Параметрээр тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх.

ax > b, ax хэлбэртэй тэгш бус байдал< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются шугаман тэгш бус байдал.

Параметр бүхий шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх зарчим нь параметртэй шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарчимтай маш төстэй юм.

Жишээ 1

5x - a > ax + 3 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

Эхлээд анхны тэгш бус байдлыг хувиргая:

5x - ax > a + 3, бид тэгш бус байдлын зүүн талын хаалтнаас х-г гаргаж авдаг.

(5 - a) x > a + 3. Одоо a параметрийн боломжит тохиолдлуудыг авч үзье:

Хэрэв a > 5 бол x< (а + 3) / (5 – а).

Хэрэв a = 5 бол шийдэл байхгүй болно.

Хэрвээ< 5, то x >(a + 3) / (5 - a).

Энэ шийдэл нь тэгш бус байдлын хариулт болно.

Жишээ 2

a ≠ 1-ийн хувьд x(a - 2) / (a - 1) - 2a / 3 ≤ 2x - a тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

Анхны тэгш бус байдлыг өөрчилье:

x(a - 2) / (a - 1) - 2x ≤ 2a/3 - a;

Ah/(a – 1) ≤ -a/3. Тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг (-1) үржүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

ax/(a – 1) ≥ a/3. a параметрийн боломжит тохиолдлуудыг авч үзье:

1 тохиолдол. a/(a – 1) > 0 эсвэл a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞) байг. Дараа нь x ≥ (а – 1)/3.

2 дахь тохиолдол. a/(а – 1) = 0, өөрөөр хэлбэл. a = 0. Тэгвэл x нь дурын бодит тоо болно.

3 дахь тохиолдол. a/(а – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Хариулт: x € [(a - 1) / 3; +∞) € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] € (0; 1);
a = 0-ийн хувьд x € R.

Жишээ 3

|1 + x| тэгш бус байдлыг шийд ≤ сүх нь x-тэй харьцуулахад.

Шийдэл.

Тэгш бус байдлын сүхний баруун тал нь сөрөг биш байх ёстой гэсэн нөхцлөөс гарна. ax ≥ 0. Тэгш бус байдлаас модулийг тэлэх дүрмээр |1 + x| ≤ сүх бидэнд давхар тэгш бус байдал байна

Сүх ≤ 1 + x ≤ сүх. Бид үр дүнг систем хэлбэрээр дахин бичнэ.

(сүх ≥ 1 + x;
(-сүх ≤ 1 + x.

Дараах хэлбэрт шилжүүлье.

((а – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

Бид үүссэн системийг интервал болон цэгээр судалдаг (Зураг 1):

≤ -1 x € (-∞; 1/(a - 1)]-ийн хувьд.

-1-д< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

Хэзээ \u003d 0 x \u003d -1.

0-д< а ≤ 1 решений нет.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график арга

График нь параметр агуулсан тэгшитгэлийн шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг. Параметр бүхий тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд график аргыг ашиглах нь илүү тодорхой бөгөөд илүү тохиромжтой юм.

f(x) ≥ g(x) хэлбэрийн тэгш бус байдлын график шийдэл гэдэг нь f(x) функцийн график нь g(x) функцийн график дээр байрлах x хувьсагчийн утгыг олохыг хэлнэ. Үүнийг хийхийн тулд графикуудын огтлолцох цэгүүдийг (хэрэв байгаа бол) олох шаардлагатай байдаг.

Жишээ 1

|x + 5| тэгш бус байдлыг шийд< bx.

Шийдэл.

y = |x + 5| функцийн графикийг байгуулна ба y = bx (Зураг 2). Тэгш бус байдлын шийдэл нь y = |x + 5| функцийн график байх х хувьсагчийн утгууд байх болно. y = bx функцийн графикаас доогуур байх болно.

Зурагт харуулав:

1) b > 1-ийн хувьд шугамууд огтлолцоно. Эдгээр функцүүдийн графикуудын огтлолцох цэгийн абсцисса нь x + 5 = bx тэгшитгэлийн шийдэл бөгөөд үүнээс x = 5/(b - 1). y \u003d bx график нь x-ийн хувьд (5 / (b - 1); +∞) интервалаас өндөр байна, энэ нь энэ олонлог нь тэгш бус байдлын шийдэл гэсэн үг юм.

2) Үүнтэй адилаар бид үүнийг -1 гэж олдог< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b - 1))-ийн хувьд.

4) 0 ≤ b ≤ 1-ийн хувьд графикууд огтлолцдоггүй бөгөөд энэ нь тэгш бус байдал нь шийдэлгүй гэсэн үг юм.

Хариулт: b ≤ -1-ийн хувьд x € (-∞; 5/(b - 1));
x € (-5/(b + 1); 5/(b - 1)) -1-д< b < 0;
0 ≤ b ≤ 1-ийн шийдэл байхгүй; b > 1-ийн хувьд x € (5/(b – 1); +∞).

Жишээ 2

a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4) тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

1) a параметрийн "хяналтын" утгыг олцгооё: a 1 = 0, a 2 = -1.

2) Энэ тэгш бус байдлыг бодит тооны дэд олонлог бүр дээр шийдье: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

а) а< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

б) a \u003d -1, тэгвэл энэ тэгш бус байдал 0 x > 0 хэлбэрийг авна - шийдэл байхгүй;

в)-1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, тэгвэл энэ тэгш бус байдал 0 x > 4 хэлбэртэй байна - шийдэл байхгүй;

e) a > 0, энэ тэгш бус байдал нь x > (a + 4)/a гэсэн утгатай.

Жишээ 3

|2 – |x|| тэгш бус байдлыг шийд< a – x.

Шийдэл.

Бид y = |2 – |x|| функцийг зурна (Зураг 3) y \u003d -x + a шугамын байршлын бүх тохиолдлыг авч үзье.

Хариулт: тэгш бус байдал нь ≤ -2-ийн шийдэлгүй;
x € (-∞; (a - 2)/2) € (-2; 2]-тай;
a > 2 бол x € (-∞; (a + 2)/2).

Төрөл бүрийн асуудал, тэгшитгэл, параметр бүхий тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд нэлээд тооны эвристик аргууд нээгдэж, дараа нь математикийн бусад салбаруудад амжилттай хэрэглэгдэх боломжтой.

Параметртэй холбоотой асуудлууд нь логик сэтгэлгээ, математикийн соёлыг төлөвшүүлэхэд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тийм ч учраас параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг эзэмшсэний дараа та бусад асуудлыг амжилттай даван туулах болно.

Танд асуух зүйл байна уу? Тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Курсын ажил

Зураач: Бугров С.К.

Олон физик процесс, геометрийн хэв маягийг судлах нь ихэвчлэн параметртэй асуудлыг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. Зарим их дээд сургуулиуд шалгалтын тасалбарт тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийг оруулдаг бөгөөд эдгээр нь ихэвчлэн маш төвөгтэй бөгөөд шийдвэрлэхэд стандарт бус арга шаарддаг. Сургуулийн хувьд энэ нь сургуулийн математикийн хичээлийн хамгийн хэцүү хэсгүүдийн нэгийг зөвхөн хэд хэдэн нэмэлт ангид авч үздэг.

Энэ ажлыг бэлтгэхдээ би энэ сэдвийг илүү гүнзгий судалж, хариултанд хурдан хүргэх хамгийн оновчтой шийдлийг тодорхойлох зорилго тавьсан. Миний бодлоор график арга нь параметр бүхий тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хялбар бөгөөд хурдан арга юм.

Миний эссэ дээр байнга тулгардаг тэгшитгэлийн төрлүүд, тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийг авч үзсэн бөгөөд ажлын явцад олж авсан мэдлэг нь сургуулийн шалгалтыг өгч, их сургуульд ороход тусална гэж найдаж байна.

§ 1. Үндсэн тодорхойлолтууд

Тэгшитгэлийг авч үзье

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

Үүнд: a, b, c, …, k, x нь хувьсагч юм.

Аливаа хувьсах утгын систем

a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсэг хоёулаа бодит утгыг авдаг бөгөөд үүнийг a, b, c, ..., k, x хувьсагчдын зөвшөөрөгдөх утгын систем гэж нэрлэдэг. A нь a-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын багц, B нь b гэх мэт бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын олонлог, X нь x-ийн бүх зөвшөөрөгдөх утгуудын олонлог, өөрөөр хэлбэл. aОА, bОB, …, xОX. Хэрэв A, B, C, …, K олонлогууд тус бүр нь a, b, c, …, k утгыг сонгож, засаж, тэдгээрийг (1) тэгшитгэлд орлуулж байвал бид x-ийн тэгшитгэлийг олж авна, өөрөөр хэлбэл. нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тогтмол гэж үздэг a, b, c, ..., k хувьсагчдыг параметр, тэгшитгэлийг өөрөө параметр агуулсан тэгшитгэл гэнэ.

Параметрүүдийг латин цагаан толгойн эхний үсгээр: a, b, c, d, …, k, l, m, n, үл мэдэгдэхийг x, y, z үсгээр тэмдэглэнэ.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдэх гэдэг нь параметрийн ямар утгуудад шийдэл байгаа, тэдгээр нь юу болохыг харуулах гэсэн үг юм.

Дараах тохиолдолд ижил параметрүүдийг агуулсан хоёр тэгшитгэлийг тэнцүү гэж үзнэ.

a) параметрүүдийн ижил утгуудын хувьд тэдгээр нь утга учиртай;

б) эхний тэгшитгэлийн шийдэл бүр нь хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл ба эсрэгээр.

§ 2. Шийдлийн алгоритм.

Тэгшитгэлийн мужийг ол.

Бид a-г х-ийн функцээр илэрхийлнэ.

XOa координатын системд бид энэ тэгшитгэлийн тодорхойлолтод багтсан x-ийн утгуудын хувьд a=¦(x) функцийн графикийг бүтээдэг.

cÎ(-¥;+¥) функцийн графиктай a=c шулууны огтлолцох цэгүүдийг олно.Хэрэв a=c шулуун нь a=¦(x) графикийг огтолж байвал. , дараа нь бид огтлолцох цэгүүдийн абсциссуудыг тодорхойлно. Үүний тулд a=¦(x) тэгшитгэлийг х-тэй харьцуулан шийдвэрлэхэд хангалттай.

Бид хариултаа бичнэ.

I. Тэгшитгэлийг шийд

(1)

x \u003d 0 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул бид тэгшитгэлийг дараах байдлаар шийдэж болно.

эсвэл

Функцийн график нь хоёр "наасан" гипербол юм. Анхны тэгшитгэлийн шийдийн тоог баригдсан шугам ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийн тоогоор тодорхойлно y=a.

Хэрэв a О (-¥;-1]И(1;+¥)И

, тэгвэл y=a шулуун нь (1) тэгшитгэлийн графикийг нэг цэгт огтолно. Бид x-ийн тэгшитгэлийг шийдэхдээ энэ цэгийн абсциссыг олдог.

Тиймээс энэ интервал дээр (1) тэгшитгэл нь шийдтэй байна

. , тэгвэл y=a шулуун нь (1) тэгшитгэлийн графикийг хоёр цэгээр огтолно. Эдгээр цэгүүдийн абсциссуудыг ба тэгшитгэлээс олж болно, бид ба . , тэгвэл y=a шулуун нь (1) тэгшитгэлийн графиктай огтлолцдоггүй тул шийдэл байхгүй.

Хэрэв a О (-¥;-1]И(1;+¥)И

, Тэр ; , Тэр , ; , тэгвэл ямар ч шийдэл байхгүй.

II. Тэгшитгэл болох a параметрийн бүх утгыг ол

гурван өөр үндэстэй.

Тэгшитгэлийг дахин бичих

хос функцийг авч үзсэний дараа та а параметрийн хүссэн утгууд нь функцийн графиктай огтлолцох яг гурван цэгтэй функцийн графикийн байрлалтай тохирч байгааг харж болно. .

xOy координатын системд бид функцийг зурдаг

). Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд үүссэн дөрвөн тохиолдлыг авч үзээд бид энэ функцийг хэлбэрээр бичнэ.

Функцийн графикаас хойш

- энэ нь Ox тэнхлэгтэй тэнцүү өнцөгтэй шулуун шугам бөгөөд Oy тэнхлэгийг координаттай (0, a) цэгээр огтолж байгаа бөгөөд зөвхөн энэ шугамыг авсан тохиолдолд заасан гурван огтлолцлын цэгийг олж авах боломжтой гэж бид дүгнэж байна. функцийн графикт хүрнэ. Тиймээс бид деривативыг олно.

III. a параметрийн бүх утгыг олоорой, тус бүрийн хувьд тэгшитгэлийн систем байна

шийдэлтэй.

Системийн эхний тэгшитгэлээс бид олж авдаг

at Тиймээс энэ тэгшитгэл нь "хагас параболын" бүлгийг тодорхойлдог - параболын баруун мөчрүүд нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу оройтой нь "гулсдаг".

Хоёрдахь тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа бүтэн квадратуудыг сонгоод үржвэр болгон хуваа

Онгоцны цэгүүдийн багц

Хоёр дахь тэгшитгэлийг хангах нь хоёр шулуун ба

"Хагас параболын" гэр бүлийн муруй параметрийн ямар утгыг олж авсан шулуун шугамын аль нэгтэй нь дор хаяж нэг нийтлэг цэгтэй болохыг олж мэдье.

Улсын төсвийн боловсролын байгууллага

Самара мужийн дунд ерөнхий боловсрол

2-р сургууль im. V. Маскина төмөр зам Урлаг. Клявлино

Клявлинский хотын дүүрэг

Самара муж

«Тэгшитгэл

Тэгээд

тэгш бус байдал

параметрүүдтэй"

заавар

Клявлино

Заавар

"Параметр бүхий тэгшитгэл ба тэгш бус байдал" 10-11-р ангийн сурагчдад зориулсан

Энэхүү гарын авлага нь хөндлөнгийн шалгалтанд тэнцсэн "Параметр бүхий тэгшитгэл ба тэгш бус байдал" сонгох хичээлийн хөтөлбөрийн хавсралт юм (2008 оны 12-р сарын 19-ний өдрийн Самара мужийн Боловсрол, шинжлэх ухааны яамны шинжлэх ухаан, арга зүйн шинжээчдийн зөвлөлөөс санал болгосон). Самара мужийн боловсролын байгууллагуудад ашиглах)

Зохиогчид

Ромаданова Ирина Владимировна

Клявлинская ерөнхий боловсролын математикийн багш

2-р сургууль. В. Маскина, Самара мужийн Клявлинский дүүрэг

Сербаева Ирина Алексеевна

Танилцуулга………………………………………………………………3-4

Параметртэй шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдал……………..4-7

Параметртэй квадрат тэгшитгэл ба тэгш бус байдал……………7-9

Параметртэй бутархай рационал тэгшитгэл……………..10-11

Параметртэй иррационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал……11-13

Тригонометрийн тэгшитгэл ба параметртэй тэгш бус байдал.14-15

Үзүүлэлттэй тэгшитгэл ба тэгш бус байдал………16-17

Параметртэй логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал ...... 16-18

Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар…………………………………………………………18-20

Бие даан хийх даалгавар ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………21-28 |

Оршил.

Параметр бүхий тэгшитгэл ба тэгш бус байдал.

Хэрэв тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдалд зарим коэффициентийг тодорхой тоон утгуудаар өгөөгүй, харин үсгээр тэмдэглэсэн бол тэдгээрийг нэрлэдэг. параметрүүд,тэгшитгэл буюу тэгш бус байдал нь өөрөө параметрийн.

Параметр бүхий тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

Онцлох онцгой утга- энэ нь тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлын шийдэл өөрчлөгдөх эсвэл өнгөрөх үед параметрийн утга юм.

Тодорхойлох зөвшөөрөгдсөн утгуудтэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлын утга учиртай параметрийн утгууд юм.

Параметр бүхий тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь:

1) параметрийн ямар утгуудад шийдэл байгааг тодорхойлох;

2) параметрийн утгын зөвшөөрөгдөх систем бүрийн хувьд тохирох шийдлийн багцыг олно.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг дараахь аргаар шийдэж болно: аналитик эсвэл график.

Аналитик арга нь хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзэх замаар тэгшитгэлийг судлах даалгаврыг хүлээдэг бөгөөд тэдгээрийн аль нь ч алгасах боломжгүй.

Төрөл бүрийн параметр бүхий тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг аналитик аргаар шийдвэрлэх нь нөхцөл байдлын нарийвчилсан дүн шинжилгээ, тууштай судалгааг хамардаг бөгөөд энэ үед хэрэгцээ гарч ирдэг. "зөөлөн харьцах"параметртэй.

График арга Параметрийн өөрчлөлт нь тэгшитгэлийн шийдэлд хэрхэн нөлөөлж байгааг тодорхойлох боломжтой тэгшитгэлийн графикийг бүтээхэд хамаарна. График нь заримдаа тавьсан даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай, хангалттай нөхцлийг аналитик байдлаар томъёолох боломжийг олгодог. График шийдлийн арга нь тэгшитгэл нь параметрээс хамаарч хэдэн үндэстэй болохыг тогтоох шаардлагатай үед үр дүнтэй бөгөөд үүнийг нүдээр харах нь эргэлзээгүй давуу талтай юм.

§ 1. Шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдал.

Шугаман тэгшитгэл А x = б , ерөнхий хэлбэрээр бичсэнийг параметртэй тэгшитгэл гэж үзэж болно, энд x - үл мэдэгдэх , а , б - сонголтууд. Энэ тэгшитгэлийн хувьд параметрийн тусгай буюу хяналтын утга нь тодорхойгүй үед коэффициент алга болох утга юм.

Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ параметр нь түүний тусгай утгатай тэнцүү, түүнээс ялгаатай тохиолдолд авч үздэг.

Тусгай параметрийн утга а үнэ цэнэ юм А = 0.

б = 0 нь тусгай параметрийн утга юм б .

At б ¹ 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

At б = 0 тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. 0x = 0. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь дурын бодит тоо юм.

Маягтын тэгш бус байдал аа > б Тэгээд сүх < б (a ≠ 0)шугаман тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц аа >б- интервал

(; +), Хэрэв а > 0 , Мөн (-;) , Хэрэв А< 0 . Үүнтэй адил тэгш бус байдлын хувьд

Өө< б шийдлийн багц - интервал(-;), Хэрэв а > 0, Тэгээд (; +), Хэрэв А< 0.

Жишээ 1 тэгшитгэлийг шийд сүх = 5

Шийдэл: Энэ бол шугаман тэгшитгэл юм.

Хэрэв a = 0, дараа нь тэгшитгэл 0 × x = 5шийдэл байхгүй.

Хэрэв А¹ 0, x =- тэгшитгэлийн шийдэл.

Хариулт: цагт А¹ 0, x=

a = 0-ийн хувьд шийдэл байхгүй.

Жишээ 2 тэгшитгэлийг шийд сүх - 6 \u003d 2a - 3x.

Шийдэл:Энэ бол шугаман тэгшитгэл юм сүх - 6 \u003d 2a - 3x (1)

сүх + 3х = 2а +6

Тэгшитгэлийг дахин бичих (a+3)x = 2(a+3)Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

a= -3Тэгээд А¹ -3.

Хэрэв a= -3, дараа нь дурын бодит тоо X(1) тэгшитгэлийн язгуур юм. Хэрэв А¹ -3 , тэгшитгэл (1) нь нэг үндэстэй x = 2.

Хариулт: At a = -3, x Р ; цагт А ¹ -3, x = 2.

Жишээ 3 Параметрийн ямар утгууд дээр Атэгшитгэлийн язгууруудын дунд

2x - 4x - a 2 + 4а – 4 = 0илүү олон үндэс бий 1 ?

Шийдэл: Тэгшитгэлийг шийд 2x - 4x - a 2 + 4а – 4 = 0- шугаман тэгшитгэл

2 (a - 2) x \u003d a 2 - 4a +4

2(a - 2) x \u003d (a - 2) 2

At a = 2тэгшитгэлийн шийдэл 0x = 0дурын тоо, бүр 1-ээс их байх.

At А¹ 2 x =
. Нөхцөлөөр x > 1, тэр бол
>1, a > 4.

Хариулт: At А (2) U(4;∞).

Жишээ 4 . Параметрийн утга бүрийн хувьд Атэгшитгэлийн язгуурын тоог ол сүх=8.

Шийдэл. сүх = 8шугаман тэгшитгэл юм.

y = а- хэвтээ шугамын гэр бүл;

y = - график нь гипербол юм. Бид эдгээр функцүүдийн графикийг бүтээдэг.

Хариулт: Хэрэв a = 0, тэгвэл тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно. Хэрэв a ≠ 0, тэгвэл тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй байна.

Жишээ 5 . График ашиглан тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг олж мэд.

|x| = сүх - 1.

у=| x | ,

y = сүх - 1- График нь цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм (0;-1).

Бид эдгээр функцүүдийн графикийг бүтээдэг.

Хариулт: Хэзээ |a|>1- нэг үндэс

цагт | a|≤1 Тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Жишээ 6 . Тэгш бус байдлыг шийд сүх + 4 > 2х + a 2

Шийдэл : сүх + 4 > 2х + a 2
(а – 2) х >А 2 – 4. Гурван тохиолдлыг авч үзье.

Хариулт. x > a + 2цагт a > 2; X<а + 2, цагт А< 2; цагт a=2шийдэл байхгүй.

§ 2. Квадрат тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Квадрат тэгшитгэлхэлбэрийн тэгшитгэл юм Өө ² + б x + c = 0 , Хаана a≠ 0,

А, б , Хамт - сонголтууд.

Параметр бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараах томъёог ашиглан шийдвэрлэх стандарт аргыг ашиглаж болно.

1 ) квадрат тэгшитгэлийн дискриминант: Д = б ² - 4 ac , (
²- ac)

2) Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёонууд:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Квадрат тэгш бус байдлыг хэлбэрийн тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг

а X 2 + б x + c > 0,а X 2 + б x + в< 0, (1), (2)

а X 2 + б x + c ≥ 0,а X 2 + б x + c ≤ 0,(3), (4)

Тэгшитгэлгүй байдлын шийдүүдийн багц (3) нь тэгш бус байдлын шийдүүдийн багцыг (1) болон тэгшитгэлийг нэгтгэснээр олддог. , а X 2 + б x + c=0.Тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц (4) ижил төстэй олддог.

Хэрэв дөрвөлжин гурвалжны дискриминант а X 2 + б x + в тэгээс бага бол a > 0-ийн хувьд гурвалсан тоо нь бүх х-д эерэг байна Р.

Хэрэв дөрвөлжин гурвалжин үндэстэй бол (x 1 < х 2 ), тэгвэл a > 0 бол олонлог дээр эерэг байна(-; x 2 )
(X 2; +) интервал дээр сөрөг байна

(x 1; x 2 ). Хэрвээ< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; x 2 ) ба бүх x-ийн хувьд сөрөг байна (-; x 1 )
(X 2; +).

Жишээ 1 тэгшитгэлийг шийд ax² - 2 (a - 1) x - 4 \u003d 0.

Энэ бол квадрат тэгшитгэл юм

Шийдэл: Тусгай утга a = 0.

At a = 0Бид шугаман тэгшитгэлийг авна 2х - 4 = 0. Энэ нь нэг үндэстэй x = 2.

At a ≠ 0.Ялгаварлагчийг олцгооё.

Д \u003d (a-1)² + 4a \u003d (a + 1)²

Хэрэв a = -1,Тэр Д = 0 - нэг үндэс.

Орлуулж үндсийг нь олоорой a = -1.

-x² + 4x - 4 \u003d 0,тэр бол x² -4x + 4 = 0,бид үүнийг олдог x=2.

Хэрэв a ≠ - 1, Тэр Д >0 . Үндсэн томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг авна.x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

Хариулт: At a=0 ба a=-1тэгшитгэл нь нэг үндэстэй x = 2;цагт a ≠ 0 ба

А ≠ - 1 тэгшитгэл нь хоёр үндэстэйX 1 =2, x 2 =-.

Жишээ 2 Өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурын тоог ол x²-2x-8-a=0параметрийн утгаас хамаарна А.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье x²-2x-8=a

y \u003d x²-2x-8- график нь парабол;

y =а- хэвтээ шугамын гэр бүл.

Функцийн графикуудыг байгуулъя.

Хариулт: Хэзээ А<-9 , тэгшитгэлд шийдэл байхгүй; a=-9 үед тэгшитгэл нэг шийдтэй байна; цагт a>-9, тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй.

Жишээ 3 Юун дээр Атэгш бус байдал (a - 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 x-ийн бүх утгуудад тохирох уу?

Шийдэл.Гурвалсан квадрат нь x if-ийн бүх утгын хувьд эерэг байна

a-3 > 0 ба Д<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, үүнээс үүдэн үүнийг дагадага > 6 .

Хариулт.а > 6

§ 3. Параметр бүхий бутархай-рационал тэгшитгэл,

шугаман болгон бууруулсан

Бутархай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйл явц нь ердийн схемийн дагуу явагддаг: тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг зүүн ба баруун хэсгүүдийн нийтлэг хуваагчаар үржүүлэх замаар бутархайг бүхэл тоогоор солино. Үүний дараа гаднах үндэс, өөрөөр хэлбэл хуваагчийг тэг болгож хувиргах тоонуудыг оруулалгүйгээр тэгшитгэлийг бүхэлд нь шийднэ.

Параметр бүхий тэгшитгэлийн хувьд энэ асуудал илүү төвөгтэй байдаг. Энд гаднах үндсийг "арилгах" тулд нийтлэг хуваагчийг тэг болгон хувиргах параметрийн утгыг олох, өөрөөр хэлбэл параметрийн харгалзах тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай.

Жишээ 1 тэгшитгэлийг шийд
= 0

Шийдэл: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x - a \u003d 0, x \u003d a.

Хариулт: At a ≠ - 2, x=a

At a = -2үндэс байхгүй.

Жишээ 2 . тэгшитгэлийг шийд
-
=
(1)

Энэ бол бутархай рационал тэгшитгэл юм

Шийдэл:Утга a = 0онцгой юм. At a = 0тэгшитгэл нь утгаа алдаж, тиймээс үндэсгүй болно. Хэрэв a ≠ 0,Дараа нь хувиргасны дараа тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. x² + 2 (1-a) x + a² - 2a - 3 = 0 (2)- квадрат тэгшитгэл.

Ялгаварлагчийг олцгооё \u003d (1 - a)² - (a² - 2a - 3) \u003d 4, тэгшитгэлийн язгуурыг олX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

(1) тэгшитгэлээс (2) тэгшитгэл рүү шилжих үед (1) тэгшитгэлийн тодорхойлолтын хүрээ өргөжиж, энэ нь гадны үндэс гарч ирэхэд хүргэж болзошгүй юм. Тиймээс баталгаажуулах шаардлагатай.

Шалгалт.Олдсон утгуудаас хасах Xбайгаа хүмүүс

x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.

Хэрэв X 1 +1=0, тэр бол (a+1) + 1= 0, Тэр a = -2.Тиймээс,

цагт a= -2 , X 1 -

Хэрэв X 1 +2=0, тэр бол (a+1)+2=0,Тэр a = - 3. Тиймээс, цагт a \u003d - 3, x 1 - тэгшитгэлийн гадаад үндэс. (1).

Хэрэв X 2 +1=0, тэр бол (a - 3) + 1= 0, Тэр a = 2. Тиймээс, цагт a = 2 x 2 - тэгшитгэлийн гадаад үндэс (1).

Хэрэв X 2 +2=0, тэр бол ( a – 3) + 2 = 0,Тэр a=1. Тиймээс, цагт a = 1,

X 2 - тэгшитгэлийн гадаад үндэс (1).

