ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ ПО АЛГЕБРІ ДЛЯ 7-11 КЛАСІВ.
Шановні батьки!Якщо Ви шукайте репетитора з математики для Вашої дитини, то це оголошення для Вас. Пропоную скайп-репетиторство: підготовка до ОДЕ, ЄДІ, ліквідація прогалин у знаннях. Ваші вигоди очевидні:
1) Ваша дитина знаходиться вдома, і Ви можете бути за неї спокійною;
2) Заняття проходять у зручний для дитини час, і Ви навіть можете бути присутніми на цих заняттях. Поясню я просто та доступно на всій звичній шкільній дошці.
3) Інші важливі переваги скайп-занять додумаєте самі!
- твір nспівмножників, кожен з яких дорівнює аназивається n-й ступенем числа аі позначається аn.
- Дія, з якого перебуває твір кількох рівних співмножників, називається зведенням у ступінь. Число, яке зводиться в ступінь, називається основою ступеня. Число, яке показує, на яку міру зводиться основа, називається показником ступеня. Так, аn- Ступінь, а- Основа ступеня, n- показник ступеня.
- а 0 = 1
- а 1 = а
- a m∙ a n= a m + n
- a m: a n= a m — n
- (a m) n= a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a/ b) n= a n/ b nПри зведенні в ступінь дробу зводять у цей ступінь і чисельник та знаменник дробу.
- (- n) -й ступенем (n - натуральне) числа а, не рівного нулю, вважається число, зворотне n-й ступеня числа а, тобто . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a/ b) — n=(b/ a) n
- Властивості ступеня з натуральним показником справедливі й для ступенів із будь-яким показником.
Дуже великі та дуже малі числа прийнято записувати у стандартному вигляді: a∙10 n, де 1≤а<10 і n(Натуральне або ціле) – є порядок числа, записаного в стандартному вигляді.
- Вирази, складені з чисел, змінних та його ступенів, з допомогою дії множення називаються одночленами.
- Такий вид одночлена, коли на першому місці стоїть числовий множник (коефіцієнт), а за ним змінні зі своїми ступенями, називають стандартним видом одночлена. Суму показників ступенів всіх змінних, що входять до складу одночлена, називають ступенем одночлена.
- Одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними до одночленів.
- Сума одночленів називається багаточленом. Одночлени, у тому числі складений многочлен, називаються членами многочлена.
- Двучлен - це багаточлен, що складається з двох членів (одночленів).
- Тричлен - це багаточлен, що складається з трьох членів (одночленів).
- Ступенем многочлена називають найбільшу зі ступенів одночленів, що входять до нього.
- Багаточлен стандартного виду не містить подібних членів та записаний у порядку спаду ступенів його членів.
- Щоб помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей одночлен кожен член многочлена і отримані твори скласти.
- Подання многочлена як твори двох чи кількох многочленів називається розкладанням многочлена на множники.
- Винесення загального множника за дужки – найпростіший спосіб розкладання багаточлена на множники.
- Щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та записати отримані твори у вигляді суми одночленів. При необхідності навести подібні доданки.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Квадрат суми двох виразівдорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Квадрат різниці двох виразівдорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Різниця квадратів двох виразівдорівнює добутку різниці самих виразів з їхньої суму.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Куб суми двох виразівдорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Куб різниці двох виразівдорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Сума кубів двох виразівдорівнює добутку суми самих виразів на неповний квадрат їхньої різниці.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Різниця кубів двох виразівдорівнює добутку різниці самих виразів на неповний квадрат їхньої суми.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Квадрат суми трьох виразівдорівнює сумі квадратів цих виразів плюс усілякі подвоєні попарні твори самих виразів.
- Довідка. Повний квадрат суми двох виразів: a 2 + 2ab + b 2
Неповний квадрат суми двох виразів: a 2 + ab + b 2
Функцію виду y=x 2називають квадратною функцією. Графік квадратної функції є парабола з вершиною на початку координат. Гілки параболи y=x²спрямовані нагору.
Функцію виду y=x 3називають кубічною функцією. Графіком кубічної функції є кубічна парабола, яка проходить через початок координат. Гілки кубічної параболи y=x³знаходяться в І та ІІІ чвертях.
Парна функція.
Функція fназивається парною, якщо разом із кожним значенням змінної х -х f(- x)= f(x). Графік парної функції симетричний щодо осі ординат (Оy). Функція y = x 2 – парна.
