Одним из методов решений квадратного уравнения является применение формулы ВИЕТА , которую назвали в честь ФРАНСУА ВИЕТА.

Он был известным юристом, и служил в 16 веке у французского короля. В свободное время занимался астрономией и математикой. Он установил связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Достоинства формулы:

1 . Применив формулу, можно быстро найти решение. Потому что не нужно вводить в квадрат второй коэффициент, затем из него вычитать 4ас, находить дискриминант, подставлять его значение в формулу для нахождения корней.

2 . Без решения можно определить знаки корней, подобрать значения корней.

3 . Решив систему из двух записей, несложно найти сами корни. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна значению второго коэффициента со знаком минус. Произведение корней в приведенном квадратном уравнении равно значению третьего коэффициента.

4 . По данным корням записать квадратное уравнение, то есть решить обратную задачу. Например, этот способ применяют при решении задач в теоретической механике.

5 . Удобно применять формулу, когда старший коэффициент равен единице.

Недостатки:

1 . Формула не универсальна.

Теорема Виета 8 класс

Формула
Если x 1 и x 2 - корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 , то:

Примеры
x 1 = -1; x 2 = 3 - корни уравнения x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Обратная теорема

Формула
Если числа x 1 , x 2 , p, q связаны условиями:

То x 1 и x 2 - корни уравнения x 2 + px + q = 0 .

Пример
Составим квадратное уравнение по его корням:

X 1 = 2 - ? 3 и x 2 = 2 + ? 3 .

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Искомое уравнение имеет вид: x 2 - 4x + 1 = 0.

Теорема Виета часто используется для проверки уже найденных корней . Если вы нашли корни, то сможете с помощью формул \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вычислить значения \(p\) и \(q\). И если они получатся такими же как в исходном уравнении – значит корни найдены верно.

Например, пусть мы, используя , решили уравнение \(x^2+x-56=0\) и получили корни: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Проверим, не ошиблись ли мы в процессе решения. В нашем случае \(p=1\), а \(q=-56\). По теореме Виета имеем:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}7+(-8)=-1\\7\cdot(-8)=-56\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1=-1\\-56=-56\end{cases}\)

Оба утверждения сошлись, значит, мы решили уравнение правильно.

Такую проверку можно проводить устно. Она займет 5 секунд и убережет вас от глупых ошибок.

Обратная теорема Виета

Если \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\), то \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\).

Или по-простому: если у вас есть уравнение вида \(x^2+px+q=0\), то решив систему \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вы найдете его корни.

Благодаря этой теореме можно быстро подобрать корни квадратного уравнения, особенно если эти корни – . Это умение важно, так как экономит много времени.

Пример . Решить уравнение \(x^2-5x+6=0\).

Решение : Воспользовавшись обратной теоремой Виета, получаем, что корни удовлетворяют условиям: \(\begin{cases}x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end{cases}\).
Посмотрите на второе уравнение системы \(x_1 \cdot x_2=6\). На какие два можно разложить число \(6\)? На \(2\) и \(3\), \(6\) и \(1\) либо \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(-1\). А какую пару выбрать, подскажет первое уравнение системы: \(x_1+x_2=5\). Походят \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\).
Ответ : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Примеры . Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни квадратного уравнения:
а) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).

Решение :
а) \(x^2-15x+14=0\) – на какие множители раскладывается \(14\)? \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\). Какие пары чисел в сумме дадут \(15\)? Ответ: \(1\) и \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – на какие множители раскладывается \(-4\)? \(-2\) и \(2\), \(4\) и \(-1\), \(1\) и \(-4\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-3\)? Ответ: \(1\) и \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – на какие множители раскладывается \(20\)? \(4\) и \(5\), \(-4\) и \(-5\), \(2\) и \(10\), \(-2\) и \(-10\), \(-20\) и \(-1\), \(20\) и \(1\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-9\)? Ответ: \(-4\) и \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) – на какие множители раскладывается \(780\)? \(390\) и \(2\). Они в сумме дадут \(88\)? Нет. Еще какие множители есть у \(780\)? \(78\) и \(10\). Они в сумме дадут \(88\)? Да. Ответ: \(78\) и \(10\).

Необязательно последнее слагаемое раскладывать на все возможные множители (как в последнем примере). Можно сразу проверять дает ли их сумма \(-p\).

Важно! Теорема Виета и обратная теорема работают только с , то есть таким, у которого коэффициент перед \(x^2\) равен единице. Если же у нас изначально дано не приведенное уравнение, то мы можем сделать его приведенным, просто разделив на коэффициент, стоящий перед \(x^2\).

Например , пусть дано уравнение \(2x^2-4x-6=0\) и мы хотим воспользоваться одной из теорем Виета. Но не можем, так как коэффициент перед \(x^2\) равен \(2\). Избавимся от него, разделив все уравнение на \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Готово. Теперь можно пользоваться обеими теоремами.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: По теореме Виета можно решить любые ?
Ответ: К сожалению, нет. Если в уравнении не целые или уравнение вообще не имеет корней, то теорема Виета не поможет. В этом случае надо пользоваться дискриминантом . К счастью, 80% уравнений в школьном курсе математике имеют целые решения.

В этой лекции мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).

Например, для уравнения Зx 2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно
т. е. - 2. А для уравнения х 2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни х 1 и х 2 квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 находятся по формулам

Где D = b 2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни,
получим

Теперь вычислим произведение корней х 1 и х 2 Имеем

Второе соотношение доказано:
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х 1 и х 2 — корни приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. Тогда

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.

Доказательство. Имеем

Пример 1 . Разложить на множители квадратный трехчлен Зх 2 - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх 2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх 2 - 10x + 3: х 1 = 3, х2 = .
Воспользовавшись теоремой 2, получим

Есть смысл вместо написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх 2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1).
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:

Зх 2 - 10x + 3 = Зх 2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).

Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован.
Пример 1 . Сократить дробь

Решение. Из уравнения 2х 2 + 5х + 2 = 0 находим х 1 = - 2,

Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х 1 = 6, х 2 = -2. Поэтому
х 2 - 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А теперь сократим заданную дробь:

Пример 3 . Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x 2 +6; б)2x+-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х 2 . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у 2 + bу + 6.
Решив уравнение у 2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у 2 + 5у + 6: у 1 = - 2, у 2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

у 2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x 2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
x 4 + 5х 2 + 6 = (х 2 + 2)(х 2 + 3).
б) Введем новую переменную у = . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у 2 + у - 3. Решив уравнение
2у 2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у 2 + у - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Далее, используя теорему 2, получим:

Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,

В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением:
если числа х 1 , х 2 таковы, что х 1 + х 2 = - р, x 1 x 2 = q, то эти числа — корни уравнения
С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.

1) х 2 - 11х + 24 = 0. Здесь x 1 + х 2 = 11, х 1 х 2 = 24. Нетрудно догадаться, что х 1 = 8, х 2 = 3.

2) х 2 + 11х + 30 = 0. Здесь x 1 + х 2 = -11, х 1 х 2 = 30. Нетрудно догадаться, что х 1 = -5, х 2 = -6.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.

3) х 2 + х - 12 = 0. Здесь x 1 + х 2 = -1, х 1 х 2 = -12. Легко догадаться, что х 1 = 3, х2 = -4.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.

4) 5х 2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х 1 = 1 — корень уравнения. Так как х 1 х 2 = -, а х 1 = 1, то получаем, что х 2 = - .

5) х 2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х 1 + х 2 = 293, х 1 х 2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 . 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х 1 = 283, х 2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х 1 = 8, х 2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0.
Имеем х 1 + х 2 = -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х 1 х 2 = q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х 2 -4х-32 = 0.

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при изучении квадратных уравнений, следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета (по программе А.Г. Мордковича Алгебра-8, на изучение темы “Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители” запланировано только два часа).

В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства , . Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета, и предлагается ряд примеров для отработки этой темы.

Возьмем конкретные примеры и проследим на них логику решения с помощью теоремы Виета.

Пример 1. Решить уравнение .

Допустим, это уравнение имеет корни, а именно, и . Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные. Вернемся снова к произведению корней. Допустим, что корни уравнения – целые положительные числа. Тогда получить верное первое равенство можно только двумя способами (с точностью до порядка множителей): или . Проверим для предложенных пар чисел выполнимость второго утверждения теоремы Виета: . Таким образом, числа 2 и 3 удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и являются корнями заданного уравнения.

Ответ: 2; 3.

