Синус 2 на числовому колі. Рівняння sin x = a. Тренуємося знаходити значення синуса та косинуса по колу

Завдання.
Знайти значення x при .

Рішення.
Знайти значення аргументу функції , у якому він дорівнює якомусь значенню, означає визначити, за яких аргументів значення синуса буде саме так, як зазначено в умові.
В даному випадку нам потрібно з'ясувати, при яких значеннях значення синуса дорівнюватиме 1/2. Це можна зробити кількома способами.
Наприклад, використовувати , яким визначити при яких значеннях х функція синус дорівнюватиме 1/2.
Іншим способом є використання. Нагадаю, значення синусів лежать на осі Оу.
Найпоширенішим способом є звернення до особливо якщо йдеться про такі стандартні для цієї функції значення, як 1/2.
У всіх випадках не варто забувати про одну з найважливіших властивостей синуса - про його період.
Знайдемо в таблиці значення 1/2 для синуса і подивимося, які аргументи йому відповідають. Цікаві для нас аргументи рівні Пі / 6 і 5Пі / 6.
Запишемо все коріння, яке задовольняє задане рівняння. Для цього записуємо невідомий аргумент х, що цікавить нас, і одне із значень аргументу, отримане з таблиці, тобто Пі / 6. Запишемо для нього, враховуючи період синуса, всі значення аргументу:

Візьмемо друге значення, і зробимо ті самі кроки, що й у попередньому випадку:

Повним рішенням вихідного рівняння буде:
і
qможе набувати значення будь-якого цілого числа.

На тригонометричному колі крім кутів у градуси ми спостерігаємо.

Докладніше про радіани:

Радіан визначається як кутова величина дуги, довжина якої дорівнює її радіусу. Відповідно, тому що довжина кола дорівнює , то очевидно, що у колі укладається радіан, тобто

1 рад ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Усі знають, що радіан – це

Так ось, наприклад, , а. Так, ми навчилися переводити радіани в кути.

Тепер навпаки, давайте переводити градуси в радіани.

Допустимо, нам треба перевести в радіани. Нам допоможе. Поступаємо наступним чином:

Оскільки радіан, то заповнимо таблицю:

Тренуємося знаходити значення синуса та косинуса по колу

Давайте ще уточнимо наступне.

Ну добре, якщо нас просять вирахувати, скажімо, – тут зазвичай плутанини не виникає – всі починають насамперед шукати на колі.

А якщо просять обчислити, наприклад, … Багато хто, раптом, починають не розуміють де шукати цей нуль… Часто шукають його на початку координат. Чому?

1) Давайте домовимося раз і назавжди!Те, що стоїть після або - це аргумент = кут, а кути у нас розташовуються на колі, не шукайте їх на осяx!(Просто окремі точки потрапляють і на коло, і на вісь…) А самі значення синусів та косінусів – шукаємо на осях!

2) І ще!Якщо ми від точки «старт» вирушаємо проти годинникової стрілки(основний напрямок обходу тригонометричного кола), то ми відкладаємо позитивні значення кутів, Значення кутів зростають при русі в цьому напрямку.

Якщо ж ми від точки «старт» вирушаємо за годинниковою стрілкою, ми відкладаємо негативні значення кутів.

приклад 1.

Знайти значення.

Рішення:

Знаходимо на колі. Проектуємо точку на вісь синусів (тобто проводимо перпендикуляр із точки до осі синусів (оу)).

Приходимо до 0. Значить, .

приклад 2.

Знайти значення.

Рішення:

Знаходимо на колі (проходимо проти годинникової стрілки та ще ). Проектуємо крапку на вісь синусів (а вона вжележить на осі синусів).

Потрапляємо до -1 по осі синусів.

Зауважимо, за точкою «ховаються» такі точки, як (ми могли б піти в точку, позначену як за годинниковою стрілкою, а значить з'являється знак мінус), і нескінченно багато інших.

Можна навести таку аналогію:

Представимо тригонометричне коло як бігову доріжку стадіону.

Адже ви можете опинитися в точці «Прапорець», вирушаю зі старту проти годинникової стрілки, пробігши, припустимо, 300 м. Або пробігши, скажімо, 100м за годинниковою стрілкою (вважаємо довжину доріжки 400 м).

А також ви можете опинитися в точці "Прапорець" (після "старт"), пробігши, скажімо, 700 м, 1100 м, 1500 м і т. д. проти годинникової стрілки. Ви можете опинитися в точці "Прапорець", пробігши 500 м або 900 м і т. д. за годинниковою стрілкою від "старт".

Розгорніть бігову доріжку стадіону в числову пряму. Уявіть, де на цій прямій будуть, наприклад, значення 300, 700, 1100, 1500 і т.д. Ми побачимо точки на числовій прямій, рівновіддалені один від одного. Звернемо назад у коло. Крапки «зліпляться» в одну.

Так і з тригонометричним колом. За кожною точкою приховано багато інших.

Скажімо, кути , , , і т.д. зображуються однією точкою. І значення синуса, косинуса в них, звичайно, збігаються. (Ви помітили, що ми додавали/віднімали або ? Це період для функції синус і косинус.)

приклад 3.

Знайти значення.

Рішення:

Перекладемо для простоти в градуси

(Пізніше, коли ви звикнете до тригонометричного кола, вам не потрібно переводити радіани в градуси):

Рухатимемося за годинниковою стрілкою від точки Пройдемо півкола () та ще

Розуміємо, що значення синуса збігається зі значенням синуса та дорівнює

Зауважимо, якби ми взяли, наприклад, і т.д., ми отримали б усе теж значення синуса.

приклад 4.

Знайти значення.

Рішення:

Все ж таки, не будемо переводити радіани в градуси, як у попередньому прикладі.

Тобто нам треба пройти проти годинникової стрілки півкола та ще чверть півкола та спроектувати отриману точку на вісь косінусів (горизонтальна вісь).

Приклад 5.

Знайти значення.

Рішення:

Як відкласти на тригонометричному колі?

Якщо ми пройдемо або , та хоч ми все одно опинимося в точці, яку ми позначили як «старт». Тому можна відразу пройти в крапку на колі

Приклад 6.

Знайти значення.

Рішення:

Ми опинимося в точці (приведе нас все одно до точки нуль). Проектуємо точку кола на вісь косінусів (дивися тригонометричний коло), потрапляємо до . Тобто .

Тригонометричне коло – у вас в руках

Ви вже зрозуміли, що головне – запам'ятати значення тригонометричних функцій першої чверті. В решті чвертей все аналогічно, потрібно лише стежити за знаками. А «ланцюжок-драбинку» значень тригонометричних функцій, ви, сподіваюся, вже не забудете.

Як знаходити значення тангенсу та котангенсуосновних кутів.

Після чого, познайомившись з основними значеннями тангенсу та котангенсу, ви можете пройти

Порожній шаблон кола. Тренуйтеся!

Значення синуса укладені у проміжку [-1; 1], тобто. -1 ≤ sin α ≤ 1. Тому якщо |а| > 1, то рівняння sin x = a немає коренів. Наприклад, рівняння sin x = 2 коріння немає.

Звернемося до деяких завдань.

Розв'язати рівняння sin x = 1/2.

Рішення.

Зазначимо, що sin x – це ордината точки одиничного кола, яке отримано в результаті повороту точки Р (1; 0) на кут х навколо початку координат.

Ордината, що дорівнює ½, присутня у двох точок кола М 1 і М 2 .

Так як 1/2 = sin ? +/-1, +/-2, …

Точка М 2 виходить з точки Р (1; 0) внаслідок повороту на кут х 2 = 5π/6, а також на кути х = 5π/6 + 2πk, де k = +/-1, +/-2, … , тобто. на кути х = π – π/6 + 2πk, де k = +/-1, +/-2, ….

Отже, все коріння рівняння sin х = 1/2 можна знайти за формулами х = π/6 + 2πk, х = π – π/6 + 2πk, де k€Z.

Ці формули можуть поєднатися в одну: х = (-1) n π/6 + πn, де n € Z (1).

Справді, якщо n – парне число, тобто. n = 2k, то формули (1) отримуємо х = π/6 + 2πk, і якщо n – непарне число, тобто. n = 2k + 1, то з формули (1) одержуємо х = π – π/6 + 2πk.

Відповідь. х = (-1) n π/6 + πn, де n € Z.

Розв'язати рівняння sin x = -1/2.

Рішення.

Ординату -1/2 мають дві точки одиничного кола М 1 і М 2 де х 1 = -π/6, х 2 = -5π/6. Отже, усі корені рівняння sin x = -1/2 можна знайти за формулами х = -π/6 + 2πk, х = -5π/6 + 2πk, k€Z.

Ці формули можна об'єднати в одну: х = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).

Справді, якщо n = 2k, то за формулою (2) одержуємо х = -π/6 + 2πk, а якщо n = 2k – 1, то за формулою (2) знаходимо х = -5π/6 + 2πk.

Відповідь. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.

Таким чином, кожне з рівнянь sin x = 1/2 і sin x = -1/2 має безліч коренів.

На відрізку -π/2 ≤ х ≤ π/2 кожне з цих рівнянь має лише один корінь:
x 1 = π/6 – корінь рівняння sin x = 1/2 і x 1 = -π/6 – корінь рівняння sin x = -1/2.

Число π/6 називають арксинусом числа 1/2 та записують: arcsin 1/2 = π/6; Число -π/6 називають арксинусом числа -1/2 і пишуть: arcsin (-1/2) = -π/6.

Взагалі рівняння sin x = а, де -1 ≤ а ≤ 1, на відрізку -π/2 ≤ х ≤ π/2 має лише один корінь. Якщо а ≥ 0, корінь укладений у проміжку ; якщо а< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Таким чином, арксинусом числа а € [-1; 1] називається таке число а € [-π/2; π/2], синус якого дорівнює а.

аrcsin а = α, якщо sin α = а і -π/2 ≤ х ≤ π/2 (3).

Наприклад, аrcsin √2/2 = π/4, оскільки sin π/4 = √2/2 і – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, оскільки sin (-π/3) = -√3/2 і – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

Аналогічно з того, як це зроблено при розв'язанні задач 1 і 2, можна показати, що коріння рівняння sin х = а, де |а| ≤ 1, виражаються формулою

x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).

Також ми можемо довести, що для будь-якого € [-1; 1] справедлива формула аrcsin (-а) = -аrcsin а.

З формули (4) випливає, що коріння рівняння
sin х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можна знаходити за більш простими формулами:

sin x = 0 x = πn, n € Z (5)

sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)

sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Розв'язання тригонометричних рівнянь будь-якого рівня складності зрештою зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. І в цьому найкращим помічником знову виявляється тригонометричне коло.

Згадаймо визначення косинуса та синуса.

Косинусом кута називається абсциса (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Синусом кута називається ордината (тобто координата по осі) точки на одиничному колі, що відповідає повороту на даний кут.

Позитивним напрямом руху по тригонометричному колу вважається рух проти годинникової стрілки. Повороту на 0 градусів (або 0 радіан) відповідає точка з координатами (1; 0)

Використовуємо ці визначення для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Розв'яжемо рівняння

Цьому рівнянню задовольняють такі значення кута повороту , які відповідають точкам кола, ордината яких дорівнює .

Відзначимо на осі ординат точку з ординатою:

Проведемо горизонтальну лінію паралельно осі абсцис до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають ординату. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан:

Якщо ми, вийшовши з точки, що відповідає куту повороту на радіан, обійдемо повне коло, то ми прийдемо в точку, яка відповідає куту повороту на радіан і має ту ж ординату. Тобто, цей кут повороту також задовольняє нашому рівнянню. Ми можемо робити скільки завгодно "холостих" оборотів, повертаючись у ту саму точку, і всі ці значення кутів задовольнятимуть нашому рівнянню. Число "холостих" оборотів позначимо буквою (або ). Оскільки ми можемо здійснювати ці обороти як і позитивному, і у негативному напрямі, (або ) можуть набувати будь-які цілі значення.

Тобто перша серія рішень вихідного рівняння має вигляд:

, , - безліч цілих чисел (1)

Аналогічно, друга серія рішень має вигляд:

де , . (2)

Як ви здогадалися, в основі цієї серії рішень лежить точка кола, що відповідає куту повороту на .

Ці дві серії рішень можна поєднати в один запис:

Якщо ми цього запису візьмемо (тобто парне ), ми отримаємо першу серію рішень.

Якщо ми в цьому записі візьмемо (тобто непарне), ми отримаємо другу серію рішень.

2. Тепер давайте вирішимо рівняння

Так як - це абсциса точки одиничного кола, отриманого поворотом на кут, відзначимо на осі крапку з абсцисою:

Проведемо вертикальну лінію паралельно осі до перетину з колом. Ми отримаємо дві точки, що лежать на колі і мають абсцис. Ці точки відповідають кутам повороту на радіан. Згадаймо, що при русі за годинниковою стрілкою ми отримуємо негативний кут повороту:

Запишемо дві серії рішень:

(Ми потрапляємо в потрібну точку, пройшовши з основної повний круг, тобто .

Об'єднаємо ці дві серії в один запис:

3. Розв'яжемо рівняння

Лінія тангенсів проходить через точку з координатами (1,0) одиничного кола паралельно осі OY

Зазначимо на ній точку, з ординатою, що дорівнює 1 (ми шукаємо, тангенс яких кутів дорівнює 1):

З'єднаємо цю точку з початком координат прямою лінією і відзначимо точки перетину прямої з одиничним колом. Точки перетину прямої та кола відповідають кутам повороту на і :

Так як точки, що відповідають кутам повороту, які задовольняють нашому рівнянню, лежать на відстані радіан одна від одної, то ми можемо записати рішення таким чином:

4. Розв'яжемо рівняння

Лінія котангенсів проходить через точку з координатами одиничного кола паралельно осі.

Зазначимо на лінії котангенсів крапку з абсцисою -1:

З'єднаємо цю точку з початком координат прямої та продовжимо її до перетину з колом. Ця пряма перетне коло в точках, що відповідають кутам повороту на і радіан: