> Принцип Гюйгенса

Изучите принцип Гюйгенса – законы отражения света и рефракции волн. Читайте формулировку принципа Гюйгенса, формула, эффекты дифракции, волновой фронт.

Каждая точка на волновом фронте выступает источником всплесков, распространяющихся вперед на единой скорости.

Задача обучения

• Выразите принцип Гюйгенса.

Основные пункты

• Дифракция – волновой изгиб на краю отверстия или препятствия.
• Этим принципом можно воспользоваться для определения отражения, объяснения рефракции и помех.
• Передается в формуле: s = vt (s – дистанция, v – скорость распространения, t – время).

Термин

• Дифракция – волновой изгиб вокруг краев отверстия или преграды.

Обзор

В соответствии с принципом Гюйгенса, все точки на волновом фронте выступают источниками всплесков и распространяются на той же скорости, что и изначальная волна. Новым волновым фронтом будет прямая.

Основа

Кристиан Гюйгенс получил признание за то, что создал метод выявления волнового распространения. В 1678 году он предположил, что все точки, сталкивающиеся со световым возмущением, превращаются в источники сферической волны. Новый вид волны определяется суммой вторичных.

Он не только объяснил линейное и сферическое распространение волн, но и вывел законы отражения света и рефракции в принципе Гюйгенса. Но ему не удалось объяснить дифракционные эффекты – отклонение от прямолинейного распространения, когда свет натыкается на край или помеху. В этом вопросе разобрался уже Августин-Жан Френель в 1816 году. Ниже представлена презентация принципа Гюйгенса в виде схемы.

Принцип Гюйгенса можно использовать для волнового фронта. Все точки излучают полукруглые завитки, перемещающиеся на дистанцию s = vt

Принцип Гюйгенса

На верхнем изображении показан простой пример действия принципа Гюйгенса. Его можно передать в формуле:

s = vt (s – дистанция, v – скорость распространения, t – время).

Созданные волны формируются в полукруги, а новый фронт касается всплесков. Принцип функционирует для всех волновых типов и приносит пользу в характеристики отражения, рефракции и помех. Визуально он также разъясняет рефлексию и используется в ситуациях с преломлением.

Его принцип можно использовать к прямому волновому фронту, перемещающемуся в среду, где скорость ниже. Луч отклоняется к перпендикуляру

Принцип срабатывает, если волны натыкаются на зеркало. Касательная всплесков показывает, что новый волновой фронт отразился под углом, приравнивающимся к углу падения. Направленность устанавливается перпендикулярно (стрелки вниз)

Примеры

Вы часто видите действие этого принципа волны Гюйгенса в обычной жизни, но не замечаете осознанно. Проще всего объяснить на примере звуков. Если кто-то играет на музыкальном инструменте в комнате с плотно закрытой дверью, то вы ничего не услышите. Вам придется открыть ее и встать рядом. Это прямой эффект дифракции. Когда свет проходит сквозь мелкие отверстия, то начинает напоминать звук, но в меньших масштабах.

Дифракция

Дифракция – волновой изгиб, созданный при столкновении с краем отверстия или преградой.

С давних времён люди заметили отклонение световых лучей при нахождении какого-то препятствия перед ними. Можно обратить внимание на то, как сильно искажается свет при попадании в воду: луч «ломается» из-за так называемого эффекта дифракции света. Дифракцией света называется огибание или искажение света из-за различных факторов вблизи.

Вконтакте

Одноклассники

Работу подобного явления описал Христиан Гюйгенс. После определённого количества проведённых экспериментов со световыми волнами на водной поверхности, он предложил науке новое объяснение такого феномена и дал ему название «волновой фронт». Таким образом, Христиан дал возможность понять, как будет вести себя луч света при попадании на какую-то поверхность другого типа.

Его принцип звучит следующим образом:

Точки поверхности, заметные в определённый момент времени, могут быть причиной для вторичных элементов. Площадь, которая прикасается ко всем вторичным волнам, считается волновой сферой в последующие отрезки времени.