Непарна функція.
Функція fназивається непарною, якщо разом з кожним значенням змінної хв області визначення функції значення ( -х) також входить у область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність: f(- x)=- f(x) . Графік непарної функції симетричний щодо початку координат. Функція y=x3 – непарна.
Квадратне рівняння.
Визначення. Рівняння виду ax 2 +bx+c=0, де a, bі c– будь-які дійсні числа, причому а≠0, х- Змінна, називається квадратним рівнянням.
a- Перший коефіцієнт, b- Другий коефіцієнт, c- Вільний член.
Розв'язання неповних квадратних рівнянь.
- ax 2 = 0 – неповне квадратне рівняння (b=0, c=0 ). Рішення: х = 0. Відповідь: 0.
- ax 2 +bx=0 –неповне квадратне рівняння (З = 0 ). Рішення: x (ax + b) = 0 → x 1 = 0 або ax + b = 0 → x 2 = -b/a. Відповідь: 0; -b/a.
- ax 2 +c=0 –неповне квадратне рівняння (b=0 ); Рішення: ax 2 = c → x 2 = c/a.
Якщо (-c/a)<0 , то дійсних коренів немає. Якщо (-з/а)>0
- ax 2 +bx+c=0- квадратне рівняннязагального вигляду
Дискримінант D = b 2 - 4ac.
Якщо D>0, то маємо два дійсні корені:
Якщо D=0, то маємо єдиний корінь (або два рівні корені) х=-b/(2a).
Якщо D<0, то действительных корней нет.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного вигляду при парному другому
Коефіцієнт b
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови : a-b+c=0.
Перший корінь завжди дорівнює мінус одиниці, а другий корінь дорівнює мінус з, поділеному на а:
x 1 =-1, x 2 = c/a.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратне рівняння приватного виду за умови: a+b+c=0 .
Перший корінь завжди дорівнює одиниці, а другий корінь дорівнює з, поділеному на а:
x 1 =1, x 2 =c/a.
Розв'язання наведених квадратних рівнянь.
- x 2 +px+q=0 – наведене квадратне рівняння (Перший коефіцієнт дорівнює одиниці).
Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену:
ax 2 +bx+c=a·(x-x 1)(x-x 2), де x 1, x 2- коріння квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0.
Функція натурального аргументу називається числовою послідовністю, а числа, що утворюють послідовність членами послідовності.
Числову послідовність можна задати такими способами: словесним, аналітичним, рекурентним, графічним.
Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з тим самим для даної послідовності числом dназивають арифметичною прогресією. Число dназивають різницею арифметичної прогресії. В арифметичній прогресії (a n), Т. е. в арифметичній прогресії з членами: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , … за визначенням: a 2 = a 1 + d; a 3 =a 2 + d; a 4 =a 3 + d; a 5 = a 4 + d; …; a n =a n-1 + d; …
Формула n-го члена арифметичної прогресії.
a n = a 1 + (n-1) d.
Властивості арифметичної прогресії.
- Кожен член арифметичної прогресії починаючи з другого дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним членів:
a n = (a n-1 + n+1):2;
- Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному рівновіддалених від нього членів:
an = (an-k+an+k):2.
Формули суми перших n членів арифметичної прогресії.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Геометрична прогресія.
Визначення геометричної прогресії.
Числову послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме для даної послідовності число q, називають геометричною прогресією. Число qназивають знаменником геометричної прогресії. У геометричній прогресії (b n ), тобто в геометричній прогресії b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, …, b n, … за визначенням: b 2 = b 1 ∙ q; b 3 = b 2 ∙q; b 4 = b 3 ∙q; …; b n = b n -1 ∙q.
Формула n-го члена геометричної прогресії.
b n = b 1 q n -1 .
Властивості геометричної прогресії.
Формула суми першихn членів геометричної прогресії.
Сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
Нескінченний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, у чисельнику якої різниця між усім числом після коми та числом після коми до періоду дробу, а знаменник складається з «дев'яток» і «нулів», причому, «дев'яток» стільки, скільки цифр у періоді, а «нулів» стільки, скільки цифр після коми до періоду дробу. Приклад:
Синус, косинус, тангенс та котангенс гострого кута прямокутного трикутника.
(α+β=90°)
Маємо: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Оскільки β=90°-α, то
sin (90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;
tg (90°-α)=ctgα; ctg (90 ° -α) = tgα.
