В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.

Регистрация участников открыта. Получите свой билет на Марс по этой ссылке .

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.

Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".

\(\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\)\(\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\)

Содержание

Монотонность функции на интервале Если на интервале \((a;b)\) для любой пары точек \({x_1}возрастает на этом интервале.

Если на интервале \((a;b)\) для любой пары точек \({x_1}{f(x_2)}\), то функция \(f(x)\) убывает на этом интервале.

Функция, график которой изображен на рисунке, возрастает на интервале \((a;b)\) и убывает на интервале \((b;c)\).

Достаточные признаки монотонности функции на интервале Достаточный признак возрастания функции
Если \(f"(x)>0\) во всех точках \(x\in(a;b)\), то функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((a;b)\).

Достаточный признак убывания функции
Если \(f"(x)

Точки локальных экстремумов Если в некотором интервале \((a;b)\), содержащем точку \(x_0\) для всех \(x\in(a;b)\) выполняется неравенство \(f(x)\geqslant f(x_0)\), причем в этом интервале найдется такая точка \(x_1\), что \(f(x_1)>f(x_0)\), то \(x_0\) - точка локального минимума функции \(f(x)\).

Если в некотором интервале \((a;b)\), содержащем точку \(x_0\) для всех \(x\in(a;b)\) выполняется неравенство \(f(x)\leqslant f(x_0)\), причем в этом интервале найдется такая точка \(x_1\), что \(f(x_1) точка локального максимума функции \(f(x)\).

Точки локальных минимумов и максимумов называются точками локальных экстремумов .

На рисунке ниже изображен график функции \(f(x)\) и отмечены точки его локальных экстремумов: \(x_1,\; x_2,\; x_3,\; x_4\).

\(x_1\) и \(x_3\) - точки локальных минимумов, \(x_2\) и \(x_4\) - точки локальных максимумов.
В точках \(x_1,\; x_3\) и \(x_4\) производная существует и равна нулю - касательные к графику (изображены красными линиями) в этих точках параллельны оси абсцисс.
В точке \(x_2\) производная не определена. В этой точке касательную к графику провести нельзя.

Признаки максимума и минимума Если в точке \(x_0\) функция \(f\) непрерывна, а её производная \(f’\) меняет свой знак с плюса на минус в этой точке (то есть, существует такой интервал \((a;x_0)\), что \(f’>0\) на \((a;x_0)\) и такой интервал \((x_0;b)\), что \(f’
Если в точке \(x_0\) функция \(f\) непрерывна, а её производная \(f’\) меняет свой знак с минуса на плюс в этой точке (то есть, существует такой интервал \((a;x_0)\), что \(f’ 0\) на \((x_0;b)\)), то \(x_0\) - точка минимума функции \(f\).

Точки минимума и максимума функции - это точки области определения этой функции (то есть, значения \(x\)). Значения функции в этих точках (значения \(y\), соответствующие этим \(x\)) называются минимумами и максимумами функции соответственно.

Например, для функции \(y=x^2+1\): \(\;x=0\) - точка минимума, а \(y(0)=1\) - минимум.

Нахождение точек минимума и максимума Для нахождения точек минимума и максимума непрерывной функции \(f(x)\) нужно:

2) найти нули производной (решить уравнение \(f"(x)=0\)) и точки, в которых производная не определена;

3) найти знаки производной на каждом из получившихся промежутков;

4) те точки, в которых функция \(f\) непрерывна, а её производная меняет знак с “+” на “-“ - точки максимума этой функции,

те точки, в которых функция \(f\) непрерывна, а её производная меняет знак с “-“ на “+” - точки минимума этой функции.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции \(f(x)\) на отрезке нужно:

1) найти производную \(f"(x)\) этой функции;

2) найти критические точки , то есть нули производной (решить уравнение \(f"(x)=0\)) и точки, в которых производная не определена;

3) найти значение функции в критических точках, а так же на концах отрезка;

4) наибольшее из полученных значений будет являться наибольшим значением функции на данном отрезке,

наименьшее из полученных значений будет являться наименьшим значением функции на данном отрезке.

Наибольшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \(\) обозначается \(\max\limits_{}f(x)\)

Наименьшее значение функции \(f(x)\) на отрезке \(\) обозначается \(\min\limits_{}f(x)\)

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции .

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график - значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции , мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

- Производная положительна там, где функция возрастает.
- Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после - производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

\(-7\): минимум.

\(3\): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

- Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
- Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс. Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Найдите производную функции \(f"(x)\).

Найдите корни уравнения \(f"(x)=0\).

Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f"(x)\), а под осью \(f(x)\).

Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).

Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).

Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
- если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
- если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
- если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример (ЕГЭ) . Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Ответ . \(-2\).

Введение

Во многих областях науки и в практической деятельности часто приходится сталкиваться с задачами поиска экстремума функции. Дело в том, что многие технические, экономические и т.д. процессы моделируются функцией или несколькими функциями, зависящими от переменных – факторов, влияющих на состояние моделируемого явления. Требуется найти экстремумы таких функций для того, чтобы определить оптимальное (рациональное) состояние, управление процессом. Так в экономике, часто решаются задачи минимизации издержек или максимизации прибыли – микроэкономическая задача фирмы. В этой работе мы не рассматриваем вопросы моделирования, а рассматриваем только алгоритмы поиска экстремумов функций в простейшем варианте, когда на переменные не накладываются ограничения (безусловная оптимизация), и экстремум ищется только для одной целевой функции.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x) , изображенной на рисунке. Значение функции в точке x 1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x 1 . В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум. В точке x 3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x 2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум. Аналогично для точки x 4 .

Функция y=f(x) в точке x 0 имеет максимум , если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 0 , т.е. если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x ≠x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) f(x 0 .

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x 1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x 1 . В частности, f (x 1) < f (x 4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x 0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство . Пусть для определенности в точке x 0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x 0 + Δx) x 0 , то x 0 – точка максимума;

при x 0 для x< x 0 , f "(x)< 0 для x> x 0 . Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), где c лежит между x и x 0 .

Пусть x < x 0 . Тогда c< x 0 и f "(c)> 0. Поэтомуf "(c)(x- x 0)< 0и, следовательно,

f(x) - f(x 0 )< 0,т.е. f(x)< f(x 0 ).

Пусть x > x 0 . Тогда c> x 0 и f "(c)< 0. Значитf "(c)(x- x 0)< 0. Поэтому f(x) - f(x 0 )