Де було розглянуто завдання на розв'язання прямокутного трикутника, я пообіцяв викласти прийом запам'ятовування визначень синуса та косинуса. Використовуючи його, ви завжди швидко згадаєте - який катет відноситься до гіпотенузи (прилеглий або протилежний). Вирішив у «довгу скриньку не відкладати», необхідний матеріал нижче, прошу ознайомитися 😉

Справа в тому, що я не раз спостерігав, як учні 10-11 класів важко згадують дані визначення. Вони чудово пам'ятають, що катет відноситься до гіпотенузи, а ось який з них- забувають і плутають. Ціна помилки, як ви знаєте на іспиті, – це втрачений бал.

Інформація, яку я представлю безпосередньо до математики, не має жодного відношення. Вона з образним мисленням, і з прийомами словесно-логічного зв'язку. Саме так, я сам, раз і завжди запам'ятавдані визначення. Якщо ви їх все ж таки забудете, то за допомогою представлених прийомів завжди легко згадайте.

Нагадаю визначення синуса та косинуса у прямокутному трикутнику:

Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Отже, які асоціації викликає слово косинус?

Напевно, у кожного свої 😉Запам'ятовуйте зв'язку:

Таким чином, у вас відразу в пам'яті виникне вираз –

«… відношення ПРИЛЕЖНОГО катета до гіпотенузи».

Проблему з визначенням косинуса вирішено.

Якщо потрібно згадати визначення синуса в прямокутному трикутнику, то згадавши визначення косинуса, ви легко встановите, що синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це ставлення протилежного катета до гіпотенузи. Адже катет всього два, якщо прилеглий катет «зайнятий» косинусом, то синусу залишається тільки протилежний.

Як бути з тангенсом та котангенсом? Плутанина та сама. Учні знають, що це ставлення катетів, але проблема згадати який до якого належить – чи протилежний до прилеглого, чи навпаки.

Визначення:

Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого:

Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного:

Як запам'ятати? Є два способи. Один так само використовує словесно-логічний зв'язок, інший – математичний.

СПОСІБ МАТЕМАТИЧНИЙ

Є таке визначення - тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

*Запам'ятавши формулу, ви завжди зможете визначити, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого.

Аналогічно.Котангенсом гострого кута називається відношення косинуса кута до його синуса:

Отже! Запам'ятавши зазначені формули, ви завжди зможете визначити, що:

- тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого

- Котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного.

СПОСІБ СЛОВОВО-ЛОГІЧНИЙ

Про тангенс. Запам'ятайте зв'язку:

Тобто якщо потрібно згадати визначення тангенсу, за допомогою даного логічного зв'язку, ви легко згадаєте, що це

«... ставлення протилежного катета до прилеглого»

Якщо мова зайде про котангенс, то згадавши визначення тангенсу ви легко озвучите визначення котангенсу –

«… відношення прилеглого катета до протилежного»

Є цікавий прийом із запам'ятовування тангенсу та котангенсу на сайті " Математичний тандем " подивіться.

СПОСІБ УНІВЕРСАЛЬНИЙ

Можна просто зазубрити.Але як показує практика, завдяки словесно-логічним зв'язкам людина запам'ятовує інформацію надовго, і не лише математичну.

Сподіваюся, матеріал вам був корисний.

З повагою, Олександр Крутицьких

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношення були виведені астрономами для створення точного календаря та орієнтування за зірками. Дані обчислення належали до сферичної тригонометрії, тоді як у шкільному курсі вивчають співвідношення сторін та кута плоского трикутника.

Тригонометрія – це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функцій та залежністю між сторонами та кутами трикутників.

У період розквіту культури та науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходу до Греції. Але основні відкриття тригонометрії – заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс та котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів та котангенсів. Поняття синуса та косинуса введено індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги у працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда та Ератосфена.

Основні величини тригонометрії

Основні тригонометричні функції числового аргументу – це синус, косинус, тангенс та котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косінусоїда, тангенсоїда та котангенсоїда.

У основі формул до розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома у формулюванні: «Піфагорові штани, на всі боки рівні», оскільки доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.

Синус, косинус та інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутами та сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язки тригонометричних функцій:

Як видно, tg та ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як добуток sin A та гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо такі формули для тангенсу та котангенсу:

Тригонометричне коло

Графічно співвідношення згаданих величин можна так:

Окружність, у разі, є всі можливі значення кута α — від 0° до 360°. Як видно з малюнка, кожна функція набуває негативного або позитивного значення в залежності від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить І і ІІ чверті кола, тобто знаходиться у проміжку від 0° до 180°. При від 180° до 360° (III і IV чверті) sin α може бути тільки негативним значенням.

Спробуємо побудувати тригонометричні таблиці для конкретних кутів та дізнатися значення величин.

Значення α рівні 30°, 45°, 60°, 90°, 180° тощо – називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій їм прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.

Ці кути обрані зовсім не випадково. Позначення π у таблицях стоїть для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Дана величина була введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках у радіанах не має значення дійсна довжина радіуса см.

Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:

Отже, не важко здогадатися, що 2π - це повне коло або 360 °.

Властивості тригонометричних функцій: синус та косинус

Для того, щоб розглянути та порівняти основні властивості синуса та косинуса, тангенсу та котангенсу, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої у двовимірній системі координат.

Розглянь порівняльну таблицю властивостей для синусоїди та косінусоїди:

Синусоїда	Косинусоїда
y = sin x	y = cos x
ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, де k ϵ Z	cos x = 0 при x = π/2 + πk, де k ϵ Z
sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, де k ϵ Z	cos x = 1 при x = 2πk, де k ϵ Z
sin x = - 1 при x = 3π/2 + 2πk, де k ϵ Z	cos x = - 1 при x = π + 2πk, де k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, тобто функція непарна	cos (-x) = cos x, тобто функція парна
	функція періодична, найменший період - 2π
sin x › 0, при x належить I і II чвертям або від 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, при x належить I і IV чвертям або від 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x належить III і IV чвертям або від 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, при x належить II і III чвертям або від 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
зростає на проміжку [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	зростає на проміжку [-π + 2πk, 2πk]
зменшується на проміжках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	зменшується на проміжках
похідна (sin x)’ = cos x	похідна (cos x)' = - sin x

Визначити чи є функція парною чи ні дуже просто. Достатньо уявити тригонометричний круг зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, інакше непарна.

Введення радіан та перерахування основних властивостей синусоїди та косінусоїди дозволяють навести наступну закономірність:

Переконатись у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π/2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити звернули до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.

Властивості тангенсоїди та котангенсоїди

Графіки функцій тангенсу та котангенсу значно відрізняються від синусоїди та косинусоїди. Величини tg та ctg є зворотними один одному.

1. Y = tg x.
2. Тангенсоіда прагне значень y при x = π/2 + πk, але ніколи не досягає їх.
3. Найменший позитивний період тангенсоіди дорівнює π.
4. Tg (-x) = - tg x, тобто функція непарна.
5. Tg x = 0 при x = πk.
6. Функція є зростаючою.
7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Похідна (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Розглянемо графічне зображення котангенсоіди нижче за текстом.

Основні властивості котангенсоіди:

1. Y = ctg x.
2. На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіді Y може набувати значення безлічі всіх дійсних чисел.
3. Котангенсоіда прагне значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
4. Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
5. Ctg (-x) = - ctg x, тобто функція непарна.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функція є спадною.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Похідна (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Виправити

Таблиця значень тригонометричних функцій

Примітка. У цій таблиці значень тригонометричних функцій використовується знак для позначення квадратного кореня. Для позначення дробу – символ "/".

Див. такожкорисні матеріали:

Для визначення значення тригонометричної функції, знайдіть його на перетині рядка із зазначенням тригонометричної функції. Наприклад, синус 30 градусів - шукаємо колонку із заголовком sin (синус) і знаходимо перетин цієї колонки таблиці з рядком "30 градусів", на їх перетині зчитуємо результат - одна друга. Аналогічно знаходимо косинус 60градусів, синус 60градусів (ще раз, у перетині колонки sin (синус) та рядки 60 градусів знаходимо значення sin 60 = √3/2) тощо. Так само знаходяться значення синусів, косінусів і тангенсів інших "популярних" кутів.

Синус пі, косинус пі, тангенс пі та інших кутів у радіанах

Наведена нижче таблиця косінусів, синусів та тангенсів також підходить для знаходження значення тригонометричних функцій, аргумент яких заданий у радіанах. Для цього скористайтеся другою колонкою значень кута. Завдяки цьому можна перевести значення популярних кутів із градусів у радіани. Наприклад, знайдемо кут 60 градусів у першому рядку і під ним прочитаємо його значення у радіанах. 60 градусів дорівнює π/3 радіан.

Число пі однозначно виражає залежність довжини кола від градусної міри кута. Таким чином, пі радіан дорівнюють 180 градусам.

Будь-яке число, виражене через пі (радіан), можна легко перевести в градусну міру, замінивши число пі (π) на 180.

Приклади:
1. Сінус пі.
sin π = sin 180 = 0
таким чином, синус пі - це те саме, що синус 180 градусів і він дорівнює нулю.

2. Косинус пі.
cos π = cos 180 = -1
таким чином, косинус пі - це те саме, що косинус 180 градусів і він дорівнює мінус одиниці.

3. Тангенс пі
tg π = tg 180 = 0
таким чином, тангенс пі - це те саме, що тангенс 180 градусів і він дорівнює нулю.

Таблиця значень синуса, косинуса, тангенса для кутів 0 - 360 градусів (часті значення)

значення кута α (градусів)	значення кута α у радіанах (через число пі)	sin (синус)	cos (Косінус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)	sec (секанс)	cosec (Косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Якщо в таблиці значень тригонометричних функцій замість значення функції вказано прочерк (тангенс (tg) 90 градусів, котангенс (ctg) 180 градусів) означає, що при даному значенні градусної міри кута функція не має певного значення. Якщо прочерку немає - клітина порожня, значить ми ще не внесли потрібне значення. Ми цікавимося, за якими запитами до нас приходять користувачі і доповнюємо таблицю новими значеннями, незважаючи на те, що поточних даних про значення косинусів, синусів і тангенсів значень кутів, що найчастіше зустрічаються, цілком достатньо для вирішення більшості завдань.

Таблиця значень тригонометричних функцій sin, cos, tg для найпопулярніших кутів
0, 15, 30, 45, 60, 90...360 градусів
(Цифрові значення "як за таблицями Брадіса")

значення кута α (градусів)	значення кута α у радіанах	sin (синус)	cos (косинус)	tg (тангенс)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Поняття синуса, косинуса, тангенса і котангенса є основними категоріями тригонометрії - розділ математики, і нерозривно пов'язані з визначенням кута. Володіння цією математичною наукою вимагає запам'ятовування та розуміння формул та теорем, а також розвиненого просторового мислення. Саме тому у школярів та студентів тригонометричні обчислення нерідко викликають труднощі. Щоб подолати їх, слід докладніше ознайомитися з тригонометричними функціями та формулами.

Поняття у тригонометрії

Щоб розібратися в базових поняттях тригонометрії, слід спочатку визначитися з тим, що таке прямокутний трикутник і кут в колі, і саме з ними пов'язані всі основні тригонометричні обчислення. Трикутник, у якому один із кутів має величину 90 градусів, є прямокутним. Історично ця фігура часто використовувалася людьми в архітектурі, навігації, мистецтві, астрономії. Відповідно, вивчаючи та аналізуючи властивості цієї фігури, люди прийшли до обчислення відповідних співвідношень її параметрів.

Основні категорії, пов'язані з прямокутними трикутниками - гіпотенуза та катети. Гіпотенуза – сторона трикутника, що лежить проти прямого кута. Катети, відповідно, це решта двох сторін. Сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 градусів.

Сферична тригонометрія - розділ тригонометрії, який не вивчається в школі, проте в прикладних науках на кшталт астрономії та геодезії, вчені користуються саме ним. Особливість трикутника у сферичній тригонометрії в тому, що він завжди має суму кутів понад 180 градусів.

Кути трикутника

У прямокутному трикутнику синусом кута є відношення катета, що протилежить шуканому куту, до гіпотенузи трикутника. Відповідно, косинус – це відношення прилеглого катета та гіпотенузи. Обидва ці значення мають величину менше одиниці, оскільки гіпотенуза завжди довше катета.

Тангенс кута - величина, що дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета шуканого кута, або синуса до косінус. Котангенс, своєю чергою, це ставлення прилеглого катета шуканого кута до протилежного кактету. Котангенс кута можна отримати, розділивши одиницю на значення тангенса.

Одиничне коло

Одиничне коло в геометрії - коло, радіус якого дорівнює одиниці. Таке коло будується в декартовій системі координат, при цьому центр кола збігається з точкою початку координат, а початкове положення вектора радіусу визначено за позитивним напрямом осі Х (осі абсцис). Кожна точка кола має дві координати: ХХ та YY, тобто координати абсцис та ординат. Вибравши на колі будь-яку точку в площині ХХ, і опустивши з неї перпендикуляр на вісь абсцис, отримуємо прямокутний трикутник, утворений радіусом до обраної точки (позначимо її буквою С), перпендикуляром, проведеним до осі Х (точка перетину позначається буквою G), а відрізком осі абсцис між початком координат (точка позначена літерою А) та точкою перетину G. Отриманий трикутник АСG — прямокутний трикутник, вписаний у коло, де AG — гіпотенуза, а АС та GC — катети. Кут між радіусом кола АС та відрізком осі абсцис з позначенням AG, визначимо як α (альфа). Так, cos = AG/AC. Враховуючи, що АС - це радіус одиничного кола, і він дорівнює одиниці, вийде, що cos α = AG. Аналогічно, sin = CG.

Крім того, знаючи ці дані, можна визначити координату точки С на колі, оскільки cos α=AG, а sin α=CG, отже, точка має задані координати (cos α;sin α). Знаючи, що тангенс дорівнює відношенню синуса до косинус, можна визначити, що tg α = y/х, а ctg α = х/y. Розглядаючи кути у негативній системі координат, можна розрахувати, що значення синуса та косинуса деяких кутів можуть бути негативними.

Обчислення та основні формули

Значення тригонометричних функцій

Розглянувши сутність тригонометричних функцій через одиничне коло, можна вивести значення цих функцій деяких кутів. Значення наведені в таблиці нижче.

Найпростіші тригонометричні тотожності

Рівняння, у яких під знаком тригонометричної функції є невідоме значення, називаються тригонометричними. Тотожності зі значенням sin х = α, k — будь-яке ціле число:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin х = 1, х = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin х = а, | > 1, немає рішень.
5. sin х = а, | ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α + πk.

Тотожності зі значенням cos х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. cos х = 0, х = π/2 + πk.
2. cos х = 1, х = 2πk.
3. cos х = -1, х = π + 2πk.
4. cos х = а, | > 1, немає рішень.
5. cos х = а, | ≤ 1, х = ± arccos α + 2πk.

Тотожності зі значенням tg х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. tg х = 0, х = π/2 + πk.
2. tg х = а, х = arctg α + πk.

Тотожності зі значенням ctg х = а, де k - будь-яке ціле число:

1. ctg х = 0, х = π/2 + πk.
2. ctg х = а, х = arcctg α + πk.

Формули наведення

Ця категорія постійних формул означає методи, за допомогою яких можна перейти від тригонометричних функцій виду до функцій аргументу, тобто привести синус, косинус, тангенс і котангенс кута будь-якого значення до відповідних показників кута інтервалу від 0 до 90 градусів для більшої зручності обчислень.

Формули приведення функцій для синуса кута виглядають таким чином:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Для косинуса кута:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Використання вищевказаних формул можливе за дотримання двох правил. По-перше, якщо кут можна представити як значення (π/2±a) або (3π/2±a), значення функції змінюється:

• з sin на cos;
• з cos на sin;
• з tg на ctg;
• із ctg на tg.

Значення функції залишається незмінним, якщо кут може бути як (π ± a) або (2π ± a).

По-друге, знак наведеної функції не змінюється: якщо він спочатку був позитивним, таким залишається. Аналогічно із негативними функціями.

Формули додавання

Ці формули виражають величини синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу суми та різниці двох кутів повороту через їх тригонометричні функції. Зазвичай кути позначаються як і β.

Формули мають такий вигляд:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tg(α±β) = (tgα±tgβ)/(1∓tgα*tgβ).
4. ctg(α±β) = (-1±ctgα*ctgβ)/(ctgα±ctgβ).

Ці формули справедливі будь-яких величин кутів α і β.

Формули подвійного та потрійного кута

Тригонометричні формули подвійного та потрійного кута — це формули, які пов'язують функції кутів 2α та 3α відповідно, з тригонометричними функціями кута α. Виводяться з формул додавання:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα/(1 - tg^2α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).

Перехід від суми до твору

Враховуючи, що 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), спростивши цю формулу, отримуємо тотожність sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогічно sinα - sinβ = 2sin(α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓α) = √2cos(π/4±α).

Перехід від твору до суми

Ці формули випливають з тотожностей переходу суми до твір:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα*cosβ=1/2*.

Формули зниження ступеня

У цих тотожностях квадратний і кубічний ступінь синуса і косинуса можна виразити через синус і косинус першого ступеня кратного кута:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Універсальна підстановка

Формули універсальної тригонометричної підстановки виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tg^2 x/2), при цьому х = π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), де х = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), де х = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), при цьому х = π + 2πn.

Приватні випадки

Окремі випадки найпростіших тригонометричних рівнянь наведені нижче (k - будь-яке ціле число).

Приватні для синусу:

Значення sin x	Значення x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk або 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk або -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk або 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk або -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk або 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk або -2π/3 + 2πk

Приватні для косинуса:

Значення cos x	Значення х
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Приватні для тангенсу:

Значення tg x	Значення х
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Приватні для котангенсу:

Значення ctg x	Значення x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Теореми

Теорема синусів

Існує два варіанти теореми - простий та розширений. Проста теорема синусів: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При цьому a, b, c — сторони трикутника, і α, β, γ — відповідно кути, що протилежать.

Розширена теорема синусів для довільного трикутника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. У цьому тотожності R позначає радіус кола, який вписаний заданий трикутник.

Теорема косінусів

Тотожність відображається так: a^2 = b^2 + c^2 — 2*b*c*cos α. У формулі a, b, c — сторони трикутника, і α — кут, що протилежить стороні а.

Теорема тангенсів

Формула виражає зв'язок між тангенсами двох кутів і довжиною сторін, що їм протилежні. Сторони позначені як a, b, c, а відповідні протилежні кути - α, β, γ. Формула теореми тангенсів: (a - b) / (a ​​+ b) = tg ((α - β) / 2) / tg ((α + β) / 2).

Теорема котангенсів

Зв'язує радіус вписаного в трикутник кола з довжиною його сторін. Якщо a, b, c — сторони трикутника, і А, В, С, відповідно, протилежні кути, r — радіус вписаного кола, і p — напівпериметр трикутника, справедливі такі тотожності:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Прикладне застосування

Тригонометрія - не лише теоретична наука, пов'язана з математичними формулами. Її властивостями, теоремами і правилами користуються практично різні галузі людської діяльності — астрономія, повітряна і морська навігація, теорія музики, геодезія, хімія, акустика, оптика, електроніка, архітектура, економіка, машинобудування, вимірювальні роботи, комп'ютерна графіка, картографія, океанографія, і багато інших.

Синус, косинус, тангенс і котангенс - основні поняття тригонометрії, за допомогою яких математично можна виразити співвідношення між кутами та довжинами сторін у трикутнику, і знайти шукані величини через тотожності, теореми та правила.

Основні формули тригонометрії - це формули, що встановлюють зв'язок між основними тригонометричними функціями. Синус, косинус, тангенс та котангенс пов'язані між собою безліччю співвідношень. Нижче наведемо основні тригонометричні формули, а для зручності згрупуємо їх за призначенням. З використанням даних формул можна вирішити практично будь-яке завдання із стандартного курсу тригонометрії. Відразу зазначимо, що нижче наведено самі формули, а чи не їх висновок, якому будуть присвячені окремі статті.

Основні тотожності тригонометрії

Тригонометричні тотожності дають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, дозволяючи висловити одну функцію через іншу.

Тригонометричні тотожності

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Ці тотожності безпосередньо випливають із визначень одиничного кола, синуса (sin), косинуса (cos), тангенсу (tg) та котангенсу (ctg).

Формули наведення

Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і скільки завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів.

Формули наведення

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Формули наведення є наслідком періодичності тригонометричних функцій.

Тригонометричні формули складання

Формули додавання в тригонометрії дозволяють виразити тригонометричну функцію суми або різниці кутів через тригонометричні функції цих кутів.

Тригонометричні формули складання

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

На основі формул додавання виводяться тригонометричні формули кратного кута.

Формули кратного кута: подвійного, потрійного тощо.

Формули подвійного та потрійного кута

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α з t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · з t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Формули половинного кута

Формули половинного кута тригонометрії є наслідком формул подвійного кута і виражають співвідношення між основними функціями половинного кута і косинусом цілого кута.

Формули половинного кута

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Формули зниження ступеня

Формули зниження ступеня

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Часто при розрахунках діяти з громіздкими ступенями незручно. Формули зниження ступеня дозволяють знизити ступінь тригонометричної функції зі скільки завгодно великий до першої. Наведемо їх загальний вигляд:

Загальний вид формул зниження ступеня

для парних n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ((n - 2 k) α)

для непарних n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C k n · sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ((n - 2 k) α)

Сума та різниця тригонометричних функцій

Різницю та суму тригонометричних функцій можна подати у вигляді твору. Розкладання на множники різниць синусів і косінусів дуже зручно застосовувати при вирішенні тригонометричних рівнянь та спрощенні виразів.

Сума та різниця тригонометричних функцій

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2

Добуток тригонометричних функцій

Якщо формули суми та різниці функцій дозволяють перейти до їхнього твору, то формули твору тригонометричних функцій здійснюють зворотний перехід - від твору до суми. Розглядаються формули добутку синусів, косінусів та синусу на косинус.

Формули добутку тригонометричних функцій

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))

Універсальна тригонометрична підстановка

Всі основні тригонометричні функції – синус, косинус, тангенс та котангенс, – можуть бути виражені через тангенс половинного кута.

Універсальна тригонометрична підстановка

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 t g α 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter