Тооны тойрог дээрх синусын 2. Тэгшитгэл нь sin x = a. Бид тойрог дотор синус ба косинусын утгыг олохын тулд сургаж байна

Дасгал хийх.
-ийн x-ийн утгыг ол.

Шийдэл.
Функцийн аргументын аль ч утгатай тэнцүү байх утгыг олох нь аль аргументуудад синусын утга тухайн нөхцөлд заасантай яг ижил байхыг тодорхойлохыг хэлнэ.
Энэ тохиолдолд бид ямар утгуудад синусын утга 1/2-тэй тэнцүү болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно.
Жишээлбэл, x-ийн ямар утгуудад синусын функц 1/2-тэй тэнцүү болохыг тодорхойлохын тулд -г ашиглана уу.
Өөр нэг арга бол ашиглах явдал юм. Синусын утгууд нь Ой тэнхлэгт оршдог гэдгийг танд сануулъя.
Хамгийн түгээмэл арга бол 1/2 гэх мэт энэ функцийн стандарт утгуудтай харьцахдаа ашиглах явдал юм.
Бүх тохиолдолд синусын хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг болох түүний үеийг мартаж болохгүй.
Хүснэгтээс синусын 1/2 утгыг олж, түүнд ямар аргумент тохирохыг харцгаая. Бидний сонирхож буй аргументууд бол Pi / 6 ба 5Pi / 6 юм.
Өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангах бүх язгуурыг бичье. Үүнийг хийхийн тулд бид сонирхдог үл мэдэгдэх х аргумент болон хүснэгтээс олж авсан аргументийн утгуудын нэг болох Pi / 6-г бичнэ. Бид синусын үеийг харгалзан үүнийг бичнэ. , аргументийн бүх утгууд:

Хоёрдахь утгыг аваад өмнөх тохиолдолтой ижил алхмуудыг дагана уу:

Анхны тэгшитгэлийн бүрэн шийдэл нь:
Тэгээд
qямар ч бүхэл тооны утгыг авч болно.

Тригонометрийн тойрог дээр градусын өнцгөөс гадна бид ажигладаг.

Радианы тухай дэлгэрэнгүй мэдээлэл:

Радиан нь урт нь түүний радиустай тэнцүү нумын өнцгийн утгыг хэлнэ. Үүний дагуу тойрог нь тэнцүү байна , тэгвэл радианууд тойрогт багтах нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл

1 рад ≈ 57.295779513° ≈ 57°17′44.806″ ≈ 206265″.

Радиан гэдгийг хүн бүр мэддэг

Тиймээс, жишээ нь, , болон. Бид ийм л байна радианыг өнцөгт хувиргаж сурсан.

Одоо бол эсрэгээрээ градусыг радиан руу хөрвүүлье.

Бид радиан руу хөрвүүлэх хэрэгтэй гэж бодъё. Энэ нь бидэнд туслах болно. Бид дараах байдлаар ажиллана.

Радианчууд, хүснэгтийг бөглөцгөөе.

Бид тойрог дотор синус ба косинусын утгыг олохын тулд сургаж байна

Дараахь зүйлийг тодруулъя.

За яахав, хэрэв биднээс тооцоолохыг хүсэх юм бол - энд ихэвчлэн төөрөгдөл байдаггүй - бүгд эхлээд тойрог руу харж эхэлдэг.

Хэрэв танаас тооцоо хийхийг хүсэх юм бол, жишээ нь, ... Олон хүмүүс гэнэт энэ тэгийг хаанаас хайхаа ойлгохгүй эхэлдэг ... Тэд үүнийг ихэвчлэн гарал үүслээр нь хайдаг. Яагаад?

1) Нэг удаа, бүрмөсөн зөвшөөрье!Аргумент буюу аргументийн дараа ирэх зүйл = өнцөг, ба манай булангууд байрладаг тойрог дээр, тэднийг тэнхлэг дээр хайх хэрэггүй!(Зүгээр л бие даасан цэгүүд тойрог болон тэнхлэг дээр унадаг ...) Мөн бид тэнхлэг дээрх синус ба косинусын утгыг хайж байна!

2) Бас нэг зүйл!Хэрэв бид "эхлэх" цэгээс холдох юм бол цагийн зүүний эсрэг(тригонометрийн тойргийг туулах гол чиглэл), Дараа нь бид өнцгийн эерэг утгыг хойшлуулна, энэ чиглэлд шилжих үед өнцгийн утгууд нэмэгддэг.

Хэрэв бид "эхлэх" цэгээс холдох юм бол цагийн зүүний дагуу бид сөрөг өнцгийн утгыг зурна.

Жишээ 1.

Утгыг ол.

