Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, урвуу функцийг шууд авч үзье. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг, .

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Экспоненциал ба натурал логарифм нь дериватив талаас нь авч үзвэл маш энгийн функцууд юм. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Тэгээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталцгаая. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (шугаман функц учраас дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн дүрмийг ашиглах болно: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Болсон уу?

Энд өөрийгөө шалгаарай:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл энгийн хэлбэрээр бичих боломжгүй тоо юм. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Энд хоёр функцийн коэффициент байгааг анхаарна уу, тиймээс бид харгалзах ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

Энэ жишээнд хоёр функцийн үржвэр:

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба логарифм функцийн деривативууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч олддоггүй, гэхдээ тэдгээрийг мэдэх нь илүүц байх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

"Цогцолбор функц" гэж юу вэ? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд урвуу дарааллаар урвуу алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Бидний жишээн дээр, .

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Нарийн төвөгтэй функцүүдийн чухал шинж чанар: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгддөг.

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн хамгийн түрүүнд гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг өөрчилж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадна: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадна: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

Шалгалт болоход багагүй хугацаа үлдсэн юм шиг санагдаж байна уу? Энэ сар уу? Хоёр уу? Жил? Дадлагаас харахад оюутан шалгалтанд урьдчилан бэлдэж эхэлбэл шалгалтыг хамгийн сайн даван туулдаг. Улсын нэгдсэн шалгалтанд сургуулийн сурагчид болон ирээдүйн өргөдөл гаргагчдад хамгийн өндөр оноо авахад саад болох олон хэцүү даалгавар байдаг. Та эдгээр саад бэрхшээлийг даван туулж сурах хэрэгтэй бөгөөд үүнээс гадна үүнийг хийхэд хэцүү биш юм. Та билетээс янз бүрийн даалгавартай ажиллах зарчмыг ойлгох хэрэгтэй. Дараа нь шинэ хүмүүстэй холбоотой асуудал гарахгүй.

Логарифмууд нь эхлээд харахад үнэхээр төвөгтэй мэт боловч нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийснээр нөхцөл байдал илүү хялбар болно. Хэрэв та Улсын нэгдсэн шалгалтыг хамгийн өндөр оноотой өгөхийг хүсч байвал энэ нийтлэлд бидний санал болгож буй ойлголтыг ойлгох хэрэгтэй.

Эхлээд эдгээр тодорхойлолтыг салгаж үзье. Логарифм (лог) гэж юу вэ? Энэ нь заасан тоог олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүчийг харуулсан үзүүлэлт юм. Хэрэв энэ нь тодорхойгүй бол энгийн жишээг харцгаая.

Энэ тохиолдолд 4-ийн тоог авахын тулд доод хэсэгт байрлах суурийг хоёрдахь хүч хүртэл өсгөх шаардлагатай.

Одоо хоёр дахь үзэл баримтлалыг авч үзье. Аливаа хэлбэрийн функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн өөрчлөлтийг тодорхойлдог ойлголт юм. Гэсэн хэдий ч энэ бол сургуулийн сургалтын хөтөлбөр бөгөөд хэрэв танд эдгээр ойлголттой холбоотой асуудал гарвал сэдвийг давтах нь зүйтэй.

Логарифмын дериватив

Энэ сэдвээр Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт та хэд хэдэн даалгаврыг жишээ болгон өгч болно. Эхлээд хамгийн энгийн логарифмын дериватив. Дараах функцийн деривативыг олох шаардлагатай.

Бид дараагийн деривативыг олох хэрэгтэй

Тусгай жор байдаг.

Энэ тохиолдолд x=u, log3x=v. Бид функцийнхээ утгыг томъёонд орлуулдаг.

x-ийн дериватив нь нэгтэй тэнцүү байх болно. Логарифм нь арай илүү төвөгтэй юм. Гэхдээ та зүгээр л үнэт зүйлсийг орлуулах юм бол зарчмыг ойлгох болно. lg x-ийн дериватив нь аравтын бутархай логарифмын дериватив, ln x-ийн дериватив нь натурал логарифмын уламжлал (e-д үндэслэсэн) гэдгийг санаарай.

Одоо үүссэн утгуудыг томьёо руу оруулна уу. Үүнийг өөрөө туршаад үзээрэй, дараа нь бид хариултыг шалгах болно.

Зарим хүмүүсийн хувьд энд асуудал юу байж болох вэ? Бид натурал логарифмын тухай ойлголтыг танилцуулсан. Энэ талаар ярилцаж, үүнтэй зэрэгцэн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдье. Ялангуяа түүний үйл ажиллагааны зарчмыг ойлгох үед та ямар ч төвөгтэй зүйлийг олж харахгүй. Математикт ихэвчлэн ашигладаг (дээд боловсролын байгууллагуудад бүр илүү) тул та үүнд дасах хэрэгтэй.

