Уравнение волны – это уравнение, выражающее зависимость смещения колеблющейся частицы, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени:

Эта функция должна быть периодической как относительно времени , так и относительно координат . Кроме того, точки, отстоящие на расстоянии l друг от друга, колеблются одинаковым образом.

Найдём вид функции x в случае плоской волны.

Рассмотрим плоскую гармоническую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию. В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны оси . Все величины, характеризующие колебательное движение частиц среды, зависят только от времени и координаты . Смещение будет зависеть только от и : . Пусть колебание точки с координатой (источник колебаний) задается функцией . Задача : найти вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению . Для того, чтобы пройти путь от плоскости до этой плоскости, волне требуется время . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости , будут отставать по фазе на время от колебаний частиц в плоскости . Тогда уравнение колебаний частиц в плоскости будет иметь вид:

В итоге получили уравнение плоской волны распространяющейся в направлении возрастания :

. (3)

В этом уравнении – амплитуда волны; – циклическая частота; – начальная фаза, которая определяется выбором начала отсчета и ; – фаза плоской волны.

Пусть фаза волны будет величиной постоянной (зафиксируем значение фазы в уравнении волны):

Сократим это выражение на и продифференцируем. В итоге получим:

или .

Таким образом, скорость распространения волны в уравнении плоской волны есть не что иное, как скорость распространения фиксированной фазы волны. Такую скорость называют фазовой скоростью .

Для синусоидальной волны скорость переноса энергии равна фазовой скорости. Но синусоидальная волна не несёт никакой информации, а любой сигнал это модулированная волна, т.е. не синусоидальная (не гармоническая). При решении некоторых задач получается, что фазовая скорость больше скорости света. Здесь нет парадокса, т.к. скорость перемещения фазы не есть скорость передачи (распространения) энергии. Энергия, масса не могут двигаться со скоростью больше чем скорость света c .

Обычно уравнению плоской волны придают симметричный относительно и вид. Для этого вводится величина , которая называется волновым числом . Преобразуем выражение для волнового числа. Запишем его в виде (). Подставим это выражение в уравнение плоской волны:

Окончательно получим

Это уравнение плоской волны, распространяющейся в сторону возрастания . Противоположное направление распространения волны будет характеризоваться уравнением, в котором поменяется знак перед членом .

Удобна запись уравнения плоской волны в следующем виде.

Обычно знак Re опускают, подразумевая, что берётся только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме этого вводится комплексное число.

Это число называется комплексной амплитудой. Модуль этого числа даёт амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны.

Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в следующем виде.

Всё рассмотренное выше относилось к среде, где отсутствовало затухание волны. В случае затухания волны, в соответствии с законом Бугера (Пьер Бугер, французский учёный (1698 – 1758)), амплитуда волны будет уменьшаться при её распространении. Тогда уравнение плоской волны будет иметь следующий вид.

a – коэффициент затухания волна. A 0 – амплитуда колебаний в точке с координатами . Это величина обратная расстоянию, при котором амплитуда волны уменьшается в e раз.

Найдем уравнение сферической волны . Будем считать источник колебаний точечным. Это возможно, если ограничиться рассмотрением волны на расстоянии, много большем размеров источника. Волна от такого источника в изотропной и однородной среде будет сферической . Точки лежащие на волновой поверхности радиуса , будут колебаться с фазой

Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не будет оставаться постоянной. Она убывает с расстоянием от источника по закону . Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

или

В силу сделанных предположений уравнение справедливо только при , значительно превышающих размеры источника волн. Уравнение (6) неприменимо для малых значений , т.к. амплитуда устремилась бы к бесконечности, а это абсурд.

При наличии затухания в среде уравнение сферической волны запишется следующим образом.

Групповая скорость

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность "горбов" и "впадин".

Фазовая скорость этой волны или (2)

С помощью такой волны нельзя передать сигнал, т.к. в любой точке волны все "горбы" одинаковы. Сигнал должен отличаться. Быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет гармонической, и не будет описываться уравнением (1). Сигнал (импульс) можно представить согласно теореме Фурье в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключёнными в некотором интервале Dw . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте,

называется волновым пакетом или группой волн .

Выражение для группы волн может быть записано следующим образом.

(3)

Значок w подчеркивает, что эти величины зависят от частоты.

Этот волновой пакет может быть суммой волн с мало отличающимися частотами. Там, где фазы волн совпадают, наблюдается усиление амплитуды, а там, где фазы противоположны, наблюдается гашение амплитуды (результат интерференции). Такая картина представлена на рисунке. Чтобы суперпозицию волн можно было считать группой волн необходимо выполнение следующего условия Dw << w 0 .

В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью v . Дисперсия это зависимость фазовой скорости синусоидальной волны в среде от частоты. Явление дисперсии мы рассмотрим позже в разделе "Волновая оптика". В отсутствии дисперсии скорость перемещения волнового пакета совпадает с фазовой скорость v . В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью. Поэтому волновой пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается.

Если дисперсия невелика, то расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Поэтому движению всего пакета можно приписать некоторую скорость U .

Скорость, с которой перемещается центр волнового пакета (точка с максимальным значением амплитуды) называется групповой скоростью .

В диспергирующей среде v¹ U . Вместе с движением самого волнового пакета происходит движение "горбов" внутри самого пакета. "Горбы" перемещаются в пространстве со скоростью v , а пакет в целом со скоростью U .

Рассмотрим подробнее движение волнового пакета на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными частотами w (разными длинами волн l ).

Запишем уравнения двух волн. Примем для простоты начальные фазы j 0 = 0.

Здесь

Пусть Dw << w , соответственно Dk << k .

Сложим колебания и проведём преобразования с помощью тригонометрической формулой для суммы косинусов:

В первом косинусе пренебрежём Dwt и Dkx , которые много меньше других величин. Учтём, что cos(–a) = cosa . Окончательно запишем.

(4)

Множитель в квадратных скобках изменяется от времени и координаты значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой, описываемой первым сомножителем. Графически волна, описываемая выражением (4) представлена на рисунке, изображённом выше.

Результирующая амплитуда получается в результате сложения волн, следовательно, будут наблюдаться максимумы и минимумы амплитуды.

Максимум амплитуды будет определяться следующим условием.

(5)

m = 0, 1, 2…

x max – координата максимальной амплитуды.

Косинус принимает максимальное значение по модулю через p .

Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн.

Разрешив (5) относительно x max получим.

Так как фазовая скорость , то называется групповой скоростью. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды волнового пакета. В пределе, выражение для групповой скорости будет иметь следующий вид.

(6)

Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн.

Следует отметить, что при точном учёте всех членов разложения (для произвольного числа волн), выражение для амплитуды получается таким, что из него следует, что волновой пакет со временем расплывается.
Выражению для групповой скорости можно придать другой вид.

В отсутствии дисперсии

Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Этот случай наблюдается в области аномальной дисперсии. Это мы будем рассматривать в разделе "Волновая оптика".

Механические волны – процесс распространения механических колебаний в среде (жидкой, твердой, газообразной).Следует запомнить, что механические волны переносят энергию, форму, но не переносят массу.Важнейшей характеристикой волны является скорость ее распространения. Волны любой природы не распространяются в пространстве мгновенно, их скорость конечна.

По геометрии различают : сферические (пространственные), одномерные (плоские), спиральные волны.

Волна называется плоской , если ее волновые повеpхности пpедставляют собой паpаллельные дpуг дpугу плоскости, пеpпендикуляpные фазовой скоpости волны (pис.1.3). Следовательно, лучи плоской волны - суть паpаллельные пpямые.

Уравнение плоской волны::

Параметры :

Период колебаний Т – промежуток времени, через который состояние системы принимают одинаковые значения: u(t + T) = u(t).

Частота колебаний n – число колебаний в 1 секунду, величина, обратная периоду: n = 1/Т. Измеряется в герцах (Гц), имеет размерность с–1. Маятник, совершающий одно качание в секунду, колеблется с частотой 1 Гц

Фаза колебаний j – величина, показывающая, какая часть колебания прошла с начала процесса. Измеряется в угловых величинах – градусах или радианах.

Амплитуда колебаний А – максимальное значение, которое принимает колебательная система, «размах» колебания.

4.Эффе́кт До́плера - изменение частоты и длины волн, воспринимаемых наблюдателем(приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя. Представим , что наблюдатель приближается с определенной скоростью к неподвижному источнику волн. При этом он встречает за один и тот же интервал времени больше волн, чем при отсутствии движения. Это означает, что воспринимаемая частота больше частоты волны, испускаемой источником. Так длина волны, частота и скорость распространения волны связаны между собой соотношением V= / , - длина волны.

Дифракция - явление огибания препятствий, к-ые сравнимы по своим размерам с длиной волны.

Интерференция- явление, при к-ром в результате наложения когерентных волн возникает либо усиление либо ослабление колебаний.

Опыт Юнга Первым интерференционным опытом, получившим объяснение на основе волновой теории света, явился опыт Юнга (1802 г.). В опыте Юнга свет от источника, в качестве которого служила узкая щель S, падал на экран с двумя близко расположенными щелями S1 и S2. Проходя через каждую из щелей, световой пучок уширялся вследствие дифракции, поэтому на белом экране Э световые пучки, прошедшие через щели S1 и S2, перекрывались. В области перекрытия световых пучков наблюдалась интерференционная картина в виде чередующихся светлых и темных полос.

2.Звук -механич.продольн.волна,к-ая распростр-ся в упругих средах, имеет частоту от 16Гц до 20кГц. Различают виды звуков:

1.простой тон- чисто гармоническ.колебание,излучаемое камертоном(металлич. инструмент,издающий при ударе звук):

2.сложный тон- не синусоидально, но периодическое колебание (излучается различными музык.инструментами).

По теореме Фурье такое сложное колебание можно представить набором гармонических составляющих с разными частотами. Наим.частота наз-ся основным тоном,а кратные частоты – обертонами. Набор частот с указанием их относительной интенсивности(плотности потока энергии волны) наз-ся акустическим спктром. Спктр сложного тона линейсатый.

3.шум- звук,к-ый получается от сложения множества несогласованных источников. Спектр- непрерывистый (сплошной):

4.звуковой удар- кратковременное звуковое воздействие.Н-р: хлопок, взрыв.

Волновое сопротивление- отношение звукового давления в плоской волне к скорости колебания частиц среды. Характеризует степень жесткости среды(т.е. способность среды сопротивляться образованию деформаций) в бегущей волне. Выражается формулой:

P/V=p/c, P- звуковое давление, р- плотность, с- скорость звука, V- объем.

3 - характеристики, не зависящие от свойств приемника:

Интенсивность (сила звука) - энергия, проносимая звуковой волной за единицу времени через единицу площади, установленной перпендикулярно волне звука.

Частота основного тона.

Спектр звука - количество обертонов.

При частотах ниже 17 и выше 20000 Гц колебания давления уже не воспринимаются человеческим ухом. Продольные механические волны с частотой менее 17 Гц получили название инфразвука. Продольные механические волны с частотой, превышающей 20000 Гц, называют ультразвуком.

5. УЗ - механическ. волна с частотой более 20кГц. УЗ представляет собой чередования сгущений и разряжения среды. В каждой среде скорость распростр-я УЗ одинакова. Особенность - узость пучка, что позволяет воздействовать на объекты локально. В неоднородных средах с мелкими включениями частиц имеет место явления дифракции(огибание препятствий). Проникновение УЗ в другую среду характеризуется коэффициентом проникновения() =L /L где длины УЗ после и до проникновения в среду.

Действие УЗ на ткани организма механическое, тепловое, химическое. Применение в медицине делится на 2 направления: метод исследования и диагностики, и метод действия. 1)эхоэнцефалография - опред.опухолей и отека мозга; кардиография - измерение сердца в динамике. 2) УЗ физиотерапия- механическое и тепловое воздействие на ткань; при операциях как «УЗ-скальпель»

6. Идеальная жидкость – воображаемая несжимаемая жидкость, лишенная вязкости и теплопроводности. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, она непрерывна и не имеет структуры.

Уравнение неразрывности -V 1 A 1 = V 2 A 2 Объемный расход во всякой трубке тока, ограниченной соседними линиями тока, должен быть в любой момент времени одинаков во всех ее поперечных сечениях

Уравнение Бернулли - рv 2 / 2 + р ст + р gh = const, в случае установившегося течения, полный напор одинаков во всех поперечных сечениях трубки тока. рv 2 / 2 + р ст = const – для гориз. участков.

7Стационарный поток - поток, скорость которого в любом месте жидкости никогда не изменяется.

Ламинарное течение - упорядоченное течение жидкости или газа, при котором жидкость (газ) перемещается как бы слоями, параллельными направлению течения.

Турбулентное течение - форма течения жидкости или газа, при которой их элементы совершают неупорядоченные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущихся жидкости или газа.

Линии – линии, касательные к которым совпадают во всех т. с направлением скорости в этих точках. При стационарном течении линии тока не меняются со временем.

Вязкость - внутреннее трение, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой

Уравнение Ньютона : F = (dv/dx)Sη.

Коэффициент вязкости - Коэффициент пропорциональности, зависящий от сорта жидкости или газа. Число, служащее для количественной характеристики свойства вязкости. Коэффициент внутреннего трения.

Неньютоновской жидкостью называют жидкость, при течении которой её вязкость зависит от градиента скорости, течение которых подчиняется уравнению Ньютона. (Полимеры, крахмал, жидкое мыло кровь)

Ньютоновская - Если в движущейся жидкости её вязкость зависит только от её природы и температуры и не зависит от градиента скорости. (Вода и дизельное топливо)

.Рейнольдса число - характеризующее соотношение между инерционными силами и силами вязкости: Re =rdv/m, где r - плотность, m - динамический коэффициент вязкости жидкости или газа, v - скорость потока.При R < Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re > Rekр течение может стать турбулентным.

Кинематический коэффициент вязкости - отношение динамической вязкости жидкости или газа к их плотности.

9. Метод Стокса , В основе метода Стоксалежит формула для силы сопротивления, возникающей при движении шарика в вязкой жидкости, полученная Стоксом: Fc = 6 π η V r . Чтобы косвенно измерить коэффициент вязкости η следует рассмотреть равномерное движение шарика в вязкой жидкости и применить условие равномерного движения: векторная сумма всех сил, действующая на шарик равна нулю.

Mg + F A + F с =0 (всё в векторной форме!!!)

Теперь следует выразить силу тяжести (mg) и силу Архимеда (Fа) через известные величины. Приравнивая величины mg = Fа+Fс получаем выражение для вязкости:

η = (2/9)*g*(ρ т - ρ ж)* r 2 / v = (2/9) * g *(ρ т - ρ ж)* r 2 * t / L. Непосредственно измеряются микрометром радиус шарика r (по диаметру), L - путь шарика в жидкости, t- время прохождения пути L. Для измерения вязкости по методу Стокса путь L берется не от поверхности жидкости, а между отметками 1 и 2. Это вызвано следующим обстоятельством. При выводе рабочей формулы для коэффициента вязкости по методу Стокса использовалось условие равномерного движения. В самом начале движения (начальная скорость шарика равна нулю) сила сопротивления также равна нулю и шарик имеет некоторое ускорение. По мере набора скорости сила сопротивления увеличивается, равнодействующая трех сил - уменьшается! Только после некоторой отметки движение можно считать равномерным (и то, - приблизительно).

11.Формула Пуазёйля : При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объёмный расход прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости.

Волной называется процесс распространения колебания (или какого-то другого сигнала) в пространстве.

Представим, например, что во всех точках плоскости YOZ некоторый физический параметр меняется во времени по гармоническому закону

Пусть колебания этого абстрактного параметра распространяются вдоль оси OX со скоростью v (рис. 13.1.). Тогда в плоскости с координатой x исходные колебания повторятся вновь, но с запаздыванием на секунд:

Рис. 13.1.

Функция (13.1) называется уравнением плоской волны . Эту важную функцию чаще записывают в таком виде

Здесь: Е 0 и w - амплитуда и частота колебаний в волне,

(wt – kx + - фаза волны,

a - начальная фаза,

Волновое число,

v - скорость распространения волны.

Совокупность всех точек пространства, в которых колебания происходят в одинаковой фазе, определяет фазовую поверхность . В нашем примере это плоскость.

(wt – kx + = F = const - уравнение движения фазовой поверхности в процессе распространения волны. Возьмём производную этого уравнения по времени:

w – k = 0.

Здесь = v ф - скорость движения фазовой поверхности - фазовая скорость .

= v ф = .

Таким образом, фазовая скорость равна скорости распространения волны.

Фазовая поверхность, отделяющая пространство, охваченное волновым процессом, от той части, куда волна еще не дошла, называется фронтом волны. Фронт волны, как одна из фазовых поверхностей, тоже движется с фазовой скоростью. Эта скорость, например, акустической волны в воздухе составляет 330 м/с, а световой (электромагнитной) волны в вакууме - 3×10 8 м/с.

Уравнение волны Е = Е 0 ×cos(wt – kx + j) представляет собой решение дифференциального волнового уравнения . Для отыскания этого дифференциального уравнения, продифференцируем уравнение волны (13.2) дважды по времени, а затем - дважды по координате:

,

Сравнив эти два выражения, обнаруживаем, что

.

Но волновое число k = , поэтому

. (13.3)

Это и есть дифференциальное уравнение волнового процесса - волновое уравнение .

Еще раз отметим, что уравнение волны (13.2) есть решение волнового уравнения (13.3).

Волновое уравнение можно записать, конечно, и так

Теперь очевидно, что в волновом уравнении коэффициент при второй производной по координате равен квадрату фазовой скорости волны.

Если, решая задачу о движении, мы получаем дифференциальное уравнение типа

то это означает, что исследуемое движение - собственные затухающие колебания …

Если при решении очередной задачи возникло дифференциальное уравнение

то это означает, что исследуется волновой процесс , и скорость распространения этой волны .

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

Волна, у к-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства. Простейший пример - однородная монохроматич. незатухающая П. в.:

и(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

где А - амплитуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - круговая частота, Т -период колебаний, k - . Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты) j=const П. в. являются плоскостями.

При отсутствии дисперсии, когда vф и vгр одинаковы и постоянны (vгр=vф= v), существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущие П. в., к-рые допускают общее представление вида:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

где f - произвольная функция. В нелинейных средах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2), но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, так и от характера движения . В поглощающих (диссипативных) средах П. в. уменьшают свою амплитуду по мере распространения; при линейном затухании это может быть учтено путём замены в (1) k на комплексное волновое число kд ± ikм, где kм - коэфф. затухания П. в.

Однородная П. в., занимающая всё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновое , сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиями передачи или волноводами), можно представить как суперпозицию П. в. с тем или иным пространств. спектром k. При этом волна может по-прежнему иметь плоский фазовый фронт, но неоднородное амплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отдельные участки сферич. и цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазового фронта, приближённо ведут себя как П. в.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

- волна, ук-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

где А - амплитуда,- фаза,- круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. = const П. в. являются плоскостями.
При отсутствии дисперсии, когда фазоваяскорость v ф и групповая v гр одинаковы и постоянны (v гр = v ф = v ) существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущиеП. в., к-рые можно представить в общем виде

где f - произвольная ф-ция. В нелинейныхсредах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2),но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, таки от характера движения волны. В поглощающих (диссипативных) средах П. k на комплексное волновоечисло k д ik м,где k м - коэф. затухания П. в. Однородная П. в., занимающаявсё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновоеполе, сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиямипередачи или волноводами), можно представить как суперпозициюП. в. с тем или иным пространственным спектром k. При этом волнаможет no-прежнему иметь плоский фазовый фронт, во неоднородное распределениеамплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отд. участкисферич. или цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазовогофронта, приближённо ведут себя как П. в.

Лит. см. при ст. Волны.

М. А. Миллер, Л. А. Островский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Прежде чем рассматривать волновой процесс, дадим определение колебательного движения. Колебание – это периодически повторяющийся процесс. Примеры колебательных движений весьма разнообразны: смена сезонов года, колебание сердца, дыхание, заряд на обкладках конденсатора и другие.

Уравнение колебания в общем виде записывается как

где - амплитуда колебаний,
- циклическая частота,- время,- начальная фаза. Часто начальную фазу можно принять равной нулю.

От колебательного движения можно перейти к рассмотрению волнового движения. Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Так как колебания распространяются в пространстве с течением времени, то в уравнении волны необходимо учесть и пространственные координаты, и время. Уравнение волны имеет вид

где А 0 – амплитуда,  - частота, t – время,  - волновое число, z – координата.

Физическая природа волн весьма многообразна. Известны звуковые, электромагнитные, гравитационные, акустические волны.

По типу колебаний все волны можно классифицировать на продольные и поперечные. Продольные волны – это волны, у которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (рис. 3.1а). Примером продольной волны является звуковая волна.

Поперечные волны – это волны, у которых частицы среды колеблются в поперечном направлении относительно направления распространения (рис. 3.1б).

Электромагнитные волны относятся к поперечным волнам. Следует учесть, что в электромагнитных волнах происходит колебание поля, и никакого колебания частиц среды не происходит. Если в пространстве происходит распространение волны с одной частотой , то такая волна называется монохроматической .

Для описания распространения волновых процессов вводятся следующие характеристики. Аргумент косинуса (см. формулу (3.2)), т.е. выражение
, называетсяфазой волны .

Схематически распространение волны вдоль одной координаты показано на рис. 3.2, в данном случае распространение происходит вдоль оси z.

Период – время одного полного колебания. Период обозначается буквой Т и измеряется в секундах (с). Величина обратная периоду, называется линейной частотой и обозначается f , измеряется в герцах (=Гц). Линейная частота связана с круговой частотой. Связь выражается формулой

(3.3)

Если зафиксировать время t, то из рис. 3.2 видно, что существуют точки, например А и В, которые колеблются одинаково, т.е. в фазе (синфазно). Расстояние между ближайшими двумя точками, колеблющимися в фазе, называется длиной волны . Обозначается длина волны  и измеряется в метрах (м).

Волновое число  и длина волны  связаны между собой формулой

(3.4)

Волновое число  иначе называют фазовой постоянной или постоянной распространения. Из формулы (3.4) видно, что постоянная распространения измеряется в (). Физический смысл заключается в том, что она показывает, на сколько радиан изменяется фаза волны при прохождении одного метра пути.

Для описания волнового процесса вводится понятие фронт волны. Фронт волны – это геометрическое место воображаемых точек поверхности, до которых дошло возбуждение. Фронт волны иначе называют волновой фронт.

Уравнение, описывающее волновой фронт плоской волны, можно получить из уравнения (3.2), в виде

(3.5)

Формула (3.5) представляет собой уравнение волнового фронта плоской волны. Уравнение (3.4) показывает, что волновые фронты представляют собой бесконечные плоскости, перемещающиеся в пространстве перпендикулярно оси z.

Скорость перемещения фазового фронта называется фазовой скоростью . Фазовая скорость обозначается V ф и определяется формулой

(3.6)

Первоначально уравнение (3.2) содержит фазу с двумя знаками – отрицательным и положительным. Отрицательный знак, т.е.
, указывает, что фронт волны распространяется вдоль положительного направления распространения осиz. Такая волна называется бегущей, или падающей.

Положительный знак фазы волны указывает на движение фронта волны в обратном направлении, т.е. противоположном направлению оси z. Такая волна называется отраженной.

В дальнейшем будем рассматривать бегущие волны.

Если волна распространяется в реальной среде, то из-за происходящих тепловых потерь, неизбежно происходит уменьшение амплитуды. Рассмотрим простой пример. Пусть волна распространяется вдоль оси z и первоначальное значение амплитуды волны соответствует 100%, т.е. A 0 =100. Допустим при прохождении одного метра пути амплитуда волны уменьшается на 10%. Тогда будем иметь следующие значения амплитуд волн

Общая закономерность изменения амплитуды имеет вид

Такими свойствами обладает показательная функция. Графически процесс можно показать в виде рис. 3.3.

В общем виде соотношение пропорциональности запишем как

, (3.7)

где  - постоянная затухания волны.

Фазовую постоянную  и постоянную затухания  можно объединить с помощью введения комплексной постоянной распространения , т.е.

, (3.8)

где  - фазовая постоянная,  - постоянная затухания волны.

В зависимости от вида волнового фронта различают волны плоские, сферические, цилиндрические.

Плоская волна – это волна, имеющая плоский фронт волны. Плоской волне также можно дать следующее определение. Волна называется плоской однородной, если векторное поле ив любой точке плоскости перпендикулярны направлению распространения и не изменяются по фазе и амплитуде.

Уравнение плоской волны

Если источник, порождающий волну, является точечным, то фронт волны, распространяющийся в неограниченном однородном пространстве, представляет собой сферу.Сферическая волна – это волна, имеющая сферический фронт волны. Уравнение сферической волны имеет вид

, (3.10)

где r – радиус-вектор, проведенный из начала координат, совпадающего с положением точечного источника, в конкретную точку пространства, расположенной на расстоянии r.

Волны могут возбуждаться с помощью бесконечной нити источников, расположенных вдоль оси z. В этом случае такая нить будет порождать волны, фазовый фронт которых представляет собой цилиндрическую поверхность.