Үүний дагуу, at a = - 3бид авдаг x \u003d - 3 - 3 \u003d -6;

цагт a \u003d - 2 x \u003d -2 – 3= - 5;

цагт a \u003d 1 x \u003d 1 + 1 \u003d 2;

цагт a \u003d 2 x \u003d 2 + 1 \u003d 3.

Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: 1) хэрэв a= -3,Тэр x= -6; 2) хэрэв a= -2, Тэр x= -5; 3) хэрэв a=0, тэгвэл үндэс байхгүй; 4) хэрэв a=1, Тэр x=2; 5) хэрэв a=2, Тэр x=3; 6) хэрэв a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 2, дараа нь x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§4. Иррационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Үндэс тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдсан тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг нэрлэнэ үндэслэлгүй.

Иррационал тэгшитгэлийн шийдлийг тэгшитгэлийн хоёр талыг зэрэгт өсгөх эсвэл хувьсагчийг өөрчлөх замаар иррациональ тэгшитгэлээс рационал тэгшитгэл рүү шилжүүлэх хүртэл бууруулна. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш түвшинд өсгөхөд гадны үндэс гарч ирж болно. Тиймээс, энэ аргыг ашиглахдаа параметрийн утгын өөрчлөлтийг харгалзан олсон бүх үндсийг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгах хэрэгтэй.

Төрөл тэгшитгэл
=g (x ) нь системтэй тэнцүү байна

f (x) ≥ 0 тэгш бус байдал нь f (x) = g 2 (x) тэгшитгэлээс үүснэ.

Иррационал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ бид дараах эквивалент хувиргуудыг ашиглана.

≤ g(x)

≥g(x)

Жишээ 1 Тэгшитгэлийг шийд
= x + 1 (3)

Энэ бол иррациональ тэгшитгэл юм

Шийдэл: Арифметик язгуурын тодорхойлолтоор (3) тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна
.

At a = 2системийн эхний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна 0 x = 5, өөрөөр хэлбэл ямар ч шийдэлгүй.

At a≠ 2 x=
. Ямар үнэт зүйлсийг олж мэдьеА үнэ цэнийг олсонX тэгш бус байдлыг ханганаx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

хаана a ≤эсвэл a > 2.

Хариулт: At a≤, a > 2 x=
, цагт < а ≤ 2 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

Жишээ 2 тэгшитгэлийг шийд
= a (Хавсралт 4)

Шийдэл. y =

y = aнь хэвтээ шугамын гэр бүл юм.

Функцийн графикуудыг байгуулъя.

Хариулт: цагт А<0 - шийдэл байхгүй

цагт А≥ 0 - нэг шийдэл.

Жишээ 3 . Тэгш бус байдлыг шийдье(a+1)
<1.

Шийдэл.О.Д.З. x ≤ 2. Хэрэв a+1 ≤0, дараа нь тэгш бус байдал нь бүх зөвшөөрөгдөх утгуудад тохирно X. Хэрэв a+1>0, Тэр

(a+1)
<1.

<

хаана X (2-
2

Хариулт. X (- ;2a (-;-1, X (2-
2

цагт А (-1;+).

§ 5. Тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх томьёо энд байна.

Синкс = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n З, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ± arccos a + 2 πn, n З, ≤1. (2)

Хэрэв >1, тэгвэл (1) ба (2) тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно.

tan x = a
x= arctg a + πn, n З, а Р

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n З, а Р

Стандарт тэгш бус байдал бүрийн хувьд бид шийдлүүдийн багцыг заана.

1. sin x > a
arcsin a + 2 n З,

цагт а <-1, x Р ; цагт а ≥ 1, шийдэл байхгүй.

2. . гэм х< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

a≤-1-ийн хувьд шийдэл байхгүй; a>1 үед,x Р

3. cos x > а
- arccos а + 2 pn < x < arccos а + 2 pn , n З ,

цагт А<-1, x Р ; цагт а ≥ 1 , шийдэл байхгүй.

4. cos x arccos a+ 2 nZ,

цагт a≤-1 , шийдэл байхгүй; цагта > 1, x Р

5. tg x > a, arctg a + πnZ

6.тг х< a, -π/2 + πn Z

Жишээ 1. Хай А, энэ тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна:

Cos 2 x + 2(a-2) cosx + a 2 - 4a - 5 \u003d 0.

Шийдэл.Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

-тайos 2 x + (2 а -4) cosx +(а – 5)(а+1) =0,Үүнийг квадрат хэлбэрээр шийдэхэд бид олж авна cosx = 5-АТэгээд cosx = -a-1.

Тэгшитгэл cosx = 5- А өгөгдсөн шийдлүүд байна -1≤ 5-А ≤1
4≤ А≤ 6 ба тэгшитгэл cosx = - a-1 өгсөн -1≤ -1-А ≤ 1
-2 ≤ А ≤0.

Хариулт. А -2; 0
4; 6

Жишээ 2 Юун дээр бтэгш бус байдал бий болдог
+ б> 0 нь бүх x ≠-д хангагданаpn , n З .

Шийдэл.тавья А= 0. b >0 үед тэгш бус байдал биелнэ. Одоо b ≤0 нь асуудлын нөхцөлийг хангахгүй гэдгийг харуулъя. Үнэхээр x = гэж тавихад л хангалттай π /2, Хэрэв А <0, и х = - π /2 цагт А ≥0.

Хариулт.b > 0

§ 6. Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

1. Тэгшитгэл h(x) е ( x ) = h(x) g ( x) цагт h(x) > 0 нь хоёр системийн хослолтой тэнцэнэ
Тэгээд

2. Тодорхой тохиолдолд (h (x)= а ) тэгшитгэл А f(x) = А g(x) цагт А> 0 нь хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна

Тэгээд

3. Тэгшитгэл А f(x) = б , Хаана А > 0, а ≠1, б>0, тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

f(x)= log a b . Болж байна А=1-ийг тусад нь авч үзнэ.

Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлын шийдэл нь градусын шинж чанарт суурилдаг. Маягтын тэгш бус байдале(а x ) > 0 хувьсагчийг өөрчлөх замаарт= а x тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг
дараа нь харгалзах хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлын шийдэлд.

Хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хатуу тэгш бус байдлын шийдийн багцад харгалзах тэгшитгэлийн язгуурыг нэмэх шаардлагатай. Илэрхийлэл агуулсан бүх жишээн дэх тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй адил А f (x) гэж бид таамаглаж байна А> 0. Тохиолдол А= 1-ийг тусад нь авч үзнэ.

Жишээ 1 . Юун дээр Атэгшитгэл 8 x =
зөвхөн эерэг үндэстэй юу?

Шийдэл. Нэгээс их суурьтай экспоненциал функцийн шинж чанараар бид x>0 байна
8 X >1

>1

>0, хаанааса (1,5;4).

Хариулт. а (1,5;4).

Жишээ 2 Тэгш бус байдлыг шийд а 2 ∙2 x > а

Шийдэл. Гурван тохиолдлыг авч үзье:

1. А< 0 . Тэгш бус байдлын зүүн тал эерэг, баруун тал нь сөрөг байх тул тэгш бус байдал нь дурын х-д тохирно Р.

2. а=0. Ямар ч шийдэл байхгүй.

3. А > 0 . а 2 ∙2 x > a
2 x >
x > - бүртгэл 2 а

Хариулт. X Рцагт А > 0; шийдэл байхгүй а =0; X (- бүртгэл 2 а; +) цагтa > 0 .

§ 7. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Шийдвэрлэхдээ ашигласан зарим эквивалентуудыг танилцуулъя логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал.

1. log f (x) g (x) \u003d log f (x) h (x) тэгшитгэл нь системтэй тэнцүү байна.

Ялангуяа, хэрэв А >0, А≠1, тэгвэл

бүртгэл а g(x)= лог а h(x)

2. Тэгшитгэл бүртгэл а g(x)=b
g(x)=а б ( А >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Тэгш бус байдал бүртгэл е ( x ) g (x) ≤ бүртгэл е ( x ) h(x) нь хоёр системийн хослолтой тэнцүү байна:
Тэгээд

Хэрвээ, b нь тоо, a >0, a ≠1, тэгвэл

бүртгэл а f(x) ≤ b

бүртгэл а f(x) > b

Жишээ 1 Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. ODZ-ийг олъё: x > 0, x ≠ А 4 , а > 0, А≠ 1. Тэгшитгэлийг хувирга

бүртгэл x - 2 = 4 - бүртгэл а x
бүртгэл x + бүртгэл а x– 6 = 0, хаанаас бүртгэл а x = - 3

x = А-3 ба бүртгэл а x = 2
x = А 2. Нөхцөл x = А 4
А – 3 = А 4 эсвэл А 2 = А 4 ОДЗ дээр хийгээгүй.

Хариулт: x = А-3, x = А 2 цагт А (0; 1)
(1; ).

Жишээ 2 . Хамгийн их утгыг ол А, үүний төлөө тэгшитгэл

2 бүртгэл -
+ а = 0 шийдэлтэй.

Шийдэл. Орлуулъя
= т2-р квадрат тэгшитгэлийг олт 2 – т + а = 0. Шийдвэрлэхдээ бид олноД = 1-8 а . Санаж үз Д≥0, 1-8 А ≥0
А ≤.

At А = квадрат тэгшитгэл нь үндэстэйт= >0.

Хариулт. А =

Жишээ 3 . Тэгш бус байдлыг шийдбүртгэл(x 2 – 2 x + а ) > - 3

Шийдэл. Тэгш бус байдлын системийг шийдье

Квадрат гурвалсан тоонуудын үндэс x 1,2 = 1 ±
тэдний 3,4 = 1 ±
.

Чухал параметрийн утга: А= 1 ба А= 9.

X 1 ба X 2 нь эхний ба хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдийн олонлог байг

X 1
X 2 = X нь анхны тэгш бус байдлын шийдэл юм.

0-д< а <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), цагтА> 1 x 1 = (-;+).

0-д< а < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), цагтА≥9 Х 2 – шийдэл байхгүй.

Гурван тохиолдлыг авч үзье:

1. 0< а ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < а < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. а≥ 9 Х – шийдэл байхгүй.

Даалгавруудыг ашиглах

Өндөр түвшний C1, C2

Жишээ 1 Бүх утгыг ол Р, үүний төлөө тэгшитгэл

Р ∙ ctg 2x+2sinx+ х= 3 нь дор хаяж нэг үндэстэй.

Шийдэл.Тэгшитгэлийг өөрчилье

Р ∙ (
-1)+2sinx+ х\u003d 3, sinx \u003d t, т
, т 0.

- х+ 2т + х = 3, + 2т = 3, 3 -2т = , 3t2 – 2t3 = х .

Болъё е(y) = 3 т 2 – 2 т 3 . Функцийн утгуудын багцыг олъёе(x) дээр

. цагт / = 6 т – 6 т 2 , 6 т - 6 т 2 = 0, т 1 =0, т 2 = 1. е(-1) = 5, е(1) = 1.

At т
, Э(е) =
,

At т
, Э(е) =
, өөрөөр хэлбэл хэзээ т

, Э(е) =
.

3-р тэгшитгэл рүүт 2 – 2 т 3 = х (тиймээс өгөгдсөн) дор хаяж нэг үндэс шаардлагатай, хангалттай байсанх Э(е), тэр бол х
.

Хариулт.
.

Жишээ 2

Параметрийн ямар утгууд дээрАтэгшитгэл бүртгэл
(4 x 2 – 4 а + а 2 +7) = 2 яг нэг үндэстэй юу?

Шийдэл.Тэгшитгэлийг ижил тэгшитгэл болгон хувиргая:

4x 2 - 4 а + а 2 +7 \u003d (x 2 + 2) 2.

Хэрэв тодорхой х тоо нь үүссэн тэгшитгэлийн үндэс бол - x тоо мөн энэ тэгшитгэлийн үндэс болно гэдгийг анхаарна уу. Нөхцөлөөр бол энэ нь боломжгүй тул цорын ганц үндэс нь 0 тоо юм.

Олъё А.

4∙ 0 2 - 4а + а 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

а 2 - 4а +7 = 4, а 2 - 4а +3 = 0, а 1 = 1, а 2 = 3.

Шалгалт.

1) а 1 = 1. Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.бүртгэл
(4 x 2 +4) =2. Бид үүнийг шийддэг

4x 2 + 4 \u003d (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 \u003d x 4 + 4x 2 + 4, x 4 \u003d 0, x \u003d 0 нь цорын ганц үндэс юм.

2) а 2 = 3. Тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.бүртгэл
(4 x 2 +4) =2
x = 0 нь цорын ганц үндэс юм.

Хариулт. 1; 3

Өндөр түвшний C4, C5

Жишээ 3 Бүх утгыг ол R,тэгшитгэлийн доор

x 2 - ( Р+ 3)x + 1= 0 нь бүхэл язгууртай ба эдгээр язгуурууд нь тэгш бус байдлын шийдэл юм: x 3 - 7 Р x 2 + 2x 2 - 14 Р x - 3x +21 Р ≤ 0.

Шийдэл. x байг 1, X 2 нь x тэгшитгэлийн бүхэл язгуурууд юм 2 – (Р + 3)x + 1= 0. Дараа нь Виетийн томъёогоор х 1 + x 2 = Р + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Хоёр бүхэл тооны үржвэр х 1 , X 2 Зөвхөн хоёр тохиолдолд нэгтэй тэнцүү байж болно: x 1 = x 2 = 1 эсвэл x 1 = x 2 = - 1. Хэрэв x бол 1 = x 2 = 1, тэгвэлР + 3 = 1+1 = 2
Р = - 1; хэрэв x 1 = x 2 = - 1, тэгвэлР + 3 = - 1 – 1 = - 2
Р = - 5. Тэгшитгэлийн язгуурууд байгаа эсэхийг шалгана уу 2 – (Р Энэ тэгш бус байдлын шийдлээр тодорхойлсон тохиолдлуудад + 3)x + 1= 0 байна. Хэргийн хувьдР = - 1, x 1 = x 2 = 1 бидэнд байна

1 3 - 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2 ∙ 1 2 - 14 ∙ (- 1) ∙ 1 - 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 - үнэн; хэргийн хувьд Р\u003d - 5, x 1 \u003d x 2 \u003d - 1 бидэнд (- 1) 3 - 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 - 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 зөв. Тиймээс асуудлын нөхцөл нь зөвхөн хангагдана Р= - 1 ба Р = - 5.

Хариулт.Р 1 = - 1 ба Р 2 = - 5.

Жишээ 4 Бүх эерэг параметрийн утгыг ол А, түүний хувьд 1-ийн тоо нь функцийн домэйнд хамаарна

цагт = (А
- А
).

Ажлын төрөл: 18

Нөхцөл байдал

a параметрийн ямар утгуудын хувьд тэгш бус байдал үүсдэг

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 x-ийн бүх утгуудад тохирох уу?

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Энэ тэгш бус байдал нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцэнэ 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

\sin x=t гэж үзье, тэгвэл бид тэгш бус байдлыг авна.

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , энэ нь -1 \leq t \leq 1-ийн бүх утгыг агуулна. Хэрэв a=0 бол [-1;1]-ийн дурын t\-д тэгш бус байдал (*) биелнэ.

a \neq 0 байг. f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t функц нь f"(t)=3t^(2)+ дериватив учир [-1;1] интервалд нэмэгдэнэ. 4at +5a^(2) > 0 t \in \mathbb(R) ба a \neq 0 (дискриминант D)-ийн бүх утгуудын хувьд< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Нөхцөлүүдийн дагуу t \in [-1;1]-д тэгш бус байдал (*) явагдана

\begin(тохиолдол) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \төгсгөл(тохиолдлууд)\:\зүүн баруун сум \эхлэх(тохиолдол) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \төгсгөл(тохиолдлууд)\:\зүүн баруун сум \эхлэх(тохиолдлууд) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5) \leq a< 0 .

Тэгэхээр -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 үед нөхцөл хангагдана.

Хариулт

\left [-\frac(2)(5); 0\баруун]

Эх сурвалж: "Математик. Шалгалтанд бэлтгэх - 2016. профайлын түвшин. Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Ажлын төрөл: 18
Сэдэв: Параметр бүхий тэгш бус байдал

Нөхцөл байдал

a параметрийн бүх утгыг ол, тус бүр нь тэгш бус байна

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

өвөрмөц шийдэлтэй.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Тэгш бус байдал нь тэгш бус байдлын тогтолцооны багцтай тэнцүү юм

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(case) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \төгсгөл(тохиолдол) \\ \эхлэх(тохиолдол)х \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(case) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \төгсгөл(тохиолдол) \\ \эхлэх(тохиолдол)х \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(тохиолдол) \\ \эхлэх(тохиолдол)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \төгсгөл(тохиолдлууд)\төгсгөл(массив)\баруун.

Окса координатын системд бид функцүүдийн графикийг байгуулдаг a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Үүссэн олонлог нь функцын графикуудын хооронд хавсаргасан цэгүүдээр хангагдана a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x at x\in (сүүдэрлэсэн хэсэг).

Графикийн дагуу бид дараахь зүйлийг тодорхойлно: анхны тэгш бус байдал нь a=-4 ба a=5-ийн цорын ганц шийдэлтэй, учир нь сүүдэртэй хэсэгт ординат нь -4 ба 5-тай тэнцүү нэг цэг байх болно.

Энэ хичээлээр бид параметртэй тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритмыг судалж, энэ төрлийн даалгаврыг шийдвэрлэхдээ хэрхэн ашиглах талаар сурах болно.

Тодорхойлолт нэг.

Параметр бүхий тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд параметрийн утга бүрийн хувьд энэ тэгш бус байдлын бүх шийдлийн олонлогийг олох эсвэл шийдэл байхгүй гэдгийг батлахыг хэлнэ.

Шугаман тэгш бус байдлыг авч үзье.

Хоёр дахь тодорхойлолт.

a x нэмэх хэлбэрийн тэгш бус байдал нь тэгээс их, тэгээс их буюу тэнцүү, тэгээс бага, тэгээс бага эсвэл тэнцүү байх, энд аба b нь бодит тоо, X- хувьсагчийг нэгдүгээр зэргийн тэгш бус байдал (шугаман тэгш бус байдал) гэж нэрлэдэг.

Параметр бүхий шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алгоритм, жишээлбэл, x нэмэх b тэгш бус байдал тэгээс их, энд аба b нь бодит тоо, X- хувьсагч. Дараах тохиолдлуудыг авч үзье.

Эхний тохиолдол:атэгээс их, тэгвэл x нь ба хасах ба а-аас их байна.

Үүний үр дүнд тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц нь хасахаас нэмэх хязгааргүйд хуваагдсан нээлттэй тоон туяа юм.

Хоёр дахь тохиолдол:атэгээс бага бол х нь хасах ба-аас бага бөгөөд а-д хуваагдана

улмаар тэгш бус байдлын шийдүүдийн багц нь хасах хязгааргүйгээс хасах хүртэлх нээлттэй тоон туяа бөгөөд а-д хуваагдана.

Гурав дахь тохиолдол: aтэгтэй тэнцүү бол тэгш бус байдал нь дараах хэлбэрийг авна: тэгийг х-ээр үржүүлбэл, тэгээс их байна. бээтэгээс их бол аливаа бодит тоо нь тэгш бус байдлын шийдэл бөгөөд хэзээ бээтэгээс бага буюу тэнцүү бол тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй.

Үлдсэн тэгш бус байдлыг ижил төстэй байдлаар шийддэг.

Жишээнүүдийг авч үзье.

Дасгал 1

Тэгш бус байдлыг шийдэж, x нь нэгээс бага эсвэл тэнцүү байна.

Шийдэл

Тэмдгээс хамаарна агурван тохиолдлыг авч үзье.

Эхний тохиолдол: хэрэв атэгээс их, тэгвэл x нь нэгээс бага буюу тэнцүү бөгөөд а-д хуваагдана;

Хоёр дахь тохиолдол: хэрэв атэгээс бага, тэгвэл x нь нэгээс их буюу тэнцүү a-д хуваагдана;

Гурав дахь тохиолдол: хэрэв атэгтэй тэнцүү бол тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй болно: тэгийг х-ээр үржүүлбэл нэгээс бага буюу тэнцүү байх тул аливаа бодит тоо нь анхны тэгш бус байдлын шийдэл болно.

Тиймээс, хэрэв Атэгээс их бол х нь хасах хязгаараас нэгдмэл хүртэлх туяанд хамаарах бөгөөд а-д хуваагдана.

Хэрэв а атэгтэй тэнцүү,

Тэр x

Хариулт: хэрэв Атэгээс их бол х нь хасах хязгааргүйгээс нэгдмэл хүртэлх туяанд хамаарах бөгөөд а-д хуваагдана;

Хэрэв атэгээс бага бол х нь а-д нэмэх хязгааргүйд хуваагдсан нэгдлээс авсан туяанд хамаарах ба хэрэв бол атэгтэй тэнцүү,

Тэр x x нь бодит тооны олонлогт хамаарна.