Байгалийн логарифмын дериватив

Үндсэндээ энэ нь e суурьтай логарифмын дериватив юм (энэ нь иррационал тоо бөгөөд ойролцоогоор 2.7). Үнэн хэрэгтээ ln нь маш энгийн тул математикт ерөнхийдөө ихэвчлэн хэрэглэгддэг. Уг нь түүгээр асуудлыг шийдэх нь бас асуудал биш. Натурал логарифмын дериватив e суурь нь х-д хуваагдсантай тэнцүү байх болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Дараах жишээний шийдэл нь хамгийн ил тод байх болно.

Үүнийг хоёр энгийн функцээс бүрдсэн цогц функц гэж төсөөлье.

Хөрвүүлэхэд хангалттай

Бид x-тэй холбоотой u-ийн деривативыг хайж байна

Хоёр дахь зүйлээ үргэлжлүүлье

Комплекс функцийн деривативыг u=nx гэж орлуулах аргыг хэрэглэдэг.

Эцэст нь юу болсон бэ?

Одоо энэ жишээнд n ямар утгатай болохыг санацгаая? Энэ нь натурал логарифмд х-ийн өмнө гарч болох дурын тоо юм. Хариулт нь түүнээс хамаарахгүй гэдгийг та ойлгох нь чухал юм. Хүссэн зүйлээ орлуулаарай, хариулт нь 1/x хэвээр байх болно.

Таны харж байгаагаар энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, та энэ сэдвээр асуудлыг хурдан, үр дүнтэй шийдвэрлэх зарчмыг ойлгох хэрэгтэй. Одоо та онолыг мэдэж байгаа тул үүнийг практикт хэрэгжүүлэхэд л хангалттай. Асуудлыг шийдэх зарчмыг удаан хугацаанд санаж байхын тулд асуудлыг шийдвэрлэх дадлага хий. Сургуулиа төгссөний дараа танд энэ мэдлэг хэрэггүй байж болох ч шалгалтанд энэ нь урьд өмнөхөөсөө илүү хамааралтай байх болно. Чамд амжилт хүсье!

Натурал логарифмын дериватив ба логарифмыг суурь болгох томъёоны нотолгоо, гарал үүсэл a. ln 2x, ln 3x ба ln nx-ийн деривативыг тооцоолох жишээ. Математикийн индукцийн аргыг ашиглан n-р эрэмбийн логарифмын деривативын томъёоны баталгаа.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Логарифм - шинж чанар, томъёо, график
Байгалийн логарифм - шинж чанар, томъёо, график

Натурал логарифм ба логарифмын деривативын томъёог үндэслэх

х-ийн натурал логарифмын дериватив нь х-д хуваагдсантай тэнцүү байна.
(1) (ln x)' =.

a суурийн логарифмын дериватив нь х хувьсагчийг а-ын натурал логарифмаар үржүүлсэн нэгтэй тэнцүү байна.
(2) (log a x)' =.

Баталгаа

Нэгтэй тэнцүү биш эерэг тоо байг. Суурийн логарифм болох x хувьсагчаас хамаарах функцийг авч үзье.
.
Энэ функц нь дээр тодорхойлогддог. Түүний x хувьсагчтай холбоотой деривативыг олъё. Тодорхойлолтоор дериватив нь дараахь хязгаар юм.
(3) .

Энэ илэрхийллийг мэдэгдэж буй математик шинж чанар, дүрмүүд рүү багасгахын тулд хувиргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид дараах баримтуудыг мэдэх хэрэгтэй.
A)Логарифмын шинж чанарууд. Бидэнд дараах томъёо хэрэгтэй болно.
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B)Логарифмын тасралтгүй байдал ба тасралтгүй функцийн хязгаарын шинж чанар:
(7) .
Энд хязгаартай функц байгаа бөгөөд энэ хязгаар нь эерэг байна.
IN)Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын утга:
(8) .

Эдгээр баримтуудыг өөрсдийн хязгаарт хэрэгжүүлцгээе. Эхлээд бид алгебрийн илэрхийлэлийг хувиргана
.
Үүнийг хийхийн тулд бид (4) ба (5) шинж чанаруудыг ашигладаг.

.

Үл хөдлөх хөрөнгө (7) ба хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг (8) ашиглацгаая:
.

Эцэст нь бид үл хөдлөх хөрөнгийг ашигладаг (6):
.
Суурь руу логарифм ддуудсан байгалийн логарифм. Үүнийг дараах байдлаар томилно.
.
Дараа нь;
.

Тиймээс бид логарифмын дериватив (2) томъёог олж авлаа.

Байгалийн логарифмын дериватив

Дахин нэг удаа бид логарифмын деривативын томъёог бичнэ.
.
Энэ томьёо нь натурал логарифмын хувьд хамгийн энгийн хэлбэртэй бөгөөд , . Дараа нь
(1) .

Энэхүү энгийн байдлаас шалтгаалан байгалийн логарифм нь математик анализ болон дифференциал тооцоололтой холбоотой математикийн бусад салбаруудад маш өргөн хэрэглэгддэг. Бусад суурьтай логарифмын функцийг (6) шинж чанарыг ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно:
.

Логарифмын суурьтай холбоотой деривативыг (1) томъёоноос олж болно, хэрэв та тогтмолыг ялгах тэмдэгээс хасвал:
.

Логарифмын деривативыг батлах бусад аргууд

Энд бид экспоненциалын деривативын томъёог мэддэг гэж бодож байна.
(9) .
Дараа нь логарифм нь экспоненциалын урвуу функц гэдгийг харгалзан натурал логарифмын деривативын томъёог гаргаж болно.

Натурал логарифмын деривативын томъёог баталъя. урвуу функцийн деривативын томъёог хэрэглэх:
.
Манай тохиолдолд . Натурал логарифмын урвуу функц нь экспоненциал юм.
.
Түүний деривативыг (9) томъёогоор тодорхойлно. Хувьсагчдыг ямар ч үсгээр тодорхойлж болно. (9) томьёоны х хувьсагчийг у-аар солино.
.
Түүнээс хойш
.
Дараа нь
.
Томъёо нь батлагдсан.

Одоо бид натурал логарифмын деривативын томъёог ашиглан баталж байна нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрэм. Функцууд нь бие биенээсээ урвуу байдаг тул
.
Энэ тэгшитгэлийг x хувьсагчийн хувьд ялгаж үзье.
(10) .
x-ийн дериватив нь нэгтэй тэнцүү байна:
.
Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.
.
Энд. (10)-д орлъё:
.
Эндээс
.

Жишээ

-ийн деривативуудыг олоорой 2x, 3xТэгээд lnnx.

Анхны функцууд нь ижил төстэй хэлбэртэй байдаг. Тиймээс бид функцийн деривативыг олох болно y = log nx. Дараа нь бид n = 2 ба n = 3-ыг орлуулна. Тиймээс бид деривативуудын томъёог олж авдаг 2xТэгээд 3x .

Тиймээс бид функцийн деривативыг хайж байна
y = log nx .
Энэ функцийг хоёр функцээс бүрдэх цогц функц гэж төсөөлье.
1) Хувьсагчаас хамаарах функцууд: ;
2) Хувьсагчаас хамаарах функцууд: .
Дараа нь анхны функц нь дараах функцуудаас бүрдэнэ.
.

Х хувьсагчтай холбоотой функцийн деривативыг олъё:
.
Хувьсагчтай холбоотой функцийн деривативыг олъё.
.
Бид нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёог ашигладаг.
.
Энд бид үүнийг тохируулсан.

Тиймээс бид олсон:
(11) .
Дериватив нь n-ээс хамаарахгүй гэдгийг бид харж байна. Хэрэв бид бүтээгдэхүүний логарифмын томъёог ашиглан анхны функцийг хувиргавал энэ үр дүн нь байгалийн юм.
.
- энэ бол тогтмол. Үүний дериватив нь тэг байна. Дараа нь нийлбэрийг ялгах дүрмийн дагуу бид:
.

; ; .

Х модулийн логарифмын дериватив

Өөр нэг чухал функцийн деривативыг олъё - модулийн х-ийн натурал логарифм:
(12) .

Хэргийг авч үзье. Дараа нь функц дараах байдлаар харагдана.
.
Үүний деривативыг (1) томъёогоор тодорхойлно:
.

Одоо хэргийг авч үзье. Дараа нь функц дараах байдлаар харагдана.
,
Хаана.
Гэхдээ бид дээрх жишээнээс энэ функцийн деривативыг бас олсон. Энэ нь n-ээс хамаарахгүй бөгөөд тэнцүү байна
.
Дараа нь
.

Бид эдгээр хоёр тохиолдлыг нэг томъёонд нэгтгэдэг:
.

Үүний дагуу логарифмыг a суурь болгохын тулд бид:
.

Натурал логарифмын дээд эрэмбийн деривативууд

Функцийг авч үзье
.
Бид түүний анхны деривативыг олсон:
(13) .

Хоёрдахь эрэмбийн деривативыг олъё:
.
Гурав дахь эрэмбийн деривативыг олъё:
.
Дөрөв дэх дарааллын деривативыг олъё:
.

n-р эрэмбийн дериватив нь дараах хэлбэртэй байгааг анзаарч болно.
(14) .
Үүнийг математик индукцээр баталцгаая.

Баталгаа

n = 1 утгыг (14) томъёонд орлуулъя:
.
-ээс хойш n = байх үед 1 , томъёо (14) хүчинтэй байна.

n = k-ийн хувьд (14) томъёог хангасан гэж үзье. Энэ нь томьёо нь n = k-д хүчинтэй гэдгийг илтгэж байгааг баталцгаая + 1 .

Үнэн хэрэгтээ, n = k-ийн хувьд бидэнд:
.
x хувьсагчаар ялгах:

.
Тиймээс бид авсан:
.
Энэ томьёо нь n = k +-ийн (14) томъёотой давхцаж байна 1 . Иймд (14) томьёо n = k-д хүчинтэй гэсэн таамаглалаас (14) томъёо n = k + -д хүчинтэй байна гэсэн дүгнэлт гарна. 1 .

Тиймээс n-р эрэмбийн дериватив (14) томъёо нь дурын n-д хүчинтэй байна.

Суурийн логарифмын дээд эрэмбийн дериватив a

a суурьтай логарифмын n-р эрэмбийн деривативыг олохын тулд та үүнийг натурал логарифмээр илэрхийлэх хэрэгтэй.
.
(14) томъёог ашигласнаар бид n-р деривативыг олно.
.

Мөн үзнэ үү:

Нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив.
Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Бид ялгах техникээ үргэлжлүүлэн сайжруулсаар байна. Энэ хичээлээр бид авч үзсэн материалаа нэгтгэж, илүү төвөгтэй деривативуудыг авч үзэхээс гадна дериватив, ялангуяа логарифмын дериватив олох шинэ арга техник, заль мэхтэй танилцах болно.

Бэлтгэл багатай уншигчид энэ нийтлэлд хандаарай Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ, энэ нь танд ур чадвараа бараг эхнээс нь дээшлүүлэх боломжийг олгоно. Дараа нь та хуудсыг сайтар судлах хэрэгтэй Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив, ойлгож, шийдвэрлэх Бүгдминий өгсөн жишээнүүд. Энэ хичээл нь логикийн хувьд гурав дахь дараалсан хичээл бөгөөд үүнийг эзэмшсэний дараа та нэлээд төвөгтэй функцуудыг итгэлтэйгээр ялгах болно. “Өөр хаана байна? Энэ хангалттай!", учир нь бүх жишээ, шийдлийг бодит туршилтаас авсан бөгөөд практикт ихэвчлэн тулгардаг.

Дахин давтахаас эхэлцгээе. Хичээл дээр Нарийн төвөгтэй функцийн деривативБид нарийвчилсан тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээг авч үзсэн. Дифференциал тооцоолол болон математикийн шинжилгээний бусад салбарыг судлах явцад та маш олон удаа ялгах шаардлагатай бөгөөд жишээг нарийвчлан тайлбарлах нь үргэлж тохиромжтой биш (мөн үргэлж шаардлагатай биш). Тиймээс бид үүсмэл хэлбэрийг амаар олох дасгал хийх болно. Үүнд хамгийн тохиромжтой "нэр дэвшигчид" нь хамгийн энгийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд юм, жишээлбэл:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу :

Ирээдүйд бусад матан сэдвүүдийг судлахдаа ийм нарийвчилсан бүртгэл ихэвчлэн шаардлагагүй байдаг тул оюутан автомат жолоодлого дээр ийм деривативыг хэрхэн олохыг мэддэг гэж үздэг. Шөнийн 3 цагт утас дуугарч, "Хоёр X-ийн шүргэгчийн дериватив нь юу вэ?" гэж аятайхан хоолой асуув гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний дараа бараг агшин зуур эелдэг хариу үйлдэл үзүүлэх ёстой. .

Эхний жишээ нь нэн даруй бие даасан шийдэлд зориулагдсан болно.

Жишээ 1

Дараах деривативуудыг нэг үйлдлээр амаар олоорой, жишээлбэл: . Даалгавраа дуусгахын тулд та зөвхөн ашиглах хэрэгтэй энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт(хэрэв та үүнийг хараахан санахгүй байгаа бол). Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би хичээлээ дахин уншихыг зөвлөж байна Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Хичээлийн төгсгөлд хариултууд

Нарийн төвөгтэй деривативууд

Урьдчилсан артиллерийн бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 үүрний функц бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Дараах хоёр жишээ зарим хүмүүст төвөгтэй мэт санагдаж болох ч хэрэв та тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн нь зовох болно) дифференциал тооцооллын бараг бүх зүйл хүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Өмнө дурьдсанчлан, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохдоо юуны түрүүнд шаардлагатай болно ЗөвХөрөнгө оруулалтаа ОЙЛГООРОЙ. Эргэлзээтэй байгаа тохиолдолд би танд хэрэгтэй аргыг сануулж байна: жишээ нь бид "x"-ийн туршилтын утгыг авч, (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) энэ утгыг "аймшигтай илэрхийлэл" болгон орлуулахыг оролддог.

1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нийлбэр нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм.

2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:

4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:

5) Тав дахь шатанд ялгаа:

6) Эцэст нь, хамгийн гадна талын функц нь квадрат язгуур юм:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах томъёо хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:

Алдаа байхгүй юм шиг байна...

(1) Квадрат язгуурын деривативыг ав.

(2) Бид дүрмийг ашиглан ялгааны деривативыг авдаг

(3) Гурав дахины дериватив нь тэг байна. Хоёр дахь гишүүнд бид градусын деривативыг (шоо) авна.

(4) Косинусын деривативыг ав.

(5) Логарифмын деривативыг ав.

(6) Эцэст нь бид хамгийн гүн шингээлтийн деривативыг авдаг.

Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх гоо үзэсгэлэн, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтанд ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.

Дараах жишээ нь та өөрөө шийдэх болно.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм болон бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Илүү жижиг, илүү сайхан зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээгээр харуулах нь ердийн зүйл биш юм. Гурван хүчин зүйлийн үржвэрийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Эхлээд бид гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн үржвэр болгон хувиргах боломжтой юу? Жишээлбэл, хэрэв бид үржвэрт хоёр олон гишүүнтэй байсан бол хаалтыг нээж болно. Гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр бүх функцууд өөр өөр байдаг: градус, экспонент, логарифм.

Ийм тохиолдолд зайлшгүй шаардлагатай дараалсанбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ хоёр удаа

Энэ заль мэх нь "y" -ээр бид хоёр функцийн үржвэрийг тэмдэглэдэг: "ve" -ээр бид логарифмыг тэмдэглэдэг. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Үнэхээр тийм үү – энэ нь хоёр хүчин зүйлийн үр дүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу? Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:

Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх л үлдлээ хаалтанд:

Та мөн мушгиж, хаалтанд ямар нэгэн зүйл хийж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд хариултыг яг энэ хэлбэрээр үлдээх нь дээр - шалгахад хялбар байх болно.

Үзсэн жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно.

Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд дээж дээр эхний аргыг ашиглан шийддэг.

Бутархайтай ижил төстэй жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд та хэд хэдэн арга замаар явж болно:

Эсвэл иймэрхүү:

Гэхдээ эхлээд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдэл илүү нягт бичигдэх болно , бүхэл тоологчийг авч үзвэл:

Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн, хэрэв байгаагаар нь үлдээвэл алдаа гарахгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол хариултыг хялбарчлах боломжтой эсэхийг шалгахын тулд ноорог шалгаж үзэхийг зөвлөж байна уу? Тоолуурын илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулъя Гурван давхар фракцаас салцгаая:

Нэмэлт хялбаршуулсан сул тал нь деривативыг олохдоо бус харин сургуулийн өмнөх өөрчлөлтийн үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "санах" гэж хүсдэг.

Өөрөө шийдэх энгийн жишээ:

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Бид дериватив олох аргуудыг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо "аймшигтай" логарифмыг ялгахын тулд санал болгож буй ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан урт замыг туулж чадна:

Гэхдээ хамгийн эхний алхам нь таныг шууд цөхрөлд автуулдаг - та бутархай, дараа нь бутархайгаас тааламжгүй деривативыг авах хэрэгтэй.

Тийм ч учраас өмнө"нарийн төвөгтэй" логарифмын деривативыг хэрхэн яаж авах вэ, үүнийг эхлээд сургуулийн алдартай шинж чанаруудыг ашиглан хялбаршуулсан болно.

! Хэрэв танд дасгалын дэвтэр байгаа бол эдгээр томъёог шууд хуулж ав. Хэрэв танд дэвтэр байхгүй бол тэдгээрийг цаасан дээр хуулж ав, учир нь хичээлийн үлдсэн жишээнүүд эдгээр томьёог тойрон эргэлдэх болно.

Шийдлийг өөрөө дараах байдлаар бичиж болно.

Функцийг өөрчилье:

Деривативыг олох нь:

Функцийг урьдчилан хөрвүүлэх нь шийдлийг маш хялбаршуулсан. Тиймээс ижил төстэй логарифмыг ялгахын тулд санал болгож байгаа бол үүнийг "задлах" нь үргэлж тохиромжтой байдаг.

Одоо та өөрөө шийдэх хэд хэдэн энгийн жишээ байна:

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Бүх өөрчлөлтүүд болон хариултууд хичээлийн төгсгөлд байна.

Логарифмын дериватив

Хэрэв логарифмын дериватив нь ийм сайхан хөгжим юм бол асуулт гарч ирнэ: зарим тохиолдолд логарифмыг зохиомлоор зохион байгуулах боломжтой юу? Чадах! Тэгээд бүр шаардлагатай.

Жишээ 11

Функцийн деривативыг ол

Саяхан бид ижил төстэй жишээнүүдийг харлаа. Юу хийх вэ? Та хуваалтыг ялгах дүрмийг дараалан хэрэглэж болно, дараа нь бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэж болно. Энэ аргын сул тал нь та гурван давхар том хэсэгтэй болж, үүнийг огтхон ч шийдвэрлэхийг хүсэхгүй байгаа явдал юм.

Гэхдээ онол, практикт логарифмын дериватив гэх гайхалтай зүйл байдаг. Логарифмуудыг хоёр талд нь "өлгөх" замаар зохиомлоор зохион байгуулж болно.

Анхаарна уу : учир нь Функц нь сөрөг утгыг авч болох тул ерөнхийдөө та модулиудыг ашиглах хэрэгтэй: , энэ нь ялгаатай байдлын үр дүнд алга болно. Гэсэн хэдий ч одоогийн загварыг хүлээн авах боломжтой бөгөөд үүнийг анхдагчаар харгалзан үздэг цогцолборутга. Гэхдээ хэрэв бүх зүйл хатуу байвал аль алинд нь захиалга өгөх хэрэгтэй.

