боломжгүй байсан, учир нь хариулт нь ижил байх болно. Тэдгээр. ижил тэгш чадлын тэгш үндэс нь сул талуудыг "шатдаг" бөгөөд энэ утгаараа үр дүн нь ердийн модулиас ялгагдахааргүй юм.

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\зүүн(-3 \баруун))^(4)))=\зүүн| -3 \баруун|=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээр тооцоолол нь тэгш градусын язгуурын тодорхойлолттой сайн тохирч байна: үр дүн нь үргэлж сөрөг биш бөгөөд радикал тэмдэг нь үргэлж сөрөг бус тоог агуулдаг. Үгүй бол үндэс нь тодорхойгүй байна.

Процедурын талаархи тэмдэглэл

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ гэсэн тэмдэглэгээ нь эхлээд $a$ тоог квадрат болгож дараа нь гарсан утгын квадрат язгуурыг авна гэсэн үг. Тиймээс ямар ч тохиолдолд $((a)^(2))\ge 0$ байх тул язгуур тэмдгийн дор үргэлж сөрөг бус тоо байгаа гэдэгт итгэлтэй байж болно;
2. Харин $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ гэсэн тэмдэглэгээ нь эсрэгээрээ бид эхлээд тодорхой $a$ тооны үндсийг аваад дараа нь үр дүнг квадрат болгоно гэсэн үг. Тиймээс $a$ тоо нь ямар ч тохиолдолд сөрөг байж болохгүй - энэ нь тодорхойлолтонд орсон зайлшгүй шаардлага юм.

Тиймээс ямар ч тохиолдолд үндэс, зэрэглэлийг бодолгүйгээр бууруулж, анхны илэрхийлэлийг "хялбарчлах" байх ёсгүй. Учир нь язгуур нь сөрөг тоотой, илтгэгч нь тэгш байвал бид олон асуудал гарна.

Гэсэн хэдий ч эдгээр бүх асуудал нь зөвхөн үзүүлэлтүүдэд л хамаатай.

Үндсэн тэмдгийн доороос хасах тэмдгийг хасаж байна

Мэдээжийн хэрэг, сондгой илтгэгчтэй үндэс нь өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг бөгөөд энэ нь зарчмын хувьд тэгш тоотой байдаггүй. Тухайлбал:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Товчхондоо, та сондгой градусын үндэс тэмдгийн доор хасахыг арилгаж болно. Энэ бол бүх сул талыг "хаях" боломжийг олгодог маш ашигтай өмч юм.

\[\эхлэх(эгцлэх) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \баруун)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэхүү энгийн өмч нь олон тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Одоо та санаа зовох хэрэггүй болно: үндэс дор сөрөг илэрхийлэл нуугдаж байсан ч үндэс дэх зэрэг нь жигд болвол яах вэ? Үндэсийн гадна байгаа бүх сул талыг "хаяхад" л хангалттай бөгөөд үүний дараа тэдгээрийг бие биенээр нь үржүүлж, хувааж, ерөнхийдөө олон сэжигтэй зүйлийг хийж болох бөгөөд энэ нь "сонгодог" үндэсийн хувьд биднийг хүргэх баталгаатай болно. алдаа.

Мөн энд өөр нэг тодорхойлолт гарч ирэв - ихэнх сургуулиудад үндэслэлгүй илэрхийллийг судалж эхэлдэгтэй ижил. Үүнгүйгээр бидний үндэслэл бүрэн бус байх болно. Бидэнтэй уулзаарай!

Арифметик үндэс

Үндэс тэмдгийн дор зөвхөн эерэг тоо эсвэл онцгой тохиолдолд тэг байж болно гэж түр бодъё. Тэгш/сондгой үзүүлэлтүүдийг мартацгаая, дээр дурдсан бүх тодорхойлолтыг мартъя - бид зөвхөн сөрөг бус тоонуудтай ажиллах болно. Тэгээд яах вэ?

Дараа нь бид арифметик язгуурыг авах болно - энэ нь бидний "стандарт" тодорхойлолттой хэсэгчлэн давхцаж байгаа боловч тэдгээрээс ялгаатай хэвээр байна.

Тодорхойлолт. Сөрөг биш $a$ тооны $n$-р зэргийн арифметик язгуур нь $((b)^(n))=a$ байх сөрөг бус тоо $b$ байна.

Бидний харж байгаагаар бид паритетийг сонирхохоо больсон. Үүний оронд шинэ хязгаарлалт гарч ирэв: радикал илэрхийлэл нь одоо үргэлж сөрөг биш, үндэс нь өөрөө сөрөг биш юм.

Арифметик язгуур нь ердийнхөөс хэрхэн ялгаатай болохыг илүү сайн ойлгохын тулд бидний аль хэдийн мэддэг квадрат ба куб параболын графикуудыг харна уу.

Арифметик үндэс хайлтын талбар - сөрөг бус тоо

Таны харж байгаагаар бид одооноос эхлэн $x$ ба $y$ координатууд эерэг (эсвэл дор хаяж тэг) байгаа координатын эхний улиралд байрлах график хэсгүүдийг л сонирхож байна. Үндэс дор сөрөг тоо тавих эрхтэй эсэхийг ойлгохын тулд индикаторыг харах шаардлагагүй болсон. Учир нь сөрөг тоог зарчмын хувьд авч үзэхээ больсон.

Та: "За, яагаад бидэнд ийм саармагжуулсан тодорхойлолт хэрэгтэй байна вэ?" гэж асууж магадгүй юм. Эсвэл: "Бид яагаад дээр өгөгдсөн стандарт тодорхойлолтыг дагаж чадахгүй байна вэ?"

За, би зөвхөн нэг өмчийг өгөх болно, учир нь шинэ тодорхойлолт тохирох болно. Жишээлбэл, экспонентацийн дүрэм:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Анхаарна уу: бид радикал илэрхийлэлийг ямар ч хүчин чадалтай болгож, язгуур экспонентийг ижил хүчээр үржүүлж чадна - үр дүн нь ижил тоо байх болно! Энд жишээнүүд байна:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр хамгийн том асуудал юу вэ? Яагаад бид үүнийг өмнө нь хийж чадаагүй юм бэ? Яагаад гэдгийг эндээс харж болно. Энгийн илэрхийллийг авч үзье: $\sqrt(-2)$ - энэ тоо нь бидний сонгодог ойлголтод нэлээд хэвийн боловч арифметик язгуурын үүднээс огт хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Үүнийг хөрвүүлэхийг хичээцгээе:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\зүүн(-2 \баруун))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Таны харж байгаагаар эхний тохиолдолд бид хасахыг радикалын доороос хассан (бидэнд экспонент нь сондгой тул бүх эрхтэй), хоёр дахь тохиолдолд дээрх томъёог ашигласан. Тэдгээр. Математикийн үүднээс авч үзвэл бүх зүйл дүрмийн дагуу хийгддэг.

WTF?! Ижил тоо яаж эерэг ба сөрөг аль аль нь байж болох вэ? Арга ч үгүй. Эерэг тоо ба тэгийн хувьд маш сайн ажилладаг экспонентацийн томъёо нь сөрөг тоонуудын хувьд бүрэн гажуудлыг үүсгэж эхэлдэг.

Ийм ойлгомжгүй байдлаас ангижрахын тулд арифметик язгуурыг зохион бүтээсэн. Тусдаа том хичээл нь тэдэнд зориулагдсан бөгөөд бид тэдний бүх шинж чанарыг нарийвчлан авч үздэг. Тиймээс бид одоо тэдний талаар ярихгүй - хичээл хэтэрхий урт болсон.

Алгебрийн үндэс: илүү ихийг мэдэхийг хүсдэг хүмүүст зориулагдсан

Энэ сэдвийг тусдаа догол мөрөнд оруулах уу, үгүй ​​юу гэж удаан бодсон. Эцэст нь би энд үлдээхээр шийдсэн. Энэ материал нь үндсийг нь илүү сайн ойлгохыг хүсдэг хүмүүст зориулагдсан болно - дундаж "сургуулийн" түвшинд биш, харин олимпиадын түвшинд ойрхон байна.

Тэгэхээр: тооны $n$-р язгуурын "сонгодог" тодорхойлолт, түүнтэй холбоотой тэгш, сондгой илтгэгч болгон хуваахаас гадна паритет болон бусад нарийн шинж чанараас огт хамааралгүй илүү "насанд хүрсэн" тодорхойлолт байдаг. Үүнийг алгебрийн үндэс гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Аливаа $a$-ын алгебрийн $n$-р үндэс нь $((b)^(n))=a$ байх бүх $b$ тооны олонлог юм. Ийм үндэст зориулсан тодорхой тэмдэглэгээ байхгүй тул бид зүгээр л дээр нь зураас тавина.

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \баруун. \баруун\) \]

Хичээлийн эхэнд өгсөн стандарт тодорхойлолтоос үндсэн ялгаа нь алгебрийн үндэс нь тодорхой тоо биш, харин олонлог юм. Бид бодит тоогоор ажилладаг тул энэ багц нь зөвхөн гурван төрлөөр ирдэг:

1. Хоосон багц. Сөрөг тооноос тэгш зэрэгтэй алгебрийн үндэс олох шаардлагатай үед тохиолддог;
2. Нэг элементээс бүрдсэн багц. Сондгой хүчний бүх үндэс, мөн тэгийн тэгш байдлын үндэс нь энэ ангилалд хамаарна;
3. Эцэст нь, уг багц нь бидний харсан $((x)_(1))$ ба $((x)_(2))=-((x)_(1))$ гэсэн хоёр тоог агуулж болно. квадрат функцийн график. Үүний дагуу ийм зохицуулалт нь эерэг тооноос тэгш зэрэглэлийн үндсийг гаргаж авах үед л боломжтой юм.

Сүүлийн тохиолдол нь илүү нарийвчлан авч үзэх ёстой. Ялгааг ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг тоолъё.

Жишээ. Илэрхийллийг үнэлнэ үү:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Шийдэл. Эхний илэрхийлэл нь энгийн:

\[\overline(\sqrt(4))=\зүүн\( 2;-2 \баруун\)\]

Энэ нь багцын нэг хэсэг болох хоёр тоо юм. Учир нь тэдгээрийн квадрат тус бүр нь дөрөв өгдөг.

\[\overline(\sqrt(-27))=\зүүн\( -3 \баруун\)\]

Энд бид зөвхөн нэг тооноос бүрдэх багцыг харж байна. Үндэс экспонент нь сондгой тул энэ нь нэлээд логик юм.

Эцэст нь, сүүлчийн илэрхийлэл:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Бид хоосон багц хүлээн авлаа. Учир нь дөрөв дэх (жишээ нь, тэгш!) зэрэглэлд аваачихад −16 сөрөг тоог өгөх бодит тоо ганц ч байдаггүй.

Эцсийн тэмдэглэл. Анхаарна уу: бид бодит тоогоор ажилладаг гэдгийг би хаа сайгүй тэмдэглэсэнгүй. Учир нь нийлмэл тоонууд бас байдаг - тэнд $\sqrt(-16)$ болон бусад олон хачирхалтай зүйлсийг тооцоолох бүрэн боломжтой.

Гэсэн хэдий ч орчин үеийн сургуулийн математикийн хичээлд нийлмэл тоо бараг хэзээ ч гардаггүй. Манай албаныхан энэ сэдвийг “ойлгоход дэндүү хэцүү” гэж үзсэн тул ихэнх сурах бичгээс хассан.

Тэгээд л болоо. Дараагийн хичээлээр бид язгуурын бүх үндсэн шинж чанаруудыг авч үзээд эцэст нь иррационал илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлах талаар сурах болно. :)