Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат – борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого борщового прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.
Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб зрозуміти це, нам знадобляться лінійні кутові функції.
У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.
Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.
Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони самі вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони не вміють вирішувати. Дивіться. Якщо нам відомий результат додавання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Всі. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два складові за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути один доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути другий доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може стати в нагоді.
Ще один закон додавання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.
На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у сфері описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць вимірювання різних об'єктів, то зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з нашими діями. Літерою Wя позначу воду, буквою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.
Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло, що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.
І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.
Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.
Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.
Як бачите, той самий закон додавання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.
Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.
Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).
Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Достатньо один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до числа - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.
Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. В нас багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.
Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мені кухарі, це просто математика).
Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.
Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))
Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречними.
Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.
Поява математики на планеті.
Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.
субота, 26 жовтня 2019 р.
середа, 7 серпня 2019 р.
Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:
Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:
Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.
Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".
Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.
Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:
Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.
Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:
Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.
Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.
Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).
pozg.ru
неділя, 4 серпня 2019 р.
Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:
Читаємо: "...багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."
Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:
Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.
За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.
субота, 3 серпня 2019 р.
Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню в частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.
Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.
Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.
Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.
Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.
На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .
понеділок, 7 січня 2019 р.
У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.
А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.
Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. В чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.
Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.
За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.
Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?
Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:
3,3: 300 або х : 500.
Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):
х = (3,3 · 500): 300;
х = 5,5. Відповідь:пачка 500 листів паперу має товщину 5,5 см.
Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають до тестових завдань для випускників, які зазвичай записують рішення в такому вигляді:
або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.
Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.
Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?
Рішення.
Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.
5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:
5: 100 = х : 98.
х = (5 · 98): 100;
х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.
Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?
Рішення.
Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:
16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:
16,8: 21=х : 35.
Знаходимо середній член пропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .
Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).
Відповідь: 35 літрів нафти мають масу 28 кг.
Після того, як було орано 82% всього поля, залишилося зорати ще 9 га. Яка площа всього поля?
Рішення.
Нехай площа всього поля х га, що становить 100%. Залишилося зорати 9 га, що становить 100% - 82% = 18% всього поля. Двома способами виразимо 1% площі поля. Це:
х : 100 або 9 : 18. Складаємо пропорцію:
х : 100 = 9: 18.
Знаходимо невідомий крайній член пропорції. Для цього перемножуємо середні члени пропорції ( 100
і 9
) і ділимо на відомий крайній член ( 18
). Скорочуємо дріб.
Відповідь: площа всього поля 50 га.
Сторінка 1 з 1 1
Розділи: Математика
Тип уроку: Урок вивчення та первинного закріплення нових знань.
Форма уроку: Урок дослідження.
Цілі уроку:
- активізувати пізнавальну діяльність учнів;
- ознайомити учнів із поняттями: пропорція, члени пропорції; правильна та неправильна пропорції;
- познайомити учнів з основною властивістю пропорції та сформувати навичку визначення вірної пропорції.
Обладнання:
У маршрутних листах вказані бали, які можна отримати за розв'язання завдань. При виставленні балів учень враховує правильність свого рішення, швидкість рішення (самоперевірка та взаємоперевірка за допомогою презентації). У рядку "Додаткові бали" виставляються бали за відповіді на додаткові питання, за допомогу вчителю в організації перевірки інших учнів, а також за "відгадування" теми уроку.
Картки розрізаються й у конвертах лунають учням (один конверт на парту).
3. Картки для магнітної дошки (рисунок 1, малюнок 2, малюнок 3)
Під час уроку дані картки вивішуються на магнітну дошку.
4. Ребуси (рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6, рисунок 7).
Ребуси, складені учнями старших класів (крім ребуса "Пропорція" - цей ребус узятий з уроку, представленого на ФПІ вчителем Козак Тетяною Іванівною, МОУ ЗОШ №20 смт Прогрес Амурської області) розташовані на дошці, учням пропонується розгадати їх після уроку.
Технічне обладнання уроку – комп'ютер, проектор для демонстрації презентації, екран. Комп'ютерна презентація у Microsoft PowerPoint (додаток 4).
I. Організація початку уроку
Вітаю! Перевірте, будь ласка, наявність роздаткового матеріалу у вас на парті, наявність червоного та синього олівця, а також готовність до уроку.
ІІ. Повідомлення теми, мети та завдань уроку.
Сьогодні на уроці ми продовжуємо вивчати великий розділ курсу математики. Ми закінчили вивчення теми (який? - "Ставлення"). Тепер ми починаємо вивчати нову тему в цьому розділі. А дізнатися про тему уроку нам допоможуть кілька прикладів. На титульному листі вашого маршрутного листа вам необхідно заповнити таблицю, усно вирішивши приклади і тоді ви дізнаєтеся тему сьогоднішнього уроку. СЛАЙД 1
Отже, тема сьогоднішнього уроку Пропорція. СЛАЙД 2
Знаючи тему уроку, спробуйте скласти план уроку. Що ви маєте дізнатися сьогодні на уроці? Що ви хочете дізнатися? Чому бажаєте навчитися на уроці?
Складемо план, який доповнюватимемо під час уроку. (учні називають два перших і два останні пункти плану, інші заповнюються протягом уроку, у міру “відкриття” нових знань; план уроку записується на дошці)
- повторення (питання, пов'язані з ставленням)
Визначення пропорції
ЧЛЕНИ ПРОПОРЦІЇ
ВІРНІ та НЕВЕРНІ ПРОПОРЦІЇ
ОСНОВНЕ ВЛАСТИВОСТІ ПРОПОРЦІЇ
Застосування в математиці
Застосування у житті
Два останні пункти ми зможемо розібрати на наступних уроках під час вивчення теми.
ІІІ. Актуалізація знань учнів. Підготовка до активної навчально-пізнавальної діяльності здебільшого етапі уроку.
Обговоріть питання, пов'язані з темою “Ставлення”, із сусідом по парті.
Хто готовий поставити запитання, пов'язані із минулою темою? (бліц опитування) МР1
– Що таке відношення?
Як можна записати ставлення?
На які питання відповідає ставлення?
Як можна записати відношення двох чисел?
Чим можна замінити знак роботи?
Як ви вважаєте, навіщо ми повторили ці поняття?
Вони допоможуть нам у вивченні нової теми.
Візьміть конверти та складіть стосунки адо bі cдо dдвома способами. (Усього 4 відносини) РОБОТА В ПАРАХ.
МР2 Перед вами кілька стосунків. Знайдіть значення цих виразів. СЛАЙД 3
4: 0,5= = 5: 10 = = 8: 1 = 2,5: 5 =
Згрупуйте відносини за певною ознакою та складіть відповідні рівності.
IV. Засвоєння нових знань.
4: 0,5 = 8: 1 = 5: 10 = 2,5: 5
За якою ознакою ви згрупували ці відносини?
- Їхні значення рівні.
Отримані рівності називають пропорцією.
Подумайте та дайте визначення пропорції.
ПІДКАЗКА – пропорція – це … НА ЕКРАНІ ( рівність)
Рівність … ЧОГО ( відносин)
Скільки стосунків? ( двох).
Хто впевнений у своїй думці, запишіть визначення у маршрутний лист. МР3
Хто готовий вийти до дошки та скласти визначення пропорції? (Додаток 3)
ВИЗНАЧЕННЯ (на магнітній дошці): Пропорція – рівність двох відносин.
Подивимося на тлумачення слова пропорція у словнику російської Ожегова С.І. СЛАЙД 4: “Пропорція - певне співвідношення частин між собою, пропорційність. У математиці – рівність двох відносин”.Ви сформулювали визначення пропорції як у словнику російської!
Подумайте, з яким математичним терміном співзвучне слово пропорція? ( відсотки). Як перекладається термін "відсоток"? ( від ста). Значить, "про" перекладається як "від". Яка частина слова лишилася? (“ порція”). Де ви зустрічалися із цим словом? (У кулінарії)Що воно значить? ( розмір)
Слово пропорція походить від латинського слова proportio - пропорційність. (Етимологічний словник). СЛАЙД 4
Використовуючи визначення пропорції, складіть пропорції, використовуючи знак поділу та дробову межу. (РОБОТА В ПАРАХ, конверти).
У маршрутних листах запишіть пропорцію, використовуючи літери a, b, c, d. МР4
Нині ж ми дізнаємося, як називаються числа, у тому числі складається пропорція.
Числа a, b, c, dназиваються членами пропорції
Назвіть перший та останній член пропорції? ( а і з)
А як зазвичай (у житті) називають першого та останнього? (крайні)
Значить, члени a та b називаються …? (крайніми)
А де знаходяться члени з і d? (у середині)
І як називаються члени з і d? ( середніми)
Червоним кольором виділимо якісь члени? ( дорайні)
кольором (зредні)члени.середні члени
Повернімося до плану уроку – чим його доповнити? (крайні та середні члени пропорції)
V. Первинне закріплення знань
МР5 Заповніть таблицю:
Який висновок можна зробити? Запишіть висновок у маршрутному листі. ( У пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх)СЛАЙД 8
МР6 Перед вами п'ять рівностей. Чи всі вони є пропорціями?
Підкресліть пропорції.
= ; 7 + 11 = 36: 2; 72: 9 = 16: 2; = 20: 4; 5 40 = 100 2СЛАЙД 7 Устаньте, хто закінчив.
Усі впевнені, що тут три пропорції? Адже в останній рівності твір крайніх членів не дорівнює добутку середніх. Повернемося до визначення пропорції ( Пропорція – рівність двох відносин). Третя рівність є рівністю двох відносин? (З'являється).За визначенням, це пропорція? (так). А добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх? (ні). Значить, це пропорція? (Неправильна).Така пропорція називається неправильною. Значить, бувають пропорції невірні та …? (Вірні).Сформулюйте основну властивість пропорції, використовуючи отримані знання. (У правильній пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх).
VI. Закріплення знань.
Заповніть таблицю.
Вірна пропорція Невірна пропорція
= = 20: 4
А як ще можна визначити правильну пропорцію чи неправильну? (Знайти значення відносин)
Надалі ми говоритимемо про правильні пропорції.
Повернемося до плану уроку. Що можна додати? (пропорції вірні та невірні)
МР7 Використовуючи літери В і Н, позначте правильні та неправильні пропорції.
= 1: 0,5 = 4,8: 2,4 7,5: 5 = 2: 3 = 10: 3 = 3 : 1 5: х = 20: 4х
VII. Узагальнення та систематизація.
МР8Використовуючи основну властивість пропорції, складіть правильну пропорцію з наступних чисел: 4, 5, 12, 15. Скільки правильних пропорцій можна скласти?
VIII. Контроль та самоперевірка знань
МР9 Математичний диктант
- Запишіть пропорцію: Число 18 відноситься до 4, як 27 відноситься до 6.
- Запишіть пропорцію: Відношення трьох до п'яти дорівнює відношенню двох до семи.
- Запишіть середні члени пропорції: 1,5:2 = 4,5:6
- Запишіть останні члени пропорції: 2/1,9 = 3/2,8
- Чи правильна пропорція в п.3
- Чи правильна пропорція в п.4
- Чи правильно висловлювання: Корінь рівняння 20/5 = х/0,5 число 2
- Чи правильний вислів: З будь-яких чотирьох натуральних чисел можна скласти пропорцію?
СЛАЙД 10. Взаємоперевірка
IX. Підбиття підсумків уроку.
Зверніться до плану уроку.
Що ви дізналися сьогодні на уроці? (що таке пропорція, з чого складається пропорція, пропорції бувають вірними та невірними, основна властивість пропорції, …)
Чого ви навчилися сьогодні на уроці? (визначати крайні та середні члени пропорції, з'ясовувати є пропорція вірною чи невірною, …)
Які питання можна поставити за підсумками уроку?
-Скільки правильних пропорцій можна скласти з цієї правильної пропорції?
Як можна визначити, чи є пропорція вірною чи невірною?
Згадаймо останнє завдання математичного диктанту.
Із будь-яких чотирьох натуральних чисел можна скласти пропорцію. Правильна відповідь ТАК. Скласти пропорцію можна, але вона не обов'язково буде правильною.
З фрази “ З усіх чотирьох натуральних чисел можна скласти пропорцію”виключіть одне слово, щоб цей вислів став невірним. (натуральних). Чому? (Число 0 не може бути членом пропорції). З будь-яких чотирьох чисел можна скласти пропорцію
У цю фразу “ З усіх чотирьох натуральних чисел можна скласти пропорцію”вставте одне слово, щоб висловлювання стало невірним (Вірну). З будь-яких чотирьох натуральних чисел можна скласти правильну пропорцію.
Підрахуйте кількість балів, які ви заробили на уроці та виставите оцінку.
X. Інформація про домашнє завдання та інструктаж щодо його виконання
Математика - 6, Віленкін Н.Я. та ін. 6-е видання
П.21, № 760, 781, 782, 783 (а)
§ 125. Поняття про пропорцію.
Пропорцією називається рівність двох відносин. Ось приклади рівностей, які називають пропорціями:
Примітка. Найменування величин у пропорціях не вказано.
Пропорції прийнято читати так: 2 так відноситься до 1 (одиниці), як 10 відноситься до 5 (перша пропорція). Можна читати інакше, наприклад: 2 у стільки разів більше 1, скільки разів 10 більше 5. Третю пропорцію можна прочитати так: - 0,5 стільки разів менше 2, у скільки разів 0,75 менше 3.
Числа, що входять до пропорції, називаються членами пропорції. Отже, пропорція складається із чотирьох членів. Перший і останній члени, тобто члени, що стоять по краях, називаються крайніми, А члени пропорції, що знаходяться в середині, називаються середнімичленами. Значить, у першій пропорції числа 2 та 5 будуть крайніми членами, а числа 1 та 10 – середніми членами пропорції.
§ 126. Основна властивість пропорції.
Розглянемо пропорцію:
Перемножимо окремо її крайні та середні члени. Добуток крайніх 6 4 = 24, добуток середніх 3 8 = 24.
Розглянемо іншу пропорцію: 10: 5 = 12: 6. Перемножимо і тут окремо крайні та середні члени.
Добуток крайніх 10 6 = 60, добуток середніх 5 12 = 60.
Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх її членів.
У загальному вигляді основна властивість пропорції записується так: ad = bc .
Перевіримо його на кількох пропорціях:
1) 12: 4 = 30: 10.
Пропорція ця вірна, оскільки рівні відносини, у тому числі вона складена. Разом про те, взявши твір крайніх членів пропорції (12 10) і середніх її членів (4 30), побачимо, що вони рівні між собою, тобто.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Пропорція вірна, що легко переконатися, спростивши перше і друге відносини. Основна властивість пропорції набуде вигляду:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Неважко переконатися в тому, що якщо ми напишемо таку рівність, у якої в лівій частині стоїть твір двох чисел, а в правій частині твір двох інших чисел, то з цих чотирьох чисел можна скласти пропорцію.
Нехай у нас є рівність, до якої входять чотири числа, попарно перемножені:
ці чотири числа можуть бути членами пропорції, яку неважко написати, якщо прийняти перший твір за твір крайніх членів, а другий - за твір середніх. Виданої рівності можна скласти, наприклад, таку пропорцію:
Взагалі, з рівності ad = bc можна отримати такі пропорції:
Виконайте самостійно таку вправу. Маючи добуток двох пар чисел, напишіть пропорцію, яка відповідає кожній рівності:
а) 16 = 23;
б) 215 = б 5.
§ 127. Обчислення невідомих членів пропорції.
Основна властивість пропорції дозволяє обчислити будь-який із членів пропорції, якщо він невідомий. Візьмемо пропорцію:
х : 4 = 15: 3.
У цій пропорції невідомий один крайній член. Ми знаємо, що у будь-якій пропорції твір крайніх членів дорівнює добутку середніх членів. На цій підставі ми можемо написати:
x 3 = 4 15.
Після множення 4 на 15 ми можемо переписати цю рівність так:
х 3 = 60.
Розглянемо цю рівність. У ньому перший співмножник невідомий, другий співмножник відомий і твір відомий. Ми знаємо, що знаходження невідомого співмножника досить твір розділити інший (відомий) сомножитель. Тоді вийде:
х = 60: 3, або х = 20.
Перевіримо знайдений результат підстановкою числа 20 замість х у цю пропорцію:
Пропорція вірна.
Подумаємо, які дії довелося виконати для обчислення невідомого крайнього члена пропорції. З чотирьох членів пропорції нам був невідомий лише один крайній; два середніх і другий крайній були відомі. Для знаходження крайнього члена пропорції ми спочатку перемножили середні члени (4 і 15), а потім знайдений твір поділили відомий крайній член. Зараз ми покажемо, що дії не змінилися б, якби крайній член пропорції, що шукається, стояв не на першому місці, а на останньому. Візьмемо пропорцію:
70: 10 = 21: х .
Запишемо основну властивість пропорції: 70 х = 10 21.
Перемноживши числа 10 і 21, перепишемо рівність у такому вигляді:
70 х = 210.
Тут невідомий один співмножник, для його обчислення достатньо твір (210) розділити на інший співмножник (70),
х = 210: 70; х = 3.
Таким чином, ми можемо сказати, що кожен крайній член пропорції дорівнює добутку середніх, поділеному на інший крайній.
Тепер перейдемо до обчислення невідомого середнього члена. Візьмемо пропорцію:
30: х = 27: 9.
Напишемо основну властивість пропорції:
30 9 = х 27.
Обчислимо добуток 30 на 9 і переставимо частини останньої рівності:
х 27 = 270.
Знайдемо невідомий співмножник:
х = 270: 27, або х = 10.
Перевіримо підстановкою:
30: 10 = 27: 9. Пропорція вірна.
Візьмемо ще одну пропорцію:
12: б = х : 8. Напишемо основну властивість пропорції:
12 . 8 = 6 х . Перемножуючи 12 і 8 і переставляючи частини рівності, отримаємо:
6 х = 96. Знаходимо невідомий співмножник:
х = 96: 6, або х = 16.
Таким чином, кожен середній член пропорції дорівнює добутку крайніх, поділеному на інший середній.
Знайдіть невідомі члени таких пропорцій:
1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .
Два останні правила загалом можна записати так:
1) Якщо пропорція має вигляд:
х: а = b: с , то
2) Якщо пропорція має вигляд:
а: х = b: с , то
§ 128. Спрощення пропорції та перестановка її членів.
У цьому параграфі ми виведемо правила, що дозволяють спрощувати пропорцію у тому випадку, коли до неї входять великі числа чи дробові члени. До числа перетворень, що не порушують пропорцію, належать такі:
1. Одночасне збільшення або зменшення обох членів будь-якого відношення в однакове число разів.
П р і м е р. 40: 10 = 60: 15.
Збільшивши в 3 рази обидва члени першого відношення, отримаємо:
120:30 = 60: 15.
Пропорція не порушилась.
Зменшивши в 5 разів обидва члени другого відношення, отримаємо:
Здобули знову правильну пропорцію.
2. Одночасне збільшення або зменшення обох попередніх або обох наступних членів у однакове число разів.
приклад. 16:8 = 40:20.
Збільшимо вдвічі попередні члени обох відносин:
Отримали правильну пропорцію.
Зменшимо у 4 рази наступні члени обох відносин:
Пропорція не порушилась.
Два отримані висновки можна коротко висловити так: Пропорція не порушиться, якщо ми одночасно збільшимо або зменшимо в однакове число разів будь-який крайній член пропорції і середній.
Наприклад, зменшивши в 4 рази 1-й крайній та 2-й середній члени пропорції 16:8 = 40:20, отримаємо:
3. Одночасне збільшення чи зменшення всіх членів пропорції в однакове число разів. приклад. 36:12 = 60:20. Збільшимо всі чотири числа у 2 рази:
Пропорція не порушилась. Зменшимо всі чотири числа у 4 рази:
Пропорція вірна.
Перелічені перетворення дозволяють, по-перше, спрощувати пропорції, а по-друге, звільняти їхню відмінність від дробових членів. Наведемо приклади.
1) Нехай є пропорція:
200: 25 = 56: x .
У ній членами першого відносини є порівняно великі числа, і якби ми побажали знайти значення х нам довелося б виконувати обчислення над цими числами; але ми знаємо, що пропорція не порушиться, якщо обидва члени відносини розділити одне й те число. Розділимо кожен із них на 25. Пропорція набуде вигляду:
8:1 = 56: x .
Таким чином, ми отримали більш зручну пропорцію, з якої х можна знайти в розумі:
2) Візьмемо пропорцію:
2: 1 / 2 = 20: 5.
У цій пропорції є дрібний член (1/2), від якого можна звільнитися. Для цього доведеться помножити цей член, наприклад, на 2. Але один середній член пропорції ми не маємо права збільшувати; потрібно разом з ним збільшити якийсь із крайніх членів; тоді пропорція не порушиться (на підставі перших двох пунктів). Збільшимо перший із крайніх членів
(2 2): (2 1 / 2) = 20: 5, або 4: 1 = 20:5.
Збільшимо другий крайній член:
2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), або 2: 1 = 20: 10.
Розглянемо ще три приклади звільнення пропорції від дробових членів.
Приклад 1. 1/4: 3/8 = 20:30.
Наведемо дроби до спільного знаменника:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Помноживши на 8 обидва члени першого відношення, отримаємо:
Приклад 2. 12: 15/14 = 16: 10/7. Наведемо дроби до спільного знаменника:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Помножимо обидва наступні члени на 14, отримаємо: 12:15 = 16:20.
Приклад 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.
Помножимо всі члени пропорції на 48:
24: 1 = 960: 40.
При вирішенні завдань, у яких зустрічаються якісь пропорції, часто доводиться для різних цілей переставляти члени пропорції. Розглянемо, які перестановки є законними, т. е. пропорції, що не порушують. Візьмемо пропорцію:
3: 5 = 12: 20. (1)
Переставивши в ній крайні члени, отримаємо:
20: 5 = 12:3. (2)
Переставимо тепер середні члени:
3:12 = 5: 20. (3)
Переставимо одночасно і крайні, і середні члени:
20: 12 = 5: 3. (4)
Усі ці пропорції вірні. Тепер поставимо перше ставлення місце другого, а друге - місце першого. Вийде пропорція:
12: 20 = 3: 5. (5)
У цій пропорції ми зробимо ті ж самі перестановки, які робили раніше, тобто переставимо спочатку крайні члени, потім середні і, нарешті, одночасно і крайні, і середні. Вийдуть ще три пропорції, які теж будуть справедливими:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Отже, з однієї пропорції шляхом перестановки можна отримати ще 7 пропорцій, що разом з даною становить 8 пропорцій.
Особливо легко можна знайти справедливість всіх цих пропорцій при буквеному записі. Отримані вище 8 пропорцій набувають вигляду:
а: b = с: d; c: d = a: b;
d: b = с: a; b: d = a: c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Легко бачити, що в кожній з цих пропорцій основна властивість набуває вигляду:
ad = bc.
Таким чином, зазначені перестановки не порушують справедливості пропорції та ними можна користуватися у разі потреби.
Відношення двох чисел
Визначення 1
Відношенням двох чиселє їхня приватна.
Приклад 1
ставлення $18$ до $3$ може бути записано як:
$18\div 3=\frac(18)(3)=6$.
відношення $5$ до $15$ може бути записано як:
$5\div 15=frac(5)(15)=frac(1)(3)$.
За допомогою відносини двох чиселможна показати:
- скільки разів одне число перевищує інше;
- яку частину становить одне число від іншого.
При складанні відношення двох чисел у знаменнику дробу записують число, з яким проводиться порівняння.
Найчастіше таке число слідує після слів «в порівнянні з...» або прийменника «до...».
Згадаймо основну властивість дробу і застосуємо його до відношення:
Зауваження 1
При множенні або розподілі обох членів відношення на те саме число, відмінне від нуля, отримуємо відношення, яке дорівнює вихідному.
Розглянемо приклад, який ілюструє використання поняття відношення двох чисел.
Приклад 2
Кількість опадів у попередньому місяці становила $195$ мм, а цього місяця – $780$ мм. У скільки разів збільшилася кількість опадів цього місяця порівняно з попереднім місяцем?
Рішення.
Складемо відношення кількості опадів у поточному місяці до кількості опадів у попередньому місяці:
$\frac(780)(195)=\frac(780\div 5)(195\div 5)=\frac(156\div 3)(39\div 3)=\frac(52)(13)=4 $.
Відповідь: кількість опадів у поточному місяці в $4$ рази більша, ніж у попередньому.
Приклад 3
Знайти скільки разів число $1 \ frac (1) (2) $ міститься в числі $ 13 \ frac (1) (2) $.
Рішення.
$13 \frac(1)(2)\div 1 \frac(1)(2)=\frac(27)(2)\div \frac(3)(2)=\frac(27)(2) \cdot \frac(2)(3)=\frac(27)(3)=9$.
Відповідь: $9$ разів.
Поняття пропорції
Визначення 2
Пропорцієюназивається рівність двох відносин:
$a\div b=c\div d$
$\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$.
Приклад 4
$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,
$ frac (8) (2) = frac (36) (9) $, $ frac (10) (40) = frac (9) (36) $, $ frac (15) (75) = \frac(1)(5)$.
У пропорції $\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$ (або $a:b = з\div d$) числа a і d називаються крайніми членамипропорції, а числа $b$ і $c$ - середні членипропорції.
Правильну пропорцію можна перетворити так:
Примітка 2
Добуток крайніх членів правильної пропорції дорівнює добутку середніх членів:
$a \cdot d=b \cdot c$.
Дане твердження є основною властивістю пропорції.
Справедливе та зворотне твердження:
Примітка 3
Якщо добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, то правильна пропорція.
Примітка 4
Якщо в правильній пропорції переставити середні або крайні члени, то пропорції, які вийдуть, також будуть правильними.
Приклад 5
$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,
$ frac (2) (8) = frac (9) (36) $, $ frac (40) (10) = frac (36) (9) $, $ frac (75) (15) = \frac(5)(1)$.
За допомогою даної властивості легко з пропорції знайти невідомий член, якщо відомі інші три:
$ a = \ frac (b \ cdot c) (d) $; $b=\frac(a \cdot d)(c)$; $c=\frac(a \cdot d)(b)$; $d=\frac(b \cdot c)(a)$.
Приклад 6
$\frac(6)(a)=\frac(16)(8)$;
$6 \cdot 8 = 16 \cdot a$;
$ 16 \ cdot a = 6 \ cdot 8 $;
$ 16 \ cdot a = 48 $;
$a=\frac(48)(16)$;
Приклад 7
$\frac(a)(21)=\frac(8)(24)$;
$a \cdot 24 = 21 \cdot 8 $;
$a \cdot 24 = 168 $;
$a=\frac(168)(24)$;
$3$ садівника – $108$ дерев;
$x$ садівників – $252$ дерева.
Складемо пропорцію:
$\frac(3)(x)=\frac(108)(252)$.
Скористаємося правилом знаходження невідомого члена пропорції:
$b=\frac(a \cdot d)(c)$;
$x=\frac(3 \cdot 252)(108)$;
$ x = \ frac (252) (36) $;
Відповідь: для обрізки $252$ дерев буде потрібно $7$ садівників.
Найчастіше властивості пропорції використовують практично у математичних обчисленнях у разі, коли необхідно обчислити значення невідомого члена пропорції, якщо відомі значення трьох інших членів.