Одоо та баруун талын логарифмыг аль болох "задлах" хэрэгтэй (таны нүдний өмнө томьёо уу?). Би энэ үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлах болно:

Ялгахаас эхэлцгээе.
Бид хоёр хэсгийг үндсэн хэсэгт дүгнэж байна:

Баруун талын дериватив нь маш энгийн бөгөөд би энэ талаар тайлбар хийхгүй, учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол үүнийг өөртөө итгэлтэйгээр даван туулах чадвартай байх ёстой.

Зүүн тал нь яах вэ?

Зүүн талд нь бид байна нарийн төвөгтэй функц. "Яагаад логарифмын доор нэг "Y" үсэг байгаа юм бэ?" Гэсэн асуултыг би таамаглаж байна.

Үнэн хэрэгтээ энэ "нэг үсэгтэй тоглоом" - ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хэрэв энэ нь тийм ч тодорхой биш бол далд хэлбэрээр заасан функцийн дериватив өгүүллийг үзнэ үү). Тиймээс логарифм нь гадаад функц, "y" нь дотоод функц юм. Мөн бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Зүүн талд нь ид шидтэй мэт бид деривативтай. Дараа нь пропорциональ дүрмийн дагуу бид "y" -ийг зүүн талын хуваагчаас баруун талын дээд талд шилжүүлнэ.

Одоо бид ялгах явцад ямар төрлийн "тоглогч" функцийн талаар ярилцсанаа санацгаая? Нөхцөл байдлыг харцгаая:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 12

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ төрлийн жишээний загвар дизайныг хичээлийн төгсгөлд оруулсан болно.

Логарифмын деривативыг ашиглан №4-7 жишээнүүдийн аль нэгийг нь шийдэх боломжтой байсан, өөр нэг зүйл бол тэнд байгаа функцууд нь илүү энгийн, магадгүй логарифмын деривативыг ашиглах нь тийм ч үндэслэлгүй юм.

Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Бид энэ функцийг хараахан авч үзээгүй байна. Чадлын экспоненциал функц нь түүнд зориулагдсан функц юм зэрэг ба суурь нь "x" -ээс хамаарна.. Аливаа сурах бичиг, лекц дээр танд өгөх сонгодог жишээ:

Хүч-экпоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь саяхан хэлэлцсэн техникийг ашиглах шаардлагатай - логарифмын дериватив. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг.

Дүрмээр бол баруун талд градусыг логарифмын доороос авна.

Үүний үр дүнд баруун талд бид хоёр функцийн үржвэртэй байгаа бөгөөд үүнийг стандарт томъёоны дагуу ялгах болно. .

Бид деривативыг олдог бөгөөд үүнийг хийхийн тулд бид хоёр хэсгийг зураасаар хавсаргана.

Цаашдын үйлдлүүд нь энгийн:

Эцэст нь:

Хэрэв ямар нэгэн хөрвүүлэлт бүрэн тодорхойгүй байвал Жишээ №11-ийн тайлбарыг анхааралтай уншина уу.

Практик даалгаврын хувьд чадлын экспоненциал функц нь авч үзсэн лекцийн жишээнээс илүү төвөгтэй байх болно.

Жишээ 13

Функцийн деривативыг ол

Бид логарифмын деривативыг ашигладаг.

Баруун талд нь тогтмол ба хоёр хүчин зүйлийн үржвэр байдаг - "x" ба "логарифм x" (өөр логарифм логарифмын доор байрладаг). Ялгахдаа, бидний санаж байгаагаар тогтмолыг үүсмэл тэмдгээс нэн даруй шилжүүлэх нь дээр бөгөөд ингэснээр саад болохгүй; Мэдээжийн хэрэг, бид мэддэг дүрмийг хэрэгжүүлдэг :

Деривативыг олох үйлдлийг дифференциал гэж нэрлэдэг.

Үүсмэлийг аргументийн өсөлтийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж тодорхойлох замаар хамгийн энгийн (мөн тийм ч энгийн биш) функцүүдийн деривативыг олох асуудлыг шийдсэний үр дүнд деривативын хүснэгт ба нарийн тодорхойлсон ялгах дүрмүүд гарч ирэв. . Дериватив олох чиглэлээр анхлан ажиллаж байсан хүмүүс бол Исаак Ньютон (1643-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) нар юм.

Тиймээс бидний үед аливаа функцийн деривативыг олохын тулд дээр дурдсан функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаарыг тооцох шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн хүснэгтийг ашиглахад хангалттай. дериватив ба ялгах дүрэм. Дараах алгоритм нь деривативыг олоход тохиромжтой.

