Слід зазначити, що комбінаторика є самостійним розділом вищої математики (а не частиною тервера) і з цієї дисципліни написані важкі підручники, зміст яких часом анітрохи не легше абстрактної алгебри. Однак нам буде достатньо невеликої частки теоретичних знань, і в цій статті я постараюся у доступній формі розібрати основи теми з типовими комбінаторними завданнями. А багато хто з вас мені допоможуть;-)
Чим будемо займатись? У вузькому значенні комбінаторика - це підрахунок різних комбінацій, які можна скласти з деякої множини дискретнихоб'єктів. Під об'єктами розуміються якісь відокремлені предмети чи живі істоти – люди, звірі, гриби, рослини, комахи тощо. При цьому комбінаторику зовсім не хвилює, що безліч складається з тарілки манної каші, паяльника та болотяної жаби. Принципово важливо, що ці об'єкти піддаються перерахуванню – їх три (Дискретність)і суттєво те, що серед них немає однакових.
З безліччю розібралися, тепер про комбінації. Найпоширенішими видами комбінацій є перестановки об'єктів, їх вибірка з множини (поєднання) і розподіл (розміщення). Давайте прямо зараз подивимося, як це відбувається:
Перестановки, поєднання та розміщення без повторень
Не лякайтеся малозрозумілих термінів, тим більше деякі з них дійсно не дуже вдалі. Почнемо з хвоста заголовка – що означає « без повторень»? Це означає, що в даному параграфі будуть розглядатися множини, які складаються з різнихоб'єктів. Наприклад, … ні, кашу з паяльником і жабою пропонувати не буду, краще щось смачніше =) Уявіть, що перед вами на столі матеріалізувалося яблуко, груша і банан (за наявності таких ситуацію можна змоделювати і реально). Викладаємо фрукти зліва направо у такому порядку:
яблуко / груша / банан
Питання перше: Скільки способами їх можна переставити?
Одна комбінація вже записана вище та з іншими проблемами не виникає:
яблуко / банан / груша
груша / яблуко / банан
груша / банан / яблуко
банан / яблуко / груша
банан / груша / яблуко
Разом: 6 комбінацій або 6 перестановок.
Добре, тут не склало особливих труднощів перерахувати всі можливі випадки, але як бути, якщо предметів більше? Вже із чотирма різними фруктами кількість комбінацій значно зросте!
Будь ласка, відкрийте довідковий матеріал (методичку зручно роздрукувати)та у пункті № 2 знайдіть формулу кількості перестановок.
Жодних мук – 3 об'єкти можна переставити способами.
Питання друге: Скільки способами можна вибрати а) один фрукт, б) два фрукти, в) три фрукти, г) хоча б один фрукт?
Навіщо обирати? Так нагуляли апетит у попередньому пункті – для того, щоб з'їсти! =)
а) Один фрукт можна вибрати, очевидно, трьома способами - взяти або яблуко, грушу або банан. Формальний підрахунок проводиться за формулі кількості поєднань:
Запис у разі слід розуміти так: «скількими способами можна вибрати 1 фрукт з трьох?»
б) Перерахуємо всі можливі поєднання двох фруктів:
яблуко та груша;
яблуко та банан;
груші та банан.
Кількість комбінацій легко перевірити за тією самою формулою:
Запис розуміється аналогічно: «скільки можна вибрати 2 фрукти з трьох?».
в) І, нарешті, три фрукти можна вибрати єдиним способом:
До речі, формула кількості поєднань зберігає сенс і для порожньої вибірки:
способом можна вибрати жодного фрукта - власне, нічого не взяти і все.
г) Скільки способами можна взяти хоча б одинфрукт? Умова «хоча б один» передбачає, що нас влаштовує 1 фрукт (будь-який) або 2 будь-яких фрукти або всі 3 фрукти:
способами можна вибрати хоча б один фрукт.
Читачі, які уважно вивчили вступний урок з теорії ймовірностей, вже дещо здогадалися. Але про сенс знака "плюс" пізніше.
Для відповіді на наступне запитання мені потрібні два добровольці… …Ну що ж, якщо ніхто не хоче, тоді викликатиму до дошки =)
Питання третє: Скільки способами можна роздати по одному фрукту Даші та Наташі?
Для того, щоб роздати два фрукти, спочатку потрібно їх вибрати. Відповідно до пункту «бе» попереднього питання, зробити це можна засобами, перепишу їх заново:
яблуко та груша;
яблуко та банан;
груші та банан.
Але комбінацій зараз буде вдвічі більше. Розглянемо, наприклад, першу пару фруктів:
яблуком можна пригостити Дашу, а грушею – Наташу;
або навпаки – груша дістанеться Даші, а яблуко – Наталці.
І така перестановка можлива кожної пари фруктів.
Розглянемо ту саму студентську групу, яка пішла на танці. Скількими способами можна скласти пару з юнака та дівчини?
Способами можна вибрати 1 юнака;
способами можна вибрати 1 дівчину.
Таким чином, одного юнака іодну дівчину можна вибрати: 
методами.
Коли з кожної множини вибирається по 1 об'єкту, то справедливий наступний принцип підрахунку комбінацій: « коженоб'єкт з однієї множини може скласти пару з кожнимоб'єктом іншої множини».
Тобто Олег може запросити на танець будь-яку з 13 дівчат, Євген – теж будь-яку з тринадцяти, і аналогічний вибір має решта молодих людей. Разом: можливі пари.
Слід зазначити, що у цьому прикладі немає значення «історія» утворення пари; однак якщо взяти до уваги ініціативу, то кількість комбінацій треба подвоїти, оскільки кожна з 13 дівчат також може запросити на танець будь-якого юнака. Все залежить від умови того чи іншого завдання!
Схожий принцип справедливий і для складніших комбінацій, наприклад: скількома способами можна вибрати двох юнаків ідвох дівчат для участі у сценці КВК?
Союз Інедвозначно натякає, що комбінації необхідно перемножити:
Можливі групи артистів.
Іншими словами, кожнапара юнаків (45 унікальних пар) може виступати з будь-якийпарою дівчат (78 унікальних пар). А якщо розглянути розподіл ролей між учасниками, то комбінацій буде ще більше. …Дуже хочеться, але все-таки утримаюсь від продовження, щоб не прищепити вам огиду до студентського життя =).
Правило множення комбінацій поширюється і на більшу кількість множників:
Завдання 8
Скільки існує трицифрових чисел, які діляться на 5?
Рішення: для наочності позначимо це число трьома зірочками: ***
У розряд сотеньможна записати будь-яку з цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 чи 9). Нуль не годиться, тому що в цьому випадку число перестає бути тризначним.
А ось у розряд десятків(«посередині») можна вибрати будь-яку з 10 цифр: .
За умовою, число має ділитися на 5. Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 5 або на 0. Таким чином, у молодшому розряді нас влаштовують 2 цифри.
Отже, існує: трицифрових чисел, які діляться на 5.
При цьому твір розшифровується так: «9 способами можна вибрати цифру в розряд сотень і 10 способами вибрати цифру в розряд десятків і 2 способами в розряд одиниць»
Або ще простіше: « кожназ 9 цифр у розряді сотенькомбінується з кожноюз 10 цифр розряду десятків і з кожноюз двох цифр у розряд одиниць».
Відповідь: 180
А зараз…
Так, мало не забув про обіцяний коментар до завдання № 5, в якому Борі, Дімі та Володі можна здати за однією картою способами. Множення тут має той самий сенс: способами можна витягти 3 карти з колоди І в кожнійвибірці переставити їх засобами.
А тепер завдання для самостійного вирішення… зараз придумаю щось цікавіше, …нехай буде про ту ж російську версію блекджека:
Завдання 9
Скільки існує виграшних комбінацій з 2 карток при грі в «очко»?
Для тих, хто не знає: виграє комбінація 10 + ТУЗ (11 очок) = 21 очко і, давайте вважатимемо виграшною комбінацію з двох тузів.
(Порядок карт у будь-якій парі не має значення)
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
До речі, не слід вважати приклад примітивним. Блекджек - це чи не єдина гра, для якої існує математично обґрунтований алгоритм, що дозволяє вигравати у казино. Бажаючі можуть легко знайти масу інформації про оптимальну стратегію та тактику. Щоправда, такі майстри досить швидко потрапляють до чорного списку всіх закладів.
Настав час закріпити пройдений матеріал парою солідних завдань:
Завдання 10
У Васі вдома живуть 4 коти.
а) скільки можна розсадити котів по кутах кімнати?
б) скільки можна відпустити гуляти котів?
в) Скільки способами Вася може взяти на руки двох котів (одного на ліву, іншого - на праву)?
Вирішуємо: по-перше, знову слід звернути увагу на те, що в задачі йдеться про різнихоб'єктах (навіть якщо коти – однояйцеві близнюки). Це дуже важлива умова!
а) Мовчання котів. Цю кару зазнають відразу всі коти
+ важливе їх розташування, тому тут мають місце перестановки:
способами можна розсадити котів по кутах кімнати.
Повторюся, що з перестановках має значення лише кількість різних об'єктів та його взаємне розташування. Залежно від настрою Вася може розсаджувати тварин півколом на дивані, ряд на підвіконні і т.д. – перестановок у всіх випадках буде 24. Бажаючі можуть для зручності уявити, що коти різнокольорові (наприклад, білий, чорний, рудий та смугастий) та перерахувати всі можливі комбінації.
б) Скільки можна відпустити гуляти котів?
Передбачається, що коти ходять гуляти тільки через двері, при цьому питання має на увазі байдужість щодо кількості тварин – на прогулянку можуть вийти 1, 2, 3 або всі 4 коти.
Вважаємо всі можливі комбінації:
Способами можна відпустити гуляти одного кота (будь-якого з чотирьох); 
способами можна відпустити гуляти двох котів (варіанти перерахуйте самостійно);
способами можна відпустити гуляти трьох котів (якийсь один із чотирьох сидить удома);
способом можна випустити всіх котів.
Напевно, ви здогадалися, що отримані значення слід підсумувати:
способами можна відпустити гуляти котів.
Ентузіастам пропоную ускладнену версію завдання – коли будь-який кіт у будь-якій вибірці випадково може вийти на вулицю як через двері, так і через вікно 10 поверху. Комбінацій помітно побільшає!
в) Скільки способами Вася може взяти на руки двох котів?
Ситуація передбачає не тільки вибір 2 тварин, а й їх розміщення по руках:
способами можна взяти на руки 2 коти.
Другий варіант вирішення: способами можна вибрати двох котів іспособами посадити кожнупару на руки: 
Відповідь: а) 24, б) 15, в) 12
Ну і для очищення совісті щось конкретніше на збільшення комбінацій. Нехай у Васі додатково живе 5 котів =) Скільки способами можна відпустити гуляти 2 котів і 1 кішку?
Тобто, з кожноюпарою котів можна випустити кожнукішку.
Ще один баян для самостійного вирішення:
Завдання 11
У ліфт 12-поверхового будинку сіли 3 пасажири. Кожен, незалежно від інших, з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому (починаючи з 2-го) поверсі. Скількими способами:
1) пасажири можуть вийти на тому самому поверсі (Порядок виходу не має значення);
2) дві людини можуть вийти на одному поверсі, а третя – на іншому;
3) люди можуть вийти різних поверхах;
4) пасажири можуть вийти із ліфта?
І тут часто перепитують, уточнюю: якщо 2 чи 3 особи виходять на одному поверсі, то черговість виходу не має значення. ДУМАЙТЕ, використовуйте формули та правила додавання/множення комбінацій. У разі труднощів пасажирам корисно дати імена та поміркувати, у яких комбінаціях вони можуть вийти з ліфта. Не треба засмучуватися, якщо щось не вийде, так, наприклад, пункт № 2 досить підступний, втім, один із читачів відшукав просте рішення, і я вкотре висловлюю подяку за ваші листи!
Повне рішення із докладними коментарями наприкінці уроку.
Заключний параграф присвячений комбінаціям, які теж зустрічаються досить часто – за моєю суб'єктивною оцінкою, приблизно 20-30% комбінаторних завдань:
Перестановки, поєднання та розміщення з повтореннями
Перелічені види комбінацій законспектовані у пункті № 5 довідкового матеріалу Основні формули комбінаторикиПроте деякі з них за першим прочитанням можуть бути не дуже зрозумілими. І тут спочатку доцільно ознайомитися з практичними прикладами, і лише потім осмислювати загальне формулювання. Поїхали:
Перестановки із повтореннями
У перестановках із повтореннями, як і в «звичайних» перестановках, бере участь відразу все безліч об'єктів, але є одне але: в даному множині один або більша кількість елементів (об'єктів) повторюються. Зустрічайте черговий стандарт:
Завдання 12
Скільки різних буквосполучень можна отримати перестановкою карток із наступними літерами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, І, К?
Рішення: у тому випадку, якби всі літери були різні, то слід було б застосувати тривіальну формулу , проте цілком зрозуміло, що для запропонованого набору карток деякі маніпуляції спрацьовуватимуть «вхолосту», наприклад, якщо поміняти місцями будь-які дві картки з літерами «К » у будь-якому слові, то вийде те саме слово. Причому фізично картки можуть сильно відрізнятися: одна бути круглою з надрукованою літерою «К», інша – квадратною з намальованою літерою «К». Але за змістом завдання навіть такі картки вважаються однаковими, оскільки в умові питається про буквосполучення.
Все дуже просто – всього: 11 карток, серед яких літера:
К - повторюється 3 рази;
Про - повторюється 3 рази;
Л – повторюється двічі;
Ь - повторюється 1 раз;
Ч – повторюється 1 раз;
І – повторюється один раз.
Перевірка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, що потрібно перевірити.
За формулою кількості перестановок із повтореннями:
різних буквосполучень можна отримати. Більше півмільйона!
Для швидкого розрахунку великого факторіального значення зручно використовувати стандартну функцію Екселю: забиваємо в будь-яку комірку =ФАКТР(11)і тиснемо Enter.
На практиці цілком допустимо не записувати загальну формулу і, крім того, опускати поодинокі факторіали: 
Але попередні коментарі про літери, що повторюються, обов'язкові!
Відповідь: 554400
Інший типовий приклад перестановок з повтореннями зустрічається в задачі про розміщення шахових фігур, яку можна знайти на складі готових рішеньу відповідній pdf-ці. А для самостійного рішення я вигадав менш шаблонне завдання:
Завдання 13
Олексій займається спортом, причому 4 дні на тиждень – легкою атлетикою, 2 дні – силовими вправами та 1 день відпочиває. Скільки способами він може скласти собі розклад занять на тиждень?
Формула тут не годиться, оскільки враховує збігаються перестановки (наприклад, коли міняються місцями силові вправи у середу із силовими вправами у четвер). І знову - за фактом ті ж 2 силові тренування можуть сильно відрізнятися один від одного, але за контекстом завдання (з точки зору розкладу) вони вважаються однаковими елементами.
Дворядкове рішення та відповідь наприкінці уроку.
Поєднання з повтореннями
Характерна риса цього виду комбінацій у тому, що вибірка проводиться із кількох груп, кожна у тому числі складається з однакових об'єктів.
Сьогодні всі добре попрацювали, тому настав час підкріпитись:
Завдання 14
У студентській їдальні продають сосиски в тесті, ватрушки та пончики. Скільки можна придбати п'ять пиріжків?
Рішення: відразу зверніть увагу на типовий критерій поєднань із повтореннями – за умовою на вибір запропоновано не безліч об'єктів як таке, а різні видиоб'єктів; при цьому передбачається, що у продажу є не менше п'яти хот-догів, 5 ватрушок та 5 пончиків. Тістечка в кожній групі, зрозуміло, відрізняються - бо абсолютно ідентичні пончики можна змоделювати хіба що на комп'ютері =) Проте фізичні характеристики пиріжків за змістом завдання не суттєві, і хот-доги/ватрушки/пончики у своїх групах вважаються однаковими.
Що може бути у вибірці? Насамперед, слід зазначити, що у вибірці обов'язково будуть однакові пиріжки (обираємо 5 штук, а на вибір запропоновано 3 види). Варіанти тут на будь-який смак: 5 хот-догів, 5 ватрушок, 5 пончиків, 3 хот-доги + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончики і т.д.
Як і при «звичайних» поєднаннях, порядок вибору та розміщення пиріжків у вибірці не має значення – просто вибрали 5 штук та все.
Використовуємо формулу 
кількості поєднань із повтореннями: 
способом можна придбати 5 пиріжків.
Смачного!
Відповідь: 21
Який висновок можна зробити із багатьох комбінаторних завдань?
Іноді найважче – це розібратися в умові.
Аналогічний приклад для самостійного вирішення:
Завдання 15
У гаманці знаходиться досить велика кількість 1-, 2-, 5- та 10-рублевих монет. Скільки способами можна витягти три монети з гаманця?
З метою самоконтролю дайте відповідь на кілька простих питань:
1) Чи можуть у вибірці всі монети бути різними?
2) Назвіть найдешевшу і найдорожчу комбінацію монет.
Рішення та відповіді наприкінці уроку.
З мого особистого досвіду, можу сказати, що поєднання з повтореннями – найрідкісніший гість на практиці, чого не скажеш про такий вид комбінацій:
Розміщення з повтореннями
З множини, що складається з елементів, вибирається елементів, при цьому важливий порядок елементів у кожній вибірці. І все було б нічого, але досить несподіваний прикол полягає в тому, що будь-який об'єкт вихідної множини ми можемо вибирати скільки завгодно разів. Образно кажучи, від «багато не убуде».
Коли таке буває? Типовим прикладом є кодовий замок з кількома дисками, але через розвиток технологій актуальніше розглянути його цифрового нащадка:
Завдання 16
Скільки існує чотиризначних пін-кодів?
Рішення: насправді для розрулювання завдання достатньо знань правил комбінаторики: способами можна вибрати першу цифру пін-коду іспособами – другу цифру пін-коду істільки ж способами – третю істільки ж – четверту. Таким чином, за правилом множення комбінацій, чотиризначний пін-код можна скласти: способами.
А тепер за допомогою формули. За умовою нам запропоновано набір із цифр, з якого вибираються цифри та розташовуються у визначеному порядку, при цьому цифри у вибірці можуть повторюватися (тобто будь-якою цифрою вихідного набору можна користуватися довільну кількість разів). За формулою кількості розміщень із повтореннями: 
Відповідь: 10000
Що тут спадає на думку… …якщо банкомат «з'їдає» картку після третьої невдалої спроби введення пін-коду, то шанси підібрати його навмання дуже примарні.
І хто сказав, що у комбінаториці немає жодного практичного сенсу? Пізнавальне завдання для всіх читачів сайт:
Завдання 17
Згідно з державним стандартом, автомобільний номерний знак складається з 3 цифр та 3 літер. При цьому неприпустимий номер із трьома нулями, а літери вибираються з набору А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (використовуються лише ті літери кирилиці, написання яких збігається з латинськими літерами).
Скільки номерних знаків можна скласти для регіону?
Не так їх, до речі, багато. У великих регіонах такої кількості не вистачає, і тому для них існує кілька кодів до напису RUS.
Рішення та відповідь наприкінці уроку. Не забуваємо використовувати правила комбінаторики;-) …Хотів похвалитися ексклюзивом, та виявилося не ексклюзивом =) Заглянув у Вікіпедію – там є розрахунки, щоправда, без коментарів. Хоча у навчальних цілях, напевно, мало хто вирішував.
Наше захоплююче заняття добігло кінця, і насамкінець я хочу сказати, що ви не дарма витратили час – з тієї причини, що формули комбінаторики знаходять ще одне насущне практичне застосування: вони зустрічаються в різних завданнях теорії ймовірностей,
і в завдання на класичне визначення ймовірності- Особливо часто =)
Дякую всім за активну участь і до швидких зустрічей!
Рішення та відповіді:
Завдання 2: Рішення: знайдемо кількість всіх можливих перестановок 4 карток:
Коли картка з нулем розташовується на 1-му місці, то число стає тризначним, тому ці комбінації слід виключити. Нехай нуль знаходиться на 1-му місці, тоді 3 цифри, що залишилися, в молодших розрядах можна переставити способами.
Примітка
: т.к. карток небагато, то тут нескладно перерахувати всі такі варіанти:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Таким чином, із запропонованого набору можна скласти:
24 - 6 = 18 чотиризначних чисел
Відповідь
: 18
Завдання 4: Рішення: способами можна вибрати 3 карти з 36і
2) «Найдешевший» набір містить 3 рублеві монети, а «найдорожчий» – 3 десятирублеві.
Завдання 17: Рішення: 
способами можна скласти цифрову комбінацію автомобільного номера, причому одну з них (000) слід виключити: .
способами можна скласти літерну комбінацію автомобільного номера.
За правилом множення комбінацій, всього можна скласти:
автомобільних номерів
(кожнацифрова комбінація поєднується з кожноюлітерною комбінацією).
Відповідь
: 1726272
Урок з математики у 5 класі
«
Знайомтесь, комбінаторика»
Тема урока:
Мета уроку
:
сформулювати початкові навички комбінаторних завдань з допомогою перебору можливих варіантів.Завдання уроку:
Освітні:
Розвиток уміння вирішувати комбінаторні завдання шляхом повного перебору варіантів;
Вироблення вміння застосовувати математичну теорію у конкретних ситуаціях;
Знайомство учнів із елементами гуманітарного знання, що з математикою.
Розвиток уміння самостійно обирати спосіб вирішення та вміння обґрунтувати вибір;
Розвиток уміння розв'язувати задачі шляхом лише логічних міркувань;
Розвиток уміння робити вибір оптимального методу кодування;
Розвиток комунікативних та творчих здібностей учнів.
- Виховувати почуття відповідальності за якість та результат виконуваної роботи; Прищеплювати свідоме ставлення до праці;
- Формувати відповідальність за кінцевий результат.
- Інтерактивна дошка; роздатковий матеріал (кольорові смужки: біла, синя, червона); картки із завданнями.
- Організаційний момент. Вивчення нового матеріалу. Практична частина. Рефлексія Виставлення відміток Завдання домашньої роботи
- Організаційний момент.
- Актуалізація теми та мотивація.
- 50 рублів, 100 рублів, 50 рублів, 100 рублів; 50 рублів, 50 рублів, 100 рублів, 100 рублів (слайд №2 та №3).
- Вивчення нового матеріалу
.
Комбінаторика – це розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування заданих елементів за заданими правилами
Звичайне питання у комбінаторних завданнях – це « Скількими способами …?» або
« Скільки варіантів …?»
Вчитель : Давайте ще раз повернемося до завдання про прапори, вирішимо її використовуючи перебір можливих варіантів: (слайд №7) КБС КСБ БСК БКС СБК СКБВідповідь: 6 варіантів. Отже, під час вирішення цього завдання ми шукали спосіб перебору можливих варіантів. УУ багатьох випадках виявляється корисним прийом побудови картинки – схеми перебору варіантів. Це, по-перше, наочно, по-друге, дозволяє нам все врахувати, нічого не пропустити.Рішення Прапор
Варіанти ББК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ.
Відповідь: 6 варіантів.
Питання, відповідь який повинні знати все, який із представлених варіантів прапорів – державний прапор РФ.(Слайд№7)Виявляється, не тільки прапор Росії має ці три кольори. Є держави, прапори яких мають такі ж кольори.
КБС - Люксембург,
Нідерланди.
Франція СКБ
Вчитель: Знайдемо правило вирішення таких завдань шляхом логічного міркування.
Розберемо з прикладу кольорових смужок. Візьмемо білу смужку – її можна переставити 3 рази, візьмемо синю смужку – її можна переставити лише двічі, т.к. одне з місць вже зайняте білою, візьмемо червону смужку – її можна покласти лише 1 раз.
