Правило сложения отрицательных чисел
Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:
- выполнить сложение их модулей;
- дописать к полученной сумме знак «–».
Согласно правилу сложения можно записать:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.
Пример 1
Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$
Решение .
Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.
Найдем модули данных чисел:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Выполним сложение полученных чисел:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.
Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Ответ : $−23 \ 974$.
При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.
Пример 2
Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.
Решение.
Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:
$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;
Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:
$\frac{1}{4}=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.
Краткая запись решения:
$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.
Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:
- вычислить модули чисел;
- если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
- если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;
из большего модуля вычесть меньший;
- перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.
выполнить сравнение полученных чисел:
Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.
Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.
Пример 3
Сложить числа $4$ и $−8$.
Решение.
Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.
Найдем модули данных чисел:
Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.
Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$
Краткая запись решения:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Ответ : $4+(−8)=−4$.
Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.
Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками
Правило вычитания отрицательных чисел:
Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.
Согласно правилу вычитания можно записать:
$a−b=a+(−b)$.
Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.
Пример 4
Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.
Решение.
Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.
Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Выполним сложение чисел с противоположными знаками:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ответ : $(−28)−(−5)=−23$.
При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.
Сложение и вычитание чисел с разными знаками
Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.
Пример 5
Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.
Решение.
Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.
Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Выполним сложение отрицательных чисел:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ответ : $(−11)−7=−18$.
При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.
Правило сложения отрицательных чисел
Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:
- выполнить сложение их модулей;
- дописать к полученной сумме знак «–».
Согласно правилу сложения можно записать:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.
Пример 1
Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$
Решение .
Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.
Найдем модули данных чисел:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Выполним сложение полученных чисел:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.
Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Ответ : $−23 \ 974$.
При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.
Пример 2
Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.
Решение.
Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:
$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;
Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:
$\frac{1}{4}=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.
Краткая запись решения:
$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.
Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:
- вычислить модули чисел;
- если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
- если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;
из большего модуля вычесть меньший;
- перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.
выполнить сравнение полученных чисел:
Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.
Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.
Пример 3
Сложить числа $4$ и $−8$.
Решение.
Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.
Найдем модули данных чисел:
Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.
Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$
Краткая запись решения:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Ответ : $4+(−8)=−4$.
Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.
Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками
Правило вычитания отрицательных чисел:
Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.
Согласно правилу вычитания можно записать:
$a−b=a+(−b)$.
Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.
Пример 4
Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.
Решение.
Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.
Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Выполним сложение чисел с противоположными знаками:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ответ : $(−28)−(−5)=−23$.
При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.
Сложение и вычитание чисел с разными знаками
Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.
Пример 5
Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.
Решение.
Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.
Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Выполним сложение отрицательных чисел:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ответ : $(−11)−7=−18$.
При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.
В этой статье мы разберем, как выполняется из произвольных чисел. Здесь мы дадим правило вычитания отрицательных чисел, и рассмотрим примеры применения этого правила.
Навигация по странице.
Имеет место следующее правило вычитания отрицательных чисел : чтобы из числа a вычесть отрицательное число b , нужно к уменьшаемому a прибавить число −b , противоположное вычитаемому b .
В буквенном виде правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a выглядит так: a−b=a+(−b) .
Докажем справедливость данного правила вычитания чисел.
Для начала напомним смысл вычитания чисел a и b . Найти разность чисел a и b — это значит найти такое число с, сумма которого с числом b равна a (смотрите связь вычитания со сложением). То есть, если найдено число с такое, что c+b=a , то разность a−b равна c .
Таким образом, чтобы доказать озвученное правило вычитания, достаточно показать, что прибавление к сумме a+(−b) числа b даст число a . Чтобы это показать, обратимся к свойствам действий с действительными числами . В силу сочетательного свойства сложения справедливо равенство (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то a+((−b)+b)=a+0 , а сумма a+0 равна a , так как прибавление нуля не изменяет число. Таким образом, доказано равенство a−b=a+(−b) , а значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания отрицательных чисел.
Мы доказали данное правило для действительных чисел a и b . Однако, это правило справедливо и для любых рациональных чисел a и b , а также для любых целых чисел a и b , так как действия с рациональными и целыми числами тоже обладают свойствами, которые мы использовали при доказательстве. Отметим, что с помощью разобранного правила можно выполнять вычитание отрицательного числа как из положительного числа, так и из отрицательного числа, а также из нуля.
Осталось рассмотреть, как выполняется вычитание отрицательных чисел с помощью разобранного правила.
Примеры вычитания отрицательных чисел
Рассмотрим примеры вычитания отрицательных чисел . Начнем с решения простого примера, чтобы разобраться со всеми тонкостями процесса, не утруждаясь вычислениями.
Отнимите от отрицательного числа −13 отрицательное число −7 .
Числом, противоположным вычитаемому −7 , является число 7 . Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем (−13)−(−7)=(−13)+7 . Осталось выполнить сложение чисел с разными знаками, получаем (−13)+7=−(13−7)=−6 .
Вот все решение: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
Вычитание дробных отрицательных чисел можно выполнить, осуществив переход к соответствующим обыкновенным дробям, смешанным числам или десятичным дробям. Здесь стоит отталкиваться от того, с какими числами удобнее работать.
Выполните вычитание из числа 3,4 отрицательного числа .
Применив правило вычитания отрицательных чисел, имеем . Теперь заменим десятичную дробь 3,4 смешанным числом: (смотрите перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби), получаем . Осталось выполнить сложение смешанных чисел: .
На этом вычитание отрицательного числа из числа 3,4 завершено. Приведем краткую запись решения: .
.
Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если « a » и « b » - положительные числа, то вычесть из числа « a » число « b », значит найти такое число « c », которое при сложении « с » числом « b » даёт число « a ».
Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.
Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.
Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».
Стоит запомнить выражения ниже.
Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа « b » - это сложение с числом противоположным числу « b ».
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.
Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.
Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел .
Удобно запомнить правило знаков , которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».
Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.
Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Вычитание отрицательных чисел правило
Действия с отрицательными и положительными числами
Абсолютная величина (модуль). Сложение.
Вычитание. Умножение. Деление.
Абсолютная величина (модуль). Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.
П р и м е р ы: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются
их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак.
2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные
величины вычитаются (из большей меньшая) и ставится знак
числа с большей абсолютной величиной.
Вычитание. Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Умножение. При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные.
Полезна следующая схема (правила знаков при умножении ):
При умножении нескольких чисел (двух и более) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно.
Деление. При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные.
Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении :
Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел
Ничего непонятно?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Правило сложения отрицательных чисел
Для сложения двух отрицательных чисел необходимо:
- выполнить сложение их модулей;
- дописать к полученной сумме знак «–».
Согласно правилу сложения можно записать:
Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.
Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$
Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.
Найдем модули данных чисел:
Выполним сложение полученных чисел:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 974$.
Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.
Сложить отрицательные числа $-\frac $ и $−7,15$.
Согласно правилу сложения отрицательных чисел сначала необходимо найти сумму модулей:
Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:
Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.
Краткая запись решения:
Сложение чисел с противоположными знаками
Правило сложения чисел с противоположными знаками:
- вычислить модули чисел;
- выполнить сравнение полученных чисел:
если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;
- из большего модуля вычесть меньший;
- перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.
Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.
Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.
Сложить числа $4$ и $−8$.
Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.
Найдем модули данных чисел:
Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.
Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$
Краткая запись решения:
Лень читать?
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.
Вычитание отрицательных чисел
Правило вычитания отрицательных чисел:
Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.
Согласно правилу вычитания можно записать:
Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.
Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.
Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.
Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:
Выполним сложение чисел с противоположными знаками:
При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.
Вычитание чисел с противоположными знаками
Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.
Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.
Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.
Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:
Выполним сложение отрицательных чисел:
Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
При вычитании дробных чисел с противоположными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Вычитание отрицательного числа, правило, примеры
Данная статья посвящена разбору такой темы, как выполнение вычитания отрицательных чисел. Материал представляет собой полезную информацию о правиле вычитания отрицательных чисел и других определениях. Для закрепления сути параграфа мы детально разберем примеры типичных упражнений и задач.