Кофункції кутів, що доповнюють одна одну до 90°, рівні між собою.
Формули додавання.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin(α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Формули подвійного та потрійного аргументів.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;
Формули перетворення суми (різниці) на твір.
Формули перетворення твору на суму (різницю).
Формули половинного аргументу.
Синус та косинус будь-якого кута.
парність (непарність) тригонометричних функцій.
З тригонометричних функцій парна лише одна: y=cosx, інші три – непарні, тобто cos(-α)=cosα;
sin(-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg(-α)=-ctgα.
Знаки тригонометричних функцій за координатними чвертями.
Значення тригонометричних функцій деяких кутів.
Радіани.
1) 1 радіан - величина центрального кута, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу даного кола. 1 рад.≈57°.
2) Переведення градусного заходу кута в радіану.
3) Переклад радіанної міри кута в градусну.
Формули наведення.
Мнемонічне правило:
1. Перед наведеною функцією ставлять знак, що наводиться.
2. Якщо запису аргументу π/2 (90°) взято непарне число разів, то функцію змінюють на кофункцию.
Зворотні тригонометричні функції.
Арксинусом числа а (arcsin a) називається кут із проміжку [-π/2; π/2 ], синус якого дорівнює а.
arcsin(- a)=- arcsina.
Арккосинусом числа а (arccos a) називається кут із проміжку, косинус якого дорівнює а.
arccos (-a) =π - arccosa.
Арктангенсом числа а (arctg a) називається кут із проміжку (-π/2; π/2), тангенс якого дорівнює а.
arctg(- a)=- arctga.
Арккотангенсом числа а (arcctg a) називається кут із проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює а.
arcctg (-a)=π - arcctg a.
Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.
Загальні формули.
1)
sin t=a, 0
2)
sin t = - a, 0
3)
cos t=a, 0
4)
cos t =-a, 0
5)
tg t =a, a>0, тоді t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t = -a, a> 0, тоді t = - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, тоді t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t = -a, a> 0, тоді t = - arcctg a + πn, nϵZ. Приватні формули. 1)
sin t =0, тоді t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, тоді t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t=-1, тоді t= - π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0 тоді t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1 тоді t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1 тоді t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, тоді t = πn, nϵZ; 8)
ctg t=0, тоді t = π/2+πn, nϵZ. Вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей. 1)
sint
2)
sint>a (|a|<1), arcsina+2πn 3)
cost
4)
cost>a (|a|<1), -arccosa+2πn 5)
tgt
6)
tgt>a, arctga+πn 7)
ctgt
8)
ctgt>a, πn Прямі на площині. через точку М(х 1 ; у 1), має вигляд: у-у 1 = k (х-х 1). Рівняння кола. Межі. Перетворення (конструювання) графіків функций. Періодична функція.
Межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, при прагненні останнього до нуля, називають похідною функції в даній точці: Справедливі всі властивості статечної функції
: Логарифмом числа bна підставі а (log a b) називають показник ступеня, в який потрібно звести число а, щоб отримати число b. log a b=
n, якщо a n=
b. Приклади: 1) log 2 8 = 3
, Тому що 2 3 = 8; 2) log 5 (1/25) = -2
, Тому що 5 -2 = 1/5 2 = 1/25; 3) log 7 1 = 0
, Оскільки 7 0 =1. Під знаком логарифмуможуть бути тільки позитивні числа, Причому, основа логарифму - число а≠1. Значення логарифму може бути будь-яке число. Ця тотожність випливає з визначення логарифму: оскільки логарифм – це показник ступеня ( n), то, зводячи в цей ступінь число а, отримаємо число b. Логарифм на підставі 10
називають десятковим логарифмом і під час написання опускають основу 10 і букву «про» у написанні слова «log». lg7
=log 10 7, lg7
- Десятинний логарифм числа 7. Логарифм на підставі е(Неперове число е≈2,7) називають натуральним логарифмом. ln7
=log e 7, ln7
- Натуральний логарифм числа 7. Властивості логарифмівсправедливі для логарифмів з будь-якої основи. log a1=0
Логарифм одиниці дорівнює нулю (a>0, a≠1). log a a=1
Логарифм числа ана підставі адорівнює одиниці (a>0, a≠1). log a (x∙y)=log a x+log a y Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників. log a(x/
y)=
log a x—
log a y Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів діленого та дільника. log a b = log c b / log c a Логарифм числа bна підставі адорівнює логарифму числа bз нової основи з, поділеному на логарифм старої основи аз нової основи з. log a b k=
k∙
log a bЛогарифм ступеня ( b k) дорівнює добутку показника ступеня ( k) на логарифм основи ( b) цього ступеня. log a n b=(1/
