Комбинаторик бол дээд математикийн бие даасан салбар (тэрверийн нэг хэсэг биш) бөгөөд энэ чиглэлээр нэлээд жинтэй сурах бичгүүдийг бичсэн бөгөөд агуулга нь заримдаа хийсвэр алгебраас хялбар байдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч онолын мэдлэгийн багахан хэсэг нь бидэнд хангалттай байх бөгөөд энэ нийтлэлд би сэдвийн үндсийг ердийн комбинаторын асуудлуудтай хялбар хэлбэрээр шинжлэхийг хичээх болно. Та нарын олонхи нь надад туслах болно ;-)

Бид юу хийх гэж байна? Нарийн утгаараа комбинаторик гэдэг нь тодорхой багцаас хийж болох янз бүрийн хослолуудын тооцоо юм. салангидобъектууд. Объектууд нь хүн, амьтан, мөөг, ургамал, шавьж гэх мэт тусгаарлагдсан биет эсвэл амьд биетийг ойлгодог. Үүний зэрэгцээ, иж бүрдэл нь манна будаа, гагнуурын төмөр, намаг мэлхий зэргээс бүрдэхийг комбинаторик огт тоодоггүй. Эдгээр объектуудыг тоолж болох нь үндсэндээ чухал юм - тэдгээрийн гурав нь байдаг (салангид байдал)Хамгийн гол нь тэдгээрийн аль нь ч адилхан биш юм.

Бид одоо хослолуудын талаар маш их зүйлийг авч үзсэн. Хослолын хамгийн түгээмэл төрлүүд нь объектуудын сэлгэн залгалт, тэдгээрийг багцаас сонгох (хослол) ба хуваарилалт (байршуулах) юм. Энэ нь яг одоо хэрхэн болж байгааг харцгаая:

Дахин давтагдахгүйгээр солих, хослол, байршуулалт

Тодорхой бус нэр томъёоноос бүү ай, ялангуяа тэдгээрийн зарим нь үнэхээр тийм ч сайн биш байдаг. Гарчгийн сүүлээс эхэлье - юу хийдэг вэ? давталт байхгүй"? Энэ нь энэ хэсэгт бид бүрдсэн багцуудыг авч үзэх болно гэсэн үг юм янз бүрийнобъектууд. Жишээ нь, ... үгүй ​​ээ, би гагнуур, мэлхийтэй будаа өгөхгүй, илүү амттай зүйл байсан нь дээр байх болно =) Алим, лийр, гадил жимсний урд талын ширээн дээр болсон гэж төсөөлөөд үз дээ ( Хэрэв танд байгаа бол нөхцөл байдлыг бодит байдалд дуурайж болно). Бид жимсээ зүүнээс баруун тийш дараах дарааллаар байрлуулна.

алим / лийр / банана

Асуулт нэг: Тэдгээрийг хэдэн аргаар дахин зохион байгуулж болох вэ?

Нэг хослолыг дээр аль хэдийн бичсэн байгаа бөгөөд бусадтай холбоотой ямар ч асуудал байхгүй:

алим / банана / лийр
лийр / алим / банана
лийр / банана / алим
гадил / алим / лийр
гадил / лийр / алим

Нийт: 6 хослол эсвэл 6 орлуулалт.

За, боломжтой бүх тохиолдлыг жагсаахад хэцүү байсангүй, гэхдээ илүү олон объект байвал яах вэ? Дөрвөн өөр жимстэй бол хослолын тоо мэдэгдэхүйц нэмэгдэх болно!

Лавлах материалыг нээнэ үү (гарын авлагыг хэвлэхэд тохиромжтой) 2-р цэгт сэлгэлтийн тооны томьёог ол.

Ямар ч төвөг учруулахгүй - 3 объектыг янз бүрийн аргаар дахин зохион байгуулж болно.

Хоёр дахь асуулт: Та a) нэг жимс, б) хоёр жимс, в) гурван жимс, г) ядаж нэг жимс сонгох боломжтой юу?

Яагаад сонгох вэ? Тиймээс бид өмнөх цэг дээр хоолны дуршилыг нэмэгдүүлсэн - идэхийн тулд! =)

a) Нэг жимсийг гурван аргаар сонгож болно - алим, лийр, гадил жимсний аль нэгийг авна. Албан ёсны тооцоог заасны дагуу хийж байна хослолын тооны томъёо:

Энэ тохиолдолд оруулгыг дараах байдлаар ойлгох ёстой: "Та гурваас 1 жимсийг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?"

б) Хоёр жимсний боломжит бүх хослолыг жагсаая.

алим, лийр;
алим, банана;
лийр ба банана.

Хослолын тоог ижил томъёогоор хялбархан шалгаж болно.

Бичлэгийг үүнтэй төстэй байдлаар ойлгож байна: "Та гурваас 2 жимсийг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?"

в) Эцэст нь гурван жимс сонгох цорын ганц арга зам бий:

Дашрамд хэлэхэд, хослолын тооны томъёо нь хоосон дээжийн хувьд утга учиртай хэвээр байна.
Ийм байдлаар та ганц ч жимс сонгох боломжгүй - үнэндээ юу ч авахгүй, тэгээд л болоо.

d) Та хэдэн аргаар авч болох вэ? ядаж нэгжимс? "Ядаж нэг" гэсэн нөхцөл нь бид 1 жимс (ямар ч) эсвэл 2 жимс эсвэл бүх 3 жимсэнд сэтгэл хангалуун байна гэсэн үг юм.
Эдгээр аргуудыг ашиглан та дор хаяж нэг жимс сонгож болно.

Танилцуулгын хичээлийг сайтар судалсан уншигчид магадлалын онол, бид аль хэдийн ямар нэг зүйлийг таамагласан. Гэхдээ нэмэх тэмдгийн утгын талаар дараа нь дэлгэрэнгүй ярина уу.

Дараагийн асуултанд хариулахын тулд надад хоёр сайн дурын ажилтан хэрэгтэй байна... ...Хэн ч хүсэхгүй байгаа бол би чамайг удирдах зөвлөлд дуудъя =)

Гурав дахь асуулт: Даша, Наташа хоёрт нэг жимсийг хэдэн аргаар тарааж чадах вэ?

Хоёр жимс тараахын тулд эхлээд тэдгээрийг сонгох хэрэгтэй. Өмнөх асуултын "be" гэсэн догол мөрийн дагуу үүнийг янз бүрийн аргаар хийж болно, би тэдгээрийг дахин бичих болно:

алим, лийр;
алим, банана;
лийр ба банана.

Харин одоо хоёр дахин олон хослол байх болно. Жишээлбэл, эхний хос жимсийг авч үзье.
Та Дашаг алимаар, Наташаг лийрээр эмчилж болно;
эсвэл эсрэгээр - Даша лийр, Наташа алим авах болно.

Мөн ийм сэлгэлт нь хос жимс бүрийн хувьд боломжтой байдаг.

Бүжигт явсан оюутны бүлгийг авч үзье. Хүү, охин хоёрыг хэдэн янзаар хослуулж болох вэ?

Та 1 залууг сонгох арга замаар;
1 охиныг сонгох арга замууд.

Ингээд нэг залуу ТэгээдТа нэг охиныг сонгож болно: арга замууд.

Багц бүрээс 1 объект сонгогдсон тохиолдолд хослолыг тоолох дараах зарчим хүчинтэй байна: " бүрнэг багцаас объект хос үүсгэж болно бүртэйөөр олонлогийн объект."

Өөрөөр хэлбэл, Олег 13 охины аль нэгийг бүжигт урьж болно, Евгений арван гурван охины аль нэгийг нь урьж болно, бусад залуучууд ижил төстэй сонголттой. Нийт: боломжит хосууд.

Энэ жишээнд хос үүссэн "түүх" нь хамаагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй; Гэсэн хэдий ч хэрэв бид санаачлагыг харгалзан үзвэл 13 охин бүр ямар ч хөвгүүнийг бүжигт урих боломжтой тул хослолын тоог хоёр дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай. Энэ бүхэн тодорхой ажлын нөхцлөөс хамаарна!

Үүнтэй төстэй зарчим нь илүү төвөгтэй хослолуудад хүчинтэй байдаг, жишээлбэл: хоёр залуу эрэгтэйг хэдэн аргаар сонгож болох вэ? Тэгээдхоёр охин КВН-д оролцох уу?

Холбоо БАхослолыг үржүүлэх шаардлагатайг тодорхой харуулж байна:

Уран бүтээлчдийн боломжит бүлгүүд.

Өөрөөр хэлбэл, тус бүрхос хөвгүүд (45 өвөрмөц хос) хамтран тоглох боломжтой ямар чхос охид (78 өвөрмөц хос). Хэрэв бид оролцогчдын хоорондох үүргийн хуваарилалтыг авч үзвэл бүр илүү олон хослол байх болно. ...Үнэхээр хүсч байна, гэхдээ би чамайг оюутны амьдралд дургүй болгохгүйн тулд үргэлжлүүлэхээс татгалзах болно =).

Хослолыг үржүүлэх дүрэм нь илүү олон тооны үржүүлэгчид хамаарна.

Асуудал 8

5-д хуваагддаг гурван оронтой тоо хэд вэ?