Он объяснил, что все элементы следует рассматривать как начало сферических волн, которые имеют название как вторичные волны. Христиан заметил, что волновой фронт по своей сути является совокупностью этих точек касания, отсюда и выплывает весь его принцип. Кроме этого, вторичные элементы представляются сферической формы.

Стоит запомнить, что волновой фронт - это точки геометрического смысла, до которых доходят колебания к определённому моменту времени.

Вторичные элементы Гюйгенса представляются не как настоящие волны, а лишь дополнительные, имеющие форму сферы, используемые не для расчёта, а лишь приблизительного построения. Поэтому эти сферы вторичных элементов по своей сути имеют только огибающее действие, что позволяет образовываться новому волновому фронту. Этот принцип хорошо объясняет работу дифракции света, однако решает вопрос только направления фронта, а не объясняет, откуда появляется амплитуда, интенсивность волн, распыление волн и их обратное действие. Френель использовал принцип Гюйгенса для устранения этих недостатков и дополнения его работы физическим смыслом. Через некоторое время учёный представил свою работу, которая полностью подержалась научным сообществом.

Ещё во времена Ньютона учёные-физики имели некоторое представление о работе дифракции света , но некоторые моменты оставались для них загадкой из-за небольших возможностей технологий и знаний об этом явлении. Так, описать дифракцию на основе корпускулярной теории света было невозможным.

Независимо друг от друга два учёных разрабатывали качественное объяснение этой теории. Французский физик Френель взялся за дополнение принципа Гюйгенса физическим смыслом, так как изначальная теория была представлена только с математической точки зрения. Таким образом, геометрический смысл оптики изменился с помощью трудов Френеля.

Изменения в принципе выглядели так - Френель физическими методами доказал, что вторичные волны интерферируют в точках наблюдения. Свет может быть замечен во всех участках пространства, где сила вторичных элементов умножается под действием интерференции: так, что если замечается затемнение, можно предположить, волны взаимодействуют и нейтрализуются под влиянием друг друга. В случае если вторичные волны попадают в площадь со схожими типами, состояниями и фазами, то замечается сильный всплеск света.

Таким образом, становится понятным, почему нет обратной волны. Так, когда вторичная волна возвращается обратно в пространство, они вступают во взаимодействие с прямой волной и путём взаимного погашения пространство оказывается спокойным.

Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса - Френеля даёт чёткое представление о возможном распространении света . Применения вышеописанных методов стало называться метод зон Френеля, что позволяет использовать новые и неординарные способы решения задач на нахождение амплитуды. Так, он заменил интегрирование суммированием, что очень положительно приняли в научном сообществе.

На вопросы как работают некоторые важные физические элементы, например, как дифракция света, принцип Гюйгенса - Френеля даёт чёткие ответы. Решение задач стало возможным только благодаря подробному описанию работы этого явления.

Вычисления, представленные Френелем и его методом зон, сами по себе являются трудной работой, однако выведенная учёным формула немного облегчает этот процесс, давая возможность найти точное значение амплитуды . Ранний принцип Гюйгенса не был способен на это.

Необходимо обнаружить на площади точку колебания, которая впоследствии может служить важным элементом в формуле. Площадь будет представлена в виде сферы, так что по методу зон можно разбить её на кольцевые участки, которые позволяют с точностью определить расстояния от краёв каждой зоны. Проходящие по этим зонам точки имеют разное колебание, соответственно, и возникает разница в амплитуде. В случае монотонного убывания амплитуды, можно представить несколько формул:

1. А рез = А 1 — A 2 + A 3 – A 4 +…
2. А 1 > A 2 > A 3 > A m >…> A ∞

Следует помнить, что довольно большое количество других физических элементов влияют на решение задачи подобного типа, которые тоже нужно искать и учитывать.

