7-11-Р АНГИЙН АЛГЕБРЫН АВАХ МАТЕРИАЛ.
Хүндэт эцэг эх!Хэрвээ та хүүхдэдээ математикийн багш хайж байгаа бол энэ зар танд зориулагдана. Би Skype-ийн сургалтыг санал болгож байна: Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх, мэдлэгийн цоорхойг арилгах. Таны ашиг тус илт байна:
1) Таны хүүхэд гэртээ байгаа тул та түүнд тайван байж болно;
2) Хичээл нь хүүхдэд тохиромжтой цагт явагддаг бөгөөд та эдгээр ангиудад хамрагдах боломжтой. Би ердийн сургуулийн самбар дээр энгийн бөгөөд ойлгомжтой тайлбарладаг.
3) Skype хичээлийн бусад чухал давуу талуудын талаар та өөрөө бодож болно!
- Ажил nхүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна Адуудсан n-тооны р зэрэглэл Аболон томилогдсон Аn.
- Хэд хэдэн тэнцүү хүчин зүйлийн үржвэрийг олох үйлдлийг экспоненциал гэж нэрлэдэг. Хүчин чадалд хүрсэн тоог чадлын суурь гэж нэрлэдэг. Суурь ямар чадлаар өргөгдсөнийг илтгэх тоог илтгэгч гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр, Аn- зэрэг, А- зэрэг олгох үндэслэл, n– илтгэгч.
- ба 0 =1
- a 1 =a
- а м∙ a n= а м + n
- а м: a n= а м — n
- (а м) n= a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (а/ б) n= a n/ б нБутархайг зэрэглэл рүү өсгөхөд бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа тэрхүү хэмжээнд нэмэгдэнэ.
- (- n) th зэрэглэлийн (n - натурал) тоо А, тэгтэй тэнцүү биш, урвуу тоог авч үзнэ n- тоон-р зэрэглэл А, өөрөөр хэлбэл . а — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (а/ б) — n=(б/ а) n
- Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд нь аль ч илтгэгчтэй зэрэгт хүчинтэй байна.
Маш том, маш жижиг тоонуудыг ихэвчлэн стандарт хэлбэрээр бичдэг. а∙10 n, Хаана 1≤a<10 Тэгээд n(натурал эсвэл бүхэл тоо) – стандарт хэлбэрээр бичигдсэн тооны дараалал юм.
- Үржүүлэх үйлдлийг ашиглан тоо, хувьсагч, тэдгээрийн чадвараас бүтсэн илэрхийллийг мономиал гэнэ.
- Тоон хүчин зүйл (коэффициент) эхэлж, дараа нь хүчин чадал бүхий хувьсагчдаас ирэх ийм төрлийн мономиалыг стандарт төрөл гэж нэрлэдэг. Мономиальд орсон бүх хувьсагчийн илтгэгчийн нийлбэрийг мономиалын зэрэг гэнэ.
- Ижил үсгийн хэсэгтэй мономиалуудыг ижил төстэй мономиал гэж нэрлэдэг.
- Мономитуудын нийлбэрийг олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнтийг бүрдүүлдэг нэг гишүүнтүүдийг олон гишүүнтийн гишүүн гэж нэрлэдэг.
- Хоёр гишүүн гэдэг нь хоёр гишүүнээс (мономиал) бүрдэх олон гишүүнт юм.
- Гурвалсан гишүүн нь гурван гишүүнээс (мономиал) бүрдэх олон гишүүнт юм.
- Олон гишүүнтийн зэрэг нь түүнийг бүрдүүлэгч мономиалуудын зэрэглэлийн хамгийн өндөр нь юм.
- Стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт ижил төстэй нэр томьёо агуулаагүй бөгөөд түүний гишүүний зэрэглэлээр буурах дарааллаар бичнэ.
- Нэг гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд олон гишүүнт гишүүн бүрийг энэ нэг гишүүнээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх шаардлагатай.
- Олон гишүүнтийг хоёр ба түүнээс дээш олон гишүүнтийн үржвэр болгон төлөөлөхийг олон гишүүнт хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.
- Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах нь олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх хамгийн энгийн арга юм.
- Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг өөр олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлж, гарсан үржвэрийг нэг гишүүнтийн нийлбэр болгон бичих хэрэгтэй. Шаардлагатай бол ижил төстэй нэр томъёог нэмнэ үү.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн квадратнь эхний илэрхийллийн квадрат дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэр, хоёр дахь нь хоёр дахь илэрхийллийн квадраттай тэнцүү байна.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Хоёр илэрхийллийн зөрүүний квадратнь эхний илэрхийллийн квадратаас эхний илэрхийллийн үржвэрийг хоёр дахин нэмсэн, хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хассантай тэнцүү байна.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Хоёр илэрхийллийн квадратуудын ялгаань илэрхийлэл ба тэдгээрийн нийлбэрийн зөрүүний үржвэртэй тэнцүү байна.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн шоонь эхний илэрхийллийн шоо дээр нэмэх нь эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин нэмсэн, хоёр дахь нь эхний илэрхийллийн үржвэр ба хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг гурав дахин нэмсэн хоёр дахь илэрхийллийн шоотой тэнцүү байна.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Хоёр илэрхийллийн зөрүүний кубнь эхний илэрхийллийн шоо, эхний илэрхийллийн квадратын үржвэрийг гурав дахин үржүүлсэн үржвэрийг, хоёр дахь илэрхийллийн үржвэрийг гурав дахин нэмсэн, хоёр дахь илэрхийллийн квадратыг хоёр дахь илэрхийллийн кубыг хассантай тэнцүү байна.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Хоёр илэрхийллийн шоо нийлбэрилэрхийллүүдийн нийлбэр ба тэдгээрийн зөрүүний бүрэн бус квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Хоёр илэрхийллийн кубын ялгааилэрхийллүүдийн хоорондын зөрүү ба тэдгээрийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадратын үржвэртэй тэнцүү байна.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Гурван илэрхийллийн нийлбэрийн квадратнь эдгээр илэрхийллийн квадратуудын нийлбэр дээр нэмээд илэрхийллийн бүх боломжит хоёр дахин нэмэгдсэн хос үржвэрүүдтэй тэнцүү байна.
- Лавлагаа. Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн төгс квадрат: a 2 + 2ab + b 2
Хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн квадрат: a 2 + ab + b 2
Маягтын функц y=x2квадрат функц гэж нэрлэдэг. Квадрат функцийн график нь эхэн дээрээ оройтой парабол юм. Параболагийн салбарууд y=x²дээш чиглэсэн.
Маягтын функц y=x 3куб функц гэж нэрлэдэг. Куб функцийн график нь эхийг дайран өнгөрөх куб парабол юм. Куб параболын салбарууд y=x³ 1, 3-р хороололд байрладаг.
Тэр ч байтугай функц.
Чиг үүрэг ехувьсагчийн утга тус бүрийн хамт ч гэсэн дуудагдана X -Х е(- x)= е(x). Тэгш функцийн график нь ординатын тэнхлэгтэй (Ой) тэгш хэмтэй байна. y=x 2 функц тэгш байна.
Хачирхалтай функц.
Чиг үүрэг ехувьсагчийн утга тус бүрийн хамт сондгой if гэж нэрлэдэг Xфункцийн утгын домэйноос ( -Х) нь мөн энэ функцийн хүрээнд багтсан бөгөөд тэгш байдал хангагдана: е(- x)=- е(x) . Сондгой функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. y=x 3 функц нь сондгой.
Квадрат тэгшитгэл.
Тодорхойлолт. Маягтын тэгшитгэл сүх 2 +bx+c=0, Хаана а, бТэгээд в– дурын бодит тоо, ба a≠0, x– хувьсагчийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
а- эхний коэффициент; б- хоёр дахь коэффициент; в- чөлөөт гишүүн.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
- сүх 2 = 0 – бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (b=0, c=0 ). Шийдэл: x=0. Хариулт: 0.
- сүх 2 +bx=0 –бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (c=0 ). Шийдэл: x (ax+b)=0 → x 1 =0 эсвэл ax+b=0 → x 2 =-b/a. Хариулт: 0; -б/а.
- сүх 2 +c=0 –бүрэн бус квадрат тэгшитгэл (b=0 ); Шийдэл: сүх 2 =-c → x 2 =-c/a.
Хэрэв (-c/a)<0 , тэгвэл жинхэнэ үндэс байхгүй болно. Хэрэв (-с/а)>0
- сүх 2 +bx+c=0- квадрат тэгшитгэлерөнхий үзэл
Ялгаварлан гадуурхагч D=b 2 - 4ac.
Хэрэв D>0, тэгвэл бид хоёр жинхэнэ үндэстэй болно:
Хэрэв D=0, тэгвэл бид нэг үндэстэй (эсвэл хоёр тэнцүү үндэстэй) x=-b/(2a).
Хэрэв Д<0, то действительных корней нет.
- сүх 2 +bx+c=0 – квадрат тэгшитгэл секундын турш хувийн хэлбэр
Коэффицент б
- сүх 2 +bx+c=0 – квадрат тэгшитгэл хувийн төрлийг өгсөн : a-b+c=0.
Эхний үндэс нь үргэлж хасах нэгтэй тэнцүү, хоёр дахь үндэс нь үргэлж хасахтай тэнцүү байна -тай, хуваана А:
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
- сүх 2 +bx+c=0 – квадрат тэгшитгэл хувийн төрлийг өгсөн: a+b+c=0 .
Эхний үндэс нь үргэлж нэгтэй тэнцүү, хоёр дахь үндэс нь тэнцүү байна -тай, хуваана А:
x 1 =1, x 2 =c/a.
Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
- x 2 +px+q=0 – багасгасан квадрат тэгшитгэл (эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү).
Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 +px+q=0нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.
ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Хаана x 1, x 2- квадрат тэгшитгэлийн үндэс сүх 2 +bx+c=0.
Байгалийн аргументын функцийг тооны дараалал гэж нэрлэдэг бөгөөд дарааллыг бүрдүүлж буй тоонуудыг дарааллын гишүүд гэж нэрлэдэг.
Тоон дарааллыг дараах байдлаар тодорхойлж болно: аман, аналитик, давтагдах, график.
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр нь өгөгдсөн дарааллын ижил тоонд нэмсэн өмнөхтэй тэнцүү тоон дараалал г, арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Тоо гарифметик прогрессийн ялгавар гэж нэрлэдэг. Арифметик прогрессоор (н), өөрөөр хэлбэл нэр томъёо бүхий арифметик прогрессод: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... тодорхойлолтоор: a 2 = a 1 + г; a 3 =a 2 + г; a 4 =a 3 + г; a 5 =a 4 + г; ...; a n =a n-1 + г; …
Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёо.
a n =a 1 +(n-1) d.
Арифметик прогрессийн шинж чанарууд.
- Хоёр дахь үеэс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийнхээ арифметик дундажтай тэнцүү байна.
a n =(a n-1 +a n+1):2;
- Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүнээс тэнцүү зайтай гишүүний арифметик дундажтай тэнцүү байна.
a n =(a n-k +a n+k):2.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Геометрийн прогресс.
Геометр прогрессийн тодорхойлолт.
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, тухайн дарааллын хувьд ижил тоогоор үржүүлсэн тоон дараалал. q, геометр прогресс гэж нэрлэдэг. Тоо qгеометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг. Геометр прогрессийн хувьд (b n), өөрөөр хэлбэл геометр прогрессийн хувьд b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... тодорхойлолтоор: b 2 = b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; ... ; b n =b n -1 ∙q.
Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо.
b n =b 1 ∙q n -1 .