Шийдэл: тодорхой болгохын тулд энэ тоог гурван одоор тэмдэглэе: ***

IN зуу зуун газарТа аль ч тоог (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 эсвэл 9) бичиж болно. Тэг нь тохиромжгүй, учир нь энэ тохиолдолд тоо гурван оронтой байхаа больсон.

Гэхдээ дотор аравтын байр(дунд хэсэгт) та 10 цифрээс аль нэгийг нь сонгож болно: .

Нөхцөлийн дагуу тоо нь 5-д хуваагдах ёстой. 5 эсвэл 0-ээр төгссөн тоо 5-д хуваагдана. Тиймээс бид хамгийн бага ач холбогдол бүхий оронтой 2 цифрийг хангасан байна.

Нийтдээ байгаа: 5-д хуваагддаг гурван оронтой тоо.

Энэ тохиолдолд уг ажлыг дараах байдлаар тайлсан болно: "Та тоог сонгох 9 арга зуу зуун газар ТэгээдТоо сонгох 10 арга аравтын байр Тэгээд 2 арга зам нэгжийн цифр»

Эсвэл бүр энгийн: " тус бүр 9 цифрээс зуу зуун газарнэгтгэдэг тус бүртэй 10 оронтой аравтын байр мөн тус бүртэйхоёр оронтой тооноос нэгжийн цифр».

Хариулах: 180

Одоо…

Тиймээ, Бор, Дима, Володя нарт тус бүр нэг картыг өөр өөр аргаар тарааж болох 5-р асуудлын амласан тайлбарыг би бараг мартсан. Энд үржүүлэх нь ижил утгатай: тавцангаас 3 картыг арилгах арга замууд БА бүртдээжийг арга замаар дахин цэгцлэх.

Одоо өөрийнхөөрөө шийдэх асуудал байна... одоо би илүү сонирхолтой зүйл гаргах болно... энэ нь блэк-ийн орос хувилбартай адил байх болтугай:

Асуудал 9

"Цэг" тоглоход 2 картын хэдэн ялалтын хослол байдаг вэ?

Мэдэхгүй хүмүүсийн хувьд: ялалтын хослол нь 10 + ACE (11 оноо) = 21 оноо бөгөөд хоёр хөзрийн ялалтын хослолыг авч үзье.

(ямар ч хос дахь картуудын дараалал хамаагүй)

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Дашрамд хэлэхэд, жишээг анхдагч гэж үзэх хэрэггүй. Блэкжак бол казиног ялах боломжийг олгодог математикт суурилсан алгоритмтай бараг цорын ганц тоглоом юм. Сонирхсон хүмүүс оновчтой стратеги, тактикийн талаар маш их мэдээлэл олж авах боломжтой. Үнэн, ийм мастерууд бүх байгууллагын хар жагсаалтад маш хурдан ордог =)

Хэд хэдэн хатуу даалгавраар бүрхэгдсэн материалыг нэгтгэх цаг болжээ.

Асуудал 10

Вася гэртээ 4 мууртай.

а) муурыг өрөөний буланд хэдэн янзаар суулгаж болох вэ?
б) муурыг хэдэн аргаар зугаалж болох вэ?
в) Вася хэдэн аргаар хоёр муур (нэг нь зүүн талд, нөгөө нь баруун талд) авч чадах вэ?

Шийдье: Нэгдүгээрт, та асуудалтай холбоотой гэдгийг дахин анхаарах хэрэгтэй өөробъектууд (муур нь адилхан ихрүүд байсан ч гэсэн). Энэ бол маш чухал нөхцөл юм!

a) Муурны чимээгүй байдал. Энэхүү гүйцэтгэлийн дагуу бүх муурыг нэг дор
+ тэдний байршил чухал тул энд сэлгэлтүүд байна:
Эдгээр аргуудыг ашиглан муурыг өрөөний буланд байрлуулж болно.

Сэлгээ хийхдээ зөвхөн өөр өөр объектуудын тоо, тэдгээрийн харьцангуй байрлал чухал гэдгийг би давтан хэлье. Васягийн сэтгэлийн байдлаас хамааран тэрээр амьтдыг буйдан дээр хагас тойрог хэлбэрээр, цонхны тавцан дээр дараалан суулгаж болно. – бүх тохиолдолд 24 сэлгэлт байх болно Тохиромжтой болгох үүднээс сонирхсон хүмүүс муурыг олон өнгийн (жишээлбэл, цагаан, хар, улаан, tabby) гэж төсөөлж, боломжтой бүх хослолыг жагсааж болно.

б) Та муурыг хэдэн аргаар зугаалж болох вэ?

Муурууд зөвхөн хаалгаар зугаалдаг гэж үздэг бөгөөд асуулт нь амьтдын тоонд хайхрамжгүй ханддаг - 1, 2, 3 эсвэл бүх 4 муур зугаалж болно.

Бид бүх боломжит хослолуудыг тооцдог.

Та нэг муурыг (дөрвийн аль нэгийг) зугаалахыг зөвшөөрч болно;
хоёр муурыг зугаалах арга замууд (сонголтуудыг өөрөө жагсаах);
гурван муурыг зугаалахаар явуулах боломжтой (дөрвийн нэг нь гэртээ суудаг);
Ингэснээр та бүх муурыг суллаж чадна.

Үр дүнгийн утгыг нэгтгэн дүгнэх ёстой гэж та таамагласан байх.
муурыг зугаалгаар явуулах арга замууд.

Сонирхогчдын хувьд би асуудлын төвөгтэй хувилбарыг санал болгож байна - ямар ч дээжийн муур 10-р давхрын хаалга, цонхоор санамсаргүй байдлаар гадаа гарах боломжтой. Хослолууд мэдэгдэхүйц нэмэгдэх болно!

в) Вася хоёр муурыг хэдэн аргаар авах вэ?

Нөхцөл байдал нь зөвхөн 2 амьтныг сонгохоос гадна тэдгээрийг гар тус бүрт байрлуулах явдал юм.
Эдгээр аргаар та 2 муур авах боломжтой.

Хоёрдахь шийдэл: та аргуудыг ашиглан хоёр муур сонгож болно Тэгээдтарих арга замууд бүргарт байгаа хос:

Хариулах: a) 24, б) 15, в) 12

За, ухамсраа цэвэрлэхийн тулд хослолыг үржүүлэх талаар илүү тодорхой зүйл ... Васяг нэмж 5 мууртай болгоё =) 2 муурыг хэдэн янзаар зугаалуулж болох вэ? Тэгээд 1 муур?

Энэ нь хамт тус бүрхэд хэдэн муурыг суллаж болно бүрмуур.

Бие даасан шийдэлд зориулсан өөр нэг товчлуурын баян хуур:

Асуудал 11

Гурван зорчигч 12 давхар барилгын цахилгаан шатанд суусан байна. Хүн бүр бусдаас үл хамааран аль ч (2-р давхраас эхлэн) ижил магадлалтайгаар гарч болно. Хэдэн аргаар:

1) зорчигчид нэг давхарт бууж болно (гарах дараалал хамаагүй);
2) хоёр хүн нэг давхарт, гурав дахь нь нөгөө давхарт бууж болно;
3) хүмүүс өөр өөр давхарт гарах боломжтой;
4) зорчигчид цахилгаан шатнаас гарах боломжтой юу?

Энд тэд дахин асуудаг, би тодруулж байна: хэрэв нэг давхарт 2 эсвэл 3 хүн гарах юм бол гарах дараалал хамаагүй. БОДОХ, хослолыг нэмэх/үржүүлэхэд томьёо, дүрмийг ашигла. Хүндрэл гарсан тохиолдолд зорчигчид нэрээ хэлж, ямар хослолоор лифтнээс гарах боломжтойг таамаглах нь ашигтай байдаг. Хэрэв ямар нэг зүйл болохгүй бол бухимдах шаардлагагүй, жишээлбэл, 2-р цэг нь маш зальтай, гэхдээ уншигчдын нэг нь энгийн шийдлийг олсон тул таны захидалд дахин талархаж байгаагаа илэрхийлье!

Хичээлийн төгсгөлд дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий бүрэн шийдэл.

Төгсгөлийн догол мөр нь ихэвчлэн тохиолддог хослолуудад зориулагдсан болно - миний субъектив үнэлгээний дагуу комбинаторын асуудлуудын ойролцоогоор 20-30% -д:

Сэлгээ, хослол, давталттай байршуулалт

Жагсаалтад орсон төрлийн хослолуудыг лавлах материалын 5-р зүйлд тусгасан болно Комбинаторикийн үндсэн томъёо, гэхдээ тэдгээрийн зарим нь эхний уншлагад тийм ч тодорхой биш байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд эхлээд практик жишээнүүдтэй танилцаж, дараа нь ерөнхий томъёоллыг ойлгохыг зөвлөж байна. Явах:

Дахин давтагдах өөрчлөлтүүд

"Энгийн" солихтой адил давталттай сэлгэн залгалтуудад, бүх олон объектыг нэг дор, гэхдээ нэг зүйл бий: энэ багцад нэг буюу хэд хэдэн элемент (объект) давтагдана. Дараагийн стандартыг хангана уу:

Асуудал 12

K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K гэсэн үсгүүдтэй картуудыг өөрчилснөөр хэдэн өөр үсгийн хослол авах боломжтой вэ?

Шийдэл: Хэрэв бүх үсгүүд өөр байсан бол өчүүхэн томьёог хэрэглэх шаардлагатай байсан ч санал болгож буй картуудын хувьд зарим заль мэх "сул зогсолтгүй" ажиллах нь тодорхой байна, жишээлбэл, хэрэв та хоёр картыг сольсон бол. "K" үсгээр ямар ч үгэнд та ижил үгийг авна. Түүнээс гадна, бие махбодийн хувьд картууд нь маш өөр байж болно: нэг нь "K" үсэгтэй дугуй хэлбэртэй, нөгөө нь "K" үсэг зурсан дөрвөлжин хэлбэртэй байж болно. Гэхдээ даалгаварын утгын дагуу ийм картууд ч гэсэн адилхан гэж үздэг, нөхцөл нь үсгийн хослолын талаар асуудаг тул.

Бүх зүйл маш энгийн - ердөө 11 карт, түүний дотор захидал:

K - 3 удаа давтана;
O - 3 удаа давтана;
L - 2 удаа давтана;
b - 1 удаа давтана;
H - 1 удаа давтагдсан;
Мөн - 1 удаа давтана.

Шалгах: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, энэ нь шалгах шаардлагатай зүйл юм.

Томъёоны дагуу давталттай солих тоо:
янз бүрийн үсгийн хослолыг авч болно. Хагас сая гаруй!

Том хүчин зүйлийн утгыг хурдан тооцоолохын тулд Excel-ийн стандарт функцийг ашиглахад тохиромжтой: дурын нүд рүү оруулна уу =БОДИТ(11)болон дарна уу Оруулна уу.

Практикт ерөнхий томьёог бичихгүй байх, үүнээс гадна нэгж хүчин зүйлийг орхих нь бүрэн зөвшөөрөгддөг.

Гэхдээ давтагдсан захидлын талаархи урьдчилсан тайлбар шаардлагатай!

Хариулах: 554400

Давталттай солих өөр нэг ердийн жишээ нь агуулахаас олж болох шатрын чулуу байрлуулах асуудалд тохиолддог. бэлэн шийдлүүдхаргалзах pdf-д. Бие даасан шийдлийн хувьд би арай бага томъёололтой даалгавар гаргаж ирэв.

Асуудал 13

Алексей спортоор хичээллэдэг бөгөөд долоо хоногт 4 өдөр - хөнгөн атлетик, 2 өдөр - хүч чадлын дасгал, 1 өдөр амардаг. Тэр өөртөө долоо хоногийн хуваарийг хэдэн аргаар гаргаж чадах вэ?

Энэ томьёо энд ажиллахгүй, учир нь энэ нь санамсаргүй солилцоог (жишээлбэл, Лхагва гарагийн хүч чадлын дасгалыг Пүрэв гарагийн хүчний дасгалуудтай солих) харгалзан үздэг. Дахин хэлэхэд - үнэндээ ижил 2 хүч чадлын бэлтгэл нь бие биенээсээ эрс ялгаатай байж болох ч даалгаврын хүрээнд (хуваарийн үүднээс) тэдгээрийг ижил элементүүд гэж үздэг.

Хичээлийн төгсгөлд хоёр мөрийн шийдэл, хариулт.

Давталттай хослолууд

Энэ төрлийн хослолын онцлог шинж чанар нь дээжийг хэд хэдэн бүлгээс авсан бөгөөд тус бүр нь ижил объектуудаас бүрддэг.

Өнөөдөр бүгд шаргуу ажилласан тул өөрийгөө сэргээх цаг болжээ.

Асуудал 14

Оюутны гуанз нь зуурмаг, бяслагны бялуу, пончикоор хийсэн хиам зардаг. Та таван бялууг хэдэн аргаар худалдаж авах вэ?

Шийдэл: давталттай хослуулах ердийн шалгуурыг нэн даруй анхаарч үзээрэй - нөхцөл байдлын дагуу энэ нь сонгоход санал болгож буй объектуудын багц биш, харин янз бүрийн төрөлобъект; худалдаанд дор хаяж таван хот-дог, 5 cheesecakes, 5 пончик байдаг гэж таамаглаж байна. Бүлэг тус бүрийн бялуу нь мэдээжийн хэрэг өөр өөр байдаг - учир нь яг ижилхэн гурилан бүтээгдэхүүнийг зөвхөн компьютер дээр дуурайлган хийх боломжтой =) Гэсэн хэдий ч бялууны физик шинж чанар нь асуудлын зорилгод тийм ч чухал биш бөгөөд халуун нохой / cheesecakes / Тэдний бүлгүүд дэх гурилан бүтээгдэхүүн нь адилхан гэж тооцогддог.

Түүвэрт юу байж болох вэ? Юуны өмнө түүвэрт яг ижил бялуу байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (Бид 5 ширхэгийг сонгож байгаа бөгөөд 3 төрлийн сонголттой байдаг). Энд амт болгоны сонголтууд байдаг: 5 хот-дог, 5 cheesecakes, 5 пончик, 3 хот-дог + 2 cheesecakes, 1 хот-дог + 2 cheesecakes + 2 пончик гэх мэт.

"Ердийн" хослолуудын нэгэн адил бялууг сонгох, байрлуулах дараалал нь хамаагүй - та ердөө 5 ширхэгийг сонгоод л болоо.

Бид томъёог ашигладаг давталттай хослолын тоо:
Та энэ аргыг ашиглан 5 бялуу худалдаж авах боломжтой.

Сайхан хооллоорой!

Хариулах: 21

Комбинаторын олон бодлогоос ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

Заримдаа хамгийн хэцүү зүйл бол нөхцөл байдлыг ойлгох явдал юм.

Бие даасан шийдлийн ижил төстэй жишээ:

Асуудал 15

Түрийвч нь нэлээд олон тооны 1, 2, 5, 10 рублийн зоос агуулдаг. Түрийвчнээс гурван зоосыг хэдэн аргаар гаргаж болох вэ?

Өөрийгөө хянахын тулд хэд хэдэн энгийн асуултанд хариулна уу:

1) Дээж дэх бүх зоос өөр байж болох уу?
2) Зоосны "хамгийн хямд", хамгийн "үнэтэй" хослолыг нэрлэ.

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл ба хариултууд.

Миний хувийн туршлагаас харахад давталттай хослолууд нь практикт хамгийн ховор зочин гэдгийг би хэлж чадна, үүнийг дараах төрлийн хослолуудын талаар хэлэх боломжгүй юм.

Давталт бүхий байрлалууд

Элементүүдээс бүрдсэн олонлогоос элементүүдийг сонгох ба сонголт бүрийн элементүүдийн дараалал чухал байдаг. Бүх зүйл сайхан байх болно, гэхдээ бид анхны багцын дурын объектыг хүссэн хэмжээгээрээ сонгож болно гэсэн гэнэтийн хошигнол юм. Дүрслэлээр хэлбэл, “олон цөөрөхгүй”.

Энэ хэзээ тохиолддог вэ? Ердийн жишээ бол хэд хэдэн диск бүхий хосолсон түгжээ боловч технологийн хөгжлийн улмаас түүний дижитал удамшлыг авч үзэх нь илүү чухал юм.

Асуудал 16

Хэдэн дөрвөн оронтой ПИН код байдаг вэ?

Шийдэл: үнэндээ асуудлыг шийдэхийн тулд комбинаторикийн дүрмийн мэдлэг хангалттай: ПИН кодын эхний цифрийг сонгох боломжтой. Тэгээдарга замууд - ПИН кодын хоёр дахь цифр Тэгээдолон талаараа - гуравдугаарт Тэгээдижил тоо - дөрөв дэх. Тиймээс хослолыг үржүүлэх дүрмийн дагуу дөрвөн оронтой пин кодыг дараах байдлаар бүрдүүлж болно.

Тэгээд одоо томъёог ашиглаж байна. Нөхцөлийн дагуу бидэнд дугаарыг санал болгож, тэдгээрээс дугаарыг сонгож, цэгцэлдэг тодорхой дарааллаар, харин түүвэр дэх тоонууд давтагдаж болно (өөрөөр хэлбэл эх олонлогийн аль ч цифрийг дурын хэдэн удаа ашиглаж болно). Дахин давтагдах байршлын тооны томъёоны дагуу:

Хариулах: 10000

Энд юу бодогддог вэ... ... АТМ гурав дахь удаагаа ПИН код оруулах оролдлого бүтэлгүйтсэний дараа картыг "идсэн" бол санамсаргүй байдлаар авах магадлал маш бага байдаг.

Комбинаторик нь практик утгагүй гэж хэн хэлсэн бэ? Сайтын бүх уншигчдад зориулсан танин мэдэхүйн даалгавар:

Асуудал 17

Улсын стандартын дагуу автомашины улсын дугаар нь 3 тоо, 3 үсгээс бүрдэнэ. Энэ тохиолдолд гурван тэгтэй тоог хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй бөгөөд үсгийг A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X багцаас сонгоно. (Зөвхөн кирилл үсэг нь латин үсэгтэй давхцаж байгаа үсгийг ашигладаг).

Тухайн бүс нутагт хэдэн өөр улсын дугаар үүсгэж болох вэ?

Дашрамд хэлэхэд тэд тийм ч олон биш. Томоохон бүс нутагт ийм тоо хэмжээ хангалтгүй байдаг тул тэдний хувьд RUS бичээсийн хэд хэдэн код байдаг.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна. Комбинаторикийн дүрмийг ашиглахаа бүү мартаарай ;-) ...Би онцгой зүйл гэдгийг харуулахыг хүссэн боловч онцгой биш байсан =) Би Википедиа руу харлаа - тайлбаргүй ч гэсэн тооцоолол байдаг. Хэдийгээр боловсролын зорилгоор үүнийг цөөхөн хүн шийдсэн байх.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм хичээл дуусч, эцэст нь би та цагаа дэмий үрээгүй гэдгийг хэлмээр байна - учир нь комбинаторикийн томъёо нь өөр нэг чухал практик хэрэглээг олж авдаг: тэдгээр нь янз бүрийн асуудлуудад байдаг. магадлалын онол,
болон дотор магадлалын сонгодог тодорхойлолттой холбоотой асуудлууд- ялангуяа ихэвчлэн =)

Идэвхтэй оролцсон та бүхэндээ баярлалаа, удахгүй уулзацгаая!

Шийдэл ба хариултууд:

Даалгавар 2: Шийдэл: 4 картын бүх боломжит сэлгэлтийн тоог ол:

Тэгтэй картыг 1-р байранд байрлуулахад тоо нь гурван оронтой болох тул эдгээр хослолыг хасах хэрэгтэй. Тэгийг 1-р байранд оруулаарай, дараа нь доод цифрүүдийн үлдсэн 3 цифрийг янз бүрийн аргаар дахин байрлуулж болно.

Анхаарна уу : учир нь Цөөн хэдэн карт байгаа тул энд бүх сонголтуудыг жагсаахад хялбар байдаг.
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Тиймээс, санал болгож буй багцаас бид дараахь зүйлийг хийж болно.
24 – 6 = 18 дөрвөн оронтой тоо
Хариулах : 18

Даалгавар 4: Шийдэл: арга замаар та 36 картаас 3 карт сонгох боломжтой.Тэгээд
2) "Хамгийн хямд" багц нь 3 рублийн зоос, хамгийн "үнэтэй" нь 3 арван рублийн зоос агуулдаг.

Асуудал 17: Шийдэл: Эдгээр аргуудыг ашиглан та машины дугаарын дижитал хослолыг үүсгэж болох бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг (000) хасах хэрэгтэй: .
Эдгээр аргуудыг ашиглан та автомашины дугаарын үсгийн хослолыг үүсгэж болно.
Үржүүлэх хослолын дүрмийн дагуу нийт дүнг гаргаж болно.
машины дугаар
(тус бүрдижитал хослолыг хослуулсан тус бүртэйүсгийн хослол).
Хариулах : 1726272

5-р ангид математикийн хичээл « Комбинаториктой танилцаарай" Хичээлийн сэдэв: Хичээлийн зорилго : Боломжит хувилбаруудыг хайж олох замаар комбинаторын бодлогын анхны ур чадваруудыг томъёолох.
Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:

Сонголтуудыг бүрэн тоолох аргыг ашиглан комбинаторын асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;

Тодорхой нөхцөл байдалд математикийн онолыг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;

Математиктай холбоотой хүмүүнлэгийн элементүүдийг оюутнуудад танилцуулах.

Боловсролын:

Шийдлийн аргыг бие даан сонгох, сонголтыг зөвтгөх чадварыг хөгжүүлэх;

Зөвхөн логик үндэслэлийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;

оновчтой кодлох аргыг сонгох чадварыг хөгжүүлэх;

Оюутнуудын харилцааны болон бүтээлч чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын:

Гүйцэтгэсэн ажлын чанар, үр дүнгийн хариуцлагын мэдрэмжийг төлөвшүүлэх; Ажилдаа ухамсартай хандлагыг төлөвшүүлэх;

Эцсийн үр дүнгийн хариуцлагыг бий болгох.

Тоног төхөөрөмж:

интерактив самбар; тараах материал (өнгөт судлууд: цагаан, хөх, улаан); даалгаврын картууд.

Хичээлийн үеэр.

Зохион байгуулах цаг. Шинэ материал сурах. Практик хэсэг. Тусгал Тэмдэглэгээ Гэрийн даалгавар

Зохион байгуулах цаг.

Багш: Сайн уу залуусаа! Амьдралд та ихэнхдээ сонголт, шийдвэр гаргах хэрэгтэй болдог. Үүнийг хийх нь маш хэцүү, ямар ч сонголт байхгүй, гэхдээ та олон боломжит хувилбарууд, янз бүрийн арга, хослолуудаас сонгох хэрэгтэй болдог. Мөн бид үргэлж энэ сонголтыг оновчтой байхыг хүсдэг. Өнөөдөр бидний шийдэх ажлууд нь таныг бүтээх, ер бусын сэтгэх, анхнаасаа юуг анзааралгүй өнгөрч байсныг харахад туслах болно. Өнөөдөр бид дэлхий маань математикаар дүүрэн байгааг дахин нэг удаа баталгаажуулж, бидний эргэн тойрон дахь математикийг тодорхойлох судалгаагаа үргэлжлүүлэх болно.Та "хааны байр суурь" гэж юу болохыг мэдэх үү? Гайхамшигтай дүр төрхийг авахыг хичээцгээе: нуруу нь шулуун, толгойн булчингууд нь хурцадмал байдалгүй, нүүрний илэрхийлэл нь маш чухал юм: Эцсийн эцэст та роялти тоолж чадахгүй тийм сайн тоолохыг мэддэг. Бид тархиа маш хурдан идэвхжүүлдэг. Үүнийг хийхийн тулд хөмсөгний хоорондох цэгийг эрчимтэй массаж хий: баруун гарын долоовор хуруугаараа нэг чиглэлд, нөгөө чиглэлд 5 дугуй хөдөлгөөн хийнэ. Үүнийг 2-3 удаа давтая

Сэдвийг шинэчлэх, сэдэл өгөх.

1-р асуудлыг шийдье, Асуудал 1 . Кино театрын касс дээр дөрвөн залуу зогсож байна. Тэдний хоёр нь зуун рублийн дэвсгэрттэй, нөгөө хоёр нь тавин рублийн дэвсгэрттэй.(Багш 4 сурагчийг самбарт дуудаж, мөнгөн дэвсгэртийн загварыг өгдөг). Киноны тасалбар 50 рублийн үнэтэй. Борлуулалтын эхэнд кассын машин хоосон байна.(Багш "касс" руу утасдаж, "тасалбар" өгдөг) . Өөрчлөлтийг хэн ч хүлээхгүйн тулд залуус өөрсдийгөө хэрхэн байрлуулах ёстой вэ? Хоёр боломжит шийдлийг олох боломжтой дүр зургийг үзүүлье:

50 рубль, 100 рубль, 50 рубль, 100 рубль; 50 рубль, 50 рубль, 100 рубль, 100 рубль (слайд No2 ба No3).

Даалгавар №2 . Хэд хэдэн улс төрийн далбаандаа цагаан, цэнхэр, улаан гэсэн өөр өөр өнгийн ижил өргөнтэй гурван хэвтээ судлууд хэлбэрээр бэлгэдлийг ашиглахаар шийдсэн. Улс бүр өөр өөрийн далбаатай бол ийм бэлгэдлийг хэр олон улс хэрэглэж болох вэ?(Оюутнуудад өнгөт судлууд (цагаан, хөх, улаан) өгч, тугны янз бүрийн хувилбаруудыг хийхийг хүссэн үү? (Слайд №4)Багш: Хичээлийн дараагийн алхам руу шилжихээсээ өмнө жаахан амарцгаая. Сандал дээр суух - тайвширч, өлгүүрт өлгөгдсөн хүрэмний позыг авах, Хөршүүд рүүгээ нүдээ бууд. Тохойгоо нурууныхаа ард аль болох чанга барьж, дараа нь өөрийгөө чанга тэвэр.

Шинэ материал сурах .

Багш: Тиймээс, эдгээр асуудлыг шийдэхдээ бид бүх боломжит хувилбаруудыг хайж,эсвэл эдгээр тохиолдлуудад ихэвчлэн хэлдэгчлэн бүх боломжит хослолууд. Иймд ийм бодлогуудыг комбинатор гэж нэрлэдэг. Та амьдралын боломжит (эсвэл боломжгүй) хувилбаруудыг байнга тооцоолох шаардлагатай байдаг тул комбинаторын асуудлуудтай танилцах нь ашигтай байдаг.мөн эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх математикийн салбарыг комбинаторик гэж нэрлэдэг.(Слайд №5) Оюутнууд дэвтэр дээрээ тодорхойлолтыг бичдэг.

Комбинаторик өгөгдсөн дүрмийн дагуу өгөгдсөн элементүүдийг сонгох, цэгцлэх асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан математикийн салбар юм.

Комбинаторын бодлогын нийтлэг асуулт бол " Хэдэн аргаар ...?" эсвэл

« Хэдэн сонголт …?»

Багш аа : Дахин нэг удаа тугны асуудал руу буцъя, боломжит хувилбаруудын тооллогыг ашиглан үүнийг шийдье: (слайд № 7) KBS KSB BSK BKS SBC SKBХариулт: 6 сонголт. Тиймээс энэ асуудлыг шийдэхдээ бид боломжит хувилбаруудыг тоолох арга замыг хайж байсан. ондИхэнх тохиолдолд зураг зурах нь ашигтай байдаг - сонголтуудыг тоолох диаграмм. Энэ нь нэгдүгээрт, ойлгомжтой, хоёрдугаарт, бүх зүйлийг анхаарч үзэх, юу ч алдахгүй байх боломжийг бидэнд олгодог.

Шийдлийн туг

BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB сонголтууд.

Хариулт: 6 сонголт.

Хариултыг хүн бүр мэдэх ёстой асуулт: танилцуулсан тугуудын аль нь ОХУ-ын төрийн далбаа вэ? (Слайд № 7)

Зөвхөн Оросын төрийн далбаанд эдгээр гурван өнгөтэй байдаггүй. Төрийн далбаа нь ижил өнгөтэй улсууд байдаг.

KBS - Люксембург,

Нидерланд.

Франц SKB

Багш: Ийм бодлогуудыг логик үндэслэлээр шийдвэрлэх дүрмийг олъё.

Өнгөт зураасны жишээг харцгаая. Цагаан судал авцгаая - үүнийг 3 удаа дахин зохион байгуулж болно, цэнхэр судал ав - үүнийг зөвхөн 2 удаа дахин зохион байгуулж болно, учир нь газруудын нэг нь аль хэдийн цагаан судалтай байгаа бол улаан судал ав - үүнийг зөвхөн нэг удаа байрлуулж болно.

НИЙТ: 3 x 2 x 1=6

Ажлын үндсэн дүрэм :

Үржүүлэх дүрэм: Хэрэв хослолын эхний элементийг хэд хэдэн аргаар сонгож, дараа нь хоёр дахь элементийг b хэлбэрээр сонгож чадвал нийт хослолын тоо a x b-тэй тэнцүү болно. . (слайд №8)

Нүдэнд зориулсан дасгал. (слайд №9)

"Дүрс" дасгал.

Дөрвөлжин, тойрог, гурвалжин, зууван, ромбыг цагийн зүүний дагуу, дараа нь цагийн зүүний эсрэг зур.

Практик хэсэг

Багш: Одоо математикийн бодлого руу шилжье. (бид даалгавар бүхий карт тараадаг)

Нэг алдартай мушкетерын хувцасны шүүгээнд 3 гоёмсог малгай, 4 гайхалтай нөмрөг, 2 хос гутал байдаг. Тэр хэдэн хувцасны сонголт хийж чадах вэ? (Бид гурван багцаас нэг элементийг сонгодог, өөрөөр хэлбэл бид "гурав" хийдэг бөгөөд энэ нь үржүүлэх дүрмийн дагуу бид 3 4 2 = 24 хувцасны сонголтыг авна гэсэн үг юм.)

Хөлбөмбөгийн багт 11 хүн байдаг. Ахмад, түүний орлогчийг сонгох шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ? (Нийт 11 хүн байгаа нь ахлагчийг 11 янзаар сонгох боломжтой гэсэн үг, үүнээс дэд ахлагчийг сонгох боломжтой 10 тоглогч үлдсэн. Тэгэхээр ахлагч болон түүний орлогчийг 11 10 = 110-д сонгох боломжтой. арга замууд.)

Тоонууд давтагдаж байвал 1, 4, 7 тоонуудыг ашиглан хэдэн өөр хоёр оронтой тоо гаргаж болох вэ? (Та хоёр оронтой тоо авах ёстой - зөвхөн хоёр байрлал. Эхний байрлалд та санал болгож буй тоонуудын аль нэгийг тавьж болно - сонгох 3 сонголт, хоёр дахь байрлалд тоог давтах боломжийг харгалзан үзэх боломжтой. Сонгох 3 сонголт. Энэ нь бид 3 3 = 9 аргаар хос тоог бүрдүүлдэг, өөрөөр хэлбэл та 9 тоог авна гэсэн үг юм.

1, 2, 3, 4, 5 гэсэн цифрүүд давтагдахгүй бол хэдэн өөр гурван оронтой тоо гаргаж болох вэ? (Гурван оронтой тоо: эхний байрлал - тоонуудын 5 сонголт, тоонуудын давталтыг хассан хоёр дахь байрлал - 4 сонголт, гурав дахь байрлал - 3 сонголт. Бид 5 4 3 = 60 тоог авна.)

0, 1, 2, 3 тоонуудаас хэдэн өөр хоёр оронтой тоо гаргаж болох вэ: а) давтагдах боломжтой; б) давтаж болохгүй юу? (a) Аливаа олон оронтой тоонуудын нэгэн адил хоёр оронтой тоо нь 0-ээр эхэлж болохгүй тул эхний байрлалд байгаа 4 оронтой тооноос ердөө 3-ыг нь буюу 3 сонголтыг хоёр дахь байрлалд давталтыг харгалзан үзэж болно. , та аль ч цифрийг тавьж болно - 4 сонголтоос сонгох боломжтой. Тиймээс 3 4 = 12 тоо гарч ирнэ; б) Эхний байрлал – 3 сонголт, хоёр дахь байрлал – 3 сонголт, учир нь давталтыг хассан. Бид 3 3 = 9 тоог авна.)

Аюулгүй код нь таван өөр тооноос бүрдэнэ. Шифр үүсгэх хэдэн өөр сонголт байдаг вэ? (5 4 3 2 1 = 120 сонголт.) 6 ширхэг хутгатай ширээнд 6 хүнийг хэдэн янзаар суулгаж болох вэ? (6 5 4 3 2 1 = 720 арга.)

6 төхөөрөмж?(6 5 4 3 2 1 = 720 арга.)

(8 7 6 5 4 = 6720 сонголт.)

(Ашигласан тоонууд нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - нийт 10 оронтой, тооны эхэнд 0 ба 9-ийг оруулахгүй байх боломжийг харгалзан үзнэ. давталт, бид 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8,000,000 тоог авна.)

Тусгал

Багш: Залуус аа, бидний хичээл дуусч байна. Өнөөдөр бид зорилгодоо хүрсэн гэж бодож байна уу, яагаад? Хичээл дээр юу хэцүү байсан бэ, та үүнийг хэрхэн даван туулах вэ? Бодоод, хийж байгаа ажил, хийсэн ажлынхаа оноог өөртөө өг, өөрөө тавь, залуусын хэн нь ч энэ тэмдгийг харахгүй, өөртөө үнэнч байхыг хичээгээрэй. Та хичээлдээ бүрэн оролцсон уу? Илүү сайн үр дүнд хүрэхийн тулд юу хийх хэрэгтэй вэ?

Нэмж дурдахад оюутнуудаас 3 хурдан асуултанд хариулах шаардлагатай.

Өнөөдрийн хичээл дээр би... (хялбар, ихэвчлэн, хэцүү)

Би... (сурсан, хэрэглэж чаддаг, сурсан, хэрэглэхэд хэцүү, сураагүй)

Хичээлийн хувьд миний өөрийгөө үнэлэх үнэлэмж...

Та дээрх асуултын хариултанд гарын үсэг зурах шаардлагагүй, учир нь Тэдний гол үүрэг бол багшид хичээл, түүний үр дүнд дүн шинжилгээ хийхэд туслах явдал юм

Дүгнэж байна . Тэмдэглэгээ

Багш: Өнөөдөр та бүхний олонх нь сайн ажиллаж, олон шинэ зүйл сурсанд маш их баяртай байна, гэхдээ та бүгдээрээ гэртээ шаргуу ажиллаж, дараагийн хичээл дээр муу дүн авахгүй байхыг үнэхээр хүсч байна.

7. Гэрийн даалгавар :

1) Ангийнхаа талаар асуудал үүсгэ

2) Хэд хэдэн улс төрийн далбаандаа цагаан, цэнхэр, улаан гэсэн өөр өөр өргөнтэй, өөр өөр өнгийн 3 хэвтээ судлууд хэлбэрээр бэлгэдлийг ашиглахаар шийдсэн. Улс бүр өөр өөрийн далбаатай бол ийм бэлгэдлийг хэр олон улс хэрэглэж болох вэ?

3) а) 1, 3, 5, 7, 9 тооноос хоёр оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ?

б) 1, 3, 5, 7, 9 тоонуудаас хоёр оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ, хэрэв энэ тоо давтагдахгүй байх ёстой вэ?

Багш аа : Ингээд та бүхэнтэй уулзаж, математикийн хичээлийг сонирхож байгаадаа баяртай байна, энэ нь таны бодол санаа, үйл ажиллагаанд эерэгээр тусах нь дамжиггүй. Хичээл дууслаа. Бүгдэд нь баярлалаа. Баяртай.

Уран зохиол:

Е.А.Бунимович, В.А. Булычев. Ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн хичээл дэх магадлал, статистик: лекц 1-4, 5 – 8. – М.: Багшийн их сургууль “9-р сарын 1” 2006 он.

Виленкин Н.Я. Математик. 5-р анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг. байгууллагууд / Н.Я.Виленкин ба бусад - М.: Мнемосина, 2009.

Смыкалова Е.В. 5-р ангийн сурагчдад зориулсан математикийн нэмэлт бүлгүүд. SPb: SMIO. Хэвлэл, 2006.

5-р анги. "Математик-5", I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004 он.

Даалгавар (карт)

Нэг алдартай мушкетерын хувцасны шүүгээнд 3 гоёмсог малгай, 4 гайхалтай нөмрөг, 2 хос гутал байдаг. Тэр хэдэн хувцасны сонголт хийж чадах вэ?

Хөлбөмбөгийн багт 11 хүн байдаг. Ахмад, түүний орлогчийг сонгох шаардлагатай. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?

Тоонууд давтагдвал 1, 4, 7 тоонуудыг ашиглан хэдэн өөр хоёр оронтой тоо гаргаж болох вэ?

1, 2, 3, 4, 5 гэсэн цифрүүд давтагдахгүй бол хэдэн өөр гурван оронтой тоо гаргаж болох вэ?

0, 1, 2, 3 тоонуудаас хэдэн өөр хоёр оронтой тоо гаргаж болох вэ: а) давтагдах боломжтой; б) давтаж болохгүй юу?

Аюулгүй код нь таван өөр тооноос бүрдэнэ. Шифр үүсгэх хэдэн өөр сонголт байдаг вэ?

Аль ширээн дээр 6 хүнийг хэдэн янзаар суулгаж болох вэ? 6 төхөөрөмж?

Тавдугаар ангид 8 хичээл судалдаг. Хэрэв энэ өдөр 5 хичээл байх ёстой бөгөөд бүх хичээлүүд өөр байвал даваа гаригт хэдэн өөр цагийн хуваарийн хувилбар үүсгэж болох вэ?

1. Хэрэв та 0 ба 9-ээс эхэлсэн тоог хасвал долоон оронтой хэдэн утасны дугаар үүсгэж болох вэ?

Хариултууд

Бид гурван багцаас нэг элементийг сонгож, өөрөөр хэлбэл бид "гурав" -ыг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ нь үржүүлэх дүрмийн дагуу бид 3 4 2 = 24 хувцасны сонголтыг авна гэсэн үг юм.

Нийт 11 хүн байгаа нь ахлагчийг 11 аргаар сонгох боломжтой гэсэн үг бөгөөд тэднээс дэд ахлагч сонгох боломжтой 10 тоглогч үлдэх болно. Тэгэхээр ахмад ба түүний орлогч хоёрыг 11 10 = 110 аргаар сонгож болно.

Та хоёр оронтой тоо авах ёстой - зөвхөн хоёр байрлал. Эхний байрлалд та санал болгож буй тоонуудын аль нэгийг тавьж болно - 3 сонголт, хоёр дахь байрлалд дугаарыг давтах боломжийг харгалзан 3 сонголт байна. Энэ нь бид 3 3 = 9 аргаар хос тоог бүрдүүлдэг гэсэн үг юм, өөрөөр хэлбэл. та 9 тоо авах болно.

Гурван оронтой тоо: эхний байрлал - тоонуудын 5 сонголт, тоонуудын давталтыг хассан хоёр дахь байрлал - 4 сонголт, гурав дахь байрлал - 3 сонголт. Бид 5 4 3 = 60 тоог авна.

(a) Аливаа олон оронтой тоонуудын нэгэн адил хоёр оронтой тоо нь 0-ээр эхэлж болохгүй тул эхний байрлалд байгаа 4 оронтой тооноос ердөө 3-ыг нь буюу 3 сонголтыг хоёр дахь байрлалд давталтыг харгалзан үзэж болно. , та аль ч цифрийг тавьж болно - 4 сонголтоос сонгох боломжтой. Тиймээс 3 4 = 12 тоо гарч ирнэ; б) Эхний байрлал – 3 сонголт, хоёр дахь байрлал – 3 сонголт, учир нь давталтыг хассан. Бид 3 3 = 9 тоог авна.

5 4 3 2 1 = 120 сонголт.

1. 6 5 4 3 2 1 = 720 арга

2. 8 7 6 5 4 = 6720 сонголт

   Ашигласан тоонууд нь 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - давтагдах боломжийг харгалзан тооны эхэнд 0 ба 9-ийг оруулаагүй нийт 10 оронтой тоо юм. , бид 8 10 10 10 10 10 10 = 8,000,000 тоог авна.

Олон практик асуудлыг шийдвэрлэхдээ элементүүдийн хослолыг ашиглах, өгөгдсөн багцаас тодорхой шинж чанартайг сонгож, тэдгээрийг тодорхой дарааллаар байрлуулах шаардлагатай. Ийм ажлуудыг нэрлэдэг комбинатор. Өгөгдсөн нөхцлийн дагуу элементүүдийг сонгох, байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан математикийн салбарыг комбинаторик гэж нэрлэдэг. "Комбинаторик" гэсэн нэр томъёо нь Латин үгнээс гаралтай "хослуулах"Орос хэл рүү орчуулсан нь "холбох", "холбох" гэсэн утгатай.

Сонгосон элементүүдийн бүлгүүдийг холболт гэж нэрлэдэг. Хэрэв холболтын бүх элементүүд өөр өөр байвал бид давталтгүйгээр холболтыг олж авах бөгөөд үүнийг доор авч үзэх болно.

Ихэнх комбинатын асуудлыг хоёр үндсэн дүрмийг ашиглан шийддэг. нийлбэрийн дүрэм ба бүтээгдэхүүний дүрэм.

Даалгавар 1.

Бүгд цайны дэлгүүрт 6 өөр аяга, 4 өөр таваг байна. Та хэдэн аяга, тавагны сонголттой худалдан авах боломжтой вэ?

Шийдэл.

Бид аягыг 6 янзаар, тавагыг 4 янзаар сонгож болно. Бид хос аяга, таваг худалдаж авах шаардлагатай байдаг тул үүнийг 6 · 4 = 24 аргаар (бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу) хийж болно.

Хариулт: 24.

Комбинаторын асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд шаардлагатай нэгдлүүдийн тоог олохын тулд зөв томъёог сонгох хэрэгтэй. Дараах диаграм нь үүнд тусална.

Өөр өөр төрлийн холболтын хэд хэдэн асуудлыг давталгүйгээр шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Даалгавар 2.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 тоонуудаас хийж болох гурван оронтой тооны тоог олоорой.

Шийдэл.

Томьёог сонгохын тулд бидний зохиох тоонуудын дарааллыг харгалзан үзсэн бөгөөд бүх элементүүдийг нэгэн зэрэг сонгоогүй болохыг олж мэдэв. Энэ нь энэ холболт нь тус бүр 3 элементийн 7 элементийн зохион байгуулалт гэсэн үг. Байршлын тоог тодорхойлох томъёог ашиглана уу: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 тоо.

Хариулт: 210.

Даалгавар 3.

Бүх цифрүүд нь өөр, тэгээр эхэлж болохгүй долоон оронтой хэдэн утасны дугаар байдаг вэ?

Шийдэл.

Эхлээд харахад энэ даалгавар нь өмнөхтэй адил боловч хүндрэл нь бид эхнээс нь эхэлсэн холболтуудыг анхаарч үзэхгүй байх ёстой. Энэ нь одоо байгаа 10 оронтой тооноос бүх долоон оронтой утасны дугаарыг бүрдүүлж, гарсан тооноос тэгээр эхэлсэн тоог хасах шаардлагатай гэсэн үг юм. Томъёо нь дараах байдлаар харагдах болно.

A 10 7 – A 9 6 = 10 9 8 7 6 5 4 – 9 8 7 6 5 4 = 544,320.

Хариулт: 544 320.

Даалгавар 4.

12 номыг тавиур дээр, 5 нь шүлгийн түүвэр байхаар хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?

Шийдэл.

Эхлээд 5 түүврийг болзолтойгоор нэг ном болгон авъя, учир нь тэдгээр нь хоорондоо зэрэгцэн зогсох ёстой. Хослолд дараалал зайлшгүй чухал бөгөөд бүх элементүүдийг ашигладаг тул эдгээр нь 8 элементийн (7 ном + ердийн 1 ном) солигдсон гэсэн үг юм. Тэдний тоо R 8 байна. Дараа нь бид зөвхөн шүлгийн түүврийг өөр хоорондоо дахин зохион байгуулах болно. Үүнийг 5 аргаар хийж болно. Цуглуулга болон бусад номыг хоёуланг нь цэгцлэх шаардлагатай тул бид бүтээгдэхүүний дүрмийг ашиглана. Тиймээс P 8 · P 5 = 8! · 5!. Аргын тоо их байх тул хариултыг хүчин зүйлийн үржвэр хэлбэрээр үлдээж болно.

Хариулт: 8! · 5!

Асуудал 5.