n)∙
log a bЛогарифм числа bна підставі a nдорівнює добутку дробу 1/
nна логарифм числа bна підставі a. log a n b k=(k/
n)∙
log a bФормула є комбінацією двох попередніх формул. log a r b r = log a bабо log a b=
log a r b r Значення логарифму не зміниться, якщо основа логарифму та число під знаком логарифму звести в той самий ступінь. 1)
(∫f(x)dx)"=f(x); 2)
d∫f(x) dx=f(x) dx; 3)
∫kf(x) dx=k·∫f(x) dx; 4)
∫dF(x) dx=F(x)+C або ∫F"(x) dx=F(x)+C; 5)
∫(f(x)±g(x)) dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx; 6)
∫f (kx+b) dx=(1/k) F (kx+b)+C. Таблиця інтегралів. Об'єм тіла обертання. Дорогі гості мого сайту, всі основні формули математики 7-11ви можете отримати (абсолютно безкоштовно), натиснувши на посилання. Усього там 431 формула і з алгебри та з геометрії. Отриманий pdf файл раджу роздрукувати у вигляді книжечки. Як це зробити - Успішного вам навчання, друзі! Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей. Число cє n-ний ступенем числа aколи: Операції зі ступенями. 1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються: a m· a n = a m + n. 2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються: 3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників: (abc ...) n = a n · b n · c n ... 4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника: (a/b) n = n / b n . 5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують: (a m) n = a m n . Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки. Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4. Операції з корінням. 1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників: 2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів: 3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число: 4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться: 5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться: Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника: Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n. Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3. Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня. Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці. Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а. На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео. Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості. Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n 1. a 0 = 1 (a ≠ 0) 3. a n a m = a n + m 4. (a n) m = a nm 5. a n b n = (ab) n 7. a n / a m = a n - m Ступінні чи показові рівняння– це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число. Приклади показових рівнянь: У цьому прикладі число 6 є підставою воно завжди стоїть внизу, а змінна xступенем чи показником. Наведемо приклади показових рівнянь. Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння? Візьмемо просте рівняння: 2 х = 2 3 Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частина дорівнювали потрібно замість x поставити число 3. 2 х = 2 3 Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь. Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення. Алгоритм розв'язання показового рівняння: Тепер вирішуємо кілька прикладів: Почнемо із простого. Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня. x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння. У прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9. 3 3х - 9 х +8 = 0 Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо: Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm. 3 3х = (3 2) х+8 Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16 3 3х = 3 2х+16 тепер видно що у лівій і правій стороні основи однакові та рівні трійці, отже ми їх можемо відкинути та прирівняти ступеня. 3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння Дивимося такий приклад: 2 2х + 4 - 10 4 х = 2 4 Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm. 4 х = (2 2) х = 2 2х І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m: 2 2х+4 = 2 2х 2 4 Додаємо до рівняння: 2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24 Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки: 2 2х (2 4 - 10) = 24 Порахуємо вираз у дужках: 2 4 — 10 = 16 — 10 = 6 Усі рівняння ділимо на 6: Представимо 4 = 2 2: 2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня. Розв'яжемо рівняння: 9 х - 12 * 3 х +27 = 0 Перетворюємо: Отримуємо рівняння: Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо: Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2 Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t: t 2 - 12t + 27 = 0 Повертаємось до змінної x. Беремо t 1: Стало бути, 3 х = 9 Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2: На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЬ ВИРІШИТИ ставити запитання, що цікавлять, ми Вам обов'язково відповімо. Вступайте до групи Ступінь Число c (\displaystyle c)називається n-й ступенем числа a (\displaystyle a), якщо Властивості: Нехай a ⩾ 0 , r (\displaystyle a\geqslant 0,r)- речові числа, причому r (\displaystyle r)- ірраціональне число. Визначимо значення в такий спосіб. Як відомо, будь-яке речовинне число можна наблизити, зверху та знизу, двома раціональними числами, тобто можна підібрати для r (\displaystyle r)раціональний інтервал [p, q] (\displaystyle)з будь-яким ступенем точності. Тоді загальна частина всіх відповідних інтервалів [ a p , a q ] (\displaystyle )складається з однієї точки, яка і приймається за a r (\displaystyle a^(r)). Інший підхід заснований на теорії рядів та логарифмів (див. ). Спочатку покажемо, як обчислюється експонент e z (\displaystyle e^(z)), де e- Число Ейлера , z- довільне комплексне число, z = x + y i (\displaystyle z = x + yi). Тепер розглянемо загальний випадок, де a, b (\displaystyle a,b)обидва є комплексними числами. Найпростіше це зробити, представивши a (\displaystyle a)в експоненційній формі та використовуючи тотожність a b = e b Ln (a) (\displaystyle a^(b)=e^(b\ \operatorname (Ln) (a))), де Ln (\displaystyle \operatorname (Ln) )- комплексний логарифм : Слід пам'ятати, що комплексний логарифм - багатозначна функція, отже, взагалі кажучи, комплексна ступінь визначено неоднозначно. Оскільки у виразі використовуються два символи ( x (\displaystyle x)і y (\displaystyle y)), то його можна розглядати як одну з трьох функцій: X y = a y log a x (\displaystyle x^(y)=a^(y\log _(a)x))
x y = e y ln x (\displaystyle x^(y)=e^(y\ln x))
x y = 10 y lg x (\displaystyle x^(y)=10^(y\lg x)) Останні дві формули використовують для зведення позитивних чисел у довільний ступінь на електронних калькуляторах (включаючи комп'ютерні програми), що не мають вбудованої функції x y (\displaystyle x^(y)). Запис a n (\displaystyle a^(n))зазвичай читається як « aв n (\displaystyle n)-ого ступеня» або « aу ступені n». Наприклад, 10 4 (\displaystyle 10^(4))читається як «десять у четвертому ступені», 10 3 / 2 (\displaystyle 10^(3/2))читається як «десять у ступені трьох других (або: півтора)». Для другого та третього ступеня існують спеціальні назви: зведення у квадрат і куб відповідно. Так наприклад, 10 2 (\displaystyle 10^(2))читається як «десять у квадраті», 10 3 (\displaystyle 10^(3))читається як "десять у кубі". Така термінологія виникла з давньогрецької математики. Стародавні греки формулювали алгебраїчні конструкції мовою геометричної алгебри (англ.)російська.. Зокрема, замість вживання слова «множення» вони говорили про площу a 3 (\displaystyle a^(3)) - це « aпомножене саме на себе трирази» , маючи на увазі, що береться три множники a (\displaystyle a). Це не зовсім точно, і може призвести до двозначності, оскільки кількість операцій множення буде на одну меншу: a 3 = a ⋅ a ⋅ a (\displaystyle a^(3)=a\cdot a\cdot a)(Три множники, але дві операції множення). Часто коли кажуть, «зображалося як і x I V (\displaystyle x^(IV))відповідно. Починаючи з Декарта, ступінь позначали «двоповерховим» записом виду a b (\displaystyle a^(b)). З появою комп'ютерів та комп'ютерних програм виникла проблема, яка полягає в тому, що в тексті комп'ютерних програм неможливо записати ступінь у двоповерховому вигляді. У зв'язку з цим винайшли спеціальні значки для позначення операції зведення в ступінь. Першим таким значком були дві зірочки. Деякі знаки зведення у ступінь у мовах програмування та комп'ютерних системах. Ступеневою називається функція виду y = x n (читається як y дорівнює х у ступені n), де n - деяке задане число. Приватними випадками статечних функцій є функції виду y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x та багато інших. Розкажемо докладніше про кожну з них. Графік пряма лінія, що проходить через точку (0; 0) під кутом 45 градусів до позитивного напрямку осі Ох. Графік наведено нижче. Основні властивості лінійної функції: Графіком квадратичної функції парабола. Основні властивості квадратичної функції:
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:
х = 3
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.
9 х = (3 2) х = 3 2х
3 2х - 12 3 х +27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3
t 1 = 9 = 3 х
3 х = 3 2
х 1 = 2
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.Речовий ступінь
Потенціювання
Комплексний ступінь
Ступінь як функція
Корисні формули
Вживання в усному мовленні
Лінійна функція y=x1 (y=x)
Квадратична функція y = x 2