Геометр прогрессийн шинж чанарууд.
Эхний нийлбэрийн томъёоn геометр прогрессийн нөхцөл.
Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр.
Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай нь энгийн бутархайтай тэнцүү, хуваагч нь бутархайн үеийн өмнөх бүхэл тоо болон бутархайн бутархайн араас хойшхи тооны ялгаа байх ба хуваагч нь "есөн" ба "тэг"-ээс бүрдэх ба хэдэн " есөн” гэж тухайн үеийн цифр байгаа бол, бутархай үеийн өмнөх аравтын бутархайн араас хэдэн цифр байгаа бол “тэг”. Жишээ:
Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс.
(α+β=90°)
Бидэнд: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. β=90°-α учраас
sin(90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;
tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.
90° хүртэл бие биенээ нөхөж байгаа өнцгүүдийн кофункцууд тэнцүү байна.
Нэмэлт томъёо.
9) нүгэл (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) нүгэл (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Давхар ба гурвалсан аргументуудын томъёо.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;
Нийлбэрийг (ялгааг) бүтээгдэхүүн болгон хувиргах томъёо.
Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах томъёо (ялгаа).
Хагас аргументуудын томъёо.
Ямар ч өнцгийн синус ба косинус.
Тригонометрийн функцүүдийн тэгш байдал (сондгой байдал).
Тригонометрийн функцуудаас зөвхөн нэг нь тэгш байна: y=cosx, үлдсэн гурав нь сондгой, өөрөөр хэлбэл cos (-α)=cosα;
нүгэл (-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.
Тригонометрийн функцүүдийн тэмдэглэгээг координатын дөрвөлжин.
Зарим өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд.
Радианууд.
1) 1 радиан нь өгөгдсөн тойргийн радиустай тэнцүү урттай нуман дээр суурилсан төв өнцгийн утга юм. 1 рад≈57°.
2) Өнцгийн хэмжүүрийг радиан хэмжигдэхүүн рүү хөрвүүлэх.
3) Радиан өнцгийн хэмжүүрийг градусын хэмжүүрт хөрвүүлэх.
Бууруулах томъёо.
Мнемоник дүрэм:
1. Багасгасан функцийн өмнө бууруулж болох тэмдгийг тавина.
2. π/2 (90°) аргументыг сондгой олон удаа бичсэн бол функц кофункц болж өөрчлөгдөнө.
Урвуу тригонометрийн функцууд.
Тооны нум (arcsin a) нь [-π/2; π/2 ], түүний синус нь a-тай тэнцүү.
арксин(- а)=- арксина.
Тооны арккосинус (arccos a) нь косинус нь a-тай тэнцүү интервалаас авсан өнцөг юм.
arccos(-a)=π - арккоза.
Тооны арктангенс (arctg a) нь тангенс нь a-тай тэнцүү (-π/2; π/2) хоорондын өнцөг юм.
arctg(- а)=- arctgа.
a тооны арккотангенс (arcctg a) нь котангенс нь a-тай тэнцүү (0; π) интервалаас авсан өнцөг юм.
arcctg(-a)=π – arcctg a.
Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Ерөнхий томъёо.
1)
sin t=a, 0 2)
sin t = - a, 0 3)
cos t=a, 0 4)
cos t =-a, 0 5)
tg t =a, a>0, дараа нь t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0, дараа нь t= - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, дараа нь t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, дараа нь t=π – arcctg a + πn, nϵZ. Тусгай томъёо. 1)
sin t =0, дараа нь t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, тэгвэл t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1, дараа нь t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0, тэгвэл t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1, дараа нь t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1, тэгвэл t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, дараа нь t = πn, nϵZ; 8)
cot t=0, дараа нь t = π/2+πn, nϵZ. Энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.
Миний сайтын эрхэм зочид, бүгдээрээ математикийн үндсэн томъёо 7-11та холбоос дээр дарж (бүрэн үнэ төлбөргүй) авах боломжтой.