Цилиндрическая волна – это волна, имеющая фазовый фронт в виде цилиндрической поверхности. Уравнение цилиндрической волны имеет вид

, (3.11)

Формулы (3.2), (3.10, 3.11) указывают на различную зависимость амплитуды от расстояния между источником волны и конкретной точкой пространства, до которой дошла волна.

Уравнения Гельмгольца

Максвелл получил один из важнейших результатов электродинамики, доказав, что распространение электромагнитных процессов в пространстве с течением времени происходит в виде волны. Рассмотрим доказательство этого положения, т.е. докажем волновой характер электромагнитного поля.

Запишем первые два уравнения Максвелла в комплексной форме в виде

(3.12)

Возьмем второе уравнение системы (3.12) и применим к нему операцию ротора к левой и правой частям. В результате получим

Обозначим
, которая представляет собой постоянную распространения. Таким образом

(3.14)

С другой стороны, на основе известного тождества в векторном анализе можно записать

, (3.15)

где
является оператором Лапласа, который в декартовой системе координат выражается тождеством

(3.16)

Учитывая закон Гаусса, т.е.
, уравнение (3.15) запишется в более простом виде

, или

(3.17)

Аналогично, пользуясь симметрией уравнений Максвелла, можно получить уравнение относительно вектора, т.е.

(3.18)

Уравнения вида (3.17, 3.18) называются уравнениями Гельмгольца. В математике доказано, что если какой-либо процесс описывается в виде уравнений Гельмгольца, то это означает, что процесс является волновым процессом. В нашем случае делаем заключение: переменные во времени электрическое и магнитное поле неизбежно приводит к распространению в пространстве электромагнитных волн.

В координатной форме уравнение Гельмгольца (3.17) записываются в виде

где ,,- единичные векторы вдоль соответствующих осей координат

,

,

.(3.20)

Свойства плоских волн при распространении в непоглощающих средах

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z, тогда распространение волны описывается системой дифференциальных уравнений

(3.21)

где и- комплексные амплитуды поля,

(3.22)

Решение системы (3.21) имеет вид

(3.23)

Если волна распространяется только в одном направлении вдоль оси z, и вектор направлен вдоль осиx, то решение системы уравнений целесообразно записать в виде

(3.24)

где и- единичные орты вдоль осиx,y.

Если в среде отсутствуют потери, т.е. параметры среды  а и  а, и
являются действительными величинами.

Перечислим свойства плоских электромагнитных волн

Для среды вводится понятие волнового сопротивления среды

(3.25)

где ,
- амплитудные значения напряженностей поля. Волновое сопротивление для среды без потерь также является действительной величиной.

Для воздуха волновое сопротивление составляет

(3.26)

Из уравнения (3.24) видно, что магнитное и электрическое поле совпадает по фазе. Поле плоской волны представляет собой бегущую волну, которую записывается в виде

(3.27)

На рис. 3.4 векторы поля иизменяются синфазно, как следует из формулы (3.27).

Вектор Пойнтинга в любой момент времени совпадает с направлением распространения волны

(3.28)

Модуль вектора Пойнтинга определяет плотность потока мощности и измеряется в
.

Средняя плотность потока мощности определяется

(3.29)

, (3.30)

где
- действующие значения напряженностей поля.

Энергия поля, заключенная в единице объема, называется плотностью энергии. Электромагнитное поле изменяется с течением времени, т.е. является переменным. Значение плотности энергии в данный момент времени называется мгновенной плотностью энергии. Для электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля мгновенные плотности энергии соответственно равны

Учитывая, что
, из соотношений (3.31) и (3.32) видно, что
.

Полная плотность электромагнитной энергии определяется выражением

(3.33)

Фазовая скорость распространения электромагнитной волны определяется формулой

(3.34)

Длина волны определяется

(3.35)

где - длина волны в вакууме (воздухе), с – скорость света в воздухе, - относительная диэлектрическая проницаемость,  - относительная магнитная проницаемость, f – линейная частота,  - циклическая частота, V ф – фазовая скорость,  - постоянная распространения.

Скорость перемещения энергии (групповая скорость) можно определить из формулы

(3.36)

где - вектор Пойнтинга, - плотность энергии.

Если расписать и в соответствие с формулами (3.28), (3.33), то получим

(3.37)

Таким образом, получим

(3.38)

При распространении электромагнитной монохроматической волны в среде без потерь выполняется равенство фазовой и групповой скорости.

Между фазовой и групповой скоростью существует связь, выраженная формулой

(3.39)

Рассмотрим пример распространения электромагнитной волны во фторопласте, имеющем параметры  =2, =1. Пусть напряженность электрического поля соответствует

(3.40)

Скорость распространения волны в такой среде будет равна

Волновое сопротивление фторопласта соответствует значению

Ом (3.42)

Амплитудные значения напряженности магнитного поля принимают значения

, (3.43)

Плотность потока энергии, соответственно, равна

Длина волны на частоте
имеет значение

(3.45)

Теорема Умова – Пойнтинга

Электромагнитное поле характеризуется собственной энергией поля, причем, полная энергия определяется суммой энергий электрического и магнитного полей. Пусть электромагнитное поле занимает замкнутый объем V, тогда можно записать

(3.46)

Энергия электромагнитного поля, в принципе, не может оставаться постоянной величиной. Возникает вопрос: Какие факторы влияют на изменение энергии? Установлено, что на изменение энергии внутри замкнутого объема влияют следующие факторы:

часть энергии электромагнитного поля может превратиться в другие виды энергии, например, механическую;

внутри замкнутого объема могут действовать сторонние силы, которые могут увеличивать или уменьшать энергию электромагнитного поля, заключенную в рассматриваемом объеме;

рассматриваемый замкнутый объем V может обмениваться энергией с окружающими телами за счет процесса излучения энергии.

Интенсивность излучения характеризуется вектором Пойнтинга. ОбъемV имеет замкнутую поверхность S. Изменение энергии электромагнитного поля можно рассматривать как поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность S (рис. 3.5), т.е.
, причем возможны варианты
>0 ,
<0 ,
=0 . Отметим, что нормаль, проведенная к поверхности
,всегда является внешней.

Напомним, что
, где
-это мгновенные значения напряженности поля.

Переход от интеграла по поверхности
к интегралу по объему V осуществлен на основе теоремы Остроградского-Гаусса.

Зная, что

подставим эти выражения в формулу (3.47). После преобразования, получим выражение в виде:

Из формулы (3.48) видно, что левая часть выражается суммой, состоящей из трех слагаемых, каждое из которых рассмотрим в отдельности.

Слагаемое
выражаетмгновенную мощность потерь , обусловленную в рассматриваемом замкнутом объеме токами проводимости. Иными словами, слагаемое выражает тепловые потери энергии поля, заключенного в замкнутом объеме.

Второе слагаемое
выражает работу сторонних сил, произведенную в единицу времени, т.е. мощность сторонних сил. Для такой мощности возможны значения
>0,
<0.

Если
>0, т.е. в объеме V добавляется энергия, тогда сторонние силы можно рассматривать в качестве генератора. Если
<0 , т.е. в объеме V происходит уменьшение энергии, то сторонние силы играют роль нагрузки.

Последнее слагаемое для линейной среды можно представить в виде:

(3.49)

Формула (3.49) выражает скорость изменения энергии электромагнитного поля, заключенного внутри объема V.

После рассмотрения всех слагаемых можно формулу (3.48) записать в виде:

Формула (3.50) выражает собой теорему Пойнтинга. Теорема Пойнтинга выражает баланс энергии внутри произвольной области, в которой существует электромагнитное поле.

Запаздывающие потенциалы

Уравнения Максвелла в комплексной форме, как известно, имеют вид:

(3.51)

Пусть в однородной среде существуют сторонние токи. Попробуем преобразовать уравнения Максвелла для такой среды и получить более простое уравнение, описывающее электромагнитное поле в такой среде.

Возьмем уравнение
.Зная, что характеристики и связаны междусобой
,то можно записать
Учтем, что напряженность магнитного поля можно выразить с помощью векторного электродинамического потенциала , который вводится соотношением
, тогда

(3.52)

Возьмем второе уравнение системы Максвелла (3.51) и выполним преобразования:

(3.53)

Формула (3.53) выражает второе уравнение Максвелла через векторный потенциал . Формулу (3.53) можно записать в виде

(3.54)

В электростатике, как известно, выполняется соотношение:

(3.55)

где -вектор напряженности поля,
- скалярный электростатический потенциал. Знак минус указывает, что вектор направлен из точки, имеющей более высокий потенциал, в точку с более низким потенциалом.

Выражение в скобках (3.54) по аналогии с формулой (3.55) можно записать в виде

(3.56)

где
- скалярный электродинамический потенциал.

Возьмем первое уравнение Максвелла и запишем его с помощью электродинамических потенциалов

В векторной алгебре доказано тождество:

Используя тождество (3.58) можно первое уравнение Максвелла, записанное в виде (3.57), представить в виде

Приведем подобные

Умножим левую и правую части на множитель (-1):

можно задать произвольным образом, поэтому можно положить, что

Выражение (3.60) называется лоренцевой калибровкой .

Если w =0 , то получим кулонову калибровку
=0.

Сучетом калибровок уравнение (3.59) можно записать

(3.61)

Уравнение (3.61) выражает собой неоднородное волновое уравнение для векторного электродинамического потенциала.

Аналогичным путем, исходя из третьего уравнения Максвелла
,можно получить неоднородное уравнение для скалярного электродинамического потенциала в виде:

(3.62)

Полученные неоднородные уравнения для электродинамических потенциалов имеют свои решения

, (3.63)

гдеМ – произвольная точка М, -объемная плотность заряда, γ – постоянная распространения, r

(3.64)

где V – объем, занимаемый сторонними токами, r – текущее расстояние от каждого элемента объема источника до точки М.

Решение для векторного электродинамического потенциала (3.63), (3.64) называется интегралом Кирхгофа для запаздывающих потенциалов .

Множитель
можно выразить с учетом
в виде

Этот множитель соответствует конечной скорости распространения волны от источника, причем
Т.к. скорость распространения волны является конечной величиной, то воздействие источника, порождающего волны, до произвольной точки М доходит с запаздыванием во времени. Значение времени запаздывания определяется:
На рис. 3.6 показан точечный источникU , который излучает сферические волны, распространяющиеся со скоростью v в окружающем однородном пространстве, а также произвольная точка М, расположенная на расстоянии r , до которой доходит волна.

В момент времени t векторный потенциал
в точке М является функцией токов, протекающих в источнике U в более раннее время
Иными словами,
зависит от токов источника, которые протекали в ней в более ранний момент

Из формулы (3.64) видно, что векторный электродинамический потенциал параллелен (сонаправлен) с плотностью тока сторонних сил; его амплитуда убывает по закону ; на больших расстояниях по сравнению с размерами излучателя волна имеет сферический фронт волны.

Учитывая
и первое уравнение Максвелла, можно определить напряженность электрического поля:

Полученные соотношения определяют электромагнитное поле в пространстве, созданном заданным распределением сторонних токов

Распространение плоских электромагнитных волн в хорошо проводящих средах

Рассмотрим распространение электромагнитной волны в проводящей среде. Такие среды также называются металлоподобными. Реальная среда является проводящей, если плотность токов проводимости значительно превосходит плотность токов смещения, т.е.
и
, причем
, или

(3.66)

Формула (3.66) выражает условие, при котором реальную среду можно считать проводящей. Иными словами, мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости должна превосходить действительную часть. Формула (3.66) также показывает зависимость от частоты, причем, чем ниже частота, тем в среде более ярко выражены свойства проводника. Рассмотрим это положение на примере.

Так, на частоте f = 1МГц = 10 6 Гц сухая почва имеет параметры =4, =0,01,. Сравним между собойи, т.еи
. Из полученных значений видно, что 1,610 -19 >> 3,5610 -11 , поэтому сухую почву при распространении волны с частотой 1 МГц следует считать проводящей.

Для реальной среды запишем комплексную диэлектрическую проницаемость

(3.67)

т.к. в нашем случае
, то для проводящей среды можно записать

, (3.68)

где  - удельная проводимость,  - циклическая частота.

Постоянная распространения , как известно, определяется из уравнений Гельмгольца

Таким образом, получим формулу для постоянной распространения

(3.69)

Известно, что

(3.70)

Учитывая тождество (3.49), формулу (3.50) можно записать в виде

(3.71)

Постоянная распространения выражается в виде

(3.72)

Сравнение действительных и мнимых частей в формулах (3.71), (3.72) приводит к равенству значений фазовой постоянной  и постоянной затухания , т.е.

(3.73)

Из формулы (3.73) выпишем длину волны, которую приобретает поле при распространении в хорошо проводящей среде

(3.74)

где - длина волны в металле.

Из полученной формулы (3.74) видно, что длина электромагнитной волны, распространяющейся в металле, значительно сокращается по сравнению с длиной волны в пространстве.

Выше сказано, что амплитуда волны при распространении в среде с потерями уменьшается по закону
. Для характеристики процесса распространения волны в проводящей среде вводится понятиеглубина поверхностного слоя или глубина проникновения .

Глубина поверхностного слоя - это расстояние d, на котором амплитуда поверхностной волны уменьшается в е раз по сравнению с ее начальным уровнем.

(3.75)

где - длина волны в металле.

Глубину поверхностного слоя можно также определить из формулы

, (3.76)

где  - циклическая частота,  а – абсолютная магнитная проницаемость среды,  - удельная проводимость среды.

Из формулы (3.76) видно, что с повышением частоты и удельной проводимости, глубина поверхностного слоя уменьшается.

Приведем пример. Медь с удельной проводимостью
на частотеf = 10 ГГц ( = 3см) имеет глубину поверхностного слоя d =
. Отсюда можно сделать важный для практики вывод: нанесение на непроводящее покрытие слоя хорошо проводящего вещества позволит выполнить элементы устройств с малыми тепловыми потерями.

Отражение и преломление плоской волны на границе раздела сред

При распространении плоской электромагнитной волны в пространстве, представляющем собой области с различными значениями параметров
и границей раздела в виде плоскости, возникают отраженные и преломленные волны. Интенсивности этих волн определяются через коэффициенты отражения и преломления.

Коэффициентом отражения волны называется отношение комплексных значений напряженностей электрического поля отраженной к падающей волн на границе раздела и определяется формулой:

(3.77)

Коэффициентом прохождения волны во вторую среду из первой называется отношение комплексных значений напряженностей электрического поля преломленной к падающей волн и определяется формулой

(3.78)

Если вектор Пойнтинга падающей волны перпендикулярен границе раздела, то

(3.79)

где Z 1 ,Z 2 – характеристическое сопротивление для соответствующих сред.

Характеристическое сопротивление определяется по формуле:

где
(3.80)

.

При наклонном падении направление распространения волны по отношению к границе раздела задается углом падения. Угол падения – угол между нормалью к поверхности и направлением распространения луча.

Плоскость падения – это плоскость, которая содержит падающий луч и нормаль, восстановленную в точку падения.

Из граничных условий следует, что углы падения и преломления связаны законом Снелля:

(3.81)

где n 1 , n 2 - показатели преломления соответствующих сред.

Электромагнитные волны характеризуются поляризацией. различают эллиптическую, круговую и линейную поляризации. В линейной поляризации выделяют горизонтальную и вертикальную поляризацию.

Горизонтальная поляризация – поляризация, при которой вектор колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Пусть на границу раздела двух сред падает плоская электромагнитная волна с горизонтальной поляризацией как показано на рис. 3.7. Вектор Пойнтинга падающей волны обозначен . Т.к. волна имеет горизонтальную поляризацию, т.е. вектор напряженности электрического поля колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, то он обозначени на рис. 3.7 показан в виде кружочка с крестиком (направлен от нас). Соответственно вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости падения волны и обозначен. Векторы,,образуют правую тройку векторов.

Для отраженной волны соответствующие векторы поля снабжены индексом «отр», для преломленной индексом - «пр».

При горизонтальной (перпендикулярной) поляризации нахождение коэффициентов отражения и прохождения проводятся следующим образом (рис. 3.7).

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия, т.е.

В нашем случае мы должны выявить тангенциальные проекции векторов, т.е. можно записать

Линии напряженности магнитного поля направлены для падающей, отраженной и преломленной волны перпендикулярную плоскость падения. Поэтому следует записать

Исходя из этого, можем составить на основании граничных условий систему

Также известно, что напряженности электрического и магнитного полей связаны между собой через волновое сопротивление среды Z

Тогда второе уравнение системы можно записать в виде

Итак, система уравнений приобрела вид

Разделим оба уравнения этой системы на амплитуду падающей волны
и,учитывая определения коэффициентов преломления (3.77) и прохождения (3.78), можно записать систему в виде

Система имеет два решения и две неизвестные величины. Такая система, как известно, разрешима.

Вертикальная поляризация – поляризация, при которой вектор колеблется в плоскости падения.

При вертикальной (параллельной) поляризации коэффициенты отражения и прохождения выражаются следующим образом (рис. 3.8).

Для вертикальной поляризации записывается аналогичная система уравнений как и для горизонтальной поляризации, но с учетом направления векторов электромагнитного поля

Такую систему уравнений аналогичным образом можно привести к виду

Решением системы являются выражения для коэффициентов отражения и прохождения

При падении плоских электромагнитных волн с параллельной поляризацией на границу раздела двух сред коэффициент отражения может обращаться в ноль. Угол падения, при котором падающая волна полностью, без отражения, проникает из одной среды в другую, называется углом Брюстера и обозначается как
.

(3.84)

(3.85)

Подчеркнем, что угол Брюстера при падении плоской электромагнитной волны на немагнитный диэлектрик может существовать лишь при параллельной поляризации.

Если плоская электромагнитная волна падает под произвольным углом на границу раздела двух сред с потерями, то отраженную и преломленную волны следует считать неоднородными, так как плоскость равных амплитуд должна совпадать с границей раздела. Для реальных металлов угол между фазовым фронтом и плоскостью равных амплитуд мал, поэтому можно полагать, что угол преломления равен 0.

Приближенные граничные условия Щукина-Леонтовича

Данные граничные условия применимы в случае, когда одна из сред является хорошим проводником. Предположим, что плоская электромагнитная волна падает из воздуха под углом  на плоскую границу раздела с хорошо проводящей средой, которая описывается комплексным показателем преломления

(3.86)

Из определения понятия хорошо проводящей среды следует, что
. Применив закон Снелля, можно отметить, что угол преломления будет очень малым. Из этого можно считать, что преломленная волна входит внутрь хорошо проводящей среды практически по направлению нормали при любом значении угла падения.

Используя граничные условия Леонтовича нужно знать касательную составляющую магнитного вектора . Обычно приближенно полагают, что эта величина совпадает с аналогичной составляющей, вычисленной для поверхности идеального проводника. Ошибка, возникающая при таком приближении, будет очень мала, так как коэффициент отражения от поверхности металлов, как правило, близок к нулю.

Излучение электромагнитных волн в свободное пространство

Выясним, в чем заключаются условия излучения электромагнитной энергии в свободное пространство. Для этого рассмотрим точечный монохроматический излучатель электромагнитных волн, который помещен в начало сферической системы координат. Как известно, сферическая система координат задается (r, Θ, φ), где r – радиус вектор, проведенный из начала системы в точку наблюдения; Θ – меридиональный угол, отсчитываемый от оси Z (зенита) до радиус-вектора, проведенного в точку М; φ – азимутальный угол, отсчитываемый от оси Х до проекции радиус-вектора, проведенной из начала координат до точки М′ (М′ - это проекция точки М на плоскость XOY). (Рис.3.9).

Точечный излучатель находится в однородной среде, обладающей параметрами

Точечный излучатель излучает электромагнитные волны во все направления и любая составляющая электромагнитного поля подчиняется уравнению Гельмгольца, кроме точки r =0 . Можно ввести комплексную скалярную функцию Ψ, под которой понимается любая произвольно взятая составляющая поля. Тогда уравнение Гельмгольца для функции Ψ имеет вид:

(3.87)

где
- волновое число (постоянная распространения).

(3.88)

Положим, что функция Ψ обладает сферической симметрией, тогда уравнение Гельмгольца можно записать в виде:

(3.89)

Уравнение (3.89) можно записать также в виде:

(3.90)

Уравнения (3.89) и (3.90) являются тождественными между собой. Уравнение (3.90) известно в физике как уравнение колебаний. Такое уравнение имеет два решения, которые при равенстве амплитуд имеют вид:

(3.91)

(3.92)

Как видно из (3.91), (3.92) решение уравнения отличается только знаками. Причем, указывает набегущую от источника волну, т.е. волна распространяется от источника в бесконечность. Вторая волна указывает, что волна приходит к источнику из бесконечности. Физически один и тот же источник не может порождать одновременно две волны: бегущую и приходящую из бесконечности. Поэтому необходимо учесть, что волна физически не существует.

Рассматриваемый пример достаточно прост. Но в случае излучения энергии системой источников выбрать правильное решение весьма сложно. Поэтому требуется аналитическое выражение, являющееся критерием выбора правильного решения. Нужен общий критерий в аналитическом виде, позволяющий выбрать однозначное физически обусловленное решение.

Иными словами, нужен такой критерий, который отличает функцию, выражающую собой бегущую волну от источника в бесконечность, от функции, описывающей волну, приходящую из бесконечности в источник излучения.

Такая задача решена А. Зоммерфельдом. Он показал, что для бегущей волны, описываемой функцией ,выполняется соотношение:

(3.93)

Эта формула называется условием излучения или условием Зоммерфельда .

Рассмотрим элементарный электрический излучатель в виде диполя. Электрический диполь представляет собой отрезок провода малой длины l по сравнению с длинной волны  (l << ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l << , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Нетрудно показать, что изменение электрического поля в пространстве окружающем провод, носит волновой характер. Для наглядности рассмотрим предельно упрощенную модель процесса образования и изменения электрической составляющей электромагнитного поля, которое излучает провод. На рис. 3.11 показана модель процесса излучения электрического поля электромагнитной волны в течении времени, равного одному периоду

Как известно, электрический ток обусловлен движением электрических зарядов, а именно

или

В дальнейшем будем рассматривать только изменение положения на проводе положительного и отрицательного зарядов. Силовая линия напряженности электрического поля начинается на положительном заряде и оканчивается на отрицательном. На рис. 3.11 силовая линия показана пунктиром. Стоит помнить, что электрическое поле создается во всем пространстве, окружающем проводник, хотя на рис. 3.11 показана одна силовая линия.

Чтобы по проводнику протекал переменный ток, необходим источник переменной ЭДС. Такой источник включен в середину провода. Состояние процесса излучения электрического поля показано цифрами от 1 до 13. Каждая цифра соответствует определенному моменту времени, связанному состоянием процесса. Момент t=1 соответствует началу процесса, т.е. ЭДС = 0. В момент t=2 появляется переменная ЭДС, которая вызывает движение зарядов, как показано на рис. 3.11. с появлением движущихся зарядов в проводе возникает электрическое поле в пространстве. с течением времени (t = 3÷5) заряды движутся к концам проводника и силовая линия охватывает все большую часть пространства. силовая линия расширяется со скоростью света в направлении, перпендикулярном проводу. В момент времени t = 6 – 8 ЭДС, пройдя через максимальное значение, уменьшается. Заряды движутся к середине провода.

В момент времени t = 9 заканчивается полупериод изменения ЭДС, она уменьшается до нуля. При этом происходит слияние зарядов, они компенсируют друг друга. электрическое поле в этом случае отсутствует. Силовая линия напряженности излученного электрического поля замыкается и продолжает удаляться от провода.

Далее наступает второй полупериод изменения ЭДС, процессы повторяются с учетом изменения полярности. На рис. 3.11 в моменты t = 10÷13 показана картина протекания процесса с учетом силовой линии напряженности электрического поля.

Мы рассмотрели процесс образования замкнутых силовых линий вихревого электрического поля. Но стоит помнить, что излучение электромагнитных волн является единым процессом. Электрическое и магнитное поле являются неразрывными взаимообусловленными составляющими электромагнитного поля.

Процесс излучения, показанный на рис. 3.11 аналогичен излучению электромагнитного поля симметричным электрическим вибратором и широко применяется в технике радиосвязи. Необходимо помнить, что плоскость колебаний вектора напряженности электрического поля является взаимно перпендикулярной плоскости колебаний вектора напряженности магнитного поля.

Излучение электромагнитных волн обусловлено переменным процессом. Поэтому в формуле для заряда можно положить постоянную С=0. Для комплексной величины заряда можно записать.

(3.94)

По аналогии с электростатикой можно ввести понятие момента электрического диполя с переменным током

(3.95)

Из формулы (3.95) следует, что векторы момента электрического диполя и направленного отрезка провода являются сонаправленными.

Следует заметить, что реальные антенны имеют длину проводов обычно сравнимую с длиной волны. Чтобы определить излучательные характеристики таких антенн, провод обычно мысленно разбивают на отдельные малые участки, каждый из которых рассматривают как элементарный электрический диполь. результирующее поле антенны находят путем суммирования излучаемых векторных полей, порожденных отдельными диполями.