РАЗОМ: 3 х 2 х 1=6
Основне правило твору :
Правило множення: якщо перший елемент у комбінації можна вибрати а способами, після чого другий елемент – b способами, то загальна кількість комбінацій дорівнюватиме а х b . (Слайд №8)
Фізкультхвилинка для очей. (Слайд №9)
Вправа "Фігури".
Намалювати очима квадрат, коло, трикутник, овал, ромб за годинниковою стрілкою, а потім проти.
Практична частина
Вчитель: А тепер перейдемо до математичних завдань. (роздаємо картки із завданнями)
В одного досить знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи, 4 чудові плащі і 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма йому можна скласти? (Вибираємо по одному елементу з трьох множин, тобто складаємо «трійку», отже, за правилом множення отримуємо 3 4 2 = 24 варіанти костюма.)
У футбольній команді 11 людей. Необхідно вибрати капітана та його заступника. Скільки можна це зробити? (Усього 11 чоловік, отже, капітана можна вибрати 11 способами, залишилося 10 футболістів, з яких можна вибрати заступника капітана. Отже, пару капітана та його заступника можна вибрати 11 10 = 110 способами.)
Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4, 7, якщо допустити повторення цифр? (Повинно вийти двозначне число – всього дві позиції. На першу позицію можна поставити будь-яку із запропонованих цифр – 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням можливості повтору цифри, також 3 варіанти вибору. Значить, пару цифр ми складаємо 3 3 = 9 способами , Тобто вийде 9 чисел.
Скільки різних трицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра не повторюється? (Тризначне число: перша позиція – 5 варіантів цифр, друга позиція з урахуванням виключення повторів цифр – 4 варіанти, третя позиція – 3 варіанти. Отримуємо 5 4 3 = 60 чисел.)
Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри: а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися? (а) Двозначне число, як і будь-яке багатозначне, не може починатися з 0, тому на першу позицію можна поставити лише 3 з 4 цифр, 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням повтору, можна поставити будь-яку з цифр – 4 варіанти вибору. Тому виходить 34 = 12 чисел; б) Перша позиція – 3 варіанти, друга позиція – 3 варіанти, т.к. повтор виключається. Отримуємо 3 3 = 9 чисел.)
Шифр для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру? (5 4 3 2 1 = 120 варіантів.) Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів? (6 5 4 3 2 1 = 720 способів.)
6 приладів?(6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способів.)
(8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 варіантів.)
(Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всього 10 цифр, виключаючи за умовами 0 та 9 на початку номера, з урахуванням можливості повтору, отримуємо 8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 номерів.)
- Рефлексія
Вчитель: Хлопці ось і добігає кінця наш урок. Як ви вважаєте, ми сьогодні досягли нашої мети, чому? Що було важким на уроці, як з цим можна боротися? Подумайте і поставте собі за свою працю і роботу позначку, поставте самі, цю позначку ніхто з хлопців не побачить, спробуйте бути чесним із собою. Чи повністю ви брали участь у роботі на уроці? Що потрібно зробити, щоб результат був кращим?
Крім того, учням пропонується відповісти на 3 бліц - питання:
На сьогоднішньому уроці мені було … (легко, як правило, важко)
Новий матеріал я … (засвоїв і можу застосувати, засвоїв і важко застосувати, не засвоїв)
Моя самооцінка за урок.
Відповіді на наведені запитання можна підписувати, т.к. їхня основна функція допомогти вчителю проаналізувати урок та його результати
Підбиття підсумків . Виставлення відміток
Вчитель: Я дуже рада, що багато хто з вас сьогодні добре попрацював, дізнався багато нового, але я дуже хотів би, щоб всі ви вдома добре попрацювали і не отримали на наступному уроці двійок.
7. Завдання домашньої роботи :
1) Скласти завдання про свій клас
2) Декілька країн вирішили використати для свого державного прапора символіку у вигляді 3 горизонтальних смуг різної ширини, різних кольорів – білий, синій, червоний. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор?
3) а) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9?
б) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9 за умови, що цифри не повинні повторюватися
Вчитель : Отже, я була рада зустрічі з вами, цікавтеся математикою, це, безсумнівно, позначиться на позитивному боці у ваших роздумах і діях. Урок завершено. Всім дякую. До побачення.
Література:
Є.А.Бунімович, В.А. Буличів. Імовірність та статистика в курсі математики загальноосвітньої школи: лекції 1-4, 5 - 8. - М.: Педагогічний університет "Перше вересня", 2006.
Віленкін Н.Я. Математика. 5 клас: підручник для загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін та ін - М.: Мнемозіна, 2009.
Смикалова Є.В. Додаткові розділи математики для учнів 5 класу. СПб: ЗМІ. Прес, 2006.
5 клас. "Математика-5", І.І. Зубарєва, А.Г. Мордкович, 2004 рік.
Завдання (картки)
Скільки варіантів семизначних номерів можна скласти, якщо виключити з них номери, що починаються з 0 і 9?
В одного досить знаменитого мушкетера в гардеробі є 3 елегантні капелюхи, 4 чудові плащі і 2 пари відмінних чобіт. Скільки варіантів костюма йому можна скласти?
У футбольній команді 11 людей. Необхідно вибрати капітана та його заступника. Скільки можна це зробити?
Скільки різних двоцифрових чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 4, 7, якщо допустити повторення цифр
Скільки різних трицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра не повторюється?
Скільки різних двоцифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, якщо цифри: а) можуть повторюватися; б) чи не можуть повторюватися?
Шифр для сейфа складається із п'яти різних цифр. Скільки різних варіантів складання шифру?
Скільки способами можна розмістити 6 осіб за столом, на якому поставлено 6 приладів?
У п'ятому класі вивчаються 8 предметів. Скільки різних варіантів розкладу можна скласти на понеділок, якщо у цей день має бути 5 уроків і всі уроки різні?Відповіді
6 5 4 3 2 1 = 720 способів
8 7 6 5 4 = 6720 варіантів
Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всього 10 цифр, крім умов 0 і 9 на початку номера, з урахуванням можливості повтору, отримуємо 8 10 10 10 10 10 10 = 8000000 номерів.
Вибираємо по одному елементу з трьох множин, тобто складаємо «трійку», отже, за правилом множення отримуємо 3 4 2 = 24 варіанти костюма.
Всього 11 осіб, отже, капітана можна вибрати 11 способами, залишилося 10 футболістів, з яких можна вибрати заступника капітана. Отже, пару, капітана та його заступника, можна вибрати 11 10 = 110 способами.
Повинне вийти двозначне число – лише дві позиції. На першу позицію можна поставити будь-яку із запропонованих цифр – 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням можливості повтору цифри, також 3 варіанти вибору. Отже, кілька цифр ми становимо 3 3 = 9 методами, тобто. вийде 9 чисел.
Тризначне число: перша позиція - 5 варіантів цифр, друга позиція з урахуванням виключення повторів цифр - 4 варіанти, третя позиція - 3 варіанти. Отримуємо 5 4 3 = 60 чисел.
(а) Двозначне число, як і будь-яке багатозначне, не може починатися з 0, тому на першу позицію можна поставити лише 3 з 4 цифр, 3 варіанти вибору, на другу позицію, з урахуванням повтору, можна поставити будь-яку з цифр – 4 варіанти вибору. Тому виходить 34 = 12 чисел; б) Перша позиція – 3 варіанти, друга позиція – 3 варіанти, т.к. повтор виключається. Отримуємо 33 = 9 чисел.
5 4 3 2 1 = 120 варіантів.При вирішенні багатьох практичних завдань доводиться використовувати комбінації елементів, вибирати з цієї сукупності ті, які мають певні властивості, та розміщувати їх у певному порядку. Такі завдання називаються комбінаторними. Розділ математики, присвячений вирішенню завдань вибору та розташування елементів відповідно до цих умов, називається комбінаторикою. Термін «комбінаторика» походить від латинського слова "combina", що у перекладі російською мовою означає – «поєднувати», «з'єднувати».
Вибрані групи елементів називають з'єднаннями. Якщо всі елементи з'єднання різні, отримуємо з'єднання без повторень, які й розглянемо нижче.
Більшість комбінаторних завдань вирішується за допомогою двох основних правил. правила суми та правила твору.
Завдання 1.
У магазині «Все для чаю» є 6 різних чашок та 4 різних блюдця. Скільки варіантів чашки та блюдця можна купити?
Рішення.
Чашку ми можемо вибрати 6-ма способами, а блюдце 4-ма способами. Так як нам треба купити пару чашку та блюдце, то це можна зробити 6 · 4 = 24 способами (за правилом твору).
Відповідь: 24.
Для успішного вирішення комбінаторних завдань треба ще й правильно вибрати формулу, за якою шукати кількість потрібних з'єднань. У цьому вся допоможе наступна схема. 
Розглянемо розв'язання кількох завдань різні види з'єднань без повторень.
Завдання 2.
Знайдіть кількість трицифрових чисел, які можна становити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, якщо цифри в числі повторюватися не можуть.
Рішення.
Для вибору формули з'ясовуємо, що з чисел, які ми складатимемо, порядок враховується і всі елементи одночасно вибираються. Отже, це з'єднання – розміщення з 7 елементів по 3. Скористаємося формулою для числа розміщень: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.
Відповідь: 210.
Завдання 3.
Скільки існує семизначних телефонних номерів, де всі цифри різні, а номер не може починатися з нуля?
Рішення.
На перший погляд це завдання таке саме, як і попереднє, але складність у тому, що треба не враховувати ті сполуки, які починаються з нуля. Значить необхідно з існуючих 10 цифр скласти всі семизначні номери телефонів, а потім від отриманого числа відібрати кількість номерів, що починаються з нуля. Формула матиме вигляд:
A 10 7 - A 9 6 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 - 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.
Відповідь: 544 320.
Завдання 4.
Скільки способами можна розставити на полиці 12 книг, з яких 5 книг – це збірки віршів, щоб збірки стояли поруч?
Рішення.
Спочатку приймемо 5 збірок умовно за одну книгу, бо вони мають стояти поряд. Так як у поєднанні суттєвим є порядок, і всі елементи використовуються, це перестановки з 8 елементів (7 книг + умовна 1 книга). Їхня кількість Р 8 . Далі переставлятимемо між собою лише збірки віршів. Це можна зробити Р5 способами. Оскільки нам потрібно розставити і збірки, та інші книги, то скористаємося правилом твору. Отже, Р8 · Р5 = 8! · 5!. Число способів буде великим, тому відповідь можна залишити у вигляді добутку факторіалів.
Відповідь: 8! · 5!
Завдання 5.
У класі 16 хлопчиків та 12 дівчаток. Для прибирання території біля школи потрібно 4 хлопчики та 3 дівчинки. Скільки можна їх вибрати з усіх учнів класу?
Рішення.
Спочатку окремо виберемо 4 хлопчики з 16 та 3 дівчинки з 12. Оскільки порядок розміщення не враховується, то відповідні з'єднання – поєднання без повторень. Враховуючи необхідність одночасного вибору і хлопчиків і дівчаток, використовуємо правило твору. У результаті кількість способів обчислюватиметься таким чином:
З 16 4 · З 12 3 = (16! / (4! · 12!)) · (12! / (3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) · ((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.
Відповідь: 400 400.
Таким чином, успішне вирішення комбінаторної задачі залежить від правильного аналізу її умови, визначення типу сполук, які будуть складатися, та вибору відповідної формули для обчислення їхньої кількості.
Залишились питання? Чи не знаєте, як вирішувати комбінаторні завдання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
У багатьох комбінаторних завданнях безпосереднє знаходження числа варіантів, що цікавлять нас, виявляється скрутним. Однак при деякій зміні умови завдання можна знайти кількість варіантів, що перевищує вихідне у відоме число разів. Такий прийом називається методом кратного підрахунку.
1. Скільки анаграм має слово КЛАС?
Труднощі в тому, що в цьому слові дві однакові літери С. Будемо тимчасово вважати їх різними і позначимо С1 і С2. Тоді число анаграм виявиться рівним 5! = 120. Але ті слова, які відрізняються один з одного лише перестановкою букв С 1 і С 2 , насправді є однією й тією ж анаграмою! Тому 120 анаграм розбиваються пари однакових, тобто. потрібне число анаграм дорівнює 120/2 = 60.
2. Скільки анаграм має слово ШАРАДА?
Вважаючи три літери А різними літерами А1, А2, А3, отримаємо 6! анаграм. Але слова, які виходять один з одного лише перестановкою букв А 1 , А 2 , А 3 насправді є однією і тією ж анаграмою. Оскільки є 3! перестановок букв А 1 , А 2 , А 3 отримані спочатку 6! анаграми розбиваються на групи по 3! однакових, і число різних анаграм виявляється рівним 6!/3! = 120.
3. Скільки існує чотирицифрових чисел, у запису яких є хоча б одна парна цифра?
Знайдемо кількість «непотрібних» чотирицифрових чисел, у записах яких присутні лише непарні цифри. Таких чисел 5 4 = 625. Але всього чотиризначних чисел 9000, тому кількість «потрібних» чисел дорівнює 9000 – 625 = 8375.
- Знайти число анаграм у слів ВЕРЕС, БАЛАГАН, МІСТОВИЙ.
- Знайти число анаграм у слів БАОБАБ, БАЛАДА, ПЕРЕПОЛОХ, АНАГРАМА, МАТЕМАТИКА, КОМБІНАТОРИКА, ОБОРОНОЗДАТНІСТЬ.
- Скільки способами можна поселити 7 приїжджих у три готельних номери: одномісний, двомісний та чотиримісний?
- У холодильнику лежать два яблука, три груші та чотири апельсини. Щодня протягом дев'яти днів поспіль Пете дають один якийсь фрукт. Скільки способами це може бути зроблено?
- З семи найкращих лижників школи потрібно відібрати команду із трьох осіб для участі у міських змаганнях. Скільки способами це можна зробити?
- Перед іспитом професор пообіцяв поставити двійки половині екзаменованих. На іспит прийшло 20 студентів. Скільки способів він може виконати обіцянку?
- Скільки слів можна скласти з п'яти літер А та не більше ніж із трьох літер Б?
- У продажу є шоколадне, полуничне та молочне морозиво. Скільки можна купити три морозива?
- При приготуванні піци до сиру додаються різні компоненти, що забезпечують той чи інший смак. У розпорядженні Білла є цибуля, гриби, помідори, перець та анчоуси, причому все це, на його думку, можна додавати до сиру. Скільки видів піци може приготувати Білл?
- Свідок кримінального розбирання запам'ятав, що злочинці зникли на «мерседесі», номер якого містив літери Т, З, У та цифри 3 та 7 (номером є рядок, у якому спочатку йдуть три літери, а потім – три цифри). Скільки таких номерів існує?
- Скільки діагоналей у опуклому n-кутнику?
- Скільки всього існує n-значних чисел?
- Скільки існує десятицифрових чисел, у запису яких є хоча б дві однакові цифри?
- Кубик кидають тричі. Серед усіляких послідовностей результатів є такі, у яких хоча б один раз випала шістка. Скільки їх?
- Скільки п'ятизначних чисел мають у своєму записі цифру 1?
- Скільки можна розставити на шахівниці білого і чорного короля так, щоб вони не били один одного?
- Скільки дільників у числа 10 800?
Реферат на тему:
Виконав учень 10 класу "В"
середньої школи №53
Глухів Михайло Олександрович
м. Набережні Човни
2002 р.
Зміст
| З історії комбінаторики_________________________________________ | 3 |
| Правило суми___________________________________________________ | 4 |
| - | |
| Правило твору_____________________________________________ | 4 |
| Приклади завдань____________________________________________________ | - |
| Пересічні множини________________________________________ | 5 |
| Приклади завдань____________________________________________________ | - |
| Кола Ейлера_____________________________________________________ | - |
| Розміщення без повторень________________________________________ | 6 |
| Приклади завдань____________________________________________________ | - |
| Перестановки без повторень_______________________________________ | 7 |
| Приклади завдань____________________________________________________ | - |
| Поєднання без повторень__________________________________________ | 8 |
| Приклади завдань____________________________________________________ | - |
| Розміщення та поєднання без повторень______________________________ | 9 |
| Приклади завдань____________________________________________________ | - |
| Перестановки із повтореннями_______________________________________ | 9 |
| Приклади завдань____________________________________________________ | - |
| Завдання для самостійного вирішення________________________________ | 10 |
| Список використаної літератури___________________________________ | 11 |
З історії комбінаторики
Комбінаторика займається різного виду сполуками, які можна утворити з елементів кінцевої множини. Деякі елементи комбінаторики були відомі в Індії ще у ІІ. до зв. е. Нідійці вміли обчислювати числа, які зараз називають поєднання. У XII ст. Бхаскара обчислював деякі види поєднань та перестановок. Припускають, що індійські вчені вивчали сполуки у зв'язку із застосуванням їх у поетиці, науці про структуру вірша та поетичні твори. Наприклад, у зв'язку з підрахунком можливих поєднань ударних (довгих) і ненаголошених (коротких) складів стопи з n складів. Як наукова дисципліна, комбінаторика сформувалася XVII в. У книзі "Теорія і практика арифметики" (1656) французький автор А. Також присвячує поєднанням і перестановкам цілий розділ.
Б. Паскаль у "Трактаті про арифметичний трикутник" і в "Трактаті про числові порядки" (1665 р.) виклав вчення про біномні коефіцієнти. П. Ферма знав зв'язки математичних квадратів і фігурних чисел з теорією сполук. Термін "комбінаторика" став вживатися після опублікування Лейбніцем в 1665 р. роботи "Міркування про комбінаторне мистецтво", в якій вперше дано наукове обґрунтування теорії поєднань та перестановок. Вивченням розміщень вперше займався Я. Бернуллі у другій частині своєї книги "Ars conjectandi" (мистецтво передбачення) у 1713 р. Сучасна символіка поєднань була запропонована різними авторами навчальних посібників лише у XIX ст.
Вся різноманітність комбінаторних формул може бути виведена з двох основних тверджень щодо кінцевих множин – правило суми та правило твору.
Правило суми
Якщо кінцеві множини не перетинаються, число елементів X U Y (або) дорівнює сумі числа елементів множини X і числа елементів множини Y.
Тобто якщо на першій полиці стоїть X книг, а на другій Y, то вибрати книгу з першої або другої полиці, можна X + Y способами.
Приклади завдань
Учень має виконати практичну роботу з математики. Йому запропонували на вибір 17 тем з алгебри та 13 тем з геометрії. Скільки способами він може вибрати одну тему для практичної роботи?
Рішення: X = 17, Y = 13
За правилом суми X U Y = 17 +13 = 30 тем.
Є 5 квитків грошово-речової лотереї, 6 квитків спортлото та 10 квитків автомотолотереї. Скільки способами можна вибрати один квиток зі спортлото або автомотолотереї?
Рішення: Оскільки грошово-речова лотерея у виборі не бере участі, то лише 6+10=16 варіантів.
Правило твору
Якщо елемент X можна вибрати k способами, а елемент Y-m способами, то пару (X,Y) можна вибрати k*m способами.
Тобто якщо на першій полиці стоїть 5 книг, а на другій 10, то вибрати одну книгу з першої полиці і одну з другої можна 5 * 10 = 50 способами.
Приклади завдань
Палітурник повинен переплести 12 різних книг в червоний, зелений і коричневі палітурки. Скільки він може це зробити?
Рішення: Є 12 книг і 3 кольори, значить за правилом твору можливо 12 * 3 = 36 варіантів палітурки.
Скільки існує п'ятизначних чисел, які однаково читаються зліва направо та праворуч наліво?
Рішення: У таких числах остання цифра буде така сама, як і перша, а передостання - як і друга. Третя цифра буде будь-якою. Це можна уявити у вигляді XYZYX, де Y і Z - будь-які цифри, а X - не нуль. Значить за правилом добутку кількість цифр, що однаково читаються як зліва направо, так і праворуч наліво дорівнює 9*10*10=900 варіантів.
Пересічні множини
Але буває, що множини X і Y перетинаються, тоді користуються формулою
, де X і Y - множини, а - область перетину. Приклади завдань20 чоловік знають англійську і 10 - німецьку, з них 5 знають англійську, і німецьку. Скільки Людина всього?
Відповідь: 10 +20-5 = 25 чоловік.
Також часто для наочного розв'язання задачі застосовуються кола Ейлера. Наприклад:
Зі 100 туристів, що вирушають у закордонну подорож, німецькою мовою володіють 30 осіб, англійською – 28, французькою – 42. Англійською та німецькою одночасно володіють 8 осіб, англійською та французькою – 10, німецькою та французькою – 5, усіма трьома мовами – 3. туристів не володіють жодною мовою?Рішення:Висловимо умову цього завдання графічно. Позначимо колом тих, хто знає англійську, іншим колом – тих, хто знає французьку, і третім колом – тих, хто знає німецьку.
Всіми трьома мовами володіють три туристи, отже, у загальній частині кіл вписуємо число 3. Англійською та французькою мовами володіють 10 осіб, а 3 з них володіють ще й німецькою. Отже, лише англійською та французькою володіють 10-3=7 осіб.Аналогічно отримуємо, що тільки англійською та німецькою володіють 8-3=5 осіб, а німецькою та французькою 5-3=2 туристи. Вносимо ці дані до відповідних частин.
Визначимо тепер, скільки людей володіють лише однією з перелічених мов. Німецьку знають 30 осіб, але 5+3+2=10 з них володіють іншими мовами, отже, тільки німецьку знають 20 осіб. Аналогічно отримуємо, що однією англійською володіють 13 осіб, а однією французькою - 30 осіб.За умовою завдання лише 100 туристів. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристів знають хоча б одну мову, отже, 20 осіб не володіють жодною з цих мов.
Розміщення без повторень.
Скільки можна скласти телефонних номерів з 6 цифр кожен, щоб всі цифри були різні?
Це приклад завдання розміщення без повторень. Розміщуються тут 10 цифр по 6. А варіанти, за яких однакові цифри стоять у різному порядку, вважаються різними.
Якщо X-множина, що складаються з n елементів, m≤n, то розміщенням без повторень з n елементів множини X по m називається впорядкована множина X, що містить m елементів називається впорядкована множина X, що містить m елементів.
Кількість всіх розміщень з n елементів m позначають
n! - n-факторіал (factorial англ. співмножник) добуток чисел натурального ряду від 1 до якого чи числа n Завдання
Скільки способами 4 юнаки можуть запросити чотирьох із шести дівчат на танець?
Рішення: два юнаки не можуть одночасно запросити одну й ту саму дівчину І варіанти, при яких одні й ті ж дівчата танцюють з різними юнаками, вважаються, різними, тому:
Можливо 360 варіантів.
Перестановки без повторень
У разі n=m (див. розміщення без повторень) з n елементів m називається перестановкою множини x.
Кількість всіх перестановок n елементів позначають P n.
Дійсно при n=m:
Приклади завдань
Скільки різних шестицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, якщо цифри в числі не повторюються?
1) Знайдемо кількість всіх перестановок із цих цифр: P 6 =6!=720
2) 0 не може стояти попереду числа, тому від цього числа необхідно відібрати кількість перестановок, при якому 0 стоїть попереду. І це P 5 =5!=120.
P 6 -P 5 = 720-120 = 600
Проказниця Мавпа
Так клишоногий Ведмедик
Затіяли грати квартет
Стій, брати стій! -
Кричить Мавпа, - зачекайте!
Як йти музиці?
Адже ви не так сидите.
І так, і так пересідали - знову музика на лад не йде.