Деривативыг олохын тулд, танд үндсэн тэмдгийн доор илэрхийлэл хэрэгтэй энгийн функцуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваанаямар үйлдэл хийхийг тодорхойлох (бүтээгдэхүүн, нийлбэр, коэффициент)Эдгээр функцүүд нь хоорондоо холбоотой байдаг. Дараа нь бид үндсэн функцүүдийн деривативуудыг деривативын хүснэгтээс, үржвэр, нийлбэр ба хуваалтын деривативын томъёог ялгах дүрмээс олно. Дериватив хүснэгт болон ялгах дүрмийг эхний хоёр жишээний дараа өгөв.

Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Ялгах дүрмээс бид функцийн нийлбэрийн дериватив нь функцын деривативын нийлбэр болохыг олж мэдсэн, өөрөөр хэлбэл.

Деривативын хүснэгтээс бид "x"-ийн дериватив нь нэгтэй, синусын дериватив нь косинустай тэнцүү болохыг олж мэдэв. Бид эдгээр утгыг деривативын нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардагдах деривативыг олно.

Жишээ 2.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Хоёр дахь гишүүн нь тогтмол хүчин зүйлтэй нийлбэрийн дериватив гэж бид ялгадаг бөгөөд үүнийг деривативын тэмдгээс хасаж болно.

Хэрэв ямар нэгэн зүйл хаанаас ирсэн тухай асуултууд гарсаар байвал деривативын хүснэгт болон ялгах хамгийн энгийн дүрмүүдтэй танилцсаны дараа тэдгээрийг арилгадаг. Бид яг одоо тэдэн рүү шилжиж байна.

Энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт

1. Тогтмол (тоо)-ын дериватив. Функцийн илэрхийлэлд байгаа дурын тоо (1, 2, 5, 200...). Үргэлж тэгтэй тэнцүү. Үүнийг санах нь маш чухал бөгөөд энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг
2. Бие даасан хувьсагчийн дериватив. Ихэнхдээ "X". Үргэлж нэгтэй тэнцүү. Үүнийг удаан хугацаанд санах нь бас чухал юм
3. Зэрэглэлийн дериватив. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат бус язгуурыг хүч болгон хувиргах хэрэгтэй.
4. Хувьсагчийн дериватив -1 зэрэглэл
5. Квадрат язгуурын дериватив
6. Синусын дериватив
7. Косинусын дериватив
8. Шүргэгчийн дериватив
9. Котангенсийн дериватив
10. Арксинусын дериватив
11. Нумын косинусын дериватив
12. Арктангенсын дериватив
13. Нумын котангенсын дериватив
14. Натурал логарифмын дериватив
15. Логарифм функцийн дериватив
16. Экспонентийн дериватив
17. Экспоненциал функцийн дериватив

Ялгах дүрэм

1. Нийлбэр буюу зөрүүний дериватив
2. Бүтээгдэхүүний дериватив
2а. Тогтмол хүчин зүйлээр үржүүлсэн илэрхийллийн дериватив
3. Хэсгийн дериватив
4. Комплекс функцийн дериватив

Дүрэм 1.Хэрэв функцууд

аль нэг цэг дээр дифференциалагдах боломжтой, дараа нь функцүүд нэг цэг дээр дифференциал болно

болон

тэдгээр. функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үр дагавар. Хэрэв дифференциал болох хоёр функц тогтмол гишүүнээр ялгаатай бол тэдгээрийн дериватив нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл

Дүрэм 2.Хэрэв функцууд

Хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой, дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь ижил цэг дээр ялгагдах боломжтой

болон

тэдгээр. Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэр ба нөгөө функцийн деривативтай тэнцүү байна.

Дүгнэлт 1. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно:

Дүгнэлт 2. Хэд хэдэн дифференциалагдах функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь хүчин зүйл тус бүрийн болон бусад бүх зүйлийн деривативын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, гурван үржүүлэгчийн хувьд:

Дүрэм 3.Хэрэв функцууд

хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой Тэгээд , тэгвэл энэ үед тэдгээрийн коэффициент нь бас дифференциал болноu/v , ба

тэдгээр. хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хувагчийн дериватив ба хуваагч болон хуваагчийн деривативын зөрүү, хуваагч нь -ийн квадрат юм. өмнөх тоологч.

Бусад хуудсан дээрх зүйлсийг хаанаас хайх вэ

Бодит бодлогод бүтээгдэхүүний дериватив ба категорийг олохдоо хэд хэдэн ялгах дүрмийг нэг дор хэрэглэх шаардлагатай байдаг тул өгүүлэлд эдгээр деривативуудын талаар илүү олон жишээнүүд байдаг."Үйлдвэрийн дериватив ба функцүүдийн коэффициент".

Сэтгэгдэл.Тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл тоо) нийлбэр дэх нэр томъёо, тогтмол хүчин зүйл гэж андуурч болохгүй! Нэр томьёоны хувьд дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ба тогтмол хүчин зүйлийн хувьд деривативуудын тэмдгээс хасагдана. Энэ нь деривативыг судлах эхний үе шатанд тохиолддог ердийн алдаа боловч дундаж оюутан хэд хэдэн нэг ба хоёр хэсгээс бүрдсэн жишээг шийддэг тул энэ алдааг гаргахаа больсон.

Мөн хэрэв бүтээгдэхүүн эсвэл хэсгийг ялгахдаа танд нэр томъёо байгаа бол у"v, аль нь у- тоо, жишээлбэл, 2 эсвэл 5, өөрөөр хэлбэл тогтмол, дараа нь энэ тооны дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тул бүхэл бүтэн нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байх болно (энэ хэргийг жишээ 10-д авч үзэх болно).

Өөр нэг нийтлэг алдаа бол нийлмэл функцийн деривативыг энгийн функцийн дериватив болгон механик аргаар шийдвэрлэх явдал юм. Тийм ч учраас нийлмэл функцийн деривативтусдаа өгүүлэл зориулагдсан болно. Гэхдээ эхлээд бид энгийн функцүүдийн деривативуудыг олж сурах болно.

Замдаа та илэрхийлэлийг өөрчлөхгүйгээр хийж чадахгүй. Үүнийг хийхийн тулд та гарын авлагыг шинэ цонхонд нээх хэрэгтэй. Эрх мэдэл, үндэстэй үйлдлүүдТэгээд Бутархайтай үйлдлүүд .

Хэрэв та зэрэглэлийн болон үндэстэй бутархайн деривативын шийдлийг хайж байгаа бол функц нь иймэрхүү харагдах үед. , дараа нь "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" хичээлийг дагана уу.

Хэрэв танд ийм даалгавар байгаа бол , дараа нь та "Энгийн тригонометрийн функцын дериватив" хичээлийг авна.

Алхам алхмаар жишээ - деривативыг хэрхэн олох

Жишээ 3.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Бид функцийн илэрхийлэлийн хэсгүүдийг тодорхойлдог: бүхэл бүтэн илэрхийлэл нь бүтээгдэхүүнийг илэрхийлдэг бөгөөд түүний хүчин зүйлүүд нь нийлбэр бөгөөд хоёр дахь нэр томъёоны нэг нь тогтмол хүчин зүйлийг агуулдаг. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг бид ашигладаг: хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дараа нь бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ: функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Манай тохиолдолд нийлбэр бүрт хоёр дахь гишүүн нь хасах тэмдэгтэй байдаг. Нийлбэр бүрт бид дериватив нь нэгтэй тэнцүү бие даасан хувьсагч ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү тогтмол (тоо) хоёуланг нь хардаг. Тиймээс "X" нэг болж, хасах 5 нь тэг болж хувирна. Хоёр дахь илэрхийлэлд "x" нь 2-оор үржигддэг тул бид хоёрыг "x"-ийн деривативтай ижил нэгжээр үржүүлнэ. Бид дараах дериватив утгыг авна.

Бид олдсон деривативуудыг бүтээгдэхүүний нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардлагатай бүх функцийн деривативыг олж авна.

Мөн та дериватив асуудлын шийдлийг дээр шалгаж болно.

Жишээ 4.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Бид хуваалтын деривативыг олох шаардлагатай. Бид хуваагчийг ялгах томъёог ашигладаг: хоёр функцийн хуваалтын дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хуваагч ба хуваагчийн дериватив ба үржвэрийн деривативын зөрүү юм. хуваагч, хуваагч нь өмнөх хуваагчийн квадрат юм. Бид авах:

Бид 2-р жишээн дэх тоологчийн хүчин зүйлсийн деривативыг аль хэдийн олсон. Одоогийн жишээн дэх тоологчийн хоёр дахь хүчин зүйл болох үржвэрийг хасах тэмдгээр авсан гэдгийг мартаж болохгүй.

Хэрэв та үргэлжилсэн үндэс ба хүчнүүдийн овоо байдаг функцийн деривативыг олох шаардлагатай асуудлын шийдлийг хайж байгаа бол жишээ нь: , тэгвэл хичээлдээ тавтай морил "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" .

Хэрэв та синус, косинус, тангенс болон бусад тригонометрийн функцүүдийн деривативын талаар илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол, өөрөөр хэлбэл функц нь иймэрхүү харагдах үед , тэгвэл танд сургамж "Энгийн тригонометрийн функцүүдийн дериватив" .

Жишээ 5.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Энэ функцэд бид үржвэрийг харж байна, үүний нэг хүчин зүйл нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур бөгөөд деривативын хүснэгтэд бид танилцсан. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрэм ба квадрат язгуурын деривативын хүснэгтийн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Та дериватив асуудлын шийдлийг эндээс шалгаж болно онлайн дериватив тооцоолуур .

Жишээ 6.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Энэ функцэд бид ногдол ашиг нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур болох хуваарийг харж байна. Бид 4-р жишээн дээр давтаж, ашигласан хуваалтыг ялгах дүрэм болон квадрат язгуурын деривативын хүснэгтэн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тоолуур дахь бутархайг арилгахын тулд тоо болон хуваагчийг -ээр үржүүлнэ.