Шийдэл:

Бид үүнийг тойрог дээрээс олдог. Бид цэгийг синусын тэнхлэг дээр (өөрөөр хэлбэл бид цэгээс синус тэнхлэг (ой) руу перпендикуляр зурдаг).

Бид 0-д хүрдэг. Тэгэхээр, .

Жишээ 2.

Утгыг ол.

Шийдэл:

Бид үүнийг тойрог дээрээс олдог (бид цагийн зүүний эсрэг дахин явдаг). Бид цэгийг синусын тэнхлэгт (мөн энэ аль хэдийнсинусуудын тэнхлэг дээр байрладаг).

Бид синус тэнхлэгийн дагуу -1 хүрнэ.

Цэгийн ард (бид гэж тэмдэглэсэн цэг рүү цагийн зүүний дагуу очиж болно, энэ нь хасах тэмдэг гарч ирнэ гэсэн үг) болон бусад хязгааргүй олон цэгүүд байгааг анхаарна уу.

Бид дараах зүйрлэлийг өгч болно.

Тригонометрийн тойргийг цэнгэлдэх хүрээлэнгийн гүйлтийн зам гэж төсөөлье.

Та эхнээс нь цагийн зүүний эсрэг 300 м гүйж, эсвэл цагийн зүүний дагуу 100 м гүйж (бид замын уртыг 400 м гэж тооцдог) "Туг" цэг дээр байж болно.

Та мөн цагийн зүүний эсрэг 700м, 1100м, 1500м гэх мэт гүйлт хийснээр Тугны цэгт (эхний дараа) хүрч болно. Та эхнээсээ цагийн зүүний дагуу 500м эсвэл 900м г.м гүйж тугны цэгт хүрч болно.

Цэнгэлдэх хүрээлэнгийн гүйлтийн замыг оюун санааны шугам болгон хувирга. Жишээлбэл, энэ мөрөнд 300, 700, 1100, 1500 гэх мэт утгууд хаана байхыг төсөөлөөд үз дээ. Бид тоон шулуун дээрх бие биенээсээ тэнцүү зайтай цэгүүдийг харах болно. Эргээд тойрог руу эргэцгээе. Цэгүүд нэг болж "наалддаг".

Энэ нь тригонометрийн тойрогтой адил юм. Цэг бүрийн ард хязгааргүй олон зүйл нуугдаж байдаг.

Өнцөг , , , гэх мэтийг хэлье. нэг цэгээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдгээрийн синус ба косинусын утгууд нь мэдээжийн хэрэг давхцдаг. (Бид нэмсэн/хасаж байгааг та анзаарсан уу? Энэ бол синус ба косинусын функцийн үе юм.)

Жишээ 3.

Утгыг ол.

Шийдэл:

Энгийн байхын тулд градус руу хөрвүүлье.

(дараа нь тригонометрийн тойрогт дасах үед радианыг градус болгон хувиргах шаардлагагүй болно):

Бид цэгээс цагийн зүүний дагуу шилжих болно Бид хагас тойрог () болон өөр нэг тойрог явах болно

Синусын утга нь синусын утгатай давхцаж, тэнцүү гэдгийг бид ойлгож байна

Хэрэв бид жишээ нь, эсвэл гэх мэтийг авбал ижил синус утгыг авна гэдгийг анхаарна уу.

Жишээ 4.

Утгыг ол.

Шийдэл:

Гэхдээ бид өмнөх жишээн дээрх шиг радианыг градус болгон хувиргахгүй.

Өөрөөр хэлбэл, бид цагийн зүүний эсрэг хагас тойрог, өөр дөрөвний нэг хагас тойрог явж, үүссэн цэгийг косинусын тэнхлэг (хэвтээ тэнхлэг) дээр гаргах хэрэгтэй.

Жишээ 5.

Утгыг ол.

Шийдэл:

Тригонометрийн тойрог дээр хэрхэн зурах вэ?

Хэрэв бид давж гарвал, эсвэл ядаж л "эхлэл" гэж тодорхойлсон цэг дээр өөрсдийгөө олох болно. Тиймээс та тэр даруй тойрог дээрх цэг рүү очиж болно

Жишээ 6.

Утгыг ол.

Шийдэл:

Бид цэг дээр дуусна (энэ нь биднийг тэг цэг рүү хүргэх болно). Бид тойргийн цэгийг косинусын тэнхлэгт (тригонометрийн тойргийг харна уу) проекцийг үзүүлэв. Тэр бол .

Тригонометрийн тойрог таны гарт байна

Хамгийн гол нь эхний улирлын тригонометрийн функцүүдийн утгыг санах явдал гэдгийг та аль хэдийн ойлгосон. Үлдсэн хэсэгт бүх зүйл ижил төстэй, та зөвхөн тэмдгүүдийг дагах хэрэгтэй. Мөн та тригонометрийн функцүүдийн утгын "шатны хэлхээг" мартахгүй гэж найдаж байна.