Правило вычитания отрицательных чисел
Для того, чтобы разобраться в данной теме, следует узнать основные определения и понятия.
Правило вычитания отрицательных чисел формулируется так: чтобы из числа a вычесть число b со знаком минус , необходимо к уменьшаемому a прибавить число − b , которое является противоположным вычитаемому b .
Если представить данное правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a в буквенном виде, то оно будет выглядеть так: a − b = a + (− b) .
Для того, чтобы использовать данное правило, необходимо доказать его справедливость.
Возьмем числа a и b . Чтобы вычесть из числа a число b , необходимо найти такое число с , которое в сумме с числом b будет равняться числу a . Другими словами, если найдено такое число c , что c + b = a , то разность a − b равна c .
Для того, чтобы доказать правило вычитания, необходимо показать, что сложение суммы a + (− b) с числом b – это есть число a . Необходимо вспомнить о свойствах действий с действительными числами. Так как в этом случае работает сочетательное свойство сложения, то равенство (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) будет верным.
Так, как сумма чисел с противоположными знаками равняется нулю, то a + ((− b) + b) = a + 0 , а сумма a + 0 = а (если к числу прибавить нуль, то оно не изменится). Равенство a − b = a + (− b) считается доказанным, значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания чисел со знаком минус.
Мы рассмотрели, как работает данное правило для действительных чисел a и b . Но оно также считается справедливым для любых рациональных и целых чисел a и b . Действия с рациональными и целыми числами также обладают свойствами, использованными при доказательстве. Следует добавить, что с помощью разобранного правила можно выполнять действия числа со знаком минус как из положительного числа, так и из отрицательного или нуля.
Рассмотрим разобранное правило на типичных примерах.
Примеры использования правила вычитания
Рассмотрим примеры с вычитанием чисел. Для начала рассмотрим простой пример, который поможет легко разобраться со всеми тонкостями процесса.
Необходимо отнять от числа − 13 число − 7 .
Возьмем число, противоположное вычитаемому − 7 . Это число 7 . Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем (− 13) − (− 7) = (− 13) + 7 . Выполняем сложение. Теперь получаем: (− 13) + 7 = − (13 − 7) = − 6 .
Вот все решение: (− 13) − (− 7) = (− 13) + 7 = − (13 − 7) = − 6 . (− 13) − (− 7) = − 6 . Вычитание дробных отрицательных чисел также можно выполнять. Необходимо перейти к обыкновенным дробям, смешанным числам или десятичным дробям. Выбор числа зависит от того, с каким вариантом вам удобнее работать.
Необходимо выполнить вычитание из числа 3 , 4 числа — 23 2 3 .
Применяем описанное выше правило вычитания, получаем 3 , 4 — — 23 2 3 = 3 , 4 + 23 2 3 . Заменяем дробь на десятичное число: 3 , 4 = 34 10 = 17 5 = 3 2 5 (как переводить дроби, можно посмотреть в материале по теме), получаем 3 , 4 + 23 2 3 = 3 2 5 + 23 2 3 . Выполняем сложение. На этом вычитание отрицательного числа — 23 2 3 из числа 3 , 4 завершено.
Приведем краткую запись решения: 3 , 4 — — 23 2 3 = 27 1 15 .
Необходимо выполнить вычитание числа − 0 , (326) от нуля.
По правилу вычитания, которое мы изучили выше, 0 − (− 0 , (326)) = 0 + 0 , (326) = 0 , (326) .
Последний переход верен, так как здесь работает свойство сложения числа с нулем: 0 − (− 0 , (326)) = 0 , (326) .
Из рассмотренных примеров видно, что при вычитании отрицательного числа может получиться как положительное, так и отрицательное число. Вычитание отрицательного числа может в результате дать и число 0 , это происходит, когда уменьшаемое равно вычитаемому.
Необходимо вычислить разность отрицательных чисел — 5 — — 5 .
