Монотон функцижил чиглэлд өөрчлөгддөг функц юм.

Чиг үүрэг нэмэгддэг , хэрэв том аргументын утга нь том функцын утгатай тохирч байвал. Өөрөөр хэлбэл, үнэ цэнэ өсөх тусам xутга учир yмөн нэмэгддэг бол энэ нь нэмэгдэж буй функц юм.

Чиг үүрэг буурдаг , хэрэв том аргументын утга нь жижиг функцын утгатай тохирч байвал. Өөрөөр хэлбэл, үнэ цэнэ өсөх тусам xутга учир yбуурвал буурах функц болно.

Хэрэв функц тодорхой интервалд нэмэгдэж, буурч байвал энэ интервалд үүнийг монотон гэж нэрлэдэг.

Чиг үүрэг тогтмол (монотоник бус) , хэрэв энэ нь буурахгүй, нэмэгдэхгүй бол.

Теорем(монотон байдлын зайлшгүй шинж тэмдэг):

1. Хэрэв дифференциалагдах функц f(x) тодорхой интервалд нэмэгдэх юм бол түүний энэ интервал дээрх дериватив нь сөрөг биш, өөрөөр хэлбэл.

2. Хэрэв дифференциалагдах функц f(x) тодорхой интервалд буурч байвал түүний энэ интервал дээрх дериватив нь эерэг биш, .

3. Хэрэв функц өөрчлөгдөхгүй бол түүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. .

Теорем(монотон байдлын хангалттай шинж тэмдэг):

f(x) нь (a;b) интервал дээр тасралтгүй байх ба бүх цэгүүдэд дериватив байвал:

1. Хэрэв дотор (a;b) эерэг байвал f(x) нэмэгдэнэ.

2. Дотор (a;b) сөрөг байвал f(x) буурна.

3. Хэрэв бол f(x) тогтмол байна.

Экстремийн функцийн судалгаа.

Экстремум- өгөгдсөн олонлог дээрх функцын хамгийн их буюу хамгийн бага утга. Экстремумд хүрэх цэгийг экстремум цэг гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу хэрэв минимумд хүрсэн бол экстремум цэгийг хамгийн бага цэг, дээд цэгт хүрсэн бол дээд цэг гэж нэрлэдэг.

1. Функцийн муж ба функц тасралтгүй байх интервалуудыг ол.

2. Деривативыг ол.

3. Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. Функцийн дериватив нь тэг буюу байхгүй байх цэгүүд.

4. Тодорхойлолтын мужийг эгзэгтэй цэгээр хуваасан интервал бүрд деривативын тэмдэг болон функцын өөрчлөлтийн шинж чанарыг тодорхойлно.

5. Эгзэгтэй цэг бүрийн хувьд яг максимум, минимум эсвэл экстремум цэг биш эсэхийг тодорхойлно.

Монотон ба экстремумын функциональ интервалыг судалсны үр дүнг бичнэ үү.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга.

Сегмент дээрх тасралтгүй функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох схем.

1. Деривативыг ол.

2. Энэ сегментийн чухал цэгүүдийг ол.

3. Чухал цэгүүд болон сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоол.

4. Тооцоолсон утгуудаас хамгийн бага, томыг сонгоно.

Функцийн гүдгэр ба хотгор.

Хэрэв нум нь хоёроос илүүгүй цэгээр аль нэг зүсэлтээ огтолж байвал гүдгэр гэж нэрлэдэг.

Дээшээ гүдгэрээр үүссэн шугамыг гүдгэр, доошоо гүдгэрээр үүссэн шугамыг хотгор гэнэ.

Гүдгэр нум нь түүний аль нэг шүргэгчийн доор, харин шүргэгчээс дээш хонхор нум байх нь геометрийн хувьд тодорхой юм.

Функцийн гулзайлтын цэгүүд.

Гулзайлтын цэг нь гүдгэр нумыг хотгор нумаас тусгаарлах шугам дээрх цэг юм.

Гулзайлтын цэг дээр шүргэгч шугамыг огтолж, энэ цэгийн ойролцоо шугам нь шүргэгчийн хоёр талд байрлана.

Эхний деривативын бууралтын интервал нь функцийн графикийн гүдгэр хэсэгтэй, өсөлтийн интервал нь хонхорхойн хэсэгтэй тохирч байна.