Ангид 16 хүү, 12 охин байна. Сургуулийн ойролцоох талбайг цэвэрлэхэд 4 хүү, 3 охин хэрэгтэй. Тэднийг ангийн бүх сурагчдаас хэдэн аргаар сонгож болох вэ?

Шийдэл.

Нэгдүгээрт, бид 16-аас 4 хүүг, 12 охиноос 3-ыг тусад нь сонгоно. Байршуулах дарааллыг харгалзаагүй тул харгалзах нэгдлүүд нь давталтгүй хослолууд юм. Охид, хөвгүүдийг нэгэн зэрэг сонгох шаардлагатай байгаа тул бид бүтээгдэхүүний дүрмийг ашигладаг. Үүний үр дүнд аргын тоог дараах байдлаар тооцоолно.

C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 4)) ·((10 · 11) · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Хариулт: 400 400.

Тиймээс комбинаторын асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх нь түүний нөхцөл байдалд зөв дүн шинжилгээ хийх, бүрдэх нэгдлүүдийн төрлийг тодорхойлох, тэдгээрийн хэмжээг тооцоолох тохиромжтой томъёог сонгохоос хамаарна.

Асуулт хэвээр байна уу? Комбинаторын асуудлыг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Комбинаторын олон асуудалд бидний сонирхсон хувилбаруудын тоог шууд олоход хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч асуудлын нөхцөл байдалд зарим өөрчлөлт орсноор та эх хувилбараас хэд хэдэн удаа давсан хэд хэдэн сонголтыг олох боломжтой. Энэ техникийг нэрлэдэг олон тоолох арга.

1. АНГИЛ гэдэг үг хэдэн анаграмтай вэ?

Хэцүү зүйл бол энэ үгэнд хоёр ижил C үсэг байгаа явдал юм. Бид тэдгээрийг түр зуур өөр гэж үзэж, C 1 ба C 2 гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь анаграмын тоо 5-тай тэнцүү байх болно! = 120. Гэхдээ зөвхөн C 1 ба C 2 үсгүүдийг дахин цэгцлэхэд л өөр хоорондоо ялгаатай үгс нь яг ижил анаграмм юм! Тиймээс 120 анаграммыг ижил төстэй хос болгон хуваадаг, өөрөөр хэлбэл. шаардлагатай анаграмын тоо 120/2 = 60 байна.

2. ЧАРАДА гэдэг үг хэдэн анаграмтай вэ?

Гурван А үсгийг өөр өөр A 1, A 2, A 3 үсэг гэж тоолоход бид 6 болно! анаграмууд Гэхдээ зөвхөн A 1, A 2, A 3 үсгүүдийг дахин цэгцлэх замаар бие биенээсээ үүссэн үгс нь яг ижил анаграм юм. Учир нь 3 байна! Анх 6 авсан A 1, A 2, A 3 үсгүүдийн сэлгэлт! Анаграммуудыг 3 бүлэгт хуваадаг! ижил, өөр өөр анаграмын тоо 6 болж хувирна!/3! = 120.

3. Дор хаяж нэг тэгш оронтой дөрвөн оронтой тоо хэд вэ?

Бичлэг нь зөвхөн сондгой цифр агуулсан "шаардлагагүй" дөрвөн оронтой тооны тоог олцгооё. Ийм тоо 5 4 = 625 байна.Гэхдээ нийт дөрвөн оронтой 9000 тоо байгаа тул шаардлагатай "шаардлагатай" тоо 9000 – 625 = 8375 байна.

1. ВЕРЕСК, БАЛАГАН, ХОТЫН хүн гэсэн үгийн анаграмын тоог олоорой.
2. БАОБАБ, БАЛЛАД, ЭРГЭЛТ, АНАГРАМ, МАТЕМАТИК, КОМБИНАТОРИК, ХАМГААЛАХ гэсэн үгийн анаграмын тоог ол.
3. Зочид буудлын дан, давхар, дөрвөлжин гэсэн гурван өрөөнд 7 зочдыг хэдэн янзаар байрлуулах вэ?
4. Хөргөгчинд хоёр алим, гурван лийр, дөрвөн жүрж байна. Петя есөн өдөр дараалан өдөр бүр нэг ширхэг жимс өгдөг. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
5. Тус сургуулийн шилдэг долоон цаначнаас гурван хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй баг шалгарч хотын тэмцээнд оролцох ёстой. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
6. Профессор шалгалтын өмнө шалгуулагчдын тал хувь нь муу дүн өгнө гэж амласан. Шалгалтанд 20 оюутан ирсэн. Тэр амлалтаа хэр олон аргаар биелүүлж чадах вэ?
7. Таван А үсэг, гурваас илүүгүй В үсгээс хэдэн үг хийж болох вэ?
8. Шоколад, гүзээлзгэнэ, сүүтэй зайрмаг бэлэн байна. Гурван зайрмагийг хэдэн аргаар худалдаж авч болох вэ?
9. Пицца бэлтгэхдээ тодорхой амтыг өгөхийн тулд бяслагт янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмдэг. Билл сонгино, мөөг, улаан лооль, чинжүү, анчоус зэргийг эзэмшдэг бөгөөд түүний бодлоор бяслагт нэмж болно. Билл хэдэн төрлийн пицца хийж чадах вэ?
10. Гэмт этгээдүүд Мерседес маркийн автомашинд сууж зугтсаныг гэмт хэргийн гэрч санасан бөгөөд түүний улсын дугаарт T, Z, U үсэг, 3, 7 гэсэн тоо (тоо гэдэг нь эхлээд гурван үсэг, дараа нь гурван тоо агуулсан мөр юм) . Ийм тоо хэд байдаг вэ?
11. Гүдгэрт хэдэн диагональ байдаг вэ? n-дөрвөлжин?
12. Хэдэн зүйл байдаг вэ? n- дижитал тоо?
13. Дор хаяж хоёр ижил цифртэй арван оронтой хэдэн тоо байдаг вэ?
14. Шоог гурван удаа шиднэ. Үр дүнгийн бүх боломжит дарааллын дунд дор хаяж нэг удаа зургаа эргэлддэг үр дүн байдаг. Хэдэн хүн байгаа вэ?
15. Хэдэн таван оронтой тоонуудын тэмдэглэгээнд 1-ийн цифр байгаа вэ?
16. Цагаан, хар хаад шатар дээр бие биенээ цохихгүйгээр хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
17. 10800 тоо хэдэн хуваагчтай вэ?

Сэдвийн хураангуй:

10-р ангийн сурагч “Б” төгссөн

53-р дунд сургууль

Глухов Михаил Александрович

Набережные Челны

2002
Агуулга

Комбинаторикийн түүхээс___________________________________________________	3
Нийлбэрийн дүрэм ______________________________________________________	4
	-
Бүтээгдэхүүний дүрэм ________________________________________________	4
Ажлын жишээ ______________________________________________________	-
Осолцож буй олонлогууд ______________________________________________________	5
Ажлын жишээ ______________________________________________________	-
Эйлерийн тойрог________________________________________________________________	-
Дахин давтагдахгүйгээр байршуулах ______________________________________________________	6
Ажлын жишээ ______________________________________________________	-
Дахин давтагдахгүйгээр солих ________________________________________________	7
Ажлын жишээ ______________________________________________________	-
Давталтгүй хослолууд ______________________________________________________	8
Ажлын жишээ ______________________________________________________	-
Дахин давтагдахгүйгээр байршуулалт ба хослолууд____________________________	9
Ажлын жишээ ______________________________________________________	-
Дахин давталттай орлуулалт ________________________________________________	9
Ажлын жишээ ______________________________________________________	-
Бие даасан шийдвэрлэх асуудал ______________________________________	10
Ном зүй___________________________________	11

Комбинаторикийн түүхээс

Комбинаторик нь хязгаарлагдмал олонлогийн элементүүдээс үүсгэж болох янз бүрийн төрлийн холболтуудыг авч үздэг. Комбинаторикийн зарим элементүүдийг Энэтхэгт 2-р зууны эхэн үед мэддэг байсан. МЭӨ д. Нидианчууд тоог хэрхэн тооцоолохыг мэддэг байсан бөгөөд үүнийг одоо "хослол" гэж нэрлэдэг. 12-р зуунд. Бхаскара зарим төрлийн хослол, сэлгэлтийг тооцоолсон. Энэтхэгийн эрдэмтэд нэгдлүүдийг яруу найрагт хэрэглэх, шүлэг, яруу найргийн бүтээлийн бүтцийг судлахтай холбон судалж байсан гэж үздэг. Жишээлбэл, n үетэй хөлийн өргөлттэй (урт) ба дараагүй (богино) үеүүдийн боломжит хослолыг тооцоолохтой холбогдуулан. Шинжлэх ухааны салбар болох комбинаторик нь 17-р зуунд үүссэн. Францын зохиолч "Арифметикийн онол ба практик" (1656) номондоо бүхэл бүтэн бүлгийг хослол, сэлгэлтэнд зориулжээ.
Б.Паскаль “Арифметик гурвалжны тухай тууж” болон “Тоон дарааллын тухай тууж” (1665) зохиолдоо хоёр гишүүний итгэлцүүрийн тухай сургаалыг тодорхойлсон. П.Фермат нэгдлүүдийн онолтой математикийн квадрат ба дүрст тоонуудын уялдаа холбоог мэддэг байсан. Лейбниц 1665 онд "Хослолын урлагийн тухай яриа" бүтээлээ хэвлүүлсний дараа "комбинаторик" гэсэн нэр томъёог хэрэглэж эхэлсэн бөгөөд энэ нь анх удаа хослол ба сэлгэцийн онолыг шинжлэх ухааны үндэслэлтэй болгосон. Ж.Бернулли анх 1713 онд "Ars conjectandi" (урьдчилан таамаглах урлаг) номынхоо хоёрдугаар хэсэгт байршуулалтыг судалжээ. Орчин үеийн хослолын бэлгэдлийг зөвхөн 19-р зуунд боловсролын гарын авлагын янз бүрийн зохиогчид санал болгосон.