Дифракцией называется явление отклонения света от прямолинейности распространения, огибание им малых препятствий, проникновение в область геометрической тени. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физи­ческого различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. По историче­ским причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерферен­цией волн. Перераспределение интенсивности, возникающее вслед­ствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источни­ками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией. Различают два вида дифракции (рисунок 38): дифракция Френеля (а) и дифракция Фраунгофера (б). Если источник света S и точка наблюдения Р расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля.

При рассмотрении дифракционных явлений Френель исходил из нескольких основных утверждений, принимаемых без доказательств и составляющих содержание так называемого принципа Гюйгенса – Френеля:

1) Принцип Гюйгенса : Каждая точка фронта волны, служит источником вторичных волн, распространяющихся с характерной для данной среды скоростью, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. (Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых к данному моменту времени дошли колебания).

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рисунок 39).

Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого

отверстием участка волнового фронта служит источником вторичных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента време­ни, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т. е. волна огибает края отверстия.

2) Принцип интерференции . Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн: Все точки фронта волны колеблются с одинаковой частотой и в одинаковой фазе и, следовательно, представляют собой совокупность когерентных источников. Волны от этих когерентных источников распространяются только вперёд и интерферируют между собой.

3) Если часть волнового фронта прикрыть непрозрачными экранами, то вторичные волны испускают только открытые участки фронта волны, причём так, как при отсутствии экранов.

4) Мощности излучения равных по площади участков фронта волны равны.

Пусть поверхность S (рисунок 40) представляет собой положение волнового фронта в некоторый момент. Чтобы определить колебания в некоторой точке P, вызванные волной, по Френелю нужно сначала определить колебания, вызываемые в этой точке отдельными вторичными волнами, приходящими в нее от всех не загороженных каким-либо препятствием элементов поверхности S (ΔS 1 , ΔS 2 и т. д.), и затем сложить эти колебания с учетом их амплитуд и фаз.

В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложная задача и сводится, в принципе, к громоздкому интегрированию. Для упрощения этого интегрирования Френель предложил изящный метод разделения фронта волны на зоны. С этим методом, получившим название метода зон Френеля, мы познакомимся при расчёте дифракционных явлений в некоторых частных случаях.

Гюйгенс рассматривал распространение световых волн как последовательное возмущение точек эфира, в котором распространяется свет. Каждая точка волновой поверхности (т. е. поверхности с одинаковой фазой световых колебаний) является самостоятельным источником вторичных волн, распространяющихся со скоростью света. Френель весьма существенно дополнил принцип Гюйгенса тем, что учел интерференцию колебаний, исходящих из этих когерентных источников.

Рис. 82. Образование волнового фронта.

Рассмотрим распространение света в изотропной среде, в которой скорость света по всем направлениям одинакова. Пусть в некоторый момент времени волновая поверхность, или «фронт» волны, находилась в положении (рис. 82). Все точки поверхности начинают одновременно посылать колебания со скоростью света с (эти вторичные волны представлены на чертеже малыми окружностями).

Как показал Кирхгоф, интенсивность этих вторичных волн будет наибольшей в направлении нормали к волновой поверхности, т. е. излучение вторичных источников, «вспыхивающих» на поверхности волны, носит резко направленный характер. В результате через время колебания распространятся на расстояние что, очевидно, будет соответствовать перемещению всего фронта в положение отстоящее от А на то же расстояние Фронт волны В, по определению, должен проходить через все точки пространства, находящиеся в одной фазе; следовательно, он касается всех сфер радиуса представляющих вторичные волновые поверхности через время Волновой фронт является, таким образом, поверхностью, огибающей поверхности вторичных волн, возникающих в пространстве, в котором распространяется свет.

Световые лучи будут расходиться по радиусам от точки

В изотропной среде световые лучи являются нормалями волновой поверхности.

С точки зрения волновых представлений принцип Ферма теряет свое самостоятельное значение и становится простым следствием принципа Гюйгенса - Френеля, причем следствием, далеко не всегда справедливым.

Рассмотрим две бесконечные близкие волновые поверхности (рис. 83). Тогда, согласно принципу Гюйгенса - Френеля, для нахождения светового луча надо соединить точку являющуюся центром элементарной сферической волны, с точкой касания этой элементарной волны и огибающего результирующего волнового фронта.

Рис. 83. Принцип Ферма как следствие волновых свойств света

Ясно, что для прохождения пути потребуется время, меньшее, чем для прохождения любого другого отрезка где уже не является точкой, сопряженной указанным образом с точкой (кривизна фронта волны всегда меньше кривизны элементарной волны). Повторяя такое же построение для последовательных положений волнового фронта, мы получим путь светового луча как сумму отрезков соответ ствующую минимальному времени прохождения, т. е. докажем справедливость принципа Ферма.

Пользуясь принципом Гюйгенса - Френеля, можно вывести законы отражения и преломления света. Пусть на зеркало (рис. 84) падает световая волна.

Рис. 84. Отражение волны,

Для простоты мы примем расстояние до источника света весьма большим, вследствие чего фронт волны А В может считаться плоским (радиус кривизны весьма велик). В некоторый момент волновая поверхность касается зеркала в точке Здесь возникают вторичные колебания, распространяющиеся со скоростью света с. Время запаздывания за которое

колебания достигнут зеркала от точки В, равно За это время вторичные колебания, распространяющиеся с той же скоростью с, достигнут сферы с радиусом Таким образом, мы найдем, что все точки в плоскости касательной к сфере и перпендикулярной к плоскости чертежа, обладают одной фазой и, следовательно, плоскость является фронтом отраженной волны. Из полученного геометрического построения отраженной волновой поверхности следует закон отражения света: углы падающего луча и отраженного с нормалью равны друг другу.

Рис. 85. Преломление волны.

Рассмотрим две среды, разделенные плоской границей. Пусть на поверхность раздела (рис. 85) падает плоская волна АВ. Мы предположим, что в среде свет распространяется со скоростью с, а в среде II - со скоростью причем Колебания в точках находятся в одной фазе. В тот момент, когда фронт касается границы раздела от точки А в среде II начинают распространяться вторичные колебания со скоростью В то же время колебания от точки В распространяются со скоростью с, большей, чем Пусть расстояние колебания проходят за время За это время вторичные колебания из точки А достигнут сферы с меньшим радиусом При этом все точки сферы будут иметь фазу, одинаковую с точкой С, и, следовательно, поверхность волны в среде II будет плоскостью касательной к сфере и перпендикулярной к плоскости чертежа. Произошел поворот фронта волны. Из прямоугольного треугольника мы найдем (рис. 85). Из треугольника имеем

В разобранных случаях волновая теория Гюйгенса - Френеля приводит к тем же законам, что и геометрическая оптика. Разница заключается пока только в том, что в геометрической оптике законы отражения и преломления рассматривались как данные из опыта или полученные из принципа Ферма, а волновая теория по существу дает нам уже объяснение этих законов, исходящее из определенного представления о природе света. Преимущество волновой теории этим, однако, не ограничивается. Как уже указывалось выше, эта теория дает возможность объяснения и таких эффектов, которые не укладываются в рамки геометрической оптики (дифракция). Такие эффекты возникают при экранировании части волнового фронта, тогда принцип Ферма теряет свою справедливость.

Лекция 21. Дифракция света.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Векторная диаграмма. Дифракция от круглого отверстия и круглого диска. Дифракция Фраунгофера от щели. Предельный переход от волновой оптики к геометрической .

Дифракция – это явление отклонения от прямолинейного распространения света, если оно не может быть следствием отражения, преломления или изгибания световых лучей, вызванным пространственным изменением показателя преломления. При этом отклонение от законов геометрической оптики тем меньше, чем меньше длина волны света.

Замечание . Между дифракцией и интерференцией нет принципиального различия. Оба явления сопровождаются перераспределением светового потока в результате суперпозиции волн.

Примером дифракции может служить явление при падении света на непрозрачную перегородку с отверстием. В этом случае на экране за перегородкой в области границы геометрической тени наблюдается дифракционная картина.

Принято различать два вида дифракции. В случае, когда волну, падающую на перегородку, можно описать системой параллельных друг другу лучей (например, когда источник света находится достаточно далеко), то говорят о дифракции Фраунгофера или дифракции в параллельных лучах. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля или дифракции в расходящихся лучах.

При описании явлений дифракции необходимо решить систему уравнений Максвелла с соответствующими граничными и начальными условиями. Однако нахождение точного решения в большинстве случаев является весьма затруднительным. Поэтому, в оптике, часто применяют приближённые методы, основанные на принципе Гюйгенса в обобщенной формулировке Френеля или Кирхгофа.

Принцип Гюйгенса.

Формулировка принципа Гюйгенса . Каждая точка среды, до которой в некоторый момент времени t дошло волновое движение, служит источником вторичных сферических волн . Огибающая этих волн даёт положение фронта волны в следующий близкий момент времени t +dt . Радиусы вторичных волны равны произведению фазовой скорости света на интервал времени
.

Иллюстрация этого принципа на примере волны падающей на непрозрачную перегородку с отверстием показывает, что волна проникает в область геометрической тени. Это является проявлением дифракции.

Однако принцип Гюйгенса не даёт оценок интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях.

Принцип Гюйгенса-Френеля.

Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. По амплитудам вторичных волн с учётом их фаз можно найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.

Каждый малый элемент волновой поверхности является источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS и уравнение которой вдоль луча имеет вид

здесьa 0 - коэффициент, пропорциональный амплитуде колебаний точек на волновой поверхности dS ,
- коэффициент, зависящий от угла между лучом и вектором
, и такой, что при
он принимает максимальное значение, а при
- минимальное (близкое к нулю).

Амплитуда результирующего колебания в некоторой точке наблюдения Р определяется аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля, которое вывел Кирхгоф :

Интеграл берётся по волновой поверхности, зафиксированной в некоторый момент времени. Для свободно распространяющейся волны значение интеграла не зависит от выбора поверхности интегрирования S .

Явное вычисление амплитуды результирующего колебания по формуле Кирхгофа довольно трудоёмкая процедура, поэтому на практике применяют приближённые методы нахождения значения этого интеграла.

Для нахождения амплитуды колебаний в точке наблюдения P всю волновую поверхность S разбивают на участки (зоны Френеля ). Предположим, что мы наблюдаем дифракцию в расходящихся лучах (дифракцию Френеля), т.е. рассматриваем сферическую, распространяющуюся от некоторого точечного источника L . Волна распространяется в вакууме.

Зафиксируем волновую поверхность в некоторый момент времениt . Пусть радиус этой поверхности равен a . Линия LP пересекает волновую поверхность в точке О. Предположим, что расстояние между точками О и Р равно b . От точки Р последовательно откладываем сферы, радиусы которых
. Две соседние сферы «отсекают» на волновой поверхности кольцевые участки, называемыезонами Френеля . (Как известно, две сферы пересекаются по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной прямой, на которой лежат центры этих сфер). Найдём расстояние от точки О до границы зоны с номером m . Пусть радиус внешней границы зоны Френеля равен r m . Т.к. радиус волновой поверхности равен a , то .

При этом,

Поэтому
, откуда
.

Для длин волн видимого диапазона и не очень больших значений номеров m можно пренебречь слагаемым
по сравнению сm . Следовательно, в этом случае
и для квадрата радиуса получаем выражение
, в котором опять можно пренебречь последним слагаемым. Тогда радиусm -й зоны Френеля (для дифракции в расходящихся лучах)

.

Следствие . Для дифракции в параллельных лучах (дифракции Фраунгофера) радиус зон Френеля получается предельных переходом a :

.

Теперь сравним площади зон Френеля. Площадь сегмента сферической поверхности, лежащей внутри m -й зоны, как известно, равна
. Зона с номеромm заключена между границами зон с номерами m и m -1. Поэтому её площадь равна

.

После преобразований выражение примет вид
.

Если пренебречь величиной
, то из выражения
следует, что при небольших номерах площадь зон не зависит от номераm .

Нахождение результирующей амплитуды в точке наблюденияР производится следующим образом. Т.к. излучаемые вторичные волны являются когерентными и расстояния от соседних границ до точки Р отличаются на половину длины волны, то разность фаз колебаний от вторичных источников на этих границах, приходящих в точку Р , равна  (как говорят, колебания приходят в противофазе). Аналогично, для любой точки какой-нибудь зоны обязательно найдётся точка в соседней зоне, колебания от которой приходят в Р в противофазе. Величина амплитуды волнового вектора пропорциональна величине площади зоны
. Но площади зон одинаковые, а с ростом номераm возрастает угол , поэтому величина
убывает. Поэтому можно записать упорядоченную последовательность амплитуд. На амплитудно -векторной диаграмме с учётом разности фаз эта последовательность изображается противоположно направленными векторами, поэтому

Разобьем первую зону на большое количество N внутренних зон таким же спосбом, как и выше, но теперь расстояния от границ двух соседних внутренних зон до точки Р будут отличаться на малую величину
. Поэтому разность фаз волн, приходящих волн в точкуР будет равна малой величине
. На амплитудно-векторной диаграмме вектор амплитуды от каждой из внутренних зон будет повернут на малый угол относительно предыдущего, поэтому амплитуде суммарного колебания от нескольких первых внутренних зон будет соответствовать вектор
соединяющий начало и конец ломаной линии. При увеличении номера внутренней зоны суммарная разность фаз будет нарастать и на границе первой зоны станет равной. Это означает, вектор амплитуды от последней внутренней зоны
направлен противоположно вектору амплитуды от первой внутренней зоны
. В пределе бесконечно большого числа внутренних зон эта ломаная линия перейдет в часть спирали.

Амплитуде колебаний от первой зоны Френеля тогда будет соответствовать вектор, от двух зон -и т.д. В случае, если между точкойР и источником света нет никаких преград, из точки наблюдения будет видно бесконечное число зон, поэтому спираль будет навиваться на точку фокуса F . Поэтому свободной волне с интенсивностью I 0 соответствует вектор амплитуды , направленный в точкуF .

Из рисунка видно, что для амплитуды от первой зоны можно получить оценку
, поэтому интенсивность от первой зоны
- в 4 раза больше интенсивности падающей волны. Равенство
можно трактовать и по-другому. Если для бесконечного числа открытых зон суммарную амплитуду записать в виде

(m – четное число), то из
следует оценка
.

Замечание . Если каким-то образом изменить фазы колебаний в точке Р от чётных или нечётных зон на , или закрыть чётные или нечётные зоны, то суммарная амплитуда увеличится по сравнению с амплитудой открытой волны. Таким свойством обладает зонная пластинка - плоскопараллельная стеклянная пластинка с выгравированными концентрическими окружностями, радиус которых совпадает с радиусами зон Френеля. Зонная пластинка «выключает» чётные либо нечётные зоны Френеля, что приводит к увеличению интенсивности света в точке наблюдения.

Дифракция на круглом отверстии.

Рассуждения, приведённые выше, позволяют сделать вывод, что амплитуда колебания в точкеР зависит от числа зон Френеля. Если для точки наблюдения открыто нечётное число зон Френеля, то в этой точке будет максимум интенсивности. Если открыто чётное число зон – то минимум.

Дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид чередующихся светлых и тёмных колец. При увеличении радиуса отверстия (и увеличения числа зон Френеля) чередование тёмных и светлых колец будет наблюдаться только вблизи границы геометрической тени, а внутри освещённость практически не будет меняться.