Теорем(гулсалтын цэгүүдийн тухай):

Хэрэв хоёр дахь дериватив интервалын хаа сайгүй сөрөг байвал энэ интервалд харгалзах y = f(x) шугамын нум нь гүдгэр байна. Хэрэв хоёр дахь дериватив интервалын хаа сайгүй эерэг байвал энэ интервалд харгалзах y = f(x) шугамын нум хонхор байна.

Гулзайлтын цэгийн зайлшгүй шинж тэмдэг:

Хэрэв гулзайлтын цэгийн абсцисса бол аль нэг нь байхгүй эсвэл байхгүй.

Гулзайлтын цэгийн хангалттай шинж тэмдэг:

Цэг нь y = f(x) шулууны гулзайлтын цэг, хэрэв , ба ;

Зүүн тийшээ гүдгэр хэсэг, баруун тийшээ хотгор, зүүн тийшээ гүдгэр, баруун тийшээ гүдгэр хэсэг байх үед.

Асимптотууд.

Тодорхойлолт.

Функцийн графын асимптот нь функцийн график дээрх цэгээс энэ шулуун шугам хүртэлх зай нь графын цэг эх үүсвэрээс тодорхойгүй хугацаагаар шилжихэд тэг болох хандлагатай байдаг шулуун шугам юм.

Асимптотын төрлүүд:

1. Шууд утгуудын дор хаяж нэг нь y=f(x) функцийн графикийн босоо асимптот гэж нэрлэгддэг шулуун шугамыг эсвэл тэнцүү эсвэл .

Тоон багц Xтооцдог тэгш хэмтэйхэрэв байгаа бол тэгтэй харьцуулахад xЄ Xутга - Xмөн багцад хамаарна X.

Чиг үүрэг y = е(XX, тоолно бүр X xЄ X, е(X) = е(-X).

Тэгш функцийн хувьд график нь Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Чиг үүрэг y = е(X), багц дээр тодорхойлогддог X, тоолно хачин, дараах нөхцөл хангагдсан бол: a) тогтоосон Xтэг орчим тэгш хэмтэй; б) хэнд ч xЄ X, е(X) = -е(-X).

Хачирхалтай функцийн хувьд график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Чиг үүрэг цагт = е(x), xЄ X, дуудсан үе үедээр X, хэрэв дугаар байгаа бол Т (Т ≠ 0) (хугацаафункц) дараах нөхцөл хангагдсан байна.

• X - ТТэгээд X + Толон хүнээс Xхэний ч төлөө XЄ X;
• хэний ч төлөө XЄ X, е(X + Т) = е(X - Т) = е(X).

Хэрэв Тнь функцийн үе, дараа нь хэлбэрийн дурын тоо юм мТ, Хаана мЄ З, м≠ 0, энэ нь мөн энэ функцийн үе юм. Өгөгдсөн функцийн хамгийн бага эерэг үеийг (хэрэв байгаа бол) түүний үндсэн үе гэж нэрлэдэг.

Хэрэв ТЭнэ нь функцийн үндсэн үе бөгөөд түүний графикийг байгуулахын тулд та уртыг тодорхойлох домэйны аль ч интервал дээр графикийн хэсгийг зурж болно. Т, дараа нь О тэнхлэгийн дагуу графикийн энэ хэсгийн зэрэгцээ шилжүүлгийг хийнэ X± Т, ±2 Т, ....

Чиг үүрэг y = е(X), доор хязгаарлагдсанбагц дээр X Ахэнд ч зориулсан XЄ X, А ≤ е(X). Олонлогийн доор хязгаарлагдсан функцийн график X, шулуун шугамаас бүрэн дээгүүр байрлана цагт = А(энэ бол хэвтээ шугам).

Чиг үүрэг цагт = е(x), дээрээс нь хязгаарласанбагц дээр X(энэ багц дээр тодорхойлогдсон байх ёстой), хэрэв тоо байгаа бол INхэнд ч зориулсан XЄ X, е(X) ≤ IN. X олонлог дээр дээрээс нь хязгаарлагдсан функцийн график нь шугамын доор бүрэн байрлана цагт = IN(энэ бол хэвтээ шугам).

Функцийг авч үзсэн хязгаарлагдмалбагц дээр X(энэ багц дээр тодорхойлогдсон байх ёстой) хэрэв энэ олонлог дээр дээрээс болон доороос хязгаарлагдсан бол, өөрөөр хэлбэл, ийм тоонууд байдаг. АТэгээд INхэнд ч зориулсан XЄ Xтэгш бус байдал хангагдсан байна А ≤ е(x) ≤ Б. Олонлогт хязгаарлагдсан функцийн график X, шулуун шугамын хооронд бүрэн байрладаг цагт = АТэгээд цагт = IN(эдгээр нь хэвтээ шугамууд).

Чиг үүрэг цагт = е (X), багц дээр хязгаарлагдсан гэж үзнэ X(энэ багц дээр тодорхойлогдсон байх ёстой), хэрэв тоо байгаа бол ХАМТ> 0, аль нь ч гэсэн xЄ X, │е(X)│≤ ХАМТ.

Чиг үүрэг цагт = е(X), XЄ X, дуудсан нэмэгдэх (буурахгүй)дэд олонлог дээр МХАМТ Xхэзээ хүн бүрт X 1 ба X 2-ын Мтиймэрхүү X 1 < X 2, шударга е(X 1) < е(X 2) (е(X 1) ≤ е(X 2)). Эсвэл y функцийг дууддаг нэмэгдэхбагц дээр TO, хэрэв энэ олонлогийн аргументын том утга нь функцын том утгатай тохирч байвал.

Чиг үүрэг цагт = е(X), XЄX, дуудсан буурах (өсөхгүй)дэд олонлог дээр МХАМТ Xхэзээ хүн бүрт X 1 ба X 2-ын Мтиймэрхүү X 1 < X 2, шударга е(X 1) > е(X 2) (е(X 1) ≥ е(X 2)). Эсвэл функц цагтбагц дээр буурах гэж нэрлэдэг TO, хэрэв энэ олонлогийн аргументын том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байвал.

Чиг үүрэг цагт = е(x), XЄ X, дуудсан нэг хэвийндэд олонлог дээр МХАМТ X, хэрэв энэ нь буурч (өсөхгүй) эсвэл нэмэгдэж (буурагдахгүй) байвал М.

Хэрэв функц цагт = е(X), XЄ X, дэд олонлог дээр буурч эсвэл нэмэгдэж байна МХАМТ X, тэгвэл ийм функцийг дуудна хатуу монотонбагц дээр М.

Тоо Мдуудсан функцийн хамгийн том утга y зураг авалт дээр TO, хэрэв энэ тоо нь х-ийн тодорхой утга дахь функцийн утга юм 0 багцаас аргументTO, мөн K олонлогийн аргументын бусад утгуудын хувьд y функцийн утга нь тооноос ихгүй байна.М.

Тоо мдуудсан хамгийн бага утгаолонлог дээрх y функцууд TO, хэрэв энэ тоо нь тодорхой утга дахь функцийн утга юм XОлонлогоос 0 аргумент TO, мөн олонлогоос аргумент x-ийн бусад утгуудын хувьд TO y функцийн утга нь тооноос багагүй байна м.

Функцийн үндсэн шинж чанарууд , үүнээс судалгаа, судалгаагаа эхлэх нь дээр, энэ нь түүний тодорхойлолт, ач холбогдлын талбар юм. Та энгийн функцүүдийн графикийг хэрхэн дүрсэлж байгааг санах хэрэгтэй. Зөвхөн дараа нь та илүү нарийн төвөгтэй графикууд руу шилжиж болно. "Функц" сэдэв нь эдийн засаг болон бусад мэдлэгийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Функцуудыг математикийн хичээлийн туршид судалж, үргэлжлүүлэн судалж байнадээд боловсролын байгууллагууд . Тэнд функцийг эхний болон хоёрдугаар дериватив ашиглан судалдаг.

Энэ нь тэмдгийг өөрчилдөггүй, өөрөөр хэлбэл үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж эерэг биш байдаг. Хэрэв нэмэгдэл нь тэг биш бол функцийг дуудна хатуу монотон. Монотон функц нь ижил чиглэлд өөрчлөгддөг функц юм.

Хэрэв том аргументын утга нь том функцын утгатай тохирч байвал функц нэмэгдэнэ. Хэрэв аргументийн том утга нь функцын бага утгатай тохирч байвал функц буурдаг.

Тодорхойлолт

Функцийг өгье.Тэгээд

. . . .

(хатуу) нэмэгдэх буюу буурах функцийг (хатуу) монотон гэж нэрлэдэг.

Бусад нэр томъёо

Заримдаа нэмэгдүүлэх функцийг дууддаг буурдаггүй, болон буурах функцууд өсөхгүй. Дараа нь хатуу өсөн нэмэгдэж буй функцийг энгийнээр нэмэгдүүлэх, хатуу буурах функцийг буурах гэж нэрлэдэг.

Монотон функцүүдийн шинж чанарууд

Функц монотон байх нөхцөл

Ерөнхийдөө эсрэгээрээ үнэн биш юм. Хатуу монотон функцийн дериватив алга болж болно. Гэсэн хэдий ч дериватив нь 0-тэй тэнцүү биш цэгүүдийн багц нь интервал дээр нягт байх ёстой.Илүү нарийвчлалтай бол энэ нь тийм юм.

Үүний нэгэн адил, зөвхөн дараах хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд интервалд хатуу буурдаг.

Жишээ

бас үзнэ үү

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Монотон функц" гэж юу болохыг харна уу:

Монотон функц- f(x) функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэх (өөрөөр хэлбэл энэ интервал дээрх аргументийн аль нэг утга их байх тусам функцийн утга их байх болно) эсвэл буурах (эсрэг тохиолдолд) байж болно. ...... ...

Аргумент нэмэгдэхэд үргэлж өсдөг (эсвэл ядаж буурахгүй), эсвэл үргэлж буурдаг (өсдөггүй) функц ... Том нэвтэрхий толь бичиг

- (монотони функц) Аргументийн утга нэмэгдэхийн хэрээр функцийн утга үргэлж нэг чиглэлд өөрчлөгддөг функц. Иймд хэрэв y=f(x) бол x-ийн бүх утгын хувьд dy/dx 0 байх ба энэ тохиолдолд у нэмэгдэж байна... ... Эдийн засгийн толь бичиг

- (Грекийн monotonos monochromatic) функц нь Δx = x' x > 0-ийн хувьд Δf(x) = f(x') f(x) нь тэмдэг өөрчлөгддөггүй, өөрөөр хэлбэл үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж байдаг функц. эерэг бус. Үүнийг бүрэн тодорхой бус илэрхийлэхийн тулд M. f. Эдгээр нь ...... өөрчлөгддөг функцууд юм. Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Аргумент нэмэгдэхэд үргэлж өсдөг (эсвэл ядаж буурахгүй), эсвэл үргэлж буурдаг (өсдөггүй) функц. * * * МОНОТОН ФУНКЦИ МОНОТОН ФУНКЦ, аргумент нэмэгдэхэд үргэлж нэмэгддэг функц (эсвэл... ... нэвтэрхий толь бичиг

Бодит тоонуудын тодорхой дэд олонлог дээр тодорхойлогдсон нэг хувьсагчийн функц, бүлгийн өсөлт нь тэмдгийг өөрчлөхгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж эерэг биш байдаг. Хэрэв тэгээс их (бага) байвал M. f. дуудсан...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Аргумент нэмэгдэхэд үргэлж өсдөг (эсвэл ядаж буурахгүй), эсвэл үргэлж буурдаг (өсдөггүй) функц ... Байгалийн шинжлэх ухаан. нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нь тоо нэмэгдэх тусам элементүүд нь багасдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дараалал юм. Ийм дэс дараалал нь судалгаанд ихэвчлэн тааралддаг бөгөөд хэд хэдэн онцлог, нэмэлт шинж чанартай байдаг.... ... Википедиа

функц- Нэг буюу хэд хэдэн процесс, үйл ажиллагааг гүйцэтгэхэд ашигладаг баг эсвэл бүлэг хүмүүс, багаж хэрэгсэл эсвэл бусад нөөц. Жишээлбэл, хэрэглэгчийн дэмжлэг. Энэ нэр томъёо нь бас өөр утгатай: ... ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Чиг үүрэг- 1. Хамаарах хувьсагч; 2. Хувьсах хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондох y=f(x) харгалзах байдал, үүний улмаас зарим х хэмжигдэхүүний (аргумент эсвэл бие даасан хувьсагч) авч үзсэн утга бүр нь тодорхой утгатай тохирч байна... ... Эдийн засаг, математикийн толь бичиг

Тодорхойлолт: Хэрэв энэ интервалд аргументийн том утга тус бүр нь функцын том утгатай тохирч байвал функц нь тодорхой интервалаар нэмэгдэж байна гэж хэлнэ.

Def.: Хэрэв энэ интервалд аргументийн том утга тус бүр нь функцын бага утгатай тохирч байвал функцийг тодорхой интервалаар буурч байна гэж нэрлэдэг.

Хэр их нэмэгдэж байна . Үүний нэгэн адил буурах функцийг монотон гэж нэрлэдэг.

Хэрэв функц монотон биш бол түүний тодорхойлолтын мужийг функцийн тогтмол байдлын интервалаар сольж болох хязгаарлагдмал тооны монотон интервалд хувааж болно.

y = f(x) функцийн монотон байдал нь түүний анхны уламжлалын f ¤ (x) тэмдгээр тодорхойлогддог, тухайлбал, хэрэв ямар нэгэн интервалд f ¤ (x) > 0 байвал функц нь энэ интервалд нэмэгддэг. зарим интервал f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

y = f(x) функцийн монотон байдлын интервалыг олох нь түүний анхны дериватив f ¤ (x) тогтмол тэмдгийн интервалыг олох хүртэл буурна.

Эндээс y = f(x) функцийн монотон байдлын интервалыг олох дүрмийг олж авна.

1. f ¤ (x) -ийн тэг ба тасралтыг ол.

2. 1-р алхамд олж авсан цэгүүд f (x) функцийн тодорхойлолтын мужийг хуваах интервал дахь f ¤ (x) тэмдгийг туршилтын аргаар тодорхойлно.

Жишээ:

y = - x 2 + 10x + 7 функцийн монотон байдлын интервалуудыг ол

f ¤ (x) -ийг олцгооё. y¢ = -2x +10

y¢ = 0 байх цэг нь нэг бөгөөд энэ нь функцийн тодорхойлолтын мужийг дараах интервалд хуваадаг: (– ∞,5) ба (5,+ ∞), тус бүрд y¢ тогтмол тэмдгийг хадгална. Функцийн тодорхой утгыг эдгээр интервалд орлуулж, заасан интервал дээрх y¢ тэмдгийг тодорхойлъё.

интервал дээр (– ∞,5] y¢ > 0,

интервал дээр функц нэмэгдэж, I (3 ,+ ∞) интервалд y¢ нь тогтмол тэмдэгтэй байна. Функцийн тодорхой утгыг эдгээр интервалд орлуулж, заасан интервалууд дээрх y¢ тэмдгийг тодорхойлъё.

Монотон функцфункц юм өсөлтЭнэ нь тэмдгийг өөрчилдөггүй, өөрөөр хэлбэл үргэлж сөрөг биш эсвэл үргэлж эерэг байдаггүй. Хэрэв нэмэгдэл нь тэг биш бол функцийг дуудна хатуу монотон. Монотон функц нь ижил чиглэлд өөрчлөгддөг функц юм.

Хэрэв том аргументын утга нь том функцын утгатай тохирч байвал функц нэмэгдэнэ. Хэрэв аргументийн том утга нь функцын бага утгатай тохирч байвал функц буурдаг.

Функцийг өгье.Тэгээд

(хатуу) нэмэгдэх буюу буурах функцийг (хатуу) монотон гэж нэрлэдэг.

Экстремумын тодорхойлолт

Хэрэв x1-ийн хувьд y = f(x) функц нь тодорхой интервалд нэмэгдэж (буурагдаж) байна гэж хэлнэ.< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Хэрэв дифференциал болох y = f(x) функц интервал дээр ихсэх (багарах) бол энэ интервал дээрх түүний уламжлал f "(x) > 0 болно.

(f" (x)< 0).

f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо) тэгш бус байдал үүсэх xо цэгийн хөрш байгаа бол xо цэгийг f(x) функцийн локал максимум (минимум) цэг гэнэ. )) бүх цэгүүдэд үнэн байна.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг экстремум цэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг экстремум гэж нэрлэдэг.

Экстремум цэгүүд

Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв xо цэг нь f(x) функцийн экстремум цэг бол f "(xо) = 0, эсвэл f (xо) байхгүй. Ийм цэгүүдийг критик гэж нэрлэх ба функц өөрөө критик цэг дээр тодорхойлогдоно. цэг.Функцийн экстремумыг түүний чухал цэгүүдээс хайх хэрэгтэй.

Эхний хангалттай нөхцөл. Хо нь эгзэгтэй цэг байцгаая. Хэрвээ f "(x) нь xo цэгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдгийг нэмэхээс хасах руу өөрчилдөг бол xo цэг дээр функц нь максимумтай, үгүй ​​бол хамгийн багатай байна. Хэрэв эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөх үед дериватив тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол, хэрэв үүсмэл шинж тэмдэг өөрчлөгддөггүй. тэгвэл xo цэг дээр экстремум байхгүй.

Хоёр дахь хангалттай нөхцөл. f(x) функц нь xо цэгийн ойролцоо f " (x) дериватив ба өөрөө xо цэг дээр хоёр дахь деривативтэй байг. Хэрэв f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Сегмент дээр y = f(x) функц нь эгзэгтэй цэгүүд эсвэл сегментийн төгсгөлд хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгад хүрч болно.

7. Гүдгэр, хотгор функцүүдийн интервалууд .Гулзайлтын цэгүүд.

Функцийн график y=f(x)дуудсан гүдгэринтервал дээр (а; б), хэрэв энэ интервал дахь шүргэгчийн аль нэг доор байрласан бол. Функцийн график y=f(x)дуудсан хотгоринтервал дээр (а; б), хэрэв энэ интервал дээр түүний шүргэгчээс дээш байрласан бол. Зураг дээр гүдгэр муруйг харуулж байна (а; б)мөн дээр нь хонхорхой (б;в). Жишээ. Өгөгдсөн интервал дахь функцийн график нь гүдгэр эсвэл хотгор байх эсэхийг тодорхойлох хангалттай шалгуурыг авч үзье. Теорем. Болъё y=f(x)дээр ялгах боломжтой (а; б). Хэрэв интервалын бүх цэгүүдэд (а; б)функцийн хоёр дахь дериватив y = f(x)сөрөг, өөрөөр хэлбэл. е""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же е""(x) > 0 – хотгор. Баталгаа. Үүнийг тодорхой гэж үзье е""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. График дээрх функцуудыг авч үзье у = f(x)дурын цэг М 0 абсциссатай x 0  (а; б) ба цэгээр зурна М 0 шүргэгч. Түүний тэгшитгэл. Функцийн график асаалттай байгааг бид харуулах ёстой (а; б)энэ шүргэгчийн доор байрладаг, өөрөөр хэлбэл. ижил утгатай xмуруйн ординат у = f(x)шүргэгчийн ординатаас бага байх болно.

Функцийн гулзайлтын цэг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, харна уу Гулзайлтын цэг.

Функцийн дотоод цэгийн гулзайлтын цэг тодорхойлолтын домэйн, ийм байдлаар энэ цэг дээр тасралтгүй, энэ цэг дээр хязгаарлагдмал буюу тодорхой тэмдэгт хязгааргүй дериватив байдаг, нэгэн зэрэг хатуу гүдгэр интервалын төгсгөл дээш болон хатуу гүдгэр хоорондын интервалын эхлэл доош, эсвэл эсрэгээр байна.

Албан бус

Энэ тохиолдолд гол зүйл бол гулзайлтын цэгфункцийн график, өөрөөр хэлбэл "нугалах" цэг дээрх функцийн график шүргэгчЭнэ үед түүн рүү: шүргэгч дээр графын доор, графын дээр байрладаг (эсвэл эсрэгээр)

Орших нөхцөл

Гулзайлтын цэг байх зайлшгүй нөхцөл: хэрэв тухайн цэгийн аль нэг хэсэгт хоёр дахин дифференциалагдах f(x) функц нь гулзайлтын цэгтэй байвал.

Гулзайлтын цэг байх хангалттай нөхцөл: Хэрэв тухайн цэгийн аль нэг хэсэгт байрлах функц тасралтгүй дифференциал, сондгой ба, болон, a гэсэн утгатай байвал функц нь гулзайлтын цэгтэй байна.