Даалгавар 2

Мод x хасах хоёр нь а ба нэгийн ялгааны хасах квадратаас их байх тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл

Модул x хасах хоёр нь ямар ч бодит хувьд тэгээс их буюу тэнцүү гэдгийг анхаарна уу X a ба нэгдлийн ялгааны квадратыг хасах нь параметрийн аль ч утгын хувьд тэгээс бага буюу тэнцүү байна а. Тиймээс хэрэв анэгтэй тэнцүү бол аль нь ч байна X- хоёроос өөр бодит тоо нь тэгш бус байдлын шийдэл бөгөөд хэрэв анэгтэй тэнцүү биш бол аливаа бодит тоо тэгш бус байдлын шийдэл болно.

Хариулт: хэрэв анэгтэй тэнцүү бол х нь хасах хязгаараас хоёр, хоёроос нэмэх хязгаар хүртэлх хоёр нээлттэй тоон цацрагийн нэгдэлд хамаарна,

мөн хэрэв ахасах хязгаараас нэг рүү, нэгээс нэмэх хязгаар хүртэл хоёр задгай тоон цацрагийн нэгдэлд хамаарна. Xбодит тоонуудын багцад хамаарна.

Даалгавар 3

Гуравын үржвэрийн тэгш бус байдлыг хоёр a x нэмэх гурваас бага дөрвийн а ба х хоёрын зөрүүгээр шийд.

Шийдэл

Энэхүү тэгш бус байдлын үндсэн хувиргалтуудын дараа бид тэгш бус байдлыг олж авна: хоёр a-ийн нийлбэр ба гурвын нийлбэр нь 4 а ба нэгийн зөрүүгээс гурав дахин их байна.

Эхний тохиолдол: хэрэв хоёрыг нэмсэн гурав нь тэгээс их байвал өөрөөр хэлбэл ахасах гурван секундээс их бол х нь бутархайгаас их байх ба түүний хуваагч нь дөрвийн а ба нэгийн зөрүүгээр гурав дахин их, хуваагч нь хоёр дээр нэмэх гурав байна.

Хоёрдахь тохиолдол: хэрэв хоёрыг нэмсэн гурав нь тэгээс бага бол өөрөөр хэлбэл ахасах гурван секундээс бага бол х нь бутархайгаас бага, хүртэгч нь дөрөв а ба нэгийн зөрүүг гурав дахин, хуваагч нь хоёрыг нэмэх гурав байна.

Гурав дахь тохиолдол: хэрэв хоёрыг нэмэх гурав нь тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл ахасах гурван секундтэй тэнцүү,

аливаа бодит тоо нь анхны тэгш бус байдлын шийдэл юм.

Иймд хэрэв а нь хасах гурван секундээс хязгааргүй хүртэл нээлттэй тооны цацрагт хамаарах бол x

бутархайн задгай тоон туяанд хамаарах ба түүний хуваагч нь дөрөв а ба нэгийн зөрүүг гурав дахин их, хуваагч нь хоёр ба гурав, нэмэх хязгаар хүртэл байна.

Хэрэв а нь хасах хязгааргүйгээс хасах гурван секунд хүртэлх нээлттэй тоон туяанд хамаарах бол х нь хасах хязгааргүйгээс бутархай хүртэлх нээлттэй тоон туяанд хамаарах бөгөөд түүний хуваагч нь дөрөв a ба нэгийн зөрүүтэй гурав дахин, хуваагч нь хоёр ба нэмэхтэй тэнцүү байна. гурав;

Хэрэв ахасах гурван секундтэй тэнцэнэ Xбодит тоонуудын багцад хамаарна.

Хариулт: хэрэв a хасах гурван секундээс хязгааргүй хүртэл нээлттэй тооны цацрагт хамаарах бол x

бутархайн задгай тоон туяанд хамаарах бөгөөд түүний хуваагч нь дөрөв а ба нэгийн зөрүүг гурав дахин их, хуваагч нь хоёрыг нэмэх гурвыг нэмэх хязгааргүй;

хэрэв а нь хасах хязгааргүйгээс хасах гурван секунд хүртэлх нээлттэй тоон туяанд хамаарах бол х нь хасах хязгааргүйгээс бутархай хүртэлх нээлттэй тоон туяанд хамаарах бөгөөд түүний хуваагч нь дөрөв a ба нэгийн зөрүүтэй гурав дахин, хуваагч нь хоёр ба нэмэхтэй тэнцүү байна. гурав;

Хэрэв ахасах гурван секундтэй тэнцэнэ Xбодит тоонуудын багцад хамаарна.

Даалгавар 4

Бүх хүчинтэй параметрийн утгуудын хувьд АТэгш бус байдлын квадрат язгуурыг шийдээрэй.

Шийдэл

Параметрийн домайныг ол А. Энэ нь тэгш бус байдлын системээр тодорхойлогддог бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд a нь нэгээс гурав хүртэлх сегментэд хамаарах болохыг олж мэднэ.

Энэ тэгш бус байдал нь тэгш бус байдлын системтэй тэнцэх бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд x нь a-аас хоёр a хүртэлх сегментэд хамаарах болохыг олж мэднэ.

Хэрэв a нь нэгээс гурав хүртэлх сегментэд хамаарах бол анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь a-аас хоёр a хүртэлх сегмент юм.

Хариулт: хэрэв a нь нэгээс гурав хүртэлх сегментэд хамаарах бол x нь a-аас хоёр a хүртэлх сегментэд хамаарна.

Даалгавар 5

Бүгдийг нь ол А, үүний төлөө тэгш бус байдал

x-ийн квадрат язгуур, хасах x хасах хоёр нэмэх хуваагч нь хоёр хасах х, хуваагч нь x-ээс дөрвөөс их буюу тэнцүү x нэмэх хоёрыг хасах нь x нэмэх нэг бутархайн квадрат язгуур. a хуваагч нь таван хасах x нь шийдэлгүй.

Шийдэл

Эхлээд. Энэ тэгш бус байдлын тодорхойлолтын хүрээг тооцоолъё. Энэ нь тэгш бус байдлын системээр тодорхойлогддог бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь хоёр тоо юм: x нь хасах нэг, x нь хоёртой тэнцүү.

Хоёрдугаарт. Энэхүү тэгш бус байдлын шийдэл бүхий a-ийн бүх утгыг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид бүх зүйлийг олох болно А, үүний хувьд x нь хасах нэг, x нь хоёртой тэнцүү - энэ нь тэгш бус байдлын шийдэл юм. Хоёр системийн багцыг авч үзээд шийд. Үүний шийдэл нь хасах хязгаараас хасах нэг секунд, нэгээс нэмэх хязгаар хүртэл хоёр тооны цацрагийг нэгтгэх явдал юм.

Иймд, хэрэв a хасахаас авсан хоёр тоон цацрагийн нэгдэлд хамаарах бол энэ тэгш бус байдал шийдтэй байна.

хязгааргүйгээс хасах нэг секунд, нэгээс нэмэх хязгаар хүртэл.