Төрөл бүрийн хослолын томъёог эцсийн олонлогуудын тухай хоёр үндсэн мэдэгдлээс гаргаж авч болно - нийлбэр ба үржвэрийн дүрэм.

Нийлбэрийн дүрэм

Хэрэв төгсгөлтэй олонлогууд огтлолцохгүй бол X U Y (эсвэл) элементийн тоо нь X олонлогийн элементүүдийн тоо ба Y олонлогийн элементүүдийн тооны нийлбэртэй тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, эхний тавиур дээр X ном, хоёр дахь тавиур дээр Y байвал X+Y хэлбэрээр эхний болон хоёрдугаар тавиураас ном сонгож болно.

Жишээ асуудлууд

Оюутан математикийн практик ажлыг гүйцэтгэх ёстой. Түүнд алгебрийн 17, геометрийн 13 сэдвийг сонгох санал тавьсан. Тэрээр практик ажилд зориулж нэг сэдвийг хэдэн аргаар сонгож чадах вэ?

Шийдэл: X=17, Y=13

Нийлбэр дүрмийн дагуу X У Ү=17+13=30 сэдэв.

Бэлэн мөнгөний хонжворт сугалаа 5, спортын сугалаа 6, автомашины сугалааны 10 тасалбар байна. Та спортын сугалаа эсвэл авто сугалаанаас нэг тасалбарыг хэдэн аргаар сонгож болох вэ?

Шийдэл: Бэлэн мөнгө, хувцасны сугалаа сонголтонд оролцдоггүй тул ердөө 6+10=16 сонголттой.

Бүтээгдэхүүний дүрэм

Хэрэв X элементийг k аргаар, Y элементийг m аргаар сонгох боломжтой бол (X,Y) хосыг k*m аргаар сонгож болно.

Өөрөөр хэлбэл, эхний тавиур дээр 5, хоёр дахь тавиур дээр 10 ном байгаа бол та эхний тавиураас нэг, хоёр дахь тавиураас нэг номыг 5 * 10 = 50 аргаар сонгож болно.

Жишээ асуудлууд

Номчин хүн 12 өөр номыг улаан, ногоон, бор өнгийн хавтастай хавсаргах ёстой. Тэр үүнийг хэдэн аргаар хийж чадах вэ?

Шийдэл: 12 ном, 3 өнгө байгаа бөгөөд энэ нь бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу 12 * 3 = 36 бэхлэх боломжтой гэсэн үг юм.

Зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш ижил уншигдах таван оронтой тоо хэд вэ?

Шийдэл: Ийм тоонуудын сүүлийн цифр нь эхнийхтэй, харин эцсийн өмнөх цифр нь хоёр дахь цифртэй ижил байна. Гурав дахь цифр нь юу ч байх болно. Үүнийг хэлбэрээр илэрхийлж болно XYZYX, энд Y ба Z нь дурын тоо бөгөөд X нь тэг биш. Энэ нь бүтээгдэхүүний дүрмийн дагуу зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш тэнцүү уншиж болох цифрүүдийн тоо 9*10*10=900 сонголт байна гэсэн үг.

огтлолцсон олонлогууд

Гэхдээ X ба Y олонлогууд огтлолцож, дараа нь томъёог ашигладаг

, X ба Y нь олонлог бөгөөд огтлолцлын талбай юм. Жишээ асуудлууд

20 хүн англи, 10 хүн герман хэл, үүнээс 5 хүн англи, герман хэлийг мэддэг. Нийт хэдэн хүн байна вэ?

Хариулт: 10+20-5=25 хүн.

Асуудлыг нүдээр шийдэхийн тулд Эйлерийн тойргийг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл:

Гадаадад аялах гэж буй 100 жуулчны 30 нь герман, 28 нь англи, 42 нь франц, 8 хүн англи, герман, 10 нь англи, франц, 5 нь герман, франц, 3 нь гурвуулаа ярьдаг. Жуулчид ямар ч хэлээр ярьдаггүй юу?

Шийдэл:Энэ асуудлын нөхцөлийг графикаар илэрхийлье. Англи хэл мэддэг хүмүүсийг дугуйгаар, франц хэл мэддэг хүмүүсийг өөр дугуйг, герман хэл мэддэг хүмүүсийг гурав дахь дугуйгаар тэмдэглэе.

Гурван жуулчин гурван хэлээр ярьдаг бөгөөд энэ нь дугуйлангийн ерөнхий хэсэгт бид 3-ын тоог оруулдаг гэсэн үг юм. 10 хүн англи, франц хэлээр ярьдаг, тэдний 3 нь мөн герман хэлээр ярьдаг. Улмаар 10-3=7 хүн зөвхөн англи, франц хэлээр ярьдаг.

Үүний нэгэн адил 8-3 = 5 хүн зөвхөн англи, герман хэлээр ярьдаг, 5-3 = 2 жуулчин герман, франц хэлээр ярьдаг болохыг бид олж мэдсэн. Бид энэ өгөгдлийг зохих хэсгүүдэд оруулна.

Одоо жагсаасан хэлнүүдийн зөвхөн нэгээр нь хэдэн хүн ярьдаг болохыг олж мэдье. 30 хүн герман хэл мэддэг ч 5+3+2=10 нь өөр хэлээр ярьдаг тул 20 хүн л герман хэл мэддэг. Үүнтэй адилаар бид 13 хүн дан англиар, 30 хүн франц хэлээр ярьдаг болохыг олж мэдсэн.

Асуудлын дагуу 100 гаруй жуулчин л байна. 20+13+30+5+7+2+3=80 жуулчин дор хаяж нэг хэл мэддэг тул 20 хүн эдгээр хэлээр ярьдаггүй.

Дахин давтагдахгүйгээр байршуулах.

Бүх оронтой тоо нь өөр байхаар тус бүр 6 оронтой тооноос хэдэн утасны дугаар гаргаж болох вэ?

Энэ бол дахин давтагдахгүйгээр байршуулах асуудлын жишээ юм. Энд байрлуулсан 6-ын 10 тоо байна. Мөн ижил тоонууд өөр өөр дарааллаар байгаа хувилбаруудыг өөр гэж үзнэ.

Хэрэв n элементээс бүрдэх X олонлог m≤n байвал X олонлогийн n элементийг m болгон давтахгүй зохион байгуулалтыг m элемент агуулсан эрэмбэлэгдсэн X олонлог гэнэ.m элемент агуулсан эрэмбэлэгдсэн X олонлогийг гэнэ.

n элементийн бүх зохицуулалтын тоог m-ээр тэмдэглэнэ

n! - n-фактор (факторын хүчин зүйл) нь 1-ээс дурын n хүртэлх натурал цуваа дахь тоонуудын үржвэр юм. Даалгавар

Зургаан охины дөрөв нь 4 хүү хэдэн янзаар бүжиглэх вэ?

Шийдэл: хоёр хүү нэг охиныг зэрэг урьж болохгүй. Нэг охид өөр өөр хөвгүүдтэй бүжиглэх сонголтуудыг өөр өөр гэж үздэг тул:

360 сонголт хийх боломжтой.

Дахин давтагдахгүйгээр солих

m-ийн n элементийн n=m (давталтгүйгээр байршуулалтыг харна уу) тохиолдолд x олонлогийн орлуулалт гэнэ.

n элементийн бүх орлуулалтын тоог P n гэж тэмдэглэнэ.

n=m-д хүчинтэй:

Жишээ асуудлууд

Тоонууд давтагдахгүй бол 0, 1, 2, 3, 4.5 гэсэн цифрүүдээс хэдэн өөр зургаан оронтой тоо гаргаж болох вэ?

1) Эдгээр тооноос бүх орлуулах тоог ол: P 6 =6!=720

2) 0 нь тооны урд байж болохгүй, тиймээс өмнө нь 0 байгаа сэлгэцийн тоог энэ тооноос хасах шаардлагатай. Энэ нь P 5 =5!=120 байна.

P 6 -P 5 =720-120=600

Муухай сармагчин

Тийм ээ, хөлтэй Мишка

Бид квартет тоглож эхэлсэн

Ах нар аа, зогсоо! –

Сармагчин хашгирав, - хүлээ!

Хөгжим яаж явах ёстой вэ?

Эцсийн эцэст та ингэж суугаагүй ...

Ингээд тэд суудлаа сольсон - дахин хөгжим сайн болохгүй байна.