Яаж олох вэ тангенс ба котангентын утгуудүндсэн өнцөгүүд.

Үүний дараа тангенс ба котангенсийн үндсэн утгуудтай танилцаж, та дамжуулж болно

Хоосон тойрог загвар дээр. Галт тэрэг!

Синусын утгууд нь [-1; 1], i.e. -1 ≤ sin α ≤ 1. Иймд хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin x = a тэгшитгэл үндэсгүй болно. Жишээлбэл, sin x = 2 тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Зарим асуудлыг авч үзье.

sin x = 1/2 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

P (1; 0) цэгийг эхийн эргэн тойронд х өнцгөөр эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн ординатыг sin x гэдгийг анхаарна уу.

M 1 ба M 2 тойргийн хоёр цэг дээр ½-тэй тэнцэх ординат байна.

1/2 = sin π/6 тул M 1 цэгийг P (1; 0) цэгээс x 1 = π/6 өнцгөөр, түүнчлэн x = π/6 + 2πk өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авна, энд k. = +/-1, +/-2, …

M 2 цэгийг x 2 = 5π/6 өнцгөөр эргүүлсний үр дүнд P (1; 0) цэгээс, түүнчлэн x = 5π/6 + 2πk өнцгөөр олж авна, энд k = +/-1, + /-2, ... , i.e. өнцөгт x = π – π/6 + 2πk, энд k = +/-1, +/-2, ….

Тэгэхээр sin x = 1/2 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk, k € Z томъёог ашиглан олж болно.

Эдгээр томьёог нэг болгон нэгтгэж болно: x = (-1) n π/6 + πn, энд n € Z (1).

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв n нь тэгш тоо бол i.e. n = 2k, дараа нь (1) томъёоноос бид x = π/6 + 2πk, хэрэв n нь сондгой тоо бол i.e. n = 2k + 1, дараа нь (1) томъёоноос бид x = π – π/6 + 2πk-ийг авна.

Хариулах. x = (-1) n π/6 + πn, энд n € Z.

sin x = -1/2 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Ординат -1/2 нь M 1 ба M 2 нэгж тойргийн хоёр цэгтэй бөгөөд энд x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6 байна. Улмаар sin x = -1/2 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z томьёо ашиглан олж болно.

Бид эдгээр томьёог нэг болгон нэгтгэж болно: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).

Үнэхээр n = 2k бол (2) томъёог ашиглан бид x = -π/6 + 2πk, n = 2k – 1 бол (2) томъёог ашиглан x = -5π/6 + 2πk-ийг олно.

Хариулах. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.

Тиймээс sin x = 1/2, sin x = -1/2 тэгшитгэл бүр нь хязгааргүй олон үндэстэй.

-π/2 ≤ x ≤ π/2 сегмент дээр эдгээр тэгшитгэл бүр зөвхөн нэг үндэстэй байна:
x 1 = π/6 нь sin x = 1/2 тэгшитгэлийн үндэс, x 1 = -π/6 нь sin x = -1/2 тэгшитгэлийн үндэс юм.

π/6 тоог 1/2 тооны арксинус гэж нэрлээд бичнэ: arcsin 1/2 = π/6; -π/6 тоог -1/2 тооны арксинус гэж нэрлэх ба бичнэ: arcsin (-1/2) = -π/6.

Ерөнхийдөө sin x = a тэгшитгэл нь -1 ≤ a ≤ 1 нь -π/2 ≤ x ≤ π/2 сегмент дээр зөвхөн нэг үндэстэй байна. Хэрэв a ≥ 0 бол үндэс нь интервалд агуулагдана; Хэрвээ< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Ийнхүү a тооны арксинус € [–1; 1] ийм тоог € [–π/2; π/2], түүний синус нь a-тай тэнцүү.

arcsin а = α, хэрэв sin α = а ба -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).

Жишээ нь, arcsin √2/2 = π/4, учир нь sin π/4 = √2/2 ба – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, учир нь sin (-π/3) = -√3/2 ба – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

1 ба 2-р бодлогыг шийдвэрлэх үед хийсэнтэй адил тэгшитгэлийн үндэс sin x = a, энд |a| ≤ 1, томъёогоор илэрхийлнэ

x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).

Мөн бид ямар ч € [-1; 1] arcsin (-а) = -арcsin а томъёо хүчинтэй.

Томъёо (4)-аас тэгшитгэлийн үндэс гарч ирнэ
a = 0, a = 1, a = -1-ийн хувьд sin x = a-г илүү энгийн томъёогоор олж болно.

sin x = 0 x = πn, n € Z (5)

sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)

sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Аливаа түвшний нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцэстээ хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг. Энэ тохиолдолд тригонометрийн тойрог дахин хамгийн сайн туслах болж хувирав.

Косинус ба синусын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Өнцгийн косинус нь тухайн өнцгөөр эргэхэд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн абсцисса (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм.

Өнцөгний синус нь тухайн өнцгөөр эргэхэд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординат (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм.

Тригонометрийн тойрог дээрх хөдөлгөөний эерэг чиглэл нь цагийн зүүний эсрэг байна. 0 градусын эргэлт (эсвэл 0 радиан) нь координаттай (1;0) цэгтэй тохирч байна.

Бид эдгээр тодорхойлолтыг энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

1. Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл нь тойрог дээрх ординат нь -тэй тэнцүү цэгүүдэд тохирох эргэлтийн өнцгийн бүх утгуудаар хангагдана.

Ординат тэнхлэг дээр ординаттай цэгийг тэмдэглэе.

Х тэнхлэгтэй параллель хэвтээ шугамыг тойрогтой огтлолцох хүртэл зурна. Бид тойрог дээр хэвтэж, ординаттай хоёр оноо авдаг. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг ба радиантай тохирч байна:

Хэрэв бид радианд ногдох эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгийг орхиод бүтэн тойргийг тойрох юм бол радианд ногдох эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгт хүрнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ эргэлтийн өнцөг нь бидний тэгшитгэлийг хангадаг. Бид хүссэн хэмжээгээрээ "сул" эргэлт хийж, ижил цэг рүү буцаж очих боломжтой бөгөөд эдгээр бүх өнцгийн утгууд нь бидний тэгшитгэлийг хангана. "Хөдөлгөөнгүй" эргэлтүүдийн тоог үсгээр (эсвэл) тэмдэглэнэ. Бид эдгээр хувьсгалыг эерэг ба сөрөг аль алинаар нь хийж чадах тул (эсвэл) дурын бүхэл утгыг авч болно.

Өөрөөр хэлбэл, анхны тэгшитгэлийн шийдлүүдийн эхний цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

, , - бүхэл тооны багц (1)

Үүний нэгэн адил хоёр дахь цуврал шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, Хаана, . (2)

Таны таамаглаж байсанчлан энэхүү цуврал шийдлүүд нь тойрог дээрх эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэг дээр суурилдаг.

Эдгээр хоёр цуврал шийдлийг нэг оруулгад нэгтгэж болно:

Хэрэв бид энэ оруулгад (өөрөөр хэлбэл, бүр) авбал эхний цуврал шийдлүүдийг авах болно.

Хэрэв бид энэ оруулгад (өөрөөр хэлбэл, сондгой) авбал хоёр дахь цуврал шийдлүүдийг авна.

2. Одоо тэгшитгэлээ шийдье

Энэ нь өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн абсцисса тул бид тэнхлэг дээрх абсцисс бүхий цэгийг тэмдэглэнэ.

Тойрогтой огтлолцох хүртэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ босоо шугамыг зур. Бид тойрог дээр хэвтэж, абсциссатай хоёр оноо авна. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг ба радиантай тохирч байна. Цагийн зүүний дагуу хөдөлж байх үед бид сөрөг эргэлтийн өнцгийг олж авдаг гэдгийг санаарай.

Хоёр цуврал шийдлийг бичье:

(Бид үндсэн бүтэн тойргоос гарах замаар хүссэн цэг рүүгээ хүрдэг, өөрөөр хэлбэл.

Эдгээр хоёр цувралыг нэг оруулгад нэгтгэцгээе:

3. Тэгшитгэлийг шийд

Шүргэх шугам нь OY тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координат (1,0) цэгийг дайран өнгөрдөг.

Үүн дээр 1-тэй тэнцүү ординат бүхий цэгийг тэмдэглэе (бид аль өнцөг нь 1-тэй тэнцүү байх тангенсыг хайж байна):

Энэ цэгийг координатын эхтэй шулуун шугамаар холбож, шугамын огтлолцох цэгүүдийг нэгж тойрогтой тэмдэглэе. Шулуун шугам ба тойргийн огтлолцлын цэгүүд нь эргэх өнцөгтэй тохирч байна.

Бидний тэгшитгэлийг хангах эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэгүүд бие биенээсээ радиан зайд оршдог тул бид шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

4. Тэгшитгэлийг шийд

Котангентын шугам нь тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координаттай цэгээр дамждаг.

Котангентын шулуун дээрх абсцисса -1 цэгийг тэмдэглэе.

Энэ цэгийг шулуун шугамын эхтэй холбож, тойрогтой огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье. Энэ шулуун шугам нь тойрог болон радиануудын эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэгүүдээр тойргийг огтолно.