По правилу вычитания мы получаем — 5 — — 5 = — 5 + 5 .
Мы пришли к сумме противоположных чисел, которая всегда равна нулю: — 5 — — 5 = — 5 + 5 = 0
В некоторых случаях результат вычитания необходимо записать в виде числового выражения. Это справедливо в тех случаях, когда уменьшаемое или вычитаемое является иррациональным числом. К примеру, вычитание из отрицательного числа − 2 отрицательного числа – π проводится так: (− 2) − (− π) = (− 2) + π = π − 2 . Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.
В этой статье мы разберем, как выполняется вычитание отрицательных чисел из произвольных чисел. Здесь мы дадим правило вычитания отрицательных чисел, и рассмотрим примеры применения этого правила.
Навигация по странице.
Правило вычитания отрицательных чисел
Имеет место следующее правило вычитания отрицательных чисел : чтобы из числа a вычесть отрицательное число b , нужно к уменьшаемому a прибавить число −b , противоположное вычитаемому b .
В буквенном виде правило вычитания отрицательного числа b из произвольного числа a выглядит так: a−b=a+(−b) .
Докажем справедливость данного правила вычитания чисел.
Для начала напомним смысл вычитания чисел a и b . Найти разность чисел a и b - это значит найти такое число с , сумма которого с числом b равна a (смотрите связь вычитания со сложением). То есть, если найдено число с такое, что c+b=a , то разность a−b равна c .
Таким образом, чтобы доказать озвученное правило вычитания, достаточно показать, что прибавление к сумме a+(−b) числа b даст число a . Чтобы это показать, обратимся к свойствам действий с действительными числами . В силу сочетательного свойства сложения справедливо равенство (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . Так как сумма противоположных чисел равна нулю, то a+((−b)+b)=a+0 , а сумма a+0 равна a , так как прибавление нуля не изменяет число. Таким образом, доказано равенство a−b=a+(−b) , а значит, доказана и справедливость приведенного правила вычитания отрицательных чисел.
Мы доказали данное правило для действительных чисел a и b . Однако, это правило справедливо и для любых рациональных чисел a и b , а также для любых целых чисел a и b , так как действия с рациональными и целыми числами тоже обладают свойствами, которые мы использовали при доказательстве. Отметим, что с помощью разобранного правила можно выполнять вычитание отрицательного числа как из положительного числа, так и из отрицательного числа, а также из нуля.
Осталось рассмотреть, как выполняется вычитание отрицательных чисел с помощью разобранного правила.
Примеры вычитания отрицательных чисел
Рассмотрим примеры вычитания отрицательных чисел . Начнем с решения простого примера, чтобы разобраться со всеми тонкостями процесса, не утруждаясь вычислениями.
Пример.
Отнимите от отрицательного числа −13 отрицательное число −7 .
Решение.
Числом, противоположным вычитаемому −7 , является число 7 . Тогда по правилу вычитания отрицательных чисел имеем (−13)−(−7)=(−13)+7 . Осталось выполнить сложение чисел с разными знаками , получаем (−13)+7=−(13−7)=−6 .
Вот все решение: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
Ответ:
(−13)−(−7)=−6 .
Вычитание дробных отрицательных чисел можно выполнить, осуществив переход к соответствующим обыкновенным дробям , смешанным числам или десятичным дробям . Здесь стоит отталкиваться от того, с какими числами удобнее работать.
Пример.
Выполните вычитание из числа 3,4 отрицательного числа .
Решение.
Применив правило вычитания отрицательных чисел, имеем . Теперь заменим десятичную дробь 3,4 смешанным числом: (смотрите перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби), получаем . Осталось выполнить сложение смешанных чисел : .
На этом вычитание отрицательного числа из числа 3,4 завершено. Приведем краткую запись решения: .
Ответ:
.
Пример.
Отнимите отрицательное число −0,(326) от нуля.
Решение.
По правилу вычитания отрицательных чисел имеем 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Последний переход справедлив в силу свойства сложения числа с нулем.
РЕПИНА КСЕНЬЯ
приведён алгоритм сложения и вычетания положительных и отрицательных чисел с примерами и иллюстрациями,приведены самостятельные задания с последующей проверкой.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Островская Таисия Алексеевна Учитель математики МБОУ лицея № 15 у ченица Репина Ксения
О бщее правило при сложении и вычитании рациональных чисел.
ЗНАЕШЬ ЛИ ТЫ? 1. Что такое положительное и что такое отрицательное число? 2. Как они располагаются на числовом луче? 3. Как сравнить положительные и отрицательные числа?
ПРОВЕРЬ СЕБЯ! Выпиши все положительные и все отрицательные числа: - 7; 9 ,2; - 10,5; 73 ; - 55 ,99; - 0,056; 123; 41,9; - 0,4 Расположи их в порядке возрастания. Расположи их в порядке убывания.
ОТВЕТЫ: 9,2; 73; 123; 41,9; (+) -7; -10,5; - 55 ,99; - 0,056; - 0,4. (-) В порядке возрастания: - 55 ,99 ; -10,5 ;-7;-0,4; - 0,056; 9, 2 ; 41,9;73; 123; В порядке убывания: 123;73; 41,9;9,2; - 0,056; - 0,4;-7; - 10,5; -55,99 .
Правила. 1. Числа, меньше нуля, называют отрицательными. И ставят знак (-). Числа, больше нуля, называют положительными. И ставят знак (+). Число 0 (нуль) не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. │0│= 0; 2. Расстояние от точки, изображающей число, до 0 называется МОДУЛЕМ числа и всегда положительно, как любое расстояние. Модуль обозначают двумя черточками: │5│= 5; │-5│= 5; Модули противоположных чисел РАВНЫ: │-6│=│6 │Модуль положительного числа равен самому числу. │5│ = │5│
Правила. 3. Чем число больше, тем правее оно лежит на числовой оси. 4. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. 5. Числа, имеющие одинаковые модули, но отличающиеся знаком, называются противоположными.
СЛОЖЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 1. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно: а). Поставить известный сразу знак результата – «минус»; б). Сложить модули чисел: (- 3,5) + (- 4,8) = - (3,5 + 4,8) = - 8,3 Реши самостоятельно: (- 6,7) + (- 23,3) = ? (- 75,6) + (- 5,7) = ? (- 46,2) + (- 55) = ? 2. А что происходит если складывать числа с разными знаками? 6 + (- 2) = … ; 1 + (- 3) = … ?
Задачка Во вpемя сильного дождя на остановке автобуса стояли 12 человек. Подкатил автобус и забpызгал гpязью пятеpых. Остальные успели попpыгать в колючие кусты. Сколько исцаpапанных пассажиpов поедет в автобусе, если известно, что тpое так и не смогли выбpаться из колючих кустов?
При сложении чисел с разными знаками знак результата совпадает со знаком того числа, модуль которого больше, а сам ответ определяется действием вычитания. Объясни, как были решены примеры: (- 17) + 7 = - (17 – 7) = - 10 12 + (- 20) = - (20 -12) = - 8 А теперь сам, пользуясь правилом, подробно запиши решения следующих примеров: 1). (-3) + 5 =… ; 2). 7 + (- 4) = … ; 3). (-10) + 3 = … ; 4). (-22) + 33 = … ; 5). (5) + (-9) = … ; 6). (1,7) + (- 3,9) = … ; 7). 17 + (- 40) = …?
ПРОВЕРЬ СВОИ РЕШЕНИЯ! 1). 2 2). 3 3). - 7 4). 11 5). -4 6). - 2,2 7). - 23
ЗАДАЧКА Во вpемя игpы в пpятки 5 мальчиков спpятались в бочку из под известки, 7 - в бочку из-под зеленой кpаски, 4 - в бочку из-под кpасной и девять - в ящик из-под угля. Мальчик, котоpый пошел их искать, нечаянно упал в бочку из-под желтой кpаски. Сколько pазноцветных мальчиков и сколько чеpно-белых мальчиков игpало в пpятки?
АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ. НУЖНО СООБРАЗИТЬ: ЧИСЛА «дружат» ? (ЗНАКИ ОДИНАКОВЫЕ) Числа «ссорятся» ? (ЗНАКИ РАЗНЫЕ) Поставить у результата тот же знак и сложить модули чисел. 4 + 5=9 - 4 +(-5) = - 9 Реши примеры: 5 + 8 = …; (- 5) + (- 11) = … (- 8,1) + (- 0,7) = … (-2) + (-8) = ... (-49) + (-13) = … Поставить у результата знак «победителя» и из большего модуля вычесть меньший. 3 +(-8) = - (8 -3)= -5 6 + (-4) = + (6-4) = 2 Реши примеры: (-2) + (8) = …; 3,5 +(-10) =… 18 + (-5,7) = … (-11) + 5 = …
ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. Вычитание можно заменить сложением с Числом, противоположным вычитаемому: 9 – (-3) = 9 + (+3) = 9 +3=12 Мы заменили вычитание сложением с числом противоположным. Кратко можно записать так: 9 – (- 3) = 9 + 3 = 12; Два минуса перед числом превратились в плюс: -(- 3) = + 3 Потренируемся: 2 – (- 7) =… - 10 – (- 15 = - 10 + 15 = 15 – 10 = 5;- - 25 – (-4) = - 25 + 4 = - 21
Если перед числом стоят два одинаковых знака (- -) или (+ +), то они меняются на (+). 3 – (-7) = 3 +7 = 10 12 – (+ 8) = 12 – 8 = … (-9) – (-5) =…. 6 + (- 10) = 6 – 10 = … 15 + (+10)=…. Видно, что если перед числом стоят 2 разных знака (+ -) или (- +), то они заменяются на минус (-) !
Проверь свое решение 1. …. = 10 4. …. = - 4 2. …. = 4 5. …. = + 25 3. …. = - 4 ПРАВИЛЬНО! МОЛОДЦЫ!
ЗАДАЧКА Один дедушка охотился в кухне на таpаканов и убил пятеpых, а pанил в тpи pаза больше. Тpех таpаканов дедушка pанил смеpтельно, и они погибли от pан, а остальные pаненые таpаканы выздоpовели, но обиделись на дедушку и навсегда ушли к соседям. Сколько таpаканов ушли к соседям навсегда?
РЕШИ ПРИМЕРЫ САМ: 21 + (- 8) =…; -10 + (- 16) =…; - 7 – (-15) = …; 3 – (- 11) =… ; - 32 – (- 22) = …; 16 – (+ 5) = … ; 5 – (+ 15) = … ; 2 – (- 9) = … ; - 13 + (- 18) = … ; - 49 + (- 10) = … ; - 15 – (- 21) = … ; 6 – (+ 10) = … ;
Проверь свои ответы 1. = 13 2. = -26 3. = 8 4. = 14 5. = -10 6. = 11 Правильное решение! 7. = 10 8. = 11 9. = 31 10. = -59 11. = 6 12. = -4 МОЛОДЦЫ!
Усложним задачу и попробуем решить длинные примеры, используя те же правила: 5 – (- 8)+ (-12) – (+ 5) +17 – 10 – (- 2) = = 5 +8 -12 – 5 + 17- 10 + 2= (8+17+2) + (-12-10)= = 27 + (- 22) 27 -22 = 5 Запомни алгоритм вычисления: Отбросим скобки, используя правило превращения знаков « кошки-собаки»; Получилась алгебраическая сумма. Можно взаимно уничтожить противоположные по знакам слагаемые +5 и - 5; Сгруппируем отдельно (+) и (-) слагаемые; Найдем результат.
ЗАДАЧКА Допустим, что ты pешил пpыгнуть в воду с высоты 8метpов и, пpолетев 5 метpов, пеpедумал. Сколько метpов пpидется тебе еще лететь поневоле?