Выделим основные этапы рассуждений при решении приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:

записать утверждение теоремы Виета

(*)

• определить знаки корней уравнения (Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа. Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);
• подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство в записи (*);
• из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая при подстановке во второе равенство в записи (*) даст верное равенство;
• указать в ответе найденные корни уравнения.

Приведем еще примеры.

Пример 2. Решите уравнение .

Решение.

Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что произведение – положительное, а сумма – отрицательное число. Значит, оба корня – отрицательные числа. Подбираем пары множителей, дающих произведение 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -7. Значит, числа -2 и -5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: -2; -5.

Пример 3. Решите уравнение .

Решение.

Пусть и - корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный. Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения.

Ответ: 2; -5.

Заметим, что теорему Виета в принципе можно сформулировать и для полного квадратного уравнения: если квадратное уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства , . Однако применение этой теоремы довольно проблематично, так как в полном квадратном уравнении по крайней мере один из корней (при их наличии, конечно) является дробным числом. А работать с подбором дробей долго и трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе части уравнения на первый коэффициент а и запишем уравнение в виде . Введем новую переменную и получим приведенное квадратное уравнение , корни которого и (при их наличии) могут быть найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного уравнения будут . Обратим внимание, что составить вспомогательное приведенное уравнение очень просто: второй коэффициент сохраняется, а третий коэффициент равен произведению ас . При определенном навыке учащиеся сразу составляют вспомогательное уравнение, находят его корни по теореме Виета и указывают корни заданного полного уравнения. Приведем примеры.

Пример 4. Решите уравнение .

Составим вспомогательное уравнение и по теореме Виета найдем его корни . А значит, корни исходного уравнения .

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение .

Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме Виета его корни . Находим корни исходного уравнения .

Ответ: .

И еще один случай, когда применение теоремы Виета позволяет устно найти корни полного квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число 1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда . Второй корень уравнения находится по теореме Виета и равен . Еще одно утверждение: чтобы число –1 являлось корнем уравнения необходимо и достаточно, чтобы . Тогда второй корень уравнения по теореме Виета равен . Аналогичные утверждения можно сформулировать и для приведенного квадратного уравнения.

Пример 6. Решите уравнение .

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю. Значит, корни уравнения .

Ответ: .

Пример 7. Решите уравнение .

Для коэффициентов этого уравнения выполняется свойство (действительно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значит, корни уравнения .

Ответ: ..

Примеры на применение теоремы Виета

Задание 1. Решите приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задание 2. Решите полное квадратное уравнение с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задание 3. Решите квадратное уравнение с помощью свойства .

При изучении способов решения уравнений второго порядка в школьном курсе алгебры, рассматривают свойства полученных корней. Они в настоящее время известны под названием теоремы Виета. Примеры использования ее приводятся в данной статье.

Квадратное уравнение

Уравнение второго порядка представляет собой равенство, которое показано на фото ниже.

Здесь символы a, b, c являются некоторыми числами, носящими название коэффициентов рассматриваемого уравнения. Чтобы решить равенство, необходимо найти такие значения x, которые делают его истинным.

Заметим, что поскольку максимальное значение степени, в которую возводится икс, равно двум, тогда число корней в общем случае также равно двум.

Для решения этого типа равенств существует несколько способов. В данной статье рассмотрим один из них, который предполагает использование так называемой теоремы Виета.

Формулировка теоремы Виета

В конце XVI известный математик Франсуа Виет (француз) заметил, анализируя свойства корней различных квадратных уравнений, что определенные их комбинации удовлетворяют конкретным соотношениям. В частности, этими комбинациями является их произведение и сумма.

Теорема Виета устанавливает следующее: корни квадратного уравнения при их сумме дают отношение коэффициентов линейного к квадратичному взятое с обратным знаком, а при их произведении приводят к отношению свободного члена к квадратичному коэффициенту.

Если общий вид уравнения записан так, как это представлено на фото в предыдущем разделе статьи, тогда математически эту теорему можно записать в виде двух равенств:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 х r 2 = c / a.

Где r 1 , r 2 - это значение корней рассматриваемого уравнения.

Приведенные два равенства можно использовать для решения ряда самых разных математических задач. Использование теоремы Виета в примерах с решением приведены в следующих разделах статьи.