В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.
Регистрация участников открыта. Получите свой билет на Марс по этой ссылке .
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.
Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.
Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".
Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.
Вконтакте
Что такое экстремум?В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.
Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:
- статистика;
- машинное управление;
- эконометрика.
Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.
Экстремумы производной функцииИмеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.
Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.
Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.
Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.
Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.
Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:
Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.
Необходимое условие экстремума функцииДля того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.
Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.
Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.
| Полное исследование значения | Построение графика значения |
| 1. Определение точек возрастания и убывания значений.
2. Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями. 3. Процесс определения изменений положения на графике. 4. Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот. 5. Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат. 6. Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек. 7. Определение выпуклости и вогнутости кривой. 8. Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум. |
Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика.
Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса. Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике. Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот. Точки максимума и минимума функции сопровождаются более сложными построениями графика. Это обусловлено более глубокой необходимостью прорабатывать проблему острого экстремума. Необходимо также находить производную сложной и простой функции, так как это одно из самых главных понятий проблематики экстремума. |
Для того чтобы отыскать вышеозначенное значение, необходимо придерживаться следующих правил:
- определить необходимое условие экстремального отношения;
- учитывать достаточное условие крайних точек на графике;
- осуществлять расчет острого экстремума.
Используются также такие понятия, как слабый минимум и сильный минимум. Это необходимо учитывать при определении экстремума и точного его расчета. При этом острый функционал – это поиск и создание всех необходимых условий для работы с графиком функции.
Определение . Точками экстремума функции двух переменных называются точки минимума и максимума этой функции. Значения самой функции в точках экстремума называются экстремумами функции двух переменных .
Определение . Точка P (x 0 , y 0 ) называется z = z (x , y ) , если значение функции в этой точке больше, чем в точках её окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции двух переменных .
Определение . Точка P (x 0 , y 0 ) называется точкой максимума функции двух переменных z = z (x , y ) , если значение функции в этой точке больше, чем в точках её окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции двух переменных .
Теорема (необходимый признак экстремума функции двух переменных) . Если точка P (x 0 , y 0 ) - точка экстремума функции двух переменных z = z (x , y ) , то первые частные производные функции (по "иксу" и по "игреку") в этой точке равны нулю или не существуют:
Определение . Точки, в которой первые частные производные функции двух переменных равны нулю, называются стационарными точками .
Определение . Точки, в которой первые частные производные функции двух переменных равны нулю или не существуют, называются критическими точками .
Как и в случае с функцией одной переменной, необходимое условие существования экстремума функции двух переменных не является достаточным. Встречаются немало функций, в случаях которых первая частная производная функции равна нулю или не существует, но экстремумов в соответствующих точках нет. Каждая точка экстремума является критической точкой, но не каждая критическая точка является экстремумом .
Достаточный признак существования экстремума функции двух переменных . В точке P существует экстремум функции двух переменных, если в окрестности этой точки полное приращение функции не меняет знак. Так как в критической точке первый полный дифференциал равен нулю, то приращение функции определяет второй полный дифференциал
Наилучшее понимание применения полного дифференциала придёт при изучении и практическом применении шагов 3 и 4 алгоритма нахождения экстремумов функции двух переменных, который следует вторым пунктом этого урока.
Локальный характер экстремумов функции двух переменных . Максимум функции двух переменных на каком-либо участке области определения функции не обязательно является максимумом во всей области определения , так же как и минимум на каком-либо участке не является минимумом во всей области определения. Пусть мы рассматриваем высоту волн на участке прибрежной области моря (участок меньше области). Тогда на этом участке мы можем зафиксировать (по-крайней мере, зрительно) наибольшую высоту волны. Но на другом участке, на котором ветер вызывает бОльшую высоту волн, мы фиксируем минимальную высоту волны. Это к тому, что максимум высоты волны на первом участке может оказаться меньше, чем минимум высоты волны на втором участке. Поэтому, как и в случае экстремума функции одной переменной, необходимо уточнить это понятие и говорить об экстремумах как о локальных экстремумах функции двух переменных.
Алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных и примеры решенийНаибольший интерес представляет алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных, так как он, во-первых, отличается от алгоритма нахождения экстремумов функции одной переменных, а во-вторых, по аналогии с ним можно составить алгоритм нахождения функции трёх переменных. В частности, потребуется вычислять определители .
Итак, алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных .
Дана функция двух переменных .
Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю (их равенство нулю и есть необходимый признак существования экстремума):
Решения этой системы уравнений являются точками возможного экстремума - критическими точками.
Шаг 3. Пусть является критической точкой, найденной на шаге 2. Чтобы убедиться, что в ней существует экстремум функции двух переменных, находим частные производные второго порядка
как частные производные от частных производных первого порядка, найденных на шаге 1.
Шаг 4. Присваиваем частным производным второго порядка, найденным на шаге 3, буквенные обозначения:
Шаг 4. Находим определитель :
, т. е. экстремума в найденной критической точке нет,
и , т. е. в найденной критической точке есть минимум функции двух переменных,
и , т. е. в найденной критической точке есть максимум функции двух переменных.
Это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан. Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность. Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.
Исследование графика функцииДля начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола. Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0. И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.
Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.
План анализа функцииПервое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения - это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х. Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х 3 + х 2 - х + 43 область определения - множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х 2 - 2х)/х все немного иначе. Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.
Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х 2 - 2х)/х. Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х 2 - 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х - 2) = 0. В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.
Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы - это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.
Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум - это предельное значений, которое достигает функция на графике. Отсюда получается, что существует два крайних значения - максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше. На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х 5 - 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.
Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции - это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 - это точки экстремума функции, а 4 и -4 - это сами экстремумы.
Нахождение точек экстремума
Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать - найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: "Найдите точки экстремума функции y (x), x - аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х 2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше - приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 - 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями. Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1. Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает. Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 - точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 - точка максимума.
Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т.д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.
Точка х 0 называетсяточкой максимума (минимума ) функцииf(х), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенствоf(х) ≤f(х 0) (f(х) ≥f(х 0)).
Значение функции в этой точке называется соответственно максимумом илиминимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремума функции.
Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом , подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х 0 . На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают сглобальным максимумом илиминимумом (т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).
Необходимое условие экстремума . Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.
Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (илистационарными для дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.
Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.
Первое достаточное условие экстремума . Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, - то точка минимума.
Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).
Второе достаточное условие экстремума . Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.
Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.
Исследование функции на экстремум в соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:
1. Найти первую производную функции f`(x).
2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т.е. найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.
3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f``(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Нахождение глобального максимума и минимума функции на некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:
1. Найти производную функции f`(x).
2. Найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.
